|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач составлен в соответствии с программой по курсу общей физики для студентов физических факультетов педагогических институтов. При подборе задач автором учтено значительное повышение уровня преподавания физики в средней школе.
Большинство из включенных задач предлагалось на экзаменах, зачетах или контрольных работах в вузах страны, некоторые являются оригинальными. Элементарные задачи тренировочного характера в пособие не включены, однако идеи наиболее интересных школьных задач повышенной трудности в сборнике отражены. Многие из задач содержат несколько вопросов, тесно связанных друг с другом, что позволяет разнообразить работу студентов.
Для решения задач предлагаемого сборника требуется тщательное и осмысленное изучение теоретического материала и умение пользоваться методами математики в физических исследованиях.
Можно надеяться, что серьезная работа над задачами поможет будущим учителям подготовиться к преподаванию физики.
Автор выражает искреннюю благодарность профессору В. П. Орехову, доцентам Э. А. Корзуну и В. В. Стручкову за полезные советы и высказанные замечания, способствовавшие улучшению рукописи пособия.
Автор
Часть I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Без формул.)
§ 1. Кинематика материальной точки и твердого тела
1.1. Подводная лодка, погружаясь вертикально вниз, излучает в направлении дна короткие импульсы сигнала гидролокатора длительностью t0. Длительность отраженных сигналов, принимаемых на лодку, равна t. С какой скоростью погружается лодка, если скорость звука в воде и и дно горизонтально?
1.2. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Расстояние между городами /0. Первый автомобиль проходит первую половину пути со скоростью vl9 вторую — со скоростью v2. Второй автомобиль первую половину всего времени движения проходит со скоростью vu вторую — со скоростью v2. Какой из автомобилей и насколько раньше прибудет в пункт назначения? Каково расстояние 1г между автомобилями в тот момент, когда один из них финиширует? Решите задачу аналитически и графически.
1.3. Вертолет при отсутствии ветра последовательно облетает пункты Л, В, С и D, расположенные в углах квадрата (по кратчайшему расстоянию) за 4 ч. При ветре, дующем в направлении от А к Ь, время облета тех же пунктов по тому же маршруту равно 3 ч. За какое время вертолет пролетит по маршруту АС при том же направлении ветра?
1.4. Необходимо попасть из пункта А, находящегося на берегу озера, в пункт В, расположенный на острове и удаленный от берега на расстояние I (рис. 1.1). Расстояние АВ = s. За какое минимальное время можно добраться из Л в В, если передвигаться по земле
на автомобиле со скоростью v, а по воде на лодке со скоростью и?
На каком расстоянии от А нужно пере-В сесть из автомобиля в лодку?
1.5. Три лодки стоят в спокойной воде на одинаковом расстоянии друг от друга в вершинах равностороннего треугольника. Лодки начинают двигаться с по-= стоянной по величине скоростью v так, что в каждый момент времени одна
Рис. 1.1. лодка находится на курсе другой. Найдите: а) уравнение траектории движения лодок и место их встречи; б) время, через которое встретятся лодки, и расстояние, пройденное каждой из них до встречи.
1.6. Верхняя часть кабины катера имеет форму полусферы радиусом R. Катер движется со скоростью v под вертикальным дождем. Скорость капель и. Во сколько раз число капель, падающих на переднюю часть купола больше, чем на заднюю?
1.7. Корабль плывет на юг со скоростью v. Заметив в море катер, наблюдатель, находящийся на палубе корабля, определил, что катер движется относительно корабля пересекающим курсом на северо-запад со скоростью v0 под углом ф к линии визирования и расстояние до него равно s0. а) С какой скоростью катер плывет относительно берега? б) По какому закону меняется расстояние между судами? в) Через какое время t± расстояние между судами станет наименьшим? г) Какое расстояние пройдет катер за время tL и пересечет ли он курс корабля? д) Через сколько времени расстояние между кораблями снова станет равным s0?
1.8. Прямолинейное движение точки описывается уравнением х = —1+3Р—2Р (в единицах СИ), а) Запишите уравнение скорости и ускорения точки,
б) Сколько времени движется точка до остановки? в) Определите максимальную скорость точки, г) Чему равна средняя скорость точки за время движения до остановки? д) Через сколько времени средняя скорость движения точки достигнет максимального значения и какова ее величина?
1.9. Скорость точки при прямолинейном движении с течением времени изменяется по закону, представленному на рисунке 1.2, а, б ив. Участки кривых на чертеже б являются участками парабол, на чертеже в — дугой окружности. Постройте графики зависимостей: а = fit); s = f(t); s = f(v).
1.10. На рисунке 1.3 показано изменение с течением времени ускорения точки на прямолинейном отрезке пути. Участки кривых на чертеже являются полуокружностями. Определите максимальную и минимальную скорости точки за время такого
движения. Чему равна средняя скорость точки за время /2, если начальная скорость даижения была равна нулю?
