НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

Библиотечка «За страницами учебника»

Архимедово лето. Книга 1. Бобров С. П. — 1959 г.

Архимедово лето. Книга 2. Бобров С. П. — 1962 г.

Сергей Павлович Бобров

Архимедово лето

или
История содружества
юных математиков

Книги 1 и 2

*** 1959, 1962 ***


DjVu

Книга 1



DjVu

Книга 2


Часть первая
Фигуры одного росчерка Лабиринты
Геометрия путей и узлов Многогранники
Математические загадки и шутки
Игра в Дразнилку
Совершенные числа

PEKЛAMA Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD. Подробности...

Выставлен на продажу домен
mp3-kniga.ru
Обращаться: r01.ru
(аукцион доменов)



 



      Глава первая
      Лева и Наташа встречаются у речки. — Старинная пушка и ее огромные ядра. Семья Тускаревых на даче. — Вовина игрушка. — Таинственная лошадка и загадочное число. — Интересные рассказы
     
      1.
      Из-за пышной, блестящей и шумливой зелени с берега было хорошо видно, как уходит вдаль, неторопливо извиваясь на широких поворотах, тонкая голубоватая и серебристая лента реки А около нее, все мельчая и мельчая, ложась все ровнее и незаметнее, идут вдаль мягкие ломти отмелей коричневатого намокшего песка. И кое-где к воде осторожно подкрадываются то поодиночке, а то и густыми низенькими толпами камыши, такие ярко-зеленые, изумрудные!
      Очень хорошее выдалось лето!
      То есть еще лето не совсем пришло, и иной раз видно было, как над чешуйчатым волнением реки быстро несутся, низко приопуская свои острые длинные крылья, небольшие стайки диких уток — три,
      четыре птицы. И в этом прозрачном воздухе они, казалось, словно были ловко нарисованы двумя — тремя взмахами кисти, захватившей с палитры чуть-чуть какой-то темной краски.
      Нынешний год летом поехали подальше, просто чтобы не было соблазна часто ездить в город.
      Небольшой поселок стоял высоко над речкой.
      В ту сторону, на юг, почти что наискосок против солнышка, река казалась зеркально блестящей, а блеск ее был чистый, серебряный, прозрачный. А прямо перед глазами волны бежали быстро, весело, торопливо и вольно, рисуя замысловатые круговороты, неся вокруг легкие кружевца пены; на этих водяных кругах плясали, колеблясь, трепеща, отражения деревьев на том берегу. А когда взглянешь туда, вдаль, в другую сторону, то там река лежала недвижно, застывшая, словно красиво согнувшаяся темно-лилово-синяя змея, и на спинке у этой змеи поблескивал еле-еле замерший в серебристых линиях тонкий узор. Трудно было оторвать взгляд от этой простой и могучей красоты...
      Дети познакомились у речки. Конечно, стали плавать наперегонки. Лёва остался не совсем доволен: он старался, право, изо всех сил, но еле-еле смог обогнать Наташу на каких-нибудь полкорпуса. У островка Наташа показала ему «заводь» — опасное место, где надо быть очень осторожным, а то бывали и несчастные случаи. «Ишь, как плавает здорово!..» — подумал несколько озадаченный Лёва, рассеянно поглядывая на опасную заводь.
      За рекой из-за леса важно тянулась тонкая вышка колхозного ветряного двигателя. Иногда она лениво поворачивалась и словно исчезала, а потом вновь красовалась своим полупрозрачным колесом и стреловидным хвостом. Там, за речкой, все перелески, ленты дорог, крохотные издали домики — все это тихо утопало в смутней голубизне хрустальной дали. И если сравнить взором то, что видно там вдали, с огромными телами вековых сосен и вязов на этом, на нашем, берегу, то видишь, что оно действительно совсем голубое. Не то что вот эта жирная, густая зелень бузины совсем рядом с тобой.
      Потом ребята пошли потихоньку домой. Сперва наверх, прямо по желтому сыпучему песку, в котором разъезжались и тонули ноги, потом — крутой тропиночкой, прихотливо вившейся меж черно-оранжевых колонн громадных сосен; высоко было лезть — даже запыхались.
      Ивы теперь снова отошли и стояли немного поодаль — там, внизу у моста, — сплошной густой массой; их серовато-голубая зелень резко отделялась от темной поблескивавшей зелени дубков, ютившихся около. Понурые старые ветлы, дуплистые, полуразрушенные, но все
      еще упорно боровшиеся за жизнь, угрюмо и упрямо поднимали свои кряжистые, дряхлые, усталые тела.
      Иногда они напоминали какие-то развалины — так странно торчали вверх эти обломанные стволы, голые, толстые, обрушившиеся ветви. И только снизу к ним, как к развалившимся стенам, жалась близко-близко воздушно-сероватая, мелкая и затейливая, неотчетливая, но многолистная, кудрявая и пышная зелень побегов.
      — А знаешь, — сказала Наташа, когда они с Лёвой настоялись вдоволь над рекой и налюбовались всеми этими прозрачными зеленоватыми переливами, — здесь вечером летает прямо целая масса летучих мышей.
      — И ты, конечно, труса празднуешь! — заметил ее новый товарищ.
      — Ничего подобного! — живо откликнулась девочка. — И не думаю. Я, может быть, еще даже по зоологии пойду... Вы ведь здесь первое лето?.. Ты еще ничего и не знаешь, а говоришь!
      — А вы?
      — Мы уж давно. Каждое лето. Здесь хорошо!
      — Ничего, — согласился Лёва. — Можно просто сказать: недурно. Пахнет славно — травой и речкой, Раздолье!
      Высоко на холме над рекой, там, подальше, за стройной березовой рощицей, стояли, словно заблудившись на малоезжей дороге, покосившиеся, полуразвалившиеся поверху фигурные каменные ворота в виде маленькой арки. Около них виднелись остатки совсем уже рассыпавшейся стены. Все это густо обступила зелень: лопухи, крапива и темно-зеленая густая бузина. За воротами стоял невысокий старинный дом, украшенный, как и ворота, затейливыми цветными блестящими изразцами с разными рисунками, надписями, глубокой резьбой по камню и узорами, выложенными с разными хитростями из кирпича. Все это было в большой ветхости и постепенно дряхлело и дряхлело. Но старинный дом был все же кое-как приспособлен под. жилье: свежий кирпич старательно окружал новенькие оконные рамы, висели занавесочки, цвела герань на подоконниках. Одно окно было распахнуто, и слышен был гортанный глуховатый голос радио: актер размеренно и отчетливо вычитывал строка за строкой стихи Маяковского. Дети перебрались через стену мимо ворот. Лёва остановился и начал разглядывать рисунки на изразцах. На одном из них охотник высоко поднимал зайца, а надпись восклицала: «Держу косого!» Мальчик засмеялся.
      — А это ты видел? — спросила Наташа.
      Лева обернулся:
      — Смотри-ка, пушка!
      — Да, — отвечала ему спутница. — Она прежде на этой каменной подставке стояла. Громадная какая! А вот рядом, за крапивой, — только смотри не обожгись: тут крапива злая, кусачая! — вот видишь, ядра.
      Действительно, на источенных временем больших белых камнях лежали четыре больших чугунных ядра: три внизу, а одно сверху. Лёва попробовал сдвинуть верхнее, но оно, очевидно, было приклепано к нижним. И все это грузное сооружение даже и не покачнулось
      от Лёвиного толчка.
      — Крепко! — сказал он. — Да иначе бы давно уж растащили.
      — Говорят, будто это еще от семнадцатого века осталось. Давно они здесь лежат... Я сюда совсем еще маленькая бегала. Тогда даже вон тех домиков еше не было...
      Прошли еще немного, повернули, обошли овраг.
      — А вот и наш летний замок, — показал Лёва на домик, весь утопавший в густой и славно пахнувшей сирени.
      — A-а, значит, вот вы где — вы у Лавровских живете! А мы вон там, подальше, за кооперативом. Беленький домик...
      — Я еще здесь ничего и не видал, — сказал Лёва.
     
      2.
      — Ну, вот и пришли, — сказал Лёва, открывая калитку.
      На ступеньках террасы сидел сухонький, сморщенный старичок в форменной, совершенно выцветшей фуражке и белой, очень опрятной блузе. В руках у него были самодельная корявая палка, по-видимому только что вырезанная из можжевелового корня, и развернутая газета. Рядом с ним на ступеньке сидел белобрысый мальчик и старательно разглядывал какую-то коробочку. Увидев брата с незнакомой девочкой, он положил осторожно коробочку на ступеньку, уставился на пришедших, покраснел, потом перевел на старика вопросительно-умоляющий взгляд.
      — Дедушка! — сказал он наконец жалобно и возмущенно.
      Дед не торопясь отвел глаза от газеты.
      — Гостью привел? — спросил он, обращаясь к Лёве.
      — Мы на речке познакомились, — сказал Лёва. — Ее зовут Наташа...
      — Лещинская... — подсказала девочка. — Здравствуйте!
      — Здравствуй, милая, — отвечал дед.
      — Вот именно... — продолжал Лёва. — И она...
      Но в это время на террасу вышла хозяйка.
      — А-а, — воскликнул Лёва, — мама, ты приехала! Вот здорово! А ведь мы тебя к вечеру ждали... Мама, это Наташа Лещинская.
      Она плавает прямо как рыба...
      — Ну да! — засмеялась девочка. — Добрый день!
      — Добрый день, Наташа.
      — Да, вот именно как рыба... Мы познакомились на речке. Шли
      сюда, я ее позвал к нам... Мы пушку видели.
      — Вот и выдумал! — живо откликнулся белобрысый мальчик. —
      Где это ты пушку-то видел? Ну, признавайся!
      — Теперь будешь десять раз просить — и не покажу ни за что!
      — Небось' покажет, Вовушка, — сказал дед. — Покажет. Да мы сами найдем.
      — Вот что, товарищи молодые люди! — громко сказала мама. — Идите руки мойте да садитесь-ка за стол. Позавтракайте, а потом можете отправляться хоть на все четыре стороны.
      Когда усаживались есть яичницу с корейкой, Вовка поставил коробочку около своей тарелки. На крышечке коробки красовалась цифра «15».
      — А, Дразнилка! — сказал Лёва, открывая коробочку.
      — Моя игрушка! — важно отрезал Вовка. — Сделай милость, не
      трогай!
      — Какой строгий стал! — покачал головой Лёва. — Откуда это
      видно, что это твоя игрушка? Докажи.
      — И докажу... — отвечал Вовка, продолжая с жаром уплетать яичницу. — Вот возьму и докажу!.. И не смеешь трогать! Мне мама подарила — значит, моя... И не вынимай шашек. Что ты делаешь?!
      Нельзя!
      — Почему это — нельзя?
      ' — Нельзя. Не будет выходить. А секрет ведь тебе неизвестен.
      — Пустяки! — отвечал Лёва. — Выну, переложу — и выйдет. И без всяких секретов.
      В кв.адратной плоской коробочке лежало пятнадцать квадратных же плоских шашек с номерами от первого до пятнадцатого. А одно место оставалось свободным. Сдвигая шашки одну за другой, можно
      было менять их порядок.
      — Ничего, ничего, Вовушка, — заметил дедушка. — Пусть попробует. Посмотрим, что у него выйдет. Хитрей нашего с тобой он разве сделает? А потом переложим по порядку, как и было. Дело неважное.
      Вовка покосился на деда, но спорить не стал. Они с дедом были закадычные друзья. И Вовка считал, что на деда можно положиться, как на каменную гору.
      Вовка прищурился, хитро посмотрел на деда и сказал:
      — Пусть-ка Лёвка сам лошадкой попрыгает!
      Дед ответил ему в тон:
      — Пусть-ка он нам тридцать четыре покажет! Ну-кась! Личико такое при этом пусть грустное сделает... Так, Вовушка?
      Вовка посмотрел сперва на деда с недоумением, а потом вдруг сообразил, расхохотался и захлопал в ладоши.
      — Да-да-да! — закричал он. — Личико печальное!.. Ха-ха-ха!
      Наташа весело засмеялась вслед за ним, а Лёва недовольно усмехнулся.
      — А что за лошадка? — спросила Наташа. — Почему личико грустное?
      — Что за тридцать четыре такие? — пожал плечами Лёва.
      — А вот вы и не знаете! — отвечала им мама. — Вовка вместе с дедушкой придумали. А вы и не знаете!
      — У нас, брат, теперь архив есть, — хихикая от удовольствия, говорил Вовка, — все записано. Реестр. И печать поставили.
      — Откуда ж вы печать взяли? — поинтересовалась Наташа.
      — А двугривенный на что? — спросил дед. — Чем не печать? С гербом...
      Лева отдал коробочку Вовке.
      — Вот я переложил, — сказал он, — а потом и поставил все по порядку. Ничего особенного.
      — А возился сколько времени! — заметил дед. — Споро, да не скоро. Нет, брат ты мой, надо и верно сделать и не канителиться. Затем изволь рассказать, отчего да почему, все по порядку. Вот оно как. А ты вертел сколько времени!
      — Неправильно! — важно решил Вовка.
      Но тут все всерьез занялись едой, и споры прекратились сами 'обой. Потом напились чаю, и Лёва сказал дедушке:
      — Дедушка, а ну-ка, выкладывай ваши секреты. Что это за тайная канцелярия такая!
      — Ага, брат! — укоризненно вымолвил дед. — Теперь уж на попятную. Врешь, подождешь! Мы сейчас со старичком, с Тимофей Ири-нархычем, пойдем в гамачок под липку — храповицкого задать на полчасика, он об нас соскучился. А вы уж как хотите! Вот как...
      И дедушка пошел потихоньку в садик.
      — Кто это старичок Тимофей Иринархович? — спросила Наташа потихоньку у Лёвы.
      — Да это он сам.
      — Мой дедушка! — наставительно повторил Вовка, и таким тоном, будто кто-то спорил с ним по этому поводу. — Дедушка мой, вот кто!
      — Поняла... — ответила ему Наташа и погладила мальчика по
      головке, что тот и принял как должное.
      — Ну, теперь всё! — сказала Наташа. — Вы меня накормили, спасибо вам! Только мама будет сердиться, потому что я теперь дома есть не стану.
      Лева вышел с ней вместе за калитку.
      — Дедушка у нас в семье считается культурником, — объяснил он. — Любитель всякие разные головоломки решать, и сам придумывать мастер. Кроссворды всякие — это он в одну минуту всё разберет. Иногда довольно интересно выходит. Не знаю, чего это он там с Вовкой насчет Дразнилки придумал. Ну, потом покажет. Что за лошадка такая? У него и книжки разные хорошие в этом роде на полочке стоят.
      — Да? Ну, знаешь, мне идти надо... А ты любишь про ученых
      читать? — спросила Наташа.
      — Ну, еще бы! — ответил Лёва. — Вот я читал недавно про путешествие на корабле «Бигль» Чарлза Дарвина. Интересно.
      — Это я не читала, — ответила Наташа. — А вот про Ковалевскую ты знаешь? Я читала. Хочешь, расскажу?.. Или тебе неинтересно?. -
      — Почему же это мне неинтересно? Она ведь была математичка, так?
      — Ну да!.. Я побежала, прощай, а то мама будет беспокоиться7 Пошла на речку и пропала... До свиданья!
     
