|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание настоящей книги вышло в свет в 1950 г.; эта книга открывала серию «Библиотека математического кружка». Около 15 задач в первоначальном варианте книги было заимствовано из рукописи одного из основателей кружка при МГУ Давида Оскаровича Шклярского (1918 — 1942), в возрасте 23 лет погибшего в партизанском отряде в Белоруссии. При этом влияние Додика Шклярского на всю работу, проводимую в Москве с интересующимися математикой школьниками, и, в частности, на книги серии «Библиотека математического кружка» было настолько значительным, что постановка его фамилии на первое место в списке авторов этих сборников является вполне уместной1). В 1954 г. эта книга была переиздана в значительно переработанном и дополненном виде; в 1959 и в 1965 гг. книга снова переиздавалась, но уже без существенных изменений.
Сборники «Избранных задач и теорем элементарной математики» построены на материалах школьных математических кружков и математических олимпиад. Они содержат задачи «олимпиадского» типа, т. е. такие, для понимания условий и для решения которых вполне достаточно знания курса математики средней школы, однако методы решения этих задач, зачастую, являются непривычными для школьной практики, приближаясь к приемам, с которыми сталкиваются математики в своей исследовательской работе. В отличие от большин-
) Относительно истории школьного математического кружка при МГУ и московских математических олимпиад и роли, которую сыграл здесь Д. О. Шклярский, см. вводную статью В. Г. Болтянского и И. М. Яглома к книге [I] (числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы — см. ниже стр. 381 — 384).
ства задачников, предназначенных для учащихся средней школы, эти сборники ставят своей целью не столько закрепить и углубить знания читателя, полученные им в школе, сколько ознакомить его с рядом новых для него методов и идей и привить вкус к самостоятельным изысканиям. В связи с этим здесь почти полностью отсутствуют задачи, для решения которых достаточно только формального усвоения школьного курса математики. Очень слабо представлены в сборниках наиболее привычные для школьников типы задач «на сообразительность», скажем, задачи на искусственные методы решения уравнений и систем уравнений высших степеней; зато сборники содержат много задач с нестандартными формулировками, требующих для своего решения новых подходов.
При подборе задач больше внимания уделялось тем разделам элементарной математики, которые находят продолжение в современных исследованиях (для примера назовем темы: «Матрицы/последовательности, функции» или «Алгебра многочленов»). Некоторые циклы задач излагают в переработанном и приспособленном для школьников виде отдельные вопросы, которые обычно относят к «высшей» математике (скажем, элементы теории чисел). Отдельные задачи заимствованы из сочинений классиков математики и из статей, напечатанных в научных математических журналах.
Книга предназначена для интересующихся математикой учащихся старших (7 — 10) классов средней школы. Она может быть также положена в основу работы школьного математического кружка; при этом руководителю (и участникам) кружка может оказаться полезной и дополнительная литература, указанная в списке на стр. 381 — 384. Перед решением задач полезно прочесть «Указания к пользованию книгой» (стр. 7 — 8).
В связи с некоторой необычностью содержания сборники «Избранных задач и теорем» могут показаться трудными читателю, привыкшему к «стандартным» задачникам, предназначенным для учащихся средней школы. Тем не менее опыт математических кружков и олимпиад показывает, что собранные здесь задачи для достаточно настойчивого школьника вполне доступны.
При переработке книги для нового издания мы старались ее, по возможности, упростить — для этого из нее были исключены все без исключения задачи, номера которых помечались во 2-м — 4-м изданиях двумя звездочками (в «Указаниях к пользованию книгой» эти задачи рекомендовалось рассматривать как «теорию», читая их решения сразу после условий), а также наиболее трудные из задач, номера которых были помечены одной звездочкой: хотя таким образом из книги выпало несколько интересных задач, но зато она стала доступнее в качестве пособия для самостоятельной работы учащихся. Некоторые задачи были опущены потому, что они показались нам менее интересными, чем другие; два последних цикла задач исключены как «слишком теоретические» (так, например, задачи этих циклов было невозможно решать «в разбивку»). Взамен исключенных книга дополнена рядом новых задач, в основном заимствованных из материалов последних московских, всесоюзных и международных олимпиад. Из-за резкого увеличения числа предлагавшихся на олимпиадах задач мы исключили из книги список номеров таких задач (который ныне должен был бы содержать больше половины всех номеров).
