Пространство, время и относительность

DjVu

      Значительная часть книги посвящена геометрии. Здесь излагаются логические основы этого раздела математики, описывается неевклидова геометрия, геометрия четырехмерного пространства, затрагиваются и некоторые другие вопросы.
      Большое внимание уделено обсуждению точного понятия времени и связанных с ним парадоксов, а также понятию движения и пространственно-временной системы. В последней части книги описываются самые основные понятия механики, основанной на теории относительности Эйнштейна.
      Изложение подкупает своей простотой и четкостью. Эта книга, блестяще написанная крупным ученым, несомненно, доставит удовольствие всем любителям математики и физики.
      Редакция литературы по математическим наукам

      От редактора
      Автор этой небольшой книги, Рольф Неванлинна, — выдающийся математик, специалист по теории функций комплексного переменного. С его именем связана современная теория мероморфных функций, которая играет очень важную роль в математическом анализе. Р. Неванлинна является профессором университета в Хельсинки, президентом Финского математического союза; в 1959—1962 гг. он был президентом Международного математического союза.
      Книга, излагающая содержание общедоступных лекций, которые автор читал в университетах Хельсинки и Цюриха, посвящена теории относительности Эйнштейна.
      На русском языке имеется много хороших книг на эту тему (некоторые из них перечислены в списке литературы на стр. 223—228), часть из которых также принадлежит перу выдающихся ученых. Мы надеемся, что и эта книга займет среди них достойное место. Она написана совсем просто, для ее чтения достаточно сведений, излагаемых в курсе средней школы. От других книг по теории относительности она отличается тем, что главное внимание в ней уделяется общим идеям, прежде всего математическим, лежащим в основе теории относительности.
      В соответствии с этим в книге довольно бегло говорится об экспериментальных подтверждениях теории относительности, почти ничего не говорится об ее практических применениях, но общей концепции (геометрического) пространства посвящена чуть ли не половина книги, причем связанные с этим кругом проблем чисто математические вопросы дискутируются значительно подробнее, чем физические эксперименты, лежащие в
      основе теории Эйнштейна. Сам Неванлинна в конце книги говорит, что его интересовало не только (а может быть, даже не столько) создание теории относительности, но и общий ход развития точного естествознания. В частности, он особенно подчеркивает значение решающих поворотов в этом развитии, их связь и взаимодействие. В интересующем его круге вопросов Неванлинна отмечает семь таких поворотов: создание древнегреческими геометрами современной дедуктивной системы геометрии (Евклид); возникновение современных физических воззрений как результата обобщения известных фактов (Коперник, Кеплер, Галилей); создание дедуктивной математизированной системы построения точного естествознания — физики п астрономии (Ньютон); возникновение новых концепций пространства, положившее конец уверенности в логической единственности евклидовой геометрии (Лобачевский, Бойяи, Гаусс); создание теории «искривленных» пространств (Риман);возникновение идеи об едином пространственно-временном континууме, подчиненном системе преобразований Лоренца (Эйнштейн, Пуанкаре, Минковский; 1905); рождение идеи об «искривленном» пространственно-временном континууме, включающем явления гравитации как факторы геометрического порядка (Эйнштейн; 1916). При этом первым пяти из этих семи научных поворотов он уделяет никак не меньше места, чем последним двум, непосредственно связанным с теорией относительности.
      Большое внимание Р. Неванлинна уделяет общефилософским проблемам, связанным с концепциями времени и пространства, а также методическим вопросам, касающимся преподавания математики и физики. Соответствующие страницы книги, выражающие точку зрения видного ученого, представляют бесспорный интерес. Однако в противоположность страницам, на которых излагаются математические теории и физические факты, к этим страницам следует отнестись с известной долей критицизма *).
      *) О философских вопросах, связанных с теорией относительности, см., например, сборник [41] в списке литературы в конце книги.
      Основная цель, к которой стремится автор, не сообщить читателю новые факты, а заинтересовать его новым кругом идей, пробудить его пытливость и интерес. Этой цели Р. Неванлинна вполне достигает.
