DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Настоящая книга представляет собой третью часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Она содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Как и первые две части «Избранных задач и теорем элементарной математики», настоящая третья часть состоит из условий задач, ответов и указаний и, наконец, решений. Как решения, так и ответы и указания даны ко всем задачам книги. Кроме того, там, где это необходимо, условия задач снабжены пояснениями.
      Эта книга рассчитана на школьников старших классов — участников математических кружков, на руководителей школьных математических кружков, а также на руководителей и участников кружков по элементарной математике в педагогических институтах. Значительную часть книги составляют «циклы» задач, связанных общей темой, причем задачи цикла вместе с их решениями дают более или менее законченную теорию излагаемого вопроса. Каждый такой цикл может служить темой одного-двух занятий математического кружка.
      Содержание книги довольно разнообразно. Она состоит из четырех почти не связанных между собою разделов.
      В разделе 1 собраны задачи повышенной трудности по школьному курсу стереометрии. Многие из этих задач предлагались на школьных математических олимпиадах в МГУ. Завершает раздел цикл задач по геометрии тетраэдра. По своему характеру задачи раздела 1 близки к задачам на доказательства и построения из «Задачника по геометрии» Б. Н. Делоне и О. К. Житомирского, хотя в среднем и являются более трудными.
      Раздел 2 посвящен общей теории многогранников. В него включен и цикл задач по теории измерения многогранных углов.
      Задачи по теории правильных многогранников Выделены в отдельный раздел 3. Здесь же излагается теория правильных звездчатых многогранников.
      Несколько своеобразным является раздел 4, который содержит как планиметрические, так и стереометрические задачи. Задачи цикла А носят вводный характер. Все они по своему содержанию доступны школьнику, окончившему 8-й класс, а некоторые из них доступны и шестикласснику. Цикл Б посвящен теореме о равносоставленности равновеликих многоугольников. В цикле В рассматривается отчасти уже знакомая читателю по книге Б. А. Корде мского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат» (М. — Л., Гостех-издат, 1952) задача о разбиении прямоугольника на квадраты, а также некоторые примыкающие сюда вопросы. Наконец, цикл Г содержит задачи по теории зоноэдров — выпуклых многогранников с центрально-симметричными гранями.
      Задачи сборника не равноценны по своей трудности. Наряду с легкими задачами представлены и более трудные (в тексте они отмечены звездочкой). Наконец, в книгу включено несколько очень трудных задач (в тексте они отмечены двумя звездочками). Читателю рекомендуется легкие задачи решать самостоятельно, заглядывая в указания лишь в случае неудачи. Если же задача отмечена звездочкой, то можно с самого начала посмотреть указание и только после этого приступить к решению задачи. Такого же порядка следует придерживаться и на занятиях кружка.
      Задачи, объединенные в один цикл, следует решать в той последовательности, в какой они помещены в книге. Что же касается задач, отмеченных двумя звездочками, то не следует приступать к их решению, не ознакомившись с указаниями. Эти последние задачи при желании можно рассматривать так же как «теорию», сразу читая решение задачи. Каждая из таких задач может служить темой самостоятельного доклада на занятии кружка после того, как ученики решили все близкие задачи. Следует отметить, что каждая задача сборника (кроме отмеченных двумя звездочками) была в свое время решена тем или иным школьником — участником школьного математического кружка при МГУ.
      Авторы старались по возможности не дублировать имеющиеся сборники задач. Следует, однако, оговориться, что авторы намеренно внесли в книгу ряд задач и упражнений из курса элементарной геометрии Ж. Адамара; это относится, в частности, к циклу задач по геометрии тетраэдра из раздела 1. Все решения задач были написаны заново.
      Книга содержит большое количество чертежей. Значительная часть стереометрических чертежей выполнена в диметрии, там, где это необходимо, применялась триметрия. Авторы стремились давать наглядные чертежи-рисунки, поэтому на чертежах многогранники часто изображаются не как твердые тела, а как «пустотелые» многогранные поверхности. При этом обычно одна из граней делается «прозрачной» — через нее видны линии и плоскости, проходящие внутри многогранника. На некоторых чертежах многогранники изображены «проволочными» — на этих чертежах дается только скелет из ребер. В книге приведены также шесть фотографий моделей правильных и почти правильных звездчатых многогранников.
      Основная работа по подготовке этой книги выполнена Н. Н. Ченцовым. В книгу включено около десяти задач но стереометрии из рукописи Д. О. Шклярского. Все остальные задачи были подобраны совместно Н. Н. Ченцовым и И. М. Ягломом; последний принимал также значительное участие в работе над разделом 4.
      В написании книги участвовали также И. С. Аршон (цикл «Зоноэдры» и ряд задач раздела 1) и В. Г. Ашкинузе (окончательный вариант раздела 3 и другие задачи). Решения отдельных задач были написаны другими руководителями и участниками школьного математического кружка при МГУ.
      А. И. Фетисов внимательно прочитал рукопись и сделал много существенных и ценных указаний, за что приносим ему свою глубокую благодарность.
      Авторы также пользуются случаем выразить свою благодарность редактору книги А. 3. Рывкину и иллюстратору В. А. Сапожникову, проведшим большую и трудную работу по редактированию и оформлению этой книги.
      Н. Ченцов