Три классические задачи
на построение

DjVu

      К 1775 году, когда Парижская академия сделала заявление: «Академия постановила не рассматривать отныне представляемые ей разрешения задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение», сложилось насмешливое отношение ученых к тем, кто пытался решить эти задачи с помощью циркуля и линейки. Полученные через некоторое время доказательства невозможности таких построений привели к тому, что три классические задачи на построение почти совсем потеряли интерес для математиков. Это было уже не вполне справедливо. Три классические задачи сыграли важную роль в становлении древнегреческой математики. Даже один тот факт, что конические сечения первым стал рассматривать Менехм именно в связи с задачей удвоения куба, говорит о многом. Введение более сложных кривых (конхоиды Никомеда, циссоиды Диокла, квадратрисы Гиппия — Динострата) тоже связано с занятиями тремя классическими задачами. Позднее этими задачами много занимались Виет, Декарт и Ньютон.
      В неразрешимости трех классических задач с помощью циркуля и линейки древнегреческие математики убедились почти сразу. Но попытки найти решение трех классических задач с помощью циркуля и линейки почему-то во все времена увлекали многих несведущих в математике людей, причем наибольший интерес вызывала задача квадратуры круга. Ламберт, первым доказавший иррациональность числа п, писал: «Я имею некоторое основание сомневаться, что настоящая статья будет прочитана и понята теми, для кого это было бы особенно полезно, теми, которые затрачивают столько времени и труда для отыскания квадратуры
      круга. Таких искателей всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать с помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особенной тонкостью, ни особенной замысловатостью. Были также случаи, когда эти люди твердо верили, что их мнимые доказательства не встречали одобрения только от зависти и недоброжелательства. Среди них ходит, между прочим, легенда, будто бы в Англии и Голландии назначены столь же высокие премии и награды за квадратуру круга, как за определение географической долготы на море.»
      Ламберт был прав: попытки решить три классические задачи с помощью циркуля и линейки не прекратились и после того, как была доказана их неразрешимость. Фанатиков никакие доказательства не интересуют. За время, прошедшее после доказательства неразрешимости, наибольшим успехом этих фанатиков был, пожалуй, принятый в 1897 году законодательным собранием штата Индиана (США) закон о том, что отношение диаметра окружности к ее длине равно 5/16, т. е. тс «3,2. В дополнении к этому закону торжественно заявлялось, что предложивший его человек решил еще и задачи трисекции угла и удвоения куба. Закон пытались утвердить весьма умело. Сначала его отправили в комитет по заболоченным землям. Оттуда, сославшись на некомпетентность, его передали в комитет по образованию. Там рекомендовали закон к принятию и вернули его обратно, после чего он был принят единогласно, никто даже не воздержался. В Сенате США в первом слушании закон был тоже принят, но ко второму заседанию сенаторам все же объяснили, что за закон они собираются утвердить. Закон просуществовал девять дней и был отменен Сенатом США.
      Таких «решений» мы больше касаться не будем. Большая популярность трех классических задач в Древней Греции привела к тому, что для каждой из них было получено несколько решений, использующих либо специальные кривые, либо специальные инструменты.
      Брошюра содержит почти все сохранившиеся древнегреческие решения, а также несколько наиболее интересных позднейших решений. Она основана на лекциях, прочитанных автором для учащихся средних школ № 57 и 444 г. Москвы.
      Трем классическим задачам посвящено много книг и журнальных статей. В списке литературы указаны лишь те из них, которые оказали существенное влияние на содержание этой брошюры. Среди них особо хотелось бы выделить комментарии И. Н. Веселовского к «Сочинениям» Архимеда; они содержат переводы почти всех древнегреческих текстов, имеющих отношение к трем классическим задачам.
      Я благодарен С. Н. Бычкову за полезные обсуждения рукописи.
     
