НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

Библиотечка «За страницами учебника»

Ну и что? (серия «Эврика», вокруг математики.) Хургин Я. И. — 1970 г.

Серия «Эврика»
Яков Исаевич Хургин

Ну и что?

*** 1970 ***


DjVu


PEKЛAMA Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD. Подробности...

Выставлен на продажу домен
mp3-kniga.ru
Обращаться: r01.ru
(аукцион доменов)



 

      Полный текст книги

Формулы и таблицы не распознаны.

 

(РАЗГОВОРЫ МАТЕМАТИКА С БИОЛОГАМИ И РАДИСТАМИ. ВРАЧАМИ И ТЕХНОЛОГАМИ. ГЕОЛОГАМИ И ЭКОНОМИСТАМИ -ЛЮДЬМИ РАЗНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ И ИНТЕРЕСОВ О МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ СВЯЗЯХ С ДРУГИМИ НАУКАМИ. О РАЗНЫХ РАЗНОСТЯХ, ЗАНИМАЮЩИХ АВТОРА И ЕГО ДРУЗЕЙ)

СОДЕРЖАНИЕ

Разговор с читателем t 5
Разговор с физиологом в сентябре 7
Разговор с физиологом зимой 15
Забытый разговор с инженером-радистом 18
Еще несколько слов к вам, читатель 23
Что вы думаете о математике? 25
Что такое математика? 27
Небесполезный исторический экскурс 28
Фигуры на резиновой пленке 33
Математика и искусство 37
Непрерывные преобразования 37
Удивительная поверхность 42
Граф 45
Числа и точки 57
Седло 71
Экстремум 77
Экстремальные кривые 87
Эйлер 89
Мыльный пузырь 90
Математики бывают разные 94
Откуда берутся аксиомы? 95
Два типа рассуждений 97
Индукция и математическая индукция 103
Драматическая история проблемы решения уравнений 107
Разговор с инженером-технологом 113
Что такое — лучше? 118
Критерий 122
«Нос поднимешь — хвост увязнет» 125
Близость 127
Муся и Пуся 129
Нестрашный интеграл 131
Пространство, расстояние, норма 135
Как возникают термины 142
Что же делать с задачами инженера-технолога? 144
Инженер Ягодинец выбирает место работы 146
Модель 154
Математическая модель 156
События и их модели 160
Нужна ли вообще математическая модель? 166
Как же построить математическую модель процесса первичной нефтепереработки? 173
Вероятно, вам понравилась эта книжка? 176
Как это произошло 178
Случай и случай 179
Вероятность 180
Вы провели эксперимент Ну и что? 183
Разговор с диссертантом 187
Экспериментатор и статистик 192
Нам нужно принимать решения 196
Интуиция: дни рождения 199
Интуиция: везет — не везет 203
Блуждание 210
Пьяный увидел собутыльника 220
Блуждающий ученик 222
Язык 228
Информация 233
Память и код 235
Что это такое — информация? 243
Количественная мера
Пропускная способность 252
Кодирование 254
Модель языка и передача информации 259
Основной факт теории передачи информации 260
А как же быть с содержанием? 262
Что могут математические машины 265
Разговор с психиатром 271
Распознавание образов 278
Техническая диагностика 286
Кое-что о медицинской диагностике 295
Не пора ли заменить врача диагностической машиной? 504
Что наша жизнь? Игра 506
За круглым столом с друзьями 314
Последний разговор с читателем 316



      Разговор с читателем
      Я люблю разговаривать и не очень люблю писать. Разговаривать с кем-нибудь. У этого понятия «разговаривать» много синонимов: общаться, вести беседу, болтать.
      В разговоре все время есть отклик собеседников, есть, как теперь модно выражаться, обратная связь.
      Двадцать пять лет я веду беседы с инженерами, физиологами, врачами, геологами, экономистами — людьми разных профессий, взглядов и способностей. Выступаю с докладами, веду семинары. Беседую за столом, далеко не всегда круглым.
      Поначалу мы натыкаемся на его «углы», и подчас удары небезболезненны, но благодаря нашим совместным усилиям со временем «углы» этого стола постепенно сглаживаются.
      Разговоры эти — о проблемах и трудностях наук, о которых подчас я так мало знаю, что не могу себя считать даже дилетантом.
      Почему-то укоренился термин «читать лекцию» или «читать доклад». Лекцию надо говорить, рассказывать; когда ее читают, даже наизусть, то слушать, как правило, противно, скучно, а значит — почти бесполезно. Поэтому во время лекции или доклада я, профессиональный лектор, всегда стараюсь разговаривать со слушателями.
      На подготовку двухчасовой лекции уходит много ча-
      сов, но я не могу точно себе представить все, о чем буду говорить, — это зависит и от аудитории.
      Наверное, очень трудно лектору на телевидении: нельзя же рассказать анекдот самому себе или задавать вопросы, не получая на них даже молчаливый ответ.
      А писать книгу приходится без обратной связи; и мне трудно обращаться к кому-то неопределенному, к совсем неизвестному читателю. Поэтому здесь я буду беседовать со своими друзьями: физиологами, врачами, инженерами, геологами. Разговаривать о математике с нема-тематиками. Таких разговоров было много. Будут они и впредь.
      Почему же эти беседы были и будут?
      Специалист — это, по энциклопедическому справочнику, человек, знающий основательно какую-либо область науки, техники, культуры, работающий в этой области. Если добывать эти знания мне самому, надо годами копаться в литературе. А специалист с наслаждением рассказывает о своих проблемах, трудностях и бедах, подобно пациенту на приеме у внимательного врача. И тут сразу удается удовлетворить любопытство, не преодолевая природную лень.
      Словом, мне интересно разговаривать со специалистами разных областей науки.
      Но зачем же они ко мне обращаются? Ходят слухи, что сейчас происходит мощный процесс математизации разных наук, как инженерных, так и описательных. Такие мнения распространяют печать и радио, популярная и даже серьезная научная литература. Правда, у большинства людей весьма смутные представления об этом процессе: одни думают, что математики должны написать уравнения, годные на все случаи жизни; другие считают, что электронные вычислительные машины должны думать вместо людей, и надеются с их помощью оставаться в привычном состоянии плохо организованного мышления; третьи трезво рассчитывают на посильную помощь математиков.
      На самом же деле математические методы не есть панацея от всех бед. Но они могут с успехом применяться во всех науках, если только их применять грамотно и корректно. Применение математических методов — это мясорубка: для получения хорошего фарша нужно правильно выбрать нож, крутить ручку в нужном направлении, но главное — нужно заложить доброкачест-
      венные продукты. В противном случае вас ждет разочарование, в котором вы, конечно, будете винить ни в чем не повинную теорию.
      Весьма важно, чтобы потенциальный потребитель математической теории ознакомился с ней, мог бы взять ее арсенал на вооружение сегодня или хотя бы знал о существовании такого оружия и о том, где его следует применять. Потенциальные потребители математической теории могут подсказать направление дальнейшего развития теории, ставя перед ней свои задачи, и в конце концов получить взамен реальную помощь.
      Первые беседы специалистов разных профессий — всегда состязание, бой. Это подобно завязке романа: сначала влюбленные довольны друг другом — каждый говорит осеое и не слушает другого. Затем захваченные полемикой «противники» ведут бой за достойное место, за утверждение своей точки зрения. И оба побеждают, когда наступает взаимопонимание.
      Я люблю это фехтование, и мое испытанное оружие и тактика — своевременная постановка вопросов:
      НУ И ЧТО?
      НА КАКОЙ ВОПРОС ВЫ ХОТИТЕ ОТВЕТИТЬ? КАКУЮ ЗАДАЧУ ВЫ ХОТИТЕ РЕШИТЬ?
      После длительной борьбы, о которой будет речь, наступает следующий этап, когда математик может работать вместе с представителем другой науки. И эта совместная работа приносит удовлетворение обеим сторонам и подчас богатые плоды.
      Если вам, читатель, эти разговоры покажутся интересными и полезными, то мой труд будет вознагражден.
      Разговор с физиологом в сентябре
      Золотая осень — вечная тема поэтов, писателей, художников. Написано много, правильно, хорошо. Но для меня, как и для всех связанных со школой, высшей или средней, осень — начало года. Новые ученики, новые дела, новые семинары, новые проблемы, новые люди.
      Мы встречаемся с молодым и, по слухам, способным физиологом. Молодой — не маститый, но владеющий своей наукой, умеющий работать, ищущий. Ему нужны
      новые пути, новые темы, нужны существенные результаты. С ним интересно.
      Я. Чем же вы занимаетесь?
      Он. Изучаю первичные электрические ответы зрительной зоны коры у кошки, вызванные вспышкой света перед глазом.
      Я уже знаю, что это такое: в голову кошки забивается тонкая игла-электрод и отводятся биоэлектрические потенциалы. Эти потенциалы подаются на электронный осциллограф, где их можно видеть или фотографировать. Потенциалы имеют примерно такой вид, как верхняя кривая на рисунке 1; нижняя периодическая кривая служит для отсчета времени.
      Я. А более конкретно?
      Он. Раздражение подается в виде светового импульса. Его яркость можно менять. Оказывается, при этом меняются величина и форма положительной и отрицательной фаз вызванного потенциала.
      Я. Ну и что?
      Как мало можно передать на бумаге! В интонации этого вопроса содержится много дополнительной информации. Сейчас это спокойная заинтересованность.
      Он. Как это — ну и что? Имеется определенная зависимость между интенсивностью вспышки и всеми параметрами электрической реакции.
      Обратите внимание — определенная зависимость. Что бы это могло означать?
      Я. Какая зависимость?
      Он. С ростом интенсивности амплитуда ответа, например, возрастает сначала быстро, затем медленно, потом остается неизменной.
      Я. Очень мило. Что же вы хотите от меня?
      Он. Хотелось бы получить математическую зависимость.
      Я. А зачем вам нужна эта зависимость?
      Он. Как — зачем? Разве вы против применения математики в биологии?
      Я. Нет, я не против, активно за! Вы под математической зависимостью понимаете формулу?
      Он. Конечно.
      Я. Что же вы будете делать с этой формулой, если я ее напишу?
      Он. Напишите, пожалуйста. А мы проведем серию опытов для ее проверки.
      Я. Скажите, меняется ли картина от кошки к кошке?
      Он. Качественно не меняется.
      Я. Но формулу качественно не напишешь. Формула — это выражение количественных соотношений.
      Он. Вот нам и нужны количественные зависимости.
      Я. Это я уже примерно понял. Во время опыта животные находятся под наркозом?
      Он. Чаще я работаю с наркотизированными животными.
      Я. А если менять дозу наркоза или изменять наркотизирующее вещество, то картина тоже меняется?
      Он. Да, количественно меняется, но качественно остается той же.
      Я. А если проводить с одной кошкой опыты долго, то картина тоже оказывается непостоянной?
      Он. Да. Правда, в разной степени, но многое меняется. Возможно, наступает привыкание. Да и глубина наркоза во время опыта изменяется.
      Я. Почему же вы называете зависимость между интенсивностью вспышки и длительностью фазы определенной?
      Он. Ну, может быть, я не точно выразился. Зачем вы придираетесь к словам? Я хотел сказать, что имеется какая-то зависимость.
      Я. К словам я не придираюсь. Закон всемирного тяготения — это определенная зависимость между массами двух тел, расстоянием между ними и силой притяжения. А в изучаемом вами процессе пока не видно определенной, четкой, однозначной зависимости между интенсивностью света и амплитудой ответной электрической реакции мозга.
      Он. Но все-таки, если увеличивать интенсивность, то амплитуда каждой фазы ответа, как правило, увеличивается.
      Я. Это еще далеко от определенной зависимости... Что же все-таки вы изучаете?
      Он. Академик А. (или профессор Б., или известный зарубежный ученый В.) разработал методику суммарного отведения биотоков из слуховой зоны коры. Он и его сотрудники работали с кроликами и изучали звуковой анализатор. Наш шеф поставил задачу — изучить зрительный. Мы привыкли работать на кошках, хотя с ними и больше возни.
      Когда вместо прямого ответа на вопрос ссылаются на авторитеты, у меня начинает сосать под ложечкой. Я представляю себе картину опыта: душная комната, в станке животное, включены десятки приборов, на многоканальном шлейфовом самописце на очень хорошей бумаге записывается сразу полтора десятка кривых: кровяное давление, ритм дыхания, биотоки, отводящиеся от разных участков мозга, и т. д. Несколько человек много часов ведут тонкий опыт, затем ласкового кролика выкидывают на помойку, а через некоторое время туда же выкидывают и многометровые записи, ибо не всегда ясно себе представляют, что же с ними делать. В голосе у меня уже появляется металл.
      На какой вопрос вы хотите ответить?
      Он (раздраженно). Я же вам говорил, что меня интересует зависимость параметров первичного ответа от интенсивности вспышки.
      Я (едко). Предположим, что вы уже знаете эту зависимость, написана формула. Ну и что?
      Он (еще более раздраженно). Я же вам только что объяснил, что академик А. ...
      Я (прервав его). А какую задачу решал этот авторитет?
      Он (снисходительно). Академик А. изучал влияние интенсивности слухового раздражителя на форму первичного ответа слуховой зоны коры.
      Я. По-моему, это не задача, а чисто описательная тема. Какую же он написал формулу?
      Он. Что вы! Академик А. — ученый старой формации, активный противник применения математики в биологии. Какие там формулы? Его школа считает, что задача физиолога — описать явление.
      Я. Описать или объяснить?
      Он. В классической физиологии, конечно, тоже объясняют явления, но описательно.
      Я. А как, по вашему мнению, нужно описывать эти явления?
      Он. Нужно точно. Вот я и хотел, чтобы вы помогли нам написать формулы.
      Я. Знаете, я не поклонник классической физиологии. Во всяком случае, мне было очень трудно читать книги по физиологии: как-то очень много фактов и весьма произвольное их толкование, с точки зрения математика. Но и то, что вы говорите, не многим лучше.
      Он. То есть как?
      Я. Приведу пример. Листья разных растений имеют разную форму, и никто не спутает лист клена с листом березы. Теперь возьмем утюг, разгладим лист клена (сделаем его плоским) и обведем карандашом. Получим кривую на листе бумаги. Можно поднатужиться и написать теперь уравнение этой кривой. Скажем, знаменитый Декарт, который изобрел метод координат — одно из ве дичайших открытий человечества, исследовал кривую с поэтическиМ~названием «Лепесток жасмина». Уравнение этой кривой
      Ну И что?
      На рисунке 2 вы, читатель, видите этот график. Кусочек кривой в первой четверти действительно похож на листок, немного похож.
      Он. Не знаю...
      Я. Вот именно. А существует целая литература по отысканию кривых, описывающих форму листьев. Этим занимались многие ученые, начиная с Декарта и до наших дней. В конце прошлого века немецкий математик Л. Хабенихг написал целое сочинение «Аналитические формы листьев». А толку чуть, собственно, никакой пользы от этой работы нет.
      По-моему, подобные упражнения компрометируют применение математики в биологии. Ибо никаких выводов для ботаники, для объяснения природы из этих формул сделать нельзя. Я уж не говорю о том, что лист от листа одного и того же растения отличается не только подобием и, следо-
      вательно, формулы лишь весьма приближенно описывают формы листьев. Да собственно говоря, точной неизменной формы у листа нет вообще: он все время изменяется, растет, причем не одинаково в разных направлениях. Кроме того, листья ца самом деле не плоские фигуры, а поверхности в пространстве.
      Словом, дело не в формулах. Математика — вовсе не Формулы, как музыка — это не ноты.
      Он. Ёы меня запутали?
      Я. Вернемся к физиологии. Изучение влияния интенсивности слухового раздражителя на форму первичного ответа — это не задача. Это может быть промежуточный этап. Какую же задачу надо решить?
      Он. Электрофизиологи сейчас владеют методикой отведения биопотенциалов мозга как суммарно от больших групп клеток, так и от отдельных нейронов. Мы изучаем ответы больших групп клеток коры на различные раздражители.
      Я. Если бы академик А. еще не родился или занимался бы ботаникой, а новую методику отведения биопотенциалов мозга изучали бы уже в стандартном курсе электрофизиологии, вы бы все равно сейчас этим занимались?
      Он. Если бы при этом мы находились в том же состоянии неизвестности о деятельности мозга, то мы делали бы то же самое.
      Я. А что вы узнаете о деятельности мозга, если будете регистрировать первичные ответы? Методика методикой, но какую же все-таки вы решаете задачу?
      Он. Изучаем связь между интенсивностью светового сигнала и разными характеристиками первичного ответа. Посмотрите сами.
      Он мне показывает массу фотографий, мы долго их обсуждаем, спорим, спорим, спорим...
      Я. Мое мнение таково. Никакой прямой однозначной связи между двумя интересующими вас величинами — интенсивностью вспышки и длительностью первичного ответа — здесь нет. Длительность ответа зависит еще от десятков переменных, которые в опыте нельзя зафиксировать. Связь между параметрами стимула и реакции в вашем
      случае статистическая, вероятностная. Поэтому никакую формулу прямой связи между этими величинами написать нельзя.
      Однако дело в том, что вам это и не нужно. Глупо просто так изучать связь каких-то величин. Вы должны ставить опыты для ответа на какой-то вопрос, строить гипотезу и для ее проверки ставить эксперимент. Вы, конечно, так и делаете, только не хотите в этом четко разобраться. Давайте устроим перерыв на некоторое время. Попробуйте четко сформулировать задачу, которую вы хотите решить.
      Он. Ладно, я подумаю... Вы меня слишком уж жестоко прижали. В среде физиологов не принято пока так грубо и резко задавать невежливый вопрос: «Зачем?»
     
      * * *
     
      Может быть, у вас, читатель, создалось впечатление, будто мой собеседник бестолков или плохо разбирается в своей области науки? Или, может быть, вы подумали, что нейрофизиология — это второсортная наука?
      Ни то, ни другое не имеет места. Нейрофизиологу, как и вообще биологу, приходится иметь дело с живым организмом. А всякий живой объект, будь то животное или одна живая клетка, неизмеримо сложнее, скажем, любой машины, сделанной человеком. Живой организм нельзя разобрать на части и изучать каждую из них в отдельности — все процессы внутри организма взаимосвязаны.
      Можно сказать, что живой организм в отличие от искусственно созданных до сих пор машин или систем — это система с весьма большим, практически бесконечным числом степеней свободы (понимаемых в разумном смысле).
      Таким образом, биолог находится в труднейшем положении; и именно поэтому биология лишь недавно перешла от стадии пассивного наблюдения над природой к широкому проведению активных экспериментов. Сейчас происходит освоение разнообразных методик, поиски новых, более совершенных приемов исследования. И лишь совсем недавно стало ясно, что при изучении живого понадобится большой набор математических методов, разработка новых математических теорий, адекватных сложным биологическим задачам.
      Поэтому в действительности превосходство математика в этой и других беседах кажущееся, внешнее: нападать легче, чем защищаться.
      ~ Для того чтобы от математика была реальная польза, а не только поверхностная критика, он должен освоить соответствующую область науки, в данном случае — нейрофизиологии. Лишь после этого можно ждать от него пользы: новых идей, нужной постановки вопросов, правильных выводов в этой новой для него области.
     
      Разговор с физиологом зимой
      Прошло несколько месяцев после первого разговора с физиологом в сентябре. Мы многократно встречались, обсуждали постановку опытов и их результаты, спорили и спорили. Я бывал в лаборатории во время опытов, крутил ручки приборов, жалел животных. Снова и снова упорно задавал одни и те же вопросы и моему другу — физиологу и его товарищам по работе. Мы организовали постоянный семинар. Постепенно выработался общий язык, и мы как будто пришли к пониманию цели, ради которой ставятся опыты, подошли к четкой формулировке задачи.
      Я. О чем сегодня будет речь? У вас есть новые результаты?
      Он. Результаты есть, новостей нет. Но мне кажется, что можно четко сформулировать постановку вопроса.
      Я. В который раз?
      Он. Надеюсь, что в последний.
      Я. Ого! Давайте выкладывайте.
      Он. Мозг с помощью зрительной системы обрабатывает световые сигналы. И наша задача — понять, как это делается.
      Я. Об этом мы уже говорили. Дело не в сигналах, а в информации, которую несут эти сигналы.
      Он. Именно это я и имел в виду.
      Я. Какие параметры светового сигнала являются носителями информации?
      Он. Вот это как раз и неизвестно.
      Я. Следовательно, мы должны угадать эти параметры, а затем проверить наши догадки.
      Он. Безусловно, важнейшим параметром является яркость, интенсивность светового раздражителя. Поскольку имеется некоторая статистическая связь между интенсивностью светового сигнала и амплитудой первичного ответа — вы с этим уже согласились, — то, следовательно, мы делаем правильно, когда изучаем первичный ответ.
      Я. Да, по-видимому, довольно тесная статистическая связь здесь существует. Но все-таки что же это означает? Похоже, чю если одиночные клетки в зрительной зоне коры дают ответ на раздражение, то этот ответ всегда одинаковой интенсивности. В опыте регистрируется сумма ответов многих клеток, расположенных в определенной зоне. Увеличение суммарного ответа при возрастании интенсивности раздражителя означает, по-видимому, что с ростом интенсивности раздражителя возрастает количество отвечающих клеток.
      Он. Это, наверное, так.
      Я. Но клетки же отвечают не одновременно?
      Он. Да, у разных типов клетОк задержка ответа на раздражение не одинакова, как говорят, у них различные латентные периоды. Кроме того, клетки разных типов и реагируют неодинаково: клетка после раздражения выдает серию импульсов, а количество и интервалы между импульсами для разных типов клеток различны.
      Я. Значит, в этих посылках содержится какая-то различная информация. Скажите, пожалуйста, в действительности на раздражение каждая клетка отвечает всегда одинаково, то есть для данной клетки количество импульсов и интервалы между ними — это неизменные величины?
      Он. Похоже, что так. Во всяком случае, в первом приближении, как вы говорите. Впрочем, если на одиночную клетку через электрод, введенный в клетку, подавать многократно раздражение, то картина меняется. Но это, может быть, и не характерно для клетки, которая работает совместно с другими в нормальных условиях.
      Я. Как много в физиологии всегда оговорок!
      Он. Так это же вам не мясорубка, где десяток деталей и сразу видно, что будет, если быстрее крутить ручку!
      Я. Это я уже давно понял, вы ломитесь в открытую дверь. Принцип работы мясорубки давно понят. А в физиологии не поняты принципы, по-этому-то меня она занимает. Так вот, именно из-за разброса в латентных периодах и в количестве и конфигурации ответов разных клеток меняется форма всего ответа на раздражение, а не только первичный ответ. Не так ли?
      Он. Да, так. Но вследствие интенсивной самопроизвольной деятельности клеток мозга имеется значительный фон, который виден, когда нет раздражения. «Хвост» суммарного ответа на раздражение теряется в этом фоне, его невозможно выделить.
      Я* Почему же невозможно? Я как раз думаю, что это возможно. Рассуждение тут очень простое. Фоновая активность — это результат собственной активности мозга. Если предположить, что процессы собственной активности разных клеток или их групп независимы или слабо связаны, то можно считать далекие отрезки такого процесса тоже не-Узависимыми. А это означает, что, если взять, ска-жем, сотню таких отрезков, наложить друг на дру-га и просуммировать, должен получиться почти нуль.
      Он. Опыты с фоновой активностью делались. Там есть определенные периодические процессы. Вы же знаете, что есть альфа-ритм, бета-ритм, гамма-ритм.
      I Я. Но эти процессы как будто медленны по сравнению с изучаемыми нами ответами?
      Он. Да, довольно медленные.
      Я. Поэтому можно рассчитывать на успех?
      Он. Кажется, вы можете предложить какую-то программу?
      Я. Давайте попробуем извлечь информацию о поведении «хвоста» — ответа на световой импульс — посредством статистической обработки группы, скажем, из сотни вызванных ответов. Мы их запишем, затем сопоставим начала ответов (или моменты подачи раздражения!*, а затем сложим. Компонента самопроизвЬльнойтрости при этом в основном будет тоже наука вызвавшая активность сохранится. Это радиофизике прием выделения слабого сигнала на фоне шума.
      Он. Как провести опыты, я себе представляю. А вот как их все обработать? Это же очень трудоемкий процесс!
      Я. Да, вручную дело не пойдет. Но здесь можно использовать уже имеющуюся технику перевода непрерывных кривых в дискретные цифровые данные и произвести обработку на электронной вычислительной машине.
      Он. Давайте так и сделаем, это заманчиво.
      Мы провели необходимую работу и получили интересные результаты. Я не буду здесь об этом подробнее рассказывать. Самое важное достижение было не в результатах. Мы не только стали понимать друг друга, но и смогли совместно работать. Смогли сформулировать ближайшую задачу: выяснить, на какие параметры светового сигнала реагирует мозг. Физиологу помог математик, указавший метод извлечения информации из наблюдений. Дело оказалось вовсе не в формулах, а в идеях и методах.
      Это был только первый этап совместной работы, и я далек от того, чтобы переоценивать полученные нами тогда результаты.
      Следует заметить, что в действительности задача состоит не только в изучении параметров сигнала, на которые реагирует зрительная система, — проблема значительно сложнее и глубже. Сейчас уже понято: прежде чем начать обработку сигналов, «система должна знать», зачем это надо. Только тогда она сможет разумно выбрать параметры, на которые следует реагировать, и лишь при этом принятый сигнал будет нести полезную для системы информацию, а не являться каким-то шумом.
      В то же время живому организму приходится решать весьма разнообразные задачи, и, по-видимому, ему приходится перестраиваться в зависимости от задачи. Позже я еще коснусь этого важного круга вопросов.
     
      Забытый разговор с инженером-радистом
      Этот разговор был давно. Я о нем вспомнил случайно, наткнувшись на старые записки.
      Ко мне пришел квалифицированный инженер — специалист по приемной аппаратуре. Он прекрасно умеет придумывать нужные конструкции, как говорят, «чувствует схему». Математически он тоже неплохо образован: мы с ним познакомились, когда он начинал учебу в аспирантуре, а я обучал аспирантов математике и учился у них радиотехнике.
      Он. Не могли бы вы мне помочь вычислить один интеграл?
      Я. Покажите. Ого! Откуда вы взяли такую длинную и сложную формулу?
      Он. Такая получилась.
      Я. Может быть, вы ошиблись в выкладках?
      Он. Нет, я много раз проверял, и все время получается вот такой же сложный интеграл. Справочники не помогают, там таких интегралов нет.
      Я. Знаете, я забыл, чем вы занимаетесь.
      Он. Изучаю помехоустойчивость системы «фильтр — линейный детектор — фильтр».
      Я. Да-да, это очень интересная тема. А при решении какой конкретной задачи у вас появился такой мухобойный интеграл?
      Он. Вы не верите, что получилась такая формула? Пожалуйста, я принесу сейчас все выкладки, проверьте сами.
      Я. Нет, не надо, почти верю. Но не верю, что вы делаете то, что нужно. Таких сложных формул в этой теории не должно быть.
      Он (обиженно). Что значит — не должно быть? Так получается, если рассматривать идеальный линейный детектор. Я по вашему же совету заменил характеристику реальной лампы на идеальную.
      Тут я вспомнил, что действительно месяца за два до этого разговора он приходил ко мне с просьбой указать удобную аналитическую формулу, график которой был бы близок к характеристике идеального линейного детектора. Я, не вникая в существо задачи, предложил ему воспользоваться функцией, представленной на рисунке 3. И вот теперь стало очевидно — мой совет привел к серьезному осложнению.
      Я. Не обижайтесь, тут я, кажется, перед вами виноват. Давайте разбираться в задаче по существу. Какую же вы решаете задачу?
      Он. На вход системы «фильтр — детектор — фильтр» поступает узкополосный сигнал совместно с шумом. Надо вычислить отношение сигнала к шуму на выходе.
      Я. Предположим, что вы уже вычислили отношение сигнала к шуму. Ну и что?
      Он. Как это — ну и что?
      Я. Что вы с этим отношением будете делать?
      Он. Постараюсь его увеличить.
      Я. Вот это уже дело. Если я правильно понял, то задача, которая вас интересует, состоит в выборе тех значений параметров системы, при которых отношение сигнала к шуму будет возможно больше. Верно?
      Он. Да.
      Я. А что можно изменить в системе, какие параметры в вашей власти?
      Он. Если считать фильтры заданными, то можно менять только характеристику детектора.
      Я. Ас какой точностью можно реализовать эту характеристику в действительности?
      Он. Мне бы хотелось решать задачу в общем виде.
      Я. Но как вы поступаете практически? Ведь система у вас уже работает? И надеюсь, успешно давит помехи.
      Он. Конечно, работает. Детектор — это одна лампа. В схеме имеются два потенциометра; изменяя сопротивление, можно менять характеристики. А затем их просто подбирают.
      Я. А что вы понимаете под словами: «Решать задачу в общем виде»?
      Он. Надо написать общие формулы.
      Я. Эти формулы должны зависеть от ваших исходных параметров. И если вы не можете задать абсолютно точно исходные данные, то какой толк от абсолютно точной формулы?
      Он. Но это же пойдет в диссертацию, а там нужна теория, иначе скажут, что это недиссертабельно.
      Я. И только ради этого вы вычисляете интегралы?
      Он. Если бы мне не надо было писать диссертацию, то я небось не стал бы это изучать — некогда, как всегда, разбираться в деталях. Но на самом деле, если иметь удобные формулы, можно увидеть, что от чего зависит, и построить систему с лучшими параметрами. А это может значительно повысить помехоустойчивость системы.
      Я. Значит, и от теории может быть польза?
      Он. Если будут простые соотношения, то будет польза.
      Я. Тогда стоит повозиться. Скажите все-таки, с какой точностью можно реализовать характеристику детектора?
      Он. Ну, скажем, один процент.
      Я. А если «без запроса», по-честному?
      Он. Я думаю, мы обеспечиваем точность лишь в пять процентов.
      Я. Вот это уже похоже на правду. А каков у вас интервал изменения входных напряжений?
      Он. Теоретически — бесконечность, если предполагать, что шум имеет нормальное распределение.
      Я. Теория теорией, а как на самом деле?
      Он. А практически не бывает напряжений, выходящих за границы от минус одного до плюс одного вольта.
      Я. Это уже конкретнее. Давайте сформулируем теперь задачу. Надо подобрать характеристику попроще для детектора в интервале от — 1 до +1 вольта такую, чтобы она была похожа на уголок, представленный на рисунке 3, и обеспечивала в этом интервале точность приближения не менее пяти процентов. Я думаю, что здесь можно обойтись многочленом невысокой степени — скажем, четвертой или шестой.
      Он. О! Тогда все выкладки были бы значительно проще и соотношения между параметрами бы-, ли бы вполне обозримы.
      Я. Конечно.
      Он. Но я как-то побаиваюсь возражений моего шефа по аспирантуре — он скажет, что это выглядит слишком примитивно.
      Я. Скажите, вы далеко живете от института? Сколько времени вы тратите на дорогу?
      Он. Я живу в центре, на дорогу уходит минут 40 — 50. А что?
      Я. Вот вы специалист по микросекундной технике, а смогли бы вы измерить это время с точностью до микросекунды?
      Он. Да. Но от этого мало толку — ведь день на день не похож: то приходится долго ждать троллейбуса, то завозишься дома, то еще что-нибудь. Зачем же измерять с такой точностью?
      Я. Да и мне думается, что ни к чему, хотя принципиально это возможно. Аналогия с вашей задачей здесь полная.
      Он. Да, понял... Так какой же взять многочлен?
      Я. Хорошо, я посчитаю, зайдите через пару часов.
      Соответствующий многочлен был без большого труда подобран. Его график показан на рисунке 4. Но дело, конечно, не в конкретном многочлене, а в общем подходе к подобным задачам.
      Этот разговор и ряд аналогичных помогли мне выработать важное правило: консультируя специалистов других областей науки, математик должен разбираться в их задачах по существу, а не просто отвечать на задаваемые ему вопросы.
     
