|
От одного и двух к бесконечности.
Для нас является невозможным проследить по непосредственным источникам генезис понятия о целом положительном числе. Древнейший письменный математический памятник, дошедший до нас, — папирус, написанный египетским писцом Яамесу (Яхмос) за 1700 лет до P. X., свидетельствует нам, что и в это отдаленное время египтяне были знакомы с действиями не только над целыми числами, но и над дробями. За неимением непосредственных свидетельств, мы должны обратиться к свидетельствам косвенным.
Такими косвенными свидетельствами являются данные этнологии, относящиеся к современным дикарям, данные, которые можно почерпнуть, изучая развитие детей, и наконец данные, извлекаемые из изучения с одной стороны — народных преданий, с другой — языка, который является несомненно памятником психологической работы давно отживших поколений.
И все эти косвенные свидетельства одинаково освещают и подтверждают две истины, имеющие важное значение и для истории человеческого духа и для психологии понятия о числе.
Многотрудною и продолжительною психологическою работою приобретало постепенно человечество понятие о последовательных целых числах, расширяло, если позволено так выразиться, свой численный кругозор; при этом понятию о числе отвлеченном всегда предшествовало и сначала с ним тесно сливалось понятие о числе каких-нибудь определенных предметов, большею частью органов человека, служивших ему пособием при счете.
Мы можем даже, с помощью преимущественно данных лингвистики, видеть в дали веков, нам предшествующих, те этапы, на которых останавливалась по временам психологическая работа человечества, чтобы, постоянно затем возобновляясь, привести нас, наконец, к тому понятию о бесконечном ряде целых положительных чисел, которое составляет предмет изучения чистой математики, и, исходя из которого, математика достигла понятия о комплексном числе.
С трудом можем мы представить себе народ, у которого не существует особенных названий для чисел Больших трех, народ, для которого все прочие численныя выражаются одним словом куча, — а между тем многие свидетельства путешественников и этнологов указывают на то, что такие народы существуют.
Как ребенок, не научившийся считать, не ответит числом на вопрос, сколько у него куко но подробно опишет все свои куклы, так и эскимосы, по словам путешественника Парри, не могут правильно сосчитать своих детей, если их больше трех. Они отличают похожие предметы не отвлеченными числами: первый, второй, третий и т. д., но названием, индивидуально связанным с каждым пересчитываемым предметом. Не общее число своих собак держит в памяти эскимос, но отдельные представления о белой собаке с черными крапинами, о собаке, родившейся в голодную зиму, и т. п. Поэтому пересчитывание является для дикаря, как указывают данные, расбросанные в сочинениях по первобытной культуре Леббока, Тайлора и др., операииею тяжелою, трудною, после которой дикарь сейчас же начинает жаловаться на боль в голове.
Эту стадию умственного развития, на которой находятся теперь также ботокуды Бразилии и папуасы Новой Голландии, проходила несомненно и арийская раса, которая затем, в лице высших представителей своего гения, открыла численную закономерность и в движении отдаленных небесных светил и в движении неизмеримо-малых молекул материи.
Что и для арийской расы было время, когда понятие о числе не представлялось с достаточной отчетливостью, подтверждают прежде всего пре дания народов, указывающие на rex благодетелей человечества, которые научили ею числу. У греков, например, такими изобретателями числа являются то Паламед, то Прометен.
Припомним ту поэтическую картину, в которой передает предание об изобретении числа, устами Прометея греческий трагик Эсхил вето бессмертной трагедии „Прикованный Прометей":
Послушайте. 410 смертным сделал я...
Jvcao им изобрел И буквы научил соединять,
Им память дал, мать муз, всего причину.
Данные языка, подобно народным преданиям указывают нам на первые стадии выработки на званий для чисел и на первые стадии развития понятия об отвлеченном числе.
Существование во многих языках, единственного, геоистпесннто и множественного чисел указывают,
повидимому, на ту пройденную ступень развития, при которой ясно различались понятия об одном предмете и о двух предметах, но начиная с трех, такое различие прекращалось, и являлось только одно понятие о множестве, из котораго еще не дифференцировались другие числительные.
Но есть данные, указывающие нам и на следующую ступень развития, на которой явились отдельные названия для трех и четырех, но вместе с тем эти числа, являясь крайними пределами чисел, имевших название, служили символами множества, громадности. Припомним изречение Овидия:
„terque quaterque beati“,
и сопоставим с ним изображение множества в египетских иероглифах четырьмя чертами, или китайское „четыре моря“ вместо всех морей.