     
      Глава вторая
      Рассказ Наташи о знаменитых женщинах-математиках. — Русский академик Леонард Эйлер пишет письма к одной принцессе. — Подруга Вольтера и Ньютон. — Дочь знаменитого поэта Байрона. — Софья Ковалевская и ее отрочество. — История с нехваткой обоев на даче. — Софа сама открывает новую науку. — Встреча со знаменитым ученым Вейерштрассом за границей, и дальнейшее
     
      1.
      Через несколько дней Лёва отправился со своей новой знакомой на прогулку в лес.
      В лесу шли, шли, а потом вдруг повернули налево, на просвет, и вышли на неширокую полянку.
      — Стоп! — сказал Лёва. — Как раз — два пенька первого класса добротности. Всё! Рассказывай.
      Наташа кивнула в знак согласия, уселась на пенек и начала свой рассказ.
      — Ну, я не очень хорошо, но в общем все-таки помню. Говорят, раньше образованных женщин было очень мало. Особенно таких, которые занимались математикой. Первая, о ком как будто есть сведения, — это была Гипатия, это еще в древности, в эпоху, когда темный и грозный Рим владел почти всем Средиземноморьем, это в конце четвертого и в начале пятого века нашей эры. Ее отец, Теон, был видный ученый того времени, математик и астроном. Он издал творения Евклида... Ну, Евклида ты, конечно, знаешь — ведь не первоклассник!
      Лева кивнул.
      — Гипатия преподавала, у нее было очень много учеников. Она писала разъяснения и примечания к сочинениям ученых...
      — Это, кажется, комментарии называются, а кто писал — тот комментатор, — заметил Лёва.
      — Вот именно. Это название выдумали позднее, в средние века.
      — Не буду перебивать. Говори.
      — Можешь перебивать, это ничего. Так вот, ей принадлежит несколько таких разъяснительных сочинений. Отец ее, кстати сказать, комментировал знаменитый астрономический трактат Птолемея, древнего астронома второго века нашей эры, который придумал эту старинную астрономическую систему, где в центре мира стоит не Солнце, а Земля.
      — А все-таки для своего времени Птолемей был большой, незаурядный ученый!
      — Еще бы! Его сочинение называлось «Великое построение математическое»... Не удивляйся, что я по бумажке читаю, это кое-что я записала, а то ведь забудешь! — И Наташа расхохоталась.
      — Ничего, — немного хмуря брови, сказал Лёва, — ничего! Хорошо сделала, что записала. Я тоже что-то слышал о Птолемее.
      — Это было первое большое сочинение по астрономии...
      — Про нашу солнечную систему главным образом.
      — Это был итог всей древней астрономии. Была придумана очень остроумная система для описания путей планет нашей системы по небесному своду. Эта старая система мира дожила до Коперника, а прожила она всего тысячу двести лет! У Гипатии были еще рассуждения и объяснения арифметических сочинений знаменитого грека Диофанта, который жил около третьего века нашей эры. И рассуждения о геометрических сочинениях Аполлония Пергейского... Это третий век до нашей эры. Гипатия была известна своей образованностью и редкой красотой. Но с ней случилась большая беда. Ее считали «язычницей»; рассказывали о ней, будто бы она верила во многих богов, которые олицетворяли собой различные явления природы.
      Так оно было или нет, я не знаю, но самое главное было в том, что Гипатия знала, ценила и уважала древнюю греческую науку, а фанатики, христианские монахи, ненавидя науку, боролись с учеными и выдумывали всякую клевету на них. И вот, представь себе, они умни-
      цу Гипатию побили камнями, то есть заставили озверевшую толпу вытащить ее из дома на улицу и швырять в нее камни, покуда не
      убили!
      Эх, — сказал Лёва, — терпеть не могу таких подлых истории!
      Наших бы туда двух бойцов с пулеметом. Они бы им показали, как камнями ученых убивать!.. Ну, рассказывай дальше.
      — А потом в истории долго нет сведений об ученых женщинах. Очень долго. Только уж много-много позже выделяются некоторые из самых знатных женщин, разные принцессы, которых учили самые знаменитые математики. В конце шестнадцатого века один из них, Виета...
      — Знаю, был такой. Теорему его проходили...
      — Потом в семнадцатом веке — Декарт.
      — Философ, француз. Папа говорил. Обещал рассказать...
      — И еще в семнадцатом веке, попозже, один немецкий философ и математик, Лейбниц. Вот эти-то ученые и занимались с принцессами. Уж не знаю, что из этого получилось, но одной из них, тоже, наверно, довольно образованной женщине, русский академик-математик в восемнадцатом веке написал целую книгу о математике и тогдашней науке вообще.
      — Кажется, это я тоже слышал. Это не Эйлер ли?
      — Он самый. Леонард Эйлер. Книга так и называется: «Письма. к принцессе». Родом швейцарец Он был наш русский академик. Дружил с Ломоносовым. Жил и работал в Петербурге, там умер и похоронен. А потом еще в том же веке была одна очень образованная женщина, друг французского знаменитого писателя Вольтера, Эмилия Шателэ. Так вот, понимаешь ли, она, по совету Вольтера, перевела на
      французский язык очень трудное, но замечательное сочинение Исаака Ньютона.
      — Ну, это знаменитый английский ученый, который открыл всемирное тяготение!.. Откуда ты все это знаешь, скажи пожалуйста?
      Да, видишь ли, — отвечала ему Наташа, — я вот тут прочла эту книжку о Ковалевской, потом с мамой об этом говорила. Она и сказала: тебе надо все-таки узнать, как женщины в старину добивались образования. В выходной день, когда мы с ней поехали на электричке за город, я целый день слушала, как она мне рассказывала, а потом я опять эту книжку прочла. А то бы мне и пересказать тебе нечего было.
      Лева посмотрел на Наташу недоверчиво. Помолчал, сорвал травинку, засунул в рот. Потом сказал:
      — Давай-ка рассказывай дальше. В общем, очень интересно!
      — Эмилия Шателэ перевела книгу Ньютона и тоже написала к ней комментарии. А один французский ученый, академик Клеро, не поленился: прочел внимательно всю ее работу и там, где нужно было, даже поправил. Мама говорит, что перевести такую книгу, как это сочинение Ньютона, мог только очень образованный человек. Потом была итальянка Мария Аньези, которая придумала свою собственную кривую, мне мама ее показывала в учебнике высшей математики. Аньези жила в восемнадцатом веке и была профессором в городе Болонье. Затем француженка Софи Жермэн, это уж в начале прошлого века. С ней был такой случай: она написала письмо видному французскому математику — академику Лагранжу — и подписалась мужским именем, будто она не девушка, а молодой человек, ученик высшей школы. Ученый захотел познакомиться, потому что удивился, какую хорошую работу прислал ему этот молодой человек. Она пришла к нему. И он стал ей помогать. Говорят, в детстве ей не позволяли заниматься математикой, так она писала свои выкладки по ночам, под одеялом...
      — Здорово! — заметил Лёва.
      — Потом еще были две англичанки: одна, не помню фамилии, переводила очень важную работу французского ученого Лапласа, где
      излагается теория движения небесных тел — математически, разумеется! — а ее подруга, дочь английского поэта Байрона...
      — Которого Лермонтов так любил...
      — Да, да! И Пушкин тоже... Ее звали Ада. Она тоже переводила кое-что и писала о машинах, которые сами могут вычислять.
      — Да, я уж слышал о них. Только толком не разберешь, в чем тут дело. Читал немножко. Есть, говорят, разные. Некоторые попроще, а есть и такие, что настоящие чудеса делают.
      — Да ведь это давно было, когда Ада Байрон писала. В начале прошлого века... нет, кажется, не в самом начале.
      — В школу бы нам такую машинку!.. Однако надо будет спросить у папы. Впрочем, постой! У меня есть дядя, он радиоинженер, вот он мне говорил... — Лёва задумался. — Слушай, а вот счетная линейка — знаешь?
      — Да видеть-то я ее видела...
      — Вот ее можно считать машиной или нет?
      — Не знаю, должно быть, можно...
      — Спрошу у дяди Вани — когда приедет, конечно. Как бы не забыть...
     
      2.
      — Как видишь, я очень немного имен назвала. За целые века! А теперь я буду говорить про Софу Ковалевскую. Те, о которых я раньше говорила, или только переводили или примечания составляли, а эта была уж настоящим, совершенно самостоятельным и крупным ученым. Вот в чем дело.
      Во времена ее молодости в России женское образование было, попросту сказать, запрещено. Высшего образования девушка получить не могла. Дом Ковалевской был домом интеллигентной семьи. У них бывали люди с немалым образованием, но отец ее все-таки считал высшее женское образование просто прихотью и поэтому слышать не хотел, чтобы дочка получила специальное образование. А Софе нравилась математика. Когда ей не позволяли заниматься, она клала книгу под подушки и ночью, при свете ночника или лампадки, училась алгебре. И вот какой с ней в детстве был удивительный случай! Ей было одиннадцать лет. Ее дядя, очень образованный человек и любитель математики, рассказывал ей разные любопытные вещи про математику, например о бесконечности...
      — Вот счастливая!.. — сказал мечтательно Лёва. Он уже слез с пенька и сейчас лежал на мягкой траве и с удовольствием слушал
      Наташу. — Я тоже бы послушал. Обещал папа... да никак от него не добьешься. Сегодня, завтра!..
      — Ты слушай, что дальше было, — продолжала девочка. — Семья Ковалевских переезжала в деревню. У них там был дом, и этот дом к их приезду начали ремонтировать. И вот, как стали оклеивать комнаты новыми обоями, на одну комнату обоев и не хватило. Это как раз была детская комната, наверху, в мезонине. Что делать? Ехать за новыми обоями далеко в город из-за одной комнаты весной, по распутице, никому не хотелось. Тут вспомнили, что на чердаке лежит пропасть никому не нужной старой бумаги и можно ею воспользоваться. И случилось так, что рядом с грудами старых газет нашлись листы более плотной бумаги. Решили, что эта бумага куда лучше будет для оклейки стен. Сказано — - сделано! Комнату наверху оклеили этой бумагой. А это были литографированные записки лекций крупного ученого академика Остроградского (он жил в начале прошлого века) — лекции по высшей математике, которые когда-то слушал в Петербурге отец Софы совсем еще юным офицериком. Софа была девочкой любопытной и обратила внимание на «обои» в своей комнате. Стала рассматривать, и ей однажды показалось, что там как раз говорится о тех интересных, завлекательных и таинственных вещах, которыми, по ее мнению, была полна высшая математика...
      — Вот именно, что таинственных! — невольно воскликнул Лёва.
      — Вот и ей так казалось, как нам с тобой теперь кажется!
      — А ты действительно этим интересуешься?
      — А по-твоему как?
      — Хм... — промычал Лёва. — Ладно. Отложим это пока... Рассказывай дальше.
      — Так что Софе показалось, что это то же самое, о чем ей говорил добрый дядюшка, горячо, беззаветно любивший науку. Она иногда целыми часами не отходила от этой стены, все стояла и всматривалась в эти странные иероглифы, которые должны были обозначать что-то замечательно умное и интересное. Перечитывала одну за другой разрозненные страницы и все старалась найти тот порядок, в котором эти страницы должны были идти одна за другой в неизвестной ей книге. Вот так она и стоит чуть ли не каждый день перед этой непонятной стеной — стоит, читает и перечитывает. И вышло так, что некоторые из формул прямо врезались ей в память, а многие места она, не понимая их смысла, заучила наизусть. Была одна самая интересная страница, которую она особенно часто перечитывала. На этой страничке излагались самые основные понятия высшей математики. И что-то в этом Софа ухватила. Она, может быть, и сама даже не могла объяснить, что именно усвоила из того, что видела на своей любимой стене, но что-то, задевавшее не только ее любознательность, но и горячее сердечко, осталось. Прошло несколько лет — Софе исполнилось лет пятнадцать...
      — И мне пятнадцать!.. — со вздохом вставил Лёва, старательно
      ероша волосы. — Интересно все это, конечно, очень. Но удивляешься, как это они добивались!
      — Так я буду дальше рассказывать? — произнесла девочка.
      — Конечно! — И Лёва снова улегся в траве.
      — Софе в дальнейшем давал уроки один очень хороший Преподаватель. Однажды он объяснял ей как раз те самые понятия, о которых она читала у себя в детской на стене... Ты подумай — в пятнадцать лет уже проходила высшую! Каково, а? Подумай, какая была способная девочка!.. И, когда ей стали все это объяснять, она вдруг моментально все поняла. Учитель удивился, потому что эти основные понятия очень трудны для усвоения, когда начинают заниматься высшей. Он сказал: «Вы так всё поняли, будто это наперед знали!» Сама Ковалевская, вспоминая об этом впоследствии, говорила, что хотя она в детстве не совсем понимала истинную суть дела, но все-таки все правила этой премудрости затвердила крепко и хорошо знала. И потом, когда учитель рассказал и объяснил, все ее воспоминания ожили в памяти — точно кто-то фонарик принес в темный чуланчик! — и сразу все так и стало на место. И вдруг выяснилось, что к чему там относится и что с чем связано. Все уложилось, словно по полочкам, в целую систему и стало понятно!..
      Ты понимаешь?
      — Н-да... задумчиво отозвался Лёва, глядя в высокое синее-синее небо, на котором покачивалась дальняя ветка сосны, да, бывает иногда... Думаешь, думаешь над какой-нибудь задачей вдруг словно тебя осенит. Разом всё поймешь. Когда я тебя слушал, мне вот что в голову пришло: ведь она думала над тем, что прочитала на этих «обоях», правда? И ей только каких-то еще нескольких страничек не хватало, чтобы во всем этом разобраться. А когда преподаватель стал ей по порядку рассказывать, все у нее сразу и сложилось. Так что выходит, что она действительно «наперед знала»... только знала не очень хорошо! Да... Завидно даже слушать.
      — Это первый рассказ. А второй рассказ, пожалуй, еще удивительнее. Первые уроки арифметики Софу не очень заинтересовали, потому
      что рассказы дядюшки насчет бесконечности и других высоких математических образов ей были более интересны. Надо тебе сказать, что Ковалевская, уже взрослой, сама призналась, что в математике ей всегда нравилась самая суть ее... ну, как бы тебе сказать?.. то есть, как именно математика справляется с самыми различными задачами — для естествознания, для физики, для инженеров по разным специальностям. Как математика умеет по-своему понять эти задачи, передумать их особенным образом, подойти к ним так, чтобы решение каждый раз было приспособлено к этим разным, не похожим друг на друга задачам, и при этом все объединяется одной мыслью. А не то чтобы только как-нибудь решить, да и ладно!
      — Удивительно! — сказал Лёва. Он даже сел и энергично хлопнул себя по коленке. — Просто удивительно! Ну точь-в-точь мне как раз вот именно это-то и приходило в голову. Замечательно!
      — Когда ее первый учитель — это не тот, о котором я раньше говорила, — начал ей объяснять алгебру, она почувствовала к математике такое сильное влечение, что стала даже запускать другие предметы.
      — Как же, — заметил недовольно Лёва, — у нас запустишь!..
      — Ее отец, не беспокойся, тоже был очень недоволен и распекал свою дочку. Он даже решил прекратить эти уроки. Но Софе удалось выпросить у своего учителя курс алгебры, и она потихоньку от всех взрослых, по ночам, при лампадке, стала изучать эту книгу самым старательным образом. Но все-таки понимала, что этим путем далеко не уйдешь, и уж плакала, размышляя о том, что, наверно, этот курс алгебры — ее последняя математическая книжка. Однако тут выдался вдруг опять один счастливый, просто необыкновенный случай. У них был один знакомый, который часто приезжал к ним в гости, — это был профессор физики Тыртов. Однажды он подарил ее отцу новую книгу — свой только что напечатанный учебник физики. Софа сейчас же стянула эту книжку и бросилась читать ее. Читает, читает — все сперва идет очень хорошо, а потом добралась до отдела, где говорится о свете, и тут она стала в тупик, потому что там на каждой странице были разные тригонометрические понятия и обозначения... Ты знаешь, что такое тригонометрия?
      — Совсем немножко! — сказал Лёва. — Ну, знаю, что это синусы и прочее. Ну, как тебе сказать, — это соотношения сторон в прямоугольном треугольнике... Синус, например, отношение одного из катетов к гипотенузе, а косинус — другого.
      — Не знаю! Мама говорит, что это часть геометрии главным образом про треугольник, про подобие и про теорему Пифагора. Это ты знаешь! Но не совсем так, как в геометрии, где все больше к построе-
      нию идет, а скорей так, как в алгебре, — для вычисления. Надо вычислить, скажем, расстояние до недоступного предмета — например, у астрономов, до звезды. Птолемей, о котором мы говорили, в древности такой наукой занимался. Мама говорит еще, что все это очень близко связано с высшей. Из этого рассказа про Софу видно, что это и для физики имеет значение! Вот она эти формулы в учебнике физики нашла. Однако Софа тоже ведь, как и мы с тобой, ничего этого не знала! А знать ей очень хотелось. Она стала спрашивать своего преподавателя. Но тот, видя, что папаша и без того сердится на упрямую девочку, не захотел новых неприятностей и сказал ей просто, что он не знает, что такое синус.
      — Жалко было рассказать! — возмутился Лёва. — Я бы на его месте, если б знал, все бы рассказал.
      — А он не решился... И тогда она стала сама копаться, сообразуясь с формулами, которые ей там попались, и с чертежами. И, представь себе, ей в конце концов удалось самой придумать и даже разработать целую новую науку!
      — То есть как — новую науку?
      — Лёва, я сама не очень хорошо это знаю. Ну, вот ту самую, о которой мы сейчас говорили и которая называется тригонометрия.
      — А-а... — промычал Лёва. — Вот что!
      — Но, разумеется, она не очень хорошо представляла себе, как за это взяться. Й, представь себе, что у нее в конце концов вышло не так, как у нас теперь в старших классах преподают, а вроде того, как это когда-то в древности впервые придумали. Ну вот, как было у Птолемея, которому все это для астрономии понадобилось. А в общем, так у Софы получилось, что для тех самых случаев, которые ей в учебнике Тыртова попались, все оказалось совершенно верно. Ты и сам теперь, наверно, понимаешь, до чего она была довольна. Подумай, как она торжествовала! Ей не хотели объяснять, прятали от нее книги, а она все сама придумала. Потом проходит некоторое время, и приезжает к ним опять этот самый профессор физики Тыртов в гости. Тут уж она не утерпела. Выбрала осторожно минутку и словно невзначай заговаривает с ним о его книжке...
      — А он, разумеется, слушает в пол-уха!
      — Конечно. И говорит, что ей вряд ли удастся разобраться в книге, а когда она напрямик сказала ему, что прочла всю книжку, он недовольно нахмурился: «Ну, вот и хвастаетесь!» Софа, конечно, обиделась, но, закусив губу, сдержалась и стала рассказывать, как разобралась в его физике. Сперва он не поверил, но, когда она правильно объяснила некоторые формулы и растолковала, каким образом она сама себе их объяснила, он был несказанно удивлен и совершенно переменил свой недоверчивый тон. Тыртов тут же пошел к ее отцу и стал горячо убеждать его, что такую способную девочку нельзя оставлять без серьезной помощи. И тут только отец позволил Софе заниматься с тем преподавателем, о котором я раньше тебе говорила.
     
