|
Симметрия и асимметрия в математике, искусстве, философии, астрономии, зоологии, анатомии, химии, ядерной физике — предмет волнующих открытий для всех любознательных. Почему у нарвала бивень имеет левую «резьбу»? Будут ли марсианские асимметричные вирусы пагубны для космонавтов, а земные — для марсиан? Что такое «бус!рафедон» и какое это отношение имеет к двум крупнейшим научным открытиям последнего десятилетия — ниспровержению физиками закона сохранения четности и открытию биологами винтообразного строения молекулы, которая несет генетический код? Об этом и еще очень многом из правого, левого мира вы сможете прочитать в этой живой и запимательной книге.
«1957 год был, наверное, одним из самых волнующих в истории ядерной физики, — писал Д. Багг в рецензии на книгу по бета-распаду в августовском номере журнала «Нью-сайентист» за 1962 год. — В начале этого года из лаборатории в лабораторию с быстротой молнии передавалась новость: четность не сохраняется! Профессора разводили руками и возбужденно разглагольствовали о спине, о зеркалах, об антимирах; даже студенты чувствовали, что вот-вот должно произойти нечто выдающееся».
Широкая публика тоже понимала, что случилось что-то из ряда вон выходящее. Все стало ясно, когда два американских физика китайского происхождения — Ли Чжэн-дао и Ян Жэнь-нин — были удостоены Нобелевской премии за свою работу, которая привела к ниспровержению четности. Но что такое четность? Как она «пала»? Из-за чего физики так волновались?
К счастью, чтобы понять ответы на эти вопросы, глубоких знаний по физике и математике не требуется, но необходимо четко разбираться в смысле право-левой симметрии и понимать ту роль, которую сыграла эта симметрия в новейшей истории физики п биологии. Нашу книгу мы начнем с вопроса о зеркалах, кажущаяся простота которого обманчива. Изучив природу зеркальных отражений в одном, двух и трех измерениях, мы поговорим о роли симметрии в фокусах и изобразительном искусстве, а затем перейдем к широкому исследованию право-левой симметрии и асимметрии в природе. Кульминационным пунктом нашего исследования будет иесохраненпе четности, и в этой связи мы попытаемся коснуться самых глубоких загадок современной физики.
В 1958 году на конференции в Женеве было сделано сообщение об одном открытии в физике элементарных частиц. Оно устраняло трудность, давно беспокоившую Ричарда Фейнмана, специалиста по квантовой теории (мы встретимся с ним в главе 22). «Новость застала доктора Фейнмана в буфете, — ппсала «Нью-Йорк тайме» от 5 сентября 1958 года, — он выскочил из очереди и сплясал джигу».
Наша книга не научит читателя квантовой механике. Она даже не объяснит ему, почему сплясал джигу доктор Фейнман. Но автор надеется, что заключительные главы книги помогут чптателю-неспециалисту понять то ликующее настроение, от которого впору пуститься впляс, охватывающее физика, когда он из макромира политики переносится в микромир элементарных частиц.
Я хотел бы поблагодарить Ричарда Фейнмана (во возлагая на него ни малейшей ответственности за мои ошибки и неточности) за просмотр чернового варианта рукописи и многочисленные полезные предложения, а также Бэнеша Хофмана, который исправил несколько неясных мест в одной из глав.
Гастингс-на-Гудзоне, шт. Ныо-Иорк
МАРТИН ГАРДНЕР.
Июнь 1964 года
Глава 1
Зеркала
Некоторые животные, по-видимому, не в состоянии догадаться, что зеркальное отражение —просто иллюзия. Длиннохвостого попугайчика, например, беспредельно зачаровывает собственное отражение в полированных игрушках, положенных в клетку. Трудно предположить, что именно происходит в ото время в птичьей голове, но, судя по всему, попугай предполагает, что перед ним другая птица. Собаки и кошки умнее. Они сразу теряют интерес к зеркалам, как только догадываются, что отражения бесплотны. Обезьяна тоже быстро осознает иллюзорность зеркальных образов; благодаря чрезвычайной понятливости она проявляет неослабное любопытство ко всему, что видит. Шимпанзе часами пграет с зеркальцем — строит рожи, разглядывает все, что у нее за спиной, изучает и сравнивает предметы и их отражение в зеркале.