      К русскому изданию книги приложен составленный редактором список дополнительной литературы — он может оказаться полезным читателю, пожелавшему продолжить ознакомление с затронутым здесь кругом вопросов. Для удобства этот список литературы разбит на две части; можно считать, что раздел А этого списка содержит дополнительную литературу к главе I «Пространство», а раздел Б — литературу к остальным главам книги Неванлинны. Редактору принадлежат также некоторые подстрочные примечания.
      И. М. Яглом
     
      Предисловие автора
      На рубеже девятнадцатого и двадцатого столетий началась новая эпоха в истории физики. В 1900 г. Маке Планк (1858—1947) своей гипотезой о квантах заложил основу современной теории атома. Пять лет спустя Альберт Эйнштейн (1879—1955) опубликовал свои первые работы по теории относительности.
      Теория Эйнштейна до основания потрясла тогдашнюю картину мира. Она сразу привлекла к себе необычное внимание, возбудила большой интерес, но одновременно встретила и резкое сопротивление. В течение десятилетий новая теория оживленно дискутировалась среди физиков, математиков и философов. Основные принципы теории: относительность времени, постоянство скорости света, привилегированное положение этой скорости как наибольшей из всех возможных — отклоняются от прежних представлений, однако не содержат в себе ничего произвольного. Идеи новой теории органически связаны с классической физикой и неизбежно должны были вырасти на ее почве. В двадцатых годах текущего столетия теория относительности окончательно закрепила свое положение в науке.
      Дискуссия о теории относительности в начале столетия происходила не только в кругах специалистов. Оживленное участие в ней приняла также широкая публика. Идеи Эйнштейна являлись в какой-то мере сенсационными, и эта их черта усиливалась привлекающим названием («теория относительности»). Вместе с тем это название дало повод к недоразумениям. В самом деле, теорию Эйнштейна можно было понимать как своеобразную попытку подтвердить старую истину: все в этом мире относительно. Однако название «теория относительности» вполне обосновано. Понятие относительности действительно стоит на переднем плане теории Эйнштейна, одновременно дающей весьма точно очерченное и резко дифференцированное теоретическое построение физической картины мира.
      Более или менее полное овладение теорией относительности требует обширных физических и математических знаний. Ее точное построение возможно только с помощью методов высшей математики. Но именно поэтому попытка изложить принципы теории Эйнштейна также для широких кругов читателей является особенно привлекательной и важной задачей. Основные идеи теории относительности органически связаны с фундамен-тальньши вопросами, касающимися пространства, времени и движения и с давних времен возбуждавшими человеческую мысль. Правильное представление о теории относительности можно получить, только зная историю идей теории пространства и времени. При таком подходе выявляются обстоятельства, значение которых выходит далеко за пределы математических и физических теорий и знание которых весьма важно для понимания происхождения человеческих понятий и идей.
      Настоящая книга адресована в первую очередь не специалистам, а широким кругам читателей, интересующимся теорией относительности. Для понимания изложения требуются знания по математике и физике, не выходящие за пределы программ средней школы.
     
      ГЛАВА I
      Пространство
     
      § 1. Видимое, или воспринимаемое, пространство
      Геометрия занимается определенными неизменными, т. е. не зависящими от времени, формами и свойствами пространства. Некоторые из таких геометрических явлений мы наблюдаем в этой аудитории. Занимаемое ею помещение имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Последний ограничен шестью плоскостями: четырьмя стенами, полом и потолком. Эти плоскости пересекаются попарно вдоль двенадцати прямых. Определенные тройки этих прямых пересекаются в вершинах восьми углов аудитории. Мы привели наглядные примеры основных элементарно-геометрических объектов; точек, прямых и плоскостей.
      Далее мы замечаем, что между геометрическими объектами существуют определенные отношения. Например, для заданной точки и заданной прямой существуют две возможности: либо «точка лежит на прямой» (прямая проходит через точку), либо «точка лежит вне прямой» (прямая не проходит через точку). Для двух прямых, лежащих в одной плоскости, опять существует альтернатива: либо эти прямые «параллельны» (не имеют общей точки), либо они «пересекаются»; в последнем случае они имеют одну-единственную общую точку. Две пересекающиеся прямые наклонены одна к другой либо под «прямым» углом, либо под «непрямым» («косым») углом. Для двух отрезков (отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками) также существуют две возможности: либо эти отрезки «имеют одинаковую длину» (конгруэнтны), либо они
      «имеют разные длины» (неконгруэнтны); в последнем случае один из этих отрезков «длиннее», а другой «короче».