      4.
      — Вот это да! — сказал Лёва. — Это я понимаю. Но ведь это просто исключительные способности?
      — Понимаешь ли, мама говорит так: да, конечно, очень хорошие способности. Но ведь теперь-то никто не мешает никому учиться. Наоборот, только и стараются помогать. Значит, дело не столько в способностях, сколько в настоящем старании... Затем Софа Ковалевская вышла замуж, уехала за границу, потому что в России тогда женщинам нельзя было учиться. Ею заинтересовались крупные ученые. И скоро она сама стала замечательным ученым. А как эти ученые заинтересовались Ковалевской, тоже довольно интересно. В Германии она прямо пошла на дом к очень известному в те времена крупному ученому, математику Вейерштрассу. Говорят, он не очень любил ученых женщин, а у нее был такой моложавый вид — она совсем была как девочка. Вдобавок Ковалевская была очень маленького роста. Вейерштрасс видит: пришла какая-то девчонка, да еще в университет просится! Он решил ее отучить от таких выдумок. Дал ей нарочно такие задачки, насчет которых он уж был совершенно уверен, что она к ним и приступиться не сумеет. Через неделю Софа является снова. Вейерштрасс сам потом рассказывал, что сперва он не заметил, как она миловидна, какой у нее живой умный взгляд. Пришла и говорит, что все задачи решила. Вейерштрасс не поверил, говорит: «Будьте добры, садитесь, мы с вами посмотрим». Усадил ее рядом с собой и начал по пунктам проверять все ее решения И, к великому его удивлению, оказалось — все задачи решены правильно, да, мало того, и все решения необыкновенно хорошо и точно обоснованы. Он потом считал Софу своей лучшей ученицей. Благодарил Ковалевскую в письмах за многие ее меткие замечания, которые навели его на подлинные открытия. Наукой Софа занималась с невероятным увлечением. Во вред себе работала целые ночи напролет. Конечно, ей было очень тяжело, что она не могла работать у себя на родине, ведь в те времена женщинам в России не позволялось работать на научном поприще!.. Получила премию от Парижской Академии наук. Премию еще специально для нее увеличили, потому что ее работа была исключительно хороша!.. Была профессором в Швеции, в городе Стокгольме. Умерла рано. У нее было больное сердце.
      — Нет, это все-таки способности!..
      — Мама говорит, что теперь многие преподаватели занимаются специально вопросами, как бы облегчить ребятам ученье, из-за этого учиться теперь во много раз легче, чем во времена Ковалевской. Надо иметь рвение, а потом действительно любить свой предмет.
      — Ну-у! — протянул Лёва. — Что за разговоры. Что ж ты думаешь, я не люблю?
      Наташа посмотрела на него внимательно, ничего не ответила и стала аккуратно развязывать сверточек, куда им положили дома холодные вчерашние котлеты, хлеба да свежих огурчиков.
      — Но ведь не всякому же, впрочем, — сказал Лёва, помолчав, — надо обязательно в вуз идти и ученым сделаться!
      — Нет, конечно! — тотчас же откликнулась Наташа. — Мне кажется, когда уж человек выделяется на производстве, показывает, какое у него рвение, смётка да упорство, и видно, что ему просто только широкого образования не хватает, вот такой человек достоин высшего образования. Или кто особенно любит науку и с малых лет в ней обнаруживает большие способности, да еще терпение у него железное... Но образованным должен быть всякий советский человек.
      — Еще бы! — подхватил Лёва. — Нам нужна техника, автоматы и чтобы у нас все было самое лучшее. А машины всё хитрее да сложнее с каждым годом. Так как же ты будешь около этих машин работать, если ты разобраться не можешь? Тут уж без математики не обойдешься.
      — Ясно, Лёвушка! — ответила Наташа.
      — Да, — произнес Лёва, — а рассказала ты здорово.
      — Но ты мне прошлый раз тоже очень хорошо про Дарвина и его корабль рассказывал.
      — Да разве в этом дело! — с досадой сказал мальчик. — Я просто не понимаю, откуда ты все это так хорошо и подробно знаешь?
      Наташа посмотрела на него и засмеялась.
      — Уж если ты так говоришь, — сказала она, — придется мне все тебе начистоту выложить. Про Ковалевскую у меня было кое-что записано в мою памятную тетрадку. А потом вспомни-ка: ты говорил, что мы сегодня в лес пойдем?
      — Говорил вчера.
      — Я знала, что сегодня придется тебе рассказывать... Вот я вчера вечером маму и попросила, чтобы она мне напомнила. Она и стала опять рассказывать. Мы уж заснули с ней, когда светать начало. Так что — ничего удивительного... Подготовилась. Вот что!
      — Хорошая у тебя мама!
      — Мама у меня очень хорошая!
     
     
      Глава третья
      Любопытная история с «конвертиком». — Число «сто», оказывается, пишется по-разному. — Разговор о науке идет всерьез. — О чем мечтал Лёва? — На чем же наконец ребята остановились? — Как исследовать лабиринты при помощи узлов
     