1.11. Глубину колодца измеряют с точностью до z = 5%у бросая камень и замечая время, через которое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений указанного времени следует учитывать время прохождения звука? Скорость звука в воздухе принять равной и = 330 м/с.
1.12. При свободном падении средняя скорость движения тела за последнюю секунду оказалась вдвое большей, чем в предыдущую. С какой высоты падало тело?
1.13. Шарик брошен вертикально вверх из точки, находящейся над полом, на высоте Я. Определите начальную скорость шарика, время движения и скорость в момент падения, если известно, что за время движения он пролетел путь 3Я.
1.14. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью v0. Через сколько времени нужно бросить вверх второй мяч, чтобы они встретились в наикратчайшее время, если известно, что начальная скорость второго мяча вдвое меньше, чем у первого? На какой высоте встретятся мячи?
1.15. С идеально упругой плоскости вертикально вверх бросают п шаров со скоростью v и интервалом времени т. На каком расстоянии по вертикали будет находиться первый шар от (п—&)-го в момент бросания n-го шара? Какова скорость этих шаров относительно друг друга?
1.16. По идеально гладкой плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом, пустили снизу вверх шайбу. На расстоянии большем /=1,0 м от основания плоскости шайба находилась время At — 0,5 с. Найдите начальную скорость шайбы и пройденный ею путь по наклонной плоскости.
1.17. Камень, брошенный горизонтально на высоте h = 6м, упал на землю на расстоянии s = Юм от точки бросания. Найдите:
а) начальную скорость камня; б) уравнение траектории и угол падения; в) нормальное и тангенциальное ускорение камня через время t = 0,2 с после начала движения; г) радиус кривизны траектории в этот момент.
1.18. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, равна s= 10 м, время полета t= 5 с. Найдите: а) высоту наибольшего подъема тела и радиусы кривизны траектории в точках бросания и наибольшего подъема; б) наибольшее и наименьшее значения нормального и тангенциального ускорения.
1.19. Тело, брошенное под углом к горизонту, спустя время t имело тангенциальное ускорение а, а через время 4/ упало на землю. Под каким углом было брошено тело?
1.20. Какую минимальную скорость волейболист должен- сообщить мячу, чтобы он перелетел через сетку высотой А, находящуюся на расстоянии / от игрока? Волейболист ударяет по мячу в падении у поверхности земли.
1.21. Под обрывом высотой А установлен миномет (рис. 1.4). Где и под каким углом надо установить миномет, чтобы дальность полета мин по плоскогорью была максимальной? Чему равна эта дальность? Начальная скорость мин v0.
1.22. Аэростат поднимается вертикально вверх со скоростью v0. В тот момент, когда он находится на высоте А, из него в горизонтальном направлении бросили предмет со скоростью v0 относительно аэростата. Определите: а) горизонтальную дальность полета тела; б) угол падения тела на землю; в) угол бросания тела относительно пола кабины, при котором горизонтальная дальность полета тела будет наибольшей.
1.23. На идеально гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а, свободно падает абсолютно упругий шарик. Скорость шарика в момент удара равна v. Определите расстояние между точками первого и второго удара при условии, что плоскость: а) покоится; б) поднимается вертикально вверх со скоростью v\ в) движется в горизонтальном направлении со скоростью v. Для случая в) проанализируйте результат в функции угла а.
1.24. На берегу установлен блок, через который проходит веревка длиной /0, привязанная одним концом к лодке (рис. 1.5). Подтягивая лодку к берегу, человек начал двигаться от блока равномерно со скоростью v0. Какова скорость лодки спустя время t после начала движения человека?
1.25. Два одинаковых груза подвешены на нити, перекинутой через неподвижные блоки, как указано на рисунке 1.6. Какую скорость и ускорение будут иметь грузы в зависимости от расстояния х, если середину нити (точку О) опускать вниз с постоянной скорое-
Рис. 1.5.
тью и? Какова скорость грузов в тот момент, когда они окажутся на одном уровне с точкой О?
1.26. Наблюдатель, находящийся у переднего вагона в момент начала движения электропоезда, заметил, что первый вагон прошел мимо Него за время т. Сколько времени будет двигаться мимо него п-й вагон, если ускорение поезда при разгоне меняется с течением времени по закону а = kf>
1.27. Лодка пересекает реку шириной s0. Скорость лодки относительно воды перпендикулярна течению и равна v. На какое расстояние течение снесет лодку за время всего движения, если известно, что при ее удалении от берега до середины реки скорость течения возрастает по закону и = и0 + ks> Какова траектория движения лодки?
1.28. Два спутника летают около Земли по орбитам, близким к круговым, с периодами 7\ и Г2. В течение какого промежутка времени спутники могут поддерживать между собой непрерывную связь, если она осуществляется только в пределах прямой видимости? Радиусы стационарных круговых орбит равны Rx и R2.
1.29. Точка движется по окружности радиусом R так, что ее тангенциальное ускорение все время равно нормальному, а) Найдите закон изменения величины скорости, полагая, что в момент
начала отсчета движения точка имела скорость v0. б) Составьте уравнение движения точки по окружности.