Не лишено значения и указание лингвистики на то, что по грамматическому строю первые три числительные во многих языках резко отличаются от всх прочих числительных; первые три числительные изменяются по родам (два, две, tres, tria), все прочие не изменяются. Первые числительные принадлежат, очевидно, более ранней эпохе, чем та, в которую вырабатывались названия прочих. Го обстоятельство, что корни первых трех числительных общи всем известным народам арийской и народам семитской рас, между тем как сходство пропадает для дальнейших числительных, показывает, что названия прочих числительных появились уже в ту, сравнительно недавнюю эпоху, когда арийские и семитские народы покинули свою общую родину.
Если название числительного два связаны у разных народов с различными органами человека или животных (у китайцев два — пу (уши); в Тибете два — patscha (крыло), у готтентотов два — tkoam.
(рука), те выработка дальнейших названий для чисел находится, что признают филологи, в связи со счетом по пальцам. Имена числительные во многих языках указывают нам, что у первобытного человека пальцы являются преимущественным орудием счета, т.-е. постоянным неизменным рядом значков, с которым при пересчитывании сравнивается всякий другой новый ряд пересчитываемых предметов.
Когда зулусу, напр., нужно сказать шесть, он говорит tatisltupa, что значит взять большой палеи руки; в Гренландии, в долине Ориноко, в Австралии шесть равнозначаще с фразою: один с другой руки, десять — две руки, одиннадцать — две руки и палец, двадцать — человек. У эскимосов берегов Гудзонова залива название числительных для восьми, девяти, десяти несомненно совпадают с названиями среднего, четвертого и малого пальцев; то же самое замечается у гуарани Южной Америки и у малайцев. У таманаков с Ориноко двадцать один — один с руки другого человека; такое выражение объясняется, если мы сопоставим с ним рассказ путешественников о том, что у некоторых народов Южной Африки счет чисел и теперь производится с помощью двух, трех человек, при чем пальцы одного соответствуют единицам, пальцы другого — десяткам, пальцы третьего — сотням.
Что касается до языков арийской расы, то только корень числительного пять (pente) несомненно тожествен с корнем санскритского pankam или персидского penjeh (распростертая рука). Но нельзя не упомянуть и о гипотезе Потта, объясняющей подобным же образом и следующие числительные названиями мизинца и прочих пальцев правой руки. Потт сопоставляет, например, название мизинца в латинском языке (auricularis — чистящий, уши) с тожеством в арийских языках корня числительного шесть и глагола скрести, Подобные же натянутые объяснения дает Потт и для следующих числительных.
Но и независимо от гипотезы Потта раньше приведенные лингвистические данные несомненно подтверждают ту истину, что названия для первых чисел получались от конкретных предметов, которыми пользовались для счета, что понятие об отвлеченном делом числе вырабатывалось из прикладного целого числа, из названий предметов служивших для счета.
На известной стадии развития человечества расширение области ясно представляемых и называемых чисел пошло быстрее; но мы можем все таки указать, основываясь на культурно-исторических данных, как постепенно расширялась область чисел, как постепенно то те, то другие все большие и большие числа являлись пределами чисел, имевших свои определенные названия, и по тому символами неопределенного множества.
Мьцнаходим, например, объяснение, почему число тринадцать считалось и до сих пор считается суеверными людьми приносящим несчастие, если допустим, что число двенадцать являлось в известное время символом множества, синонимом полноты, и следующее за ним число являлось лишним и потому нечестивым, несчастным.
В тюркских легендах, в скифских сагах синонимом неопределенного множества является или со рок или сорок сороков. Влияние туранских сказаний на наши были, изученное Стасовым, позволяет отнести к туранскому источнику и наше русское горок сороков, часто употребляемое, как символ несчетного множества.
Но еще больший культурно-исторический интерес связан с числом шестьдесят, которое так часто фигурирует в преданиях вавилонских, персидских
и греческих, являясь в них всегда синонимом большого числа. flleciiihbrciiM является числом вавилонских богов, шестьдесят локтей — вышина золотого идола, поставленного в храме Навуходоносора. Позднее с тем же значением несчетного множества являются некоторые кратные шестидесяти; 300, 360, Ксеркс дал Геллеспонту 300 ударов, Кир раздробил реку Гиндес, в которой потонула одна из его любимых лошадей, на 360 ручьев. В одной персидской песне воспеваются 360 полезных упо треблений пальмы.