      1.
      Лева вылез из воды и натянул майку. Пригляделся. Довольно далеко от него, против солнца, видимо совсем около моста, мелькнул пестренький сарафанчик Наташи. «Купаться идет, наверно...» — подумал он. Сарафанчик исчез, затем появился снова.
      — Что это она там делает? — вслух спросил он самого себя. Застегнул сандалии, схватил мохнатое полотенце и двинулся к мосту.
      Через некоторое время, то сбегая вниз, то поднимаясь бегом в горку по ложбинкам около самой реки, а то и напрямик, чтобы не идти болотцем рядом с излучиной, мальчик заметил, что Наташа сидит на земле, а кругом целая куча ребятишек. «Это еще что такое?» — снова спросил сам себя Лёва. Он был не совсем доволен, обнаружив.
      что происходит что-то без его ведома. Припомнив, однако, обычаи некоторых отважных путешественников, чей непреклонный нрав ему очень нравился, Лёва остановился, осмотрелся, не видит ли его кто, и важно сказал самому себе: «Лев Николаевич, я предложил бы вам не волноваться! Первое условие плодотворной деятельности: спокойствие и хладнокровие!» Прочитав себе самому это вразумительное нравоучение, он переложил полотенце с одного плеча на другое, прикрыл глаза ладонью, остановился и внимательно начал смотреть, что делается у моста. Однако, невзирая на все свое хладнокровие, разглядеть он ничего не мог. «Нет подзорной трубы!» — с огорчением признался себе Лёва, вздохнув.
      Но Наташа уже заметила его, оставила ребятишек и пошла навстречу.
      — Здорово, Наташа! — весело сказал Лёва. — Ты что это там делала? Я тебя далеко-далеко, вон еше оттуда, увидал.
      — Ребятишки возились с «конвертиком». Я им и показала несколько фигурок... Здравствуй!
      — С каким конвертиком?
      — Ну знаешь, который одним росчерком надо нарисовать. Иду, смотрю, они чертят палочкой на песке, ну и обсуждают. Я им рассказала что вспомнила. Очень довольны были. Видишь, как они в кружок все сбились и чертят там разные мудреные фигурки.
      — Ну что ж, — сказал Лёва, — пускай повозятся. Ведь это что-то вроде геометрии?
      — Н-да... — сказала неуверенно Наташа. — Конечно, что-то в этом роде. Рассказала им еще про волка, козу и капусту.
      — Постой, это я забыл.
      — Задачка шуточная. Человек должен перевезти через реку волка, козу и кочан капусты. Взять все сразу в лодку он не может, а может взять только что-нибудь одно. Но если он оставит на одном берегу козу с волком или капусту с козой, то или волк съест козу...
      —...или коза капусту, ясно! Надо сообразить, как всё перевезти так, чтобы остались целы и коза и капуста. Не так уж трудно придумать, как это сделать.
      — Все-таки подумать надо. Я им еще другие задачки показала. Да они дроби-то еще плохо знают. Вот какую я им дала задачку: напиши единицу всеми десятью цифрами.
      — Как так?
      — Очень просто: (...)
      — Забавно, — сказал Лёва, — все цифры, правда. Впрочем, постой, и я такую же вспомнил. Написать сто всеми десятью цифрами. Знаешь?
      — Знаю! — ответила она. И написала: (...)
      — Есть и другой способ, — сказал Лёва: (...)
      — У нас дедушка на это мастер! Он массу таких задачек знает. Вот про лошадку они говорили — значит, опять что-нибудь новенькое придумали. Дедушка рассказывал, что задачка про козу и волка очень старинная, в средневековых книжках она встречается — еще с десятого, кажется, века. Вон старина какая!.. Ты купалась?
      — Купалась.
      — Знаешь, — вдруг горячо заговорил Лёва, — у меня товарищ есть, вот плавает лихо! Скоро приедет к нам Паренек сообразительный. Любит и книжки почитать — одним словом, разбирается. Мы с ним довольно часто разговариваем; идем из школы или просто так пойдем по городу куда-нибудь подальше — идем и рассуждаем. Иногда надо 'ведь и поговорить. Рассказать друг другу, что ты собираешься делать... ну, когда вырастем...
      — О чем мечтаешь, — подсказала Наташа.
      — Он еще и стихи пишет.
      — У нас тоже некоторые девочки пишут. Ну, такие стихи, школьные.
      — Да нет! — сказал Лёва, криво усмехнувшись. — Он не такие... Всерьез.
      — Не знаю, — отвечала она, — не пробовала.
      — Я тоже не пробовал. Я -стихами не очень интересуюсь. По-моему, быть инженером лучше...
      — Твой папа — инженер?
      — Да... по слабым токам, электрик. А твой?
      — Мой папа убит на войне, — грустно отвечала Наташа. — Он был археолог, ездил в экспедиции, очень интересные вещи рассказывал про старинные древние культуры. Там, в пустынных песках Средней Азии, целые города они откопали... дворцы, крепости... А мама у меня преподает историю.
      — Моя мама — специалист по химии. Но я тебе вот что хотел сказать...
      Тут Лёва приостановился, осмотрелся кругом, не подслушивает ли кто его глубокомысленные речи, потом очень внимательно вгляделся в Наташино лицо — а вдруг она будет насмехаться над ним? Но на загорелом спокойном лице девочки Лёва при всем старании не мог найти ни малейшего намека на какую-нибудь насмешку.
      Наташа привычным движением поправила сбившуюся прядь своих темных, немного вьющихся волос; ее ясные синие глаза вдумчиво и внимательно взглянули на Лёву.
      Лева успокоился, ругнул себя за излишнюю подозрительность, помолчал и начал снова:
      — Вот что я тебе хотел сказать. Мне кажется, что самое важное, что может человек в жизни сделать, — это что-нибудь такое очень полезное придумать, изобрести. Скажем, сконструировать новую машину, по части радио или телевидения сделать какое-нибудь важное усовершенствование!
      — Наши девочки говорят, что для этого надо по математике быть очень сильной...
      — Кроме пятерок, ничего не получал! — гордо сказал Лёва. — Правда, раз в третьем классе налетел на двойку. Один только раз! Ну... проспал, знаешь. В общем, сам сглупил. Поправился через неделю.
      — Так и у меня пятерки! — сказала девочка. — Но мало ли что! То средняя школа, а то высшее учебное заведение! Там совсем не то.
      — Что это значит «совсем не то»! — возразил с горячностью Лёва. — Об этом надо заранее подумать. Почитать. Поинтересоваться! С умными людьми поговорить... А помнишь, что ты мне рассказывала про Софи Жермэн и ее тезку Софу Ковалевскую? Ведь им даже не позволяли, а они потихоньку занимались! И своего добились. Каково это было Софе без учебника прямо по книжке, которая насчет оптики, восстановить неизвестную науку! И мы должны стараться. Я считаю, что математика — прекрасная наука. Папа говорит, что без нее инженер как без рук. Он мне вот что один раз сказал: чтобы в конструкции... ну, в машине, понимаешь?..
      Наташа кивнула.
      —...чтобы каждая часть работала на совесть, толково, нигде не заедало, не ломалось, не заклинивало, лишней смазки не требовало, не нагревалось слишком, чтобы все было дельно и экономно... для всего этого нужно, чтобы каждая часть — пусть даже мелочь — была с математической точки зрения проработана со всех сторон,
      осмотрена, выверена. И если у тебя в машине какая-нибудь часть будет круглая — скажем, вроде шарика, — так ты сперва докажи математически, что эта часть должна быть круглой. А не просто так — на глазок, авось сойдет.
      Наташа задумалась.
      — А ты думаешь, можно, — вымолвила она, прищуриваясь немного, — чтобы всегда так все-все было точно? Мне кажется, на самом деле так не бывает. И, мне думается, на глазок многое еще делается. Почему же? Если какой-нибудь мастер очень давно работает на заводе, так ведь у него опыт очень большой. Просто он уж знает, что так вот выходит, а так нет...
      Лева замотал головой:
      — Представь себе, что как раз это самое сказал папе и дедушка. А папа ответил так: никто, говорит, не станет спорить с опытом; опыт — наставник человека, и вся наука выросла из опыта; я и не пренебрегаю опытом рабочего, мастера, инженера, нет, но надо этот опыт вооружить теоретическим пониманием данной задачи.
      — Да-a, это, конечно, верно.
      — Папа еще вот что сказал. Не в том, говорит, дело, что нельзя на глазок вообще работать — глазок великое дело, его забывать нельзя! — а в том, что наши современные машины, во-первых, очень сложны, во-вторых, детали их требуют высочайшей точности, а в третьих, скорость движения у них слишком велика. И в силу этого простая сметка помогает не так уж хорошо, как помогала раньше. Одного наблюдения не хватает. Вот в чем дело!
      — Интересно! — заметила девочка.
      — Я, видишь ли, — продолжал Лёва с не меньшим жаром, — я ведь теперь!..
      Тут он остановился, поглядел на далекий синеватый лес, еле различимый через освещенный воздух, прозрачный и заманчивый, и, прервав сам себя, вдруг спросил Наташу совсем другим голосом;
      — А вон тот лес ты знаешь?
      — Знаю.
      — Хороший?
      — Очень.
      — Пойдем как-нибудь, а?
      — Конечно, — отвечала девочка. — Скоро малина поспеет! Вот будет благодать!
      После этого разговора про лес Лёва опять принял сосредоточенный и даже немного опасливый вид:
      — Так, понимаешь, я ведь теперь перешел в девятый класс. И хочется немножко кое в чем разобраться... Знаешь, в школе привы-
      кают сквозь пальцы смотреть. Да, в сущности, и я сам не без греха... Выучили, ответили, контрольную промахнули, не споткнулись — ну и ладно, всё в порядке. А в общем, мы ведь уж не дети.
      — В девятый! — сказала Наташа с завистью. — А я еще только в восьмой!
      Будешь и в девятом, — ободрительно заметил мальчик, испытав при этом почему-то чувство некоторого облегчения. — Разве в этом дело, Наташа!
      Они пошли домой к поселку ускоренным шагом. Все как будто было выяснено, и пора уж было действовать. Правда, что именно должны они были делать, Лёва не очень хорошо себе представлял.
      — Только надо все обдумать, — сказал он.
      Да, уж конечно, — согласилась Наташа, — придется голову поломать.
      — Покуда об этом молчок.
      Наташа посмотрела на Лёву с интересом, но не ответила. Прошли мимо затейливых ворот, снова глянули на угрюмые, спящие век за веком тяжелые чугунные ядра, лежавшие такой дружной, неразлучной семьей, и потихоньку дошли до Лёвиного домика.
     
      2.
      Вовка стоял около скамейки в саду и читал нотацию огромному серому коту Терехе, который, не обращая никакого внимания на Вовкину декламацию, умывался лапой самым старательным образом.
      Ах, это ты, Наташа! — сказал Вовка, прервав свою возвышенную речь. — Представь себе, этот недопустимый кот, как выяснилось, совершеннейший разбойник. Опять сожрал прехорошенькую птичку! А папа его еще Теренцием величает...
      — Какую же он птичку съел? — поинтересовалась Наташа.
      Воробышка. И, знаешь, вот, наверно, того самого, который у нас здесь, на березе, жил. Очень был хороший воробышек! Ну, разве это простительно?
      Кот продолжал умываться с прежним усердием.
      — Вряд ли, — сказала Наташа. — Это, наверно, с чужого двора был воробышек. Со своего он есть не станет.
      — Ну, если чужой... — задумчиво сказал Вовка, бросая в сторону длинный прут. — Но своего!.. А я уж было хотел его хворостиной... А вы где были?
      — Мы на речке. Видели там ребят, которые рисовали на песочке конвертик. Знаешь, одним росчерком?
      Вовка сейчас же взял прутик и присел на дорожке:
      — Но ведь конвертик не выходит. Нельзя сразу, не отнимая прутика, нарисовать.
      — А ведь его можно распечатать.
      — Как это так «распечатать»? — удивленно спросил Вовка, подняв голову.
      Наташа показала.
      — Вон как! — заметил Вовка и начал старательно обводить чертежик.
      Но тут над ними раздалось старческое покряхтывание. — Куда, куда повел! — сказал дедушка, наклоняясь над Вовкой. — А пути считал? Ведь я тебя учил...
      — Здравствуйте, дедушка Тимофей
      девочка.
      — Здравствуй, милая, — отвечал старик. — Это ты ему показала?.. Хорошо придумала, молодец... Ну, сделал?
      — Вышло! — ответил Вовка. (...)
      Подошел Лёва и посмотрел на их занятия, а это ведь тоже геометрия?
      А как же иначе? Даже и в этой игрушечной штучке есть свои особенные правила, которые можно обнаружить и вывести.
      — Это называется узлы! — торжественно заявил Вовка, которому Наташа уже начертила еще фигурку.
      — А вот лабиринты еще? — спросил Лёва.
      — Вот это замечательная вещь, лабиринты! — воскликнул Вова. — Говорят, есть и настоящие. В садах. А в древности, мне мама сказала, был один такой лабиринт, который был совсем настоящий. В нем жил очень страшный Минотавр, людоедище, ужасная образина и с бычьей головой. Рогатый! Ел людей. Рога — вот такие!
      И Вовка раздвинул руки как только мог, чтобы показать, какие были у Минотавра страшные рога.
      — Это сказка, — заметила Наташа.
      — Что ж, что сказка, — отвечал ей дед, — а все-таки интересно!
      — А может быть, что-нибудь такое в древности и было в этом роде, — сказал Лёва. — И потом из каких-то событий вот и вышла этакая легенда, то есть сказка.
      — Вполне возможно, — отвечал дед. — Известно, что один лабиринт был на острове Крит. Может быть, это было что-то вроде дворца. Были лабиринты и в Египте. Само слово «лабиринт» произошло от слова labrys, обозначающего боевую секиру, двойной топор. На Крите в эпоху, которая предшествовала древнегреческой культуре, были в обычае особого рода праздничные, церемониальные «игры с быками», отсюда и пошли, возможно, греческие сказки о чудовищах с бычьими головами.
      — Ведь всякий лабиринт можно обойти, — сказал Лёва.
      — Далеко не всякий, — возразил дед, — напрасно ты думаешь. Если взять лабиринт подземный, где система коридоров, переходов и залов располагается не в одной плоскости, как это обычно делается в разных головоломках, а в пространстве, то есть различные части лабиринта находятся то выше, то ниже, а коридоры идут наклонно из одного этажа лабиринта в другой, самые этажи расположены как попало, — обойти такой лабиринт отнюдь не просто! Такие лабиринты сами собой получаются в копях, в каменоломнях. Известны римские катакомбы как раз такого строения, а у нас существуют знаменитые одесские подземелья, где, как ты, наверно, знаешь, скрывались во время Великой Отечественной войны наши доблестные партизаны, не прекращавшие ни на час своей борьбы с наглыми фашистскими захватчиками. Немцы туда и сунуться не смели, ибо запутаться там — одна минута!.. Ты, вероятно, читал повесть Катаева «За власть Советов»... А лабиринты, которые даются в разных задачках, — это совсем другое дело. Здесь можно все рассказать и разъяснить. На плоскости, на плане все ясно.
      — Я и не подумал про лабиринты из каменоломен. Ну, а такой лабиринт на плоскости, скажем в саду, — тот ведь можно обойти?
      — Этот можно, — сказал дедушка. — Но если устроить настоящий такой лабиринт в большом парке, густо засадить промежутки между ходами деревьями и кустарником, так чтобы насквозь не было видно, то легко заблудиться!
      — А знаменитое правило правой руки? — спросил Лёва.
      — А что это за правило? Я не знаю, — вмешалась Наташа.
      — Ладно, — сказал Тимофей Иринархович, доставая из кармана огромнейшую пенковую трубку с фигурами, прокуренную до коричневого цвета, — давайте откроем конференцию по сему вопросу. До обеда еще долго. Разберем по косточкам. Даем слово Лёве. Пусть он нам доложит про правило правой руки. А Владимир Николаевич будет у нас ученым секретарем.
      Вовка открыл широко глаза, подошел к деду и сказал громким шепотом, который все отлично слышали:
      — Дедушка, ведь я потерял свой зелененький карандашик! Так как же я буду секретарем, когда у меня нет карандашика?
     
     
     
      Глава четвертая
      Приезжает Никита Петушков — нашего полку прибыло! — Обсуждается правило правой руки. — Тупики. — Как дойти до центра? — Четное и нечетное число путей. — Кольцевой маршрут. — Одномаршрутная сеть. — Вова путешествует по шахматной доске Моа и дерево
     