      Эти геометрические явления подчиняются определенным геометрическим законам. Примерами таких законов могут служить следующие:
      1. Через две точки проходит точно одна прямая.
      2. Пусть задана точка Р и прямая а. В плоскости, проходящей через Р и а, имеется точно одна прямая, проходящая через точку Р и при этом параллельная прямой а (аксиома параллельности).
      3. Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
      4. Построим на сторонах прямоугольного треугольника три квадрата, имеющие своими сторонами гипотенузу и катеты треугольника. Тогда площадь квадрата, построенного на гипотенузе, будет равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (теорема Пифагора).
      Из обучения в средней школе мы знаем достаточное число других аналогичных предложений, поэтому нет нужды продолжать здесь их перечисление.
      Многие из этих предложений наглядно очевидны. В правильности более сложных предложений мы убеждаемся путем простых измерений или экспериментов. В частности, такбй способ применим для проверки правильности теоремы Пифагора. Для этого начертим на куске миллиметровой бумаги прямоугольный треугольник и построим на его сторонах квадраты; подсчитав число квадратных миллиметров, содержащихся в каждом из этих квадратов, мы убедимся (с точностью, соответствующей выполненным измерениям), что квадрат, построенный на гипотенузе, действительно равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
      Таким способом мы можем исследовать те геометрические явления, которые доступны восприятиям наших чувств, в первую очередь — зрительным восприятиям; поэтому нашу пространственную окрестность мы будем называть «видимым пространством», или «воспринимаемым пространством». Мы поступаем при этом так, как это принято в эмпирическом, экспериментальном естествознании. Геометрия, как показывает ее название, пер-
      воначально была наукой об измерении земли, следовательно, она представляет собой такую же естественную науку, как физика, астрономия, химия, биология и т. д. Задачей каждой естественной науки на эмпирической ступени ее развития является собирание наблюдаемых фактов (из области, которой эта наука занимается), исследование отношений между обнаруженными фактами и обобщение выявленных закономерностей в законы, природы. В этом состоит и задача геометрии на ее элементарной, эмпирической ступени.
      Геометрия по своей природе отличается от других областей естествознания только относительной простотой и бедностью качественной стороны изучаемого ею мира явлений. С точки зрения рассматриваемого материала геометрия является наиболее примитивной из всех естественных наук. Поэтому эмпирическая геометрия вряд ли может вызвать к себе такой же интерес, как другие естественные науки (например, биология), в которых количество подлежащих исследованию соотношений значительно больше, а сами соотношения труднее поддаются эмпирическому обнаружению.
      Еще более сложные соотношения рассматриваются в гуманитарных науках (например, в истории). Эти науки занимаются явлениями, в которых на первом плане стоят человеческие поступки и их последствия. Здесь предмет исследования как с качественной, так и с количественной стороны настолько сложен и дифференцирован, что с трудом поддается даже только описательному обзору. Еще труднее отыскивать в таких областях общие, пригодные в любом случае правила (например, законы истории). Поэтому в таких науках при критическом (аналитическом и синтетическом) исследовании ограничиваются выявлением и подчеркиванием только таких типичных и важных особенностей, которые могут привести к более глубокому пониманию всего комплекса трудно понимаемых явлений.
      В свете сказанного понятно, что рациональное исследование таких сложных областей знания не может производиться столь совершенно, как в точных естественных науках. Однако этот, если так можно сказать, недостаток компенсируется большим и более непоеред-
      ственным интересом, возбуждаемым к себе более сложным миром явлений этих областей знания. Конечно, изучение таких сложных явлений не должно сводиться к беспорядочному собиранию наблюдений; напротив, оно должно производиться разборчиво, с позиций, позволяющих отделять существенное от несущественного и обращать внимание на действительно важные особенности. Такой же подход к исследованию необходим и в естественных науках, хотя их материал значительно более ограничен. Ниже мы проиллюстрируем это на примере геометрических исследований.
     
      § 2. В какой мере геометрия правильна?
      Принцип возможности опытной проверки
      Продолжим рассмотрение элементарной геометрии.