Использование при работе над книгой материалов математических олимпиад превращает когорту нынешних «олимпиадчиков»: И. Бернштейна, И. Васильева. Г. Гальперина, Ю. Ионина, А. Лемана, А. Савина, А. Толпыго, А. Тоома и многих других, в соавторов этого сборника; особо хочется отметить помогавших автору своими советами В. Гутенмахера и Л. Макара-Лиманова. Значительное содействие оказала мне в моей работе также и Л. И. Головина. При всем том я не знаю, уместно ли специально выражать здесь всем перечисленным лицам свою признательность: заботу об интересующихся математикой школьниках я воспринимаю как наше общее дело, в котором все мы участвуем, отдавая тем самым свой долг людям, которые некогда учили нас (и в этой связи мне снова хочется помянуть моего учителя Д. Шклярского).
И. М. Яглом
УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ
Настоящая книга состоит из условий задач, ответов и указаний К ним и решений. Ради удобства читателей «Ответы и указания» помещены в конце книги; так же как и «Решения», они напечатаны мелким шрифтом.
Номера задач, решение которых не требует знаний, выходящих за пределы программы 8-го класса средней школы, набраны курсивом; решение большинства из этих задач доступно даже семиклассникам. Звездочкой отмечены задачи, которые кажутся автору более трудными. При этом не исключено, разумеется, что читателю покажется относительно легкой какая-нибудь из отмеченных нами задач, или, наоборот, его серьезно затруднит задача, не отмеченная звездочкой, — ведь точных критериев, определяющих трудность задачи, не существует.
Читателю рекомендуется попытаться самостоятельно решить заинтересовавшую его задачу, не заглядывая в указание или в решение. Если эта попытка не увенчается успехом, то следует посмотреть указание или ответ, знание которого тоже может облегчить решение задачи. Если же и после этого задача не будет решена, то следует прочитать решение задачи. Если задачу удалось решить, не заглядывая в указание, то рекомендуется сравнить ответ с приведенным в «Ответах и указаниях» (если таковой там имеется) и при расхождении попытаться обнаружить свою ошибку. Если же ответы совпадут, то полезно сравнить свое решение с приведенными в книге. Если в книге дано несколько решений задачи, интересно сравнить их между собой. Этот порядок может быть нарушен по отношению к задачам, отмеченным звездочкой, — здесь можно рекомендовать иногда с самого начала ознакомиться с указанием и только после этого приступить к решению задачи.
Как правило, задачи сборника независимы одна от другой; лишь изредка решение задачи использует предложение одной из соседних , с ней задачи. Исключением в этом отношении являются лишь два последние цикла задач: «Комплексные числа» и «Несколько задач из
теории чисел» — в этих циклах задачи более тесно связаны друг с другом.
Причины, по которым те или иные задачи объединены в один цикл, могут быть различными: иногда это общность методов и постановок вопросов (таков, например, цикл «Алгебра многочленов»), иногда — внешнее сходство условий задач; иногда специальный цикл составляют задачи смешанного содержания, почти не связанные между собой. Некоторые циклы состоят из задач, связанных между собой настолько тесно, что их естественно решать подряд (такова, например, значительная часть цикла «Задачи на делимость чисел» и весь цикл «Перестановки цифр в числе»); эти циклы задач могут служить темой специальных занятий математических кружков (причем здесь может оказаться полезной и указанная в конце книги дополнительная литература). Иногда циклы задач можно естественно разбить на части, различающиеся по методам решения и условиям; эти части циклов отделяются одна от другой черточками. Следует отметить, что названия циклов часто являются условными и передают только их общее содержание: для многих задач невозможно точно определить, к какому циклу их следует отнести.
Задачи сборника рекомендуется решать не «в разбивку», а выбрать сначала определенный цикл и потратить некоторое время на решение задач этого цикла; лишь после ознакомления с одним циклом (которое, конечно, вовсе не должно состоять в решении всех илн большинства его задач) следует перейти к другому циклу, и т. д. При этом, разумеется, переходить от одного цикла к другому вовсе не необходимо именно в том порядке, в котором циклы расположены в книге.
В конце некоторых из решений задач указаны возможные обобщения условий задачи; в других случаях читатель сам увидит возможность расширительного толкования стоящего перед ним вопроса или придумает другие задачи, родственные собранным в этой книге — и этими возможностями никак не следует пренебрегать. В одном случае в книге сохранена (идущая от И. М. Гельфанда) нарочито неопределенная формулировка условия задачи, оставляющая широкий простор инициативе читателя (см. задачу 194 на Стр. 43); в иных случаях родственную постановку вопроса учащийся сможет предложить сам.
В известном смысле продолжением этой книги являются последующие сборники задач, входящие в «Библиотеку математического кружка» и объединенные с этой книгой общим списком авторов, а также другие книги серии «Библиотека математического кружка» (см. список литературы в конце книги).
|