Числа, встречающиеся в вавилонских преданиях, представляют культурно-исторический интерес п двояком отношении. Вавилон представляется нам с одной стороны родиною гаданий, основанных на числах, родиною различных числовых суеверий, которые имели обширное влияние с одной стороны на Китай, с другой на идеи Пифагорейской школы, придававшей числам особое мистическое значение. Это мистическое значение, придававшееся числам, может служить новым указанием на новость и трудность понятие о числе на известной ступени человеческого развития *).
С другой стороны число 60. встречающееся в легендах Вавилонского происхождения, впоследствии в Вавилоне же, при развитии научных знаний, явилось основанием системы счисления, следы ко горой сохранились у пас в делении времени и углов.
По мере развития десятичной системы счисления, ее единицы различных разрядов являлись симво лами множества. В церковно славянском языке тьма, т.-е. неизмеримое множество, есть синоним то тысячи, то десятка тысяч. Но существовало
*) Вопросу о числовой мистике посвящена статья проф. Д. В. Васильева: „О числовых суевериях". Казань, 1885. Смотри также далее главу II.
еще и „великое словенское число", употреблявшееся, „коли прилучался великий счет и перечень". Этот великий счет шел до единицы 48-го разряда и даже иногда до единицы 49-го разряда. В этом великом счете тьма означает уже тысячу тысяч, являются и высшие единицы: легион т.-е. тьма тем (миллион миллионов), леодр т.-е. легион легионов и наконец ворон или леодр леодров.
„И более сего, — говорится в славянских рукописях, — несть (человеку) разумевати". Но иногда (в одной рукописи XVII столетия) доходили и до десяти воронов или колоды и затем наивно прибавляли: „сего числа несть больше".
Таким образом и здесь есть предел числам, но как далеко отстоит этот предел от тех первых пределов, на которые указывают данные лингвистики.
Мы можем с большою вероятностью указать ту ветвь арийской расы, которая относилась с особенною любовью к громадным числам и старалась по Мцгре возможности расширить пределы употребляемых чисел, изобретая для них особенные названия. Эта ветвь — древние индусы. Им принадлежит честь поразительного развития искусства счета, как им же человечество обязано арифметикою положения. Подобно тому, как боги греков сходят иногда с Олимпа и, прйнимая участие в людских битвах, гордятся силою своих мускулов,, учитель Нирваны и закона владыка Будда еще в юном возрасте отличался искусством счета. Я приведу отрывок из прекрасного русского перевода поэмы Эдвина Дрнольда: „Свет Дзии или Великое Отречение", с необыкновенною точностью передающей легенду о Будд-fe.
Восьмилетний царевич, будущий Будда, подвергается испытанию Висвамитрою, „наук, искусств учителем превосходным".
„И сказал Висвамитра:
Довольно, перейдем к цифрам! Повторяй за мной, считай так, как я буду, пока дойдем до лакхи (лакха=100.000): один, два, три, четыре, затем десятки, и сотни, и тысячи.
И вслед за ним назвал отрок единицы, десятки, сотни и не остановился на лакхе; нет он шептал дальше до тех чисел, которыми можно считать все, начиная от зерен на поле и до самой мелкой песчинки. Потом он перешел к катхе, к счету звезд ночных, к кати-катхе, счету морских капель, и далее к счету песчинок Ганга и к счету, единицами которого изображается весь песок десятка лакх рек таких, как Ганг. Затем пошли еще более громадные числа... и, наконец, число, при помощи которого боги вычисляют свое прошедшее и будущее *).
Lalitavistara (жизнеописание Будды) даетъ даже число атомов в иожане (=3200 длин лука): оно равно 108,470,495,616,000.
„Псаммит" Архимеда. Задача выполнения неопределенно далеко простирающегося счета, которую поставили и разрешали индийские мудрецы за несколько столетий до начала нашей эры, перешла и к эллинам.
Под индийским влиянием, может-быть, написано знаменитое сочинение Архимеда: „Псаммит или исчисление песку в пространстве равном шару неподвижных звезд" *s). Но задача, которая на индийской почве явилась удовлетворением простого любопытства, имеет в творении греческого мудреца высокое научное значение.
Псаммит Архимеда имеет целью доказать, что в противность мнению тех, которые думают, что
*) Свет Азии — перевод А. Анненской, сгр, 8 — 9.
**) Русский перевод этого сочинения издан в 1824 г. © Петрушевским.
число песчинок бесконечно и не может быть сосчитано, нетрудно составить понятие о таких числах, которые больше числа песчинок, вмещающихся в пространстве равном величине не только Земли, наполненной песком со всеми своими пропастями и глубиною морскою, даже до вершин высочайших гор, но и целого мира или шара неподвижных звезд.
