АВТОРЫ: Cepгей Владимирович Конягин, Гарник Агасиевич Тоноян, Игорь Федорович Шарыгии, Игорь Анатольевич Копылов, Михаил Борисович Севрюк, Михаил Леонидович Ситников, Олег Аркадьевич Байбородин, Владимир Петрович Буричепко, Григорий Викторович Головин, Дмитрий Олегович Орлов, Леонид Борисович Парновский, Татьяна Анатольевна Сокова, Инна Вячеславовна Стецснко, Владимир Викторович Титснко, Сергей Анатольевич Филиппов
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
Структура книги 9
Задачи Решения
Глава 1. Арифметика 11 80
§ 1. Делимость. Простые и составные числа 11 80
§ 2. Уравнения в целых и рациональных числах 14 92
§ 3. Факториалы и биномиальные коэффициенты 17 107
§ 4. Числовые множества 19 116
§ 5. Различные свойства чисел 22 132
Глава 2. Уравнения и неравенства 24 145
§ 6. Уравнения и системы 24 145
§ 7. Неравенства 26 152
§ 8. Задачи с целой частью 29 162
Глава 3. Планиметрия 31 171
§ 9. Треугольники 31 171
§ 10. Окружности и круги 34 185
§ 11. Многоугольники 37 203
§ 12. Точки, отрезки и прямые 39 215
§ 13. Геометрические неравенства 42 227
§ 14. Геометрические задачи на экстремум 45 244
Глава 4. Стереометрия 47 255
§ 15. Тетраэдры 47 255
§ 16. Многогранники, сферы и другие множества 49 266
Глава 5. Анализ 53 284
§ 17. Последовательности 53 284
§ 18. Экстремумы 56 294
§ 19. Различные свойства функций 57 300
§ 20. Функциональные уравнения 59 304
Глава 6. Многочлены 62 316
§ 21. Корни многочленов 62 316
§ 22. Делимость и равенство многочленов 65 325
§ 23. Различные свойства многочленов 68 334
Глава 7. Комбинаторика 70 342
§ 24. Множества и подмножества 70 342
§ 25. Задачи с использованием графов 72 348
§ 26. Различные комбинаторные задачи 74 352
§ 27. Элементы теории вероятностей 77 362
Приложения 367
Приложение А. Комментарии к условиям задач 367
Приложение Б. Математические соревнования в разных странах 369
Приложение В. Основные библиографические источники 386
Приложение Г. Вспомогательные сведения 388
Приложение Д. Список рекомендуемой литературы 412
Приложение Е. Список обозначений 413
ПРЕДИСЛОВИЕ
В целях популяризации математики среди учащихся средних учебных заведений во многих странах регулярно проводятся математические олимпиады школьников. Олимпиады в целом доказали свою эффективность в пропаганде математических знаний среди молодежи. Кроме того, проведение международных олимпиад является одной из форм сотрудничества ученых разных стран. Поэтому олимпиад-ное движение в настоящее время получило очень большое развитие во всем мире.
С каждым годом растет число стран, которые проводят национальные олимпиады, а с 1959 г. проводятся и международные математические олимпиады. Количество участвующих в них стран увеличилось с 5 — 7 на первых олимпиадах до 30 и более в настоящее время. За последнее десятилетие получили распространение различные региональные международные математические соревнования школьников. Математические олимпиады проводятся и различными учебными заведениями, а также некоторыми математическими журналами.
В нашей стране сложились богатые традиции как в проведении школьных олимпиад разного уровня, так и в обеспечении их соответствующей литературой. Представители СССР, как правило, успешно выступают на международных математических олимпиадах.
