DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Эта книга представляет собой вторую часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете. Она содержит задачи по планиметрии и совершенно не зависит от первой части книги, посвященной арифметике и алгебре.
      Принципы, которыми руководствовались авторы при подборе задач, были подробно указаны в предисловии к первой части книги. Много внимания уделялось задачам «нестандартным», требующим для своего решения привлечения соображений, непривычных для школьников, но широко используемых в математике сегодняшнего дня. В настоящей второй части такие «нестандартные» задачи составляют основное содержание первых двух циклов задач, по своему характеру близких друг к другу. В небольшом цикле 2 («Задачи на наибольшие и наименьшие значения, связанные с расположением точек и фигур») собрано несколько задач, которые можно было бы свободно отнести и к циклу 1, но которые хотелось выделить отдельно, чтобы ярче оттенить то общее, что имеется у всех них в постановке вопроса. Отметим, что круг вопросов, затронутый в этом разделе, несмотря на всю его элементарность, в настоящее время еще только начинает разрабатываться; ряд задач цикла 2 заимствован из статей, напечатанных в научных математических журналах в самое последнее время (за 1950 — 1951 гг.), а многие примыкающие сюда вопросы до настоящего времени еще и вовсе не решены.
      Следующие два цикла задач более традиционны. Первый из них содержит задачи на построение и на нахождение геометрических мест, второй — задачи на доказательство теорем. На русском языке имеется несколько хороших сборников задач этих типов, которые мы здесь старались не дублировать.
      Многие задачи циклов 3 и 4 были придуманы в школьном математическом кружке при МГУ или предлагались на математических олимпиадах московских школьников (список задач, предлагавшихся на олимпиадах, приведен на стр. 6). В цикле 3, посвященном задачам на построение, приведены в основном задачи, более редкие в школьной практике, — задачи на построения с ограниченными средствами, построения с помощью инструментов, отличных от циркуля и линейки, построения на поверхности сферы, задачи на построение треугольников и многоугольников, заданных положением некоторых точек этих фигур. В цикле 4, посвященном задачам на доказательство, большое внимание уделяется теоремам, играющим существенную роль в различных разделах так называемой «высшей геометрии», а также задачам на отыскание наибольших и наименьших величин.
      В решениях ряда задач циклов 3 и 4 было бы удобно использовать свойства движений или преобразований подобия; другие задачи хорошо решаются с применением более сложных геометрических преобразований (проективные преобразования, инверсия и т. д.). Стремясь сделать книгу доступной всем школьникам, мы, однако, вынуждены отказаться от подобных решений; соответственно этому использование геометрических преобразований в решениях задач сведено к минимуму.
      Следует отметить, что в настоящей, планиметрической, части книги имеется несколько задач, относящихся к свойствам геометрических фигур в пространстве (точно так же, как в следующей, стереометрической, части книги будут встречаться и задачи по планиметрии). По этому поводу мы можем только снова повторить уже сказанное в указаниях к пользованию книгой в начале первой части: названия отдельных циклов и частей книги являются в значительной мере условными, передающими только общее содержание раздела или части. Две близкие по содержанию задачи, одна из которых относится к планиметрии, а вторая — к стереометрии, мы считали целесообразным поместить рядом друг с другом, а не в разных частях сборника.
      Вся книга, как и первая часть сборника, состоит из условий задач, решений, ответов и указаний (помещенных в конце книги). Предполагается, что читатель сначала попытается решить задачу самостоятельно; в случае неудачи рекомендуется
      посмотреть ответ или указание и после этого продолжать думать над задачей. Только в том случае, если и после ознакомления с указанием решение задачи все-таки упорно не будет получаться, следует посмотреть решение задачи. Если задача будет решена, то следует сравнить свое решение с решением, приведенным в книге. В ряде случаев мы приводили в книге несколько различных решений задачи.
      Задачи данной книги в среднем довольно трудны; решение их, как правило, будет требовать значительного времени. Более трудные задачи помечены звездочкой, а самые сложные из этих последних — двумя звездочками. Номера задач, решение которых не требует знаний, выходящих за пределы программы восьми классов средней школы, набраны курсивом; значительная часть этих задач доступна и семиклассникам.
      Настоящая часть сборника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики» написана И. М. Ягломом; около 10 задач при этом было заимствовано из рукописи покойного Д. О. Шклярского. Автор считает своим долгом выразить благодарность А. М. Яглому, немало помогавшему ему при подготовке настоящей книги, А. И. Фетисову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему ряд замечаний, учтенных при редактировании книги, а также Т. Е. Ашкинузе и Р. А. Мирному, принявшим значительное участие в изготовлении чертежей.
      И. М. Яглом