Мир для Архимеда шар, которого центр в Земле, радиус же равен разстоянию от центра земли до центра Солнца; поперечник шара неподвижных звезд меньше десять тысяч раз взятого поперечника мира.
Чтобы решить поставленную себе задачу, Архимед показывает, на основании предположений современных ему астрономов и собственных наблюдений над величиною видимого поперечника Солнца, что поперечник мира меньше ста мириад мириад стадий (мириада — 10.000; греческая стадия имела в себе 504 фута 4 j дюйма). Относительно вели-чинЩ песчинок он делает предположение, что число песчинок, содержащихся в количестве песку пе больше макового зерна, будет не больше мириады, и что поперечник макового зерна не меньше сороковой части дюйма (греческий дюйм был немного больше J » нашего). После этих предположений Архимед переходит к изложению своей номенклатуры чисел.
Числа от единицы до мириады мириад (от 1 до 10s) называются первыми; мириада мириад первых чисел Q0s) называется единицею вторых чисел, и вторые числа идут от этой единицы до мириады мириад этих единиц (от 108 до 1016). Мириада мириад вторых чисел называется единицею третьих чисел и третьи числа идут до мириады мириад этой единицы (от Ю16 до 1024)-
Подобным же образом будем продолжать называть следующие числа даже до мириады мириад чисел мириадомириадных. Все эти числа называются числами первого периода и последнее из них очевидно, равное или единице с восемьюстами миллионов нулей) назовем единицею второго периода, и опять мириаду мириад первых чисел (...)
Последнее число изобразится единицею с восемьюдесятью тысяч миллионов нулей; чтобы написать его, нужно потратить около 2,000,000,000 лет непрерывной работы днем и ночью.
Дрхимед показывает, что, для решения поставленной им себе задачи об определении числа песчинок в шаре мира или даже в шаре неподвижных звезд, нет никакой необходимости в столь громадных числах. Последовательно вычисляет Дрхимед число песчинок в шаре, поперечник которого равен ста дюймам, в шарах с поперечником в мириаду дюймов, сто стадий, мириаду стадий и т. д. и т. д., постоянно пользуясь свойством геометрической и арифметической прогрессии, в котором можно видеть начало теории логарифмов, и, доходя до шара мира, показывает, что число песчинок, в нем заключающихся, выражается числом меньшим „тысячи единиц чисел седьмых";
число песчинок, заключающихся в таре неподвижных звезд, меньше тысячи мириад чисел восьмых.
Трудно указать в математической литературе сочинение, которое превосходило бы Псаммит Архимеда по интересу, смелости и богатству заложенных в нем идей. Оно развивало понятие о бесконечно-большом, подобно тому, как в своих сочинениях о квадратуре параболы объ измерении круга Архимед касался понятия о бесконечно-малом, лежащем в основании современного анализа.
Псаммит Архимеда ввел в науку понятие о безконечно - продолжающемся ряде целых положительных чисел. Многотрудная работа человеческого духа была окончена.
Ряд целых положительных чисел, бесконечно продолжающихся, — предмет благоговейного удивления для индусов и таинственного толкования для мудрецов Вавилона и пифагорейцев, явился могущественным орудием для познания природы.
Исходя из него, чистая математика строит понятие о дробном, отрицательном, несоизмеримом, комплексном числе, и это обобщенное понятие о числе составляет единственный объект чистой математики, которая может поэтому быть названа „арифметикою". „Арифметика, — говорит Гаусс, — стоит в том-же отношении к математике (включая, в нее геометрию и механику), в каком последняя ctpoum к изучению природы. Математика есть царица наук и арифметика есть царица математики.
Числовая мистика.