В связи с быстрым накоплением опыта проведения национальных олимпиад и постоянным ростом числа стран, участвующих в международных олимпиадах, все более актуальной становится задача широкого ознакомления интересующихся математикой советских школьников с лучшими достижениями олимпиадного движения за рубежом. В 1976 г. был выпущен сборник венгерских математических олимпиад, в 1978 г. — польских математических олимпиад [2]. Задачи некоторых национальных олимпиад (10 стран) и небольшая часть материалов жюри международных математических олимпиад опубликованы в 1976 г. в сборнике международных математических олимпиад [3]. Зарубежным математическим соревнованиям школьников посвящена и настоящая книга, в которую вошли наиболее интересные (по мнению авторов) или наиболее типичные задачи различных олимпиад. Книга отличается большим числом представленных задач. В ней использованы задачи национальных олимпиад 19 стран, а также материалы жюри международных математических олимпиад 1976 — 1977, 1979, 1981 — 1983 гг., задачи международных соревнований в Люксембурге и Финляндии, олимпиады стран Балканского полуострова (так называемой Балканиады) 1984 г., традиционных олимпиад «Австрия — Польша». Очень широко представлены материалы олимпиад Болгарии, Великобритании, Румынии, США, ЧССР и Югославии. Включены задачи венгерских и польских олимпиад последних лет, не вошедшие в сборники [1] и [2]. Большинство представленных в книге задач относится к последним турам соответствующих национальных олимпиад. Некоторые из задач сначала предлагались на олимпиадах нашей страны и только после этого были использованы в зарубежных математических соревнованиях, Сборник адресован прежде всего интересующимся математикой старшеклассникам, и его основной целью является повышение математической культуры школьников. Большинство задач в книге не слишком сложны, нo в совокупности они представляют почти все основные идеи, встречавшиеся в олимпиадной практике. Поэтому авторы надеются, что школьник, не имеющий достаточного опыта участия в олимпиадах, ознакомится со сборником с большой пользой для себя. Более подготовленный читатель С испытает значительное удовольствие при решении более сложных задач нескольких последних задач каждого с параграфа, отмеченных звездочками), а также получит довольно полное представление об олимпиадном движении) за рубежом. Особый интерес могут вызвать задачи из тех разделов математики, которые недостаточно полно представлены или вовсе отсутствуют в программе общеобразовательных школ нашей страны.
Материал книги может быть использован для занятий} математических кружков или специализированных физико-математических школ.
Все задачи снабжены решениями; некоторые из них. представляют собой перевод на русский язык решений, опубликованных организаторами соответствующих олимпиад, а другие особенно решения геометрических задач) написаны авторами заново. Однако, книга рассчитана прежде всего на активного читателя. Лучший способ глубоко разобраться в той или иной математической идее — это решить задачу, в которой используется эта идея, или по крайней мере прочесть ее решение только после достаточно настойчивых попыток справиться с задачей самостоятельно. При этом читателю придется восстанавливать недостающие детали в тех решениях, которые написаны недостаточно подробно.
Внутри каждого параграфа авторы старались по мере возможности располагать задачи так, чтобы близкие по своей тематике задачи находились рядом. Поэтому при решении какой-либо задачи желательно обращать внимание и на ее окружение, где часто в несколько иной ситуации представлена та же идея.
При отборе задач авторы стремились в значительно большей степени помочь читателю овладеть часто встречающимися приемами решения нестандартных задач и выработать у него необходимую дисциплину мышления, нежели сообщить новые математические факты. Тем не менее в ряде задач используются сведения, несколько выходящие за рамки школьной программы. Эти сведения собраны в приложении Г.
Для работы над настоящим сборником весной 1984 г. на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова был создан специальный студенческий научный отряд «Олимпия» в составе 13 человек. Командиром этого отряда был ассистент механико-математического факультета МГУ ,С. В. Конягин, комиссаром — аспирант И. А. Копылов. В отряд входили аспиранты механико-математического факультета М. Б. Севрюк и М. Л. Ситников, студенты О. А. Байбородин, В. П. Буриченко, Г. В. Головин, Д. О. Орлов, Л. Б. Парновский, Т. А. Сокова, И. В. Стеценко и В. В. Титенко. Летом 1984 г. в отряде работал также десятиклассник из школы № 14 г. Белорецка (Башкирская АССР) С. А. Филиппов. Кроме бойцов отряда «Олимпия», авторами сборника являются заведущий кафедрой Ереванского государственного университета Г. А. Тоноян и старший научный сотрудник НИИ АПН СССР И. Ф. Шарыгин.
Почетным бойцом отряда «Олимпия» состоял выдающийся советский математик академик А. Н. Колмогоров, уделяющий большое внимание работе со школьниками.