1.30. Самолет, летящий горизонтально СО СКОРОСТЬЮ Vq — = 320 км/ч, внезапно меняет курс и начинает двигаться вверх по дуге окружности, лежащей в вертикальной плоскости. Ско-Рис. 1.6. рость самолета при этом меняет-
ся с высотой по закону v1 = v\ — 2gy и в верхней точке траектории оказывается равной vx = 160 км/ч. Чему равно ускорение самолета в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?
1.31. Автомобиль начал двигаться по выпуклому мосту со скоростью v, изменяющейся в зависимости от пройденного расстояния по закону v=kyrs. Каково ускорение автомобиля в тот момент, когда он опишет по мосту дугу в а рад?
1.32. Смещение материальной точки по двум взаимно перпендикулярным направлениям описывается уравнениями (х и у в метрах) х = 0,1 sin2/; у = 0,05 sin (2t + л/2). Найдите: а) уравнение траектории точки; б) зависимость скорости точки от времени;
в) зависимость полного ускорения точки от времени; г) радиус кривизны траектории в тех точках, где скорость наибольшая и наименьшая.
1.33. Нить с шариком на конце наматывается на гладкий вертикальный стержень радиусом г, оставаясь все время в горизонтальной плоскости. Начальная скорость шарика и длина нити равны v0 и /. Каков закон движения шарика в направлении нити? Через сколько времени нить намотается на стержень?
1.34. Барабан начинает вращаться с постоянным угловым ускорением е вокруг своей оси. По какому закону меняется с течением времени угол ср между векторами скорости и полного ускорения произвольной точки барабана?
1.35. Перед наблюдателем в вертикальной плоскости вращается диск, разделенный на п одинаковых секторов. Около диска закреплен неподвижный указатель. Наблюдая за вращением диска, установили, что дуга первого сектора прошла мимо указателя за ^ = 4 с, дуга соседнего — за t2 = 5 с. После этого диск повернулся на угол <р = 0,75л; и остановился. Считая движение диска равнозамедленным, определите его угловое ускорение.
1.36. В некоторый момент времени вращение одного диска описывается уравнением фх = 2со0? + 0,1?2, второго ф2 = со0/ — — 0,И2. Через время т=5 с первый диск опережает второй на пять оборотов. На сколько оборотов первый диск будет опережать второй к тому моменту, когда второй диск остановится?
1.37. Стержень длиной 21 вращается в горизонтальной плоскости так, что в некоторый момент времени скорость одного конца стержня равна vl и направлена под углом а к стержню, скорость второго конца v2. Определите угловую скорость вращения стержня относительно его центра.
1.38. При трогании автомобиля с места по льду ведущие колеса диаметром d = 0,75 м вращались с постоянной угловой скоростью со = 4 1/с до тех пор, пока автомобиль не получил ускорение а = =0,9 м/с2. Чему равна скорость и ускорение точки колеса, соприкасающейся с дорогой через t = 5 с после начала движения автомобиля?
1.39. Автомобиль движется по прямому шоссе так, что его движение описывается уравнением х = /2 (х в метрах). Радиус колеса автомобиля R = 1 м. а) Составьте в параметрической форме уравнение движения какой-либо точки колеса, лежащей на ободе, полагая, что в начальный момент она совпадает с полотном шоссе,
б) Найдите скорость и ускорение этой точки в те моменты, когда она первый раз попадает на уровень горизонтального диаметра и в вершину траектории, в) Определите радиусы кривизны траектории точки в эти моменты, г) Найдите геометрическое место точек колеса, скорости которых численно равны скорости автомобиля.
1.40. Зубчатое колесо радиусом R = 1 м зажато между двумя рейками, движущимися в одну сторону со скоростями ^ = 1 + 31 ии2= 1 — t (vx и v2 в метрах в секунду), а) Составьте уравнения движения, скорости и ускорения оси колеса. Определите: б) скорости и ускорения точек обода, лежащих на концах горизонтального диаметра, к концу второй секунды движения; в) ускорения точек колеса, соприкасающихся с рейками.
Решите задачу при условии, что рейки движутся в разные стороны.
1.41. Шар радиусом г = 2,5 см катится в горизонтальной плоскости без скольжения по кольцевым рельсам. Радиус кривизны наружного рельса Rx = 10 см, внутреннего— R2 = 7 см. Полный оборот вокруг своей оси шар делает за время t = 5 с. Определите величину и направление полной угловой скорости шара.
1.42. С автомобиля, идущего со скоростью v0, соскочило колесо и покатилось по кругу радиуса R. Радиус колеса г. Определите угловую скорость и угловое ускорение колеса.
§ 2. Законы Ньютона
2.1. На две частицы массами т и 2т, летящими перпендикулярно друг другу с постоянными скоростями v и 2v соответственно, в течение некоторого времени действуют две одинаковые силы. К моменту прекращения действия сил первая частица движется в обратном направлении со скоростью 2v. С какой скоростью и в каком направлении стала двигаться вторая частица?
