|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Знаменитые "апории" Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; всё снова и снова стараются их опровергнуть. Автор этих строк, по мере сил, старался исследовать указанные вопросы и уже в третий раз возвращается к их решению *). Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно; здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения; а ведь понятие движения лежит в основе механики и через нее — в основе всей нашей техники. В математике оно превращается в понятие изменения переменных, лежащее в основе современного анализа; а так как рассуждения Зенона весьма тесно связаны с идеей бесконечности (в частности, — с бесконечным рядом), то интересы математики также оказываются весьма серьезно задетыми. Недаром известный историк нашей науки М. Кантор утверждает, что критика элейской школы задержала развитие греческой науки, в особенности — математики и механики.
*) »Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности” Журнал Мин. нар. проев., 1915.
"Актуальная бесконечность (Зенон Элейский и Георг Кантор)**, Academia, 1923.
Математический анализ, на заре своего развития, fipo--шел мимо указанных трудностей. Эта эпоха в истории нашей науки связана с именем Ис. Ньютона, который стоял на точке зрения, диаметрально противоположной критике алеатов. Ньютон вовсе не считался с их аргументами; он просто устранял такие соображения, исходя, повидимому, из постулата возможности знания. Известно, с каким пренебрежением относился великий ученый к созданию гипотез, выходящих за пределы опыта
Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических, и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопро-вергнутыми.
Во 2-й половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора (род. в 1845 г. в С.-Петербурге), несомненно принадлежащие к одному из видных достижений этого плодотворного столетия. Кантор создал математическую науку о бесконечном, ясно разграничив те методы, с которыми можно подходить к этим понятиям, от тех, применение которых приводит к неизбежным противоречиям. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению.
Отмежевываясь от соображений метафизического и теологического характера, которыми Г. Кантор сопровождал подчас свои исследования, надо признать, что его учение об актуальной бесконечности вырвало у зеноновых апорий их жало, направленное против возможности математического естествознания. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца; такие ноты уже звучали в предыдущем издании этой книги.
После этого автор многое передумал в связи с давно известными парадоксами в учении о множествах и в связи с новейшей критикой основ математики. Он пришел к выводу, что неопровержимый остаток апорий Зенона не может быть устранен и вовсе не нуждается в опровержении: здесь "родоначальник диалектики" *) с поразительной силой вскрыл диалектическую природу основных понятий математики, а именно — понятий о бесконечности и о пределе.
Такую точку зрения автор попытается провести и в настоящей книге, использовав материал предыдущего издания и присоединив сюда некоторые выводы из другой своей работы об общих основаниях метода Ньютона **).
*) Так называет Зенона Гегель (Vorlesungen fiber die Geschichte der Philosophie, Bd. I, S. 302).
**) "Общие основания Ньютонова метода первых и последних отношений" [*Изв. физ.-мат, общ. при Казанском унивЛ 2-я серия, т. XXII, № 2, 1916].
Глубокая древность завещала нам несколько знаменитых аргументов или "апорий" Зенона Элейского, которые, будучи облечены подчас в чуждую математике форму, обнаруживали с достаточной ясностью серьезные трудности, лежащие в основе чисто математических понятий континуума и бесконечности. Втечение целых столетий ученые скорее отмахивались от этих досадных парадоксов, чем старались их разрешить, и Гегель имел полное основание сказать, что зенонова диалектика материи доныне не опровергнута *). Лишь в новое время учение о совокупностях, разработанное Г. Кантором, выяснило спорные понятия континуума и бесконечности и дало ключ к пониманию названных выше аргументов; вместе с тем оно показало, каким глубоким и проницательным мыслителем был древний философ, которого иные склонны были считать за самого обыкновенного софиста.
Мы начнем с выяснения основного положения Г. Кантора — о законности понятия об актуально-бесконечном.
Понятия "объект", "совокупность" или "множество" (последнее мы считаем равнозначащим с понятием класса), "принадлежность объекта к данной совокупности" мы примем за основные, оставляя в стороне их логический анализ. Совокупность считается вполне определенной, коль
*) Hegel, Vorlesungeniib. d. Gesch d. Phil. Bd. I, S. 312. Гамильтон, признавая ложным заключение, к которому приводят аргументы Зенона, тем не менее считал их неопровержимыми (см. St. М 111 "La philosophie de Hamilton", Paris, 1869, p. 520).
скоро относительно любого данного нам объекта мы в со* стоянии решить, принадлежит ли он этой совокупности i ила нет.
