Выпуклые фигуры

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Зта книга посвящена некоторым задачам из общей теории выпуклых тел (определение выпуклого тела см. в тексте, стр. 13 и 29). Созданная в конце прошлого века теория выпуклых тел в настоящее время является наукой, богатой общими методами и отдельными замечательными результатами. Она интенсивно разрабатывается и по настоящее время. Общее число печатающихся научных работ и книг, посвященных этому вопросу, настолько значительно, что в оглавлении современного реферативного математического журнала, излагающего все появляющиеся работы по математике, теория выпуклых тел стоит как самостоятельная математическая дисциплина наряду с небольшим числом других математических наук. Такая популярность теории выпуклых тел связана в первую очередь с важностью этой теории для геометрии, а также со значительными ее приложениями как к другим разделам математики (алгебра, теория чисел и др.), так и к естествознанию (математическая кристаллография). Значение теории выпуклых тел особенно возросло после недавних замечательных работ ленинградского математика А. Д. Александрова, положившего ее в основу созданного им нового важного направления в наиболее значительной из современных геометрических наук — дифференциальной геометрии.
      Все вышесказанное уже полностью оправдывает появление популярных книг по теории выпуклых тел. Но есть еще одно обстоятельство, делающее такие книги особенно полезными. Теория выпуклых тел является единственным разделом современной математики, не использующим существенно в своем построении никаких частей так называемой «высшей математики». Методы этой теории очень красивы, остроумны и зачастую совсем не просты, но они, как правило, совершенно элементарны и могут быть объяснены школьникам старших классов. Это связано со значительной геометричностью» теории выпуклых тел: в противоположность другим разделам современной геометрии она не пользуется каким-либо аналитическим аппаратом, а базируется непосредственно на элементарно-геомегрнческпх представлениях. Хорошую иллюстрацию к сказанному представляет недавно вышедшая книга А. Д. Александрова «Выпуклые многогранники» (М. — Л., Гостехиздат, 1950): не являясь популярной книгой, специально рассчитанной на широкого читателя, и излагая ряд новых научных результатов, эта монография в основных частях доступна для более подготовленных школьников старших классов.
      На русском языке существует превосходная популярная книга по теории выпуклых тел, рассчитанная на школьников старших классов и студентов младших курсов математических факультетов университетов и пединститутов, — это книга Л. А. Люстернпка Выпуклые тела» (М. — Л., Гостехиздат, 1941). Поэтому появление другой книги по теории выпуклых тел, рассчитанной на тех же читателей, что. и книга Л. А. Люстернпка, нуждается в специальном обосновании.
      Наша книга имеет форму сборника задач с решениями, и это резко отличает ее ог книги Л. А. Люстернпка. Книга входит в серию Библиотека математического кружка», и хоти по своему характеру она во многом отличается от предыдущих книг этой серии, основные принципы ее совпадают с принципами ранее вышедших книг. Эго в первую очередь — установка на самостоятельную, творческую работу читателя, а не на пассивное усвоение излагаемого материала. Нам кажется, что при всей полезности чтения научно-популярной литературы настоящий вкус к математике можно развить только в том случае, если самостоятельно думать над математическими задачами. Изложение же элементов теории выпуклых тел в форме задач представляется нам особенно целесообразным еще и потому, что благодаря незначительности предварительных знаний, необходимых для самостоятельной научной работы в этой области, такую работу можно начинать относительно рано. Дать некоторые необходимые навыки для творческой работы в области теории выпуклых тел было одной из наших задач при написании этой книги.
      Выбор формы задачника в значительной мере определил и содержание книги. При подборе материала мы основное внимание уделяли методам, а не результатам. Многие из излагаемых в книге теорем не играют значительной роли в теории выпуклых тел; это обстоятельство особенно бросается в глаза при сравнении настоящей книги с уже упоминавшейся книгой Л. А. Люстернпка, содержащей изложение действительно важнейших фактов этой теории. Однако мы стремились к тому, чтобы осветить в книге главные методы теории выпуклых тел, проиллюстрировав их на некоторых примерах, хотя бы сами эти примеры и не являлись особенно серьезными. При этом для того, чтобы было удобнее сопоставить между собой различные методы, мы зачастую давали несколько доказательств одного и того же предложения.
