Самуэль Карлин
Основы теории случайных процессов
*** 1971 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Логическая зависимость глав 9 Глава 1. Элементы теории случайныхпроцессов 11 § 1. Сводка основных терминов и свойств случайных величин и функций распределения 11 § 2. Два простых примера случайных процессов 21 § 3. Классификация общих случайных процессов 27 Задачи 31 Замечания 35 Литература 36 Глава 2. Марковскиецепи 37 § 1. Определения 37 § 2. Примеры марковских цепей 38 § 3. Матрицы переходных вероятностей марковской цепи 50 § 4. Классификация состояний марковской цепи 52 § 5. Возвратность 55 § 6. Примеры возвратных марковских цепей 60 § 7. Еще о возвратности 65 Задачи 66 Некоторые элементарные задачи 71 Замечания 72 Литература 72 Глава 3. Основные предельные теоремы для марковских цепей и их приложения 73 § 1. Дискретное уравнение восстановления 73 § 2. Доказательство теоремы 80 § 3. Вероятности поглощения 82 § 4. Критерии возвратности 88 § 5. Пример из теории очередей 91 § 6. Еще один пример из теории очередей 97 § 7. Случайное блуждание 102 Задачи 104 Некоторые элементарные задачи 109 Замечания 109 Литература 109 Глава 4. Алгебраические методы исследованиямарковских цепей 110 § 1. Предварительные сведения 110 § 2. Связь между собственными значениями иклассами возвратных состойний 112 § 3. Периодические классы 116 § 4. Специальные вычислительные методы для марковских цепей 120 § 5. Примеры 125 § 6. Приложения к бросанияммонеты 130 Задачи 135 Некоторые элементарные задачи 142 Замечания 143 Литература 143 Глава 5. Теоремы об отношениях переходных вероятностей и их приложения 144 § 1. Вероятности перехода с запрещением 144 § 2. Теоремы об отношениях 146 § 3. Существование обобщенных стационарных распределений 151 § 4. Интерпретация обобщенных стационарных распределений 156 § 5. Регулярные, суперрегулярные и субрегулярные последовательности марковских цепей 159 Задачи 166 Замечания 169 Литература 169 Глава 6. Последовательность сумм независимых случайных величин как марковская цепь 170 § 1. Свойства возвратности сумм независимых случайных величин 170 § 2. Локальные предельные теоремы 174 § 3. Правые регулярные последовательности марковских цепей 182 Задачи 192 Замечания 196 Литература 197 Глава 7. Классические примеры цепейМаркова с непрерывным временем 198 § 1. Общие процессы чистого рождения (размножения) и пуассоновские процессы 198 § 2. Дополнительные сведения о пуассоновских процессах 204 § 3. Модель счетчика 208 § 4. Процессы рождения и гибели 212 § 5. Дифференциальные уравнения для процессов рождения и гибели 216 § 6. Примеры процессов рождения и гибели 218 § 7. Процессы рождения и гибели с поглощающими состояниями .. 225 § 8. Цепи Маркова с конечным числом состояний и непрерывным временем 231 Задачи 233 Некоторые элементарные задачи 241 Замечания 241 Литература 242 Глава 8. Цепи Маркова с непрерывнымвременем 243 § 1. Свойства дифференцируемости переходных вероятностей 243 § 2. Консервативные процессы. Прямые и обратные дифференциальные уравнения 248 § 3. Построение цепи Маркова с непрерывным временем с помощью ее инфинитезимальных параметров 250 § 4. Строго марковское свойство 256 Задачи 259 Замечания 261 Литература 261 Глава 9. Порядковые статистики, пуассоновские процессы и их приложения 262 § 1. Порядковые статистики и их связь с пуассоновскими процессами 262 § 2. Задача о баллотировке 270 § 3. Эмпирические функции распределения и порядковые статистики 275 § 4. Некоторые предельные распределения для эмпирических функций распределения 282 Задачи 287 Замечания 296 Литература 296 Глава 10. Броуновское движение 297 § 1. Предварительные сведения 297 § 2. Совместные вероятности для броуновского движения 299 § 3. Непрерывность траекторий и их максимальные значения 302 Задачи 307 Замечания 311 Литература 311 Глава 11. Ветвящиеся процессы 312 § 1.Ветвящиеся процессы с дискретным временем 312 § 2.Соотношения для производящей функции, описывающейветвящийся процесс 313 § 3.Вероятности вырождения 316 § 4.Примеры 320 § 5.Ветвящиеся процессы с двумя типами частиц 325 § 6.Ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц 332 § 7.Ветвящиеся процессы с непрерывным временем 333 § 8.