Надо отметить, что практически указанное решение не i всегда возможно. Пусть, напр., речь идет о совокупности рациональных чисел, лежащих между 0 и 1; далее, ставится вопрос о принадлежности к этой совокупности некоторого числа, которое по своей величине заключается между указанными границами, но само оно задается таким бесконечным рядом или таким определенным интегралом, которые i мы не можем найти в конечном виде. Вопрос сводится к тому, будет ли заданное число рациональным или ирра- i циональным. В некоторых случаях математика разрешает i подобные вопросы; напр., нечто подобное сделано для чисел е и тг, но может случиться, что в данном вопросе мы окажемся бессильны сделать определенное заключение о при- i роде заданного числа. Основываясь на подобных соображениях, иногда возражают против определения, сделанного в тексте. Так, пишущему эти строки пришлось однажды выслушать такое возражение со стороны одного из наших математиков, известных своим интересом к философским вопросам. Последний привел, между прочим, следующий пример: один из присутствующих в комнате записал в своей записной книжке определенное число и, никому не показывая, спрятал книжку в карман; спрашивается, принадлежит ли это вполне определенное число к совокупности целых чисел, или нет.
Такие исключения основаны на том, что объект и совокупность задаются не одинаковыми способами, и у нас не хватает данных, чтобы сделать их однородными. Недостаточность знаний в некоторых случаях не может служить возражением против приведенного выше определения. Между тем, всякое вещественное число либо соизмеримо, либо нет; всякое число — либо целое, либо — нет.
Как известно, совокупности или классы можно задавать двояко: по объему и по содержанию. Первый способ состоит в прямом перечислении всех членов класса, второй — в указании общего им признака. Некоторые классы i можно задавать любым из этих способов (напр.: совокупность учеников такого-то учебного заведения), другие же — i только последним (напр.: совокупность целых чисел или точек данного отрезка). В различии двух этих способов лежит ключ к решению всех вопросов, связанных с понятием бесконечности.
Две совокупности называются равномощными, если между их элементами возможно установить одно-однознач-ное соотношение, так что каждому элементу одной совокупности отвечает один и только один элемент другой; напр., очевидно, что равномощными будут совокупности четных и нечетных чисел, точек окружности и лучей из ее центра. В самом деле, каждому четному числу можно при* вести в соответствие то нечетное число, которое меньше его на единицу, а каждому нечетному — то четное, которое больше его на единицу. Точно так же, каждому лучу, исходящему из центра окружности, будет соответствовать на окружности точка пересечения этих линий, а каждой точке окружности — луч, идущий из центра к этой точке. О равномощных классах говорят также, что они имеют одну и ту же мощность или одно и то же число членов. В дальнейший анализ понятия числа мы вдаваться не будем, так как это понятие для последующего имеет лишь вспомогательное значение.
Одна совокупность является частью другой, если любой элемент первой входит в состав» второй, причем эта последняя содержит элементы, не принадлежащие первой; вторая совокупность по отношению к первой называется целым; о ней будем говорить также, что она обширнее первой (оставляя слово больше для чисел).
Таким образом, аксиома: "целое обширнее части" у нас будет суждением несомненно аналитическим.
Мы подошли теперь к основному вопросу учения о трансфинитном: может ли часть оказаться равномощной целому?
Подобное допущение совершенно невозможно для сово-, купностей, задаваемых по объему. В самом деле, возьмем одну из таких совокупностей а и будем действительно перечислять ее члены, давая им последовательно названия: 1-й, 2-й и т. д.; перебрав все, мы последнему дадим некоторое название "n-й"; тогда п будет числом членов совокупности а, как это устанавливается в основах арифметики. Возьмем теперь какую-нибудь часть (3 данной совокупности и, проделав для нее то же самое, дойдем до числа эю п1 непременно меньше п, так как теперь не будет уже нескольких шагов, ц процессе перечисления элементов; но
если бы р оказалась равномощной с а, то п было бы равно щ, что невозможно. Совокупности, которые не равномощны ни с одной из своих частей, называются конечными; мы видим, что все классы, задаваемые по объему, — конечны.
Перед нами теперь естественно возникает вопрос: будет ли непременно конечной всякая вполне определенная совокупность или нет? Другими словами, можно ли говорить о существовании вполне определенной совокупности, которая была бы равномощной со своей частью? Во избежание всяких недоразумений отметим, что равномощность целого и части ни в коем случае не совпадает с их тождественностью, так что о таком грубом противоречии говорить здесь нельзя. Действительно, говоря о равномощности двух совокупностей, мы утверждаем лишь возможность установить межДу их элементами одно-однозначное соответствие; для тождественности наших совокупностей это будет одним из необходимых условий, но совершенно ясно, что оно далеко не достаточно. Итак, ставится вопрос совместимы лив понятии класса признаки: "обширнее данной совокупности" и "равномощный с нею". Ответ будет утвердительным, так как мы в состоянии указать вполне конкретные совокупности, которые обладают обоими признаками одновременно.