      На чем основано представление, что наши восприятия и измерения в видимом пространстве дают правильное знание геометрических явлений? Если мы попытаемся глубже вникнуть в этот вопрос, то сразу же встретимся с трудностями. Проблематичен даже вопрос о природе основных геометрических объектов. Вспомним о простом предложении: «через две точки проходит точно одна прямая». Для того чтобы сделать это предложение наглядным, рассмотрим в видимом пространстве какое-нибудь явление, передающее ту ситуацию, которая содержится в сделанном утверждении. Рассмотрим, например, прямую, ограничивающую с какой-либо стороны пол аудитории и соединяющую вершины двух ее углов. Или отметим на доске мелом две точки и соединим их чертой при помощи линейки. Конечно, при этом мы сознаем, что наши образы «точек» и «прямой» лишь весьма несовершенно передают ситуацию, содержащуюся в сформулированном выше геометрическом предложении. В самом деле, в геометрии точка представляет собой место, не имеющее никаких пространственных размеров, а прямая представляет собой «одномерную» линию, не имеющую толщины и обладающую, кроме того, примечательным свойством прямизны, т. е. свойством отсутствия у нее кривизны. Между тем эти свойства точки и прямой у упомянутых выше физических, воспринимаемых фигур, строго говоря, отсутствуют. Точка, отмеченная на доске мелом, как бы аккуратно мы ее ни поставили, всегда имеет некоторую толщину. Толщиной обладает и линия, проведенная мелом. Далее, какими средствами мы располагаем, чтобы проверить прямизну линии? Если мы ответим, что эта линия прочерчена при помощи хорошей линейки, то проблема будет перенесена на вопрос о прямизне линейки. Правда, в практике имеются различные способы, позволяющие проверить прямизну физических линий. Наиболее точные из них основаны на представлении, что свет распространяется прямолинейно, по крайней мере в безвоздушном пространстве. Но является ли прямолинейность световых лучей определением (следовательно, соглашением) или же она может быть сведена к каким-либо другим признакам прямизны? Если мы будем продолжать эти рассуждения, то попадем в заколдованный круг.
      Как бы мы ни пытались разрешить эти трудности, мы всегда обнаружим, в соответствии с предыдущими рассуждениями, следующее:
      Наглядное, эмпирическое подтверждение геометрического предложения (вспомним, например, об упомянутых выше предложениях 1—4) осуществляется посредством двух шагов:
      Пер вый шаг. Объекты и отношения, содержащиеся в предложении, сначала сопоставляются с наглядными понятиями, что делает ситуацию, предусмотренную предложением, доступной чувственному восприятию наблюдателя.
      Второй шаг. Только после того как для ситуации, подлежащей исследованию, найдено конкретное представление, можно либо путем прямого «рассматривания», либо посредством экспериментов или измерений установить, является ли утверждение, содержащееся в предложении, верным или неверным.
      Значение этого принципа возможности опытной проверки для эмпирических исследований особенно подчеркнул физиолог и физик Эрнст Мах (1838—1916), занимавшийся также вопросами теории познания. С некоторыми оговорками принцип возможности опытной про-
      верки является важным инструментом познания; он лежит в основе одного из философских направлений — так называемого позитивизма.
      Однако из сказанного выше следует, что, по крайней мере в геометрии, а с соответствующими оговорками — в точном естествознании вообще, применение принципа возможности опытной проверки не всегда приводит к однозначному результату. В самом деле, вследствие отмеченной выше грубости физического осуществления геометрических объектов наглядное, конкретное представление любого геометрического предложения всегда будет несколько неопределенным и расплывчатым, что характерно для «эмпирической действительности»; поэтому проверка утверждения, содержащегося в предложении (второй шаг), также становится ненадежной, оставаясь, в лучшем случае, в каких-то пределах точности.
      Правда, так обстоит дело не со всеми утверждениями, касающимися воспринимаемой нами действительности. Например, если я скажу, что в этой комнате собрались четыре человека или что на этой доске отмечены мелом четыре точки, то все присутствующие, безусловно, будут единодушны в том, правильно или неправильно сделанное утверждение (в отношении точек — при условии, что они расположены достаточно далеко одна от другой).