      1.
      — Хорошо! — сказала со смехом Наташа. — Как-нибудь мы это дело с карандашом уладим... А кто же у нас председатель? Конечно, эго будет Тимофей Йринархович.
      — Невозможно! — отвечал дедушка, пыхтя своей трубкой и выпуская в воздух огромные клубы дыма. — Я должен быть оппонентом Лёве, который у нас докладчик.
      — Дедушка, — сказал Вовка, — но я, как секретарь, должен сказать... ты подумай сам!
      В это время скрипнула знакомым звуком калитка садика, и так как до нее было ровно три шага с половиной, то почти немедленно
      из-за пышного куста сирени появился мальчик чуть-чуть повыше
      Левы, рыженький. Глаза прозрачные, внимательные, смышленые.
      Опрятная холщовая блуза и рюкзак за плечами. Поклонился и сказал:
      — ПетушкоЕ Никита явился в ваше распоряжение! Привет всем, а дедушке особо. Добрый день!
      — Ура! — закричал Лёва, бросившись к нему. — Вот и Ника, самый лучший товарищ на свете!
      Вовка влез на лавку и закричал:
      Ура в честь Ники Петушкова! Троекратное гип-гип-ура!
      Тут поднялся такой крик, что дедушка даже почесал в затылке. А Наташа сказала:
      — Ну вот, Ника и будет у нас председателем.
      На крик появилась и мама.
      Добрый день, Мария Алексеевна! — поклонился Ника Петушков. Наши все вам кланяются, а бабушка прислала вам некий таинственный сверток, который мне не разрешено развертывать.
      — Никита будет председателем! Мама, ты не понимаешь, мама, ты не мешай! — закричал Вовка.
      Немножко придется помешать, — отвечала Мария Алексеевна. — Ну-ка, Никитушка, снимай свою поклажу, иди умойся, и я дам тебе закусить.
      Умыться можно, — отвечал Никита, идя за ней. — Но мама меня так накормила перед отъездом, что совершенно даже немыслимо... Она, понимаете ли, купила ветчины двести граммов.
      К чему умываться? — философически пробормотал Лёва. — Все равно на речку пойдем... Впрочем, неважно... Дедушка, а что именно будет обсуждать наша конференция?.. Никита — просто прирожденный председатель! Так бсдст собрания — просто удивительно. Кроме того, он и сам может выступать не хуже меня. Нисколько!
      Мы можем несколько расширить нашу программу, — отозвался Тимофей Ирикархович. — Отчего же и нет?
      Добавим фигурки единого росчерка, — предложила Наташа.
      Вполне уместно! заметил дед. — Присоединяюсь к предыдущему оратору. И даже приветствую. Это нам в самый раз по нашей теме.
      Появился Никита, обтирая ладонью мокрые волосы. Ему подробно рассказали, по какому поводу собралась эта конференция и почему именно он выдвигается на пост ее председателя. Никита не стал долго церемониться, уселся на скамью и сказал.
      — Тускарев Лёва имеет слово.
      Прекрасно... сказал Лёва. — Мы решили обсудить вопрос о 3. 35
      лабиринтах вообще, а кстати и о том, какое они имеют отношение к геометрии. Я немножко читал о лабиринтах, правда в позапрошлом году, но кое-что помню. Пытался и решать их, то есть находить путь к центру, потому что задачей лабиринта является войти в него, дойти до его центра, а потом выйти обратно. Центром может быть, конечно, любая заранее назначенная точка в лабиринте, но обычно выбирается такая, которую труднее других достигнуть, а потом выбраться на волю. Правило правой руки, про которое я говорил, заключается вот в чем. Если я, войдя в лабиринт, буду все время держаться правой рукой за ту стену, которая у меня окажется справа, то я, очевидно, никогда не потеряю связи со входом. А если так, то я, значит, всегда смогу к нему вернуться. Следовательно, я не заблужусь в лабиринте. Для того чтобы разобраться, представим себе такой простой «лабиринт», в котором и запутаться-то нельзя: обыкновенный коридор, только замкнутый с другого конца, или тупик. По-моему, нет надобности доказывать, что я могу, касаясь правой рукой стены, обойти его весь, как бы он ни изгибался, и выйти наружу. Если мой тупик имеет еще и ответвления, то есть от него
      отходят добавочные тупики — но именно тупики, а не что-нибудь другое! — то я их все обойду тем же самым порядком, вернусь наконец в главный тупик и выйду беспрепятственно на белый свет.
      — Прекрасно! — одобрил дед. — Ты сказал «именно тупи-ки, а не что-нибудь другое». Значит, «что-нибудь другое» может тебе помешать? Ну-ка, расскажи, что это такое?
      — Дело вот в чем, — глубокомысленно продолжал Лёва, сосредоточенно смотря вниз на песок, на котором он что-то чертил прутиком, — что в лабиринте может встретиться петля. Если я все время держусь стены правой рукой, я обойду петлю и снова попаду в мой тупик, который, как доказано, можно обойти без затруднений. Но если я не буду следить за тем, чтобы не потерять моей стены справа, и по ошибке переменю руку или повернусь тогда, когда мой коридор и не думал поворачивать, то я могу попасть не к наружной стенке петли, а ко внутренней, и уж тогда...
      — Определи, что такое «наружная» стенка! — вмешался председатель Ника. — Иначе запутаемся.
      — Вот именно! — поддержал оппонент, дедушка Тимофей Иринархович, выпустив замечательной красоты дымное колечко, а вслед за ним еще и другое, поменьше.
      — Наружная стенка... — начал, немного запинаясь, Лёва, — это, видишь ли, стенка, являющаяся непосредственным продолжением стены основного тупика, а он ведь сам представляет одно целое со своим входом. Теперь представь себе, что я иду и все время провожу мелом по стене непрерывную линию правой рукой. Попавши из тупика в петлю, я вычерчу мою меловую линию и на всей ее наружной стенке.
      А внутренняя стенка петли не имеет непрерывного соприкосновения со стенами исходного тупика. На ней меловую линию начертить этим способом нельзя. Ясно?
      — Да, ясно, — отвечала Наташа.
      — Так вот, если я переменю руку в петле, то оторвусь от той стенки, которая имеет непрерывное соприкосновение со входом, попаду к внутренней стенке и так и буду вокруг нее ходить. Вот это и значит- — я заблудился. Конечно, на самом деле лабиринт устроен много хитрее, чем я тут нарисовал, и нарочно так придумано, чтобы была не одна петля, а целая система петель и чтобы ты на каждом шагу мог оторваться от той стенки, которая связана со входом, и попасть на внутреннюю стенку — вернее, на систему внутренних стенок, — и тогда ты попался! Вот в чем основная трудность лабиринта. Я все сказал.
     
      2.
      — Так, — промолвил Ника, председатель конференции. — Кто желает высказаться?
      — У меня вопрос, — сказала Наташа. — При чем же тут центр лабиринта? Ты, Лёва, о нем еле упомянул, а говорил ведь только о том, как войти и выйти.
      — Ну да, — вмешался ученый секретарь, — войти да выйти — это не штука. А ты дойди-ка до самого центра, вот тогда посмотрим!
      — Правильно! — заметил дедушка.
      — Мне кажется, — отвечал Лёва, — что центр должен быть расположен в оконечности тупика.
      — Вот тут-то тебя ничего и не стой г обмануть, — возразил, улыбаясь, дед, — а мы возьмем да и устроим центр как раз в самой глубине системы петель, которой ты так боишься. Ну-ка, отвечай, что ты тогда будешь делать?
      — Я принес, — отвечал Лёва, который не считал еше себя побежденным, — чертеж одного старинного лабиринта. Смотрите... Он без труда обходится по правилу правой руки. И, пользуясь этим прав:; лом, ты легко и, даже можно сказать, автоматически, попадешь и
      центр там, в самой середине.
      — Стоит только, — сказал дедушка, — обнести твой лабиринт еше
      одним круговым забором, и твое правило окажется непригодным. Ты войдешь за этот забор, потом обойдешь его весь. И что же дальше? Ты придешь к выходу, вот и все. А в самый лабиринт ты даже и не попадешь. Что ты на это скажешь? А ведь этот забор нам ничего не стоит снабдить еще целой системой самых запутанных петель, не так ли? Ну-с?
      — Хм... — протянул Лёва, несколько озадаченный. — Да, пожалуй, будет затруднительно. Выходит, что это правило правой руки применимо только в некоторых случаях...
      — В частных случаях... — подсказал дедушка.
      — А кроме того, как с этим правилом дойдешь до центра, когда понятия не имеешь, в какой части лабиринта он расположен? — добавила Наташа.
      — Значит, вопрос, по-видимому, так не решается, — заключил Никита. — В силу этого я как председатель прошу высказаться тех, у кого есть соображения более полезные, чем только что изложенное
      и обсужденное правило правой руки.
      — Позволь, — сказал Лёва, — я все-таки не убежден. Быть может, я не привел каких-нибудь веских аргументов в пользу этого правила!
      Я должен подумать.
      — Кто ж тебе мешает? — ответил Никита. — Думай, сделай милость! Когда придумаешь, мы тебе дадим слово. Но сейчас ты ничего нового не можешь сказать?
      — Н-нет... сейчас, пожалуй, не могу.
      — Тогда повторяю свое предложение. Я считаю, что доводы, ири-
      веденные Тимофеем Иринархычем, справедливы. Конечно, голосовать такие предложения было бы смешно, но все-таки интересно: кто против моего заключения?
      Никто не сказал: «Я против», только Лёва, подумав, заявил:
      — Воздерживаюсь!
      — Так и запишу! — закричал Вовка.- — Дай мне, я тебя умоляю, дедушка, карандаш. Я запишу: он воздержался!
      — Тогда у меня вот какое предложение есть, — вымолвил Тимофей Иринархович. — По-моему, нам сейчас будет всего удобнее рассмотреть то, что нам предлагала Наташа о фигурах, которые чертятся непрерывной линией. Это у нас будет нечто вроде разведки в странах этой своеобразной геометрии. Попробуем! Как, Наташа, ты думаешь?
      — Очень хорошо! — ответила девочка.
      — Тогда, — объявил Ника, — ты, Наташа, и докладывай.
      Наташа пожала плечами:
      — Да ведь я не готовилась!
      — А я... — вскричал в негодовании Лёва, вскочив с места, — я разве готовился?
      — Это конференция летучая, — пояснил дедушка, — каждый говорит что знает. Готовиться необязательно.
      — Ну хорошо, — согласилась Наташа. — А вы, дедушка Тимофей Иринархович, конечно, будете помогать?
      — По мере сил! — ответил дед. И огромнейшее кольцо табачного дымка, расплываясь и покачиваясь, поплыло вверх к цветам сирени, а усы деда шевельнулись в хитренькой усмешке.
      Все засмеялись, потому что всем показалось, что дед ответил Наташе очень удачно.
      — Я начну с самого, на мой взгляд, простого, — сказала Наташа. — С квадрата. Если его рассмотреть в качестве такой фигуры, которая рисуется одним росчерком, то с какой бы вершины я ни начала обходить его, я нарисую весь квадрат и обойду каждую его сторону один раз. В этом ведь весь и секрет, чтобы по каждому пути от точки до точки, от вершины до вершины пройти только один раз.
      — Это узлы, а не точки! — важно сказал Вовка. — Я знаю!
      — Хорошо, — ответила она, — пусть узлы.
      — А дорожки — пути! — еще более важно заметил Вовка. — Как это ты не знаешь?
      — Вот и молодец, что знаешь! — отвечала Наташа. — А теперь, когда ты сказал, и я буду знать... Вот в этих-то точках, то есть узлах, по-моему, и есть вся хитрость. Если узел можно пройти насквозь
      и попасть на новый путь или, пройдя узел, к нему можно вернуться, — это один случай; а если это узел такой, что в нем в конце концов надо обязательно совсем остановиться или уйти так, что уж назад нельзя вернуться, — это совсем другой случай. И благодаря тому, что существуют два разных рода узлов, и сами фигурки эти бывают разные. Первый род узлов отличается тем, что к ним всегда подходит четное число путей. А другой род узлов — тем, что к ним, наоборот, ведет нечетное число путей.
      — Короче говоря, — заключил дедушка, — есть четные узлы и нечетные. Но скажи, пожалуйста, Наташа, тебе не приходило в голову, что ведь и улицы в городе тоже можно рассматривать как пути, а перекрестки — как узлы. Если ты с этим согласишься, то я бы предложил тебе на рассмотрение такую задачу. Представь себе, на новостройке где-нибудь вырос довольно большой рабочий поселок. Решили завести в нем автобусное сообщение. И надо сделать так, чтобы по каждой улице, где автобус может проехать, шел бы только один маршрут. Теперь спрашивается: нельзя ли все это нам так устроить, чтобы число таких маршрутов было наименьшим? Я предлагаю рассмотреть эту задачу и могу заверить почтенную конференцию, что это будет полезно для рассмотрения поставленных перед нами двух задач, то есть задачи о фигурках одного росчерка и о лабиринтах.
      — Постой, диду! — заявил Вовка. — Как это так — наименьшим? Я не понимаю.
      — Это очень просто, — ответила за дедушку Наташа. — Вспомни: ведь ты свой конвертик хочешь обойти за один раз, а не за два, не за три раза, правда? Значит, нужно сделать прогулок по конвертик поменьше, верно? И самое лучшее — одну. Вот и выходит — наименьшее число прогулок. Ну, а тут маршруты...
      — Чтобы за один раз, а не за десять! — ответил Вовка, мотнув головой в знак того, что сообразил, в чем дело.
      — Могу рассказать еще про Тезея и Ариадну, — заявил Лёва.
      — Я запишу, что он может, — заявил Вовка. — Я и сам отлично могу, ну уж пусть он!
      — Запиши, — разрешил Никита, — это будет дополнительный доклад.
      — Так вот, ты, Наташа, — продолжал Тимофей Иринархович, — и рассуди, как можно было бы приступить к этой задаче?
      — Тут пример с квадратиком тебе не поможет! — буркнул Лёва.
      — Почему? — отвечала девочка. — Нет, немножко может и здесь помочь. Но если речь идет о маршрутах автобусов, то надо начать с одного особого случая, — он, кстати, и самый легкий: просто прямой,
      то есть незамкнутый путь. Ну, дорога железная из Ленинграда в Москву. Один, так сказать, узел — это Москва, а другой — Ленинград. Поезд и ходит «челноком» — туда и сюда. А совсем другой по виду путь — это кольцевой, или круговой. Например, Окружная железная дорога вокруг города Москвы. Она охватывает кольцом весь город. По правде сказать, это было давным-давно. Теперь город из нее вырос, но это в данном случае неважно. Важно то, что она круговая. Мне кажется, что эти два маршрута и есть самые главные, основные. Из них можно составить все остальные.
      — Так и есть, — вставил дедушка благодушно.
      — Какая между ними разница? — продолжала Наташа. — У прямого, или разомкнутого, пути есть два конечных пункта, скажем начало и конец. А у кольцевого совсем нет конечных пунктов. Любой пункт на нем можно выбрать за начальный. Он же в таком случае будет и конечным. Вот и все, что я могу сказать про самые
      маршруты. А теперь надо разобрать подробно вопрос о перекрестках...
      A-а, значит, — перебил Вовка, высоко поднимая выпрошенный у деда карандаш, — об у-з-л-а-х! Вот о чем!
      —... по которым будут проходить наши автобусы. Я могу сейчас привести три примера перекрестков, или, как говорит Вова, узлов. И мне кажется, что после этого многое выяснится. По-моему, я не ошибаюсь... их именно три.
      Наташа немного задумалась, посмотрела на деда. Но тот старательно выколачивал свою трубку, не обращая на нее никакого внимания.
      Да, как будто три. Во-первых, на концах нашей автобусной сети — на окраине поселка — найдутся те самые тупики, о которых говорил Лёва в своем докладе о правой руке. Впрочем, тупик может оказаться даже и в центре города — это конечные точки некоторых маршрутов, и от каждой такой точки выходит один путь. Пусть теперь из какого-нибудь узла выходят два пути. Что это обозначает? А вот что: или он лежит на кольцевом ..
      маршруте, или где-то на середине прямого маршрута. Наконец — и это последний из моих примеров — когда из данного узла выходят целых три пути. Тут нужно припомнить оба первых случая. Такой тройной узел, очевидно, лежит либо на кольцевом маршруте, либо где-то в середине прямого — это раз. И из него обязательно выходит еще один прямой путь — это два...
      — Получается так, — заметил Лёва, — что третий твой пример соединяет в себе свойства первого и второго.
      — Конечно! И я очень рада, что это понятно. Теперь мы определили главные свойства всех наших узлов, и нам легко вывести, сколько потребуется маршрутов. Правило очень простое: все двойные
      узлы можно обойти одним маршрутом. Каждую точку на круговом маршруте можно рассматривать как двойной узел: остановился, а потом пошел дальше — точка и стала двойным узлом. По одному пути пришел, по другому ушел. Кроме того, в к каждой такой точке можно присоединить круговую петлю — ты от этой точки отошел, сделал петлю, потом вернулся и опять пошел по первому круговому маршруту, значит, теперь к этой точке подходят не два пути, а четыре.
      — Петли?.. — задумчиво проговорил Ника. — А нельзя ли узнать, какое отношение эти твои, Наташа, петли имеют к тем петлям, о которых говорил Лёва, то есть к петлям в лабиринте?
      — Петли и в том и в другом случае, — отвечала ему девочка, — конечно, одни и те же. Разница только в том, что Лёвушка рассматривает у них стены, наружную систему стен и другие, а мне этого делать не приходится, так как стены меня не интересуют... Ну, так я продолжаю. Ясно, что к любой точке всегда можно добавить сколько угодно петель, то есть увеличивать и увеличивать число путей от данного узла и каждый раз прибавлять еше два пути. А следовательно, все, что говорится о двойных путях, можно сказать и вообще о всех четных узлах. Это будет у нас пункт первый. А второй наш пункт таков: для каждой пары нечетных узлов необходим один прямой, или «челночный», маршрут, потому что...
      —...в одном начинается, в другом кончается! Мы с мамой так на пароходе ездили. Известно! — подтвердил Вовка.
      — А если это так, то и получается, что нечетные узлы всегда попадаются парами, и у каждой такой пары есть свой прямой маршрут. И, значит, в любой сети путей, где только есть нечетные узлы, их должно быть обязательно четное число: два, четыре, шесть и так далее. И если на нашем кольцевом маршруте есть хотя бы два нечетных узла, то, значит, к нашему кольцевому маршруту присоединен еще один прямой маршрут. Раз это так, мы можем рассматривать весь наш кольцевой маршрут как часть прямого. Почему же? А потому, что теперь придется начинать и кончать наш путь именно в нечетных
      узлах. Вот я рисую схему (стр. 42). Один узел четный четверной, а два нечетных тройных. Очень легко убедиться, что эту фигуру можно обойти всю, если обход начать с любого нечетного узла. А если мы начнем с четного, то часть фигурки останется необойденной.
      — Присоединяя к кольцевому маршруту прямой, — заметил Лёва, — мы, так сказать, в итоге такого присоединения получаем маршрут не кольцевой, а прямой.
      — Конечно! — отвечала докладчица. — Если у нас есть кольцевой маршрут и мы к нему добавляем еще и прямой, который идет как раз поперек кольцевого, то его можно присоединить к кольцевому тремя различными способами, как вот у меня на чертеже. Итак, четные узлы ничего особого не требуют, а каждая пара нечетных требует отдельного маршрута. Вот теперь у меня как будто и получается решение дедушкиной задачи. Первое: если все узлы четные, хватит одного маршрута; второе: если есть нечетные узлы, то число маршрутов равняется половине числа нечетных узлов.
      — А разделится? — спросил Вовка. — То есть без остатка?
      — Конечно, у каждого прямого маршрута ведь обязательно есть начало и конец.
      — Задача, — сказал дедушка,- — решена хорошо и правильно. к теперь я попрошу нашего уважаемого председателя, который очень ьнимательно слушал Наташин доклад, объяснить нам, коли он не возражает...
      — Не возражает! — сказал Лёва за председателя.
      Тот кивнул утвердительно, а секретарь Вовка нахмурил брови и погрозил Лёве своим карандашом за то, что он осмеливается говорить без разрешения.
      —... коли он не возражает, какое же значение имеет все сказанное для того, чтобы придумать и нарисовать или построить одномаршрутную сеть, которая обходится одним росчерком, или — а это в сущности то же самое — как обойти уже построенную сеть. Это и есть задача школьного конвертика.
      — Вот какой наш конвертик знаменитый! — заметил с большим удовольствием Вовка. — Сколько автобусов надо, чтобы его распечатать!
      — Полагаю, — начал Ника, — что, как было выяснено из доклада Наташи, одно-маршрутиая сеть, или «одночеркальная» фигурка, есть не что иное, как кольцевой маршрут, к которому всегда можно при-
      соединить один прямой маршрут. Выходит, что в такой фигурке не может быть больше двух нечетных узлов. Если больше двух нечетных узлов, одним росчерком фигуру не нарисуешь. Короче: число отдельных росчерков, как и число отдельных маршрутов, равняется половине числа нечетных узлов в фигурке. Пересчитай, сколько нечетных узлов, раздели пополам — вот тебе и число росчерков.
     