Остановимся на некоторых примерах.
1) Совокупность натуральных чисел, конечно, обширнее; совокупности только четных чисел; тем не менее между обеими совокупностями можно установить одно-однозначное соответствие: стоит только каждому натуральному числу отнести то четное число, которое вдвое его больше, и каждому четному — то натуральное число, которое равно его половине.
2) Совокупность всех вещественных чисел Z, удовлетворяющих условиям: обширнее совокупности вещественных чисел определенных неравенствами ...
я совершенно очевидно, что каждому значению z соответствует одно и только одно значение z, и наоборот; далее, если z непрерывно возрастает от 0 до 1, то z тоже непрерывно возрастает, но уже от 0 до 1/2, и обратно.
3) Отрезок ВС (черт. 1) есть часть отрезка ВА; тем не менее между точками этих отрезков возможно, установить одно-однозначное соотношение; достигается это с помощью следующего построения. Возьмем точку О вне отрезка АВ и проведем лучи О А и ОВ; на О А берем точку D так, чтобы прямая DC пересекала отрезок ОВ9 и точку пересечения отметим буквой К; наконец, соединяем D с точкой Е, выбранной на продолжении ОВ. Пусть теперь задана любая точка М отрезка ВС;
для нахождения соответствующей ей точки отрезка В А, соединяем К и М и продолжаем КМ до пересечения с DE в точке N; прямая ON пересечет отрезок ВА в одной вполне определенной точке АГ, которую и будем считать соответственной точке М. Из чертежа совершенно ясно, что подобное же построение соотнесет каждой точке отрезка ВА одну и только одну точку ВС. Следовательно, отрезки ВС и ВА, рассматриваемые как совокупности точек — а в геометрии их именно так и определяют, — являются равномощными, хотя первый служит частью второго.
4) Рессель (в своих "Principles of Mathematics") приводит еще один интересный пример, который он называет "парадоксом Тристрама Щэндиа. Последний решил подробно описать свою жизнь и на описание первых двух дней своего существования потратил два года; после этого он, конечно, отчаялся в своем предприятии. Но допустим, что Тр. Шэнди — бессмертен; спрашивается, опишет ли он всю свою жизнь, работая с прежней скоростью? На этот
вопрос придется ответить утвердительно. В самом деле, какой бы день жизни писателя мы ни выбрали, он будет иметь определенный номер: он будет л-м, считая с первого дня появления его на свет; а потому этот день будет описан втечение п-го года жизни автора. Если же каждый день жизни будет описан, то можно сказать, что вся жизнь, будет описана. Правда, описание никогда не закончится; но это вполне естественно в виду бессмертия автора.
"Парадокс Тр. Шэнди" в фантастической форме делает совершенно верное утверждение, а именно: совокупность дней (в вечности) равномощна с совокупностью годов.
Итак, существуют совокупности, равномощные с одной из своих частей; такие совокупности будем называть бес-конечными, или лучше — актуально-бесконечными, чтобы подчеркнуть одно различие, о котором еще будет речь. Очевидно, что всякая совокупность либо конечна, либо бесконечна, и эти оба случая исключают друг друга.
Легко также убедиться, что актуально-бесконечный класс нельзя задать по объему: . если бы оказалось возможным пересчитать его члены, то, как мы видели выше, этот класс был бы конечным.
Следовательно, никакое число натурального ряда не может служить выразителем мощности актуально-бесконечной совокупности; это, однако, не значит, что здесь уже совсем нельзя говорить о числе. Великая заслуга Г. Кантора в том и состоит, что он расширил наше понятие о числе, введя особые трансфинитные числа.
Мы считаем целесообразным войти здесь в некоторые подробности и показать, как арифметика трансфинитных чисел возникает из рассмотрения конкретных множеств, имеющих основное значение для математики (как напр., ряд натуральных чисел).
Эти сведения, интересные сами по себе, покажут более явственно, что об актуально-бесконечных совокупностях возможно доказательное знание.
Мы ограничимся, конечно, самыми элементами; дальнейшие выводы читатель найдет в следующих книгах: "Новые идеи в математике", сборник № 6: "Учение о множествах Г. Кантора", СПБ, 1914.
И. Жегалкин "Трансфинитные числа", Москва, 1907; там же см. указание литературы.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