      Мы стремились подобрать задачи, занимательные по форме и могущие уже условием заинтересовать читателя. Этим объясняется то большое место (определенно не соответствующее научному весу этих вопросов), которое уделено в книге различным определениям «центра» произвольной выпуклой фигуры и оценкам «степени центральности» (точнее было бы сказать «степени центрально-симметрнчности») выпуклых фигур (см. задачи 186), в), 19а), 33, 34, 36, 69), теореме Юнга о наименьшей окружности, в которую можно заключить все фигуры данного диаметра, и сходным теоремам (задачи 16, 17, 196), 31, 35а), 67, 68), кривым постоянной ширины и родственным кривым (§§ 7 и 8).
      Со стремлением к наибольшей наглядности связано то, что содержание книги существенно «двумерно»: как правило, приведенные в книге теоремы о выпуклых фигурах на плоскости либо переносятся на выпуклые тела в пространстве почти без всяких изменений формулировок и доказательств, либо, наоборот, такое перенесение представляет весьма значительные трудности. В некоторых случаях в конце параграфа сообщены соответствующие факты, относящиеся к трехмерному пространству, чаще без доказательств, в порядке реферата. В связи с этим содержание настоящей книги почти совершенно не перекрывается с содержанием упоминавшейся книги Л. А. Люстернпка, посвященной в значительной мере существенно «трехмерным» вопросам. В книге остается совершенно незатронутой теория выпуклых многогранников, составляющая важный и интересный раздел учения о выпуклых телах, так как эта теория достаточно полно освещена в названных выше книгах Л. А. Люстернпка и А. Д. Александрова, а также в последних разделах «Задачника по геометрии» Б. Н. Делоне и О. К. Житомирского (М. — Л., Гостехиздат, 1950) п в цикле задач «Теория многогранников» во второй части книги Д. О. Шклярского и др. «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», составляющей вып. 2 «Библиотеки математического кружка».
      Изложение нигде не предполагает никаких знаний, выходящих за пределы школьного курса математики, а для понимания большей части книги достаточны даже знания в объеме программы восьми классов средней школы. При этом и по стилю изложения мы пытались, по возможности, не затруднить малоопытного читателя, хотя для этого нам пришлось в некоторых местах пожертвовать в целях большей доступности книги полной математической строгостью. Нам кажется, что все необходимые уточнения сможет самостоятельно провести каждый студент среднего курса математического факультета университета или пединститута; для облегчения этой работы мы привели в конце книги строгое определение понятия плоской фигуры, как оно понимается в этой книге (см. дополнение II на стр. 136; чтение этого дополнения нисколько не необходимо для понимания книги). Мы рассчитываем, что читатели-студенты простят нам некоторые выражения, которые могут шокировать человека, знакомого с курсом математического анализа.
      Перед чтением книги следует внимательно прочесть указания к пользованию книгой, г Рукопись проверялась в работе просеминара для студентов первого курса Московского государственного университета, проведенного одним из авторов книги, и в работе секции школьного математического кружка при МГУ, руководимой вторым автором. Некоторые задачи предлагались на конкурсах по решению задач, проводимых в Московском н Ленинградском университетах для студентов младших курсов, и на математических олимпиадах московских школьников. Во всех случаях задачи оказались вполне доступными.
      В книге приведены некоторые теоремы, не встречавшиеся нам в литературе, и большое число новых доказательств известных теорем.
      Параграфы 2, 3, 5, 6 принадлежат И. М. Яглому; параграф 4 и дополнения — В. Г. Болтянскому; параграфы 1, 7, 8 написаны И. М. Ягломо.м и В. Г. Болтянским совместно. Окончательная редакция всего текста проводилась обоими авторами коллективно.
      В процессе работы над книгой мы постоянно консультировались с А. М. Ягломом, замечания которого были учтены при изложении отдельных мест книги. Первую половину рукописи внимательно прочла Л. И. Головпна-Копейкина, строгая критика которой послужила улучшению книги. Ряд замечаний был сделан нам А. Д. Александровым и его учениками И. Я. Бокельманом, Ю. А. Волковым и Ю. Г. Решетняком. Много дефектов изложения и неточностей в чертежах было устранено по инициативе редактора книги А. 3. Рывкнна. Считаем своим приятным долгом выразить всем этим лицам нашу искреннюю признательность.
      И. М. Яглом,
      В. Г. Болтянский
      Март 1951 г.
     
      УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ
      Настоящая книга состоит из двух частей. В первой части приведено 116 задач на выпуклые фигуры и некоторые необходимые для их понимания теоретические сведения; вторая часть содержит решения всех этих задач.