      Неопределенность и неуверенность начинаются только при проверке более тонких соотношений. Пусть, например, требуется экспериментально проверить, правильна ли теорема Евклида: «Сумма углов треугольника равна в точности 180°». В таком случае прежде всего, согласно принципу возможности опытной проверки, следует заменить треугольник подходящей физической фигурой (первый шаг). После этого можно начать производить измерения (второй шаг), используя для этого транспортир или какой-нибудь более точный прибор. Результат будет положительный: сумма углов окажется равной 180° по крайней мере в пределах «ошибки наблюдения». Поэтому если кто-либо утверждал бы, что сумма углов треугольника равна 179°, то такое утверждение следовало бы считать эмпирически опровергнутым. Тем не менее поставленная цель — доказать правильность утверждения о том, что сумма углов треугольника равна в точности 180°, остается недостигнутой. В самом деле, вследствие принципиальной неопределенности конкретных предметов и восприятий органов чувств, результаты измерения не могут быть совершенно однозначны; поэтому если уточнить утверждение, отрицающее теорему Евклида, сформулировав его следующим образом: «сумма углов треугольника меньше 180°, а именно в рассматриваемом случае меньше на одну тысячную угловой секунды», то отклонение от теоремы Евклида будет ниже пределов точности наблюдений и измерений и его нельзя будет обнаружить. Таким образом, вопрос о том, является ли теорема Евклида вполне точной, остается нерешенным.
      С точки зрения практика такой исчезающе малой неопределенностью смело можно пренебречь. В самом деле, в большей части практических задач совершенно безразлично, равна ли сумма углов треугольника в точности 180° или же она отличается от этого значения на одну тысячную долю угловой секунды. Инженер-строитель или топограф могут быть вполне удовлетворены тем, что рассматриваемая теорема Евклида верна с точностью, бесспорно достаточной для любых занимающих их задач. У них нет никаких оснований останавливаться на тонкостях рассмотренного выше рода.
      Поэтому неудивительно, что некоторые практики считают столь критический подход к казалось бы несущественным особенностям теоретической казуистикой, совершенно неинтересной для реалистически мыслящих людей. Однако такая точка зрения ставит границы для мышления, границы, которые на долгое время могут стать серьезным препятствием для развития науки и притом также в таких направлениях, которые рано или поздно могут оказать решающее влияние на практику, в том числе и на технику. Критический анализ рассмотренного выше характера всегда сообщал научным исследованиям импульсы, приводившие к расширению слишком узких представлений и открывавшие перед наукой, а в конце концов даже и перед практикой, неожиданные новые пути. Возникновение теории относительности является замечательным примером такого развития.
      Резюмируя сказанное выше, подчеркнем следующее.
      Эмпирическая проверка правильности утверждений какой-либо теории (например, геометрической) может производиться только в соответствии с принципом возможности опытной проверки (первый и второй шаги, стр. 15). Однако результат такого способа проверки часто получается однозначным лишь в некоторых пределах.
      Если утверждение не согласуется с результатами измерений сильнее, чем это возможно вследствие ошибок наблюдений и измерений, то его следует считать эмпирически опровергнутым.
      Наоборот, если утверждение отличается от результатов наблюдения столь мало, что отклонения лежат ниже возможной ошибки наблюдения, то тогда утверждение возможно правильно. Однако его безусловная правильность остается недоказанной.
      Таким образом, принцип возможности опытной проверки может применяться скорее для опровержения какого-либо утверждения из воспринимаемого мира явлений, чем для его подтверждения. Утверждение, что сумма углов треугольника равна 179°, опровергается результатами измерений. В то же время эксперимент не позволяет установить, правильно ли утверждение Евклида о том, что сумма углов треугольника в точности равна 180°. Следовательно, вопрос об эмпирической правильности евклидовой геометрии остается нерешенным.
      В тех случаях, когда необходимо добиваться уверенного знания, применение принципа возможности опытной проверки ограничивается также некоторыми другими обстоятельствами, нами пока не упоминавшимися. О них будет сказано ниже, в § 6 настоящей главы.