      Еще несколько слов к вам, читатель
      Вы стали свидетелем и, я надеюсь, участником разговоров математика с биологом и инженером. Позже вы познакомитесь с диалогами со специалистами в других областях. Все эти люди нуждались в помощи со стороны математики. Но эту помощь, как и саму математику, они представляли себе по-разному. Наши точки зрения на математику и возможности ее использования в прикладных науках не совпадали.
      Теперь я постараюсь рассказать о самой математике, свести воедино многое из того, что я рассказывал своим друзьям — нематематикам.
      У нас зачем-то широко используют слова: образцово-показательный, высокоидейный, научно-популярный. Как будто может быть образцовое предприятие не показательным, а литературное произведение — среднеидейным или антинаучно-популярным.
      Я постараюсь рассказать о математике понятно, популярно. Это будет не курс математики, а фрагменты, наброски идей и методов, маленькие рассказы. Здесь ничего не будет доказываться, и читать это можно без бумаги и авторучки. Мне хочется показать картину развития этой науки, показать, чем и как сейчас занимаются математики. Конечно, мне не удастся рассказать обо всем, что есть в математике. Но я постараюсь коснуться весьма различных и внешне совсем не связанных между собой математических теорий и их применений.
      Читатель любит проявлять самостоятельность и читать книгу не по порядку. Кое-какие разделы в книге все-таки опираются на предыдущие, и если вы будете что-то не понимать, не прочитав предварительно предыдущее, то не сердитесь и вернитесь немного назад.
      Если же вам покажутся неинтересными какие-то затронутые здесь проблемы, не швыряйте сразу книгу в угол, полистайте ее дальше, и, быть может, что-то другое вас заинтересует.
     
      Что вы думаете о математике?
      В школе в основном любят не науки, а учителей. Недавно я читал лекцию для абитуриентов, поступающих в один из вузов технического профиля. Собралось человек пятьсот. На вопрос: «Кто из вас любил в школе математику?» — подняли руки человек двести. На вопрос: «Кто любил в школе учителя математики?» — подняли руки тоже 150 — 200 человек. Но когда я попросил поднять руку тех, кто в школе любил математику, но не любил учителя математики, то из 200 любителей математики подняли руки лишь четверо!
      Большинство окончивших школу, а подчас и вуз, где «проходили» небольшой курс высшей математики, впоследствии не только забывают почти все детали, но часто и сами математические методы. Они с трудом могут объяснить, что же осталось от курса математики, какую пользу он им принес*. Они помнят в основном несправедливые оценки, смешные, трогательные или драматические события во время занятий, наконец, теоремы, доставившие им наибольшие неприятности.
      * Наверное, было бы очень интересно, особенно в связи с перманентными перестройками учебных планов и программ, провести широкую выборочную проверку по всем наукам, выяснить, что же осталось в памяти от школьных наук у лиц, окончивших школу 5, 10, 15 лет назад, чем они владеют, что, по их мнению, принесло им большую пользу и что было совершенно бесполезно или даже вредно.
      Когда в нашем институте составляли новый учебный план по специальности «Автоматизация производственных процессов», то опросили ряд лиц, работающих в организациях, куда направляют инженеров, оканчивающих по этой кафедре.
      Опрашиваемые должны были оценить по трехбалльной системе нужность или бесполезность профилирующих курсов и некоторых разделов из общетехнических предметов. Собранный материал был обработан по современному методу изучения сложного анкетного материала. (Кое о чем подобном я расскажу позже в главе «Инженер Ягодинец выбирает место работы».) На основании проделанной работы составили новый учебный план, в котором пришлось изъять многие разделы и даже отдельные дисциплины и добавить новые. В частности, в курс высшей математики добавлены новые разделы, а сам курс увеличен с 500 до 750 часов.
      на трата драгоценного времени на задачи о переливании воды из одного бассейна в другой? Это время можно использовать значительно лучше! Зачем определять сложным способом третью сторону треугольника по двум другим и углу между ними? Во-первых, проще отложить на бумаге угол и известные стороны и затем измерить линейкой неизвестную, и, во-вторых, это вообще никогда и никому не нужно»... и т. д.
      Вторая — отражает священный трепет. «Математика?.. Ох!.. Это что-то очень сложное и трудное, заумное и недоступное простому смертному. Только избранные — таланты и гении — этим могут заниматься, задавать друг другу какие-то сверхъестественные задачи и даже находить их решения».
      Однако и те и другие уверены, что математика состоит из алгебры, геометрии и тригонометрии и, быть может, из какой-то высшей математики, причем последняя рисуется в образе бесчисленных формул — таинственных или дурацких, в зависимости от того, второй или первой точки зрения на математику придерживается опрашиваемое лицо.
      Арифметика к математике обычно не относится, она как-то связана с ранним детством и столь же банальна, как азбука, чистописание и детские болезни.
     
      Что такое математика?
      Все школьные науки меняются с течением времени: мои родители писали «ять» и «фиту», в их школе не упоминались имена Маркса и Ленина, Резерфорда и Эйнштейна, Горького и Маяковского, Дарвина и Попова. А вот геометрию Эвклида, теорему Пифагора, формулы для решения квадратных уравнений и представление синуса суммы двух углов учили отцы, учат дети и будут учить внуки. Это создает впечатление неизменности, окостенелости математики, ее отточенности и завершенности.
      Представьте себе, как выглядела физика и астрономия в XVII веке, до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения и законов движения — знаменитых трех законов Ньютона, — до открытия электричества и электромагнитной индукции, до Кулона, Вольта, Ампера и Фарадея.
      Еще легче биологу или химику составить представление о химии XVII века, до Ломоносова и Лавуазье, о биологии и медицине до микроскопа Левенгука.
      Но ученые XVII века фактически знали все, что написано в школьных учебниках геометрии и алгебры, и даже значительно больше, а многие сведения, содержащиеся в этих учебниках, по существу, были известны Эвклиду в III веке до нашей эры.
      Угнетающая древность школьной математики, традиционной, как религия, и является отправной точкой для вывода о завершенности и окостенелости математики.
      Но как это далеко от действительности! За последние 300 лет, и особенно за последнее столетие, математика бурно развивается. И я постараюсь показать, что математика — это совсем не то, что подчас в выхолощенном и нудном виде преподносится школьникам.
      Итак, начнем с вопроса: «Что такое математика?»
      Можно привести философское определение математики, данное Энгельсом: «Математика — это наука,
      имеющая своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира», — или воспользоваться афоризмом крупнейшего немецкого математика конца XIX — начала XX века Давида Гильберта: «Математика — это то, что под этим понимают компетентные люди». Однако для действительного понимания содержания всякой науки нужно хотя бы грубо очертить сферу ее влияния, очертить ее предмет и ее метод.
      Мне не удастся в этой небольшой книжке рассмотреть отдельно и достаточно подробно предмет и метод математики, хотя математический метод — это то главное, о чем мне представляется нужным здесь рассказать. Но и предмет математики, как будет видно, также представляет определенный интерес для всякого естествоиспытателя.
     
      Небесполезный исторический экскурс
      На заре развития человечества возник счет, а потребности обмена, торговли, дележа добычи и продукции привели к развитию арифметики.
      Где-то во тьме веков зародилась и геометрия — землемерие. Однако уже около двух с половиной тысячелетий назад трудами геометров Древней Греции геометрия полностью оторвалась от землемерия и обратилась в науку о пространственных отношениях и формах тел.
      Теперь геометрия строится уже на базе некоторых аксиом или постулатов — отправных положений, принимаемых без доказательств, и теорем-заключений, выводящихся из аксиом последовательным, дедуктивным образом. Она создана столь безупречно и совершенно, что более двух тысячелетий (вплоть до начала XIX века) в ее основы не вносится никаких изменений.
      Более сложные задачи торговли и промышленности приводят к необходимости решения уравнений, куда вводятся уже буквенные обозначения. Так возникает алгебра — в то время наука об уравнениях. Еще в древности умели решать уравнения первой степени и надоевшие нынешним школьникам квадратные уравнения.
      Человечество тратит огромные усилия на решение уравнений более высокой степени, и лишь в XVI веке удается решить уравнения третьей и четвертой степеней.
      Еще три века люди трудятся над решением уравнений степени выше четвертой, но совершенно безуспешно.
      Ниже я коснусь более подробно этой проблемы и расскажу о ее драматической истории.
      Потребности развития самой математики приводят знаменитого философа, естествоиспытателя и математика Рене Декарта в середине XVII века, а точнее — в 1637 году, к объединению алгебры и геометрии, к использованию алгебраических методов в геометрии. Так создается аналитическая геометрия, в которой прямые, плоскости, окружности и другие кривые и поверхности задаются уравнениями в прямоугольной, или, как ее еще называют, декартовой, системе координат.
      На рисунке 5 представлены прямая и окружность радиуса г с центром в начале координат и их уравнения в декартовой системе координат. Позже нам нужно будет подробнее поговорить о системах координат, так как они понадобятся в дальнейшем.
      Первым шагом вперед математики, топтавшейся много веков на месте, было создание аналитической геометрии. Конец XVII века, знаменующийся развитием астрономии, геодезии, механики, физики, приводит гениального англичанина Исаака Ньютона и независимо от него великого немецкого ученого Готфрида Вильгельма Лейбница к созданию дифференциального и
      интегрального исчисления — основного математического аппарата классической физики. А развитие дифференциального и интегрального исчисления привело, в свою очередь, к разработке дифференциальных и интегральных уравнений математической физики.
      Эти новые главы математики, объединенные в один раздел «Математический анализ», помогли физике, механике, химии и смежным с ними дисциплинам завоевать так много побед, что перечислить их просто невозможно. Здесь все: движение машин и механизмов, снарядов и автомобилей, самолетов и ракет, электричество и радио, спектральный анализ и прогноз погоды — словом, все, что нас окружает, обязано успехам математического анализа.
      Ну, а геометрия? В начале XIX века после триумфа аналитической и дифференциальной геометрии можно было подвергнуть анализу сам фундамент геометрии — ее постулаты.
      Взялся за это Николай Иванович Лобачевский, великий русский математик. Он критически пересмотрел систему геометрии Эвклида и, в частности, исключил из нее знаменитый пятый постулат о параллельных линиях. Пятый постулат гласит: «Через точку на плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести к этой прямой лишь одну параллельную». Н. Лобачевский заменил в этом постулате утверждение об одной параллельной прямой к данной на предположение о возможности через такую точку провести по крайней мере две параллельные.
      Может быть, вам представляется такая замена недостаточно обоснованной или, более того, вовсе бессмысленной? Она же явно противоречит вашей интуиции, вашему опыту... Но не будем предавать анафеме создателей неэвклидовой геометрии. Нашим предкам тоже было трудно поверить во вращение Земли, а многим нашим современникам непонятно до сих пор, почему в совершенно закрытой комнате никуда не подключенный транзистор издает порой вполне членораздельные звуки.
      Интуиция опирается на наши наблюдения. А наблюдаем мы практически параллельность на весьма малых кусках плоскости. Поэтому не так уж очевидно, что произойдет, если предположить прямые продолженными в бесконечность в обе стороны.
      Эта теория, получившая название неэвклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского, была не понята почти всеми его современниками. Однако позже она породила другие «неэвклидовы геометрии» и, главное, оказалась той математической базой, на которую опирались в начале XX века исследования реального физического пространства. Эти исследования завершились созданием Альбертом Эйнштейном знаменитой теории относительности.
      Следует заметить, что примерно одновременно с Н. Лобачевским идеи о недоказуемости постулата Эвклида о параллельных линиях и построении геометрии на новой основе были разработаны венгерским лейтенантом Яношем Бояи. Впрочем, великий Гаусс в письме к отцу Яноша писал, что еще ранее он размышлял об этих проблемах и построил основы неэвклидовой геометрии, но не хотел публиковать при жизни столь революционные и сенсационные результаты.
      Рождению неэвклидовой геометрии и нелегкой судьбе ее создателей посвящено немало работ. Можно указать, например, на содержательную и интересную книгу В. Смилги «В погоне за красотой», выпущенную в 1968 году в той же серии, что и данная (особенно хороши авторские рассуждения по самым разным поводам). Поэтому я не буду на этом подробно останавливаться.
      Многие математические дисциплины, которые я не буду перечислять, развились из потребностей самой математики, но впоследствии оказались весьма полезными физике, технике и естествознанию. В частности, математическая логика, возникшая вследствие необходимости построения математики на твердой и непротиворечивой логической основе, сегодня служит аппаратом для построения теории цифровых вычислительных машин и вообще является одной из существенных частей математического аппарата кибернетики.
      Дальнейшее развитие алгебраических теорий, установление глубоких связей алгебры с математическим анализом привело за последние три десятилетия к колоссальным успехам так называемого функционального анализа, который был определен одним из создателей современного функционального анализа — советским математиком И. Гельфандом, как математический аппарат современной физики.
      Следовало бы остановиться на развитии многих и многих математических теорий, но это заняло бы слишком много места. Поэтому поговорим более подробно лишь о некоторых.
     
      Фигуры на резиновой пленке
      Начнем с навязшего в зубах треугольника. Когда изучают какие-нибудь объекты, то либо отыскивают их общие черты, либо, наоборот, стараются понять, чем они различаются.
      Что же общего у двух треугольников, изображенных на рисунке 6?
      Пожалуй, лишь то, что оба они треугольники, то есть у них есть три угла, образованных отрезками прямых. Из этой их общности вытекает множество общих свойств: сумма их внутренних углов равна двум прямым; их площадь выражается как половина произведения любой из их сторон на соответствующую высоту. Впрочем, вы, наверное, сами помните огромное количество теорем о треугольниках из школьного курса.
      Ну, а что общего у фигур на рисунке 7? Они составлены из отрезков прямых, у них нечетное число вершин — вот, кажется, и все. Ну, а фигуры, изображенные на рисунке 8? Хотя они чем-то и похожи одна на другую, сформулировать их общие свойства уже труднее.
      Вернемся к треугольнику. На рисунке 9 от треугольника отсечен подобный треугольник, то есть имеющий такие же углы. Эти две фигуры, кроме общих свойств всех треугольников, обладают еще и тем, что они подобны. А что это значит?
      Возьмем кусок тонкой плоской резины и нарисуем на ней эти подобные треугольники (рис. 10). Если резину равномерно растянуть во все стороны, то треугольники хотя и изменятся, но останутся подобными (рис. 11). Таким образом, подобие — это свойство, которое сохраняется при равномерном растяжении. Но если кусок резины окажется неоднородным или если его растягивать неравномерно, например, натягивать на барабан, то треугольник может оказаться и таким, какой показан на рисунке 12. Он состоит уже не из прямых линий, но что-то общее между ним и его предшественниками есть. Это «что-то», конечно, интересно выяснить.
      Действительно, фигуры рисунка 12 — это какая-то карикатура на четкие треугольники рисунка 10, но у них есть вершины, и треугольники не налезли один на другой. А что, если на этой пленке нарисовать две амебообразные фигуры: одну сплошную, а другую с дыркой внутри (рис. 13) и натянуть резину опять на барабан (рис. 14)? «Амебы» останутся «амебами», но и дырка сохранится; никаким натяжением без разрывов от нее не избавиться.
      Теперь, после наблюдений, надо понять, что же есть общего во всех таких преобразованиях резиновой пленки.
     
      Математика и искусство
      Математика, подобно искусству, подмечает явления в реальной жизни, объединяет аналогичные события, процессы и факты, обобщает их.
      Замечательный актер и художник, народный артист СССР Сергей Владимирович Образцов на творческом вечере показывает кукол. Собачки, кошки, львы и зайцы обобщают какие-то смешные, трогательные или скверные свойства людей. Затем кукол сменяют обыкновенные шарики на пальцах или просто пальцы. И с помощью этих совсем простых средств С. Образцов, подчеркивает что-то главное в поведении и характерах людей, в их отношениях. Тут искусство, подсказав аналогию, останавливается и говорит зрителям: остальное додумывайте сами.
      А у математика, подметившего после наблюдения, подчас длительного и нелегкого, что-то важное, общее, характеризующее целый класс явлений, работа только начинается. Ему надо точно сформулировать, какие же свойства его заинтересовали; создать соответствующую умозрительную схему и полностью ее изучить, а потом проверить, соответствует ли созданная теория действительности.
     