      3.
      Вот еще задачка, — вдруг взволновался Вовка, — я и забыл совсем! Обойти шахматную доску, то есть начертить ее как решетку, а указывать, которые черные поля, которые белые, не надо, ходить не
      по полям, а по решетке. Сколько же надо на это отдельных росчерков? Четырнадцать. А почему? Да потому, что на всех скрещиваниях путей решетки внутри доски находятся только одни четные узлы и только по краям доски имеются нечетные узлы (тройные); их с каждой стороны по семи штук, а всего, значит, двадцать восемь. На каждую пару нечртных узлов, как сказал Ника, полагается один маршрут, следовательно, всех их будет четырнадцать. Вот вам объяснение. А если через все черные поля провести диагонали, то нечетных узлов останется меньше- их будет только шестнадцать, а росчерков восемь. Можете проверить! А если еще и этот последний чертеж немножко переделать, то есть в двух крайних клетках на концах «большой дороги», которая идет из левого нижнего угла доски через всю доску в верхний правый угол... (Чертеж на стр. 45).
      — От поля а1 до поля h8, — вставил дед.
      Конечно! — кивнул деду Вовка.- — Так вот, если провести диагонали перпендикулярно к другим диагоналям, причем самой-то большой диагонали мы не будем проводить, так тогда надо только шесть росчерков. Мы с дедушкой делали. А если взять на чертеже кусок кирпичной стены с тремя стыками кирпичей... вот такой! Так надо четыре росчерка!
      Так и есть, — сказал Лёва, успевший начертить и проверить.
      Есть еще «подпись Синдбада-морехода»! Он ее чертил на песке.
      Так! — заключил дед. — Теперь разреши мне, председатель, сделать маленькое добавление.
      — Просим! — сказал председатель.
      Тереха, — крикнул Вовка коту, который вспрыгнул к нему на колени, — проваливай немедля! У нас конференция!
      Кот не торопясь осмотрел всю конференцию довольно презрительно, спрыгнул и величественно удалился.
      — Уходит по прямому маршруту! — заметил Вовка.
      И все засмеялись.
      — Так вот, — продолжал Тимофей Иринархович, — под названием путь мы с вами будем понимать линию, соединяющую два узла, из
      которых один является началом данного пути, а другой — его концом. От каждого узла нашей маршрутной сети можно по путям, которые и составляют эту сеть, перейти к любому иному узлу этой сети. Это свойство называется связностью. Если внутри нашей системы имеется та-кой путь, удаление которого ведет к уничтожению связности, после чего наша система распадается на две отдельные системы, то такой путь мы называем мостом. Вот перед вами чертеж, на котором мы видим мост аЬч тогда как на другом чертеже Ьс не является мостом; если его удалить, связность системы не будет нарушена. Одиночный путь, которым кончается прямой путь, будем называть тупиком, а конечный узел его — свободным концом. Если все это ясно, то теперь я укажу, что существуют особые сети, где совсем нет кольцевых маршрутов, а есть только одни мосты и тупики. Такую систему путей называют деревом. Ясно, что дерево одним маршрутом обойти нельзя: зашел в первый попавшийся тупик, и готово — застрял!
      — А если оно состоит из одного пути? — спросил Лёва.
      — А стоит ли отдельный путь деревом называть? — спросил дед. — Это только основа для дерева...
      Лева молча пожал плечами: он, по-видимому, все-таки остался при своем мнении.
      — Характерной особенностью дерева, — продолжал дедушка, — является то, что оно теряет связность, если из него изъять любой путь, потому что каждый из них либо мост, либо тупик. А ведь тупик это тоже в некотором смысле мост — он связывает нашу систему со свободным концом: если тупик удалить, то этот конец останется в виде ни с чем не связанной точки. Из этого необходимо заключить, что. у дерева число путей меньше... чем что? Кто скажет?
      — Меньше числа узлов. И меньше как раз на единицу! — ответил Лёва почти без запинки.
      — Докажи сейчас же! — потребовал Вовка.
      — Это нетрудно, — отвечал ему брат. — Возьми самое простое дерево, отрезок — вот как я сейчас дедушке говорил, — то есть отдельный путь, который представляет собой один мост, соединяющий две точки. А из него, как из основы, можно сделать какое хочешь дерево, прибавляя к нему постепенно тупик за тупиком, превращая тем самым один из предыдущих тупиков или часть такого тупика в мост и так далее. Сколько бы, однако, ты ни прибавлял, все равно — одна лишняя точка, которая была вначале, так и останется. Значит, в дереве путей на единицу меньше, чем узлов.
      — Дедушка, — спросил Вовка, который, видимо, не сразу разо брался, — это он верно говорит?
      — А ты как думаешь? — спросил, в свою очередь, Тимофей Иринархович.
      — Верно, верно! — сказала Наташа.
      — Тогда, — нерешительно выговорил Вовка, — ничего не поделаешь... придется записать... ну, что он верно сказал.
      — Рассмотрим еще, — продолжал оппонент Тимофей Иринархович, — что у нас получится, если из связной системы путей постепенно изымать один за другим некоторые пути, но только не такие, изъятие которых нарушает связность. То есть будем изымать пути так, чтобы наша система не распадалась...
      — Значит, — подсказал Лёва, — мосты мы изымать не будем.
      — Именно. И вот тогда из любой данной системы путей в конце концов мы получим дерево. Можно это сделать самыми различными способами. Но самое интересное заключается в том, что, как бы мы ни изымали эти пути, число изъятых путей для данной системы всегда останется одним и тем же!
      — Что же это будет за число? — спросила Наташа.
      А вот мы попробуем его определить! — наставительно сказал дедушка. — Это будет довольно интересная задача.
      В это время на площадке перед скамеечкой снова появился кот Теренций и, оглядев всех самым надменным взглядом, уселся прямо
      перед Вовкой, однако спиной к нему. А за ним пришла Мария Алексеевна и заявила:
      — Товарищи делегаты, устроим перерыв. Все равно Вовка у вас вот-вот заснет. Вы его заучили.
      — Ты, мама, это совершенно напрасно! — взмолился Вовка. — Я здесь секретарь, а ты...
      ... а я министр снабжения. И поэтому приглашаю вас всех обедать. Пожалуйте-ка, руки мыть и садиться за стол. Да и дедушке надо отдохнуть.
      Лева быстро подошел к Никите и сказал ему вполголоса:
      Перерыв так перерыв. Мы с тобой им таких лабиринтов за это время придумаем, что останутся довольны!
      Очень хорошо! — ответил ему в тон Никита. — У меня тоже есть кое-какие соображения. А кстати, и насчет одномаршрутных путешествий. Нажмем!
     
     
      Глава пятая
      Наташина подруга. — Важный вопрос о числе изъятых путей. — Сколько путей может быть на дереве? — Куб — правильное выпуклое тело. — Как из шести спичек сделать четыре треугольника? — Тетраэдр. — Замечательная теорема Леонарда Эйлера о многогранниках. — Решение вопроса о фигурах одного росчерка. — Калининградские мосты. — Геометрия путей и узлов. — Что такое отвлечение?
     
