Авенир Иванович Уёмов

Типы и критерии
простоты систем

*** 1973 ***

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

РАСПОЗНАННЫЕ ФРАГМЕНТЫ       ТИПЫ И КРИТЕРИИ ПРОСТОТЫ СИСТЕМ       Одной из важнейших задач системных исследований, решение которой имеет особо© значение для разработки боле© совершенных систем, в частности систем управления, является проблема упрощенна систем при сохранении и даже повышении их эффективности, Разработка методов упрощения немыслима без формулировки точных критериев простоты-сложности. Известны работы, в которых проблема таких критериев решается применительно к тем или иным типам конкретных систем — булевым функциям, алгоритмам и Т.д. Эти тдпы систем отличаются друг от друга по содержательным признакам.       Поэтому методы оценки нрострты-сложяости, весьма эффективные в одной области оказываются неприменимыми в другой       В логико-фидософской литературе последних лет имеют место довольно многочисленные попытки рассмотреть проблему критериев простоты в более общем плане HI, L2], [3] 4] . Но при этом, несмотря на формальный характер предлагаемых построений, сохраняются содержательные различия между типами свойств которые тот иди иной автор рассматривает как простоту-сложность систем. Поэтому обычно говорят к© просто о простоте, а о простоте, снабженной теми или иными эпитетами: "эпистемологическая", динамическая" и т.д. Чаше всего выделяют так называемую онтологическую и семиотическую простоту Под онтологической простотой понимают простоту материальных образований, под семиотической — определенную опенку знаковых систем [5J       Таким образом, ни одна теория относящаяся к тому или иному типу простоты-— не может быть примени       На к любой системе. Проблема сравнения любых систем по их простоте — сложности не может быть в таком случае даже поставлена. Это связано с отсутствием системологического [0] подхода к проблеме простоты-сложности.       Системологический подход к рассматриваемой проблеме связан с оценкой простоты-сложности соответствующих объектов именно как систем. Поскольку любой объект допускает рассмотрение его в качестве системы, системологическая концепция простоты-сложности будет иметь универсальный характер в смысле отсутствия содержательных ограничений сферы ее применимости. Типы простоты-сложности при этом необходимо выделять, но различие между ними должно иметь формально системный характер, то есть опредепяться тем, какие именно стороны системного рассмотрения отражены в соответствующем типе простоты.       Всякая система может быть представлена в виде схемы IR ( т )]р, где Р обозначает некоторое заранее фиксированное свойство, которому должно удовлетворять отношение R, чтобы быть системообразующим, т.е. образовывать из вещей /П систему С7-8] . Отношение R может рассматриваться как структуоа, а вещи т — как субстрат системы. Свойство Р можно сопоставить концепции системы.       Простота-сложность системы может быть оценена различными способами в зависимости от того, с каким именно: компонентам приведенной выше схемы она непосредственно относится, В простейшем случае простота-сложность системы оценивается по простоте-сложности ее субстрата. Назовем такого рода простоту — субстратной простотой системы.       Обозначим меру простоты символом       субстратной простоте системы можно сопоставить следующую схему:       Соответственно отождествляя; простоту-сяож-ность системы с простотой-сложностью структуры будем иметь структурную простоту       Субстратная, структурная и концептуальная простота могут быть обобщены в понятии унарной простоты. В противоположность унарной бинарная простота связана с учетом двух компонент системного описания, Однако простое суммирование значений величины простоты-сложисстг,, относящихся к разным сторонам системы былр бы связано с существенными трудностями и не дало бы полезных результатов. Гораздо более интересно соотношение различных компонент системного описания друг с другом. В таком случае простота-сложность выступает как характеристика отношений второго порядка f В число коррелятов таких отношений входит отношение первого порядка /, представляющее собой структуру системы. Указанные отношения второго порядка можно выразить как       Несмотря на то, что системный подход к объектам в рассматриваемом варианте связан с переходом от Р н R далее — /77, каждое из приведенных отношений так же, как и унарная простота, позволяет выяснить существенные характеристики систем. Что касается отношений системообразующего свойства Р непосредственно к ату /Л И наоборот, т.е.       значение, и от них в данном изложении можно отвлечься.       В соответствий со сказанным введем следующие термины: (...)       Мера сложности иррефлексивных предикатов определяется Н.Гудменом как функция числа мест предикатов, из которой вычитаются меры симметричности и самополноты.       Д.Кемени обратил внимание на то, что симметричность и, соответственно, антисимметричность может быть понята в двух различных смыслах. В одном смысле она является аналитической и выводится из соответствующих постулатов смысла, например, А ровесник В". В другом случае "а любит в" она носит синтетический’ характер, и определение этих свойств предикатов требует дополнительной информации. По мнению Кемени, при определении простоты — сложности предикатов должна учитываться лишь аналитическая симметричность, и он считает ошибкой Гудмена использование синтетической симметричности.       Однако Кемени не обратил внимание на то, что другое свойство — самополнота в качестве упрощающего свойства для большей части отношений вообще не может быть понята аналитически. Он лишь de feoto исключил с а мо шш ноту из своего рассмотрения.       С нашей точки зрения, различие между подходами Кемени и Гудмена заключается в том, что Кемени рассматривает упрошшотше свойства отношений сами по себе, независимо от того, в каких именно коррелятах существуют эти отношения в       Гудмен берет отношения так, как они фактически даны в тех или иных объектах. Если Q любит В и В любит Cf, то это значит, что для О и & отношение "любит симметрично, Но в этом случае говорится о том, что рассматривается не само отношение "любит", а отношение этого отношения к данным коррелятам.       