      Непрерывные преобразования
      В предыдущем примере мы обнаружили, что при преобразованиях плоскости, подобных произвольным растяжениям резиновой пленки, какие-то свойства фигур сохраняются. Математик называет такие преобразования непрерывными. Это означает, что очень близкие точки после преобразования переходят в близкие же точки, а линия (ниточка) переходит в линию. Довольно очевидно, что две пересекающиеся линии и после такого преобразования будут пересекаться, непересекающие-ся — не пересекаться, а фигура с дыркой не может перейти в фигуру без дырки или с двумя дырками, так как для этого потребовался бы какой-то разрыв, склеивание, нарушение непрерывности.
      Так начинается топология — наука, изучающая свойства геометрических фигур, не меняющиеся при непрерывных преобразованиях.
      Какая разница между шариком и бубликом (р!ис. 15 и 16)? И что общего у огурца и шарика (рис. 17 и 18)?
      Ясно, если огурец резиновый, то его можно, непрерывно раздувая, преобразовать в шарик и нельзя — в бублик. Но бублик — это то же, что и шарик с ручкой (рис. 19) или пудовая гиря.
      Вернемся к преобразованиям на плоскости.
      Нарисуем кошку (рис. 20) и пересечем ее какой-нибудь прямой (рис. 21). Если равномерно сжать к этой прямой всю фигуру, то получится тоже кошка, но более откормленная. Заметим, что при этом переместятся все точки фигуры, кроме точек нашей прямой. Последние останутся на месте. Возьмем теперь внутри фигуры произвольную точку 0 и повернем вокруг нее кошачью фи-гуру (рис. 22). При этом преобразовании лишь точка О останется на месте, а все остальные переместятся. Теперь преобразуем кошку, приняв точку 0 за центр подобия. Вдоль разных лучей, проходящих через точку О, будем сжимать фигуру с различным коэффициентом сжатий. На расунке 23 показано такое преобразование вокруг другой точки, также обозначенной 0, с коэффициентом сжатия
      где q — угол между направлением соответствующего луча и горизонтальной прямой. Получилась какая-то карикатура на нашу кошку. При этом все точки переместились, и лишь точка 0 осталась на месте.
      Параллельно сдвинем теперь эту карикатуру в другое место (рис. 24), но так, чтобы вся она осталась внутри исходной фигуры.
      Два последовательно проведенных преобразования: неравномерное сжатие и параллельный сдвиг — можно рассматривать как единое преобразование этой кошки внутрь себя.
      Как вы думаете, читатель, при этом преобразовании осталась ли на своем месте хотя бы одна точка или все точки заняли новые положения?
      Возьмем теперь резиновую пленку, растянем ее в разных направлениях по-разному, так сказать, как придется, и нарисуем на этой растянутой пленке все ту же кошку. Затем отпустим пленку, предоставив резине принять первональное нормальное положение. При этом кошка вся сожмется, окажется внутри исходной и примет какой-то невообразимый вид (рис. 25).
      Думается, читатель, вы согласитесь с тем, что при этом сложном преобразовании все точки исходной кошки заняли новые места и ни одна не осталась неподвижной. Во всяком случае, лица, которых я опрашивал, это мнение отстаивали с большой настойчивостью.
      Однако наша интуиция здесь нас подводит: утверждение о перемещении всех точек фигуры на новые места ошибочно. В действительности верно противоположное утверждение: при любом непрерывном точечном преобразовании такой фигуры внутрь себя по крайней мере одна точка остается неподвижной *.
      Эта знаменитая теорема Боля — Брауэра о неподвижной точке получена в начале XX века. Она играет важную роль во многих вопросах топологии и математического анализа, особенно при исследовании движений динамических систем.
      Удивительная поверхность
      Механико-математический факультет Московского государственного университета недавно, следуя моде, принял эмблему факультета — маленький значок. (Его увеличенный набросок вы видите на рис. 26.) Здесь изображены координатная сетка, интеграл и перекрученная полоска — лист Мёбиуса. Что же это за лист?
      Возьмем бумажную полоску и склеим ее концы: получим цилиндр. На наружной стороне такого цилиндра можно провести горизонтальные линии, а на внутренней — вертикальные (рис. 27). Проделаем небольшой мысленный опыт.
      Пустим обыкновенного муравья ползти по наружной части поверхности этого цилиндра, запретив ему перелезать через край. Пусть он, например, движется вдоль линии, нарисованной посередине. Спустя некоторое время он вернется в ту же точку, из которой вышел
      * Речь идет о фигурах, которые могут быть получены посредством непрерывного преобразования из круга. Аналогичная теорема верна и для объемных фигур, которые могут быть получены путем непрерывного преобразования из шара.
      Рис. 27
      (подобно кораблям Магеллана, совершившим кругосветное путешествие).
      Крыша, шляпа или автомобильная камера имеют, как вы знаете, наружную и внутреннюю стороны. И кажется несомненным, что любая поверхность должна также иметь две стороны, мы их часто называем наружной и внутренней сторонами. Действительно, как же может быть иначе?
      Давайте теперь склеим ту же полоску (обозначим ее ABCD), полуперевернув ее концы, то есть точку А склеим с точкой D, а точку В с точкой С (рис. 28 — 30). Если наш муравей совершит то же самое путешествие по продольной линии, то вы будете удивлены, обнаружив муравья в исходной точке, но кверху ногами!
      Если мы попытаемся закрасить стороны получившейся поверхности разными красками, у нас ничего не выйдет: эта поверхность имеет всего лишь одну сторону! И наше несомненное утверждение оказалось неверным.
      Эта новая фигура и есть знаменитый лист Мёбиуса, открытый в 1858 году, когда Мёбиусу было 68 лет (в противоречие с распространенным мнением, что крупные открытия математики делают только в молодости). Лист Мёбиуса обладает и другими непривычными свойствами.
      Если у цилиндра два края — верхний и нижний, то у листа Мёбиуса всего один край.
      Если разрезать цилиндр (рис. 27) вдоль по средней линии, по которой путешествовал муравей, то получится, очевидно, два таких цилиндра. А что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль по средней линии? Правдоподобны следующие ответы:
      1) получится два листа Мёбиуса;
      2) получится два цилиндра;
      3) получится один цилиндр;
      4) получится вновь один лист Мёбиуса;
      5) получится два зацепленных кольца.
      Выберите, пожалуйста, правильный, на ваш взгляд, ответ из пяти приведенных или предложите какой-нибудь новый. Теперь склейте лист Мёбиуса: на это вы затратите несколько минут — и не пожалеете. Разрежьте его по средней линии и посмотрите, те ли получились фигуры, какие вы ожидали? Затем полученные листы разрежьте еще раз по средним линиям. Едва ли после этого вы получите ожидаемые фигуры...
      Итак, богатство геометрических образов вовсе не исчерпано древнегреческими геометрами, и оно не ограничивается многоугольниками, конусами и пирамидами; это богатство бесконечно и по-прежнему интенсивно изучается и в наши дни.
      И еще. Казавшееся несомненным утверждение, что у каждой поверхности имеются две стороны, оказалось просто неверным. Следовательно, когда дотошные математики требуют проведения логически безупречных доказательств того или иного утверждения, они это делают не только для своего удовольствия, но и для проверки фактов, которые нам кажутся совершенно очевидными и которые при проверке оказываются иногда ошибочными.
      Граф
      Карта железных дорог страны или план улиц города представляет собой сеть из линий (рис. 31). Каждый отрезок линии соединяет две какие-то точки, которые называются вершинами. И если образ функции на чертеже ласково называют ее графиком, то для названия сети из точек и соединяющих их линий используют более торжественный термин — граф.
      План водопроводной сети города тоже граф, но он существенно отличается от плана улиц города: вода по трубам идет лишь в одном направлении. Если на ребрах (линиях) графа отметить стрелками направление движения воды, получится направленный, или ориентированный, граф (рис. 32). Впрочем, сейчас в больших городах на некоторых улицах введено одностороннее движение; если на плане таких улиц стрелкой указать направление движения транспорта, а на других улицах, где движение двустороннее, не ставить стрелки, то получим граф, который называют смешанным (рис. 33).
      Шахматный матч тоже можно представить в виде графа. Начертим на бумаге кружочки по количеству участников турнира и обозначим их теми номерами, какие присваиваются участникам в соответствии с жеребьевкой. Результат игры каждой пары — это ребро, соединяющее две соответствующие точки. При этом направление стрелки на ребре ставится от выигравшего к проигравшему. В случае ничьей — стрелка на ребре не ставится (рис. 34).
      Матч будет окончен, когда каждый кружочек будет соединен со всеми остальными. Такой граф называют полным. У лидера турнира будет наибольшее число исходящих стрелок. Если каждая пара участников играет две игры (белыми и черными), то провести придется по два ребра. На рисунке 34 показана ситуация, когда все участники, кроме четвертого и шестого, сыграли по две партии, а шестой и четвертый — лишь по одной. Пока лидером является второй игрок.
      Могут возникнуть подозрения, что точки пересечения ребер графа, не отмеченные кружочками, тоже должны что-нибудь означать. Нет, они ничего не означают, и для ликвидации недоразумений удобно представлять себе этот граф расположенным в пространстве: тогда его ребра — веревочки — не будут пересекаться. Обратите внимание: ребра графа вовсе не должны быть обязательно отрезками прямых линий Так, графы на рисунках 34 и 35 одинаковы в том смыс-ле, что один граф можно перевести в другой непрерывным преобразованием. В таких случаях математики говорят, что графы изоморфны.
      Впрочем, не всегда безразлично, может ли граф быть начерчен так, чтобы его ребра не пересекались. Например, монтажная схема радиоприемника представляет собой граф, вершинами которого являются радиодетали: сопротивления, конденсаторы, лампы и т. д., а ребрами — соединяющие их провода. Несущественно, пересекаются ли начерченные на листе бумаги ребра или не пересекаются: при фактической реализации схемы провода не будут пересекаться, и короткое замыкание предотвращается изоляцией проводов.
      Однако в последние годы широкое распространение получили печатные схемы. Печатная схема — это лист диэлектрика, на который нанесена металлизированная пленка в соответствии с монтажной схемой. При этом важно, чтобы вершины графа (схемы) можно было соединить непересекающимися линиями; в противном случае обеспечено короткое замыкание.
      Итак, бывают случаи, когда данный граф необходимо представить на плоскости в таком виде, чтобы его ребра пересекались только в вершинах. Если это возможно, то такой граф называется плоским.
      Можно указать метод, дающий возможность проверить, является ли как угодно нарисованный граф плоским или нет. (Как видите, это практически важная задача.)
      Организуя одностороннее движение по городу, ОРУД сталкивается с проблемой выбора направления движения на различных улицах. Эти направления надо выбрать так, чтобы не оказалось мест, в которые вообще нельзя проехать или из которых нельзя выехать. (Например, на рисунке 36 из пункта А в пункт В проехать можно, но из В в Л нельзя.) Естественно, возникает вопрос о таком выборе ориентации на улицах города, при котором из любого пункта можно проехать в любой другой, не нарушая правил движения, Эту задачу уже можно сформулировать как точную задачу о структуре ориентированного плоского графа.
      Впрочем, если бы ОРУД построил правила движения, лишь опираясь на эту теорию, то милиция подверглась бы нареканиям, ни в какое сравнение не идущим с теми обычными сентенциями в адрес милиции, которыми обмениваются шоферы-любители или бывалые пассажиры такси.
      В действительности задача организации движения в большом городе очень трудна, и она с каждым годом усложняется вследствие роста парка индивидуального и городского транспорта. И все же это математическая задача, тесно связанная с теорией графов, но не только с ней.
      Вы, конечно, неоднократно читали фельетоны о засылке купальных костюмов в Арктику или о встречных перевозках лопат из Рязани в Иркутск и точно таких же лопат из Иркутска в Рязань. Эти фельетоны иногда даже смешно написаны, но авторы, ругая головотяпов, предлагают лишь их строго наказать или уволить с позором. А как сделать лучше? Конечно, недобросовестные сотрудники сбытовых организаций путают и мешают, но в действительности не в них дело. Планирование перевозок, управление запасами — это сложнейшие задачи, и никакие отдельные сотрудники сбытовых или снабженческих организаций не в состоянии их решить.
      Теория графов в совокупности с некоторыми другими современными дисциплинами дает возможность решать такие задачи. Я сейчас поясню постановку транспортной задачи.
      Времена меняются, и, скажем, в городе Зурбагане, появлению которого мы обязаны фантазии Александра Грина, идет интенсивное строительство. Строятся одновременно школа, мореходный институт, шестнадцатиэтажный дом и порт. Близ города имеются три кирпичных завода. Но строящиеся школа, институт, жилой дом и порт находятся далеко друг от друга и на разных расстояниях от кирпичных заводов. И перед начальником снабжения Давенантом возникла проблема планирования перевозок кирпича. Нужно удовлетворить потребности строек и при этом минимизировать весьма значительные расходы на перевозку кирпича с заводов на стройки. Эту задачу решить можно, но для ее решения понадобятся и фантазия, и знания, и современная вы-
      числительная машина, если, конечно, число строек велико. Я только намечу путь решения задачи.
      Составим ориентированный граф, где три кирпичных завода обозначены цифрами 1, 2 и 3, стройки — буквами Ш (школа), И (институт), Д (дом), П (порт); ребра графа проведены с заводов на все стройки (рис. 37). Ребра помечены числами, означающими относительную стоимость перевозки тысячи кирпичей по указанному пути.
      Решение задачи теперь представляется очевидным: в школу следует доставлять кирпич с завода № 1, в порт — с завода № 2, стройка института может обслуживаться в равной мере заводами № 1 и № 2, а стройка дома — заводами № 2 и № 3. Похоже, что завод № 3 вообще можно закрыть и без него минимизировать стоимость перевозок.
      Но не все так просто бывает на самом деле. Представим себе, что кирпичные заводы № 1, № 2 и № 3 обладают разной производительностью, причем суммарное количество кирпича еле-еле удовлетворяет потребности строек. При этом именно завод № 3 обладает наибольшей производительностью, а завод № 2 — наименьшей. Подобные ограничения значительно осложняют задачу. Однако путем целесообразного перебора вариантов задача успешно решается, и результаты дают возможность не только обеспечить стройки кирпичом, но и минимизировать весьма значительные транспортные расходы.
      Замечу, что, если суммарное количество производимого кирпича не превосходит заметно потребности строек, планирование перевозок на глазок обычно приводит к перебоям в снабжении. А использование наилучшего варианта перевозок песка автотранспортом на стройки Москвы от речных портов, куда песок доставляют на баржах, лишь в течение года сэкономило огромные средства.
      Вот еще цикл задач, сводящихся к задачам из теории графов. Начнем с волнующей девушек задачи о замужестве. В поселке имеется несколько (т) холостых парней и несколько (п) девушек. Девушки — невесты разборчивые, а каждая считает не всех, а лишь нескольких парней приемлемыми для брака, а остальных — неприемлемыми. В каком случае возможно заключить браки так, чтобы каждая красавица имела приемлемого для нее мужа?
      Увы, число девушек не должно превосходить числа холостых парней (п.т), а это очевидное условие едва ли соответствует реальному положению, и это, конечно, сильно осложняет жизнь. Но этого мало. Если бы девушек было пять, все пять считали бы приемлемыми лишь первых двух парней, то задача была бы неразрешима.
      Но пусть девушек все же меньше, чем юношей, их вкусы и требования разнообразны (или они достаточно разумны и не добиваются невозможного) и нет принципиальных препятствий для замужества всех наших невест.
      Ситуацию иллюстрирует рисунок 38, где стрелы, пущенные девушками, указывают на их возможных избранников. Надо было бы всех молодых людей назвать благозвучными именами, но перенумеровать их проще. Возможно ли в нашей ситуации осчастливить всех девушек? Если первое число относится к девушке, а второе к парню, то можно, например, составить пять пар (1,1); (2,2); (3,5); (4,3); (5,6). При этом, как часто бывает в жизни, четвертый, на которого претендовало наибольшее число невест, остался холостым. Можно было бы поженить их и в других комбинациях. Конечно, мы не учитываем интересы парней, так же как и обычные неприятности вследствие ревности, тщеславия и других причин, портящих часто настроение, а иногда и жизнь.
      Когда число девушек и парней велико и их интересы сложным образом переплетаются, эту задачу, как вы знаете, решить не так-то легко. Но можно указать общие условия, обеспечивающие существование решения поставленной задачи. Я не буду вас обременять формулировкой соответствующей теоремы, но укажу на другую, менее драматическую модель той же ситуации.
      Представьте себе цех, где имеется п различных станков и т рабочих (nm), причем квалификация рабочих такова, что каждый станок может обслуживаться лишь некоторыми из рабочих. При каких условиях возможно обеспечить обслуживание всех станков? Решение этой задачи, как видно, эквивалентно задаче о выборе удовлетворительных браков.
      Некоторой модификацией описанной ситуации будет задача о назначении. Представьте себя ответственным за выполнение какого-то комплекса работ на предприятии, в министерстве или, на худой конец, дома. У вас есть подчиненные и столько же работ. При этом вам повезло: каждый из ваших сотрудников может выполнить любую из порученных работ. Однако одинаково быстро или качественно они делать это не смогут, и эффективность выполнения ими работ будет различна. Как вы распределите работы между подчиненными? Руководящая идея при этом следующая: распределить работников так, чтобы все они использовались с высокой эффективностью. Эта ситуация иллюстрируется рисунком 39. Обозначим через эффективность (в некоторых единицах) выполнения сотрудником с номером i работы с номером 1, так что, например, a2i означает эффективность выполнения вторым сотрудником четвертой работы. В качестве оценки эффективности работы всего коллектива сотрудников можно взять, например, сумму эффективностей. Тогда для ситуации рисунка
      эффективность=«12+024+031 + а43.
      Теперь можно ставить задачу выбора наиболее эффективного распределения работ между сотрудниками. Для ее решения можно рассмотреть все варианты распределения работ по сотрудникам и выбрать тот, который обеспечивает наибольшую эффективность. Это не самый быстрый путь, но он наверняка приведет к цели.
      Можно было бы и иначе оценить эффективность работы сотрудников, считая в качестве оценки эффективности работы группы наименьшую из эффективностей. Это, так сказать, обстановка, когда желательно наилучшим способом использовать даже самого слабого работника. Тогда задача распределения сотрудников по работам — это, так сказать, обстановка широко распространенной в школе, а подчас и в вузе, заботы об отстающих. Например, так выглядит экзамен без вытягивания счастливых и несчастливых билетов, когда экзаменатор, хорошо зная возможности своих учеников, сам раздает вопросы и заботится лишь о наименьшем количестве провалов. Тогда задача распределения людей по работам формулируется иначе: распределить работы между сотрудниками так, чтобы наименьшая из эффективностей в группе была бы наибольшей из возможных. Посмотрим, что это означает в терминах графа, изображенного на рисунке 39. Предположим, что «31 — наименьшая из эффективностей на этом графе. Можно было иначе распределить работы и вместо эффективностей O12; «24; o3; о43 получить, например, ои; о2з; о32; «44. Если среди этих четырех чисел наименьшим будет 044, и при этом а44 больше, чем а3ь то второе распределение работ предпочтительнее первого. Перебирая все возможные распределения работ, следует выбрать такое расположение стрелок, при котором наименьшее из чисел — эффективностей — в этой группе стрелок было бы наибольшим из всех возможных.
      Сейчас теория графов широко применяется в разных областях науки и техники, в частности, в так называемом сетевом планировании. У меня было большое желание написать раздел о сетевом планировании, разобрав в качестве примеров приготовление обеда, защиту дипломного проекта или ремонт квартиры. Но, трезво оценив обстановку, я воздержался. Дело в трм, что по этому поводу уже немало сказано. Выпущены серьезные, популярные и полупопулярные статьи, книги и брошюры, разосланы инструкции по применению и обязательному использованию сетевого планирования. Грамотные люди, использующие метод не где и как попало, а где это целесообразно и так, как надо, достигли успехов, и кое-где даже очень значительных. Например, в Челябинске при сооружении блюминг-автомата использование сетевого планирования привело к улучшению орга-. низации работ и сокращению сроков их выполнения с 24 месяцев по плану до 15 месяцев. В Донецке одна из строительных организаций, пользуясь сетевым планированием, построила школу на 960 учащихся за 3 месяца вместо обычных 9 месяцев, которых тоже не всем строителям хватает на постройку такой же школы.
      Поэтому я счел за лучшее использовать отпущенные мне страницы для разговора о менее известных проблемах.
     
      Числа и точки
      Для дальнейшего мне понадобятся некоторые самые элементарные понятия аналитической геометрии. Я прошу прощения, читатель, за это упоминание, но вдруг вас в школе плохо учили или вы забыли начисто школьный курс. Не волнуйтесь — ваши знания не понадобятся, нужны только некоторые ассоциации. Но если вы помните элементы аналитической геометрии, то лишь просмотрите этот раздел.
      Вдоль автомагистрали стоят столбы, на которых указаны расстояния в километрах от начального и конечного пункта дороги. Эго способ задания положения точки на линии (не обязательно прямой) посредством чисел (рис. 40).
      Выше было упомянуто о способе задавать положение точек на плоскости с помощью декартовых прямоугольных координат.
      Подобным же образом на любой поверхности положение точек может быть задано числами.
      Когда легендарному капитану Немо надо было определить положение «Наутилуса» на поверхности океана, то он вычислял долготу и широту.
      Нарисуем на резиновой пленке декартовы координаты — прямоугольную сетку с шагом единичной длины. Чтобы попасть из одной точки сетки в другую, двигаясь по линиям сетки (рис. 41), надо пройти сначала по сплошной «улице», а затем по пунктирной. Впро-
      чем, можно было бы идти сначала по пунктирной «ули* це», а затем по сплошной — дела это не меняет.
      Деформируем теперь пленку с помощью произвольного непрерывного преобразования. Получившаяся криволинейная сетка также будет системой координат: здесь для путешествия из одной точки сетки в другую надо, как и прежде, пройти по сплошной, хотя и не прямой «улице», а затем по пунктирной (рис. 42).
      Аналогично обстоит дело и в пространстве. Для указания местоположения висящей лампы надо указать три числа: например, расстояния от двух перпендикулярных стен до места, где шнур спускается с потолка, и длину шнура (рис. 43).
      Это декартовы прямоугольные координаты в пространстве.
      Если же капитану Немо нужно было узнать положение «Наутилуса» в пространстве, то, кроме долготы и широты, он определял еще и глубину погружения. Эти три числа — тоже координаты в пространстве.
      В астрономии принято положение небесных тел относительно Земли определять тремя координатами: двумя углами — склонением и прямым восхождением — и расстоянием до Земли.
      Метод координат дает возможность любые геометрические задачи излагать на языке чисел. Геометрические образы оказываются эквивалентными определенным совокупностям чисел.
      Например, отрезок числовой прямой между точками с координатами xt=2 и х2 = 7,5 (рис. 44) — это совокупность всех чисел х, удовлетворяющих двум неравенствам:
      х 2 и х -7,5.
      Эти два неравенства принято записывать как одно: 2 х7,5.
      Квадрат единичной площади на плоскости, вершинами которого являются точки с координатами (0,0); (0,1); (1,0) и (1,1) — это совокупность пар чисел (х,у), удовлетворяющих неравенствам (рис. 45):
      Поэтому, пользуясь методом координат, можно излагать всю геометрию аналитически, начиная с определения точки на прямой как числа х, точки на плоскости — как пары чисел (х,у) и точки в пространстве — как тройки чисел (х,у,г). Круг радиуса 5 с центром в точке (2, 3) есть не что иное, как совокупность всех пар чисел (х,у), которые удовлетворяют неравенству:
      (X - 2)2+0/ - 3)2 52.
      А плоскость в пространстве, проходящая через начало координат, — это совокупность всех троек чисел (х,у,г), удовлетворяющих уравнению:
      ах + by + cz = 0,
      где а, b и с — какие-то заданные числа.
      Важно обратить внимание на эквивалентность геометрического и аналитического подходов: геометриче-
      ские образы можно выразить аналитически в виде равенств или неравенств, а аналитические соотношения можно представить в виде кривых, поверхностей или фигур.
      Аналитический подход к геометрическим задачам дает возможность врачу представлять наглядно различные характеристики человека. Например, на прямой можно откладывать рост человека.
      При измерении роста (А) и веса (р) человек характеризуется точкой на плоскости с координатами (А, р). Если же измерять еще и возраст (t), то он соответствует точке в пространстве с координатами (Л, р, t).
      А что делать, если человека требуется характеризовать многими параметрами: ростом (А), весом (р), возрастом (t), объемом грудной клетки (Q), силой сжатия левой и правой рук (/1) и (/2), остротой зрения (г)? Здесь появилось семь параметров, и кажется, что наглядные геометрические представления отступают.
      Однако геометрические аналогии на самом деле очень удобны. Они себя оправдывают повсеместно, широко используются, и именно поэтому совокупность всевозможных четверок чисел (x,y,z,t) можно рассматривать как совокупность точек четырехмерного пространства; совокупности всевозможных семерок чисел (x,y,z,t,u, v,w) — как совокупность точек семимерного пространства. Можно, наконец, рассматривать всевозможные наборы из п чисел (хь Х2, Х3, хл) как совокупность точек n-мерного пространства.
      Все-таки у всякого человека, впервые с этим сталкивающегося, возникает недоумение: что же это за четырехмерное пространство? Как его себе вообразить?
      Возьмем тонкую стеклянную трубочку и пустим туда все того же муравья. Если ему захочется возвратиться, он должен будет ползти задом. Если пустить двух муравьев с разных сторон, то разойтись они не смогут (рис. 46). Так печально выглядит жизнь в пространстве одного измерения — на линии.
      Но пустим этих же муравьев разгуливать по поверхности стола или тыквы; они смогут идти в любом направлении и обходить препятствия (рис. 47). Жизнь на поверхности — в пространстве двух измерений — покажется им более удобной.
      Впрочем, и здесь есть свои трудности: муравьи, разделенные ручейком, никогда не смогут встретиться. Говорят, что если нарисовать белой краской окружность и поставить в середине ее петуха, то он в недоумении будет находиться внутри окружности и не догадается перешагнуть через нее. На самом деле, если вдуматься, ему нужны сообразительность и мужество, чтобы выйти из двумерного пространства в трехмерное.
      Стрекозе уже лучше, чем муравью, — она может перелететь через ручеек. Стрекозы живут в трехмерном пространстве, и замкнутая линия на поверхности не ограничивает их движений. Но если посадить стрекозу в банку и закрыть крышкой, то и она окажется в за-
      труднении: вылететь ей наущается. Замкнутая поверхность делит ее жизненное трехмерное пространство на две части — внутреннюю и внешнюю, подобно тому как замкнутая кривая делит на две части (внутреннюю и внешнюю) жизненное пространство муравья — поверхность.
      Впрочем, не всякая замкнутая кривая, нарисованная на поверхности, делит эту поверхность на две части так, что из одной части нельзя попасть в другую, двигаясь по поверхности и не пересекая при этом кривую. Примером тому может служить бублик: пунктирная кривая делит его поверхность на две части, а сплошная не делит (рис. 48).
      Подумайте: как обстоит дело на сфере с тремя ручками (рис. 49) и на листе Мёбиуса? Однако на каждой поверхности существуют замкнутые кривые, которые делят ее на две части — внутреннюю и внешнюю. И это для нас сейчас более важно.
      Теперь представьте себе существо, живущее в четырехмерном пространстве. Для него закрытая банка не препятствие; она не делит его жизненное пространство на две части. Существо просто «перелетит» из банки, воспользовавшись четвертым измерением.
      Заметьте, читатель, что мы сами живем не в трехмерном, а в четырехмерном пространстве, где координатами являются три координаты местоположения xfy,z и время t. Эти переменные не совсем одинаковы; если x,y,z могут принимать произвольные значения, изменяя знаки и величины, то время t может только возрастать. Однако в этом четырехмерном пространстве можно выйти из закрытой комнаты не через двери или окна, а воспользоваться четвертой координатой — временем. Двигаясь лишь по этой координате и сохраняя неизменными три другие, можно оказаться в иной ситуации и выйти из комнаты, скажем, через какое-то время, когда дом развалится и стены комнаты уже не будут границей.
      Конечно, это может произойти не скоро, но мы же обсуждаем принципиальную возможность.
      Ситуация становится еще очевиднее, если допустить, как это принято в так называемой научной фантастике, движение по оси времени в обратную сторону, назад. Ту же точку пространства (х,у,г) внутри запертой комнаты раньше не окружали стены, пол и потолок — их просто еще не было. И поэтому, продвинувшись сначала назад лишь по временной оси, мы сможем выбраться из этой закрытой комнаты.
      Поразмышляем о многомерных мирах еще немного.
      На плоскости (двухмерное пространство) окружность с центром в начале координат и радиусом г (рис. 50) задается уравнением:
      х2 + у2 = г2.
      Аналогом окружности на плоскости в трехмерном пространстве будет сфера. Сфера радиуса г с центром в начале координат (рис. 51) задается уравнением:
      x2+y2+z2=r2.
      Переходя от трехмерного к четырехмерному пространству, естественно назвать четырехмерной сферой радиуса г с центром в начале координат «трехмерную поверхность», удовлетворяющую уравнению:
      Подобно тому как цыпленок, живущий в трехмерном пространстве, не может вылупиться из яйца, не разбив скорлупы, цыпленок, живущий в четырехмерном пространстве и помещенный внутрь четырехмерной сферы, не может выйти из нее.
      Для выхода из четырехмерной сферы цыпленок должен ее пробить. Однако если цыпленок живет в пятимерном пространстве, то и скорлупа должна быть подобна пятимерной сфере, а не четырехмерной; последняя не сможет закрыть эмбрион со всех сторон, и его съедят пятимерные враги еще до того, как он вырастет.
      Посмотрим на многомерное пространство еще с одной стороны.
      Любая точка на прямой делит ее на две полупрямые без общих точек.
      Плоскость точкой не разделить. Но любая прямая, проведенная на плоскости, делит ее на две полуплоскости. И муравей, отправляясь из одной полуплоскости в другую, обязательно должен пересечь разделяющую ; их прямую.
      В трехмерном пространстве теперь уже и прямая не разделит пространство. Однако любая плоскость великолепно разделит пространство на два непересекающих- . ся полупространства. И стрекозе, вздумавшей Пересе- : литься из одного полупространства в другое, обязатель- 5 но придется пересечь разделяющую плоскость.
      Аналогично четырехмерное пространство не сможет быть разделено обычной двумерной плоскостью. Это пространство успешно делится любой трехмерной гиперплоскостью.
      Таким образом, в четырехмерном пространстве есть подпространства различного числа измерений: трехмер-ные гиперплоскости, двумерные плоскости, одномерные — прямые линии, и нульмерные — точки.
      В n-мерном пространстве по аналогии будут гипер- 1 плоскости различного числа измерений от нульмерных (точек) до (п — 1)-мерных. Лишь (п — 1)-мерные гиперплоскости — наивысшей возможной размерности — будут разделять n-мерное пространство, а уже гиперплоскости размерности п — 2 и тем более гиперплоскости меньших размерностей n-мерное пространство разделять не будут.
      Мы уже установили, что множество всех точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам:
      представляет собой квадрат. Его вершинами будут точки с координатами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1). В трехмерном пространстве фигурой, аналогичной этому квадрату, будет куб. Его можно определить как совокупность всех точек (x,y,z) в пространстве, все три координаты которых заключены между нулем и единицей.
      Вершинами куба будут точки, координаты которых равны либо нулю, либо единице (рис. 52). Их, как нетрудно видеть, восемь, и каждая определяется тремя координатами: (0,0,0); (0,0,1); (0,1,0) и т. д.
      Естественно назвать четырехмерным кубом множество точек (x,y,z,t) в четырехмерном пространстве, все четыре координаты которых заключены между нулем и единицей. Его вершинами будут точки, координаты которых также равны либо нулю, либо единице: например (0,0,0,0); (0,1,0,1); (1,1,1,0) и т. д.
     
      Сколько же вершин у четырехмерного куба?
      Ответить на этот вопрос довольно просто, не выписывая всех возможных точек. В самом деле, мы уже знаем, что у трехмерного куба восемь вершин. Они представляют собой все возможные комбинации троек чисел, каждое из которых есть нуль или единица. Вершины четырехмерного куба получаются из этих троек дописыванием четвертого числа, также равного либо 0, либо 1. Таким образом, у четырехмерного куба вдвое больше вершин, чем у трехмерного, то есть 16. Итак, заметим, что у двухмерного куба, то есть у квадрата, всего 4=22 вершины, у трехмерного 8 = 23 вершин, у четырехмерного 16 = 24 вершин.
      Теперь нетрудно сообразить, что в n-мерном пространстве единичный куб — это множество всех точек, координаты которых заключены между нулем и единицей. Вершинами этого куба будут все точки с коорди-
      натами, равными либо нулю, либо единице. Всех таких групп из п чисел нулей (0) или единиц (1), или, что то же самое, вершин у л-мерного куба будет 2".
      Эти сведения, так же как и прием для подсчета всех возможных групп из п чисел 0 или 1, нам будут полезны при обсуждении некоторых других вопросов.
      В этом месте мой редактор, отстаивавший интересы читателя и воспользовавшийся приемами полемики математика, на полях написал: «Ну и что? — Чувствуется явная неудовлетворенность. — Нет вывода или указания на вклад высказанных на этих страницах идей в практику, или в науку, или в жизнь!»
      Но, пожалуйста, потерпите немного, я же только начинаю. Очень часто в дальнейшем мне придется пользоваться понятием многомерного пространства или без всяких оговорок употреблять основные понятия аналитической геометрии.
      Седло
      Представим себе горный ландшафт: вершины и пологие склоны, впадины и перевалы. Хотя это может показаться недостаточно поэтичным, но все же такую поверхность можно задать и в аналитическом виде, записав
      где г — вертикальная координата, ахну — координаты в горизонтальной плоскости (рис. 53). Вершины
      соответствуют максимальным значениям функции z = f(x,y), впадины — минимальным. Если вы находитесь на вершине, то, отправляясь по любому направлению, можете только спускаться; если во впадине, то только подниматься. Эти точки максимума и минимума на поверхностях станут вскоре предметом нашего пристального внимания. Если же вы находитесь в обыкновенной точке поверхности, то можете по желанию спускаться или подниматься. Можете даже так выбрать свой путь, что высота будет все время неизменной. Эти пути получаются при сечении поверхности горизонтальной плоскостью. Проекции на одну общую горизонтальную плоскость таких путей называются линиями уровня (рис. 54). Именно такие линии нанесены на географических картах и указывают высоту местности над уровнем моря.
      Эллипсоид — это фигура, получаемая при вращении эллипса вокруг его оси симметрии. Таких осей у эллипса две — большая и малая. При вращении вокруг большой оси получается вытянутый эллипсоид, похожий на огурец, а при вращении вокруг малой оси — сплюснутый эллипсоид, напоминающий сдавленный с двух сторон мяч.
      Выберем произвольную точку Р на поверхности эллипсоида. Всегда можно так пересечь эллипсоид плоскостью, чтобы она отсекла «шапочку», на которой будет находиться выбранная точка Р. При этом всегда можно
      выбрать такую секущую плоскость, чтобы размеры «шапочки» были весьма малы (математик здесь скажет: меньше любого заранее заданного числа). Возьмем теперь на произвольной поверхности некоторую точку Р. Если в любой окрестности этой точки можно отсечь плоскостью «шапочку», то будем называть точку эллиптической. На поверхности далеко не все точки оказываются эллиптическими. Вы в этом скоро убедитесь. Можно еще иначе определить эллиптическую точку. Будем проводить различные плоскости через саму точку Р. Если среди этих плоскостей найдутся и такие, что весь кусок поверхности в окрестности точки Р окажется с одной стороны от плоскости, то точка Р будет эллиптической.
      Возвратимся к горному ландшафту. Кроме вершин и впадин, наше внимание привлекают перевалы. В более крупном масштабе перевал похож на кавалерийское седло (рис. 55). Отметим две точки А и В на разных склонах от перевала (рис. 56). Из Л в В можно отправиться по разным дорогам: они отмечены пунктирными линиями. На каждом пунктирном пути есть наивысшая точка, отмеченная кружочком. Ясно, что среди всех мыслимых путей m А в В можно выбрать тот, наивысшая точка которого лежит возможно ниже. Этот путь отмечен жирным пунктиром.
      Аналогично на каждом сплошном пути из точки С в точку D имеется самая низкая точка, отмеченная также кружочком.
      Среди всех возможных путей из С в D выберем тот, наинизшая точка которого лежит возможно выше. Этот путь отмечен жирной сплошной линией.
      Самая высокая точка на жирном пунктирном пути и самая низкая точка на жирном сплошном пути совпадут. Это седловая точка. Если поверхность немного наклонить, то седловой точкой станет уже другая.
      Можно дать другое, быть может, более наглядное описание седловых точек. Прежде всего заметим, что никакой плоскостью нельзя отсечь «шапочку» в окрестности седловой точки. Если через седловую точку проводить различные плоскости, то в отличие от эллиптических точек в окрестности седловой точки всегда плоскость будет пересекать поверхность так, что по обе стороны плоскости окажутся какие-то части поверхности. При таком описании видно, что точка будет седловой независимо от наклонов поверхности, или, другими словами, независимо от выбора направления осей декартовых прямоугольных координат в пространстве.
      На поверхности, конечно, может быть несколько седловых точек, подобно тому как в горном районе может быть несколько перевалов.
      Позвольте задать вам вопрос, читатель. Может ли на поверхности быть очень много седловых точек? Скажем, может ли сплошь поверхность состоять из седловых точек? Если нет, то может ли быть на ограниченном куске поверхности бесконечно много седловых точек?
      Прежде чем читать последующее, подумайте, попробуйте представить себе соответствующую ситуацию.
      Ответ же очень прост. Посмотрите на горлышко обычной бутылки (рис. 57). Все его точки будут седловыми. Нетрудно представить себе и бесконечную поверхность, все точки которой седловые. Для этого надо, например, гиперболу, уравнение которой х2 — у2 — 1 (рис. 58), повращать вокруг вертикальной оси. Полученная поверхность — гиперболоид вращения — будет состоять сплошь из седловых точек. Гиперболоид — простейшая поверхность, обладающая такими свойствами. Поэтому седловые точки называют также гипербо-лоическими. Поверхности, состоящие сплошь из седловых точек, играют важную роль в нашей жизни.
      Возьмем плоскую мембрану, например, такую, как в телефонной трубке. Зажмем границу мембраны в нескольких местах, а в нескольких других подвесим грузики (рис. 59). Оказывается, мембрана, после того как затухнут неизбежные колебания, примет такое положение, что все ее точки будут седловыми. Конечно, это увидеть не всегда удастся, но такова теорема. Именно: при любой деформации границы плоской мембраны все ее внутренние точки будут седловыми.
      Если различные части границы мембраны подогревать различным образом, поддерживая постоянными потоки тепла, то сначала температура ее точек будет изменяться. Но затем установится: поток поступающего тепла будет равен потоку исходящего. Если величину температуры откладывать по вертикальной оси, а мембрану расположить в горизонтальной плоскости, то соответствующая «температурная поверхность» окажется состоящей также сплошь из седловых точек.
      Изучение поверхностей, состоящих из одних лишь седловых точек, тесно связано с гидродинамикой, электростатикой и другими важнейшими областями науки.
      Форму закрепленной мембраны описывает решение дифференциального уравнения Лапласа (знаменитого Лапласа, о котором еще будет речь). То же уравнение описывает установившееся безвихревое течение несжимаемой жидкости и установившееся течение тепла, распределение сил в электростатическом поле и установившийся электрический ток, диффузию растворенной в воде соли и много других явлений и процессов. И все функции — решения этих уравнений — при их геометрическом представлении оказываются поверхностями, состоящими сплошь из седловых точек. И поэтому изучение таких поверхностей весьма существенно для самых различных областей физики и техники.
     