Только внимательное изучение языков и преданий отживших или современных диких народов может дать нам сведения о первых ступенях развития понятия о целом числе и способности счисле-
ния. Те письменны* памятники, которые дошли до нас из глубокой древности, знакомят нас с более высоким уровнем арифметических знаний, указывают, например, напонимание важности возвышения в квадрат и извлечения квадратного корня. Эти письменные памятники принадлежат двум древним цивилизациям, влияние которых и теперь еще ощущается. Наше деление времени на часы, минуты и секунды связано с числом 60, которое имело особое значение в древней Вавилонской или точнее суме-рийской культуре, и ведет оттуда свое начало. Греческая научная мысль, которая уже ставила те основные вопросы математической философии, которые за последние сто лет привлекали к себе внимание Больцано, Г. Кантора, Пуанкаре, Ресселя и многих других, построена была несомненно на фундаменте эмпирических знаний, накопленных в течение столетий египетскими жрецами. Писатели II и III веков по P. X, которым была еще доступна богатая научная литература, погибшая в пожарах Александрии и Пергама (Теон Смирнский и Порфирий) различали математические направления Вавилона и Египта. „Египтяне, — говорят они, — при изучении планетных движений пользовались методом черчения, между тем как халдеи предпочитали вычисления“. Дошедшие до нас в небольшом числе письменные памятники подтверждают это указание.
Уже в Египте Древнего царства эмпирическая геометрия видимо сделала большие успехи. Только благодаря этому могли быть воздвигнуты грандиозные пирамиды-гробнииы фараонов Династии (3000 л. до P. X.). То обстоятельство, что во всех древних пирамидах угол наклона боковой грани к основанию имеет одну и ту же величину близкую к 52 и что tang. 52° весьма близок к ~ (Архимедово число) привело Prince Smith к гипотезе, что пирамиды как своей ориентациею, так и размерами всех своих внутренних камер символизировали высокие математические знания того времени подобно тому как позже (припомним одну из глав „Notre Dame de Paris" Виктора Гюго: Ceci tuera cela) строители Парижского Собора символизировали в нем свое религиозное и философское миросозерцание. Но пошедшие до нас письменные памятники относятся уже к более поздней на тысячу лет эпохе, к эпохе XII Династии (Среднее Царство) XVIII в. до P. X.) и нисколько не подтверждают фантастическую гипотезу пирамидалистов.
Наиболее древним из этих памятников являются шесть кахунских кусков папируса с задачами из обыденной жизни, но и в нем уже встречается извлечение квадратного корня- Вторым по древности является большой, но неполный папирус коллекции Голенишева (Москва), заключающий в себе 19 задач из разных отделов математики с несколькими чертежами, например, с чертежем вычисления объема усеченной пирамиды *). Третий (Берлинский папирус 6619) содержит также задачи, приводящие к решению квадратного уравнения.
Наиболее крупный математический памятник Египта — папирус Райнда, переписанный некием Ях-мосом с образца старых рукописей времени Дменех-мата III (2200 л. до P. X.) на 200 лет позже папируса Голенищева. Он носит название ..наставление как достигнуть знания всех темных вещей, всех тайн, содержащихся в предметах". Папирус и перевод его тщательно издан в Лейпциге Эйзенлором и изучение его потребовало от издателя пятилетнего
5) Снимок с двух столбцов этого папируса помещен в начале статьи. Папирус находится в Московском Музее изящных искусств и в настоящее время профессор Б. Я. Тураев подготовляет его издание.
напряженного труда "J. Отметим в этом сочинении, имеюшем громадное значение для истории практической арифметики, приведение всех дробей к дробям с числителем 1 и геометрическую прогрессию с знаменателем 7. Наш известный египтолог, академик Б. Д. Тураевтак характеризирует египетское знание: „Теория и систематика родились не на востоке, выводы из опыта и наблюдения были чужды Египту сдва-ли не в большой степени чем другим областям востока, а потому до самого последнего времени здесь переписывались старые медицинские рецепты, не точные арифметические задачи, поверхностные н приблизительные геометрические выводы". Высокое уважение к письменности, к книгам („их следует любить как родную мать" "к учению и школе ; .,один день в школе полезнее вечности, проведенной вне ее"), которое внушали отцы детям, учителя ученикам обосновывалось тем значением, которое знания имели для чиновничьей карьеры („только чиновник сам себе начальство").
Иной характер носила математика другой древней цивилизации, родина которой было междуречье Тигра и Евфрата, та Месопотамия, которая представляет собою теперь пустыню. От этой Вавилонской или сумерийской культуры (раньше она называлась халдейскою) дошел до нас математический памятник, превосходящей своею древностью Московский папирус-глиняный таблички,найденные в развалинах Сенкере и которые, по мнению асси-рологов, относятся к времени за 2400 л. до P. X. На них клинообразными письменами начертаны таблицы квадратов и кубов.
Мнения ученых по вопросу о том, для какой цели
*) Благодаря В. В. Бобынину мы имеем на русском языке обстоятельное изложение в книге „Математика Египтян".
г) Эта цитата, как и две следующие ззяты из папируса озаглавленного „Премудрость".
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
