Борис Иванович Александров
Михаил Владимирович Лурье
Пособие по математике
для поступающих в МГУ
*** 1977 ***
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М. В. ЛОМОНОСОВА
Подготовительные курсы
естественных факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Подготовка к экзаменам рассчитана на один учебный год. Учащиеся должны систематически работать над школьными учебниками, по которым необходимо повторить программу курса по математике. Никаких дополнительных знаний сверх школьной программы для поступления в Московский университет не требуется. Однако приобрести навыки решения экзаменационных задач, и особенно задач повышенной трудности, необходимых в первую очередь поступающим на факультеты с математическим уклоном; можно только в результате систематической напряженной работы. В этой книге сформулированы основные темы для проработки, дан перечень необходимых параграфов в учебнике и список задач для решения. В конце первой части помещены контрольные задания для учащихся заочных подготовительных курсов. Во второй части пособия приведено большое количество задач, предлагавшихся на письменных экзаменах по математике абитуриентам естественных факультетов МГУ в 1972—1975 гг. Для первого варианта каждого факультета выполнен подробный разбор, ознакомление с которым может служить ключом для решения остальных задач этого факультета. Эта часть книги должна послужить пособием для приобретения практических навыков решения задач. Курсы рекомендуют учащимся ориентироваться на следующие учебные пособия: 1. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. X. Пособие по математике для поступающих в вузы. М., «Наука», 1971—1976. 2. Моденов П. С., Новоселов С. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. Изд-во МГУ, 1966. 3. Лидский В. Б., Овсянников Л. В., Ту-лайков А. Н., Шабунин М. И. Задачи по элементарной математике. М., Физматгиз, 1963. 4. Александров Б. И., Максимов 'В. М., Лурье М. В., Колесниченко Д. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Изд-во МГУ, 1972. 5. Лурье М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений. М., Наука, 1976. Подготовительные курсы не располагают этими пособиями и не высылают их учащимся. Авторы МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ § 1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА ПО МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИМИСЯ ЗАОЧНЫХ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ МГУ Изучение программного материала по математике учащимися заочных подготовительных курсов МГУ проводится по трем основным разделам: алгебра, геометрия и тригонометрия. Работа учащегося-заочника складывается из следующих основных элементов: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий. Основной формой обучения учащегося-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Подготовка к вступительным экзаменам на любой из факультетов МГУ является трудоемким делом; его можно успешно выполнить только при систематической и напряженной самостоятельной работе. Готовиться к экзаменам следует систематически в течение всего учебного года. Изучение курса математики в сжатые сроки перед экзаменами не даст глубоких и прочных знаний и не приведет к положительному завершению работы. Самостоятельная работа над учебными пособиями Самостоятельная работа над учебными пособиями является главным видом работы учащегося-заочника, и поэтому от ее организации зависит многое. Учащимся рекомендуется руководствоваться следующими положениями: 1) избрав какое-нибудь учебное пособие в качестве основного по определенной части курса математики, учащийся должен придерживаться данного пособия при изучении всей части курса или по крайней мере целого раздела. Замена одного пособия дру- гимч процессе изучения может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами. Для решения задач, однако, можно использовать различные источники и прежде всего те пособия, которые высылаются курсами; 2) читая учебник по математике, следует переходить к новому материалу лишь после усвоения предыдущего. Все выкладки и вычисления, так же как и соответствующие чертежи учебника, следует выполнит^ самому после ознакомления с данным материалом по учебнику или пособию. Чтецие учебника или учебного пособия необходимо сопровождать составлением конспекта, в котором записываются основные теоремы, их доказательства и выполняется решение типовых задач и упражнений, имеющихся после соответствующих разделов в учебнике. Опыт показывает, что основные формулы полезно выписывать на отдельном листке, который не только поможет запомнить их, но и будет служить справочным материалом. Решение задач Решение задач можно начинать с разбора задач, решенных в учебнике и разобранных в пособиях, а затем переходить к самостоятельному решению задач, рекомендованных по этому разделу. Решение задач определенного типа должно продолжаться до приобретения прочных навыков в их решении. Очень полезно, если для решения всех задач отведена одна тетрадь. Это дает возможность впоследствии легко повторить пройденный материал. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно. В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней или каких-либо других выражений. Помните, что большое количество решенных задач позволит, с одной стороны, глубже понять изучаемый материал, с другой стороны, определит успех njhi решении прдобных задач на экзамене. Умение решать задачи приобретается длительными систематическими упражнениями. Примите за правило каждый день решать по нескольку задач на тот или иной раздел программы. Опыт решения задач необходим и для выполнения контрольных работ. Выполнение контрольных работ Выполнение контрольных работ учащимися подготовительных курсов и рецензирование их преподавателями преследует две цели: во-первых, осуществление курсами контроля за работой учащегося; во-вторых, оказание ему помощи в вопросах, которые ока-6 зались для него непонятными. По каждой контрольной работе учащимся заочных подготовительных курсов будет выслана методическая записка, в которой дано подробное решение всех задач этой контрольной работы и приведен анализ типичных ошибок, встречавшихся при ее выполнении. К выполнению контрольных работ по каждому разделу курса или по частям этого раздела учащийся приступает только после изучения материала, соответствующего данной части программы, ознакомившись о примерами решения задач подобного рода, приведенных в пособии. При выполнении контрольных работ требуется, чтобы решения были записаны в тетради со всеми вычислениями и краткими объяснениями. В алгебраических примерах нужно объяснять, что из чего получается, если это необходимо, проводить проверку решений, указывать возникающие ограничения. Если по характеру задачи требуется построение чертежа, то он должен быть обоснован, аккуратно/Выполнен, все обозначения должны быть четкими и соответствовать условию задачи* Кроме того, требуется, чтобы чертеж был крупным. При построении графиков функций следует использовать общие методы: перенос, сдвиг и т. д. Если в процессе решения задачи используется какая-нибудь теорема, то она должна быть названа. «Очевидным» считается то утверждение, которое входило в программу курса по математике и содержится в учебнике. Все геометрические утверждения должны быть строго доказаны. Не допускайте арифметических ошибок и строго контролируйте свои вычисления. Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил, не. засчитываются. § 2. ЛИТЕРАТУРА, РАБОЧИЙ ПЛАН, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ЗАОЧНЫХ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ МГУ Для подготовки к вступительным экзаменам по математике учащимся рекомендуется использовать следующую литературу, применительно к которой составлено это пособие. Основная литература 1. Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С. Алгебра и элементарные функции, чч. I и II. М., «Просвещение», 1971—1974. 2. Киселев А. Н. Геометрия, ч. II. М., «Просвещение», 1971; а также ч. I любого года издания. 3. Барыбин К. С. Геометрия. М., «Просвещение», 1972. Дополнительная литература Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. Изд-во МГУ, 1976. В дальнейшем все перечисленные книги обозначаются сокращенным образом. Например, под обозначением «Кочетковы, ч. I» следует понимать: Кочетков Е. С., Кочет'ков а Е. С. Алгебра и элементарные функции, ч. I; под обозначением «Пособие, § 15, 3(1)» нужно понимать: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ, часть 2-я, § 15, вариант № 3, задача 1. В каждой теме перечисляются в рекомендуемом порядке номера параграфов из учебников, который учащийся должен прочесть, и номера задач й вариантов, которые он должен решить. Раздел I. АЛГЕБРА Тема 1. Действительные числа Основные определения. Изображение действительных чисел точками на числовой оси. Запись с помощью неравенств множеств на числовой оси: отрезка, интервала, полуинтервала, полуоси. Абсолютная величина действительного числа и ее основные свойства. Геометрическая интерпретация абсолютной величины. Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестное в виде линейного выражения под знаком абсолютной величины. Учебник — Кочетковы, ч. I, § 35—48, упражнения № 289—293, 296—299, 305—307, 316—322, 347—353; § 7, 8, упражнения №60— 74, 75—78; § 18, 25, упражнения № 207—219. Пособие — § 4, 1 (1), 21(1), 3(1), 4 (1). Указание. Рассмотрим решение уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины. Решить уравнение: Решение. Определение абсолютной величины гласит: Общий объем требований по математике, - предъявляемых к поступающим в МГУ, определяется ежегодно издаваемой общей для всех высших учебных, заведений «Программой вступительных экзаменов для поступающих в высщие учебные заведения СССР». В предлагаемой учащимся курсов рабочей программе отмечены лишь наиболее трудоемкие и имеющие первостепенное значение для решения задач вопросы из этой программы. Поэтому определим точки, в которых хотя бы одно из выражений, стоящих под знаком модуля, равно нулю. Это будут числа 3 и —2. Точки —2 и 3 делят все числа на три области, в каждой из которых уравнение (1) можно записать без знака модуля. Рассмотрим возможные случаи. Г. Будем искать те решения уравнения (1), которые удовлетворяют системе |