      Экстремум
      Это слово объединяет понятия «максимум» и «минимум» вроде того, как слово «родители» означает сразу и отец и мать. Экстремальные задачи — это задачи на отыскание максимумов или минимумов. С ними мы встречаемся повсеместно. Без преувеличения можно сказать: все решаемые живыми организмами задачи — это поиск экстремумов.
      Действительно, мы всегда стремимся получить наибольший эффект, необходимую работу стараемся выполнить в наименьшее время или при наименьшей затрате энергии, желаем получить максимум удовольствий или обеспечить минимум неприятностей.
      Все двигательные задачи — экстремальные. Когда животное переходит из одного места в другое, оно либо осуществляет это кратчайшим путем, либо старается совершить переход как можно быстрее, либо затрачивает на передвижение минимум сил.
      Даже когда человек стоит, он совершает непрерывный поиск экстремума. Стоящему человеку надо держаться, дабы не упасть. Однако он не может замереть как столб и должен быть готов из этого положения сделать быстро любое из возможных движений. Оказывается, кажущийся стоящим неподвижно человек все время немного движется, он ищет положение равновесия. К этой интересной проблеме я позже вернусь и остановлюсь на ней подробно.
      Начнем разговор об экстремальных задачах с одной проблемы, возникающей при настройке телевизора. Думаю, читатель, вы без труда вспомните, как во время передачи КВН, футбола или спектакля в самом интересном месте вдруг изображение на экране катастрофически портилось. Конечно, вы лихорадочно крутили разные ручки, расположенные, как нарочно, где-то сзади, и после крепких выражений с большим или меньшим успехом добивались какой-то удовлетворительной картинки.
      Изображение на экране телевизора всегда хуже, чем реальное, и поэтому задача настройки состоит в том, чтобы добиться возможно более хорошего воспроизведения. Другими словами, всегда есть погрешность воспроизведения, и задача настройки состоит в снижении этой погрешности до достижимого минимума.
      Давайте займемся настройкой телевизора не во время передачи, а в более спокойной обстановке, когда на экране испытательная таблица и можно крутить ручки, не подвергаясь нареканиям всей семьи.
      Если верить инструкции, то все очень просто: «Оперируя ручками «Яркость» и «Контрастность» установите желаемую яркость и контрастность изображения». (Похоже на кулинарный рецепт, рекомендующий добавить соли по вкусу.)
      Итак, в вашем распоряжении ручка, управляющая яркостью изображения. Повернем ее до упора так, что яркость весьма мала, изображение скверное, погрешность воспроизведения велика. Теперь постепенно будем увеличивать яркость и следить за изображением. Погрешность воспроизведения будет постепенно уменьшаться, дойдет до какого-то минимального значения, но затем будет вновь возрастать; при значительной яркости изображение расплывается.
      Если электрический параметр, которым вы управляете, поворачивая ручку, обозначить через F, а погрешность воспроизведения через г, то график зависимости г от К будет примерно иметь вид, изображенный на рисунке 60. Значение яркости, соответствующее минимальному значению погрешности гты, на рисунке обозначено Vopt, что означает оптимальное значение. Настрой-
      ка яркости производилась, когда ручка, управляющая контрастностью, занимала какое-то определенное положение. Если ее немного повернуть и вновь менять яркость, то кривая зависимости г от 1 будет другой, хотя ее характер не изменится.
      Обозначим электрический параметр, которым управляют, поворачивая ручку контрастности, через U. При прочих равных условиях, в частности, при определенной яркости V\, зависимость погрешности вопроиз-ведения г от U имеет также характер параболы: при плавном изменении контрастности погрешность воспроизведения сначала будет уменьшаться, а потом будет возрастать. Но при различных значениях яркости кривые зависимости г от U будут также различными.
      На рисунке 61 представлены несколько таких кривых, соответствующих различным значениям яркостей Vu V2i Vs. Соответственно указаны оптимальные значения U для каждой из кривых.
      Таким образом, погрешность воспроизведения оказывается функцией двух переменных г (U, У). Следовательно, для определения наименьшей возможной погрешности воспроизведения и соответственно необхо-
      димых значений управляющих параметров — яркости и контрастности — нужно определить минимум функции двух переменных.
      Как мы уже выяснили, функция двух переменных геометрически представляет собой поверхность. В данном случае поверхность похожа, на чашу, и экстремальное значение погрешности воспроизведения соответствует ее самой низшей точке (рис. 62).
      Максимум и минимум всегда существуют вместе: если поверхность, названную нами чашей, перевернуть, то получим поверхность, похожую на шляпу. Ее самая высокая точка — максимум — соответствует самой глубокой точке чаши — минимуму. Взобравшись на вершину горы, мы сразу же оказываемся и в самой глубине котлована — отражении горы в близлежащем озере. Здесь математик спокойно рассуждает «с точностью до наоборот», ибо если мы обнаружим максимум и затем посмотрим на него с другой стороны, то увидим минимум, и, таким образом, ответ зависит лишь от того, с какой стороны смотреть на эту поверхность. Поэтому мы говорим все время о поиске экстремума, а не отдельно о нахождении максимума или минимума. Такого рода рассуждения с «точностью до наоборот» встречаются в самых разнообразных ситуациях и заметно облегчают жизнь.
      Поэтому мы говорим все время о поиске экстремума, а не отдельно о нахождении максимума или минимума.
      При турбинном бурении скважин также возникают задачи поиска экстремума, похожие на разобранную выше. При нормальной эксплуатации скважина дает десятки, а то и сотни тонн нефти ежесуточно; затраты на бурение одной скважины составляют сотни тысяч, а то и миллионы рублей. Поэтому сокращение сроков бурения приводит к значительному экономическому эффекту. А увеличение скорости проходки приводит, в свою очередь, к желаемому сокращению сроков бурения скважины.
      При бурении с помощью турбобура по колонне стальных труб, спущенных в скважину, подается под давлением буровой раствор. Поток бурового раствора приводит в действие турбобур, разрушающий горную породу, и, кроме того, раствор поднимает на поверхность разбуренную породу.
      Буровой инструмент — долото — разрушает породу, если на него оказывается определенное давление. При постоянной скорости вращения бурового инструмента увеличение давления приводит к большей скорости проходки скважины. Однако происходить это увеличение проходки будет до определенного предела. При очень большом давлении на инструмент он станет прижиматься к породе слишком сильно, вращение долота станет замедляться, скорость проходки начнет снижаться и в конце концов упадет до нуля — инструмент остановится. График зависимости скорости проходки W от величины давления на забой Р имеет вид перевернутой параболы, то есть обращенной максимумом вверх.
      Если считать все остальные величины неизменными, то можно определить давление на забой, при котором скорость проходки максимальна.
      В такой постановке задача, правда, слишком уж упрощена. На самом деле скорость проходки зависит от многих других величин. Прежде всего она зависит от расхода бурового раствора, то есть от количества прокачиваемой через турбобур жидкости в секунду: увеличение расхода приводит к повышению скорости вращения турбины. Таким образом, скорость проходки за-
      висит уже от двух переменных — от давления на забой и расхода бурового раствора.
      Земная кора неоднородна, она напоминает слоеный пирог с множеством пластов весьма различной структуры. Ясно, что скорость проходки существенным образом зависит от твердости породы. Следовательно, максимальная скорость проходки зависит также и от свойств породы и является, таким образом, уже функцией трех переменных.
      Привычные геометрические представления тут отступают — мы оказались в четырехмерном пространстве. Но, читатель, вы не зря потратили силы на преодоление страха перед геометрией многомерного пространства и теперь уже спокойно отнесетесь к таким словам. Как и в обычном пространстве, здесь без большого труда можно придать точный смысл понятиям, аналогичным самой глубокой точке впадины или вершине «шляпы».
      Более пристальное изучение задачи показывает, что на самом деле скорость проходки зависит не от трех, а от гораздо большего количества переменных. Скорость вращения турбины зависит не только от расхода бурового раствора, но и от его удельного веса и вязкости. Во время работы буровой инструмент интенсивно стачивается, и от его состояния в данный момент существенным образом зависит скорость проходки. Можно указать и другие параметры, влияющие на скорость проходки скважины. Поэтому отыскание максимально возможной скорости проходки есть математическая задача отыскания экстремума функции большого количества переменных.
      Если известен вид функциональной зависимости между переменными, то можно стандартными математическими методами найти экстремум функции и те значения переменных, при которых этот экстремум достигается. Эти методы излагаются в любом учебнике математического анализа. После некоторых несложных операций дело сводится к решению системы уравнений. Система обычно содержит столько же уравнений, сколько переменных, но может иметь весьма сложный вид.
      Вспомните теперь, читатель, сколько трудностей возникает, когда нужно решить уравнение, даже содержащее лишь одну переменную. Не навязшее в зубах квадратное уравнение, а какое-либо сложное: тригонометрическое или содержащее показательные функции.
      У вас, наверное, сохранились школьные воспоминания о том, как это делалось: нужно было придумать какую-нибудь подстановку, заменив одни переменные другими, и, к всеобщей радости, уравнение сводилось к линейному или квадратному.
      Должен вас разочаровать: такое благополучие характерно лишь для школьных задач. В реальной жизни очень редко выпадают случаи, когда уравнение путем подстановок сводится к квадратному, столь редко, что нерентабельно тратить время на поиски подходящей подстановки, если почти сразу ее нельзя угадать.
      Дело в том, что есть уравнения, которые нельзя разрешить относительно неизвестной. Для них нельзя вообще выразить одну переменную через другую явно, то есть вывести формулу для нахождения корней. Примером здесь может служить уравнение:
      Одно решение здесь нетрудно угадать: х = 1. Но явную формулу для нахождения всех решений написать нельзя, и второй корень (а их здесь два) в явном виде найти невозможно.
      Впрочем, вы же знаете, что алгебраические уравнения третьей и четвертой степеней не сводятся к квадратным и решить их тоже далеко не просто.
      Но возвратимся к обсуждаемой задаче отыскания экстремума.
      На пути исследователя, решающего экстремальную задачу, множество подводных камней.
      Мне рассказывали одесситы, что у них на пляже было объявление: «Запрещается заплывать дальше
      всех»(!) Здесь сразу видно, в каком безнадежном положении оказываются пловцы, когда они должны уклониться от решения плохо сформулированной экстремальной задачи.
      Но вот проблема, где отбиться от логической неразберихи не так легко.
      Представьте себе, что нужно определить наибольшее целое число. Я утверждаю, в противоречие со здравым смыслом, и докажу, что это единица.
      Предположим, что наибольшее из целых чисел больше 1. Обозначим это число через N (ну, допустим, 2, то есть N — 2).
      Итак, наше предположение: N больше 1.
      Но тогда N2 больше N (действительно, 22 = 4 больше, чем 2), и при этом N2 также целое число. Значит, N не наибольшее (поскольку 4 больше 2). А вот квадрат единицы равен ей самой (12=1). Таким образом, единица и есть наибольшее целое число.
      Чушь! А произошла она вследствие того, что я предположил, будто есть на самом деле наибольшее целое число, то есть предположил, что существует решение поставленной экстремальной задачи. В действительности же решения не существует, так как количество целых чисел бесконечно.
      По меткому замечанию немецкого математика Ха-усдорфа, если дважды два — пять, то существуют ведьмы. Вообще из любого неверного утверждения следует любое другое неверное.
      Рассмотренный пример и следующий из него вывод, по-видимому, весьма важны для всех лиц, занимающихся научной работой, в том числе и экспериментальной. Ибо если исходить из неверной, ошибочной исходной посылки или пользоваться ошибочными рассуждениями, то экспериментальные результаты, даже сколь угодно тонко проведенные, могут привести к неверным, даже парадоксальным выводам. Часто экспериментатора спасает здравый смысл,, но на него тоже не всегда можно положиться (я об этом буду говорить позднее, когда более подробно остановлюсь на методе работы математика).
      Но вот исследование проведено и доказано существование решения уравнения. Однако уравнение получилось сложное, и его нельзя просто и точно решить. Что делать в этой ситуации? Тогда прибегают к приближенным методам нахождения корней. Здесь есть и аналитические и графические методы. Скажем, для решения уравнения
      можно построить на одном чертеже графики функций
      абсциссы точек пересечения кривых (рис. 63). Конечно, графическое решение укажет корень лишь с весьма небольшой точностью, но оно может подсказать метод для более точного аналитического способа приближенного определения искомого корня.
      Искомые корни Х\ и Хг —
      Словом, для функции одной переменной дело обстоит не так уж плохо. Но если надо решить, пусть даже приближенно, систему уравнений, причем систему с большим количеством переменных, то дело невероятно осложняется. В этом случае мы сейчас прибегаем к помощи быстродействующих математических машин.
      Но оцените ситуацию: на машине, производящей 20 тысяч арифметических операций в секунду, для решения даже линейной алгебраической системы ста уравнений со ста неизвестными надо затратить около часа машинного времени! В то же время, скажем, при отыскании параметров, обеспечивающих максимальную скорость проходки скважины, система уравнений не будет линейной, а ответ нужно получать немедленно, через несколько секунд или минут. Позже ситуация уже изменится: другими станут свойства .проходимого пласта, сточится инструмент и т. д. — и полученные данные окажутся бесполезными.
      Что же делать?
      Разговор об этом будет ниже.
     
      Экстремальные кривые
      Если от окна до двери надо пройти кратчайшим путем, то следует идти по прямой Но если в комнате находится много мебели, которую отодвинуть невозможно, кратчайший путь окажется сложнее и сразу его не найдешь.
      Пусть из традиционной точки А надо пройти в не менее традиционную точку В, причем имеются два пути: один прямой, но трудный, а другой извилистый, длинный, но более легкий. Прямой путь короче, но липкая грязь затруднит движение, и на него будет затрачено больше времени. Поэтому если надо будет решать задачу на минимум расстояния, придется идти по грязи. При поиске же минимума, теряемого времени или минимума затраты сил выберем какой-то более длинный путь.
      Таким образом, при поиске среди возможных путей наилучшего надо четко сформулировать, в каком смысле этот путь лучше других.
      Нетрудно сообразить, как кратчайшим образом пройти от окна к двери. А как указать кратчайший путь от вершины горы — например, Эльбруса — до ее подножья, когда по дороге не будут встречаться котлови-
      ны? Этот вопрос имеет совсем не очевидный ответ. Впрочем, слепая лошадь решает эту задачу не задумываясь: она идет все время по направлению, наиболее круто спадающему вниз. Так же ведет себя стекающая вода.
      Интересно «физическое» решение этой задачи. Представим себе весьма произвольную гладкую поверхность. Предположим еще, что она выпуклая. Если натянуть между двумя точками поверхности тонкую резиновую нить, то она займет положение кратчайшей линии между этими точками.
      Однако если надо построить кратчайшую автомобильную дорогу, ведущую на гору, причем уклон дороги не должен превышать, скажем, пяти градусов, то задача определения этого пути будет уже сложнее.
      Животные и люди далеко не всегда правильно решают задачи отыскания оптимального пути, или, как говорят математики, определения экстремали.
      Мне говорили, что собака, догоняющая зайца, в каждый данный момент бежит прямо на него. Так догнать зайца она сможет, если бежит быстрее, но не в кратчайшее время. Если же это делать в кратчайшее время, то надо изменить траекторию погони: собаке следует бежать не в ту точку, где сейчас заяц, а в ту, где он будет через некоторое время, — как говорят, бежать в упрежденную точку. Охотники и зенитчики это прекрасно знают. Правда, все-таки они частенько промахиваются, но делают это уже из-за неточного определения упрежденной точки встречи снаряда и цели.
      Однако и в этом судить их очень строго не следует: поведение дичи или вражеского самолета однозначно предсказать нельзя. Поэтому расчет упрежденной точки встречи — весьма трудная задача, над решением которой работали и продолжают работать выдающиеся математики и инженеры.
      Множество важнейших задач естествознания и техники сводится к определению экстремалей, которые изучаются в разделе математики, носящем название «Вариационное исчисление».
      Хотя некоторые подобные экстремальные задачи были решены еще древними геометрами, настоящую базу для их исследования дало дифференциальное и интегральное исчисления. Вариационное исчисление было создано Леонардом Эйлером в середине XVIII века.
      Однако новые проблемы техники и физики, в частности автоматики и кибернетики, привели к необходимости создания новых методов в вариационном исчислении, которые сейчас бурно развиваются.
     
      Эйлер
      Я вовсе не предполагаю много писать об истории математики. Но, упомянув о Леонарде Эйлере, невозможно удержаться от соблазна немного рассказать об этой колоритнейшей фигуре в богатом яркими талантами математическом мире.
      Эйлер родился в 1707 году в городе Базеле в Швейцарии, в семье пастора. Однако его отец не только готовил Леонарда к духовному званию, но и учил математике, ибо сам был учеником знаменитого математика Якоба Бернулли.
      К двадцати годам Леонард изучил теологию, медицину и восточные языки. В 1727 году Эйлер был приглашен в Петербург на кафедру физиологии после того, как не прошел в результате жеребьевки на кафедру физики в Базельском университете. (Сколь опрометчива бывает подчас система отбора ученых с помощью голосования!) Впрочем, к этому времени он уже преуспел в математике и физике: например, его сочинение о расположении мачт на корабле было напечатано Парижской академией и получило почетный отзыв.
      В Петербурге Эйлер прожил много лет.
      В 1729 году в Петербургской академии он занял место профессора физики, а через год возглавил кафедру математики, где и пробыл до 1741 года. К этому времени в России науки пришли в упадок, царская администрация чинила всяческие препятствия научной работе, и Эйлер вынужден был переехать в Берлин. Но в 1766 году он вновь возвратился в Петербург, где уже безвыездно прожил до смерти.
      Плодовитость Эйлера поистине феноменальна. Известно около 900 его сочинений. Его интересы весьма широки, а результаты, полученные им, фундаментальны. Так, в астрономии он довел до практического применения теорию движения Луны. Преуспел он в гидродинамике и оптике, в мореплавании и картографии, в артиллерии и теории чисел. Значителен его вклад в математический анализ, в дифференциальные уравнения и в уже упомянутое вариационное исчисление. Впрочем, у него имеются труды по медицине, физиологии и даже по богословию.
      В 1736 году вследствие перенапряжения Эйлер лишился одного глаза. Это не остановило потока его работ. Впрочем, вскоре после возвращения в Петербург в 1766 году он ослеп и на второй глаз, но и это не лишило его трудоспособности; он продолжал работу, диктуя статьи и книги сыну и ученикам до самой кончины, последовавшей в 1783 году.
      Еще до первой мировой войны Швейцарским обществом естествоиспытателей по международной подписке было начато издание Полного собрания сочинений Эйлера. По первоначальным предположениям, оно должно было составить 40 томов. Однако уже опубликовано 50 томов, а работ еще много. Теперь думают, что общее число томов будет порядка двухсот.
     
      Мыльный пузырь
      Вариационное исчисление дает аппарат для решения широкого круга задач. С его помощью находят не только кратчайший путь из точки А в точку В, но и решают задачи поиска самых разнообразных экстремальных величин.
      Широко известно, что на плоскости среди всех фигур с границей заданной длины (или, как часто говорят в элементарной геометрии, с заданным периметром) наибольшей площадью обладает круг. В трехмерном пространстве фигурой наибольшего объема с заданной площадью границы будет шар. Обратно — среди всех фигур заданного объема шар будет иметь наименьшую площадь поверхности. Именно поэтому мыльные пузыри — сферы.
      Займемся менее очевидными вопросами.
      Окружность может быть границей поверхности — например, ведра. Но среди всех поверхностей с такой границей минимальной площадью будет обладать плоский круг, натянутый на эту окружность. Искривим теперь окружность так, чтобы кривая уже не могла быть уложена на плоскости. Есть сколько угодно поверхностей с такой границей. Но как найти среди них поверхность, площадь которой была бы наименьшей из возможных? Это уже трудная задача, и для ее аналитического решения требуется привлечение методов вариационного исчисления. Оказывается — и это установил Эйлер, — такая минимальная поверхность в каждой точке будет седлообразной.
      Интересно физическое решение задачи. Погрузим изучаемый замкнутый контур, сделанный из тонкой латунной проволоки, в мыльную воду. (Мыльный раствор — это жидкость, обладающая малым поверхностным натяжением.) Н‘а контур натянется мыльная пленка. Ее площадь и будет наименьшей из возможных. Мы, конечно, пренебрегаем при этих рассуждениях силой тяжести и другими силами, мешающими пленке достигнуть состояния устойчивого равновесия. Устойчивое равновесие достигается тогда, когда площадь пленки будет минимальной, так как минимальной при этом будет потенциальная энергия, возникающая вследствие поверхностного натяжения.
      Вы, вероятно, еще не забыли, какое удовольствие испытывали, пуская мыльные пузыри. Рискните возвратиться в детство и попробуйте сделать несколько опытов *.
      Спаяйте из мягкой проволоки окружность с ручками (тогда ее можно деформировать по желанию) и опустите в мыльный раствор. На каркас натянется мыльный круг. А теперь постепенно деформируйте его.
      * Вот рецепт для такой жидкости: 10 граммов чистого сухого олеата натрия растворить в 500 граммах дистиллированной воды и затем смешать в соотношении 15 единиц раствора с 11 единицами глицерина. Каркасы должны быть не очень большими, не более 10 — 15 сантиметров* в диаметре.
      Оказывается — и это весьма удивительный факт, — непрерывно изгибая контур, можно перевести двустороннюю мембрану, натянутую на окружность, в односторонний лист Мёбиуса (рис. 64).
      Если изогнуть окружность в виде пространственной кривой, показанной на рисунке 65, то на такой каркас можно натянуть три различные минимальные поверхности. На последней из них (рис. 66) можно нарисовать замкнутую кривую, например, пунктирную, которую нельзя стянуть непрерывно в точку без разрывов. Две другие поверхности этим свойством не обладают. Аналогичная ситуация, если вы помните, наблюдалась, когда мы сравнивали шарик и бублик.
      Все эти красивые геометрические фигуры служат не только для эстетического наслаждения. Поверхности минимальной площади наиболее жестки, и это используется в технике при разработке жестких конструкций.
     