Таким образом, Кемени определяет структурную. а Гудмен ~ структурно-субстратную простоту       В концепции Гудмена заключен иной дефект сам выбор упрощающих свойств отношений у него произволен, Остается чувство неудовлетворенности -почему выбраны именно эти, а не иные свойства. Ествественно, возникает вопрос о том, не являются ли упрощающими также и иные свойства предикатов.       Обобщение концепции Гудмена может быть получено в том случае, если от рассмотрения множества элементов декартова произведения области и противообласти отношения, с помощью которого определяется самополнота, перейти к рассмотрению декартова произведения суммы области и противооб-ласти самой на себя.       Элементы интересующего нас произведения запишем в ячейках следующей таблицы.       Приведенная таблица позволяет гораздо полнее выявить упрощающие свойства предикатов, чем это сделано у Гудмена, Самополнота, по Гудмену, выражается выполнимостью предиката на элементах, фиксированных в четырех из 16 клеток нашей таблицы (вторая и четвертая колонки первого и третьего ряда) .       Использование других ячеек позволяет сформулировать ряд иных упрощающих свойств такого же типа, как и самополнота.       Обозначая свойство симметричности символом Р,, а самополноты символом р2, для обозначения других свойств такого же характера будем использовать символ Р со следующими индексами. Тогда, используя схемы импликаций, можно предположить следующие определения:       Увеличение числа элементов декартова произведения позволяет сформулировать большое количество иных — как более сильных, так и более слабых свойств.       Сказанное означает, что концепции критериев простоты Н.Гудмена, в которой простота определяется как функция упрощающих свойств предикатов, присущ органический порок; либо эти свойства выделяются произвольно, либо их число возрастает настолько, что задача определения мер всех этих свойств даже для двухместных предикатов становится практически неразрешимой.       Выход из указанных трудностей, на наш взгляд может быть найден путем отказа от учета мер различного рода упрощающих свойств и нахождения других мер в которых упрощающие свойства предикатов учитывались бы ilfip6ccite.       Меру такого типа предложил Кемени, используя понятие об элементарных отношениях T2J, однако в его работе из всех упрощающих свойств учитывается лишь симметричность и антисимметричность и кроме того, число элементарных отношений не определяется им однозначно Г9].       Еще раз подчеркиваем, что мы определяем в данном случае не структурную, а структурно-субстатную простоту, то есть имеем дело с откоше — нием структуры J к субстрату Я Это означает, что значение сложности будет зависить не только от того, каково R, но и от характера субстрата № . Субстраты, на которых реализуется, могут отличаться друг от друга в различных планах. Будем рассматривать различия лишь по числу элементов, которые, будем обозначать символом П . Число всех возможных последовательностей из множества 1Л | на которых может реализоваться двухместное отношение R, очевидно, равно числу элементов декартова произведения множества Ш самого на себя, то есть У12, за вычетом числа элементов, находящихся на главной диагонали, представляющих эти произведения таблиц п Пусть 6 элементов данного декартова .произведения фактически реализует отношение RL . Назовем € « экстенсиональной длиной отношения R на множестве № В таком случае меру простоты бинарного отношения на множестве /тг можно определить следующим образом       Минимальное значение простоты такого отношения, очевидно, равно максймальное — равно единице.       Выше рассматривались случаи п ~ 4 в соответствии с характером упрощающих свойств предикатов, выделенных Н.Гудменом. При этом остается вне рассмотрения такое важное свойство отношений, как транзитивность. Н.Гудмен считает, что это свойство должно быть заменено в логическом анализе проблемы простоты свойством самополноты отношений. С нашей точки зрения, транзитивность может быть рассмотрена как самостоятельное упрощающее свойство в том случае, если ю 8. Транзитивность отношения будет способствовать увеличению его экстенсиональной длины и тем самым повышению меры простоты.       Рассмотрим в качестве примера двухместное отношение Я, реализующееся на множестве, состоящем из трех элементов: X, X Декар-       тово произведение этого множества самого на. себя может быть представлено следующей таблицей       Отношение R будет наименее простым в том случае, если будет реализоваться лишь на одном элементе декартового произведения, скажем Если же отношение реализуется на       Ности она возрастет до 3, симметричность дает увеличение экстенсиональной длшы еде на 3, такой же эффект будет иметь и свойство рефлексивности.       (...)       Здесь в числителе — фактическая, а в знаменателе — максимально возможная экстенсиональная длина отношения на элементе       Энтропия, приходящаяся на элемент Я7., дается суммированием по С       Соответственно, общая энтропия системы, соотносящая субстрат структуре, будет вычисляться по формуле       Эту величину можно рассматривать как меру сложности Обратное значение этой величины будет мерой субстратно-структурной простоты       Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий рассмотренные выше три тика простоты — сложности систем и применение предложенных критериев шх оценки Пусть заданы системы управления выражаемые следующими графиками:       п       в этих системах имеются четыре элемента -выражаемые вершинами графа, и следующие отношения:       — отношение непосредственного управления,       — отношение непосредственного подчинения,       — отношение опосредованного управления,       — отношение опосредованного подчинения,       — отношение соподчинения на одном уровне,       — отношение соподчинения на более высоком уровне,       — отношение соподчинения на более низком уровне.

 

 

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..