Начиная читать эту книгу, лучше всего внимательно посмотреть на себя в зеркало и попытаться почувствовать хоть часть того удивления и любопытства, которое испытывает в этом случае шимпанзе. Представьте себе, что одна из стен вашей комнаты сплошь зеркальная. Вы стоите перед этим огромным зеркалом и смотрите прямо па него. Что собственно вы видите?
На вас в упор глядит ваше точное изображение. Точное? Не совсем. У вашего лица, как и у любого другого, правая и левая половины не совсем одинаковы. Может быть, у вас слева пробор. Может быть, одна бровь выше другой, а на одной из щек шрам или родинка. Рассматривая себя достаточно внимательно, вы наверняка обнаружите такие асимметричные черты и заметите, что у вашего двойника в зеркале все они переставлены слева направо и наоборот. Например, пробор у него справа.
Эта «перестановка» произошла, конечно, и с самой комнатой и со всеми вещами в ней. Это та же самая комната до мельчайших деталей, но все же она как-то странно отличается от вашей. Как говорит Алиса у Льюиса Кэрролла, вглядываясь в зеркало над камином гостиной: «В комнате все как будто получается не так».
Ну, не то чтобы все. Стулья, столы и почти все лампы выглядят точно так же, как всегда. Если поднести к зеркалу чашку с блюдцем, в нем появятся обычное блюдце и обычная чашка. Но поднесите к зеркалу часы, и в них вы сразу заметите перемену. Например, цифры расположены на циферблате не «по часовой стрелке», а против. (Это свойство часового циферблата, кстати, часто используется в детективных романах. В одном из них при расследовании таинственного убийства главной уликой служат воспоминания девушки, которая запомнила показания часов. Потом оказывается, что, приоткрыв дверь и быстро взглянув на часы, она не поняла, что видит всего лишь их отражение в зеркале. Поэтому время, конечно, было замечено неправильно.)
Поднесите к зеркалу книгу. Если вы находитесь далеко от него, особых изменений в книге вам не удастся заметить. Подойдите поближе, чтобы различать буквы заглавия, и вы сразу увидите, что они «получаются не такими». Вывернутые наизнанку слова даже прочесть не так-то легко. Вы, может быть, помните, как Алиса, только что попав в Зазеркалье, открыла книгу на столе и наткнулась на знаменитое стихотворение-бессмыслицу. Вот как выглядела первая строфа: (...)
Алиса оказалась достаточно сообразительной девоч-кой, чтобы понять, что при повторном отражении в зеркале предмет примет свой первоначальный вид, как будто его и не отражали вовсе. «А, это же зазеркаль-ная книжка! — воскликнула она. — Если я теперь поднесу ее к зеркалу, все слова снова «получатся так, как надо» 1.
Маленьких детей обычно озадачивает и очаровывает странная способность зеркала мгновенно расшифровывать послания, написанные илп напечатанные задом наперед. Взрослых людей этим не удивишь. Они настолько свыклись с этой особенностью зеркал, что воспринимают ее как нечто само собой разумеющееся. Они думают, что ничего непонятного тут нет. Так ли это? Все ли тут вам самим до конца понятно?
1 Льюпс Кэрролл образовал слово «Jabberwocky» от слова «jabber» — бормотанье, тарабарщина. Jabberwocky означает бессмысленный, непонятный разговор. Приведенная строфа:
Twas brillig, and the slilhy toves Did gyre and gimble in the wabe;
All mimsy were the borogoves And the morne raths outgrabe
была написана автором как пародия на стилизованную англосаксонскую рыцарскую поэзию. Подобное четверостишие Jabberwocky на русском языке сочинила для русского издания книги «Алиса в Зазеркалье» Т. Л. Щешшна-Куперник.
Верлпока
Было супно. Крутелся, винтясь по земле,
Склипких козей царапистый рой.
Тихо лисиков стайка грустела во мгле,
Зеленявки хрющали порой.
— Прим. ред.
Разрешите смутить вас простым вопросом: почему зеркало переставляет только правую и левую стороны всех вещей, а не верх п низ? Подумайте хорошенько. Зеркало имеет абсолютно плоскую и гладкую поверхность. Его левая и правая части ничем не отличаются от верхней и нижней частей. Так почему же оно может переставить вашу левую и правую руки, но не может поменять местами ноги и голову? Каждая строка приведенного выше четырехстишия «перевертыша» (Jab-berwocky)' читается справа налево. Если вы посмотрите на эти строчки в зеркало, они пойдут слева направо, но верхняя строка останется верхней, а нижняя — нижней. Почему? Зеркало переставляет правую и левую стороны. А что будет, если повернуть его по часовой стрелке на четверть оборота? Перевернется ли отражение вашего лица? Всем, конечно, известно, что ничего подобного не случится. Тогда откуда же это настойчивое загадочное предпочтение правому и левому? Почему зеркало может вывернуть комнату по горизонтали, а опрокинуть ее вверх дном не может?
Я надеюсь, что эти вопросы заставят вас хоть на мгновение почувствовать себя в шкуре той любопытной обезьянки, которая созерцает свое отражение в зеркале. Это действительно «хитрые» вопросы. Проверьте их на своих друзьях. Все шансы за то, что они будут озадачены не меньше вашего. Смущенного смеха и сбивчивых попыток объяснения будет хоть отбавляй, но вряд ли кто даст прямой и четкий ответ. По своему обращению с зеркалами взрослые люди больше похожи на кошек и собак, чем на обезьян. Они считают, что отражение в зеркале объяснений не требует, и не пытаются понять до конца, почему именно так «работает» зеркало.
Положение можно запутать еще больше. Совсем легко сделать зеркало, которое вовсе не переставляет правую и левую стороны. Для этого можно взять, например, два прямоугольных зеркала без рамок и поставить их на стол, как показано на рис. 1. Зеркала должны быть взаимно перпендикулярными и касаться друг друга одним краем. Наклонитесь и посмотрите в такое составное зеркало. Если отражение вашего лица уже или шире обычного, отрегулируйте зеркала, пока лицо не станет нормальным. Но будет ли оно таковым?
Подмигните правым глазом. При этом ваш двойник вместо того, чтобы подмигнуть левым глазом — то есть глазом, расположенным напротив вашего правого, — подмигнет своим правым глазом. Отражение в таком зеркале отличается от «нормального» зеркального изображения, но оно является истинным, неперевернутым изображением. Вы впервые видите себя в зеркале точно в таком же виде, в каком вас видят другие!
Изготовить зеркало, обладающее описанным свойством, можно и по-другому — слегка изогнув тонкий полированный лист металла (рис. 2). Если вы добьетесь неискаженного изображения, оно будет и неперевернутым. Это легко проверить, моргнув глазом или высунув язык на сторону. Такие изогнутые зеркала были известны уже древним грекам, и Платон описал их в своих диалогах. Про них пишет и древнеримский поэт Лукреций в четвертой книге своей великой научной поэмы «О природе вещей», в главе о зеркалах.
Что случится с вашим отраженпем, если повернуть одно из таких загадочных зеркал на четверть оборота?. Изображение мгновенно перевернется вверх ногами (рис. 3) Значит, в определенном положении такое зеркало ничего не переставляет в изображении — ни правую сторону с левой, ни верхнюю с нижней. В другом же положении то же самое зеркало меняет местами верх и низ!
Рис. 3. «Магические» зеркала перевертывают изображение вверх ногами, если их повернуть на 90 градусов.
Предмет явно, заслуживает дальнейшего изучения (так, наверное, говорит себе шимпанзе, размышляя о том, что видит в зеркале). Это изучение мы начнем со следующей главы, где разберемся подробно, что происходит в зеркале с одномерными п двумерными геометрическими фигурами. В процессе изучения придется познакомиться со многими удивительными научными истинами. Некоторые из них будут легковесными, а другие — не такими уж пустячными. Два открытия, принадлежащих к числу выдающихся научных свершений века, тесно связаны с проблемой правого и левого и природой зеркальных отображений. Это ниспровержение закона сохранения четности физиками и открытие биологами спирального строения молекулы, которая несет генетический код. Поэтому в последних главах книги русло нашего исследования приведет читателя к самым глубоким и мало изученным водам океана современной науки.
Глава 2
Лайнландия и Флатландия
Мы живем в мире трех измерений, или, как иногда говорят для краткости современные геометры, в 3-пространстве. Каждое твердое тело можно измерить вдоль трех осей: север — юг, восток — запад и верх — низ. (Один приятель рассказывал .мне, что у них в колледже преподаватель математики, человек с причудами, объяснял существование этих трех осей следующим образом: сперва он бегом пересекал аудиторию поперек, затем вдоль — по центральному проходу, — а после этого несколько раз подпрыгивал на месте.) Изучением геометрических фигур в 3-иространстве занимается стереометрия. Если мы ограничимся рассмотрением двух измерений, то получим планиметрию, то есть геометрию фигур, начерченных на двумерной поверхности — в 2-пространстве. Можно сделать еще один шаг вниз по этой лестнице и рассмотреть фигуры 1-пространства — одномерные фигуры, которые помещаются на прямой линии. Полезно разобрать природу зеркальных отображений во всех трех перечисленных пространствах.
Начнем с самого простого и познакомимся с Лайн-ландией, которая состоит из точек, образующих одну-единственную прямую, простирающуюся до бесконечности в обоих направлениях. Забавы ради представим себе, что такая линия населена расой примитивных созданий (жителей Лайнландии), которых мы будем называть одномерцами. Одномерцы мужского пола представляют собой длинные отрезки с «глазом» на одном конце (глаз мы будем изображать просто точкой). Одномерцы женского пола — более короткие отрезки и тоже с глазом на конце. Глаза прорезаются лишь у взрослых одномерцев. Дети — просто маленькие палочки без глаз. Чтобы сделать жизнь одномерцев интереснее, мы должны были бы, конечно, поселить их в мире, состоящем из сложной сети линий, чтобы они могли двигаться взад и вперед по ней, переходя с одной линин на другую, как железнодорожные вагоны на разъездах, но это излишне осложнило бы пашу задачу, так что ограничимся пока единственной линией.
Если перпендикулярно линии поместить зеркало, как показано на рис. 4, можно получить зеркальные образы одномерцев. На рисунке изображено целое зеркало, но что касается одномерцев, то их «зеркало» — всего лишь точка на линии. Заметим сперва, что одно-мерец-младенец является точной копией своего зеркального изображения. Это означает, что мы можем мысленно переместить маленького одномерца по линии в само зеркало, не поворачивая одномерца на плоскости, до тех пор, пока он не совпадет точка в точку со своим зеркальным близнецом. Если такую операцию можно сделать с некоторой фигурой, то мы говорим, что эта фигура симметрична.
А симметричны ли взрослые одномерцы? Нет, потому что мы не можем совмещать их с зеркальными изображениями, перемещая по прямой, — дело в том, что концы у взрослых одномерцев разные. Пусть линия, на которой они живут, простирается с востока на запад. Если взрослый одномерец обращен лицом на восток, его зеркальный двойник будет смотреть на запад. Мы, конечно, можем перевернуть одномерца и точно совместить с изображением, но для этого придется «снять» его с линии п произвести поворот в простран-
стве более высокой размерности — в двумерном мире. Поскольку, не выходя в пространство высшей размерности, нельзя наложить взрослого одномерца на его зеркальный образ, мы говорим, что эта фигура асимметрична.
Есть и другой способ отличить в Лайнландии симметрию от асимметрии. Если фигура симметрична, то у нее всегда есть точка (только одна) в самом центре, которая делит фигуру на две идентичные половинки, причем одна из них есть отражение другой. Такая точка называется центром симметрии. Если мы поместим зеркало перпендикулярно линии в этой точке, оставшаяся часть фигуры вместе со своим отражением будет точно воспроизводить исходную фигуру независимо от того, в какую сторону обращено зеркало. Можно ли считать тогда, что одномерец с глазами с обоих концов симметричен? Да. Такую фигуру можно было бы наложить на зеркальное изображение, и у нее был бы центр симметрии, делящий фигуру на две зеркальные половинки.
Пусть в Лайнландии живут только три взрослых одномерца — А, Б и В, причем все они «смотрят» на восток. Если мы получим зеркально обращенную картину одного из них, скажем среднего, то все трое мгновенно заметят перемену. Теперь А и Б «глядят друг на друга», а Б и В «повернуты спинами» один к другому. Но если вся прямая окажется зеркально отраженной, то есть вся «вселенная» одномерцев, то сами они о происшедшей перемене не смогут узнать. В действительности для них просто не имеет смысла говорить о какой-либо перемене. Мы знаем, что направление линии изменилось на обратное, но знаем потому, что живем в 3-пространстве и можем наблюдать положение Лайнландии но отношению к внешнему миру. Но одномер-цы не могут представить себе пространство размерности большей чем единица. Они знают только свой собственный мирок, ту единственную прямую, на которой живут. С пх точки зрения, никакого изменения не произошло. Только в том случае, когда операции зеркального отражения подвергается какая-то часть их «вселенной», одномерцы смогут заметить перемену.
Во Флатландии, в 2-пространстве планиметрии, все обстоит интереснее, но в отношении зеркальной симметрии предметы ведут себя практически так же, как в Лайнландии. На рис. 5 наш художник дал стилизованное изображение асимметричного двумерца и его отражения в вертикальном зеркале. (Оно изображено объемно, в 3-пространстве, но зеркало двумерца — это всего лишь прямая линия, которую он видит перед собой.) Совместить двумерца с зеркальным изображением невозможно. Если бы мы могли его взять с плоскости, как бумажного солдатика, перевернуть и снова положить в перевернутом виде, то все это можно было бы произвести в 3-пространстве, а не в 2-пространстве Флатландии.
Что же произойдет, если держать зеркало над двумер-цем или под ним, как показано на рис. 6? В этом случае поменяются местами верх и низ, потому что зеркало перпендикулярно вертикальной оси. Но изображение в зеркале получится таким же, как и прежде; изменится только его положение на плоскости. Мы можем взять любое из зеркальных изображении на рис. 6 и, перевернув, совместить их точка в точку с зеркальным изображением на рис. 5. Где именно помещено зеркало — не имеет ни малейшего значения, так как отражение асимметричного двумерца всегда получается одинаковым.
Нетрудно изобразить разные геометрические фигуры Флатландии, которые являются симметричными и не меняются при отражении в зеркале. Квадраты, окружности, эллипсы, равносторонние и равнобедренные треугольники, значки карточных мастей — бубновой, червонной, пиковой и трефовой — все они при отражении остаются неизменными. В Лайнландии, как мы уже знаем, у каждой симметричной фигуры есть точка, которая делит фигуру на зеркальные половинки. С симметричными фигурами Флатландии то же самое делает прямая линия, называемая осью симметрии. На рис. 7 приведены примеры различных симметричных фигур на плоскости. Оси симметрии указаны пунктирными линиями. Обратите внимание на то, что у фигуры может быть разное число осей симметрии — от одной до бесконечности. Круг — единственная плоская фигура, имеющая бесконечное число таких осей. Другие фигуры могут иметь хоть и не бесконечное, но произвольно большое число подобных осей. Если поместить зеркало так, чтобы его край совпадал с осью симметрии, то оставшаяся перед зеркалом часть фигуры вместе с отражением, как и в Лайнландии, точно повторит форму исходной фигуры.
Любая плоская фигура, обладающая по крайней мере одной осью симметрии, считается симметричной, поскольку ее можно всеми точками наложить на зеркальное изображение. Математикам известны и многие другие виды симметрии (о некоторых из них пойдет речь в гл. 2), но в этой книге мы постоянно будем иметь дело только с симметрией отражения. Называя фигуру «симметричной» (независимо от числа измерений), мы всегда будем иметь в виду только одно: эта фигура идентична своему зеркальному изображению, то есть ее можно наложить на зеркальное изображение, не прибегая к поворотам в пространстве более высокой размерности.
Легко привести примеры и асимметричных плоских фигур. Так, например, фигуры, изображенные на рпс. 8, не могут быть соединены со свонми зеркальными изображениями. Если вы попытаетесь провести через центр любой из этих фигур линию, которая делила бы фигуру на зеркальные половинки, вы убедитесь, что сделать этого невозможно. Как бы вы ни приставляли зеркало, отражаемая часть вместе с отражением не образует первоначальной фигуры. По этой причине каждую асимметричную фигуру эдожно рисовать на плоскости двумя способами.
Некоторые заглавные буквы в алфавитах симметричны, а некоторые нет. Вот первое из упражнений, предлагаемых в этой книге (все упражнения перенумерованы п ответы приведены в конце книги):
Упражнение 1. Какие из заглавных букв русского алфавита асимметричны, а какие нет?
Попробуйте ответить на этот вопрос, не пользуясь зеркалом. Помните, что буква симметрична, если можно выбрать по крайней мере одну такую прямую, чтобы она делила букву на зеркальные половинки. Если такой оси симметрии нет, то буква асимметрична. Напечатайте на листке симметричные буквы п поднесите его к зеркалу. Когда буквы выбраны правильно, то всегда можно повернуть листок так, чтобы буквы в зеркале не отличались от обычных. Чтобы добиться этого, для разных букв листок придется поворачивать по-разному, потому что направленпя осей симметрии у разных букв не всегда совпадают. Буква «А», например, имеет вертикальную ось симметрии. Она не изменится в зеркале, если поднести к нему листок прямо, не поворачивая. Однако у «В» ось симметрии горизонтальная. Поначалу покажется, что отражение существенно отличается от самой буквы, но поверните листок — и вы увидите в зеркале обычное «В». Проверив в зеркале все буквы, которые вы сочтете симметричными, попробуйте провести для каждой из них все ее оси симметрии. Вам удастся это сделать для всех букв, кроме «О». Если рисовать «О» в виде эллипса, осей будет всего две, но мы нарисовалп ее кружком — в этом случае число осей симметрии бесконечно.
Теперь поднесите к зеркалу листок с асимметричными буквами. Если они выбраны правильно, то, как бы вы ни вертелп листок, ни одна из этих букв не будет выглядеть в зеркале «как настоящая». Все отражения асимметричных букв «получаются не такими».
Рассмотрите эти буквы, и вы убедитесь, что для них невозможно провести оси симметрии. То, что свойства симметрии меняются от буквы к букве, дает возможность проделать ряд забавных фокусов с отражением слов в зеркале, но прежде чем рассказать о них (это будет сделано в гл. 4), мы должны посвятить следующую главу рассмотрению симметрии и асимметрии фигур в 3-пространстве, в том трехмерном мире, где живем мы сами.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