      Математики бывают разные
      Я рассказал кое-что о предмете науки математики. Но математикой занимаются математики, и понятен интерес к этому таинственному индивидууму.
      Пожилого ученого у нас принято представлять с бородкой клинышком., сидящего на стремянке под потолком и роющегося в пыльных книгах. Математиков же чаще изображают молодыми людьми. Это статистически довольно верное так как, подобно музыкантам, они рано развиваются,, в 25 — 30 лет, а подчас и в 20 добиваются выдающихся научных результатов и заслуженной известности. Но почему-то математик часто рисуется в образе небрежно одетой, лохматой и близорукой личности неопределенного возраста, натыкающейся на прохожих или сидящей в неудобной позе в углу и думающей свою тяжкую думу.
      Да, читатель, должен признать, что такие попадаются. Но следует вас сразу же разочаровать: в большинстве случаев, особенно в молодости, эти вундеркинды придуриваются и стараются подражать вот такому штампу литературного героя. На самом же деле они нормальные люди, а вундеркиндами их сделали кудах-тающие родственники или малограмотные друзья дома, вместо того чтобы остричь, отмыть и высмеять. Мне очень нравится такое определение: вундеркинд — это нормальный ребенок у ненормальных родителей.
      Есть другой образ — образ сухаря, застегнутого- на все пуговицы, выполняющего все буквально и требующего бессмысленного заучивания теорем и решения задач по точно установленной схеме. Эти личности твердо уверены, что наука должна быть скучной, иначе это не наука. Такие в математике тоже попадаются изредка, но это лишь печальные недоразумения.
      В действительности же среди математиков много альпинистов и лыжников, пловцов и баскетболистов. Попадаются модники и рубахи-парни, сердцееды и даже девицы-красавицы. В чем же в таком случае отличие математиков от медиков, биологов или экономистов?
      Главное отличие, как мне кажется, в методах рассуждений.
      Откуда берутся аксиомы?
      Большинство людей представляет себе математику дедуктивной наукой, то есть наукой, где все теоремы, результаты, факты получаются посредством логических
      рассуждений, отправляющихся от некоторых аксиом — первоначально берущихся утверждений, полагаемых очевидными или не требующими доказательства.
      В некоторой степени это верно, хотя я вскоре скажу кое-что относительно мнимой очевидности аксиом. Но это лишь половина дела.
      О том, как строится дедуктивная математика, каждый из нас вынес некоторое представление из школы — правда, как правило, представление, искаженное выхо-лощенностью школьного курса. Но я хочу остановиться сейчас на другой стороне дела — на индуктивном подходе при построении всякой математической теории, на процессах рождения и гибели математических теорий.
      Можно, конечно, подумать, что математическую теорию строят так: математик придумывает себе какие-то исходные положения — аксиомы, проверяет их непротиворечивость и их независимость (иначе из них ничего толкового не будет следовать) и затем выводит из них различные следствия для своего удовольствия или для каких-либо других целей — например, для увеличения списка научных работ.
      Это выглядит парадоксально, но и по сей день не только лица, мало знакомые с математикой, но и некоторые специалисты, пропагандирующие применение математики в естествознании, среди которых, к сожалению, попадаются и математики, стоят на такой примитивной точке зрения *.
      В действительности математик не выдумывает себе какую угодно систему аксиом и не строит теорий без всякой цели и смысла.
      Всякая содержательная математическая теория отражает реальную действительность: математик схематизирует, идеализирует реальные явления, когда создает отправные положения теории, а затем, когда уже получены выводы, сравнивает их с действительными явлениями.
      *Например, С. Стивенс, составитель толстой книги «Экспериментальная психология» (ИЛ, I960) и автор первой статьи в этом сборнике («Математика, измерение и психофизика»), пропагандирует такую точку зрения.
      Два типа рассуждений
      В научной работе, так же как и в жизни, мы пользуемся рассуждениями.
      Рассуждения бывают двух типов — доказательные и не доказательные, но убедительные; еще их называют правдоподобными рассуждениями *.
      Правдоподобные рассуждения основываются на индукции, аналогии, наблюдениях, гипотезах и экспериментах — методах, которыми пользуются все естествоиспытатели.
      Здесь речь идет не о полной математической индукции, с помощью которой в школе или вузе доказывается разложение бинома Ньютона, а об обычной индукции, о наблюдении частных явлений и построении на их основе более общих закономерностей.
      Математические знания закрепляются доказательными рассуждениями. Однако подход к этим знаниям, все подступы к ним опираются на правдоподобные рассуждения.
      Но правдоподобные рассуждения отправляются от предположений. Конечно, предположения бывают разные: в высшей степени надежные, как законы Ньютона
      * Крупнейшие математики всегда понимали и разницу между доказательными и правдоподобными рассуждениями, и место правдоподобных рассуждений во всех областях науки, в том числе их роль в творческой работе математика. По этому поводу написано очень много и классиками, и современниками. Пожалуй, наиболее точно относятся к этим вопросам две великолепно написанные книги Д. Пойя, крупного венгерского математика и педагога, работающего сейчас в США. В русском переводе первая книга, адресованная учителям математики и учащимся, вышла под названием «Как решать задачу» (Учпедгиз, 1961, 206 стр.). В ней в основном на материале школьного курса математики демонстрируются способы рассуждений, которые. должны помочь решить задачу, научить догадываться и рассуждать. Вторая книга — «Математика и правдоподобные рассуждения» (том 1, «Индукция и аналогия в математике», том 2, «Схемы правдоподобных умозаключений». Издательство иностранной литературы, 1957, 535 стр.) — использует материал не только элементарный. Здесь есть много примеров из математического анализа, классического вариационного исчисления и теории вероятностей. Но общие рассуждения, разбросанные по всему тексту, в равной мере относятся к любым областям науки.
      По-видимому, ввел термин «правдоподобное рассуждение» Д. Пойя. Он отличен от издавна использовавшегося термина «индукция», который понимается шире.
      или таблица Менделеева, и не очень надежные, вроде современных космогонических гипотез или теорий происхождения жизни на Земле, когда подчас новый факт заставляет кардинально менять точку зрения. Бывают также и недостойные предположения, которые в просторечии называют сплетнями.
      Вывод теоремы Пифагора или формула для решения квадратного уравнения — это доказательные рассуждения. А вот индуктивные доводы при выводе закона всемирного тяготения, закона Ломоносова — Лавуазье или дарвиновской теории естественного отбора — это правдоподобные рассуждения. Основаны они на наблюдениях за ограниченным количеством экспериментов и поэтому являются догадками, хотя и гениальными.
      Правдоподобными, а не доказательными бывают рассуждения врача, ставящего диагноз, рассуждения Шерлока Холмса, идущего по следам преступления, документальные доводы ученого о деятельности древнеримского государства или статистические доводы экономиста о пользе или. вреде сдельной оплаты труда.
      Доказательное рассуждение отличается от правдоподобного так же, как факт от предположения, как наличие от возможности.
      Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо и окончательно.
      Правдоподобное рассуждение условно, спорно и иногда рискованно.
      Любая наука обязательно пронизана доказательными рассуждениями и притом в той же мере, что и математика, ибо доказательные рассуждения — это часть математики.
      Но, заметьте, проведя безукоризненно доказательство теоремы Пифагора, мы ничего нового не узнали, кроме того, что наша гипотеза — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — верна.
      Новое содержалось в самой гипотезе, а ее-то и надо угадать, прежде чем начать доказывать.
      Таким образом, сами доказательные рассуждения не дают нам существенно новых знаний об окружающем нас мире. Все новое, что мы узнаем, связано с правдоподобными рассуждениями.
      Выдающийся американский математик Р. Беллман лет десять назад в предисловии к монографии по тео-
      рии матриц написал: «Логика в конце концов является одним из приемов, изобретенных человеческим умом для решения определенных задач. Но математика — это больше, чем логика, это логика плюс процесс созидания. То, каким образом законы и понятия логики, составляющие орудие математики, используются для получения результатов, вряд ли является логическим процессом, во всяком случае, не более логическим, чем создание симфонии или картины».
      В математике достаточно детально выяснен вопрос о том, что такое доказательство, и каждый математик должен владеть методами доказательных рассуждений. Для них выработаны соответствующие правила. Подобные правила и понятия строгости и точности рассуждений меняются от века к веку, и в настоящее время каждый математик знает, каков уровень строгости той области математики, которой он занимается.
      Зато нет никакого стандарта правдоподобных рас-суждений, никакой их теории, подобной доказательной логике, а они нужны каждому естествоиспытателю как воздух — без них нет никакой науки.
      Математика предоставляет людям единственную возможность научиться доказательным рассуждениям. Однако надо уметь и догадываться.
      Едва ли следует рассчитывать на разработку единой методики того, как научить догадываться, — слишком велико разнообразие человеческих индивидуальностей.
      Как и многие другие виды человеческой деятельности, правдоподобные рассуждения осваиваются путем подражания и практического использования.
      Однако благодаря своим особенностям математика лучше любой другой науки дает материал для обучения правдоподобным рассуждениям. Законченная математическая теория выглядит как чисто доказательная. Но утверждение «математика — доказательная наука» характеризует лишь одну из ее сторон, ибо процесс создания математической теории такой же, как и в любых других науках. Прежде чем доказать какой-либо математический факт, его надо обнаружить, угадать, подметить.
      В строгом доказательном рассуждении главное — отличить доказательство от догадки, обоснованное доказательство от необоснованной попытки. В правдоподобном рассуждении нужно отличить более разумную до-
      гадку от менее разумной, уметь подкрепить догадку имеющимися фактами, уметь найти эти факты, бестрепетно искать факты, противоречащие догадке, сопоставлять и вновь возвращаться к правдоподобным рассуждениям.
      Я подчеркнул: искать факты, противоречащие догадке. В повседневной жизни не всегда стараются найти истину; подчас неведение сохраняет спокойствие, а знание ведет к необходимости принимать нежелательные решения. Но в науке самоуспокоенность и вера в свою непогрешимость ведут к катастрофе.
      Вот несколько примеров правдоподобных рассуждений, которые, я надеюсь, убедят вас в достаточной обоснованности наших опасений.
      Если положить таракана на стол и постучать по столу пальцем — таракан побежит. Если же затем оторвать у таракана ножки, вновь положить его на стол и постучать — таракан не побежит. Следовательно можно сделать вывод, что таракан слышит ногами.
      Это рассуждение выглядит анекдотически. Но ведь рассуждение о том, что заболевание холерой, гриппом или тифом — это наказание господне, а не заражение путем передачи от одного лица другому микробов или вирусов, мало чем отличающееся по существу от предыдущего, было общепринятым совсем недавно.
      Недавно мне рассказали родители школьницы четвертого класса очень впечатляющий пример парадоксального рассуждения по аналогии.
      В классе учительница спросила: «Кто знает, как раньше называлась улица Горького?» Их дочка подняла руку и сказала: «Я знаю — улица Пешкова».
      Приведу пример «научного» правдоподобного рассуждения, который заимствую из интересной книги Артура Кларка «Черты будущего».
      «Один из шедевров критических выступлений, с которыми пришлось столкнуться пионерам космонавтики, я представляю на суд читателя. Вот что говорил в одной из своих статей (1926 г.) некий профессор А. У. Би-кертон (рекомендую вчитаться в этот непревзойденный образец интеллектуального чванства тех времен):
      «Глупейшая идея выстрела на Луну — пример тех предельных абсурдов, до которых в результате порочной узкой специализации доходят ученые, работающие в «мысленепроницаемых отсеках», в полной изоляции друг от друга. Попытаемся критически проанализировать это предложение. Для того чтобы снаряд полностью преодолел силу притяжения Земли, ему нужно сообщить скорость 11 километров в секунду. Эквивалентная тепловая энергия одного грамма составляет при такой скорости 15 180 калорий... Энергия нитроглицерина — наиболее бризантного взрывчатого вещества, которым мы располагаем, — равна менее 1500 калорий на 1 грамм. Следовательно, само это взрывчатое вещество располагает всего лишь 1/10 той энергии, которая необходима ему, чтобы оторваться от Земли, даже если у него не будет никакой дополнительной нагрузки... Отсюда явствует, что это предложение неосуществимо в самой своей основе...»
      Негодующие читатели публичной библиотеки города Коломбо стали сердито указывать на табличку «Соблюдать тишину», когда я обнаружил вышеприведенный перл. Он заслуживает более подробного рассмотрения, чтобы установить, как получилось, что эта, с позволения сказать, «порочная специализация» настолько сбила почтенного профессора с толку.
      Первая ошибка его таится в фразе: «Энергия нитроглицерина — наиболее бризантного взрывчатого вещества...» Казалось бы, любому ясно, что от ракетного горючего мы требуем энергии, а не бризантности, не стремительности ее высвобождения; нитроглицерин и другие аналогичные взрывчатые вещества содержат на единицу веса значительно меньше энергии, чем такая смесь, как керосин с жидким кислородом. Это подчеркивалось Циолковским и Годдардом много лет назад.
      Вторая ошибка Бикертона еще более непростительна. В конце концов пусть нитроглицерин располагает всего лишь 1/10 энергии, необходимой для преодоления земного тяготения. Это означает только, что для запуска в космос одного килограмма полезного груза придется взять 10 килограммов нитроглицерина.
      Ведь самому-то топливу вовсе не нужно покидать нашу планету; оно может быть израсходовано вблизи от ее поверхности — вся суть дела в том, чтобы была сообщена необходимая энергия полезному грузу. Когда через 33 года после заявления профессора Бикертона о невозможности космических полетов был запущен «Лунник-Н», большая часть из нескольких сот тонн ке-
      росина и жидкого кислорода, затраченных на его запуск, была израсходована весьма недалеко от Земли, но полтонны полезного груза достигли моря Дождей на Луне».
      Думается, что мне комментировать эти строки нет никакой необходимости.
      Не будем далее тратить время на разбор правдоподобных рассуждений, относящихся к проблеме движения тел в космическом пространстве или к каким-нибудь другим проблемам. Я лишь хотел показать, что правдоподобные рассуждения даются нелегко.
      Степень убедительности правдоподобных рассуждений в разных науках различна. Если в физике это довольно убедительные рассуждения, то в гуманитарных науках, а подчас и в естественных степень правдоподобности таких рассуждений бывает весьма незначительной.
      Среди математиков бытует такой анекдот.
      «Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 15, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится и на них, то он считает экспериментальные данные достаточными».
      «Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Инженер подозревает, что все нечетные числа — простые (то есть не делящиеся нацело ни на что, кроме себя и единицы). Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, — доказывает он. — Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай — оно, по-видимому, не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, — говорит он. — Я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента».
      «Но, — говорит инженер, — посмотрите на врача. Он разрешил безнадежному больному уремией съесть борщ — и тот выздоровел. Врач пишет научную работу о том, что борщ помогает при уремии. Но затем сам дает подобному больному борщ — и тот умирает. Тогда в гранках врач исправляет: «Борщ помогает в 50 процентах случаев».
      «Да, но хорош математик, — говорит врач. — На вопрос: «Как поймать льва в пустыне?» — он отвечает: «Что значит поймать льва? Это означает — отгородить
      льва от себя решеткой. Я сажусь за решетку — и лев, по определению, пойман!»
      Я надеюсь, что читатели не будут на меня в обиде за такую сравнительную оценку. Мне кажется, что в определенной мере подобное соотношение правдоподобности рассуждений в перечисленных науках соответствует действительности.
      Во многих случаях это не вина специалистов, а их беда. Трудности в естественных и гуманитарных науках подчас столь велики, что рассчитывать на многократные и специально поставленные опыты почти невозможно. Поэтому приходится довольствоваться имеющимися данными. Правда, далеко не всегда так безнадежно обстоит дело; часто можно успешно повысить убедительность и правдоподобность доводов. А для этого нужно учиться правдоподобным рассуждениям.
      Приведенные примеры показывают, что индукция может привести к ошибке, но ведь это случается не всегда, иначе мы бы давно перестали ею пользоваться.
      Я хочу подчеркнуть, что в математике мы так же широко пользуемся индукцией и аналогией, экспериментом и наблюдением, как и в других науках.
     
      Индукция и математическая индукция *
      * Этот раздел в значительной мере заимствован из уже упомянутой книги Д. Пойя «Как решать задачу».
      Индукция есть процесс познания общих законов путем наблюдения и сопоставления частных случаев. Методом индукции пользуются все науки, в том числе и математика. Математической же индукцией пользуются только математики для доказательства теорем определенного типа. Между этими методами почти нет логической связи. Однако терминологическая путаница — довольно распространенное явление. Впрочем, об этом еще будет речь. Но некоторая практическая связь между индукцией и математической индукцией все же есть, вследствие чего проиллюстрируем оба метода одним и тем же примером.
      Заметив, что в левой части равенства:
      1 + 8 + 27 + 64 = 100
      стоят кубы последовательных натуральных чисел, а в правой части квадрат, перепишем его и получим такое интересное равенство:
      I3 + 23 + З3 + 43 = 102.
      Вам, читатель, может, конечно, показаться, что ничего интересного тут нет: подумаешь, сумма кубов каких-то там чисел равна какому-то квадрату! Тут самое удобное время спросить меня: «Ну и что?»
      Несколько лет назад на лекции аспирантам-инжене-рам по теории аналитических функций я сказал об одной из теорем: «Обратите внимание на этот неожиданный и замечательный факт». Кто-то из слушателей, со скучающей физиономией записывавший лекцию, заметил уныло: «Что же, прикажете удивляться?» Тут уж удивился я. Научный работник должен удивляться и радоваться всяким неожиданным фактам и поворотам мысли, иначе он не ученый, а зевака. Любопытство, здоровое любопытство, и любознательность и ведут ученого от задачи к задаче, а потеряв способность удивляться и получать удовольствие от новых сведений, ученый уже не может открывать новое.
      Как-то один из наших выдающихся физиков шутя сказал, что научная работа — это удовлетворение любопытства ученого за счет государства. Ъ равной мере "можно сказать, что актерское ремесло есть удовлетворение актерского тщеславия за счет зрителей. Для общества важно, конечно, чтобы эта работа — в науке или искусстве — приносила в конечном итоге другим людям пользу.
      Пожалуйста, поймите меня верно, читатель. Я вовсе не считаю, что подобное любопытство должно в равной мере проявляться ко всем наукам или всем проблемам. Поэтому, если вам покажется неинтересным обсуждаемый вопрос, а он выбран лишь для иллюстрации метода индукции, пропустите этот раздел.
      А мы вернемся к нашей проблеме.
      Часто ли случается, что сумма кубов последовательного ряда чисел есть квадрат какого-нибудь числа? Отчего это может быть?
      Формулируя вопрос таким образом, мы уподобляемся естествоиспытателю, который, находясь под впечатлением впервые найденного растения или обнаруженной им закономерности в чередовании пластов земли, ставит обобщающий вопрос. В нашем примере такой обобщающий вопрос связан с суммой кубов натурального ряда чисел.
      I3 + 23 + З3 + + «3.
      К этому общему вопросу нас привел «частный случай»: п — 4.
      Что же мы можем предпринять для выяснения нашего вопроса?
      Поступим так, как поступил бы естествоиспытатель: исследуем другие частные случаи. Частные случаи, соответствующие п — 2 и п = 3, проще рассмотренного выше. Случай п = 5 следует по порядку за рассмотренным. Ради последовательности и полноты добавим еще и случай п= 1. Аккуратно записав все эти равенства, точно так же, как геолог разложил бы образцы какой-нибудь руды, мы получим следующую таблицу:
      Трудно поверить, что все эти суммы чисел последовательных кубов случайно представляют собой квадраты. В подобной ситуации естествоиспытатель не очень бы сомневался в том, что наблюдения подсказывают общую закономерность. Общая закономерность чуть ли не доказывается индукцией. Математик же высказывается более сдержанно, хотя в глубине души, конечно, думает так же. Он скажет, что индукция настойчиво подсказывает следующую теорему:
      Сумма первых п кубов есть квадрат.
      Таким образом, мы приходим к предположению о существовании замечательной, несколько загадочной закономерности. Почему суммы чисел последовательных кубов должны быть квадратами? Но, как видно, они являются таковыми.
      Как поступил бы естествоиспытатель в подобном случае? Он продолжал бы исследовать свое предположение. Поступая так, он вел бы исследование в различных направлениях и накапливал бы дополнительно опытные данные. Если бы мы стали на этот путь, нам нужно было бы проверить следующие по порядку случаи: п = б, п = 7...
      Естествоиспытатель мог бы также вновь исследовать те факты, которые привели его к такому предположению. Он тщательно сравнивал бы их, пытался бы выявить какую-нибудь более глубокую закономерность или какие-нибудь дополнительные аналогии. Мы поведем свое исследование в том же направлении.
      Для этого вернемся еще раз к нашей таблице и вновь рассмотрим случаи n = 1, 2, 3, 4, 5. Почему суммы этих кубов оказываются квадратами? Что можно сказать об этих квадратах? Основания этих квадратов равны 1, 3, 6, 10, 15. Что можно сказать о них? Есть ли какая-нибудь более глубокая закономерность, какие-нибудь дополнительные аналогии? Во всяком случае, кажется, что их возрастание подчинено какой-то закономерности. Как же они возрастают? Оказывается, что и разность между двумя последовательными основаниями тоже возрастает. В самом деле:
      3 — 1=2; 6 — 3 = 3; 10 — 6 = 4; 15 — 10 = 5.
      Закономерность возрастания этих разностей бросается в глаза, и мы подмечаем аналогию в основаниях этих квадратов. Попробовав разные варианты, остановим свое внимание на убедительной закономерности ряда чисел 1, 3, 6, 10, 15:
      1 = 1 3=1+2 6 =1+2+3 10=1+2 + 3 + 4 15 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5
      Если эта закономерность имеет общий характер (а трудно поверить, что это не так), то теорема, которую мы предположили справедливой, принимает более точную форму, а именно: для п = 1, 2, 3,...
      I3 + 23 + З3... + п3 = (1 +2+3 +... +п)2.
      Я не буду здесь останавливаться на ходе дальнейших рассуждений, но, не желая оставлять читателя в недоумении, приведу окончательную формулу:
      I3 + 23 + З8 Н-+ к3 = [и(?±1)2
      Читатель, владеющий методом полной математической индукции, теперь без труда сможет доказать сформулированную выше теорему.
      Изложенная закономерность была обнаружена при помощи индукции. Весь ход рассуждений, правда несколько односторонний и несовершенный, но, во всяком случае, правдоподобный, дает некоторое представление об этом методе. Индукция пытается раскрыть закономерности и связи, скрытые от наблюдателя за внешними явлениями. Ее наиболее известные средства — обобщение, специализация и аналогия. Обобщение возникает из стремления понять наблюдаемые факты, а проверяется дальнейшими частными случаями.
      Подобные индуктивные рассуждения, только относящиеся к значительно более содержательному материалу и требующие смекалки, догадки, аналогий, и служат методом работы математика.
     
      Драматическая история проблемы решения уравнений
      То, что индуктивные доводы и аналогии далеко не всегда приводят к правильным выводам, хорошо известно. Вспомним событие в математике, о котором было упомянуто раньше, — проблему решения алгебраических уравнений. Я говорил, что в течение 300 лет, вплоть до начала XIX века, математики пытались найти формулы для решения алгебраических уравнений степени выше четвертой: например, решить общее уравнение пятой степени:
      где Я, а2, Яз, я4, as — произвольные числовые коэффициенты. Они искали формулу, выражающую корень этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Их заставляла работать в этом направлении именно индукция; ведь для уравнений до четвертой степени включительно такие формулы были найдены и дались человечеству тоже не легко. Кроме того, как это показал Гаусс, алгебраическое уравнение всегда имеет корни, причем ровно столько
      корней, какова степень уравнения. Понадобился гений Абеля и Галуа, чтобы разрешить проблему.
      В начале XIX века молодой норвежский математик Нильс Хенрик Абель занимался этой проблемой. Ему показалось, что найдено решение уравнения пятой степени. Однако после радостей наступили разочарования: добросовестно проверив все свои выкладки, Абель нашел ошибку. Долгие и упорные размышления привели его к уверенности в обратном: уравнение степени выше четвертой, вообще говоря, нельзя разрешить в радикалах. Абель доказал это утверждение, и его теорема была поворотным пунктом в проблеме решения уравнений. Следует сказать, что имя Абеля в математике занимает одно из самых почетных мест. Его работы по проблемам математического анализа глубоки и разнообразны. Хотя Абель был признан при жизни крупнейшими европейскими математиками, умер он в нищете от туберкулеза двадцати семи лет от роду *.
      Примерно в то же время решение уравнения пятой степени «нашел» и юный Эварист Галуа. Он так же, как и Абель, глубоко пережил разочарование после обнаружения ошибки в рассуждениях и так же нашел в себе силы дальше продолжать работу.
      Я не имею здесь возможности подробно рассказать об удивительной истории великого французского математика Эвариста Галуа. Но несколько слов написать просто необходимо. В короткой и бурной жизни Эвариста Галуа все было неожиданным. Увлечение математикой и активное участие в политической жизни, провалы на экзаменах по математике при поступлении в Политехническую школу и исключение из Нормальной школы по политическим мотивам, тюремное заключение и смерть на дуэли, когда ему еще не было и 21 года. И все же Галуа совершил подлинный переворот в науке. Судьба его работ тоже необыкновенна. Они не вызвали никакого интереса при жизни и были забыты после его смерти. Лишь полстолетия спустя их вновь
      * О трагической жизни Абеля написана интересная книга О. Оре «Нильс Хенрик Абель» (Физматгиз, 1961).
      Не менее увлекательны книги об Эваристе Галуа: Л. Инфельд, «Эварист Галуа. Избранник богов» в серии «Жизнь замечательных людей» и А. Дальма «Эварист Галуа — революционер и математик» с подледдовием А. Яглома. Этого послесловия я и придерживаюсь в дальнейшем.
      открыли, и они оказали колоссальное влияние на развитие математики. Этих работ немного. Дошедшие до нас труды Галуа изложены на шестидесяти небольших страницах. Впрочем, изучение их требует значительных усилий. Галуа испытывал отвращение к громоздким выкладкам, поэтому его формулировки предельно сжаты.
      В задаче о решении алгебраических уравнений Эварист Галуа пошел новым путем. Решить уравнение — это значит найти, чему равны его корни. Галуа изучал самый общий случай уравнения произвольной степени. Заметим, что практически никому не нужно точное решение любого конкретного уравнения: математики должны указать лишь методы вычисления приближенных значений корней. Эти приближенные значения вполне удовлетворяют нужды и физиков, и химиков, и инженеров. Как я уже упоминал, сейчас можно получить сколь угодно точные результаты, прибегнув к помощи вычислительных машин. Но изучение общих уравнений с буквенными коэффициентами недоступно для приближенных методов.
      Вы можете записать общее алгебраическое уравнение и обозначить буквами его корни. Но эти корни, разумеется, являются неизвестными. Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений и установил некоторые общие соотношения, которым подчиняются корни. Пример такого соотношения: один корень есть определенная функция двух других.
      Однако прославили имя Галуа не результаты в проблеме решения в радикалах уравнений высших степеней, а те общие методы, которые он создал для изучения свойств уравнений. Основной заслугой Галуа — создателя современной высшей алгебры и одного из основных творцов всей современной математики — является использование в решении стоящей перед ним конкретной задачи общего понятия группы.
      Группой в математике называется совокупность элементов любой природы, для которых определена некоторая операция, называемая групповым сложением Эта операция ставит в соответствие каждым двум элементам группы — скажем, элементам а и & — третий ее элемент — их сумму а+Ь. При этом должны выполняться лишь некоторые правила действий, похожие на
      правила арифметики. Например, должен иметь место «ассоциативный закон», согласно которому для любых трех элементов а, Ъ, с, группы {а+Ь) +с=а+ (Ь+с), или иногда — «коммутативный закон» a+b = b+a.
      Непосвященному кажется, что подобные законы, к которым все давно привыкли в арифметике, всегда выполняются, и математики зря тратят силы на очевидные вещи. На самом же деле очевидное бывает и вовсе не верным. В самом деле, наши элементы а, &, с, d, . . . могут иметь любую природу, а операция — скажем, операция сложения, — должна быть лишь определена в множестве этих элементов и удовлетворять аксиомам. Если сначала обезболить, а затем вырвать зуб или сначала вырвать зуб, а затем обезболить, то едва ли вы согласитесь, что от такой перестановки «сумма», то есть обезболивание плюс вырванный зуб, не изменилась.
      В этом случае сакраментальная фраза «От перестановки слагаемых сумма не меняется», как видите, просто не верна.
      Группу могут образовывать числа, функции, поворо- . ты или другие движения. Впрочем, изучать удобнее абстрактные группы, элементами которых являются математические символы, смысл которых до определенной поры никак не уточняется. Именно в чрезвычайной общности понятия группы и заключается ее главная ценность. В самой математике и ее приложениях, в самых разнообразных проблемах других наук удобно пользоваться тем, что изучаемые объекты образуют группу. Это дает возможность связывать и изучать совместно разделы математической науки, ранее казавшиеся очень далекими друг от друга.
      Важным примером группы являются так называемые группы подстановок. Ученики в классе занимают определенные места за партами. Если пересадить как-нибудь этих учеников — например, Катю с Сережей, а Иру с Алешей, в классе произойдет перетасовка, или, как говорят математики, подстановка. Разумеется, некоторые ученики при пересаживании-подстановке могли остаться на месте. «Суммой» двух подстановок (то есть пересаживаний) естественно назвать подстановку, возникающую при последовательном пересаживании школьников одним способом, а вслед за этим — другим. При таком определении понятия «сумма подстановок» сами подстановки образуют группу.
      Этот пример, допускает дальнейшее развитие. Ученики класса в ряде отношений различаются между собой: среди них есть мальчики и девочки, успевающие и отстающие, недисциплинированные и паиньки, близорукие и дальнозоркие. При рассаживании учеников по нартам эти различия накладывают определенные ограничения на их размещение. Например, близорукие школьники должны сидеть на передних партах; сорванцов нельзя сажать за одну парту и т. д. Совокупность подстановок — пересаживаний, удовлетворяющих подобным требованиям, — образует некоторую «группу подстановок». Она тесно связана с конкретным составом учеников в данном классе; в другом классе группа подстановок, как правило, будет другой. Несколько упрощая картину, такую группу подстановок можно было бы назвать «группой Галуа» этого школьного класса.
      При изучении свойств совокупности уравнений Эварист Галуа действовал аналогично. Вместо учеников какого-то класса он рассматривал корни определенного алгебраического уравнения. Корни связаны какими-то алгебраическими соотношениями (например, один корень может равняться сумме двух других). Галуа сопоставил каждому уравнению группу подстановок его корней, состоящую из всех подстановок, не нарушающих соотношений между корнями. Исследование этой группы позволяет очень многое сказать о самих корнях. Оказывается, когда группа Галуа алгебраического уравнения обладает определенными, легко проверяемыми свойствами (такие группы называют разрешимыми), то уравнение оказывается разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты при помощи явных алгебраических формул, содержащих лишь операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. В противном случае это будет не так. Следовательно, для выяснения разрешимости данного уравнения в радикалах надо лишь составить его группу Галуа и проверить, является ли она разрешимой или нет.
      Таким образом, Галуа полностью ответил на долго мучивший человечество вопрос: когда алгебраическое уравнение может быть разрешено в радикалах.
      После «переоткрытия» работ Галуа (вторая половина прошлого века) началось широкое проникновение новых методов во все области математики. И в настоящее время понятие группы наряду с понятиями числа, множества, функции и преобразования является одним из самых основных во всей современной математике.
      О дифференциальных уравнениях, играющих очень большую роль в математике, уже была речь. Их решение и изучение свойств не легче, а труднее, чем изучение алгебраических уравнений. Следуя по пути Галуа, можно сопоставить каждому дифференциальному уравнению группу, подобную группе Галуа алгебраического уравнения. Этот метод, принадлежащий норвежскому математику Софусу Ли, дает возможность изучать весьма важные и глубокие свойства дифференциальных уравнений.
      Введение в геометрию понятия группы изменило в значительной мере саму эту область математики. Знаменитый немецкий математик Феликс Клейн в 1872 году сопоставил каждому разделу геометрии свою группу и объявил основной задачей геометрии изучение свойств соответствующих групп.
      В дальнейшем эти идеи Клейна и Ли оказались весьма плодотворными для самых различных разделов математики и математической физики, и особенно для современной квантовой физики.
      И сегодня математический аппарат теории групп является одним из основных инструментов теоретической физики.
     
      Разговор с инженером-технологом
      Раньше я писал, что встречи математика со специалистами других областей знания обогащают обе стороны. Кроме того, их совместная работа может дать вполне ощутимый, а иногда и значительный экономический или производственный эффект или наметить пути для его достижения. Состоялась такая встреча у меня и с инженером-технологом в области нефтепереработки.
      Он. Не поможете ли вы нам построить математическое описание процесса первичной переработки нефти?
      Я. Это как будто трудная задача. Если я не ошибаюсь, речь идет об очень сложном процессе?
      Он. Да, процесс довольно сложный.
      Я. Опишите его, пожалуйста, хотя бы в общих чертах.
      Он. Сырая нефть поступает на ЭЛОУ — электрообессоливающую установку, — где из нее удаляют значительный процент соли. Затем нефть поступает в первую колонну, и в ней путем подогрева отгоняются самые легкие фракции. Оставшаяся часть подогревается еще сильнее, и от нее отделяется новый ряд фракций. Этот процесс отгонки определенных нефтяных фракций из нефти повторяется несколько раз.
     
      Мне показывают блок-схему процесса — собственно, лишь схему его частичной автоматизации. Схема в довольно мелком масштабе занимает лист бумаги шириной в 1 метр и длиной в 5 метров. Конечно, разобраться в ней быстро нет никакой возможности. Забегая вперед, скажу, что через несколько дней после разговора я был на нефтеперерабатывающем заводе. Шары диаметром 10 метров — ЭЛОУ; 30 — 40-метровые блестящие ректификационные колонны; газовые печи, поддерживающие температуру в несколько сот градусов; операторные, где на приборных досках находится два десятка приборов, регистрирующих давление, температуру и другие показатели; расстояния от одной установки до другой в сотни метров... Хотя я неоднократно все это видел на картинках и в кинохронике, в натуре оно выглядит эффектнее и более впечатляюще. Впрочем, вернемся к разговору.
      Я. Сколько же управляющих параметров определяют процесс?
      Он. Не могу сказать точно, надо подсчитать. Во всяком случае, порядка сотни. Но среди них есть такие, которые не нуждаются в управлении (то есть в изменении во время течения процесса),
      достаточно поддерживать их значения в определенных пределах.
      Я. Что же получается в результате?
      Он. Получаются различные фракции: от легких бензинов до масел.
      Я. Чего же вы хотите?
      Он. Нужно составить математическое описание этого процесса.
      Я. Зачем?
      Он. Нам нужно управлять процессом.
      Я. Но вы и сейчас им управляете.
      Он. Да, но не очень хорошо — скорее кое-как, только чтобы процесс шел нормально. А если бы улучшить его за счет оптиматизации управления хоть на один процент, это дало бы огромный эффект.
      Я. Значит, сейчас управление осуществляется на глазок?
      Он. Ну, не совсем на глазок.
      Я. Все же многие вопросы управления процессом решает оператор по своему опыту и разумению?
      Он. Да, это похоже на истину.
      Я. Чего же должен добиваться оператор? Или операторов несколько?
      Он. Операторов несколько, и каждый из них должен так изменять величины, которыми он управляет, чтобы процесс шел в определенных пределах.
      Я. Скажите, а исходное сырье — нефть — имеет однородный состав или оператор должен следить за его составом?
      Он. Нефть состоит из сотен углеводородов, и их процентное содержание в ней заметно колеблется. Но обычно завод в течение длительного времени получает однородную нефть либо иногда предпринимает специальные меры, чтобы сделать ее однородной, если состав различен.
      Я. Значит ли это, что в первом приближении состав сырой нефти можно считать постоянным?
      Он. Да, пожалуй.
      Я. Но все же какие-то изменяющиеся характеристики исходного продукта приходится учитывать?
      Он. Да, конечно. Важнейшую роль играет, например, температура сырой нефти, и поэтому до подачи в ректификационную колонну ее специально подогревают.
      Я. Хорошо. Сколько же параметров сырой нефти использует технолог? Речь идет о таких параметрах, в зависимости от которых надо менять режим процесса.
      Он. Кроме температуры, приходится учитывать расход — количество подаваемой нефти в минуту. Иногда приходится учитывать давление.
      Я. Итак, будем считать, что исходный продукт, то есть вход системы первичной переработки нефти, описывается тремя изменяющимися параметрами, то есть тремя числами. Теперь давайте аналогично опишем результат переработки.
      Он. Давайте перечислим. В результате первичной переработки мы получаем бензин разных марок, реактивное топливо, дизельное топливо, газойль, масла и гудрон. Получается около десяти величин.
      Я. И свойства каждой из них можно определить одним числом?
      Он. Ну что вы! Каждый из компонентов описывается по меньшей мере несколькими числами. Например, качество бензина определяется октановым числом, фракционным составом и плотностью.
      Я. Меня это не устраивает. Сколько переменных (числовых величин) нужно задать, чтобы в основном характеризовать все выходные продукты? Иначе говоря, какие характеристики качества выходных компонентов являются существенными?
      Он. Все эти характеристики долго перечислять, их много. Но я думаю, что для начала примерно двумя десятками чисел можно обойтись.
      Я. Теперь представим себе всю ситуацию. Имеется процесс, который описывается тремя переменными на входе, двадцатью переменными на выходе и сотней управляемых и регулируемых параметров. Какую же задачу надо решить?
      Он. Надо дать математическое описание этого процесса.
      Я. Хорошенькое дело! Вы хотите построить математическую модель такого сложного процесса. А как вы себе представляете это описание? Нужно написать систему уравнений, связывающих все эти 130 переменных?
      Он. Да, это было бы желательно.
      Я. А вам известны связи между переменными?
      Он. Качественно известны.
      Я. Что значит — качественно? Например, какова зависимость удельного веса светлых фракций от температуры вспышки?
      Он. Нет, многие детали нам не известны. Качественно — это значит, что, например, при большем удельном весе сырой нефти температура вспышки возрастает.
      Я. Но как же можно написать полную систему уравнений, когда далеко не все связи между переменными известны?
      Он. Если бы я знал ответ на этот вопрос, то не пришел бы к вам.
      Я. Кажется, вы меня перепутали с богом! Но, предположим, я каким-то фантастическим способом выявил связи и написал эти уравнения. Ну и что?
      Он. Как это — ну и что? Если бы уравнения были написаны, то мы бы их использовали для определения оптимального управления.
      Я. Это ясно. Но что же надо оптимизировать?
      Он. Так я же говорю — управление.
      Я. Нет, управление — это целесообразный выбор значений управляющих параметров. А оптимизировать нужно выход. Какую же характеристику выхода нужно оптимизировать?
      Он. Как когда. Иногда нужно максимизировать какую-либо одну, а иногда несколько.
      Я. Когда нужно добиться максимума одной характеристики, это еще более или менее понятно, хотя не до конца. Скажем, можно предложить оптимизировать выход дизельного топлива, а на остальные компоненты не накладывать никаких требований: что получится, то получится.
      Он. Да, иногда так и поступают.
      Я. Но при этом могут получаться различные в процентном отношении комбинации других компонентов. Какая же из них более желательна? Какая лучше?
      Он. Как когда, бывают разные требования. Но в общем едва ли кто-либо из технологов вам сможет точно ответить на этот вопрос.
      Я. Но как нужно понимать максимизацию сразу нескольких компонентов? Они же связаны между собой.
      Он. Да, мы это знаем, но часто перед технологами ставят задачу увеличить отбор сразу нескольких компонентов. И тут мы не знаем, как поступить.
      Я. Но, не ответив на эти вопросы, нельзя даже сформулировать задачу оптимизации. Давайте разбираться подробнее во всей ситуации.
      Что такое — лучше?
      Есть такая шутка: лучше быть богатым, но здоровым, чем бедным, но больным. Конечно, лучше!
      Но вот что лучше: быть богатым и больным или бедным и здоровым? На этот вопрос нельзя ответить сразу, нужно договориться о действительном содержании понятий — богатый и бедный, больной и здоровый. Однако после этого возникнет еще более сложный вопрос: что значит — лучше?
      У нас часто употребляют слова «в целях улучшения...» или «в целях поощрения...» и т. д. Это ошибочные обороты речи, в них нельзя вложить точный смысл, так как не может быть несколько целей сразу.
      Вы, возможно, не согласитесь со мной. Например, скажете вы, можно добиваться сразу успехов в науке и спорте или перевыполнять план по нескольким показателям. Я постараюсь показать противоречивость такой постановки вопроса.
      Начнем с оценки выполнения плана. Представьте себе два одинаковых предприятия — скажем: «Волга» и «Десна», выпускающие дамские и мужские велосипеды. Планы у них одинаковы: в месяц они должны выпускать по 900 мужских и по 600 дамских велосипедов. В текущем месяце «Волга» выпустила 1000 мужских и 550 дамских велосипедов, а «Десна», соответственно, — 800 мужских и 800 дамских. «Волга» перевыполнила план по мужским велосипедам и недовыполнила по женским, а «Десна» — наоборот (см. таблицу).
      Подсчитаем выпуск по количеству изделий. По плану
      было предусмотрено 900+600=1500 велосипедов в месяц. В действительности «Волга» выпустила 1000+ + 550 = 1550 велосипедов, а «Десна» — 800 + 800 = 1600
      „Волга"
      Велосипеды Количество Валовая продукция По обобщенному показателю
      план фактически план в руб. фактически
      Мужские 900 1000 144 000 1000X100= = 100000 А = 94,5
      Дамские 600 550 550 X 90= = 49500
      Итого 15С0 1550 149 500
      „Десна"
      Велосипеды Количество Валовая продукция По обобщенному показателю
      план фактически план в руб. фактически
      Мужские 900 800 144000 800 X 100 = = 80000 А = 94,0
      Дамские 600 800 800 X 90 = 72 000
      Итого 1500 1600 152 000
      велосипедов. Итак, оба предприятия перевыполнили план по количеству изделий, и оба не выполнили план по номенклатуре. Но не выполнили по разным показателям. Какое же из этих предприятий работало лучше? Ясно, что в ситуации, когда имеется не два, а много показателей, по которым следует выполнять план, например, качество, фонд зарплаты, экономия материалов и т. д., вопрос о выборе лучшего предприятия будет еще более запутанным.
      Это противоречие можно решить только одним путем: нужно придумать один обобщенный показатель, характеризующий работу предприятия, и по нему сравнивать. Например, можно сравнивать работу предприя-
      тий по валовой продукции. Тогда месячный план следовало бы задавать в рублях. Предположим, что мужской велосипед стоит 100 рублей, а женский 90. Тогда следует задать месячный план этим предприятиям в сумме
      900* 100 + 600*90=144000 рублей.
      Теперь не нужно требовать с них выполнения плана по номенклатуре. В нашем примере валовая продукция «Волги» составила 1000*100+550*90=149500 рублей, а валовая продукция «Десны» 800*100 + 800*90 = = 152 000.
      Итак, «Десна» дала больше валовой продукции и, следовательно, работала лучше, хотя оба предприятия план по валовой продукции перевыполнили.
      Можно было бы оценивать работу по какому-либо другому обобщенному показателю, учитывающему и номенклатуру.
      Например, для стимуляции выполнения плана по номенклатуре при учете валовой продукции можно взять для характеристики работы предприятия сложный показатель А=Г-п, где D выполнение плана по валовой продукции (в процентах). Величину же л определим так:
      1) если план по номенклатуре выполнен, то л=1;
      2) если план по номенклатуре не выполнен лишь по одному из видов продукции, то л= — , где т — количество единиц по плану по этому виду, a mi — фактически произведенное количество по тому же виду;
      3) если план по номенклатуре не выполнен по обоим
      видам продукции, то л= * где е — количество единиц по плану по обоим видам, а в\ — количество фактически произведенных единиц продукции.
      При выполнении плана А = 100; при перевыполнении показатель Л100.
      В нашем случае, если произвести подсчет, получим: «Волга» — А=94,5;
      «Десна» — А =94,0.
      Таким образом, по этому обобщенному показателю «Волга» работала лучше, чем «Десна», хотя оба предприятия не выполнили план.
      Ясно, что подобных показателей можно предложить сколько угодно и всегда результаты будут разные.
      Как же указать способ выбора наиболее выгодного показателя?
      Подобные проблемы возникают повсеместно, и вот небольшой рассказ «Лифт» польского писателя Анато-ля Потемковского, в котором, как мне кажется, великолепно показаны трудности, возникающие при выборе критерия.
      «Пан Залзаневич написал заявление в домовый комитет о том, что ему, как это ни странно, приходится платить за лифт столько же, сколько и пану Паташонь-скому, хотя пан Паташоньский живет на тринадцатом этаже, а он, Залзаневич, — на втором.
      Мы решили, не откладывая в долгий ящик, тотчас же рассмотреть жалобу. Претензии пана Залзаневича показались нам вполне обоснованными.
      — Кто выше живет, тот должен больше и платить, — заметил пан Куця. — Сейчас составим таблицу жильцов.
      — Надо учесть также и состав семьи, — добавил Зызя. — Основным критерием должны быть человеко-этажи.
      — Кукуляк всегда поднимается на лифте с женой, — заявила баронесса. — Они никогда не расстаются. Два человека, а лифт поднимается один раз.
      — Введем коэффициент семейных чувств, — заявил пан Куця.
      — Надо учитывать также и вес, — вставила баронесса. — Паташоньский с женой весит меньше, чем одна пани Пшерадска.
      — Действительно, — согласился Куця. — Придется принимать в расчет общий вес семьи.
      — Летом или зимой? — спросил Зызя. — Зимой многие носят тяжелые шубы.
      — Ну что ж, введем контрольное ежемесячное взвешивание жильцов. А то кто-нибудь поправится, а другие будут в ущербе.
      Казалось, что мы уже недалеки от принятия разумного решения, но вдруг кто-то вспомнил о гостях.
      — Введем определенный коэффициент и на гостей, — заявил Куця.
      — Гости бывают разные, — заметил Зызя. — Кому-нибудь надо на второй этаж, а он попал по ошибке на Третий. Значит, надо ехать обратно на второй этаж.
      В результате вместо одного он едет три этажа. За глупых гостей следует больше платить.
      — Да, необходим коэффициент интеллигентности гостей, — заключил пан Куця.
      — Нельзя забывать и об их весе, — вставил Зы-зя. — Интеллигентный толстяк может обойтись дороже, чем худой идиот.
      — Все это надо хорошенько обдумать, — сказала баронесса.
      После детального анализа мы зашли к пану Залза-невичу, и каждый (от имени всех) дал ему по шее.
      С какой стати он морочит нам голову своими делами?!
      Потом мы поехали на лифте на тринадцатый этаж ужинать к Паташоньским».
      Итак, постановка вопроса о выборе наиболее выгодного показателя бессодержательна, ибо на этот вопрос нельзя дать вразумительный ответ, годный на все случаи жизни.
      Попробуйте ответить на вопрос: какой вид транспорта лучше — поезд, самолет, теплоход или ишак? Ясно, что это зависит от ситуации. При поездке в командировку из Москвы в Новосибирск лучше лететь самолетом, из Москвы в Звенигород лучше ехать поездом, в свадебное путешествие очень хорошо отправиться на теплоходе, а в горах лучше воспользоваться ишаком.
      Таким образом, ответ на вопрос зависит от самой задачи, от ситуации.
     
      Критерий
      В предыдущем примере выбор лучшего вида транспорта зависел от ситуации. Скажем, для свадебного путешествия предпочтительна поездка на корабле — комфортабельный теплоход обеспечивает более удобные условия жизни, интимную и романтическую обстановку, а торопиться молодоженам некуда. Однако здесь труд- но оценить количественно преимущества теплохода по сравнению с поездом.
      В большинстве технических задач, особенно при решении задач оптимизации, нужно иметь возможность количественно сравнивать разные варианты. Поэтому важно уметь f четко сформулировать количественный ! критерий.
      Вспомним о проблеме передвижения из точки А в точку В, когда прямой путь пролегает по грязи. Если мы предпочитаем миновать лужи, то задачу можно сформулировать так: среди всех путей, соединяющих точку А с точкой В и минующих лужи, определить путь наименьшей длины.
      Здесь критерий, по которому сравниваются пути, — длина пути. Задачу можно было поставить иначе: среди всех путей, соединяющих точку А с точкой В, найти тот, по которому можно пройти за наименьшее время.
      Критерий сравнения путей в такой постановке будет другим — это время, необходимое для передвижения вдоль пути из точки А в точку В.
      Может оказаться, что при решении обеих задач наилучшим будет один и тот же путь, например, точечная линия (рис. 67). Но задачи не одинаковы. Прежде всего исходный запас путей, среди которых выбирается наилучший, различен: при минимизации времени — это все пути между точками А и В, а при минимизации длины пути — лишь те, которые не проходят через лужи.
      Кроме того, у рассмотренных задач вполне возможны различные решения. Например, если вторая лужа достаточно узкая, то, решая задачу во второй постановке, можно выбрать путь, отмеченный пунктирной линией. Пользуясь им, пешеход должен просто перешагнуть вторую лужу, тогда этот путь будет короче отмеченного точечной линией.
      Вернемся к проблеме турбинного бурения скважин.
      Мы ставили задачу следующим образом: определить наибольшую возможную скорость проходки скважины.
      Однако зачем нужно добиваться наибольшей скорости проходки? Ответ кажется очевидным: чем больше скорость проходки, тем скорее будет пробурена скважина, а каждый ее день — это десятки и сотни тонн нефти.
      Но очевидный ответ оказывается ошибочным.
      В самом деле, нужно постараться возможно скорее пробурить скважину, то есть пробурить ее за наименьшее время. Но это может и не соответствовать бурению с наибольшей скоростью. Чем больше скорость вращения турбобура при прочих равных условиях, тем скорее стачивается буровой инструмент и, следовательно, тем чаще его надо будет заменять. Для замены же бурового инструмента приходится поднимать всю колонну стальных труб с глубины в несколько километров, а на это уходит очень много времени. Невольно вспоминается как-то не соответствующая нашему веку, но справедливая здесь пословица: «Тише едешь — дальше будешь».
      Итак, нам надо изменить постановку задачи: следует определить величину давления на забой и значения других существенных величин, при которых можно пройти всю скважину за наименьшее время.
      Как видите, другая постановка задачи и другой критерий. Теперь критерием качества бурения является время, затрачиваемое на бурение всей скважины, и, следовательно, задача состоит в минимизации этого времени. Оптимальная в смысле нового критерия скорость проходки оказывается меньше максимально возможной.
     
      «Нос поднимешь — хвост увязнет»
      В приведенных примерах значение критерия определялось одним числом.
      Задача оптимизации по данному критерию сводится, таким образом, к отысканию тех объектов (путей, значений параметров и т. д.), на которых значение критерия достигает экстремума. А нельзя ли все же -придумать критерий, значение которого задается сразу двумя величинами?
      Нельзя ли в противоречие с разобранным выше примером сравнивать деятельность предприятий и по выполнению плана выпуска валовой продукции и по номенклатуре сразу? Ведь можно же находить экстремум не только у функции одной переменной, но и у функции двух переменных?..
      Это недоумение в явном или неявном виде высказывается довольно часто. На самом же деле здесь идет речь о разных задачах. Представьте себе двух малышей, катающихся на детских качелях (рис. 68). Когда один опускается в самый низ, другой взмывает вверх. Каждому хочется находиться именно на самом верху. Они еще не овладели известной мудростью: «Нос поднимешь — хвост увязнет, хвост поднимешь — нос увязнет», и поэтому плачут при спуске и радуются при подъеме. Но никак нельзя добиться того, чтобы оба одновременно были в самом высоком положении.
      Сумма их расстояний до земли постоянна, она равна удвоенной величине расстояния от середины доски до земли. Таким образом, их высоты над землей не независимы, они связаны — сумма высот постоянна. Поэтому-то, когда один малыш поднимается, другой вынужден опускаться.
      Трудно, конечно, объяснить малышам (да и не только малышам), что умеренность — оптимальный образ поведения *, и наилучшее, чего могут достагнуть сразу, — это подняться на одинаковую высоту (рис 69). При этом оба не будут в восторге, но, возможно, плач прекратится.
      * У поэта Жуковского где-то сказано: «Умеренность есть лучший пир».
      Мы можем подвести итог. Когда речь идет просто о поиске экстремума для функции нескольких переменных, то предполагается, что эти переменные независимы: можно изменять любую из них, никак не влияя на значения других. Когда же речь идет о поиске экстремума не независимых переменных, а связанных между собой, то нужно учитывать эти связи. Тут мы столкнемся с понятием условного экстремума.
      Наконец, когда обсуждается количественный критерий для сравнения каких-то объектов, то этот критерий всегда должен выражаться лишь одной переменной. Его значения характеризуют разные объекты, и сравнение объектов между собой производится путем сопоставления значений критерия для этих объектов.
      Если значения критерия для двух объектов одинаковы, то с точки зрения их классификации по этому критерию объекты неразличимы. Лишь в этом случае имеет смысл обсуждать задачу выбора оптимального объекта, причем оптимальность объекта понимается именно так: для выбранного объекта критерий достигает экстремума.
     
      Близость
      Трудно ввести количественный критерий для измерения степени человеческой близости как духовной, так и той, другой близости, о которой дети узнают кое-что из иностранных кинокартин, лишь преодолев ненавистный им шестнадцатилетний рубеж.
      Но сейчас мне хочется остановиться на том аспекте близости, который позволяет ввести количественную меру. Это весьма важное понятие.
      Говорят: близкие геологические эпохи или близко расположенные города. Что это означает?
      Скажите, если расстояние между городами 200 километров, то они расположены близко или далеко? А если одна эпоха от другой отстоит на 200 миллионов лет, то это близкие эпохи или далекие? Конечно, внимательный читатель задаст встречный вопрос: близкие по сравнению с чем?
      Геологические эпохи измеряются миллионами лет; и если время между эпохами меньше их характерного размера, то можно говорить о близких эпохах.
      Расстояние между городами бывает десятки, сотни и тысячи километров. Расстояние между Москвой и Ле-ниградом велико по сравнению с расстоянием между Москвой и Серпуховом, но малб по сравнению с расстоянием между Ленинградом и Иркутском. Поэтому понятие «близко расположенные города» зависит от ситуации.
      Ясно, что для оценки близости двух точек на прямой, на поверхности или в каком-то другом пространстве нужно ввести меру расстояний между точками и указать единицу длины. Но этого недостаточно: нужно еще указать, по сравнению с чем оценивается близость. Иногда речь идет о близости по сравнению с единицей, в других случаях — о близости по сравнению с расстоянием между какими-то другими точками.
      Возможно, вы, читатель, скажете, что из этих тривиальных рассуждений не почерпнули ничего нового. Я почти согласен с вами. Но скажите, какая из кривых — точечная или пунктирная, — изображенных на рисунке 70, ближе к горизонтальной оси?
      Думаю, что вы оказываетесь в том же тяжелом положении, в котором находятся родители, когда им представляется возможность доставить удовольствие лишь одному из близнецов: отправить его с соседями на футбол. Один всю неделю не ел манную кашу, дважды отказывался чистить зубы и грыз ногти. Второй был безукоризнен, но в субботу, воспользовавшись специально сконструированным приспособлением из зеркал, трубок и рычагов, весь вечер подглядывал за старшей сестрой, когда к ней пришел жених. Вот и попробуйте выбрать среди них лучшего.
      Прочитавший предыдущие разделы читатель улыбнется и скажет: «Раньше уже был дан ответ на эти вопросы — нужно ввести критерий, в данном случае критерий близости двух кривых».
      Конечно, я с этим согласен — нужно придумать критерий. И мы даже знаем, что критерий зависит от задачи.
      Но какие критерии близости кривых можно предложить?
     
      Муся и Пуся
      Соседки Муся и Пуся — близкие подруги. И живут они близко, на одном этаже, в квартирах-близнецах. И имена у них близкие — различаются лишь в первой букве.
      Муся и Пуся после работы возвращаются вместе домой. Они открывают двери своих квартир и зажигают свет. Более энергичная Муся зажигает свет в комнате, кухне и ванной, включает радиоприемник и начинает готовить ужин.
      Пуся усаживается в кресло дочитывать трогательную повесть о вреде мясных супов в журнале «Здоровье».
      Муся слушает передачу «Для вас, женщины». Модная песенка:
      Дважды два,
      Дважды два,
      Дважды два — четыре,
      Уходя, гасите свет,
      Сила вся в кефире... —
      достигает цели — Муся тушит свет в комнате, коридоре и ванной. Вскоре кончается передача, она выключает приемник. Раздается стук в дверь. Это Пуся. Она, отдохнув, решила погладить, включила утюг и пережгла в своей квартире пробки. Муся приглашает Пусю к себе: до прихода их мужей с футбола пробки починить некому. Обсудив новый фасон вязки, они усаживаются смотреть телепередачу международного футбольного матча. Это им поможет скоротать время и не отстать от мужей по уровню интеллектуального развития.
      На рисунках 71 и 72 можно проследить, как изменялось потребление электроэнергии в квартирах у Муси и Пуси. По горизонтальной оси здесь отложено время, а по вертикальной — потребляемая мощность.
      В момент, когда Пуся включила испорченный утюг, произошло короткое замыкание, потребляемая мощность резко возросла, и пробки перегорели, так как они рассчитаны на мощность, не превышающую определенную величину. Кривая потребления упала до нуля — прекратилась ее подача в сеть.
      При оценке потребления электроэнергии могут быть, во всяком случае, два подхода.
      Показания электросчетчиков Муси и Пуси соответственно изменились на величины, пропорциональные площадям под кривыми изменения потребляемой электроэнергии. Площадь под Мусиной кривой больше, и, следовательно, Пусина кривая ближе к горизонтальной оси (нулевой линии), чем Мусина.
      Но при оценке кривых по их максимальному значению, а именно на это значение реагируют пробки, кривая Пуси значительно превзошла Мусину кривую, и при таком критерии Мусина кривая ближе к горизонтальной оси.
     
      Нестрашный интеграл
      Я упомянул о площади под графиком кривой. Придирчивый читатель потребует объяснений: в элементарной геометрии определяются площади фигур, ограниченных лишь отрезками прямых, а здесь речь идет о площади, ограниченной произвольной кривой. Правда, в средней школе площадь круга определяется посредством перехода к пределу от площади вписанных и описанных правильных многоугольников, но нечеткие рассуждения, опирающиеся на плохо аргументированное понятие предела, только затуманивают существо дела.
      Площадь — это определенная числовая характеристика части плоскости, ограниченной кривой. Для нахождения этой характеристики нужно, конечно, задать правила, по которым следует проводить вычисления. Обоснование этих правил в действительности требует серьезного развития теории пределов.
      Я попробую, читатель, изложить некоторые идеи и простые факты, не пользуясь теорией пределов, а опираясь на вашу интуицию.
      Речь идет прежде всего о том, как найти площадь, например, такую, как площадь под кривой на рисунке 73. Эта площадь ограничена отрезком а х Ъ на оси ОХ, графиком функции у = f(x) и двумя отрезками, параллельными оси ОУ и проходящими через точки а и 6. Идея вычисления площади S такой криволинейной трапеции состоит в замене исходной кривой близкой к ней ступенчатой кривой, которая представлена на том же рисунке. Площадь каждого из вновь полученных прямоугольничков легко вычисляется, и их сумма будет примерно равна искомой площади криволинейной трапеции. Чем меньше будут основания прямоугольничков (а их количество при этом будет возрастать), тем ближе будет сумма их площадей к площади криволинейной трапеции.
      При неограниченном увеличении числа прямоуголь-132
      ничков и уменьшении тем самым их ширины сумма их площадей будет приближаться к искомой площади. Эта предельная площадь и будет той площадью S под кривой У f(x) о которой идет речь. Она называется определенным интегралом функции у = f(x) на интервале (а, Ь) и обозначается так:
      Символ (интеграл) получился из буквы S — первой буквы латинского слова Summa (сумма) — посредством вытягивания вверх и вниз. Такое «преобразование» буквы 5 совершил великий Лейбниц, создавший одновременно с Ньютоном интегральное исчисление. Именно Лейбницу мы обязаны почти всеми обозначениями в интегральном и дифференциальном исчислениях. Буквы а и b внизу и вверху символа указывают начало и конец интервала, внутри которого определяется искомая площадь. Здесь dx не есть произведение букв d и х, а единый символ. Он носит название дифференциал и означает приращение самой переменной (величину оснований прямоугольников).
      Не подумайте, пожалуйста, читатель, что вы теперь уже знаете существо интегрального исчисления; ничего подобного! Однако для дальнейшего нам не понадобится интегральное исчисление.
      Для вычисления площадей, ограниченных замысловатыми кривыми, интегральное исчисление указывает лишь способы приближенного их вычисления. Но если
      вам действительно нужно определить площадь сложной фигуры, график которой у вас есть, то лучше поступите иначе. Числовое значение конкретной площади вам нужно знать всегда лишь с определенной точностью — скажем, с точностью до двух или трех десятичных знаков. Возьмите лист бумаги прямоугольной формы. Его площадь легко вычислить — для этого надо измерить стороны прямоугольника и перемножить полученные числа. После этого взвесьте лист на аналитических весах.
      Нарисуйте теперь интересующую вас фигуру на этом листе в подходящем масштабе, вырежьте фигуру и также взвесьте ее на тех же весах. Я надеюсь, что дальнейшие операции с полученными числами вам ясны.
      Это хороший способ для приближенного вычисления определенных интегралов — конечно, с небольшой точностью. Если же необходима большая точность, то пользуются методами математического анализа и вычисления проводят на вычислительных машинах.
      Прежде чем закончить разговор о вычислении площадей плоской фигуры, нужно еще сказать, что полезно ввести понятие отрицательной площади. Если кривая — график функции — находится под горизонтальной осью ох (рисунок 74), то ее площадь считается отрицательной. Это и понятно: значения функции y=f(x) здесь отрицательны, а основание криволинейной трапеции — величина отрезка на горизонтальной оси — положительная величина.
      Если же кривая y=f(x) пересекает ось ох, то части площади, расположенные над горизонтальной осью, будут считаться положительными, а расположенные под ней — отрицательными (рисунок 75). В частности, площадь, ограниченная отрезком синусоиды у = sinx, на интервале 0х2я равна нулю, так как площадь положительной полуволны равна площади отрицательной полуволны (рисунок 76).
     
      Пространство, расстояние, норма
      Многие слова в языке со временем приобретают новое содержание, подчас значительно более общее, чем исходное. Понятие «масса» — как большое количество чего-нибудь, имеет смысл и как густая смесь (сырковая или древесная масса), и как массивность (масса людей, и народные массы), и как одно из основных физических понятий.
      Аналогично понятие «пространство», как место между чем-то или как вмещающее что-то, приобрело новое более общее содержание. Мы с вами уже обсуждали понятие многомерного пространства — обобщение обычного пространства. Теперь мне хочется показать его дальнейшее обобщение, тесно связанное с понятием близости.
      Каждый знает, что в нашем пространстве расстояние (кратчайшее) между двумя точками Р и Q — это длина отрезка прямой между ними. Но мы живем не в пустом пространстве, а на Земле, и если считать Землю шаром, то расстояние между Москвой и Алма-Атой измеряется не отрезком прямой, а длиной дуги большого круга между этими пунктами. Вдоль дуги большого круга мог бы лететь самолет. Но если для поездки воспользоваться лишь железной дорогой, то расстоянием между Москвой и Алма-Атой следует считать длину железнодорожного пути, который идет по магистралям, в обход пустынь и, конечно, длиннее дуги большого круга.
      В городе расстояние между домом и местом работы измеряется тоже не прямой, а вдоль улиц города. При этом для пешехода и обладателя автомобиля это расстояние будет выражаться разным числом километров: при поездке на автомобиле нельзя воспользоваться проходным двором или улицей, на которой введено одностороннее движение транспорта. Впрочем, как правило, мы измеряем расстояние между домом и местом работы не километрами, а временем, затрачиваемым на дорогу.
      Представим себе проволочный каркас в форме параллелепипеда. Муравей, отправляясь из одной вершины в другую, должен идти по ребрам каркаса, и, следовательно, для него расстояние — это сумма расстояний, пройденных вдоль ребер. В разделе о Мусе и Пусе остался не выясненным до конца вопрос о мере близости кривых. Сейчас нам нужно придумать, как же измерять расстояние между кривыми.
      Все это заставляет математика задуматься: какими же общими свойствами обладают различные понятия расстояния? Размышления приводят к выделению следующих главных свойств.
      Расстояние между двумя точками Р и Q должно быть неотрицательным числом, и естественно считать расстояние равным нулю лишь тогда, когда точки Р и Q совпадают. Обозначим через г (Р, Q) расстояние от точки Р до точки Q.
      В обычном пространстве расстояния от Р до Q и от Q до Р одинаковы: г (Р, Q) — г (Q, Р). Это свойство называют симметричностью. Не подумайте, будто это всегда так: дорога от дома до пивной и от пивной до дома — разная. В городе, где введено на улицах одно-
      стороннее движение, расстояние между двумя пунктами, то есть длина пути, проходимого автомобилем из Р в Q и из Q в Р, может заметно отличаться. Но сейчас мы такие несимметричные ситуации оставим в стороне.
      Наконец, важнейшим является свойство сторон треугольника: сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны. Его можно записать так: если Р, Q, S — три произвольные точки пространства, то
      Г (Р, Q) r(P. S) + г (S, Q).*
      Представьте себе, что в наше распоряжение предоставлено некоторое множество объектов любой природы. Это могут быть точки на плоскости или в десятимерном пространстве, векторы или многочлены, функции или преобразования. Теперь сконструируем пространство из этих объектов. Объекты нового пространства часто называют точками или векторами. Никакой путаницы при этом не происходит: мы будем обращаться с элементами пространства — например, функциями или преобразованиями — так же, как обращаемся с точками или векторами в нашем обычном пространстве. И обозначать их будем так же — большими латинскими буквами.
      Теперь можно дать точное определение метрического пространства (то есть пространства, в котором имеется метрика — понятие расстояния). Таким пространством будет множество элементов какой угодно природы в том случае, если для любой пары Р и Q элементов множества определено вещественное неотрицательное число г (Р, Q), называемое расстоянием и обладающее следующими свойствами: во-первых, расстояние г (P,Q) — 0 тогда и только тогда, когда точки Р и Q совпадают, во-вторых, для любой тройки точек Р, Q, S пространства расстояние от Р до Q не превосходит сумму расстояний от Р до 5 и от S до Q (это называется аксиомой треугольника и записывается в виде формулы, отмеченной выше звездочкой), и, в третьих, расстояние симметрично.
      Наличие расстояния дает нам возможность разрешить проблему выбора критерия близости в множестве изучаемых объектов: если расстояние между объектами — маленькое число, то объекты близки. Конечно, остается открытым вопрос о том, какое число маленькое, но об этом уже была речь.
      Теперь я покажу, сколь общим оказывается так введенное понятие метрического пространства и насколько оно является неожиданным. Предположим сначала, что элементы (или, как мы условились называть, точки) Р, Q, S нашего метрического пространства — это функции y=p(t)\ y — q(t); y=s(t), заданные на каком-то временном интервале а t В множество таких функций можно ввести понятие расстояния по-разному. Обратимся, например, к функциям, описывающим потребление электроэнергии Муси и Пуси. В качестве расстояния между функциями можно взять наибольшую величину их разности (по абсолютной величине — расстояние должно быть неотрицательным). На рисунке 77 изображены функции у — р (/) и y — q (t); на рисунке 78 — их разность и на рисунке 79 — абсолютная величина их разности. Наибольшее значение этой последней и выбрано в качестве расстояния между функциями. Такое понятие расстояния было бы целесообразно выбрать при оценке потребления электроэнергии с точки зрения защиты пробок от пробоя.
      Если же вспомнить лозунги об экономии электроэнергии, то можно в качестве расстояния между теми же функциями взять площадь, заштрихованную на рисунке 79. Формула будет выглядеть так:
      Я надеюсь, вы уже хладнокровно отнесетесь к этой формуле, в противном случае просто не обращайте на нее внимания.
      Для обоих понятий расстояния — максимума абсолютной величины разности кривых или интеграла абсолютной величины разности — выполнены обе аксиомы метрического пространства. Если вы уже настолько приобщились к математической требовательности, что не верите мне на слово, то проверьте сами, это нетрудно сделать.
      Пусть расстояния на сфере — это длины дуг большого круга. Конечно, между двумя точками на окружности заключены две дуги, и их длины не одинаковы, если точки не расположены на разных концах одного диаметра- Но мы в качестве расстояния между этими точками будем брать длину меньшей из дуг. Тогда аксиомы метрического пространства также выполняются, и сфера при таком понятии расстояния между точками на ее поверхности оказывается метрическим пространством.
      Пространство обычно рисуется чем-то огромным и всеобъемлющим. Однако освоенное нами метрическое пространство может состоять, например, всего из трех точек — вершин какого-нибудь треугольника. В самом деле, если точки Р, Q, S — вершины треугольника, а расстояние между точками — это обычная длина отрезка прямой между ними, то обе аксиомы метрического пространства — равенство нулю расстояния между точками в случае их совпадения, симметрия и аксиома треугольника — выполняются.
      А больше ничего и не требуется!
      Позже я приведу еще один необычный пример метрического пространства.
      Вероятно, парадоксальность пространства, состоящего всего из нескольких отдельных точек, наводит вас на мысль, что при обобщении понятия пространства выбраны не самые существенные его свойства. Например, в обычном пространстве векторы можно складывать и умножать на вещественные числа и при этом получать новые векторы, принадлежащие тому же пространству. В метрическом пространстве это может и не выполняться, как показывает разобранный пример метрического пространства, состоящего из трех точек.
      При конструировании нового пространства можно сохранить операции сложения элементов пространства и умножения их на вещественные числа. Обычные свойства этих операций при этом сохраняются, и, в частности, относительно операции сложения элементы пространства образуют группу, о которой был разговор в связи с великими открытиями Эвариста Галуа. Такое пространство называется линейным.
      Векторы на плоскости при обычных операциях их сложения и умножения на числа образуют линейное пространство. Множество всех многочленов также образует линейное пространство. Действительно, сумма многочленов образует новый многочлен, так же как и при умножении на число многочлен остается многочленом. Но векторы имеют определенную длину. Если, как это часто делают, отнести векторы к началу координат, то длина вектора есть не что иное, как расстояние между концом вектора и нулевой точкой — началом координат.
      Если в линейном пространстве ввести понятие расстояния, то есть сконструировать пространство, которое будет и линейным и метрическим, то получим класс пространств, называемых линейными нормированными, или Банаховыми пространствами (по имени крупного польского математика, одного из создателей функционального анализа, Стефана Банаха, умершего в 1945 году).
      В линейном нормированном пространстве есть аналог длины вектора. Если элемент пространства обозначен буквой Р, а буквой О обозначен нулевой элемент, то длина элемента — это расстояние г(Р,0) между элементами Р и О. Это число называют нормой элемента и обозначают Р.
      Если сначала ввести в пространство норму, то расстоянием между двумя элементами Р и Q будет норма их разности Р — QII. В множество всех функций вида y — f(t), заданных на отрезке а Ь, можно, очевид-
      но, ввести норму многими способами. Скажем, используя понятия расстояния, о которых шла речь выше, в качестве нормы функции можно взять максимальное значение ее абсолютной величины \\f\\=max lf(t)l при При норме, введенной таким образом, и обычных операциях сложения функций и умножения их на числа полученное линейное нормированное функциональное пространство будет иметь бесконечное число измерений. При этом говорят, что такое пространство бесконечномерно.
      Как возникают термины
      Я позволю себе, читатель, сделать небольшое отступление. Его едва ли можно назвать лирическим, но оно, я надеюсь, как-то скомпенсирует тяжелое впечатление, вынесенное вами от формул и длинных рассуждений предыдущего раздела.
      Может возникнуть вопрос, почему норму — аналог длины вектора в пространстве — назвали нормой.
      Это законный вопрос, и он является частью общего: откуда вообще берутся новые термины?
      В словаре русского языка (составитель С. И. Ожегов) сказано:
      «НОРМА — ы, ж.
      1. Узаконенное установление, признанный обязательным порядок, строй чего-н. Юридическая н. Н. поведения. Нормы литературного языка.
      2. Установленная мера, средняя величина чего-н. Н. выработки. Н. выпадения осадков».
      В какой-то мере пункт 2 соответствует введенному нами понятию нормы, хотя, конечно, норма функции имеет смысл, отличный от нормы выработки или нормы хлеба, выдаваемого по карточкам.
      Математики весьма часто употребляют разные слова с корнем «норм». Имеются такие понятия, как нормальное пространство, нормальный оператор, нормальный делитель, нормальное распределение, нормальное уравнение, просто нормаль. Все это совершенно различные понятия и из различных областей математики.
      И если нормальному человеку противопоставляется ненормальный (хотя и неизвестно обычно, что это означает), то нет ненормальных уравнений, ненормальных распределений или ненормальных операторов.
      Вообще, вводя новый термин, ученый обычно не заботится о том, чтобы у этого слова имелся «напарник» с противоположным смыслом. Например, есть класс обыкновенных дифференциальных уравнений. Но вовсе нет необыкновенных дифференциальных уравнений. На самом деле обыкновенными называются дифференциальные уравнения с одним независимым переменным, а дифференциальные уравнения со многими независимыми переменными называются уравнениями с частными производными, а не необыкновенными.
      В математике матрицей называется прямоугольная таблица, например,такая:
      Ее элементами могут быть числа, буквы, функции. Название, как видите, аналогично типографской матрице — бумажной форме, служащей для отливки стереотипа. Но вот, скажем, для квадратной матрицы, у которой число строк равно числу столбцов
      сумма диагональных элементов ах + Ь2+Сз называется следом матрицы. Трудно провести аналогию между этим термином и известным словом «след»: звериный след, след преступления и т. д.
      Впрочем, сравнительно недавно крупный американский математик — специалист по теории вероятностей Дж. Л. Дуб (Doob) ввел новый термин — мартингал. Этим словом назван класс случайных или вероятностных процессов специального вида.
      Вот как звучит соответствующее определение из книги Дуба «Вероятностные процессы»:
      Несколько лет назад Дуб был в Москве и выступал на семинаре в МГУ. Его спросили, откуда взят тер-
      мин «мартингал». Хотя доклад профессор Дуб читал по-русски, для ответа на этот вопрос запаса русских слов ему не хватило. На доске он нарисовал довольно схематичную лошадь, обвел ее тощую шею овалом, который, по-видимому, должен был соответствовать хомуту, положил мел, ткнул пальцем в это место, сказав: «Вот это мартингал... а также то, что я раньше определил».
      Мне понравился такой смелый способ введения новых терминов: нет необходимости оправдываться перед ехидными коллегами и пояснять им сложную цепь ассоциаций, которая привела автора к этому термину. Достаточно того, что термин звучный, запоминающийся, чтобы он получил право на существование.
      Так произошло со словом кибернетика: греческий
      язык сейчас почти никто не знает, и споры о значении этого слова (кормчий, рулевой) и его ассоциативной связи с вопросами управления мало принесли пользы. Термин же, смело введенный Норбертом Винером, прижился и постепенно вытесняет многие длинные словосочетания вроде: «Теория автоматического регулирования и управления».
      Конечно, при введении новых терминов нужно руководствоваться чем-то большим, чем желание прославиться. Рассматриваемые объекты или явления должны быть достаточно важными, и нового термина должен заслужить класс описываемых явлений или объектов, а не тщеславный автор. В противном случае термин окажется мертворожденным, а автор подвергнется осуждению как лицо, засоряющее мусором места общего пользования.
     
      Что же делать
      с задачами инженера-технолога?
      В разговоре с инженером-технологом возникла потребность в постановке трех задач. Во-первых, надо сформулировать критерий качества процесса первичной переработки нефти. Во-вторых, необходимо построить математическую модель этого процесса. В-третьих, указать алгоритм (правила) управления процессом на основании выбранного критерия и построенной модели.
      К сожалению, нельзя похвастать решением постав-
      ленных задач. Это трудные проблемы, и в мировой литературе нет еще их полного решения. Однако основные идеи, которые могли бы привести к их решению, характерны не только для процесса первичной нефтепереработки, но и для весьма широкого класса проблем управления технологическими процессами. Поэтому, не разбирая подробно возможные пути решения наших задач, я остановлюсь лишь на основных идеях.
      Начнем с выбора критерия качества процесса. Математик обычно не знает, как выбрать критерий.
      «Выбор критерия качества — это задача технолога или даже скорее руководителя предприятия» — вот широко распространенный аргумент математика, приводимый им для того, чтобы выйти с честью из трудной игры.
      Конечно, не стоит требовать от математика знания технологии процесса и понимания сложных взаимоотношений, скажем, между предприятием и его поставщиками, потребителями и руководящими органами. А ведь именно от этого зависит эффективность той или иной стратегии управления, а следовательно, и выбор соответствующего критерия (я употребил слово «стратегия», быть может, несколько преждевременно, позже его значение будет уточнено, а сейчас будем его понимать в общепринятом смысле).
      Но и руководители или технологи находятся не в лучшем положении: они должны задать критерий и при этом удовлетворить математика, который будет вовсю придираться, требуя безупречной точности в формулировках. Но как бедному технологу, не очень точно знающему, что надо оптимизировать, привыкшему «вкалывать», а не общаться с математиками, справиться со щегольскими математическими формулировками?
      Поэтому либо технолог должен стать математиком, либо математик — технологом, либо, наконец, оба — математик и технолог — должны кооперироваться и работать вместе. Первые два пути надежны, но их трудно осуществить. Третий может привести к успеху с наименьшими потерями для обеих сторон.
      Тут, мне кажется, уместен призыв к математику «идти в народ» — на производство. Нет, не обязательно на постоянную работу! Но в течение нескольких недель ему стоит систематически посещать завод, беседовать со специалистами и постепенно «выудить» из них все сведения, необходимые для формулировки критерия. Но и «народ» должен встретить математика с доброжелательством и в суматохе текучки найти время для подробных объяснений, что к чему. Здесь, безусловно, будет оправдываться принцип «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать».
      Простите меня, читатель, за эти лозунги, я сейчас исправлюсь и перейду к делу. Но не стану вводить вас в курс событий на заводах, а поясню метод построения критерия на другом примере.
      Инженер Ягодинец выбирает место работы
      Инженер-автоматчик, ну, скажем, Ягодинец, многим недоволен на заводе, где он работает: слабые надежды на получение квартиры, штурмовщина и текучка, не оставляющая времени для совершенствования в своей специальности, тяжеловатый характер начальника.
      Он обращается к друзьям и знакомым и через некоторое время получает пять предложений.
      На Северном заводе молочноконсервной аппаратуры (сокращенно — СЕЗАМКА) в контрольно-измерительной лаборатории разрабатывают систему управления заводом с помощью электронной вычислительной машины. Там знакомые ребята взялись за дело, горят, «вкалывают» по ночам и очень нуждаются в автоматчике. О свободном времени не может быть и речи. О квартире — тоже. Начальство не верит в реальность перехода на управление с помощью вычислительных машин — ему как-нибудь бы вытягивать план...
      Заведующие лабораториями в Институте синтетических топлив и масел (сокращенно — ИСТОМА), в Филиале завода контрольных и телемеханических устройств (сокращенно — ФИКТУС) и в специальном бюро по конструированию математических машин и автоматов (сокращенно — МАМАША) вместо ответа на вопрос: «Чем придется заниматься?» — подробно рассказывают о вознаграждении за выслугу лет, о премиальных, о спортклубе. Правда, бывшие однокурсники по секрету рассказали, что в ИСТОМЕ они занимаются внедрением простеньких регуляторов в системах регулирования не то расхода, не то прихода основного продукта с ка-ким-то витиеватым названием, в ФИКТУСЕ их переучивают зачем-то с электроники на пневмонику, а в МАМАШЕ испытывают на виброустойчивость аппаратуру,
      разработанную на другом предприятии, причем вскрывать приборы воспрещено.
      Зато МАМАША имеет аспирантуру, и в прошлом году там был недобор, так как толковых ребят не отпускали начальники, а бестолковых не брали приглашенные для руководства профессора.
      Квартирные дела лучше всего обстоят в ФИКТУ-СЕ — там скоро будет готов дом. Правда, в нем новому человеку квартиру едва ли дадут, но зато кончится квартирный ажиотаж, и жилье можно получить обычным путем.
      В ИСТОМЕ и МАМАШЕ квартиру обещают, но как-то не очень определенно, больше напирая на слово «отдача»...
      В научно-исследовательском институте по изучению воздействия излучений на живую природу (сокращенно — НИВИЗЖИ) все обстоит наоборот. Это новый институт, и один доктор биологических наук изучает влияние высокочастотных колебаний на рост шампиньонов и очень нуждается в автоматчике. Так как в институте никакой аппаратуры нет, то придется самим создавать ее заново. Правда, доктор обещает организовать помощь со стороны крупного специалиста из Института автоматики и телемеханики, с которым он ездит на охоту. Здесь сразу предлагают оклад на 30 процентов больше, чем в других местах, и имеется возможность при благополучном развитии событий через год-два создать лабораторию автоматики. На дорогу до института придется тратить около двух часов в один конец, и дрожь берет от перспективы трех автобусных пересадок и двух километров пешком в слякоть или в крещенские морозы. Однако НИВИЗЖИ собирается строить жилой дом.
      Люся работает в ИСТОМЕ, и если поступить туда, то можно будет окружить ее со всех сторон таким вниманием, что никто к ней не пробьется. А при работе в НИВИЗЖИ встречи с ней сократятся до двух в неделю.
      Но если Люся перестанет тянуть с ответом, и состоится свадьба, и дадут квартиру, то она тоже сможет перейти в НИВИЗЖИ.
      Что бы вы выбрали, читатель? Молодой инженер Ягодинец тоже не знал. Он пришел посоветоваться к другу-кибернетику, и тот не стал разбираться во всех вариантах, тонкостях, душевных порывах и карьеристских мечтаниях. Он предложил составить таблицу.
      В столбцах таблицы перечислены те учреждения, которые готовы принять в свое лоно нового сотрудника. А в строчках — основные пункты, от которых зависит выбор Ягодинцем нового места работы. Таблицу заполняли по строчкам, выставляя каждому месту оценку по 10-балльной системе. Это занятие оказалось более легким, чем рассмотрение всей ситуации в целом. Посудите сами.
      Наиболее интересной представлялась работа в НИ-ВИЗЖИ — она хоть и не очень масштабная, но самостоятельная. Ее оценили наивысшим баллом — 10.
      На заводе «СЕЗАМКА» тоже интересная работа, но главная ее часть выполняется программистами и специалистами по электронным вычислительным машинам, а автоматчик здесь на вторых ролях — этот пункт оценили в 8 баллов.
      В ИСТОМЕ и МАМАШЕ пока предлагают «кота в мешке». Пожалуй, наиболее интересная работа будет, если верить ребятам, в ФИК.ТУСЕ — проблемы пнев-моники кажутся перспективными. Впрочем, еще не известно, возьмут ли Ягодинца заниматься пневмоникой или нет, однако добиваться этого можно. Итак, в первой строке ИСТОМА и МАМАША получили по 2 балла, а ФИКТУС — 5.
      Никого из начальников этих лабораторий Ягодинец лично не знает. Но все же какая-то информация о них имеется.
      На заводе «СЕЗАМКА» начальник, группы внедрения вычислительной машины живой и энергичный парень, кончивший институт на два года раньше Ягодинца. Ребята о нем отзываются хорошо, но сам он умеет пока тоже мало: у него многому не научишься. Оценка — 7 баллов.
      В ИСТОМЕ предполагаемый начальник — мрачный человек предпенсионного возраста. Разговор с ним оставил какое-то тяжелое чувство, хотя трудно объяснить, в чем тут дело. Знакомые говорят, что он «не вредный, но зануда». Поставили 5 баллов.
      В ФИКТУСЕ поговорить с непосредственным начальником не удалось — он в длительной командировке. По слухам, это квалифицированный специалист, но характер у него нелегкий, он ревнив и в скверных оТношениях с вышестоящими начальниками. Это стоит 4 балла.
      В МАМАШЕ заведующий лабораторией — кандидат наук. Выглядит как-то скучно, мало спрашивал, на вопросы отвечал весьма неопределенно. Ребята говорят, будто он куда-то переходит и ему подыскивают замену. 2 балла.
      Доктор биологических наук бородат, общителен, говорит на трех языках и знает всех. Нарисовал грандиозные перспективы, шампиньоны — это только начало; кажется, можно значительно ускорить рост всяких растений в парниках. Отзывы о нем хорошие. Но он редко бывает на работе, часто ездит за границу, член всяких ученых советов и т. д. Конечно, автоматике у него не научишься, но помощь будет. Хорошо — 9 баллов.
      Так в строке «Руководитель работы» появились числа.
      Оклады всюду, кроме НИВИЗЖИ, примерно одинаковые: 110 — 120 рублей в месяц. Правда, в ИСТОМЕ и ФИКТУСЕ довольно часто бывают премии, а это еще 10 рублей в месяц в среднем. В МАМАШЕ премии ежеквартальные и больше — посчитали по 20 рублей в месяц. В НИВИЗЖИ есть должность руководителя группы — 160 рублей в месяц. Если за этот оклад выставить 10 баллов, то нетрудно выставить и за остальные.
      Ближе всего расположен к дому завод «СЕЗАМ-КА» — до него пешком 10 минут. В ИСТОМУ и МАМАШУ езды примерно 40 минут, причем по дороге в МАМАШУ пересадка из метро в автобус. До ФИК-ТУСА — 25 минут на троллейбусе. Езды в НИВИЗЖИ 2 часа, да еще три пересадки. Теперь запишем в таблицу числа.
      Впрочем, здесь подчас возникает недоумение: откуда взять эти числа? Можно, конечно, предложить какой-либо алгоритм (правило) для их вычисления. Например, считать, что 10 минут — это 10 очков, а 2 часа езды за три пересадки, то есть примерно 150 минут, — это единица, и соединить соответствующие точки (10,10) и (150,1) прямой. Так сделано на рисунке 80. Тогда 25 минут соответствуют 9 очкам, 40 минут — 8, а 40 минут плюс пересадка, то есть примерно 50 минут, дают приблизительно 7.
      Можно считать, что неудобства обратно пропорциональны времени пребывания в дороге. В этом случае количество очков будет соответственно пропорциональ-11111 но числам 0 4Q, 25. 5о iso*
      Для получения 10 баллов при наименьшем из времен надо умножить эти числа на 100, и мы получим
      10, 2-i-, 4, 2 и . Округляя, можно записать в таблицу ряд 10, 3, 4, 2, 1.
      Можно нарисовать любую убывающую кривую, проходящую через те же точки (10,10) и (150,1), например, ту, что представлена на рисунке 80, и в соответствии с ней брать число очков.
      Но на самом деле 10 минут автобусной давки в часы «пик» приводят к потерям пуговиц, душевного равновесия или престижа, порой превосходящим потери от 30 минут в метро, когда имеется возможность не только спокойно сидеть, но даже повышать свой культурный, а то и научный уровень. Поэтому относительные размеры потерь от дороги — это не только потери времени, и они могут выражаться не так просто, как прямая или обратная пропорциональность. А в таблицу надо внести числа, соответствующие личной оценке заинтересованного лица, ибо таблица в целом и есть индивидуальная оценка ситуации. Поэтому не будем спорить с Ягодинцем и сохраним числа в таблице.
      Люся определенно не хочет, чтобы Ягодинец переходил в ИСТОМУ, где она работает; ей самой там не нравится, и она хочет куда-нибудь перейти. Но нет уверенности, что именно в этом дело. Она высказывается за ФИКТУС: там более реальны всякие перспективы. Ее дом близко от ФИКТУСА, и в случае женитьбы жить у ее родителей будет удобнее. Она также против НИВИЗЖИ: ей не хочется уезжать далеко от родителей. Снова в таблице появляются числа.
      Аналогично друзья провели рассуждения и оценили коллективы, с которыми придется работать, возможности для написания диссертации, перспективы повышения по службе, возможности для занятий спортом, шансы на получение квартиры. Эти числа вписаны в таблицу.
      Теперь можно сложить числа в столбцах и получить количество баллов за каждое из учреждений. Получается, что ФИКТУС и НИВИЗЖИ имеют заметные преимущества перед другими (см. строчку «Сумма»). При этом ФИКТУС на одно очко идет впереди НИВИЗЖИ, и нужно было бы облюбовать ФИКТУС.
      Но следует учесть еще одно важное соображение. Не все десять пунктов таблицы имеют для Ягодинца одинаковое значение. Например, перспективы повышения по служебной лестнице сейчас, при переходе с одной работы на другую, имеют для него значительно меньший вес, чем содержание текущей работы или решение жилищного вопроса. Поэтому для различных пунктов таблицы нужно ввести еще какие-то коэффициенты — назовем их весовыми коэффициентами. Эти коэффициенты можно было бы оценивать также по 10-балльной системе, но можно важность каждого показателя указать и в процентах. В нашей таблице так и сделано. Чтобы не иметь дело с дробями, записанные в последнем столбце проценты взяты от сотни; они и служат весовыми коэффициентами.
      Их выбор носит субъективный характер и довольно очевиден. Сомнения вызывает лишь коэффициент, отражающий мнение Люси. Но Ягодинец не придает ее мнению большого значения, так как, во-первых, вопрос о женитьбе еще не решен и, во-вторых, даже в случае положительного решения перед будущим супругом встанет во весь рост мрачная перспектива осуждать фикусы, ахать на кактусы и удовольствоваться беседой с родственниками за завтраком из сандвича с чашечкой кофе вместо глубокой тарелки каши с сардельками.
      Таким образом, критерий качества различных вариантов нового места работы К представляется не просто в виде суммы Х\ + х2 + ... + хю, а в виде взвешенной суммы
      В частности, для назначенных инженером коэффициентов, а они отражают степень его заинтересованности в соответствующих показателях, этот критерий имеет вид
      Результаты подсчетов приведены в последней строке таблицы. Здесь по-прежнему видно, что по выбранному критерию ФИКТУС и НИВИЗЖИ имеют значительное
      превосходство по сравнению с остальными. Но теперь НИВИЗЖИ имеет заметное преимущество перед ФИК-ТУСОМ, примерно на 15 процентов.
      После короткого обсуждения с другом-кибернетиком Ягодинец принимает решение переходить в НИВИЗЖИ.
      Путь рассуждений для построения такого критерия качества во многих задачах может быть аналогичен. Если какие-либо качественные показатели могут быть объективно измерены, как, например, зарплата, то их следует использовать. Если же оценка показателей субъективна, то можно воспользоваться советом эксперта или оценкой заинтересованного лица. Скажем, при выборе критерия качества первичной нефтепереработки можно за критерий принять прибыль, получаемую заводом. Различные фракции, получаемые при переработке нефти: бензин разных марок, газолин, реактивное топливо, кокс и т. д. — служат показателями, а весовые коэффициенты — это продажные цены соответствующих фракций. Кроме того, должны быть учтены затраты на сырье, электроэнергию, топливо, зарплату обслуживающему персоналу и другие расходы. Следует, однако, заметить, что и при таком, казалось бы, ясном критерии, как прибыль, возникают значительные трудности.
      Различным цехам предприятия может быть выгодно вести процесс по-разному. Например, одному цеху выгодно ориентировать свою работу на производство легких фракций — при этом процесс идет с меньшими потерями, но другому, где происходит дальнейшая переработка нефти, было бы удобнее получать меньший процент легких фракций.
      Таким образом, то, что наиболее выгодно одному цеху, может быть и невыгодно другому. Поэтому у дирекции завода возникает проблема согласования интересов различных цехов.
      Если составить критерий оптимизации для завода в целом (пусть это будет прибыль), то он может не отражать интересов министерства, которому подчинен завод. Это может происходить по разным причинам. Скажем, при оптимизации прибыли завод будет увеличивать производство бензина, а министерству нужно значительное количество тяжелых нефтепродуктов, идущих на дальнейшую переработку на соседних нефтехимических заводах.
      Критерий оптимизации, задаваемый министерством, может быть отличным от критерия оптимизации с точки зрения государства в целом. Государству, например, следует планировать так работу заводов, чтобы обеспечить нужными нефтепродуктами все районы страны, уменьшив до минимума расходы на транспортировку продукции от заводов до потребителей.
      Можно привести еще множество аргументов, осложняющих проблему выбора критерия оптимизации, но не следует при этом впадать в пессимизм. Оптимизация работы предприятия по любому разумному критерию принесет пользу.
     