      Все содержание книги разбито на восемь параграфов, довольно независимых между собой; кроме того, книга содержит еще два дополнения, имеющих специальный характер. Каждый параграф начинается с краткого введения (набранного мелким шрифтом), в котором, в частности, указаны номера задач из предыдущих параграфов, используемых при решении задач этого параграфа.
      Как и в большинстве других задачников, здесь в пределах того пли иного параграфа вполне возможно решение задач сна выбор» в зависимости от вкуса читателя, ибо лишь решения сравнительно небольшого числа задач существенно опираются на предыдущие задачи гогоже параграфа. Однако нам кажется все же предпочтительным последовательное решение задач в каждом параграфе (с пропуском тех, которые у читателя не будут получаться), так как при расположении задач каждого параграфа мы стремились к тому, чтобы они составляли некоторое законченное целое. Кроме того, как правило, в каждом параграфе более легкие задачи предшествуют более трудным. В некоторых местах книги встречаются так называемые «вспомогательные» задачи, цель которых — облегчить читателю решение непосредственно следующих за ними трудных задач.
      В книге мелким шрифтом набран более трудный материал, требующий для своего понимания известной математической культуры. Мы рекомендуем читателю-школьнику при первом чтении книги выпустить весь этот материал (включающий и два дополнения к книге, рассчитанные в основном на студента университета или пединститута). Соответственно
      этому все ссылки на дополнение I в подстрочных примечаниях к книге читатель-школьник должен оставлять без внимания. Впрочем, нигде во всем содержании книги не предполагаются у читателя знания, выходящие за пределы школьной программы, так что и мелкий шрифт будет понятен школьнику, если только он проявит достаточную настойчивость при чтении.
      Каждый параграф содержит объяснительный текст и задачи. Последние в целях лучшего их выделения отмечены слева тонкой вертикальной линейкой. Перед чтением условия задачи следует предварительно познакомиться с предшествующим объяснительным текстом.
      Задачи в среднем довольно трудны, и решение их может потребовать значительного времени. Решение следует читать лишь после того, как задача будет решена самостоятельно, для сравнения придуманного решения с приведенным в книге, или если неоднократные попытки решить задачу не привели к успеху.
      В тот момент, когда читатель решит, что он больше уже не будет возвращаться к данному параграфу книги, полезно посмотреть решения всех еще не решенных задач параграфа, чтобы составить себе ясное представление о содержании параграфа в целом. При этом, разумеется, работа над одним параграфом может происходить в несколько приемов, перемещающихся с работой над другими параграфами книги пли с отдыхом.
      В книге специально отмечены те задачи, которые авторам казались более трудными. Номера таких задач помечены звездочкой, а номера самых трудных задач — двумя звездочками. Это выделение более трудных задач, разумеется, довольно условно, поскольку нет никаких определенных критериев для определения степени трудности задачи (известно, что нерешенная задача всегда кажется трудной, а решенная задача — легкой). Возможно, что отдельным читателям покажутся легкими задачи, отмеченные звездочками, или, наоборот, — трудными задачи, нами не отмеченные.
      Настоящую книгу можно использовать и независимо от ее формы задачника, т. е. можно читать решения задач и непосредственно после условий. Хотя это и не совпадает с основным замыслом книги, однако и при таком использовании книга может оказаться полезной, так как она содержит изложение ряда интересных вопросов теории выпуклых кривых. Особенно можно рекомендовать для такого чтения § 5 (и несколько меньше — примыкающий к § 5 более трудный § 6), § 2 и § 7.
      Чтение книги следует начинать с § 1, содержащего все необходимые для дальнейшего понятия. Этот параграф имеет вводный характер и не представляет значительного самостоятельного интереса, поэтому не следует слишком на нем задерживаться. После § 1 можно по выбору начинать читать § 2, § 5 или § 7. Для того чтобы читатель смог лучше оценить наиболее интересные задачи 31, 33, 35а) и 36 из § 3, рекомендуется читать этот параграф после § 2. Точно так же рекомендуется читать § 6 (повидимому, самый трудный в книге) после § 5, а § 8 после § 7. Наконец, § 4 является вспомогательным; его лучше читать после ознакомления с § 6 или § 7, чтобы можно было сразу применить материал этого параграфа к более содержательным теоремам. Можно также знакомиться с содержанием § 4 частями, перед темн задачами из других параграфов, в которых используются определенные в нем понятия.
      Нам кажется, что §§ 7 и 8 по изяществу определений и стройности всего ряда теорем наиболее способны заинтересовать читателя. По важности содержания на первое место можно поставить § 5, а затем примыкающий к нему § 6. Самым легким в книге является, повидимому, § 2.