      Маршрутную конференцию собирались было продолжать после обеда, но это, конечно, не вышло. Пошли гулять. Выяснилось, что, может быть, удастся найти лодку на речке. Потом оказалось, что хоть лодка и есть, но нет весел — за ними надо идти. И вот решили, что уж лучше сегодня пойти в лес. Там, кто-то рассказывал, есть очень интересное лесное озеро, совсем черное, и будто бы на нем живет новый заморский зверек — ондатра. А еще кто-то сказал, что за речкой есть курганы, а еще дальше, километров за семь, — самая настоящая пещера!
      В силу всех этих важных обстоятельств конференция была отложена, и собрались ребята чуть ли не через целую неделю, потому что зарядил обложной дождик и пришлось сидеть дома.
      Вовка пришел к деду и сказал:
      — Дедушка! Вот мы с ребятишками... Это соседи наши: вот Катя, ты ее видел, и потом с другого еще двора — не те, которые напротив, а вон оттуда... Это еще Ванька. И мы хотим играть в лабиринты. Мне, понимаешь, мама дала моток штопки, но она сказала, чтобы потом назад принести, вот в чем дело!
      — Так, — сказал Тимофей Иринархович. — Что же из этого всего получается? И чем я могу тебе помочь?
      — А получается вот что. Мы так решили, что Катя будет Тезеем. Ты мне дашь для нее свою палку — это будет палица суковатая. Ванька будет Минотавр. У него есть маска — заяц с длинными ушами. Это у него будут рога, как у Минотавра.- Катя будет с ним сражаться. А я буду Ариадна, потому что у меня есть мамин моток штопки — только ведь мама велела назад принести! — и я буду ее спасать от Минотавра.
      — Пре-крас-но! — протянул дед. — Правда, Ариадна была царевной и на мальчика мало была похожа...
      — Вот в том-то и дело! — вздохнув, продолжал Вовка. — Но ведь мотка-то у Кати нет... моток-то ведь у меня! А мама велела принести обязательно назад. И чтоб цело было!
      — Да! — посочувствовал дедушка. — Действительно, затруднение... А где же будет лабиринт?
      — Лабиринт у нас в бузине. Лабиринт хороший — не продерешься!
      — А дождик как же?
      — Вот и не знаю. Дедушка, а может быть, нам сегодня опять устроить конференцию?
      — Да я не прочь. А ребята как? Лёва с Никой?
      — Сейчас узнаю! — решил Вовка, с чем и исчез.
      Ника и Лёва пришли довольно скоро. Вид у них был какой-то странный, замысловатый и даже заговорщический. Они важно переглядывались друг с другом, делая какие-то таинственные знаки. Вовка принялся искать свой зелененький карандашик, который он за эту неделю терял уже два раза.
      — Ведь вот здесь был! — сказал Вовка с огорчением. — Только что был!..
      Тут Вовка, став на четвереньки, открыл дверь на террасу, чтобы было на полу посветлее, но остановился, поднял голову и, не вставая, сказал не очень громко:
      — Ползет чудо...
      — Что за чудо? — спросил дед.
      — Босое, четвероногое, и с него льется вода.
      Мальчики бросились к двери смотреть на чудо, но из садика раздалось фырканье, сдержанный хохот, шлепанье босыми ногами по лужам, а затем появилось и само «чудо». Это был широкий синий дождевой плащ, а из-под него были видны босые ноги, целых четыре, и загорелая ручонка, которая держала тапочки.
      — Эге! — сказал дед. — А как сие надлежит разуметь?
      Но «чудо» уже вскочило на ступеньки террасы. Огромный плащ свалился, и показались раскрасневшаяся Наташа и незнакомая девочка, небольшого роста, курносенькая, немножко бледненькая, но с очень веселыми серенькими глазками.
      — Привет всей честной компании! — сказала Наташа, кланяясь дедушке и надевая тапочки. — А я привела мою подругу. Ее зовут
      Веточка Богданова.
      — Веточка? — повторил с удивлением Вовка.
      — Виктория, — объяснила Наташина подруга, приглаживая сбившиеся под тяжелым плащом волосы. — Мама меня звала Веточкой, так оно и осталось.
      — «Звала»? — переспросил дед.
      — У нее нет мамы, — сказала Наташа. — Фашисты ее угнали, и так она там где-то и погибла.
      — Да, — подтвердила Веточка, — даже и не узнали где...
      — А ты с кем же? — спросил Тимофей Иринархович.
      — У меня только бабушка. Ну, потом... вот еще есть подруга Наташа... Мы решили, что вы все сидите дома, ну и пришли к вам в гости.
      — Превосходно! — сказал Лёва. — Правильно придумали. А мы собираемся как раз продолжать нашу одночеркальную конференцию... про мосты, про деревья...
      — Это то, что ты рассказывала? — обратилась Веточка к Наташе.
      — А Веточке будет интересно? — спросил Ника.
      — Ну да!.. — ответила Наташа, кивнув подруге, а потом сказала Нике: — Отчего же нет? Мы в одном классе... И вместе даже читали про Софу Ковалевскую. А ты знаешь, как Софа стихи любила? У нее даже отняли хрестоматию, потому что она — ну, когда маленькая конечно! — только и делала, что ходила по залу и читала лермонтовского «Мцыри» вслух! Она и сама стихи писала.
      — Как же можно Лермонтова не любить? — сказала Веточка. — Помнишь, Наташа, как это у него сказано про одинокую гробницу?
      — Это из Байрона, — заметил Ника.
      — Мы про Байрона с Наташей тоже недавно вспоминали, — заявил Лёва, — то есть про дочку его, Аду... Дедушка, ты не знаешь, что это была за счетная машина, о которой она писала?
      — Нет, — отвечал дед, подумав, — что-то не слыхал. Вот дядя Ваня приедет, ты попробуй потолковать с ним насчет этого дела. Он это все знает.
      — А счетная линейка — это машина или нет?
      Конечно, — отвечал дед. — Математический инструмент. А надо
      вам все-таки об этом с дядей Ваней поговорить. Он в этих делах как рыба в воде.
      «А е1е’ знаешь, — добавила Наташа, — Ковалевская дружила с английской писательницей Джордж Эллиот. Ты, Ника, ничего не читал из ее сочинений?.. У нее есть очень хорошая книга — «Мельница во Флоссе». Есть и русский перевод. Это повесть о ее детстве. Так хорошо написана, просто читаешь — и сердце радуется! И, понимаешь, Ковалевская, такая горячая и сердечная, должна была
      любить писателя, который написал такую хорошую книгу о детстве Вот как...
      — Да. Повесть хорошая... — ответил дедушка. — Ну, а я от себя лично предлагаю — продолжать нашу одночеркальную... как выражается Никита, или это ты, Лёва, придумал?.. конференцию.
      — Принято! — ответила Веточка.
      — Убери ты свою коричневую ногу!.. — неожиданно раздалось из-под стола. — Вот он, оказывается, где мой карандашик!
      И Вовка радостно вылез из-под стола с зелененьким карандашиком в руках.
      — Теперь можно начинать! — торжественно заявил он. — Все готово!
      — Да уж действительно больше нечего дожидаться... — согласился дед. Ну, Никита, вступай в свои обязанности.
      Открываю заседание конференции! — заявил Никита, постучав косточками пальцев по столу. — Прошу товарищей занять места. Мы остановились прошлый раз на рассмотрении вопроса об изъятии путей из данной системы с целью превращения ее в дерево. Докладчиком по данному вопросу конференция выдвинула доктора Одночеркаль-ных Наук и заслуженного почетного культурника всей Тускарии, де-душку Тимофея Иринарховича! Его слово.
      Взрыв дружных рукоплесканий покрыл это витиеватое начало второго заседания Тускарийской конференции.
      — Благодарю за оказанное доверие, — отвечал дед в тон Нике. — Приступаю к докладу. А все ли знают, о чем идет речь?
      — Мне Наташа все рассказала! — заявила Веточка.
      — Начертим для начала какую-нибудь систему путей. Вот тут у нас семнадцать путей и одиннадцать узлов. Если я начну превращать эту систему в дерево, изымая пути, то узлов у меня останется
      столько же — я ведь их не трогаю! — а путей, как мы уже заметили раньше, будет на единицу меньше, чем узлов, то есть не одиннадцать, а только десять. Сколько же я всего изъял путей? У меня их было семнадцать, а теперь осталось десять. Следовательно, я изъял семь. Ясно, что, для того чтобы получить число изъятых путей, надо из общего числа путей вычесть число узлов без единицы... Ну, Вовка, ты уж не обижайся, а мы запишем это алгебраически...
      Вовка вздохнул, почесал в затылке и сказал:
      — Я уж у Лёвки брал алгебру... да там что-то одни буквы — ничего не поймешь!
      — Ничего, Вовочка! — сказала Веточка. — Годика через три все разберешь.
      — И не через три вовсе, — возразил в негодовании Вовка, — а раньше! Потому что я опять в алгебру полезу. Очень мне интересно три года дожидаться!
      — Ишь, какой прыткий, — ответил дед. — Поспешишь, говорят, людей насмешишь. Куда спешить? Кто не торопится — тот счастливый... Так вот, назовем число узлов буквой /г, число путей — буквой ту тогда путей после изъятия у нас останется (п — 1); ясно, что это будут именно те пути, которые уже нельзя изъять без того, чтобы наша система не распалась..
      — Значит, дерево имеет наименьшее возможное число путей? — спросила Веточка.
      — Конечно, так, — продолжал дед. — Теперь число изъятых путей, очевидно, будет равно [т — ( п — 1)], или (т — п+1). Затем обращаю ваше внимание еще на один любопытный факт. Посмотрите, на сколько отдельных участков делят пути ту часть плоскости, которая ограничена нашей системой линий. У нас на чертеже таких участков, обозначенных римскими цифрами...
      — Семь! — поспешил заявить Вовка.
      — То есть, — продолжал Тимофей Иринархович, — столько же, сколько...
      —...сколько вы изъяли путей, — докончила Наташа.
      — Объясни почему! — немедленно придрался Вовка.
      — Потому, — отвечала ему девочка, — что, как только мы удаляем из системы один путь, тотчас же и число участков у нас уменьшается на единицу, а когда мы удалим все пути, которые возможно...
      — А их будет по указанной формуле (т — я-f 1), — подсказал Ника-председатель.
      — Ну конечно! — продолжала Наташа. — И тогда у нас уже не останется ни одного ограниченного участка, как оно для дерева и полагается. Ясно, что число изъятых путей системы для превращения ее в дерево и равно числу участков.
      — Точно! — ответил дед. — А вот теперь, когда мы нашли это важное соотношение, я позволю себе предложить нашей нескучной, конференции еще одну прогулку в неизвестные страны, где имеется для любознательных ребят немало превосходных подарков. Всем нам хорошо известно, что такое куб...
      — Да просто кубик! — вмешался Вовка. — Вот он!
      И Вовка торжественно вытащил из кармана самый обыкновенный детский кубик с буквами из раздвижной азбуки.
      Вот и хорошо, что куб сам к нам явился! — заявил дед, взяв Вовкин кубик в руки. — Куб есть выпуклое тело. Его можно положить на плоскость, то есть на стол — на одну из его граней или сторон, — и весь он при этом, целиком, лежит над этой своей гранью, которая вплотную прилегает к столу. Если бы он не был выпуклым, то легко сообразить, что этого не случилось бы: невыпуклое тело, кроме отдельных случаев, так лечь на плоскость не может. Кроме того, это правильное тело в том смысле, что каждая его сторона — правильный многоугольник, то есть равносторонний четырехугольник, или квадрат. Значит, квадраты — стороны куба, или его грани; скрещиваются грани на ребрах куба, а ребра, в свою очередь, пересекаются в его вершинах. Пересчитаем, сколько у куба их всего... Ну-ка, Вовка!
      — Сейчас, — торопливо отвечал Вовка, — сию минуту! Сейчас скажу... А ты не смей меня, Лёвка, перебивать!.. Диду, подожди, я
      сейчас скажу. Значит, так: вершин у куба восемь! Теперь... ребер у него двенадцать, а граней... ну, это известно!.. граней шесть. Все! Дедушка, видишь, я все сказал!
      — Все верно! Молодчина!.. — ответил дед. — А теперь еще вопрос. Все ли знают, как решается одна очень славная старинная задачка? Вот какая: из шести спичек сделать четыре треугольника. Разумеется, треугольники равносторонние, сторона равняется спичке.
      — Кажется, я припоминаю, — сказал Лёва.
      — А я не знаю! — жалобно пропищал Вовка.
      — Сейчас узнаешь. — И дед осторожно вытащил из кармана блузы склеенную из спичек фигурку.
      — Ах, — сказала Наташа, — так это пирамида! Да, правда, спичек шесть, а треугольников... четыре. Хорошо!
      — Это, — объяснил дед, — тоже правильный выпуклый многогранник. Он называется тетраэдр, от греческого слова tetra, что в переводе означает «четыре», ибо у него, как вы уже заметили, четыре грани. Ребер столько...
      —...сколько спичек! — обрадовался Вовка. — Шесть!
      — Так. А вершин сколько?
      — Вершин? — переспросил Вовка. — Три внизу, одна наверху, всего четыре.
      — Теперь возьмем третье правильное тело. Их всего только пять, и все они были известны еще древнегреческим геометрам. Это третье правильное тело тоже составлено из треугольников. Только на этот раз их не три, а больше. Здесь из двенадцати спичек можно сделать восемь треугольников. Зовут его октаэдр, от греческого слова okto, которое значит «восемь»... А вот и он!
      И столь же осторожно дедушка извлек из другого кармана блузы склеенный из спичек октаэдр.
      — У нас, — продолжал он, — теперь есть три правильных многогранника. Имеется еще два. Те похитрее, и о них мы поговорим попозже. Рассмотрим октаэдр... Сколько у него вершин, ребер и граней, Вовушка?
      — Вершин, диду, шесть; ребер, значит, — сколько спичек, то есть двенадцать, а граней — восемь.
      — Запишу, — сказал дед. — Вот здесь, на этом листе бумаги, большими буквами красным карандашом, чтобы все видели эти цифры. Смотрите внимательно: буквы «В», «Р» и «Г» обозначают «вершины, ребра, грани». Вот что получается:
      Тетраэдр.. 4 6 4
      Октаэдр... 6 12 8
      Куб 8 12 6
      — Замечаете ли вы, что из этих трех чисел в каждой строчке то, которое стоит в середине, меньше суммы двух крайних? Верно?
      — Верно, верно! — раздались голоса.
      — А на сколько меньше?
      — Дедушка, я знаю! — закричал Вовка. — Диду, не говори, я сам скажу! Вот я уж говорю, подожди... дедушка! Меньше ровно... на...
      Тут на лице внезапно умолкнувшего Вовки появилось какое-то странное полуиспуганное выражение, и совсем уж другим голосом, очень робко он вымолвил:
      — Кажется, на два...
      — Молодец! — воскликнул дед. — Правильно, совершенно верно! Так и есть! Это и составляет содержание замечательной теоремы великого математика русского академика Леонарда Эйлера (он жил в восемнадцатом веке), которая гласит: сумма вершин и граней правильного многоугольника больше числа его ребер на две единицы. А. при чем же тут наши одночеркальные фигурки, вы спросите? При том, что мы сейчас с вами не только покажем, но и докажем эту удивительную теорему с помощью того, что мы только что с вами вывели относительно наших фигурок, числа путей и числа участков, на которые эти пути разбивают часть плоскости, ограниченную нашей системой.
      Вовка, совершенно истомленный решением той ужасно трудной задачи, которая только что выпала на его долю, сидел с безучастным и даже немного сонным выражением лица. Он так старался, что совершенно обессилел. Сполз со стула и громко прошептал деду на ухо:
      — Пойду посмотрю, что там Тереха делает... — и исчез.
      Участники конференции улыбнулись, переглянулись, но ни у кого не хватило духа сказать что-нибудь Вовке, так как все понимали, как ему было трудно и чего ему стоило не ударить в грязь лицом при таких затруднительных обстоятельствах.
      — Итак, — продолжал дед, — я беру тот же самый куб. Теперь я должен мысленно проделать над нашим кубом некоторые операции. Прошу внимания. Возьмем и удалим у нашего куба одну из сторон или граней — например, сторону abed. Мой куб после этого превратится в открытую коробку, открытую именно с этой стороны abed. Теперь вообразим, что стороны нашего куба сделаны из гибкой резины. Она очень крепкая, не рвется, и ее можно растягивать как угодно. Тогда я ставлю мою резиновую открытую кубическую коробку на плоскость — и она будет стоять на стороне efgh, которая совпадает с этой плоскостью, а остальные четыре стенки коробки я растягиваю так, чтобы они совпали с той же плоскостью, и закрепляю их на ней. Вот чертеж и показывает, что у меня после этого получится. Смотрите-ка хорошенько! У нас получилась система линий, которую мы можем рассматривать, как...
      —...систему путей! — подсказал Лёва.
      — Верно, Лёвушка! Вот именно так мы и поступим. Ну-ка, попробуй нам рассказать, что из этого получится.
      — Получится вот что, — начал Лёва. — Ребра куба теперь превратились в пути, число узлов системы равно числу вершин куба, а число отграниченных путями участков плоскости равно числу граней без одной, потому что одну сторону куба мы удалили. Теперь я попробую все это изложить на буквах. Число вершин В равно нашему прежнему /г, которое есть число узлов; число путей т равно Я, кото рое есть число ребер нашего многогранника, а число ограниченных путями участков плоскости (т — n-f-l) равно числу граней, но без одной, удаленной, то есть Г — 1.
      Так, — сказал дедушка, — верно. Теперь переходим к теореме Эйлера.
      — Мне надо, — сказал Лёва, — взять число вершин, вычесть из него число ребер и прибавить число граней без единицы: (...)
      что и требовалось доказать. Теперь, по-моему, теорема наша доказана.
      — Ну вот, — сказал дедушка, — вот видите, с какой интереснейшей теоремой мы с вами познакомились по дороге к нашим лабиринтам.
     