Летом 1984 г. отряд «Олимпия» работал в здании ФМШ № 18 при МГУ, и авторы искренне признательны И. Т. Тропину, который в то время являлся директором этого интерната. Авторы выражают сердечную благодарность старшему научному сотруднику механико-математического факультета МГУ, заместителю главного редактора журнала «Квант» Ю. П. Соловьеву за большое участие в организации отряда и постоянный интерес к работе над книгой.
Тексты задач национальных и других зарубежных олимпиад на языках соответствующих стран авторам предоставили старший научный сотрудник НИИ СиМО А. М. Абрамов, член редколлегии журнала «Квант»
Н. Б. Васильев, доцент механико-математического факультета МГУ Е. А. Морозова, член редколлегии журнала «Математика в школе» И. С. Петраков, младший научный сотрудник ВНИИ геофизики В. В. Прасолов, югославский математик Д. Реповш, доцент МФТИ, член редколлегии журнала «Квант» А. П. Савин, старший научный сотрудник Института математики АН НРБ И. Табов, доцент МГПИ А. А. Фомин. Аспирант механико-математического факультета МГУ И. В. Мустяца оказал помощь «Олимпии» в переводе задач с румынского языка, а студенты Н. Н. Осипов и Т. Фиммель (ГДР) — с французского и немецкого.
Ценные замечания, способствовавшие улучшению рукописи, были внесены редактором книги А. Ф. Лапко и рецензентами А. М. Абрамовым и доцентом механикоматематического факультета МГУ Ю. В. Нестеренко. Всем названным товарищам авторы выражают большую признательность.
Авторы глубоко благодарны титульному редактору сборника ассистенту механико-математического факультета МГУ И. Н. Сергееву за огромную работу по совершенствованию рукописи.
СТРУКТУРА КНИГИ
Сборник состоит из трех частей.
В первой части приведены условия задач. Она состоит из семи глав, а каждая глава — из нескольких параграфов. Разбиение на главы и параграфы проводилось по тематическому принципу. Оно достаточно условно, поскольку некоторые задачи с равным успехом могли быть помещены в несколько параграфов книги.
В начале каждого параграфа даются ссылки на те из сведений помещенных в приложении Г, которые использованы в условиях и решениях задач данного параграфа.
После номера каждой задачи указано, в каких известных авторам зарубежных олимпиадах она предлагалась. Номера более трудных задач отмечены звездочками. Большинство задач книги предлагались на национальных олимпиадах, ссылки на которые состоят из названия страны, проводившей олимпиаду, и года ее проведения. «Пекин» означает ссылку на Пекинскую олимпиаду, а «Нью-Йорк» — на издававшийся в Нью-Йорке журнал для учащихся двухлетних колледжей. Задачи международных соревнований обозначаются следующим образом: Австрия — ПНР» — совместные соревнования школьников Австрии и Польши, «Балканиада» — соревнования учащихся Балканских стран, «ММС» — международные математические соревнования 1980 г. Наконец, ссылка на материалы жюри международных математических олимпиад начинается словом «Жюри», далее указана страна, предложившая задачу, и год ее обсуждения. К сожалению, авторам неизвестно, какие страны предлагали задачи на международную олимпиаду 1981 г.
Во второй части приводятся решения задач первой части книги. Третья часть содержит различные приложения.
Условия некоторых помещенных в книге задач отличаются от оригинальных. Эти изменения, за которые
авторы несут полную ответственность, отражены в приложении А.
В приложении Б даны краткие сведения о зарубежных математических соревнованиях школьников, а также условия задач тех олимпиад 1985 — 1986 г., которые оказались в распоряжении авторов. Решения этих задач не приводятся, читателям предлагается решить их самостоятельно. В приложении В указаны основные книги и журналы, использованные авторами при составлении настоящего сборника. В приложении Г перечислены основные понятия и факты, необходимые для правильного восприятия материала первой и второй частей.
Для более серьезного изучения соответствующих разделов математики читателю предложена литература, приведенная в приложении Д. Наконец, приложение Е содержит список используемых в книге обозначений.
|