2.2. В воде плавает палочка длиной /, массой М, на конце которой сидит жук массой т. В некоторый момент времени жук начинает ползти к другому концу палочки, двигаясь относительно нее со скоростью и. Считая силу сопротивления воды постоянной и равной F, найдите: уравнение движения палочки; расстояние, на которое сместится жук, пройдя палочку.
2.3. Аэростат, имеющий вместе с балластом массу т, опускается вниз с постоянным ускорением а. Сколько балласта нужно сбросить с аэростата, чтобы он опускался с прежним ускорением, но направленным вертикально вверх? Трением пренебречь.
2.4. Лифты Останкинской телевизионной башни, работающие до высоты 337 м, имеют скорость равномерного движения 7 м/с
и поднимаются за 60 с. Считая ускорение постоянным по величине и одинаковым во время разгона и торможения, определите силу давления груза массой 100 кг на дно лифта в начале, середине и конце подъема.
2.5. К потолку кабины лифта массой М подвешен идеально упругий шарик массой т М. Шарик находится на расстоянии Н от пола. Под действием силы F кабина начинает подниматься ускоренно. Чему равно натяжение нити, которой шарик привязан к потолку кабины? Через сколько времени шарик достигнет пола, если нить внезапно оборвется? На какую высоту над полом подскочит шарик после удара?
2.6. Через неподвижный блок переброшен легкий нерастяжимый тросик, к одному концу которого привязано п = 10 одинаковых грузиков. За свободный конец тросика тянут с силой F0 = 9,8 Н, и вся система находится в равновесии (рис. 2.1). В некоторый момент сила тяги начинает изменяться по закону F = 9,8 + At— — 212 (F в ньютонах) до значения Fq. Какую максимальную скорость будут иметь грузы в процессе движения? Какова должна быть минимальная прочность нитей, соединяющих грузы, чтобы не произошло разрыва при движении системы?
2.7. Маляр работает в подвесном кресле (рис. 2.2). Масса маляра 72 кг, масса кресла 12 кг. С какой силой маляр должен подтягивать свободный конец веревки, чтобы подняться на высоту 3 м за 2 с? С какой силой маляр -будет давить на кресло во время движения? На блок действует сила трения 30 Н.
2.8. Два блока подвешены на динамометре, как указано на рисунке 2.3. К свободному концу нити, пропущенной через блоки, прикреплен груз массой т = 60 кг, на подвижном блоке висит груз массой М = 90 кг. В некоторый момент времени грузы находились на одном уровне, затем были предоставлены самим себе. Определите: время, в течение которого расстояние между грузами станет равным 2 м; показание динамометра при движении грузов.
2.9. Санки массой т = 5 кг в течение времени t — 5 с тянули горизонтально силой F = = 20 Н. Коэффициент трения между санками и дорогой f = = 0,3. Какое расстояние пройдут санки от начала движения до полной остановки?
2.10. На рисунке 2.4 массы брусков одинаковы, коэффициенты трения скольжения между брусками и между бруском и столом f = 0,3. Если за динамометр, подвешенный к концу нити, свисающей с блока, потянуть с силой Flt то бруски начнут двигаться ускоренно и за время t = 0,5 с пройдут путь s = 0,5 м; показание второго динамометра при этом равно F2 = 40 Н. Определите:
а) показания первого динамометра; б) показания динамометров при условии, что к первому динамометру подвесили груз, сила тяжести которого равна /V
2.11. На столе массой М находится система грузов, указанная на рисунке 2.5. Коэффициент трения между грузом массой 2т и столом f= 0,1. При каком минимальном значении коэффициента трения между полом и столом стол будет находиться в покое при движении грузов?
2.12. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой га, соединенные пружиной жесткости k. Длина пружины в нерастянутом состоянии /0. К правому кубику привязана нить с грузом массой т на конце (рис. 2.6). В некоторый момент времени этот груз отпускают и система начинает двигаться без начальной скорости. Найдите минимальное и максимальное расстояния между кубиками при движении системы.
2.13. Груз массой 3т поднимают равноускоренно вверх на динамометре (рис. 2.7), массы пружины и корпуса которого одинаковы и равны т. Во сколько раз показание динамометра отличается от максимальной силы натяжения пружины?
2.14. Один конец однородного каната удерживают над поверхностью земли, второй — касается земли. Масса каната равна т, длина его /. По какому закону будет меняться с течением времени сила давления каната на землю, если его отпустить?
2.15. На легкой нити, перекинутой через блок, подвешены два груза с массами т и М. Предоставленные самим себе грузы приходят в ускоренное движение. Зная, что на нить действует сила трения f, определите ускорение и изменение импульса центра масс системы, спустя время t после начала движения.
2.16. Два бруска с массами Мит находятся на идеально гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а. К одному из брусков вдоль наклонной плоскости приложена сила F > (М + m)gsina. Определите, с какой максимальной силой бруски давят друг на друга при движении. Рассмотрите случаи, когда сила F направлена вверх по наклонной плоскости и когда вниз.
