|
ПРЕДИСЛОВИЕ
В нашей популярной и учебной математической литературе имеется еще мало книг, посвященных основным понятиям математики. Между тем необходимость в такого рода литературе в настоящее время определяется задачей подготовки кадров высоко квалифицированных учителей средней школы. И если учитель не имеет возможности полностью раскрыть школьникам сущность всех основных понятий математики, то сам он должен иметь о них полное и отчетливое представление.
Предлагаемая книга посвящена разъяснению одного из самых основных понятий математики — понятия линии. Кажущееся на первый взгляд очень простым, понятие линии требует для своего общего и полного определения довольно значительных сведений из теории точечных множеств, получившей особенное развитие за последние 50 лет. Именно этим можно объяснить то обстоятельство, что вопрос об определении понятия линии, поставленный еще в древности, нашел свое полное и отчетливое разрешение лишь в 20-х годах текущего столетия. Заслуга решения этого вопроса принадлежит советскому математику П. С. Урысону.
Настоящая книга рассчитана прежде всего на студентов университетов и. педагогических институтов, как дополнительный материал к тем общим и специальным курсам, в которых учащихся знакомят с основами теории множеств. Эта книга имеет в виду также учителей средней школы, самостоятельно работающих над повышением уровня своих знаний. Под руководством учителя некоторые разделы книги могут быть использованы в работе школьных математических кружков.
Книга состоит из четырех глав: в первой главе дается краткий очерк развития понятия линии и выясняется вопрос о необходимости теории точечных множеств для общего определения понятия линии.
Вторая глава посвящена изложению необходимых сведений из теории точечных множеств. Наиболее трудными в ней являются теорема 5 § 5 и теоремы 2, 3 § 6. Этот материал при первом чтении можно пропустить и вернуться к нему, когда это станет необходимым для понимания последующего.
В третьей главе рассмотрено определение линии, данное Г. Кантором, до конца исчерпывающее вопрос для случая плоских линий.
Наконец, в четвертой главе дается общее определение линии и выясняются основные свойства линии, вытекающие из определения линии.
Как из общей теории множеств, так и из теории точечных множеств приведены лишь основные определения и факты. Для более полного ознакомления с этими вопросами мы отсылаем читателя к книге П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», особенно к главам I, VI, VII.
Лицам, которые пожелают глубже познакомиться с понятием линии, мы можем рекомендовать работу самого Ц. С. У р ы-сона «О канторовых многообразиях», ч. И, Канторовы кривые, помещенную во втором томе собрания сочинений П, С. Урысона, изданного под названием «Труды по топологии и другим областям математики», Москва, 1951 г.
ГЛАВА I
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЛИНИИ
§ 1. Исторический очерк
Линия является одним из основных объектов геометрического исследования. Причина этого лежит прежде всего в том, что понятие линии возникло из практической деятельности человека, связанной с изготовлением чертежей, определением границ земельных участков, изучением траекторий движения тел. Возникнув из практики, понятие линии находит в свою очередь широкое применение для математического описания явлений природы и производственно-технических процессов.
Вот почему с древних времен до наших дней понятие линии привлекало к себе внимание математиков. Ученые стремились точно определить, что такое линия как математическое понятие, т. е. выяснить, что же общего есть у всех тех вещей, которые на практике мы называем линиями?
Эти попытки лишь в недавнее время нашли свое завершение в работах советского математика П. С. Урысона (1898—1924), который в 20-х годах текущего столетия сумел дать наиболее общее определение линии, позволяющее до конца исследовать сущность этого понятия. Но работы П. С. Урысона могли появиться лишь как результат глубокого и критического освоения всего того огромного научного материала, который был накоплен человечеством за весь предшествующий период времени. Поэтому, чтобы понять всю естественность и необходимость современного определения яинии, мьГ1 должны будем проследить, как развивалось это понятие в связи с общим развитием математики.
Евклид в своих «Началах» определяет линию как длину без ширины («Начала», определение 2) или как границу
поверхности (определение 6) 1). Такие определения, отражая в известной мере свойства линии, не могут, тем не менее, служить для математического изучения понятия линии, так как определяются через другие понятия, которые сами, в свою очередь, нуждаются в определении. Для математического же изучения какого-либо объекта надо, как говорят, задать его аксиоматически, т. е. указать ряд свойств этого объекта, из которых можно было бы логически выводить другие его свойства.
При тогдашнем уровне развития науки и характере требований, предъявляемых к ней практикой, Евклид не мог в сколько-нибудь общей мере справиться с определением понятия линии и, ограничившись вышеприведенными на этот счет общими высказываниями, он в «Началах» останавливает свое внимание на изучении двух простейших и наиболее употребительных линий: прямой и окружности.
Это не значит, конечно, что древние не знали никаких других линий, кроме прямой и окружности. Еще задолго до Евклида была известна такая кривая, как квадратриса Дино-страта, а сто лет спустя Аполлоний подробно разработал теорию конических сечений: эллипса, гиперболы, параболы (Аполлонию же принадлежат и эти названия линий),—линий, получающихся в сечении плоскостью боковой поверхности конуса с круговым основанием. Механика также приводила к необходимости изучения кривых (спираль Архимеда). Однако все это были лишь отдельные разрозненные факты и не существовало ни сколько-нибудь общего определения линий, ни методов их изучения.
Решительный шаг в этом отношении принадлежит Декарту (1596—1650). Бурный рост торговли и промышленности в эпоху первоначального накопления способствовал быстрому развитию техники, что, в свою очередь, привело к небывалому дотоле развитию естествознания и особенно механики. Это развитие нуждалось в математическом аппарате, который был необходим механике для точного выражения ее законов. Огромная роль в развитии этого математического аппарата принадлежит Декарту.
Идеи Декарта вообще имели огромное влияние на развитие всей математики; его координатный метод, в частности, впервые позволил определить понятие линии в очень общей для того времени форме. Поэтому мы остановимся на нем несколько подробнее.
Выбрав на плоскости систему координат, мы можем поставить в соответствие каждой точке плоскости пару действительных чисел — координат этой точки. При этом оказывается, что разным точкам соответствуют разные пары чисел, и что каждой паре чисел соответствует вполне определенная точка плоскости, имеющая эти числа своими координатами. Таким образом, устанавливается, как говорят, взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости, с одной стороны, и множеством пар действительных чисел — с другой. Это соответствие позволяет для каждой линии составить ее уравнение, т.-е. найти такую зависимость между координатами ее точек, которая справедлива для всех точек этой линии и не имеет места ни для каких других точек. Так, например, окружность с центром в начале координат и радиусом г имеет уравнение
биссектриса угла между осями координат имеет уравнение х—у — 0, и т. д.
Возможность составить для каждой линии ее уравнение дает нам в руки очень общий и очень сильный метод изучения уже известных линий; но в вопросе об общем определении понятия линии мы не получим ничего нового, пока не «обернем» постановку вопроса следующим образом.
Пусть нам дано одно уравнение с двумя неизвестными, которое, перенеся все его члены в левую часть, мы запишем в виде F(x, у) — 0, обозначив через F(x,y) выражение (функцию), стоящее в левой части уравнения. Предположим, далее, что это уравнение имеет бесконечное множество действительных решений, т. е. что существует бесконечное множество пар действительных чисел х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Будем рассматривать числа х и у как координаты точки относительно некоторой системы координат на плоскости и назовем линией, заданной уравнением F(x, у) = 0, множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