      В ряде мест мы формулировали по ходу изложения некоторые не решенные еще задачи. Большинство из них — задачи весьма трудные, но некоторые могут оказаться доступными для читателей этой книги.
      Во введениях к §§ 4, 5 и 7 указана некоторая дополнительная литература, которая может оказаться интересной и полезной читателю этой книги. После проработки настоящей книги мы можем рекомендовать приступить к чтению указанных в предисловии книг Л. А. Люстерника «Выпуклые тела» и А. Д. Александрова «Выпуклые многогранники».
     
      ЗАДАЧИ
      § 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ ФИГУР
      Этот параграф имеет вводный характер. В нем даны основные определения, используемые в дальнейшем, и приведены простейшие задачи, иллюстрируюшие эти определения. Возможно, что задачи этого параграфа покажутся читателю скучными или слишком простыми, — они являются подготовительными по отношению к более интересным задачам последующих параграфов. При желании можно и не решать этих задач, но следует прочесть текст, чтобы ознакомиться с определениями выпуклой фигуры, выпуклой кривой, опорной прямой выпуклой фигуры (эти понятия используются в §§ 2 — 8), обыкновенной и угловой точек выпуклой кривой (используются в §§ 4, 7, 8), длины выпуклой кривой и площади выпуклой фигуры (используются в §§ 4 — 8). Можно, наконец, читать решения задач сразу после условий, рассматривая этот параграф как «теорию», предпосылаемую задачам остальных параграфов книги.
      Плоская фигура называется выпуклой, если она целиком содержит прямолинейный отрезок, соединяющий любые две принадлежащие ей точки. Так, на черт. 1 фигуры а, б, в выпуклы, а фигура г не выпукла. Круг и треугольник являются выпуклыми фигурами, четырехугольник же может быть как выпуклым, так и невыпуклым в зависимости от того, пересекаются ли его диагонали внутри или вне четырехугольника (черт. 2).
      Пересечением двух (или нескольких) фигур называется фигура, состоящая из всех точек, принадлежащих обеим (или всем, если их несколько) фигурам.
      Черт.
      1. Докажите, что пересечение двух или нескольких выпуклых фигур есть выпуклая фигура.
      2. Докажите, что всякий выпуклый многоугольник является пересечением конечного числа полуплоскостей (черт. 3).
      Фигура называется ограниченной, если она целиком помешается внутри некоторой окружности. Например, всякий параллелограмм, треугольник, круг, а также все фигуры, изображенные на черт. 1, являются ограниченными фигурами.
      В задачах этого параграфа каждый раз, когда не оговорено противное, мы будем допускать, что фигуры могут быть и неограниченными. В последующих параграфах, наоборот, мы будем, как правило, считать все плоские фигуры ограниченными, часто не оговаривая этого специально.
      Черт. 4.
      На черт. 4 изображено несколько неограниченных фигур; из них выпуклыми являются фигуры а (полуплоскость), б (полоса), в (угол) и г.
      Выпуклым фигурам можно дать и другие определения отличные от приведенного выше (см. ниже стр. 17 — 18 и 25),
      однако определение, приведенное в начале этого параграфа, является самым удобным, и мы, в основном, будем пользоваться этим определением.
      По отношению ко всякой плоской фигуре все точки плоскости делятся на три категории: внутренние, внешние и граничные.
      Точка фигуры называется внутренней, если существует круг (хотя бы очень малого радиуса) с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре. Внутренними точками фигуры будут, например, точки А и А' на черт. 5.
      Точка называется внешней по отношению к фигуре, если существует круг с центром в этой точке, не содержащий точек фигуры. Примером внешней точки по отношению к фигуре является точка В на черг. 5.
      Наконец, точка фигуры называется граничной, если, какой бы мы круг с центром в данной точке ни построили, он всегда будет содержать как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей.
      Точка С на черт. 5 может служить примером граничной точки фигуры. Граничные точки фигуры образуют некоторую линию — кривую или ломаную. Эта линия называется границей фигуры. Если плоская линия является границей некоторой выпуклой фигуры, то она называется выпуклой кривой, или — в том случае, когда эта линия ломаная, — выпуклым многоугольником1).
      В дальнейшем мы будем называть точками, принадлежащими фигуре, или, короче, точками фигуры, все ее внутренние или граничные точки. Говоря о плоских фигурах, мы во всех случаях, когда не оговорено противное, будем считать, что эти фигуры не состоят из одних граничных точек, а имеют и внутренние точки (т. е. не являются линиями).