2.17. Груз массой т лежит на идеально гладкой поверхности клина с острым углом а и удерживается посредством легкой нити, закрепленной у его верхнего ребра (рис. 2.8). Каково натяжение нити и давление груза на грань, если клин станет двигаться вправо (влево) с ускорением а? При каком значении а груз перестанет давить на клин? исчезнет натяжение нити?
2.18. Два груза массами Мит находятся на минимальном расстоянии друг от друга на гранях гладкого прямоугольного клина с острым углом а (рис. 2.9). Предоставленные самим себе грузы приходят в ускоренное движение. Какова скорость грузов в тот момент, когда расстояние между ними станет наибольшим? Длина нити /. Какое давление оказывает блок на ось при движении грузов? Массой блока пренебречь.
2.19. На наклонной грани прямоугольного клина с острым углом а, лежащего на горизонтальном столе, находится небольшая идеально гладкая шайба массой т. Масса клина 2т. а) При каком минимальном значении коэффициента трения f между клином и столом клин будет находиться в покое во время скольжения шайбы? б) Каковы ускорения шайбы и клина при / = О?
2.20. Тело пущено вверх по наклонной плоскости. Коэффициент трения между телом и плоскостью f = 0,5, начальная скорость тела v0 = 19,6 м/с. Определите угол а, при котором время подъема минимально, и это время.
2.21. Ящик массой т = 10 кг перемещают по полу, прикладывая к нему некоторую силу F под углом а = 30° к горизонту. В течение времени t = 5 с скорость ящика возросла с vl = 2 м/с до v2 = 4 м/с. Коэффициент трения скольжения между ящиком и полом f = 0,15. а) Определите величину силы F. б) Под каким углом а0 к горизонту должна быть приложена сила F, чтобы она была минимальной, и какова величина этой силы?
2.22. Брусок массой М опускается ускоренно по наклонной плоскости и поднимает гирю массой т (рис. 2.10). Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен f. Пренебрегая массой нитей и блоков, определите ускорение бруска и давление на оси блоков.
2.23. Две одинаковые равнобедренные прямоугольные призмы массами т стоят на гладком горизонтальном столе (рис. 2.11). Сверху на призмы осторожно положили цилиндр массой т, и вся система пришла в движение. Радиус цилиндра R, коэффициент трения между цилиндром и гранями призм f. Какова скорость цилиндра в тот момент, когда он коснется стола?
2.24. На тело массой т = 1 кг, лежащее на шероховатой горизонтальной поверхности, в некоторый момент времени под углом а = 30° к горизонту начала действовать сила, пропорциональная времени: F = 1,12 t (F в ньютонах). Определите скорость движения тела спустя время tx = 3 с, а также ускорение тела по истечении t2 = 20 с. Коэффициент трения между телом и поверхностью
f = 0,2.
2.25. Снаряд массой т вылетает из ствола со скоростью v0 под углом а к горизонту. Полагая, что сила сопротивления воздуха меняется по закону F= — kv, определите максимальную высоту подъема и дальность полета снаряда. Коэффициент пропорциональности таков, что при скорости F
2.26. Моторная лодка массой т = 200 кг двигалась по озеру со скоростью v0 = 20 м/с. Считая силу сопротивления воды пропорциональной квадрату скорости, определите зависимость скорости лодки и пройденного ею пути от времени после выключения мотора.
2.27. Какую постоянную горизонтальную силу нужно приложить к тележке массой Зт (рис.
2.12), чтобы бруски массами т и 2т относительно нее не двигались? Трением пренебречь. Каковы ускорения брусков при Fx = 6tng и F2 = 24mg’?
2.28. Пренебрегая трением, определите ускорение грузов в системе, представленной на рисунке 2.13. Массы грузов и блоков соответственно 2т и т.
2.29. Тело массой т = 1 кг находится ка наклонной грани
клина, составляющей с горизонтом угол а = 45°. Коэффициент трения между телом и клином f = 0,5 . а) С каким ускорением аг нужно двигать клин в горизонтальном направлении, чтобы тело не скользило по клину? С какой силой тело будет при этом давить на клин? б) За какое время тело спустится с вершины клина, если он будет двигаться с ускорением а2 = 0,5^? Длина наклонной
плоскости I = 1,225 м. в) За какое время тело поднимется от ос-
нования наклонной плоскости до вершины, если клин будет двигаться с ускорением а3 = 2ах?
2.30. К концам легкой нити, перекинутой через блок, укрепленный на динамометре, подвешены два груза с массами т и М. Определите ускорение грузов относительно друг друга и показание динамометра при условии, что точка подвеса динамометра движется с ускорением а, направленным под углом а = 30° к горизонту.
2.31. Три идеально гладкие пластинки массами Зт, 2т и т соединены посредством легких нитей и блоков, как указано на рисунке 2.14. а) Чему равно натяжение нитей при движении системы?