     
      § 3. Представляемое пространство
      Мы видели, что геометрическим объектам и отношениям соответствуют в видимом пространстве конкретные образы (например, фигуры на доске), несовершенно передающие рассматриваемые геометрические понятия. В самом деле, когда мы думаем о «точке», мы имеем в виду не материальную частицу, а место в пространстве, не имеющее никакого протяжения. Аналогичным образом, думая о «прямой», мы имеем в виду не отрезок, проведенный при помощи линейки, а настоящую «прямую», т. е. в точности одномерную и нигде не искривленную линию. Вообще геометрия занимается геометрическими явлениями, имеющими место не в видимом пространстве, а в бесконечном мировом пространстве, которое в нашем представлении мы наделяем идеальными геометрическими объектами: точками, обладающими в точности качеством «точечности»; прямыми, имеющими только длину, но не толщину, и притом обладающими совершенной «прямизной»; плоскостями, т. е. двумерными нигде не искривленными поверхностями и т. д.
      Это идеальное пространство будем называть представляемым пространством. Понятие о таком пространстве возникает в результате примечательного во многих отношениях процесса абстракции. Проследим за этим процессом несколько подробнее.
      Пусть точка видимого пространства изображена в виде материальной частицы. Эта частица не является в точности точкой, но если мы начнем ее мысленно сжимать, то она все лучше и лучше будет соответствовать тому, что мы понимаем под геометрической точкой: месту в пространстве, не имеющему никакого протяжения.
      Более точное представление о геометрической точке может дать следующий пример. Начертим при помощи линейки отрезок а0 длиною 1 дм. Разделим этот отрезок на десять равных частей и остановим внимание на одной из них. Пусть это будет отрезок щ. Его длина равна 1 см. Этот отрезок опять разделим на десять равных частей. Теперь мы получим отрезок а2 длиною 1 зш = 0,01 дм. Если мы попытаемся продолжать такой процесс деления, то должны будем скоро прекратить его вследствие «неопределенности» видимого пространства. Однако в нашем представляемом пространстве не имеется никакого препятствия для продолжения этого процесса: здесь мы можем повторить его неограниченное число раз. Каждый из следующих после отрезков будет находиться внутри предыдущего. Длина этих отрезков будет становиться все меньше и меньше (например, после сотого деления мы получим исчезающе малый отрезок длиною 10~100 дм это число изображается десятичной дробью с 99 нулями после запятой). Посредством повторения такого процесса деления мы как бы улавливаем «точку», именно ту точку («место в пространстве, не имеющее протяжения»), которая является общей для всех отрезков..
      Далее, очевидно, что прямая содержит бесконечно большое число различных точек. Математически мы выражаем это словами: прямая представляет собой континуум, она состоит из бесконечно большого числа непрерывно распределенных точек, заполняющих ее без пропусков.
      Подобно тому как точка представляемого пространства является идеальным предельным случаем конкретной точки, т. е. получается из последней путем абстрагирования от ее пространственного протяжения, так и идеальная прямая получается из конкретного отрезка после отвлечения от его «несовершенств». Тогда в качестве существенных признаков прямой остается только ее одномерность и идеальная прямизна.
      Однако процесс перехода к идеальным образам состоит не только в абстрагировании, т. е. в исключении из рассмотрения несущественных свойств воспринимаемых объектов. Он сопровождается другой, совершенно противоположной тенденцией: добавлением к воспринимаемым объектам некоторых новых свойств. Мы уже видели, что для прямой такое добавление производится в направлении «микрокосмоса»: отрезок в результате многократного повторного деления понимается как континуум, состоящий из бесконечно большого числа точек. Однако конкретный отрезок прямой, например, линия, ограничивающая потолок аудитории, требует дополнения также в направлении «макрокосмоса». В самом деле, отрезок может быть продолжен за пределы аудитории, правда, практически не очень далеко. Но зато в нашем представлении мы можем продолжить его неограниченно в обе стороны, сохраняя при этом его идеальную прямизну.
      Таким образом, переход от видимого пространства к представляемому происходит только частично путем процесса абстрагирования, т. е. исключения (с точки зрения геометрии) не имеющих значения деталей и качеств. В существенном этот переход обусловливается также конструктивным, можно сказать — продуктивным моментом.