      Глава 1
      УДВОЕНИЕ КУБА
      § 1. Исторический очерк
      О возникновении задачи удвоения куба сохранилась следующая легенда: «... во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтоб чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нем жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него еще один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: «Сердится на вас бог за незнание геометрии», — и объяснил, что следовало подразумевать здесь не простое удвоение, но найти некое среднее пропорциональное и произвести удвоение с его помощью; и как только они это сделали, чума тотчас же кончилась». Эта легенда сравнительно поздняя; в ней многое искажено: задачей удвоения куба занимался еще Гиппократ Хиосский, живший до Платона. Но эту легенду сохранило несколько источников. В ней много интересного: для древних греков совсем не чуждым было мнение, что боги могут гневаться за незнание геометрии.
      Для практических целей точное решение задачи удвоения куба не было нужно, но математиков она заинтересовала. Гиппократ Хиосский переформулировал задачу примерно так: «По отрезкам а и 2а построить такие отрезки х и у, что а : х = х : у=у : 2а». В самом деле, тогда
      т. е. х3 = 2а3. Эта переформулировка была существенна. Алгебра возникла гораздо позже, и древнегреческие математики произведение двух отрезков представляли как прямоугольник; для сложения двух произведений отрезков приходилось преобразовывать прямоугольники в равновеликие им прямоугольники с общей стороной, чтобы их можно было прикладывать друг к другу: Произведение трех отрезков приходилось рассматривать уже как параллелепипед. Преобразовывать параллелепипеды было бы слишком сложно, а замечание Гиппократа позволяло работать с отношениями отрезков. В дальнейшем все решали задачу именно в формулировке Гиппократа, причем, как правило, в общем виде: отрезок 2а заменяли на произвольный отрезок b и строили такие отрезки х и у, что а : х = х : у=у : Ь. В этом случае
      \xj х у b b \bj ’
      т. e. x = 3y/a2b и y = \fab2. Решение этой задачи позволяло также для прямоугольного параллелепипеда строить ребро куба, объем которого равен объему параллелепипеда (по этому поводу в одном древнегреческом тексте говорится: «После этого мы сможем вообще любой заданный ограниченный параллелограммами объем превращать в куб...»; этот текст Евдема Родосского, друга и ученика Аристотеля, дает прямое указание на интерес математиков к задаче превращения параллелепипеда в куб). Поясним, как по ребрам р, q и г прямоугольного параллелепипеда можно построить ребро нужного куба. По данным сторонам р и q прямоугольника строить сторону а квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника, умели уже на самом раннем этапе развития древнегреческой математики. Ясно также, что если a = *Jpq и 6 = г, то \Ja2b = \Jpqr.
      По разным причинам древнегреческие математики при построениях циркуль и линейку предпочитали всем другим инструментам. Здесь, впрочем, нужно сделать уточнение. Ни о циркуле, ни о линейке в их сочинениях речи нет; говорится лишь о «построениях посредством прямых и окружностей». Более того, для Евклида построение окружности означает не совсем то же самое, что использование циркуля. Согласно третьему
      постулату Евклида, можно строить лишь окружность с данным центром А, проходящую через данную точку
      B. Окружность с центром А и радиусом ВС этот постулат строить не позволял (эго построение описано Евклидом в предложении 2 книги 1). Циркуль, конечно же, позволил бы выполнять такие построения. По-видимому, формулировка постулата Евклида связана с уходящим в глубокую древность построением окружностей с помощью колышка и привязанной к нему веревки. В этом случае для построения окружности с центром А и радиусом ВС пришлось бы сначала забить колышек в точке В, отметить на веревке точку
      C, а затем выдернуть колышек и забить его в точке А. Лишь после этого можно было строить требуемую окружность. Такое построение, при котором нужно было забивать колышек не один, а два раза, существенно отличается от элементарного построения.
      В Греции циркуль был изобретен в X в. до н. э., задолго до Евклида, в связи с потребностями керамического производства. В это время широкое распространение получил геометрический стиль, и циркуль был нужен для изображения на керамике концентрических окружностей.
      Греческая мифология связывает изобретение циркуля с именем Талоса (согласно другим источникам — Пер-дикса), племянника Дедала. О Талосе пишет древнегреческий историк Диодор Сицилийский (I в. до н. э.): «Точно так же, изобретя циркуль и некоторые другие технические приспособления, он достиг большой славы». Римский писатель Гигин (I в. до н. э.) сообщает: «Пердикс, сын сестры Дедала, изобрел
      циркуль и пилу из рыбьего хвоста». Об этом изобретении двенадцатилетнего мальчика упоминает даже знаменитый римский поэт Овидий (I в. до н. э.) в поэме «Метаморфозы»:
      Первый железным узлом два железных конца съединил он.
      Чтобы, когда друг от друга они в расстоянии равном.
      Часть стояла одна, другая же круг обводила.
      Дедал известен в греческой мифологии как искуснейший изобретатель и архитектор. (Странным образом гораздо более знаменит ныне его неразумный сын Икар, который прославился тем, что, несмотря на подробные наставления отца, так и не научился правильно пользоваться сделанными Дедалом крыльями
      из перьев, скрепленных воском.) Одаренность отданного ему в обучение племянника, грозившая затмить его славу, вызвала у Дедала зависть, и он столкнул его с акрополя.
     