б) При каком минимальном коэффициенте трения f между пластинками, находящимися на наклонной плоскости, система будет двигаться как одно целое?
2.32. Каково ускорение клина с углом а = 30° и давление на ось блока в системе, указанной на рисунке 2.15? Трением пренебречь.
2.33. Какова скорость бруска у основания клина высотой h и углом сс = 60° в системе, указанной на рисунке 2.16? Трением между клином и плоскостью, бруском и клином пренебречь.
2.34. Шайба массой т посредством двух пружин длиной 2/3/ и 1/31 надета на гладкий горизонтальный стержень, как указано на рисунке 2.17. Пружины сделаны из одной и той же проволоки и при равновесии стержня находятся в свободном состоянии. Коэффициент упругости меньшей пружины равен k. Определите положение шайбы на стержне при его вращении с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня.
2.35. Автомобиль массой 1500 кг двигался по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности с центральным углом 60°. При въезде на мост скорость автомобиля была вдвое больше, чем при съезде с моста. Тангенциальное ускорение автомобиля 3,7 м/с2. Определите максимальную силу давления автомобиля на мост.
2.36. Автомобиль, трогаясь с места, равномерно набирает
скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности с центральным углом а = 30°. Радиус окружности R — 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю f = 0,3.
2.37. Подъемный кран поднял груз так, что длина свисающего троса / = 3 м. С какой
ворачиваться кран вокруг вертикальной оси, чтобы отклонение груза от вертикального положения троса не превышало s = 1 м? Расстояние точки подвеса троса до оси вращения г = 4 м.
2.38. Стальной шарик радиусом г == 2 см катится по двум кольцевым рельсам, расположенным в горизонтальной плоскости. Радиус внешнего рельса R == 1,73 м, расстояние между рельсами / = 2 см. Какое максимальное число оборотов может делать шарик около своей оси при каченци без скольжения по рельсам?
2.39. Центробежный регулятор, показанный на рисунке 2.18, должен выключать машину, когда скорость вращения вала достигнет п = 2 об/с. Управляющая обойма имеет массу М = 4 кг и может скользить по вертикальному стержню без трения. Звенья регулятора одинаковы.
Выключение происходит в тот момент, когда расстояние АВ сокращается до / == 0,43 м. Пренебрегая трением в шарнирах и массой звеньев, определите массу грузиков т, необходимую для работы регулятора.
2.40. Мотоциклист движется с постоянной по величине скоростью v по внутренней (внешней) поверхности полусферы радиусом R, обращенной выпуклостью вниз
(вверх). При этом он описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R/2. При каком минимальном коэффициенте трения скольжения между покрышками и поверхностью полусферы возможно такое движение? Под каким углом к вертикали должен наклониться мотоциклист?
2.41. Максимальная скорость, с которой велосипедист может пройти поворот радиусом R на горизонтальном треке, равна v. С какими скоростями велосипедист может проходить такой поворот на треке с углом наклона а?
2.42. Шарик массой т, подвешенный на легкой нити, образующей угол а с вертикалью, лежит на гладкой полусфере радиусом R (рис. 2.19). Треугольник АВО прямоугольный. Шарику сообщили скорость v перпендикулярно плоскости чертежа, и он стал скользить по полусфере, описывая окружность.
Чему равна сила давления шарика на полусферу во время движения? При каком значении v она станет равной нулю?
2.43. Два небольших грузика А и В разной массы соединены нитью длиной /, пропущенной через гладкое кольцо (рис.2.20). При вращении кольца вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со0 грузики
находятся на одном уровне. Масса грузика В равна т. При каком значении угловой скорости со нить будет изогнута под углом 90°?
2.44. Шар радиусом R вращается с угловой скоростью со вокруг вертикального диаметра. На расстоянии R от вершины шара, на грани скольжения находится небольшая шайба. Чему равен коэффициент трения между шайбой и шаром?
2.45. Внутри конуса, установленного в ра-Рис. 2.21. кете, поднимающейся вертикально вверх с
ускорением а, находится небольшое тело. Конус имеет при вершине угол 2а и вращается равномерно вокруг своей оси (рис. 2.21). Коэффициент трения между телом и поверхностью конуса f < tga, ось конуса совпадает с продольной осью ракеты. При каких значениях угловой скорости со тело будет находиться на расстоянии г от оси конуса?
2.46. На невесомом стержне длиной 21 укреплены два шарика массой т каждый. Один шарик находится в середине стержня, другой — на конце. Стержень представляет собой конический маятник и вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со. а) Определите угол а между стержнем и осью вращения, б) Решите задачу при условии, что на стержень надето п шариков и расстояние между ними /.
2.47. Из орудия, установленного на широте <р = 30°, произведен выстрел на восток. Начальная скорость снаряда v0 = 500 м/с направлена под углом a = 60° к горизонту. На какое расстояние:
а) смещается точка падения снаряда в плоскости стрельбы относительно точки падения, рассчитанной без учета вращения Земли; б) отклоняется снаряд от плоскости стрельбы за время полета? Сопротивление воздуха не учитывать.
§ 3. Закон сохранения импульса
3.1. Идеально гладкий шар массой т = 2 кг, летящий со скоростью v1 = 3i-\-2j—k, испытывает неупругое столкновение с шаром массой М = 3 кг, имеющим в момент соударения скорость v2=—2i+2/-f4& и щ—в метрах в секунду). Определите скорость шаров после удара.
3.2. Гладкая вертикальная стенка движется в горизонтальном направлении со скоростью и. В стенку попадает шарик массой т, летящий в горизонтальной плоскости со скоростью у, направленной под углом а к стенке. Считая удар абсолютно упругим, определите, под каким углом шарик отразится от стенки и импульс, полученный стенкой.
3.3. Два груза массами М соединены между собой легкой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.1). На правый груз осторожно кладут перегрузок массой т М, после чего вся система приходит в ускоренное движение. На высоте h == Я/2 перегрузок быстро отделяют от груза.
Через сколько времени этот груз коснется пола?
3.4. Тепловоз массой т = 100 т движется вместе с составом массой М = 1000 т со скоростью v = 36 км/ч по горизонтальному пути.
При разрыве сцепки между тепловозом и составом вагоны прокатились расстояние s =
= 100 м за t = 10 с и остановились. Полагая, что сила тяги и силы сопротивления остаются неизменными, определите, на каком расстоянии от состава будет находиться тепловоз в- момент остановки вагонов.
3.5. Доска массой М движется равномерно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v. Сверху на доску осторожно кладут кубик массой т = М/2. Какое расстояние пройдет кубик по доске за время проскальзывания? Коэффициент трения между доской и кубиком равен f. Чему равно это расстояние, если в момент соприкосновения с доской кубик имеет скорость 2v, направленную в сторону движения доски; в противоположную сторону?
3.6. Две лодки массами Мх и М2 двигались навстречу друг другу со скоростями vx и v2. Когда лодки поравнялись друг с другом, пассажиры лодок поменялись грузами массами т1 и т2, сообщив им скорости соответственно иг. и и2 перпендикулярно движению лодок. Каковы скорости лодок после обмена грузами?
3.7. Гладкий неупругий шарик налетает на такой же шарик, первоначально покоящийся. После столкновения второй шарик летит под углом а к начальному направлению движения первого шарика. Определите угол, под которым разлетаются шарики после столкновения.
3.8. Клин массой т скользит с вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а =30°. Длина наклонной плоскости /. В тот момент, когда клин прошел половину пути, в него попал груз массой т, падавший свободно с высоты h = //2. Считая удар неупругим и время соударения ничтожно малым, определите скорость клина у основания наклонной плоскости. Коэффициент трения между клином и плоскостью f=(2]/Л3)-1.
3.9. Снаряд, выпущенный под углом а = 30° к горизонту, разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 40 м на три одинаковые части, импульсы которых оказались расположенными в одной плоскости. Одна часть снаряда падает на землю через tx = 1с после взрыва под точкой взрыва, вторая — там же через t2 = 4 с. На каком расстоянии от места выстрела и с какой скоростью упадет третий осколок?
3.10. Плот массой М с человеком, масса которого т, плывет в спокойной воде со скоростью v. Человек от середины плота проходит расстояние / за время t и останавливается. Какое расстояние
пройдет за это время плот, если: а) человек шел в направлении движения плота; б) в противоположную сторону; в) перпендикулярно движению плота? г) В каком направлении и с какой скоростью должен идти человек, чтобы плот не двигался?
3.11. Катер массой М идет со скоростью v и стреляет по курсу снарядом массой т. Ствол орудия образует с горизонтом угол а. Определите скорость катера после выстрела и расстояние от катера до места падения снаряда, если его начальная скорость относительно воды равна и (начальная скорость снаряда относительно катера равна и). Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.12. С какой минимальной скоростью и под каким углом к горизонту должен прыгнуть человек массой т, стоящий на краю неподвижной тележки массой М и длиной /, чтобы попасть на ее конец? Трением между дорогой и тележкой пренебречь.
3.13. На концах легкого однородного стержня находятся два шарика массами т и 2т. Стержень бросают так, что в начальный момент времени больший шар имеет скорость v2 = 10 м/с, направленную под углом а = 60° к горизонту, а меньший — скорость иг = 5 м/с, направленную вертикально вниз. На какую высоту поднимется центр масс системы и какова в этом месте будет его скорость?
§ 4. Динамика тел переменной массы
4.1. Космический корабль массой М0 выбрасывает топливо с относительной скоростью и. Масса корабля изменяется вследствие сгорания топлива с постоянной скоростью |i. На сколько возрастает скорость корабля за время /?
4.2. Сколько топлива потребуется для вывода космической ракеты массой М = 5,00 т на круговую орбиту вблизи поверхности Земли, если известно, что скорость истечения газов из сопла постоянна и равна и = 4000 м/с? Первая космическая скорость v = 7,9 км/с. Всеми силами сопротивления движению пренебречь.
