На главнуюТексты книг БКАудиокниги БКПолит-инфоСоветские учебникиЗа страницами учебникаФото-ПитерНастрои СытинаРадиоспектаклиКнижная иллюстрация





Вузовские учебники
Теория чисел. Гребенча М. К. — 1949 г.

М. К. Гребенча

Теория чисел

*** 1949 ***


DjVu


 

PEKЛAMA

Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD.
Подробности >>>>


ФОРМУЛЫ ПРОПУЩЕНЫ, BOЗМOЖНЫ OШИБКИ, СВЕРЯЙТЕ С ОРИГИНАЛОМ

      ПРОГРАММА
      по курсу „Теория чисел 4 для физико-математического факультета педагогических институтов
      I. ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
      Куре теории чисел имеет целью сообщить слушателям основные сведения из элементарной теории чисел, показав наиболее существенные результаты, полученные современной наукой, советскими математиками, и те проблемы, которые являются ведущими в современной теории чисел. Особое внимание обращено на те разделы теории чисел, которые используются в школьном преподавании (учение о делимости, периодические десятичные дроби).
     
      II. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
      1. Учение о натуральном числе и дробном числе. Натуральный ряд. Аксиомы Пеано. Арифметические действия над натуральными числами, их свойства. Число 0. Дробные числа. Арифметические действия над дробями и их свойства.
      2. Теория делимости. Делимость чисел. Основная теорема о делимости. Общий делитель двух чисел. Наибольший общий делитель. Алгорифм Эвклида и следствия из него. Основные теоремы о делимости. Решение в целых числах линейного неопределенного уравнения. Кратное двух чисел. Наименьшее общее кратное двух чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.
      3. Каноническое разложение. Простые числа. Теорема Эвклида. Решето Эратосфена. Каноническое разложение и его единственность. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного с помощью канонического разложения.
      4. Числовые функции. Числовая функция, ее свойства и приложения. Числовая функция Эйлера и формула Гаусса. Число делителей и сумма делителей. Тождество Гаусса.
      5. Вычеты. Распределение чисел на классы вычетов по данному модулю. Полная и приведенная системы вычетов и их свойства.
      6. Сравнения. Основные свойства сравнений. Теоремы о сравнениях. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера. Признаки делимости. Проверка арифметических действий с помощью числа 9. Сравнения первой степени. Теорема о числе решений сравнений высшей степени по простому модулю. Теорема Вильсона.
      7. Числа, принадлежащие показателю. Первообразные корни. Свойства показателя. Теорема Гаусса. Индексы и их свойства. Двучленные сравнения. Теория обращения обыкновенных дробей в десятичные. Длина периода десятичной дроби.
      8. Непрерывные дроби. Обращение чисел в арифметическую непрерывную дробь. Подходящие дробя и их свойства. Бесконечные непрерывные дроби. Теорема Дирихле. Теорема о наилучшем приближении. Теорема Лежандра. Теорема Лагранжа о квадратичной иррациональности.
      9. Неопределенный анализ. Решение неопределенного уравнения первой степени. Уравнение Пелля. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Доказательства невозможности (метод неопределенного спуска). Представление числа в виде суммы двух квадратов. Теорема Ферма.
      10. Аналитические методы. Расходимость ряда чисел, обратных простым числам. Современное состояние вопроса о распределении простых чисел. Проблема Гольдбаха. Проблема Варинга. Алгебраические и трансцендентные числа. Оозор современного состояния науки о трансцендентных числах. Ведущая роль отечественных математиков в развитии теории чисел.
     
      III. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
      Основная
      И. М. Виноградов. Основы теории чисел.
      И. В. Арнольд. Теория чисел.
      Дополнительная
      П. Л. Чебышев. Теория сравнений.
      Лежен-Дирихле. Лекции по теории чисел.
      Б. А. Венков. Элементарная теория чисел.
      Ингам. Распределение простых чисел.
      Обзорные статьи в журнале "Успехи математических наук".
      А. В. Васильев. Введение в анализ.
      А. В. Васильев. Целое число.
      А. Я. Хинчин. Цепные дроби.
      Примечание. Раздел "Учение о натуральном н дробном числе" выносится на сессию.
     
      МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
      При самостоятельном изучении теории чисел следует иметь в виду следующие особенности этой дисциплины.
      1. Изложение курса опирается на небольшой объем математических знаний. За исключением нескольких вопросов аналитической теории чисел (гл. X), для понимания курса достаточно сведений только из элементарного курса математики.
      2. Вопросы, изучаемые в курсе, просты по своему математическому содержанию и не требуют от читателя большого умственного напряжения.
      3. Несмотря на простоту доказываемых предложений и на небольшой объем математических знаний, необходимых для понимания изучаемого курса, надо отметить, что методы доказательств, приводимые в курсе, весьма разнообразны. Здесь мы не имеем какого-либо единого метода, как, например, в курсе аналитической геометрии или в курсе анализа, где мы получаем доказательство многих математических предложений, используя один и тот же метод рассуждений.
      В силу сказанного изучение теории чисел представляет большие трудности, так как перед взором читателя проходит большое число теорем, простых по формулировкам, элементарных по методу доказательства, но трудно поддающихся запоминанию в силу многообразия способов и приемов в рассуждениях. Эти приемы часто весьма искусственны. Одним из важных моментов при изучении математики является умение воспроизвести доказательство самому, без помощи книги. При этом весьма существенно уметь начать доказательство; развивать доказательство часто уже не представляет труда. В теории чисел как паз начало доказательства бывает весьма искусственным. а потому и трудно запоминаемым.
      В теории чисел читатель чаще, чем при изучении других дисциплин, в процессе восстановления по памяти доказательства приходит к новым доказательствам, более коротким, чем приведенные в книге.
      4. Весьма облегчает изучение теории чисел следующее обстоятельство: доказанные положения легко проверяются на числовых примерах. В книге приведено большое число иллюстрирующих примеров, но читатель после доказательства каждой теоремы должен сам придумать пример.
      5. В конце книги приведены упражнения с ответами и указаниями, а для первых глав курса с решением. Читатели, интересующиеся задачами, найдут большое число их в курсе теории чисел акад. И. М. Виноградова.
      6. Курс теории чисел имеет большое педагогическое значение. Школьный курс учения о делимости и теория периодических десятичных дробей, с которыми должен быть знаком каждый учитель математики, находит здесь свое разрешение. Вопросы теории чисел с большим успехом могут служить предметом работы школьного математического кружка.
      7. Общенаучное значение курса теории чисел трудно переоценить. Теория чисел изучает простейшие математические объекты — натуральные числа. Вскрытие свойств натуральных чисел происходит весьма разнообразными средствами, обогащающими математику. Изучение теории чисел часто приводит к желанию приступить к научной работе именно в этой области.
      8. Следует предостеречь начинающего ученого от излишней доверчивости к некоторым неразрешенным проблемам теории чисел — простым и соблазнительным, как, например, великая теорема Ферма, проблема Гольдбаха (§ 59, 64) и др. Попытка решения этих ароблем без достаточной к тому научной подготовки и знания литературы но этим вопросам приводит к печальным результатам. Нередко приступающие к разрешению этих проблем бывают движимы более честолюбием, нежели желанием принести действительную нользу науке. Эти лица не хотят видеть, что такие математики, как Эйлер, Чебышев, Виноградов, получили свои научные результаты в процессе глубоко систематического научного исследования, а не по причине посетившей их удачи.
      Поэтому, когда приходится читать скороспелые и всегда неверные доказательства теоремы Ферма и других теорем, то, наряду с досадным чувством потери времени для чтения неграмотной работы, часто возникает и другое чувство — сожаление к человеку, который стал на ложную дорогу, вместо того чтобы стремиться быть действительно полезным для науки.

 

На главнуюТексты книг БКАудиокниги БКПолит-инфоСоветские учебникиЗа страницами учебникаФото-ПитерНастрои СытинаРадиоспектаклиДетская библиотека

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru