Владимир Григорьевич Болтянский
Израиль Цудикович Гохберг
Теоремы и задачи
комбинаторной геометрии
*** 1965 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ФOPMУЛЫ ПPOПУЩEHЫ, BOЗМOЖHЫ OШИБKИ,
CBEPЯЙTE C OPИГИHAЛOM ПРЕДИСЛОВИЕ В теории выпуклых фигур есть много изящных результатов, вполне доступных пониманию школьников и в то же время представляющих интерес для специалнстов-математиков. Некоторые из таких результатов мы и хотим предложить вниманию читателя. Мы расскажем о комбинаторных задачах теории выпуклых фигур, связанных главным образом с разбиением фигур на «меньшие» части. Нам кажется, что основная часть книги будет вполне доступна учащимся старших классов, интересующимся математикой. Материал, который покажется сложным, можно пропустить. Наиболее простыми являются §§ 1—3, 7—10, 12—14, относящиеся к плоским фигурам. Остальные параграфы относятся к пространственным (и даже н-мерным) фигурам. Для требовательного и подготовленного читателя в конце книги сделано несколько примечаний и указан список журнальных статей и книг. Ссылки на примечания даны в круглых скобках ( ), ссылки на литературу — в квадратных скобках. В некоторых местах (особенно в примечаниях) изложение ведется на уровне научных статей. Мы не считаем включение такого материала в популярную книгу недопустимым: как нам кажется, популяризация научных знаний возможна не только среди начинающих, но и среди специалистов. Изложение подводит читателя к современному состоянию рассматриваемых вопросов. В конце книги (§ 19) сформулированы нерешенные проблемы. Некоторые из них настолько наглядны и так просто формулируются, что размышление над их решением доступно даже способным школьникам. В заключение — несколько слов о самой «комбинаторной геометрии». Эта новая ветвь геометрии еще не сформировалась окончательно, и потому рано говорить о предмете комбинаторной геометрии. Кроме задач, разбираемых в этой книге, к комбинаторной геометрии, несомненно, относится круг вопросов, связанных с теоремой Xелли (см. главу 2 книги [37]), задачи о расположениях фигур (см. превосходную книгу Фейеша Тота [23]) и ряд других вопросов. Заинтересовавшемуся читателю мы очень рекомендуем также книгу Хадвигера и Дебруннера [29], посвященную задачам комбинаторной геометрии плоскости, и интереснейший обзор Грюнбаума [10], тесно соприкасающийся с содержанием предлагаемой вниманию читателя книги. Авторы пользуются случаем выразить искреннюю признательность И. М. Яглому, энтузиазм и дружеское участие которого немало содействовали улучшению текста книги. В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг ГЛАВА 1 РАЗБИЕНИЕ ФИГУР НА ЧАСТИ МЕНЬШЕГО ДИАМЕТРА § 1. Диаметр фигуры Предположим, что мы рассматриваем круг диаметра d. Тогда расстояние между любыми двумя точками М и N этого круга (рис. 1) не превосходит d. В то же время можно найти две точки А и В нашего круга, удаленные друг от друга в точности на расстояние Й. Рассмотрим теперь вместо круга какую-либо другую фигуру. Что можно назвать «диаметром» этой фигуры? Сказанное выше наводит на мысль назвать диаметром фигуры наибольшее из расстояний между ее точками. Иначе говоря, диаметром фигуры F (рис. 2) мы будем называть такое расстояние й, что, во-первых, расстояние между любыми двумя точками М и N фигуры F не превосходит d и, во-вторых, можно отыскать в фигуре F Рис. 1. Рис 2. хотя бы одну пару точек А, В, расстояние между которыми в точности равно d (). Пусть, например, фигура F представляет собой полукруг (рис. 3) Обозначим через А и В концы ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно, что диаметром фи- б) Рис. 3. Ргс. 4. гуры F является длина отрезка АВ. Вообще, если фигура F представляет собой сегмент круга, ограниченный дугой и хордой а, то в случае, когда дуга / не превосходит полуокружности (рис. 4, а), диаметр фигуры F равен а (т. е. длине хорды), в случае же, когда дуга I больше Рис. 5. Рис. 6. полуокружности (рис. 4, б) диаметр фигуры F совпадает с диаметром всего круга. Легко понять, что если F представляет собой многоугольник (рис. 5), то его диаметром является наибольшее из расстояний между вершинами. В частности, диаметр любого треугольника (рис. 6) равен его наибольшей стороне. Заметим, что если диаметр фигуры F равен d, то в фигуре F может существовать и много пар точек, расстояние между которыми равно d. Например, в случае эллипса (рис. 7) такая пара точек только одна, в случае квадрата (рис. 8) их две, в случае правильного треугольника (рис. 9) — три, наконец, в случае круга таких пар точек бесконечно много. § 2. Постановка задачи Нетрудно понять, что если круг диаметра d разрезать некоторой линией MN на две части, то хотя бы одна из этих частей будет иметь тот же диаметр d. В самом деле, если М — точка, диаметрально противоположная точке М, то она должна принадлежать какой-нибудь из частей, и эта часть (содержащая точки М, М) будет иметь диаметр d (рис. 10) ("). Вместе с тем ясно, что круг можно разрезать на три части, каждая из а) б) которых имеет диаметр, Рис, ю. меньший d (рис. II). j Итак, круг диаметра d нельзя разбить на две части, диаметр каждой из которых будет меньше d, но можно разбить на три таких части. Тем же свойством обладает •равносторонний треугольник со стороной d (если он разбит на две части, то какая-нибудь из частей должна содержать две вершины треугольника, и диаметр этой части будет равен d). Но имеются фигуры, которые можно разбить на две части меньшего диаметра (рис. 12). Мы можем рассматривать для любой фигуры F задачу о разбиении ее на части меньшего диаметра (3). Наименьшее число частей, которые для этого потребуются, обозначим через a (F) Таким образом, если Рис. 11. F — круг или равносторонний треугольник, тоа(Т)=3, а для эллипса или параллелограмма a (F) = 2. Задачу о разбиении фигуры на части меньшего диаметра можно рассматривать не только для плоских фигур, но и для тел, расположенных в пространстве (или даже Рис. 12. в п-мерном пространстве, если читатель знаком с этим понятием). Задачу о том, какие значения может принимать а (F), поставил в 1933 г. известный польский математик К. Борсук [4]. С тех пор изучению этой задачи посвящались многочисленные научные работы. Изложению полученных здесь результатов и посвящена первая глава этой книги. Мы рассмотрим сначала случай плоских фигур, затем изложим решение задачи для пространственных тел и, наконец, для подготовленного читателя дадим обзор результатов, полученных для п-мерного случая. § 3. Решение задачи для плоских фигур Мы уже видели, что для некоторых плоских фигур а (F) принимает значение 2, а для других — значение 3. Возникает вопрос, нельзя ли найти плоскую фигуру, для которой а (F) 3, т. е. такую фигуру, что для разбиения ее на части меньшего диаметра нельзя обойтись тремя частями, а потребуется 4 или большее число частей? Оказывается, что на самом деле трех частей всегда достаточно, т. е. имеет место следующая теорема, установленная Борсуком в 1933 г. [4]: Теорема 1. Всякая плоская фигура F диаметра d может быть разбита на три части диаметра jd, т. е. а (F) еС 3. Рис. 14. Доказательство. Основной частью доказательства будет установление следующей леммы, которую в 1920 г. получил венгерский математик Пал [20]: всякая плоская фигура диаметра d может быть заключена в правильный шестиугольник, у которого расстояние между противоположными сторонами равно d (рис. 13). |