Вероятности вырождения для ветвящихся процессовснепрерывным временем 337 § 9. Предельные теоремы для ветвящихся процессов с непрерывным временем 340 § 10. Ветвящийся процесс с непрерывным временем и двумя типами частиц 345 § 11. Ветвящиеся процессы, зависящие от возраста 352 Задачи 357 Замечания 362 Литература 362 Глава 12. Составные случайные процессы 363 § 1. Многомерные однородные пуассоновские процессы 364 § 2. Применение многомерных пуассоновских процессов в астрономии 370 § 3. Иммиграция и рост популяций 372 § 4. Вероятностные модели мутации и роста 375 § 5. Экспоненциальный рост одномерной популяции 380 § 6. Вероятностная модель роста популяции в пространстве и времени 383 § 7. Детерминированный рост популяции с распределением по возрастам 387 § 8. Дискретная возрастная модель 394 Задачи 395 Замечания 400 Литература 400 Глава 13. Детерминированные и случайные генетические и экологические процессы 401 § 1. Генетические модели. Описание генетического механизма 401 § 2. Инбридинг § 3. Полиплоиды 417 § 4. Марковские процессы, порождаемые прямым произведением ветвящихся процессов 420 § 5. Модели роста популяций с несколькими типами индивидуумов 426 § 6. Собственные значения цепей Маркова, порожденных прямым произведением ветвящихся процессов 428 § 7. Собственные значения для модели мутации с несколькими типами индивидуумов 437 § 8. Вероятностный смысл собственных значений 446 Задачи 455 Литература Глава 14. Процессы массового обслуживания 460 § 1. Общее описание 460 § 2. Простейшие процессы обслуживания (М/М/1). 461 § 3. Некоторые общие модели обслуживания одним прибором 463 § 4. Метод вложенных цепей Маркова применительно к модели обслуживания (М/G/1) 469 § 5. Экспоненциально распределенное время обслуживания (G/M/1) 475 § 6. Гамма-распределение интервалов между поступлениями и обобщения (Eh/M/l) 479 § 7. Экспоненциальное обслуживание s приборов (GI/M/s) 483 § 8. Виртуальное время ожидания и период занятости 487 Задачи 493 Замечания 499 Литература 500 Приложение 501 § 1. Спектральная теорема 501 § 2. Теория Фробениуса положительных матриц 507 Различные задачи 518 Предметный указатель 531 Классическим разделом теории случайных процессов является теория стационарных (в широком смысле) процессов, которая дает основу решения многих прикладных задач. Задачи современной науки и техники выдвинули на первый план проблемы, связанные с исследованием случайных процессов, порождаемых последовательностями независимых случайных величин. Это цепи Маркова, марковские процессы со счетным множеством состояний, процессы восстановления, полумарковские процессы. Их роль объясняется в значительной степени тем, что реальные процессы, изучаемые с помощью вероятностных методов, по самой своей природе связаны с чередованием событий случайной продолжительности (например, процесс функционирования резервированной системы с заменой отказавших элементов). Интересно отметить, что и те физические процессы, которые ранее изучались в терминах математического ожидания и корреляционной функции, например флук-туационные процессы в радиотехнических устройствах, теперь в соответствии с новыми задачами рассматриваются с точки зрения случайных последовательностей, отражающих определенные изменения состояний процесса. Из такого рода задач возникает теория потоков однородных событий, порождаемых случайными процессами.
Предметный указатель Абеля лемма 57. 145, 146. 149, 151. 317 Аллели 401 Байеса формула И, 156 Бернулли испытания (биномиальные испытания) 23, 48, 49, 63 Бета-распределение 19 Биномиальный выбор 422, 428 Биортогональность 504 Бореля — Кантелли лемма 21 Бросание монеты 130, 180, 279, 282 Броуновское движение 22, 42, 159, 162, 297 Вероятности перехода с запрещением 144 стационарные 31, 37, 50 — поглощения 82 Вероятностные модели мутации и роста 375 Ветвящиеся процессы 46, 312 с двумя типами частиц 325 непрерывным временем 333, 344 несколькими типами частиц 332 Временной параметр 27 Время марковское 205 — ожидания 467 — — виртуальное 464, 487 — первого достижения 257 — пребывания (длительность пребывания) 204, 213 Возвратный класс (состояние) 57, 59, 60, 66, 76 непериодический 76, 82, 84 — — нулевой 77, 92, 97, 102 -положительный 77, 92, 97, 102, 152 Выборочная функция (реализация) 21 Гамета 402 Гамма-распределение 19 времени обслуживания 480 интервалов между поступлениями 479 Гаплоиды 401 Ген 401 — мутантный 313, 321 Генотипы 401 — гетерозиготные 402 — гомозиготные 402 Грина функция 171 Диагонализация 183 Диплоиды 401 Дисперсия 12 Длина очереди 461 Дробно-линейное преобразование 322 Задача о баллотировке 270 Закон больших чисел (слабый) 20, 173 ----------усиленный 20, 174, 466 — устойчивый 181 — Харди — Вейнберга 404 Занятости период 487, 489 Зигота 321, 402 Идентичность по происхождению 414 Инбридинг 410 Инбридинга коэффициент 414 Инфинитезимальная матрица 213, 232, 250. 253, 480 — — консервативная 254 Инфинитезимальные интенсивности рождения и гибели 222 — параметры 215, 255, 333, 345, 346 Ковариационно стационарный 31 Колмогорова дифференциальные уравнения обратные 216, 248, 336 ---------прямые 217, 249, 336 Критерий сходимости Леви 16, 190 Кроссинговер 417 Лапласа преобразование 17 Мальтусовская интенсивность 392 Маргинальная (частная) функция распределения 13 Марковская цепь 37, 38 " в генетике 47 — — вложенная 464, 469, 480, 483 — — консервативная 248, 259 — — непериодическая 54 неприводимая 52, 88, 89, 152, 170 пространственно однородная 39 Марковский момент 256, 257 Мартингал 29 Медиана 12 Миграция 406 Модели обслуживания одним прибором 463 Модель мутации с несколькими типами индивидуумов 437 — счетчика 208 — телефонного узла 220 Мутационное давление 48, 221 Мутация 405 Нагрузка системы 471 Невозвратный класс (состояние) 57, 97, 102 Нейтронная цепная реакция 312 Непрерывность траекторий 302 Образование очереди 44, 219 Обслуживание s приборов 483 Обслуживания дисциплина 460 — порядок обратный 493 *— — прямой 460, 467 Ортогональные полиномы 123, 125 Отбор 49 — гаметический 406 — зиготный 406 Отношения при расщеплении 404 Очередь с абсолютными приоритетами 498 Перекрест 418 Периодические классы 116 Периодичность марковской цепи 53 Плотности функция 263 Полиморфизм 407 Полиплоиды 401 Положительные матрицы 111 Полуаддитивности неравенство 244 Порядковые статистики 207, 262, 373 Последовательности регулярные 159, 182 — субрегуляриые 159 — суперрегулярные 159 Потенциала теория 171 Поток восстановления 461 — входящий 460 Поток входящий произвольный 480 пуассоновский 469 — простейший 461 Представление Рисса 162 — спектральное 110, 124, 504 Принцип инвариантности для случайных процессов 299 — отражения 302, 303 Производящая функция 16 Пространственная однородность 171 Пространство состояний 27 Процесс винеровский 23 восстановления 260 общий 260 — диффузионный 303 — логистический 224 — марковский 30 — минимальный 215, 254 — обратный 156 — пуассоновский 23, 262 неоднородный 376, 378 однородный 26 -------многомерный 364 -------пространственный 26, 364 — рождения и гибели 212, 247 — — — — с линейным ростом 218, 228, 230. 334 — с независимыми приращениями 29, 265 — стационарный 30 — чистого рождения 200, 212 — Юла 200, 203, 236, 240, 374 Прямое произведение ветвящихся процессов 422 Разорение игрока 41, 86, 87 Распределение биномиальное 20, 208 отрицательное 20 — времени обслуживания 461 — геометрическое 20 — конечномерное 15 — нормальное 19 многомерное 18 — Паскаля 20 — по возрастам 387 — полиномиальное 18 отрицательное 35 — пуассоновское 20 — равномерное 19 — стационарное 77, 218 обобщенное 151, 156 — условное 13 — экспоненциальное 19, 202 — эрланговское 461, 499 Расщепление хроматндное 418 — хромосомное 418 Рост популяции 372 — — детерминированный 387 Самооплодотворение 411 — вероятностная модель 427 Серии успехов 46, 63 Система с бесконечным числом обслуживающих приборов 220, 494 ограничениями 494 . одним обслуживающим прибором 220 Скорость приближения к гомозиготному состоянию 447 Случайное слияние гамег 405, 418 Случайные блуждания 120, 123, 130, 214 вложенные 226, 228 одномерные 40, 60 симметричные 42, 43, 61, 298 — — с отражающим экраном 125 -----------поглощающим экраном 127 — величины невырожденные 171 независимые 13, 16 перестановочные 271, 273, 489 периодические 175 Совместные функции распределения 12 Сообщающиеся состояния 52, 54 Состояние мгновенное 252 — устойчивое 252, 259 Спаривание ассортативное 410 — неслучайное 410 — сибсов 411 — случайное 404 Спектр непрерывный 124 Спектральный радиус 111 Среднее время возвращения 77 — значение 12 Статистика Колмогорова — Смирнова 285 Строго марковское свойство 256 Супергармонические функции 162 Теорема восстановления 488 обобщенная 186 — Руше 482 — спектральная 501 Теоремы об отношениях 146, 155 Упорядоченные наблюдения из равномерного распределения 209 Уравнение восстановления 73, 74, 80, 390 — диффузии 298 — Колмогорова — Чэпмена 213, 231, 298, 335, 346 Условная вероятность 13 — плотность 13 Условно независимые множества 266 Условное математическое ожидание 14 Формула полной вероятности 11, 29, 255, 353, 492 Фробениуса теория положительных матриц 507 Характеристические функции 15 Центральная предельная теорема 21, 23, 181, 299, 383 Центромер 417 Электронные умножители 312 Эмпирические функции распределения 270,275 Эргодическая теорема 74 Эренфестов модель 43, 238 |