      При описании происхождения понятий последнему обстоятельству в общем случае не уделяется достаточного внимания. Обычно односторонне подчеркивается абстрагирование, а о дополняющей тенденции, существенной для процесса идеализации, почти ничего не говорится. Между тем именно последний момент придает понятиям и идеям их подлинную «производительную силу» и двигает мышление вперед. Такое положение имеет место не только в геометрии: аналогичным образом происходит возникновение понятий и в других областях, по крайней мере в тех случаях, когда рассматриваются не совсем тривиальные соотношения.
      Правда, в простых случаях образование понятий происходит путем почти одного абстрагирования или исключения. Например, общее понятие «стул» возникает из множества отдельных стульев путем отвлечения от тех свойств отдельных стульев, которые несущественны для основной функции стула. Такими свойствами являются, например, цвет стула, его стиль и т. п. Конструктивный момент образования понятия сводится здесь к минимуму — к отождествлению отдельных индивидуумов множества стульев с самостоятельным общим понятием «стула».
      Эта конструктивная и идеализирующая тенденция особенно четко развита в теоретических науках, прежде всего — в математике, где она сознательно возведена в ранг руководящего принципа. Ее можно проследить также «вниз», вплоть до той ступени человеческого знания, когда возникли элементарные, «донаучные» повседневные понятия и представления. Особенно хорошим примером может служить рассмотренный выше процесс возникновения понятия представляемого пространства из явлений видимого пространства. Здесь этот процесс представляет собой бессознательное и притом скорее психологическое, чем логическое явление. Каждый ребенок очень скоро приспосабливается к понятию представляемого пространства автоматически, как бы по принуждению природы и без какого бы то ни было руководства со стороны. Когда он приходит в школу, геометрические объекты уже знакомы ему и как конкретные предметы, и как мысленно представляемые фигуры. Поэтому если в школе слишком долго и подробно занимаются описанием этих наглядных вещей, то это следует считать большой дидактической ошибкой. Соответствующие понятия представляются школьникам сами собой разумеющимися, и нет ничего скучнее и утомительнее и для детей, и для взрослых, чем выслушивание подробных и педантичных разъяснений, касающихся вещей, которые слушателям заранее известны и понятны. При преподавании геометрии на первый план должны выдвигаться с самого начала совсем другие моменты. Ниже мы вернемся к этому вопросу.
     
      Критика критики
      Читатель, критически следивший за нашим изложением, возможно, не совсем согласится с разделением «видимого пространства» и «представляемого пространства». Без сомнения, такое резкое противопоставление схематично. Особенно часто задается вопрос: не обусловлено ли и не подчинено ли понятие видимого пространства уже в какой-то мере сложившемуся понятию представляемого пространства? В известной степени такой вопрос правилен.
      Однако здесь мы не можем глубже вникать в этот вопрос. При всяком вводном изложении всегда необходимо идти несколько схематическим путем, так как иначе за частыми оговорками не будут видны главные особенности. При исследовании проблем, связанных с пространством, вполне обосновано различать видимое пространство и представляемое пространство. Особенно четко это показал Р. Карнап1). Несмотря на все возражения, противопоставление обоих пространств дает ключ к пониманию и разъяснению многих проблем.
     
      § 4. Возможность опытной проверки высказываний о представляемом пространстве
      Согласно сказанному выше, все высказывания, что-либо утверждающие о «явлениях природы», следовательно, и геометрические утверждения, подлежат контролю принципом возможности опытной проверки. Но как быть с выводами, к которым нас приводят наши геометрические представления? Наше естественное восприятие пространства соответствует утверждениям Евклида, а в основе этих утверждений лежат навязанные нам природой геометрические представления. Не является ли это положение достаточной гарантией того, что идеальное пространство — евклидово н что система Евклида содержит единственно правильную теорию этого пространства? Если кто-либо, задумывающийся над этими вопросами, полагает, что все переживаемое им в его представлении, имеет для него достаточную доказательную силу, то это его частное дело. Однако он никак не может рассчитывать на то, что его субъективное познание будет признано объективным.
      Необходимо отметить, что слова «субъективный» и «объективный» часто употребляются несколько легкомысленно, без вполне ясного отчета о том, что следует понимать под этими словами. Вообще противопоставление субъективного и объективного довольно проблематично. Я не буду здесь больше останавливаться на этом общем вопросе, но все же поясню, что я имею в виду, говоря о противопоставлении субъективного и объективного в рассматриваемой конкретной связи.