      3.
      Немедленно появился и Вовка.
      — А про лабиринты и я хочу! — заявил он. — А вы опять будете буквы из букв вычитать или нет?
      — Как-нибудь уж постараемся обойтись, — пообещал дедушка. — Но, воля твоя, мы еще не совсем до лабиринтов добрались. Нам еще немножко надо потолковать о твоих конвертиках. Ты о конвертиках
      согласен слушать?
      — Согласен! — сказал со вздохом Вовка, усаживаясь за стол.
      — Теперь мы должны разобрать еще один вопрос, касающийся одномаршрутных сетей. Действительно ли, если у нас есть только одни четные узлы, мы можем последовательно обойти все пути и вернуться в исходный узел? Почему мы так уверены, что кольцевой путь требует всегда только одного маршрута? Ведь, кстати сказать, кольцевой путь может включать в себя любое число петель, то есть добавочных кольцевых маршрутов. Ну-с?
      — Вот чертеж, — сказала Веточка. — На нем есть два четных
      а другой восьмерной. Если у нас только один
      простой кольцевой маршрут — он нарисован на этом чертеже рядом справа, — то ясно, что его можно обойти, тут и доказывать нечего: и так видно. Более сложный случай четного узла представляет собой не что иное, как несколько простых четных, то есть двойных, узлов, которые слились вместе. Так как каждый из них обходится в отдельности, то, значит, можно обойти и их все вместе, по очереди и в каком хочешь порядке. Так что тут у нас не может быть никаких затруднений, исключая тот случай, когда просто прозеваешь, да и уйдешь совсем из этого узла, обойдя не все петли, то есть не четыре, а только три. С какого узла мы начинаем наше путешествие, это для обхода значения не имеет. Начнем с узла а — перед нами будут три петли, соединяющиеся в узле Ь. Мы обойдем половину верхней петли, затем из узла Ъ остальные три петли и вернемся в а, закончив обход тем, что пройдем оставшуюся непройденной половину верхней петли. Если же начинаем с узла 6, то мы обходим в любом порядке все четыре наши петли. Где можно прозевать? Начиная с узла а, можно вернуться к нему, не пройдя, например, одной из петель.
      — По-моему, — сказала Наташа, — вот еще что надо сказать. Когда мы уходим из начального четного узла, в нем остается нечетное число нехоженых путей, потому что по одному пути мы прошли, и он теперь использован, погашен. Таким образом, из четного числа путей один удален и число путей стало нечетным. А затем мы, проходя насквозь через остальные четные узлы, всякий раз погашаем тем самым в каждом четном узле два пути, а следовательно, из четного числа путей вычитаем четное же число путей, а это, как ни ходи, должно неизбежно кончиться тем, что, вычитая каждый раз по двойке, мы сведем к нулю число путей всех четных узлов, кроме начального. И тогда у нас останется единственный непройденный путь, который и приведет нас к начальному четному узлу, если он просто двойной. А если он больше чем двойной — Вовочка, извини, тут нужны еще буквы, но только немного, ты не бойся! — то есть если число путей в нем будет 2п, то мы пройдем через этот узел насквозь (п — 1) раз и погасим
      2(п — 1) путей. Так как один раз уже мы в нем были, когда отправлялись в наше путешествие, то всего мы пройдем [2 (п — 1) + 1] путей, или просто (2п — 1). А у нас всего путей там было 2п, и значит, нам и останется один-единственный путь, на котором дело и кончается.
      — Верно! — сказал дед. — Одобряю. Ну, девочки рассказали про четные узлы. Мальчики, теперь вы рассказывайте про нечетные.
      — Хорошо, — сказал Никита. — Да уж девочки почти всё сказали. Мы выяснили, что если в одночеркальной системе есть нечетные узлы, то их, по крайней мере, должно быть два. В точности продолжая рассуждения Веточки и Наташи, я должен прийти к такому заключению: если у меня есть два нечетных узла, то вернуться под конец в исходный нечетный узел ни в каком случае не удастся.
      Уйдя из него, я ведь оставил в нем четное число путей — другими словами, превратил его в четный узел. А проходя через него насквозь, я погашаю, как уже было сказано, два пути; узел остается четным. Ясно, что из двух нечетных узлов у меня остается только один нечетный, где и должно окончиться мое путешествие.
      — Так! — подтвердила Наташа.
      — А отсюда, — продолжал Ника, — следует, что, если в системе больше, ч&м два нечетных узла, путешествие наше разобьется на столько заново начинаемых прогулок по системе, сколько имеется пар нечетных узлов, как уже мы говорили. Теперь, наконец, почему нельзя, если у нас есть в системе два нечетных узла, начать прогулку не с нечетного, а с четного узла? Да потому, что, отправившись из четного узла, мы создаем еще один нечетный узел, а тогда по крайней мере один из путей, ведущих в один из прежних нечетных узлов — тех, которые были нечетными с самого начала, — останется непройденным, и обход не будет завершен, — следовательно, задача наша решена не будет. Вот здесь у нас с Лёвой нарисованы три очень красивые фигурки, которые мы подносим нашему ученому секретарю
      за его замечательные научные труды по рассмотрению теоремы Эйлера...
      — Я даже и не знаю, что такое теорема, — заметил Вовка, тщетно стараясь скрыть довольную улыбку, от которой вся его рожица так и расплывалась, и беря в руки чертежики Ники.
      — Теорема иначе будет предложение, — объяснил дедушка Тимофей Иринархович, почетный культурник Тускарии, — только не такое предложение, как в грамматике, а некое утверждение по математической части, которое сразу не очевидно и требует подробного и строгого доказательства.
      — Очень замечательные фигурки! — заявил секретарь и уже собирался находить пути обхода, как дедушка сказал:
      — Постой, брат! Этим ты после займешься. А теперь я предлагаю тебе выступить на нашей Тускарийской дождливой конференции и сделать доклад... О чем ты можешь нам доложить?
      — Я буду докладывать? — спросил Вовка. — А, знаю! Я буду делать доклад от нашей с дедушкой секции...
      — Ах, вот как, а я и не знала! — сказала Веточка. — Значит, у вас с дедушкой есть своя секция? Это что же за секция такая?
      — Ну как это — какая секция? — возразил Вовка. — Обыкновенная секция, наша дедушкина секция. Вот еще пристала!
      — Да как она называется? — спросил Ника под общий смех.
      — Ну, просто наша секция, — объяснил Вовка, — наша с дедушкой. Как она называется? Ну так и называется: наша! Точно вы не понимаете!
      — Уморительный тип! — решил Лёва. — Ну ладно, докладывай. Ты о чем докладывать-то будешь?
      — Потише! — отрезал Вовка. — Ты ведь не председатель, ты просто так. А докладывать я буду об одном замечательном происшествии. Вот о чем. Одночеркальное происшествие. Только нет, не одночер-кальное. А потом еще про одно, но это потом.
      — Ваше слово, товарищ ученый секретарь! — сказал Ника.
      — Доклад мой такой: есть на свете город Калининград. Он на западе, около Балтийского моря. А раньше, очень давно... В каком это, дедушка, веке было придумано старое его имя?
      — В тринадцатом.
      — Тогда Калининград назывался совсем по-другому, он назывался Кенигсберг — Королевская гора, хотя там никакой горы и в помине нет. Мы смотрели с дедушкой по карте и на картинке. Горы нет, а есть речка, которая называется Приголя или Прегель. Это по-неменки. А на речке остров. И на остров вели целых семь мостов. И был такой знаменитый математик, которого звали...
      — -..Эйлером, — подсказал дедушка.
      — Пришел он раз в гости к своим знакомым. Сели чай пить. Его кто-то и спрашивает: можно ли по всем кенигсбергским мостам пройти по одному разу и так, чтобы все мосты обойти? Ну, как в нашей одночеркальной фигурке. Все заговорили: один одно, другой другое. Эйлер не стал с ними спорить, потому что видит, что они ничего не понимают, а сам пошел домой и написал целый знаменитый доклад об этих мостах. Все решил и все объяснил. Вот так и появилась на белый свет эта наша конвертиковая наука! И у нас с дедушкой нарисован замечательный план этих семи мостов, а кроме того, есть чертежик, где все ясно. Вот, нате вам!
      — Так.. — сказал Ника. — Ну, здесь целых четыре нечетных узла. Сразу обойти никак нельзя. Можно только в два приема. А что это ты собирался «потом» сказать, Вова?
      — Потом и скажу. Сейчас еще нельзя. Это секрет.
      — Ну вот, — заключил дедушка, — теперь мы всё разобрали по части наших одночеркальных фигурок. Лабиринты уж мы будем обсуждать на следующем заседании. А теперь я только скажу кое-что насчет этой особенной «геометрии путей и узлов». Вот тут у меня есть чертеж, который мы с Вовушкой составили, — семь фигурок (стр. 62). Легко заметить, что первая фигурка, если ее рассматривать по части обхода, совершенно равносильна фигурке второй, хотя первая — треугольник, а вторая — окружность. Если это так, то ясно, что первая фигурка может быть без нарушения правил нашей геометрии узлов прообразована во вторую. И заметьте, что эта вторая фигурка, с нашей теперешней точки зрения — с точки зрения геометрии узлов, — будет в точности такой же, как и первая. Согласны ли вы со мной?
      — Разумеется, дедушка, согласны! — отвечал Лёва за всех.
      — А в таком случае я прошу обратить внимание на то, что в этой новой геометрии слово «точность» приобрело совершенно новый смысл. Ни в каком другом случае в этом смысле его употреблять было бы невозможно! Продолжаю. Как же мы могли бы сделать такое преобразование? Если сделать фигурку первую из тонкой крепкой и неклейкой резиновой нитки, которая не рвется (когда растягиваем) и сама по себе не склеивается (если прижать два ее куска один к другому), то ясно, что такую ниточно-резиновую фигурку мы могли бы, прогнув по кругу стороны треугольника, как нам нужно, преобразовать во вторую. Можно даже ее превратить еще в более сложную фигуру, которая у нас нарисована под номером третьим. Это буква из бенгальского алфавита, то есть одного из индийских. Видите, какая замысловатая! А если мы допустим вдобавок, что нашу резиновую нитку можно разрезать, где мы задумали, и соединять, где надо, то получатся еще более сложные преобразования. Если мы разрежем фигурку первую в точках с и d, получится фигура четвертая, а склеивая затем концы x, а кроме того, концы с2 и d2, получим фигуры, где путь а уже превращается в мост, как, например...
      —...например, на фигурке пятой! — не утерпел Вовка. — Ведь я сам нарисовал! На шестбй фигурке показано, как из фигурки четвертой делается пятая.
      — Ах, вот как! — сказала Наташа. — Так... А на фигурке восьмой у тебя, Вова, значит, показано, как из четвертой делается седьмая? Так я поняла?
      — Правильно! — важно процедил ученый секретарь.
      — А из фигурки седьмой, — продолжал Тимофей Иринархович, — стянув внутреннюю окружность в узкую петлю, а внешнюю окружность изогнув разными прихотливыми узорами, можно сделать фигурку девятую. Это у нас уже не бенгальская буква, а прямо с острова Ява — яванская. Вот какие удивительные и неожиданные преобразования допускает наша геометрия узлов! Обратите внимание на то, что все фигурки нашего с Вовой чертежа, не считая, разумеется, подсобной четвертой фигуры, которая приведена только для объяснения, все они одинаково одночеркальные фигурки с двумя нечетными узлами. Выходит, что эта наша новая геометрия уже не является той геометрией твердых тел, которую вы проходите в средней школе. Вот оно как!
      — А почему ты, дедушка, называешь нашу школьную геометрию геометрией твердых тел? — спросил Лёва.
      — Когда ты рассуждаешь в школе о геометрических фигурах, углах, отрезках и прочем, ты ведь
      предполагаешь, что все они совершенно твердые, не гнутся и не рвутся, не могут удлиняться или сокращаться. Иначе, как мог бы ты двигать и совместить два равных треугольника и тем доказать их равенство, если бы не допускал, что они совершенно твердые?
      — Такое совмещение называется конгруэнцией, — заметил Ника.
      — Да, — ответил дедушка, — и понятие геометрического равенства именно на нем и основывается.
      — Но разве, — не отставал Лёва, — существуют на самом деле твердые тела, которые были бы совершенно твердыми? Мне кажется, что если взять какой-нибудь паровой пресс с настоящего завода, так он что хочешь сожмет.
      — Конечно, — сказал дедушка, — абсолютно твердых тел на свете нет. Это то, что мы называем отвлечением или абстракцией. В данном случае мы отвлекаемся от сжимаемости тела. Подобно этому мы отвлекаемся и от величины тела, когда говорим о геометрической точке, которая не имеет измерения. На белом свете не существует тел без измерений, а в геометрии они есть. И они нам полезны. Еще в древности были такие несговорчивые ворчуны, которые уверяли, что и вся математика ничего не стоит, раз она допускает существование тел, которых на самом деле быть не может. Один такой «мыслитель» уверял, что на самом деле настоящий деревянный шар не может соприкасаться с плоскостью деревянного же пола в одной точке, он соприкасается некоторой своей вполне измеримой частью. Даже предлагал сделать опыт: вымазать шар черной краской и прокатить его по полу, а потом смерить.ширину следа на полу! Все это, однако, только на первый взгляд похоже на серьезное рассуждение, но, в сущности, это пустая болтовня, потому что все наши отвлечения не существуют «на самом деле» и не-должны в этом смысле существовать. Они существуют только в нашем представлении и являются, так сказать, подсобными орудиями для нашей мысли. Они помогают нам рассуждать,
      упрощают целый ряд рассуждений. А какая польза от них, видит всякий. Вот мы приехали сюда на электричке. А ведь перед тем, как ее построить, надо было рассчитать всю эту сложнейшую систему динамомашин, станций, проводов, трансформаторов, двигателей внутреннего сгорания, электромоторов, реостатов и так далее и так далее. Не считая насыпей, рельефа пути, мостов, рельсов, укладки шпал, закруглений пути, которые рассчитываются так, чтобы огромный поезд, на всем ходу, несясь со скоростью ста километров в час, плавно и даже незаметно для пассажиров повернул, а не слетел бы вниз с насыпи!.. А надо подсчитать еще и многое-многое другое. Вот я, например, сейчас сказал: «закругление пути», а ведь на самом-то деле это закругление вовсе не круглое, оно особо рассчитывается по некоторой специально для этого подобранной математической кривой, которая сложнее окружности. Так что все решительно надо толком и обдуманно рассчитать и с такой точностью, чтобы вся эта система различных машин и приспособлений работала в буквальном смысле слова, как хорошие часы, а опоздание поезда было редким исключением! А ничего этого нельзя было бы достигнуть, не будь у нас в руках этого мощного орудия человеческой мысли и культуры, которое мы называем отвлечением! Именно им пользуется с таким успехом математика, а ведь она-то и учит инженера всем этим расчетам!
      — Ну, спасибо вам болыное-пребольшое! — сказала Веточка. — А нам уж с Наташей пора. До свидания и до скорого... Пошли, Ташенька!
      Девочки опять забрались под свой огромный синий плащ и быстро зашлепали босыми ногами прямо по лужам.
      А дождь все лил и лил.


      KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ

 

НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru