Эволюция
геометрической
мысли

DjVu

ФPAГMEHT КНИГИ (...) псевдо-точки, псевдо-прямые и т. п., то из каждой теоремы геометрии можно извлечь предложение, относящееся к векториальным кругам и к их различным совокупностям, и таким путем можно расширять свои геометрические знания. Так, напр., весьма простые предложения: "две прямые одной плоскости вообще имеют общую точку w, а "две скрещивающиеся прямые общих точек не имеюта — в переводе при помощи нашего словаря дают следующее: если два пучка векториальных кругов плоскости ос входят в состав одной и той же связки, то они вообще имеют один общий круг; в противном же случае у них общих кругов нет. Возьмем, далее, в плоскости ос три круга одного и того же радиуса и одного и того же смысла (мы останавливаемся на этом частном случае, имея в виду рассуждение, связанное с черт. 66); переходя к соответствующим точкам пространства, построим определяемую ими обыкновенную окружность. Этой последней соответствует известная псевдо-окружность, содержащая три данных круга и вообще состоящая из кругов, касающихся 2-х определенных окружностей одинаковым образом. Следовательно доказано предложение: если в плоскости даны три равных круга, то существуют две окружности, касающиеся всех данных, каждая одинаковым образом. Здесь мы имеем решение одного частного случая знаменитой задачи Аполлония о построении круга, касающегося 3-х данных.
      Изложенное истолкование проф. Федоров иногда видоизменяет, говоря не о векториальных кругах, а о векторах, т.-е. о направленных отрезках. В обеих формах это истолкование замечательно тем, что позволяет всю геометрию трехмерного пространства осуществить на плоскости; в частности, любой пространственный предмет можно воспроизвести на плоскости при помощи векторов или векториальных кругов. Федоров считает даже этот метод очень удобным для применения в горном деле.
      Отмеченная особенность разобранного истолкования наводит на смелую мысль: если система кругов плоскости осуществляет геометрию трехмерного пространства, то нельзя ли воспользоваться совокупностью всевозможных шаров для того, чтобы проникнуть в тайны пространства 4-х измерений? Прежде всего заметим, что вое мистическое в вопросе о четырехмерном пространстве — и, надо сознаться, самое интересное в нем — уже выходит за пределы математики; с чисто же геометрической точки зрения дело обстоит просто и довольно прозаически: речь идет о распространении отношений, наблюдаемых в трехмерном пространстве, на более широкую совокупность — подобно тому, как в свое время мы перешли от плоскости к пространству 3-х измерений, И действительно, в этом вопросе система шаров может оказать большое подспорье: для полного задания шара необходимо задание 4-х величин (3 координаты центра и радиус), так что шары можно однозначно связать с точками 4-х-мерного пространства. Е. О. Федоров изучает различные совокупности шаров и таким образом знакомится с геометрией пространства 4-х измерений. Здесь особенно интересно то, что, благодаря шарам, наглядность проникает туда, куда, казалось бы, вход ей по существу дела навсегда воспрещен. Выходит, что точка эрения чистой геометрии, отнимая у наглядности решающее значение, в то же самое время значительно расширила ту область, где может принести пользу ее вспомогатель ная и наводящая роль.
      За другими истолкованиями мы отсылаем читателя к книге Вебер-Велыптейна; ознакомившись с ними, он согласится со словами Федорова о безграничных возможностях в истолковании геометрических теорем. Различные же истолкования позволяют извлекать из любой теоремы все новые и новые истины; так что строго-логическое обоснование геометрии, которое и делает возможными различные ее истолкования, несмотря на свою кропотливость и кажущуюся мелочность, вполне соответствует началу экономии мысли.
      Среди других истолкований особое место занимает так наз. аналитическое истолкование. Дело заключается в том, что на предыдущих страницах были указаны некоторые истолкования, весьма отличающиеся от обычного, но все-таки имеющие дело с пространственными образами: псевдо-точками служили или шары, или векториальные круги, или векторы — при возможности связать с этими терминами обычные пространственные представления. Оказывается, что можно дать такое истолкование геометрии, которое уже не будет заключать в себе решительно ничего пространственного; делается это следующим образом.
      Условимся под псевдо-точкой понимать тройку вещественных чисел: ...
      взятых в определенном порядке; тогда "пространство" окажется совокупностью всевозможных таких троек. Далее, псевдо-плоскость слагается из тех псевдо-точек, которые являются решениями неопределенного уравнения с В неизвестными:...
      псевдо-прямая же является совокупностью псевдо-точек, общих 2-м псевдо-плоскостям, и т. д. На первый взгляд может показаться, что здесь просто идет речь об аналитической геометрии; но этого не должно быть, и этого действительно нет. Не должно быть потому, что аналятическая геометрия предполагает уже некоторые элементарно-геометрические сведения; а так как последние при обычном изложении связываются с пространственными представлениями, то это же самое придется сказать и об аналитической геометрии; а ведь мы ищем истолкования, не связанного с пространственными представлениями. Но в указанных исходных положениях вовсе и нет 1 тожества о методом аналитической геометрии. Действительно, с точки зрения последней, " точкаи есть простейший элемент пространства, положение которого определяется с помощью трех чисел; в указанном же истолковании псевдо-точка есть тройка вещественных чисел и — ничего больше. Точно также в аналитической геометрии плоскость является основным образом, о которым обычно связываются известные пространственные представления; а о помощью неопределенного уравнения определяется лишь положение данного образа в пространстве. В аналитическом же истолковании плоскость есть не что иное, как совокупность решений неопределенного уравнения. Таким обравом обе точки зрения принципиально различны.
      В книге Вебер-Велыптейна шаг за шагом развертывается это аналитическое истолкование, и читатель приходит к такому пониманию геометрических теорем, в котором уже ничеЮ пространственного нет и не может быть. Вот в этом полном разрыве о реальным пространством и заключается принципиальная важность аналитического истолкования. Оно показывает, что чистая геометрия может действительно строиться вне этой связи; а если мы к ней все еще прибегаем, то тут о одной стороны действует сила привычки, а с другой — серьезная вспомогательная роль пространственных представлений.
      Аналитическое истолкование интересно еще тем, что оно может нам доставить доказательство совместности аксиом, о чем шла речь выше. В самом деле, если мы докажем, что все утверждения аксиом остаются в силе при аналитическом истолковании входящих туда терминов, — а в указанной книге это доказательство имеется, — то можно построить следующее рассуждение. Допустим, что из наших аксиом когда-либо удастся вывести два предложения, друг другу противоречащие; но так как каждое предложение геометрии осуществляется в построенном выше аналитическом пространстве, то противоречив это скажется и там; т.-е. получается в конце концов противоречие в самом анализе. Следовательно, поскольку считать последний уже обоснованным и застрахованным от противоречий, можно утверждать совместность аксиом евклидовой геометрии, другими словами — считать эту геометрию логически-возможной. Условный ответ не должен смущать читателя, ибо всякое доказательство ооновывается на каких-либо предпосылках, которые его и обусловливают.
      Оглядываясь на пройденный путь, мы видим, что геометрия, получив начало в практических, находимых ощупью предписаниях египетских 8емлемеров, вылилась в наше время в отвлеченно-логическую систему, не связанную необходимым образом даже о идеализированными данными пространственного представления. Мы берем несколько понятий без определения и несколько предложений без доказательства, а все остальное определяем и доказываем по правилам формальной логики; в выборе исходных понятий и предложений мы свободны, поскольку эта свобода согласуется с теми ограничениями обще-логического характера, о которых шла речь выше.
      При таком положении дела, естественно возникает вопрос: чем же собственно геометрия отличается от других отделов математики или даже от других умозрительных наук? Геометрия изучает свойства пространства; но для чистой геометрии пространствои есть не что иное, как совокупность всевозможных точек, т.-е. в сущности оно совпадает с понятием класса. Классы бывают различные, и различные пространства отличаются друг от друга теми отношениями, которые устанавливаются в аксиомах между точками; вот в этих отношениях и заключается суть дела. Отоя на подобной точке эре-ния, Ре с сель дает такое определение геометрии: геометрия есть изучение рядов двух и большего числа измеренийи. Здесь действительно указаны существенные черты геометрических исследований, главное поле которых мы видим на плоскости и в пространстве. Надо, однако, заметить, что и ряд одного измерения не остается совсем без внимания: разбирая расположение точек на прямой, мы занимаемся подобным рядом.
      Выбирая различным образом аксиомы, мы можем строить различные системы чистой геометрии; так, мы знаем уже 3 геометрии: Евклида, Лобачевского, Римана. Какой же системой мы воспользуемся в прикладной геометрии? До сих пор евклидова геометрия удовлетворяла всем требованиям и признавалась за систему, выражающую свойства реального пространства; в настоящее время наше миропонимание переживает серьезный кризис.
      Принцип относительности привел к тому, что пространство и время, дотоле резко различавшиеся, объединяются в один " четырехмер еый мира (Минковский). То, что прежде объяснялось силами, теперь сводится к геометрическим свойствам пространства; изучение геометрии получает особое значение, причем выясняется важность именно геометрии Римана (в обобщенной постановке). Таким образом отвлеченные умозрения о многомерных пространствах и о неевклидовых геометриях получают животрепещущий интерес.