4.3. Двухступенчатая исследовательская ракета запущена вертикально вверх. Стартовая масса ракеты М = 5,9 т, масса аппаратуры т = 60 кг, скорость истечения газов и = 2500 м/с. Принимая отношение полезного груза данной ступени к массе ракеты без топлива этой ступени равным е = 0,5, определите скорость второй ступени после сгорания топлива. Сопротивлением воздуха и действием силы тяжести пренебречь.
4.4. Ракета начинает подниматься вертикально вверх с ускорением а = 3g. Относительная скорость истечения газов и = 2000 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, через сколько времени масса ракеты уменьшится в два раза.
4.5. Межпланетный космический корабль стартует вертикально вверх с поверхности Земли. Масса корабля без топлива тк = 10 т, скорость истечения газов и = 105 м/с, ускорение корабля во время подъема постоянно и равно а — 11,2 м/с2. Учитывая изменение
ускорения свободного падения с высотой, определите необходимый запас топлива, чтобы можно было сообщить кораблю вторую космическую скорость.
4.6. Космический корабль движется с постоянной скоростью. Чтобы изменить направление полета корабля на 90°, был включен двигатель, выбрасывающий струю газа с относительной скоростью и в направлении, перпендикулярном к его траектории. Сколько топлива было израсходовано за время поворота, если начальная масса корабля в момент включения двигателя равнялась т0?
4.7. Ракета запущена вертикально вверх в однородном поле тяжести без начальной скорости. Масса ракеты изменяется с течением времени по закону т = т0 ехр(—at), где а— некоторый постоянный коэффициент. Скорость истечения газов и (сш > g), масса горючего mY. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите максимальную высоту подъема Н ракеты. При каком значении коэффициента а длина активного участка траектории будет наибольшей? Чему равна эта длина?
4.8. Ракета стартует вертикально вверх без начальной скорости в поле земного тяготения. Сечение сопла ракетного двигателя 5, газы вылетают из сопла с постоянной скоростью и, имея плотность р. Начальная масса ракеты, включая запас горючего, равна га0. Пренебрегая сопротивлением воздуха и изменением ускорения свободного падения с высотой, определите максимальную скорость, приобретаемую ракетой.
4.9. По какому закону должна меняться масса космического корабля с течением времени, чтобы во время подъема космонавты не испытывали перегрузок? Стартовая скорость корабля v, скорость истечения газов и. При решении задачи учесть изменение силы тяжести с высотой, а сопротивлением воздуха пренебречь.
4.10. Водометный катер движется с постоянной скоростью, засасывая воду и выбрасывая назад струю со скоростью и = 20 м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения струи S = 0,01 м2. Сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости катера и равна F = 7,5 v2 (F в ньютонах). Чему равна скорость катера?
4.11. Льдина начала спускаться с горы, образующей с горизонтом угол а = 30°. Коэффициент трения между льдиной и горой / = 0,5. В результате нагревания масса льдины уменьшается с течением времени по закону т = т0( 1—0,5/)- Пренебрегая абсолютной скоростью отделяющихся частиц, определите скорость льдины через время t г= 1 с.
4.12. Вагонетку длиной / и массой т загружают на ходу песком, который сыпется из бункера с высоты h. Вследствие увеличения массы вагонетки ее скорость за время погрузки равномерно уменьшилась от v до v/З. Сила сопротивления движению в каждый момент времени пропорциональна силе нормального давления, причем коэффициент пропорциональности равен f. Чему равна скорость |л погрузки песка?
§ 5. Работа, мощность, энергия
5.1. Бревно массой т поднимают по наклонному желобу, имеющему в сечении вид двугранного угла с раствором 2а (рис. 5.1). Желоб наклонен к горизонту под углом §, коэффициент трения между бревном и желобом равен f. Какую работу нужно совершить, чтобы бревно передвинуть вверх по желобу на расстояние /? При каком значении угла (3 работа будет максимальной? Чему она равна?
5.2. Шесть пружин с коэффициентом упругости k = 102 Н/м соединены между собой посредством гладких колец таким образом, что образуют тетраэдр (рис. 5.2). К кольцам приложены четыре одинаковые силы F = 200 Н, причем вся система находится в равновесии. Какую работу пришлось совершить, растягивая пружйны?
5.3. В ванну, имеющую форму параллелепипеда, налита вода до высоты /г. Длина ванны 26, ширина а. Посередине ванны имеется легкая пластинка, плотно прилегающая ко дну и стенкам и делящая ее на две равные части. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы сдвинуть пластинку на расстояние а (а<6)?
5.4. Автомобиль массой т = 3000 кг идет по горизонтальному участку пути со скоростью v = 36 км/ч. На сколько увеличивается
мощность автомобиля при движении в гору с той же скоростью, если наклон горы равен а = 10°? Силу трения, препятствующую движению, в обоих случаях считать постоянной.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