      * * *
     
      Скорее всего, древнегреческие математики достаточно быстро поняли, что задачу удвоения куба нельзя решить с помощью циркуля и линейки, хотя доказать этого они не могли и, по-видимому, даже не пытались. По поводу того, чем помимо циркуля и линейки можно пользоваться при построениях, у древнегреческих математиков были разные мнения. Первое решение задачи удвоения куба, полученное великим полководцем и математиком Архитом Тарентским, трудно даже назвать построением. Он получил решение как пересечение цилиндра, конуса и тора. Ни о какой практической реализации такого решения не могло быть и речи. Несколько более позднее решение Менехма было уже в некотором смысле оптимальным: он находил решение как пересечение двух конических сечений. Оптимальным это решение было вот в каком смысле. На последнем этапе развития древнегреческой математики, через несколько веков после Менехма, сложилась следующая классификация задач на построение, изложенная александрийским математиком Паппом:
      1) плоские задачи (решаемые с помощью прямых и окружностей, т. е. с помощью циркуля и линейки);
      2) пространственные задачи (решаемые с помощью конических сечений, т. е. параболы, гиперболы и эллипса; название, по-видимому, связано с тем, что использовались сечения пространственной фигуры — конуса);
      3) граммические задачи, решаемые лишь с помощью других, более сложных кривых линий (ураццг) — линия).
      Папп писал, что если задачу можно решить с помощью прямых и окружностей, то было бы ошибкой использовать в геометрии для ее решения другие инструменты. Он был уверен, что задачу удвоения куба нельзя решить с помощью прямых и окружностей.
      Классификация Паппа неполная. Она не включает построения, использующие специальные инструменты, а такие построения встречались у древнегреческих математиков нередко. Специальные инструменты для решения задачи удвоения куба использовали Эратосфен и Никомед; специальный инструмент использован также в решении, приписываемом Платону.
     
      * * *
     
      После древнегреческих математиков в отношении задачи удвоения куба были получены, пожалуй, лишь два существенных результата. Во-первых, было обнаружено, что эта задача и задача трисекции угла сводятся к решению кубических уравнений, а во-вторых, в 1837 г. было доказано, что эти задачи неразрешимы с помощью циркуля и линейки (в неразрешимости этих задач древнегреческие математики, были уверены, хотя и не могли этого доказать). В том, чтобы понять, что задача удвоения куба сводится к решению кубического уравнения, нет, казалось бы, ничего сложного. Но древнегреческие математики никогда не решали геометрические задачи путем сведения их к алгебраическим уравнениям. Их математика была существенно геометрической. Алгебраизация математики началась гораздо позже и шла очень медленно и трудно. Слово «алгебра» вовсе не случайно происходит из арабского языка — арабы действительно очень много сделали для алгебраизации математики.
      В XII в. в Европе начали переводить с арабского языка на латинский трактаты древнегреческих и арабских математиков (многие сочинения древнегреческих математиков сохранились лишь в арабских переводах). Греческая математика вернулась в Европу в сильно алгебраизированном виде. Выдающиеся достижения в области алгебры (решение в радикалах уравнений третьей и четвертой степени, теорема Виета) были уже отчасти подготовлены.
      В своей книге «Геометрия» (1637 г.) Декарт показал, как геометрические задачи можно сводить к алгебраическим уравнениям. В связи с этим у него возникла задача построения корней многочлена. Декарт нашел очень простой способ строить корни многочленов третьей и четвертой степеней как проекции на ось координат точек пересечения параболы и окружности. Как особо важные частные случаи этого построения Декарт выделил решения задач удвоения куба и трисекции угла и рассмотрел их отдельно.
      Некоторое время после появления книги Декарта построением корней занимались почти все крупные математики (Ферма, Ньютон, ван Схоотен, Лопиталь,
      Лагир, Я. Бернулли, Ролль, Крамер, Эйлер), но интерес к этой задаче угасал столь быстро, что главная теорема, связанная с построением корней, осталась не доказанной, по-видимому, и по сей день. Эта теорема заключается, грубо говоря, в следующем: корни многочлена п-я степени можно построить как проекции на ось координат точек пересечения двух алгебраических кривых, степени которых равны приблизительно у/п. Последними задачей построения корней занимались Крамер (1704 — 1752) и Эйлер (1707 — 1783), но их интерес к ней был уже столь слабым, что они не обратили внимания на почти очевидные вещи. Указанную выше теорему хотя и никто не доказывал, но все же проверяли, чтобы у кривых было больше свободных коэффициентов, которые можно изменять, чем у многочлена (Лопиталь считал это вполне достаточным доказательством). Чтобы избежать ситуации, когда для вещественного многочлена точки пересечения кривых получаются мнимыми, Крамер и Эйлер предложили способ, в котором свободных коэффициентов у кривых было меньше, чем у многочлена, т. е. этот способ годился заведомо не для любого многочлена. Вряд ли Эйлер допустил бы такую ошибку, если бы занимался этой проблемой всерьез.
     
      § 2. Древнегреческие решения
      Решение Архита Тарентского (ок. 428 — 365 гг. до н. э.)
      Первое решение задачи удвоения куба было получено великим полководцем и математиком Архитом Тарентским.
      Решение Архита прямое и естественное, но для современного восприятия оно одно из наиболее сложных, потому что оно полностью геометрическое и современная алгебраизация ничем не помогает его понять.