      Модель
      Игрушечный автомобиль — это модель настоящего, игра в «казаки-разбойники» — модель сражения. Объект и его модель имеют что-то общее, но никогда они полностью не совпадают. Фотографии кинозвезды анфас и в профиль — ее различные модели. Они могут быть небольшими и могут занимать стену дома. Детский воздушный шар в равной мере может быть моделью Земли и теннисного мяча; и часто в небесной механике моделью Земли служит точка, обладающая массой Земли, — это материальная точка.
      Ясно, что теннисный мяч также можно считать моделью воздушного шара. Но будет ли настоящий автомобиль моделью игрушечного? И будет ли кинозвезда моделью своей рекламной фотографии? Я думаю, что разумно здесь дать положительный ответ: будут. И вот почему.
      Моделью объекта, процесса или явления мы называем другой объект, процесс или явление, имеющие с исходным какие-то общие черты. Обычно подразумевается, что модель есть упрощенный вариант изучаемого объекта. Однако не всегда легко вложить точный смысл в понятие «более простой, чем исходный», поскольку в действительности все объекты или явления бесконечно сложны, и их изучение можно проводить с различной все возрастающей степенью точности.
      Модель — понятие взаимное: теннисный мяч можно считать моделью воздушного шара, в равной мере воздушный шар есть модель теннисного мяча. С этой точки зрения кинозвезда — модель своей фотографии.
      А настоящий самолет — модель игрушечного, ибо всегда найдутся свойства у игрушечного самолета, которыми не обладает настоящий.
      Таким образом, когда мы строим модель какого-либо объекта, то надо четко оговорить, какие именно свойства исходного объекта будут моделироваться.
      Моделировать можно не только объекты, но и процессы или явления. Игра на гармошке моделирует процесс дыхания (вдох-выдох), а игра на органе моделирует многоголосный хор. Приготовление обеда — это модель многих технологических процессов. Мальчишка, скачущий вприпрыжку верхом на палочке, моделирует полет воздушного лайнера.
      Моделирование издавна служит большим подспорьем при изучении самых различных явлений. Сейчас оно применяется повсеместно в технике и все шире внедряется в биологию, психологию, экономику.
      На моделях кораблей изучается их остойчивость и маневренность. Изучение поведения моделей самолетов в аэродинамической трубе позволяет отрабатывать конструкции самолетов.
      При проектировании гидростанций, мостов и других крупных сооружений исследуются их модели, представляющие собой аналогичные сооружения в уменьшенном масштабе. Техника судостроения, самолетостроения, ракетостроения насыщена всякими моделями.
      Такой вид моделирования относится к области физического моделирования, широко опирающейся на теорию подобия.
      Пилотов, штурманов, космонавтов обучают искусству вождения на моделях систем управления. Эти модели уже не являются геометрически подобными; здесь аналогичными являются функции соответствующих устройств.
      Принципиально важными оказались модели поведения. Речь идет о физических моделях — устройствах, которые, взаимодействуя с внешней средой, воспроизводят процессы, аналогичные целесообразному поведению живых организмов. Чувствительными элементами таких моделей, заменяющими органы чувств живых организмов, служат фотоэлементы и микрофоны, электромеханические реле и различные измерительные устройства. «Клопы», «черепахи», «белки», «мышки» и т. д., созданные или предложенные разными учеными, моделируют движения, изменяющиеся в связи с различными реакциями на свет, прикосновения, звук и др. Среди таких моделей представляют значительный интерес обучающиеся модели, например, «мышка», которая учится двигаться по лабиринту кратчайшим путем. Впоследствии модели подобного рода получили широкое распространение.
      При моделировании функций какого-либо объекта (живого или неживого) часто используются электронные или пневматические модели. Их устройство основано на идентичности (одинаковости) математического описания процессов, происходящих в моделируемом объекте и в модели. Такие модели находят все более широкое применение. Но для их использования необходимо иметь математическое описание изучаемого объекта или процесса.
     
      Математическая модель
      «Прямоугольная площадка для игр обнесена забором. Длина этой площадки на 15 метров больше ее ширины. Сумма двух длинных сторон — 80 метров. Найти длину всего забора» *.
      Жаль, что площадку для игр обнесли забором, но это бывает. А вот с остальной ситуацией ни мне, ни моим ближайшим родственникам не приходилось встречаться в реальной жизни. И решать такую бессмысленную задачу нужно, кажется, в четыре вопроса, причем сначала их надо научиться придумывать, а затем начисто забыть, как это делается. Весьма сомнительно, что это оптимальный способ обучения: переучиваться
      всегда труднее, чем учиться **. Но все же схема вопросов — это математическое описание ситуации. Я приведу более удобную математическую модель. Обозначим длину прямоугольника через х и его ширину через у. Тогда условия задачи нам дают
      х = у + 15; 2х = 80.
      А надо найти 2х + 2у.
      Ясно, что так решить задачу проще и понятнее: составление уравнений — удобный способ получения математического описания или математической модели. Более общую математическую модель той же ситуации можно получить, введя буквенные коэффициенты.
      Дано: а.\Х + Ьу = С\ и, кроме того, а2х = с2. Требуется найти Ах + By.
      Здесь все коэффициенты считаются заданными, но произвольными числами, и для численного решения задачи нужно лишь подставить числа в окончательную формулу.
      В качестве модели Земли иногда берут материальную точку с массой Земли. В других случаях моделью
      * Н. С. Попова, Дидактический материал по арифметике для 4-го класса восьмилетней школы. Издательство «Просвещение», 1964, стр. 75.
      ** Не более рентабельно учить детей писать сначала прототипом гусиного пера — знаменитым пером № 86. Обычно после каждого урока дети перемазаны чернилами с головы до ног. При этом учат писать буквы раздельно, а затем переучивают на слитное письмо и авторучкой. Несколько лет назад мне рассказывали об экспериментах в этой области: оказалось, что если сразу учить писать слитно и авторучкой, то можно сократить срок обучения письму на несколько месяцев. В этом вопросе есть какие-то продвижения: кажется, снято табу с авторучки.
      Земли служит шар, поверхность которого задается соотношением х2 + у2 + z2 = R2 (где R примерно равен 6400 километрам и начало координат помещено в центре Земли), или геоид (шар, сплюснутый у полюсов), поверхность которого задается уравнением более сложным, чем поверхность сферы.
      В зависимости от задачи Землю рассматривают то как однородный шар, то как твердое тело с переменной плотностью, то как тело, покрытое жидкостью. Для каждой ситуации будет своя математическая модель Земли. Скажем, при изучении морских приливов, конечно, нельзя составить математическое описание без учета того, что огромная часть поверхности Земли покрыта водой, и без учета сил тяготения Луны.
      Второй закон движения Ньютона гласит: произведение массы тела на ускорение равно сумме действующих сил. Для простоты рассмотрим лишь движение тела вдоль прямой. Если т — масса тела, а — ускорение и F — сумма сил, то математической моделью связи между массой тела, его ускорением и действующими силами будет равенство
      Эта математическая модель хорошо описывает физические явления, пока скорости, достигнутые телом, не очень велики. Ведь известно, что пока скорости тел малы по сравнению со скоростью света, величину массы этих тел можно считать не зависящей от скорости. Но когда скорости тел становятся соизмеримыми со скоростью света, то расхождение с опытом получается значительное и эта математическая модель уже плохо описывает ситуацию.
      Для уточнения модели придется прибегнуть к понятию производной от функции.
      Впрочем, читатель, если формулы все еще у вас вызывают зевоту и желание швырнуть книгу в угол, если вас устраивают скорости ТУ-104 и вы не собираетесь в межпланетное путешествие хотя бы в качестве болельщика, если вам безразлична теория относительности Эйнштейна, то пропустите ближайшие абзацы.
      Я не буду подробно вводить понятие производной и лишь приблизительно поясню символику. Пусть v — скорость тела. Обозначим символом dv дифференциал скорости, то есть изменение скорости v тела за весьма малый промежуток времени dt (dt — дифференциал времени, тоже единый символ), так что ускорение в момент t выражается в виде
      (2)
      Правая часть называется производной скорости по времени. В обсуждаемом вопросе основную роль играет количество движения, выражающееся произведением массы тела на его скорость mv. Тогда упомянутый выше второй закон Ньютона можно записать в виде
      то есть производная количества движения по времени равна сумме действующих сил.
      Если масса т не зависит от величины скорости vf то
      и сохраняется прежняя математическая модель (1). Если же величина скорости близка к скорости света,
      то в соответствии с теорией относительности Эйнштейна масса зависит от скорости:
      где т0 — масса тела в покое, с — скорость света в пустоте. В этой ситуации в формуле (3) нельзя вынести массу т за знак производной, ибо масса может изменяться со временем, и математической моделью связи массы, скорости и действующей силы в механике теории относительности служит формула (3) совместно с формулой (5).
      Если сила F и масса т заданы, а скорость v неизвестна, то формула (3) представляет собой простейшее дифференциальное уравнение. Впрочем, не пугайтесь, я не пущусь в опасное путешествие через заросли дифференциального исчисления и тем более дифференциальных уравнений (то есть уравнений, в которые, кроме неизвестных функций, входят и их производные). Однако дифференциальные уравнения являются основной * математической моделью в физике, химии и других областях знания для самых разнообразных явлений, в которых приходится учитывать динамику (изменение) входящих переменных.
      Сейчас дифференциальное исчисление изучают лишь в вузах, да и то далеко не на всех факультетах. Но в действительности этот математический аппарат значительно нужнее, проще и понятнее многих разделов математики, изучаемых в нашей школе. Что ж, будем надеяться на новые школьные программы...
     
      События и их модели
      «Если все красные вареные раки мертвы и все крас-ные мертвые раки варены, то следует ли из этого, что I” все мертвые вареные раки красны?»
      Читатель, конечно, захочет самостоятельно разобраться в этой драматической ситуации и, пользуясь здравым смыслом и элементарной логикой, ответит в течение нескольких минут на поставленный вопрос.
      Но математика на мякине не проведешь: он не захочет путаться в похожих словах и затруднять себя излишним перебором всяких вариантов, в которых можно и завязнуть. Математик воспользуется, например, алгеброй событий, о которой я вкратце расскажу.
      Будем рассматривать совокупности или множества каких-либо объектов, предметов или элементов. Совершенно безразлично для обсуждаемых вопросов, конечны или бесконечны эти множества, состоят ли они из раков, красавиц, возможных путей из точки А в точку В, игральных карт или точек на плоскости. Важно лишь, что они состоят из, так сказать, однородных элементов.
      Мы будем иметь дело с опытами — мыслимыми опытами. Состоять они могут в сдаче колоды карт, или в отборе красавиц на роль манекенщиц Дома моделей, в проверке того, красные ли раки выбраны из кастрюли, в выборе путей, длина которых меньше трех километров, или в указании некоторого множества точек на плоскости.
      Результаты опытов или наблюдений будем называть событиями. При проверке группы из 10 раков может оказаться, что красных среди них только три — это событие. Не менее значительное событие — мизер в преферансе, о чем вы и известите своих противников победным криком. Впрочем, сообщение о выпавшем на вашу долю счастье — это уже другое событие.
      Таким образом, будем называть событием всякое множество исходных элементов — множество элементарных событий.
      Вот теперь самое время ввести некоторые операции над событиями. Если имеются два события — А и В, то с ними всегда можно связать два новых события, определенных условиями «имеют место и Л и В» и «имеют место или А, или В, или и Л и В». Эти события мы будем называть соответственно произведением событий АВ и суммой событий А + В.
      Для иллюстрации будем полагать, что событие А — это появление точки в области, заштрихованной вертикально, а событие В — появление точки в области, заштрихованной горизонтально. На рисунке 81 произведение событий АВ — это область, заштрихованная сеточкой, а сумма А -Ь В — это вся заштрихованная область, она ограничена жирным внешним контуром.
      Сначала кажется неоправданным использование в каком-то ином смысле хорошо известных привычных понятий суммы и произведения. Но такие названия приняты, они в достаточной мере оправданны, и, поработав немного с множествами, к ним привыкаешь, как к арифметическим действиям. Впрочем, иногда используют другие термины: выражение «имеет место и Л, и В» называют «пересечением событий А и В» и обозначают это Ап ?, а слова «имеют место или Л, или В. или и Л и 5» называют «объединением событий Л и В» и обозначают AUB.
      Всякая корова — травоядное, но не всякое травоядное — корова. Поэтому событие Л — обнаружить в саду травоядное — всякий раз осуществляется, когда происходит событие В — в саду обнаруживается корова. Обратное неверно: в саду можно обнаружить и осла — тоже травоядное, так что осуществится событие А, но событие В — обнаружение коровы — при этом не произойдет. В подобной ситуации говорят, что событие В включено в событие Л или что событие В есть часть события Л.
      Рисунок 82 иллюстрирует эту ситуацию. Здесь события А и В — попадание точки в соответствующие области, и область В целиком содержится внутри области Л.
      Это, конечно, противоречит нашим привычным правилам сложения и умножения, но можно утешаться тем, что, если бы в алгебре событий не было ничего нового, я бы не стал об этом рассказывать.
      Рис. 83
      В волнующей нас задаче о красных раках обозначим через М множество мертвых раков, В — множество вареных раков, К — множество красных раков (здесь по понятным причинам я пользуюсь русскими буквами).
      Красные раки могут быть вареными, но могут быть и не вареными. На рисунке 83 множество В заштриховано вертикальными линиями, а множество К — горизонтальными. Множество ВК, заштрихованное вертикальными и горизонтальными линиями, соответствует вареным красным ракам.
      Так как по условию все красные вареные раки мертвы, то множество М всех мертвых раков должно содержать внутри себя отмеченное нами множество ВК. Это можно записать в виде ВК с М. Подобная ситуация изображена на рисунке 84, где множество М заштриховано косыми линиями. Область, заштрихованная всеми штрихами, есть произведение ВКМ, то есть это вареные, красные, мертвые раки. Область, заштрихованная только горизонтальными и косыми линиями, соответствует красным мертвым, но не вареным ракам.
      Такова обцая ситуация. Теперь нам следует учесть и второе утверждение — «все красные мертвые раки варены». Следовательно, красных мертвых, но не вареных раков у нас быть не может, то есть область, заштрихованная только горизонтальными и косыми линиями, должна быть исключена. В результате вместо ситуации, изображенной на рисунке 84, получим картину рисунка 85.
      Эта картина полностью решает нашу задачу. Именно наличие области, заштрихованной лишь вертикальными и косыми линиями, показывает возможность существования в описанной ситуации мертвых вареных, но не красных раков. Поэтому из того, что все красные вареные раки мертвы и все красные мертвые раки варены, не следует, что все мертвые вареные раки красны.
      Формально можно было бы это записать так: из КВ с М и КМ а В следует МВ а К. Коротко и ясно, не так ли?
      Все это показывает, что алгебра событий, часть ко-, торой была продемонстрирована, дает возможность строить математическую модель, не только с помощью привычных представлений элементарной алгебры и анализа. Замечу, кстати, что рисунки 81 — 85 — это тоже модели изучаемых событий; они называются иногда диаграммами Венна.
      Алгебру событий называют также булевой алгеброй (по имени английского математика XIX века Джорджа Буля), или символической логикой. Основы современной теории вероятностей опираются на Булеву алгебру событий. Но и во многих технических вопросах — например, при синтезе релейных схем, в теории цифровых машин и в теории конечных автоматов — так же широко применяют эту алгебру для построения соответствующих математических моделей.
      Нужна ли вообще математическая модель?
      Можно не сомневаться, что процесс слежения радиолокатором за ракетой, бурение скважины или процесс нефтеперегонки значительно проще обыкновенной ходьбы. При ходьбе участвуют сотни мышц, миллионы клеток живого организма, да и каждая из участвующих клеток — это сложнейший организм, математическое описание жизнедеятельности которого пока не под Силу науке.
      В то же время кошки, слоны и даже мы с вами бегаем, питаемся и ласкаем любимых, не пользуясь для этого предварительно построенной математической моделью. Живые организмы очень экономно и очень точно движутся.
      Написав это, я положил авторучку, а затем снова ее взял. Как же это мне удалось? Каков механизм такого, казалось бы, простого движения?
      Рене Декарт — создатель аналитической геометрии — был не только математиком, но и великим философом, натурфилософом, очень интересным, эрудированным человеком. Ему, как и нам, хотелось понять природу, найти объяснение таким удивительным явлениям, как целесообразные движения живых существ. Рефлекс отдергивания руки на болевое раздражение Декарт объяснял так: при раздражении в нерве натягивается тросик, открывающий в мозгу соответствующий клапан, и выпускается нервный газ, который идет
      по трубочке к нужной мышце, наполняет ее, и она сокращается.
      Такое объяснение кажется сейчас наивным. Но Декарт жил в первой половине XVII века, когда не было известно электричество и, в частности, биологическое электричество. То была эпоха расцвета часов — простейших механических машин, и поэтому Декарт не мог придумать того, о чем теперь даже дети читают в учебниках. Однако модель Декарта — это первая модель рефлекторной дуги со всеми ее основными элементами.
      В третьей четверти XIX века крупнейший физиолог М. Сеченов опубликовал работу «Рефлексы головного мозга». Он предположил, что в основе нервной деятельности человека и животных лежат подобные рефлексы. Позже знаменитый И. Павлов и другие замечательные физиологи изучали рефлексы экспериментально. И. Павлов ввел и подробно изучил широко известные условные рефлексы — ответную реакцию на раздражение, вырабатываемую в результате обучения.
      Физиологи школы И. Павлова на вопрос о том, как мне удалось взять рукой авторучку, ответили бы, что в центральной нервной системе — в моем мозгу — выработался приказ — взять со стола авторучку; этот приказ по периферической нервной системе был передан мышцам, они соответствующим образом сократились или расслабились, и я взял ручку.
      Однако с помощью этой модели не удается объяснить многие явления, относящиеся к движениям, и ряд болезней совсем не укладывается в эту схему.
      В 1948 году вышла книга крупного американского математика Норберта Винера «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине». Появление этой книги — одно из самых важных научных событий середины XX века. В частности, здесь Н. Винер предложил другую модель рефлекторного действия. Еще до второй мировой войны Н. Винер интересовался общими методологическими проблемами, объединяющими различные науки, в том числе общими проблемами физиологии. Во время второй мировой войны Н. Винеру пришлось заниматься проблемами радиолокации. Он увидел глубокую аналогию между слежением за движущейся целью с помощью радиолокатора и движениями живых организмов: в обоих случаях необходимо
      учитывать обратную связь и отрабатывать сигнал ошибки. Модель Н. Винера выглядит примерно так.
      Чтобы взять авторучку, в моем мозгу должен выработаться определенный приказ о цели движения и о начальных действиях. Далее я действую, двигаясь в определенном направлении и получая все время сигналы о том, что уже достигнуто. Сравниваю эти достижения с заданием и вырабатываю сигнал рассогласования, или сигнал ошибки. Задание — взять рукой авторучку — будет выполнено, когда сигнал ошибки будет сведен к нулю. Поэтому моя задача — добиваться все время уменьшения сигнала ошибки.
      Такова схема регулирования по сигналу ошибки. С помощью модели Н. Винера можно понять многие явления, ранее не поддававшиеся объяснению.
      Следует сказать, что на важнейшую роль обратной связи при объяснении движений обратил внимание крупный советский физиолог Николай Александрович Бернштейн еще в 1928 году. Н. Бернштейн был не только одним из первых пропагандистов кибернетики в нашей стране, но был, по существу, одним из ее создателей.
      Среди многочисленных, к сожалению, болезней нервной системы есть интенционный тремор — болезнь, часто связанная с повреждением мозжечка. При интен-ционном треморе больной, пытаясь выполнить сознательное действие — взять авторучку, — проскакивает рукой мимо цели; рука совершает не поддающиеся с его стороны контролю колебания со значительным размахом. Такие явления не укладываются в схему рефлексов. Но если рассматривать их с точки зрения теории обратной связи, то непроизвольные качания руки получают объяснение. В технике автоматического управления такие же явления встречаются в плохо отработанных системах автоматического регулирования и называются перерегулированием.
      Казалось, что модель Н. Винера универсальна, тем более что сейчас, в век автоматики и быстродействующих вычислительных машин, многие представляют себе ~мозг в виде большой по количеству элементов, хотя и очень экономно устроенной, универсальной вычислительной машины.
      Однако модель Н. Винера, по-видимому, тоже еще слишком примитивна. И я расскажу сейчас об одной
      серии экспериментов, проведенных талантливым советским физиологом В. Гурфинкелем. Эти эксперименты относятся к позе стояния человека.
      Проделайте, пожалуйста, читатель, следующий простой эксперимент: положите руку так, чтобы локоть лежал на столе, а раскрытая кисть свободно свисала со стола, и посмотрите на пальцы. Вы увидите дрожь: небольшую, но не прекращающуюся ни на секунду. Эта дрожь называется тремором. Физиологи считали тремор случайными паразитными колебаниями, подобными шумам в радиоприемнике.
      Для изучения позы стоящего человека можно проделать серию очень интересных опытов. Вот один из них. На специальную платформу ставится человек. Платформа устроена так, что если испытуемый начинает немного покачиваться, то перемещения его центра тяжести тут же регистрируются. Находящегося на платформе человека просят стоять спокойно, и он считает, будто стоит без движения. Но уже давно известно, что на самом деле его центр тяжести все время находится в движении. Запись этих движений представляет собой довольно хаотическую кривую. Однако в этих на вид совершенно не регулярных колебаниях обнаруживаются определенные закономерности. Если подвергнуть такую кривую статистическому анализу, то обнаруживаются вполне определенные колебания с различными частотами. Здесь есть колебания с частотой
      восемь-двенадцать колебаний в секунду и амплитудой 0,1 миллиметра, с частотой одно колебание в секунду и амплитудой 2 — 3 миллиметра и есть колебания низкочастотные — одно колебание в минуту и с амплитудой до 10 миллиметров.
      Такие хаотические колебания нельзя объяснить с позиций теории обратной связи.
      Когда совершаются целенаправленные движения, то обратная связь нужна для проверки их правильности, коррекции и, если это требуется, исправления. Но спокойно стоящему человеку вроде бы вовсе нет нужды раскачиваться, и в обратной связи у него нет необходимости.
      И все же стоящий человек должен не только стоять, но и иметь возможность непосредственно из позы стояния совершить самые разнообразные движения, совершить любой маневр.
      У неподвижно стоящего человека имеется очень много степеней свободы. Кости скелета, охваченные мускулатурой, и 28 позвонков, каждый из которых имеет три степени свободы, дают все вместе более ста степеней свободы. Они и обеспечивают человеку его высокую маневренность. Стоящий спокойно человек мо-
      жет, если нужно, куда угодно шагнуть, в любую сторону качнуться или подпрыгнуть.
      Для такого быстрого перехода из одного положения в другое должен существовать какой-то специальный механизм. Он должен держать организм в полной готовности к самым разнообразным изменениям позы.
      Однажды во время подобных опытов В. Гурфинкель обнаружил, что приборы не дают никаких показаний. Проверили платформу и аппаратуру — все было в исправности. Тогда заинтересовались испытуемым. Обнаружилось, что на платформе стоял стрелок, и не просто стрелок, а мастер спорта. Стоя спокойно на платформе, он совсем не качался или качался так мало, что аппаратура не смогла регистрировать столь незначительные колебания. Это было неожиданно. И при дальнейшем изучении тремора стрелков выяснилось, что они великолепно умеют управлять своим тремором, останавливать его во время прицеливания, изменять в зависимости от задачи частотный состав колебаний. Когда стрелок, стоявший на платформе, прицеливался, то, как зарегистрировали приборы, амплитуды колебаний его центра тяжести уменьшались более чем в 10 раз. Значит, можно сказать, что стрелки целятся не глазами, а так сказать, ногами или руками, если стреляют лежа.
      Теперь можно высказать гипотезу о том специальном механизме, который дает возможность организму сохранять любую позу и переходить из одной позы в другую.
      В настоящее время этим механизмом считают тремор — механизм непрерывного поиска. Когда человек стоит, то тремор служит механизмом поиска положения равновесия. При стоянии он обеспечивает также возможность быстрого перехода от одной позы к другой, то есть является механизмом маневренности.
      Надо думать, что поиск — один из самых универсальных и совершенных механизмов в живой природе. Пчела совершает в полете внешне беспорядочные движения в поисках нектара; собака, двигаясь беспорядочно, ищет след; при осмотре предмета глаз все время совершает внешне нерегулярные прыжки различной величины и направления. Именно поиск служит механизмом, позволяющим живым организмам решать многочисленные задачи сохранения позы и перемещения и, в частности, задачи нахождения экстремума. (Ведь в по-
      зе стояния центр тяжести должен находиться в наиболее высокой, экстремальной точке, и тремор позволяет все время находиться вблизи положения равновесия.)
      Естествен вопрос: а нельзя ли использовать поиск для управления в технических системах? Оказывается, можно, и не без успеха.
      Представьте себе, что вам надо темной ночью спуститься с вершины холма. Когда вы поднимались днем, холм казался ровным, гладким. Теперь же, при спуске ночью, на нем появились какие-то бугры и рытвины, грозящие вам ссадинами и ушибами. Израсходовав весь запас крепких выражений, вы пробуете теперь каждый шаг. Ногой влево, вправо, вперед, вбок — и вы выбираете самый крутой спуск вниз. Шаг делаете маленький, так как при большом можно потерять равновесие. Это и есть поиск направления, по которому спуск будет наиболее крутым.
      Таким же образом осуществляется поиск минимума (или максимума) функции — скажем, функции двух переменных z = f (x,y) или, говоря языком геометрии, поверхности, подобной представленной на рисунке 86.
      Нанесем на горизонтальной плоскости квадратную сетку, и пусть размер стороны квадратиков будет А. Перекрестия сетки называются ее узлами. Нам сейчас придется путешествовать по сетке, и поэтому будем говорить, что сетка имеет шаг Л.
      Выберем произвольный узел Qo, и пусть Ро — соответствующая этому узлу точка на поверхности. Сделаем последовательно из узла Qo шаги в соседние с ним четыре узла Qi; Q2; Q3; Q4 и из четырех- соответствующих точек на поверхности Ли; Р02; Роз; Р04 выберем ту, которая расположена ниже других. Пусть это будет, например, точка Р02. Сравним ее с исходной точкой Р0. Если Ро расположена выше Р02, то будем продолжать поиск более низких точек, совершая шаги в узлы, соседние с узлом Q2. Если же Р0 расположена ниже Р0о, а следовательно, ниже всех четырех соседних значении функции в узлах, то наш поиск окончен. Если у функции есть минимум, то шаговый процесс поиска приведет нас к минимуму или, говоря более точно, в точку на поверхности, находящуюся близко к ее минимуму.
      Конечно, здесь много тонкостей: логрешность определения действительного минимума зависит от величины шага и вида самой функции. Но не будем себе портить жизнь пессимистическими замечаниями типа «а что будет, если?..». Мне хотелось лишь показать, что имеется методика поиска минимума «на ощупь», без предварительного построения математической модели.
      При таком способе поиска минимума знание функции z = f(x,y) для всех значений хил/ не требуется: нужно лишь уметь находить значения функции в узлах сетки с шагом А.
      Следовательно, даже если мы не имеем математической модели, все-таки, используя метод поиска, можно управлять объектом или процессом в режиме, близком к оптимальному.
      Как же построить математическую модель процесса первичной нефтепереработки?
      Теперь мы должны обсудить проблему построения математической модели технологического процесса первичной переработки нефти.
      Все, что происходит в ректификационных колоннах, теплообменниках, печах и других агрегатах, подчиняется, конечно, каким-то физическим и химическим законам. Следовательно, все очень просто: надо написать все соотношения, основанные на этих законах и связывающие интересующие нас величины, и на бумаге появится наша мечта — математическая модель.
      Так же просто, говорит Микеланджело, делается скульптура: надо взять глыбу и, убрав все лишнее, оставить нужное.
      Быть может, вы, читатель, подумали, что я хочу скомпрометировать науку и заронить в вашу душу сомнение в том, что какие-то нужные нам законы природы еще не открыты? Ничего подобного: основные
      законы теории теплоты, термодинамики, газовой динамики, химической кинетики и других наук, необходимые для составления уравнений процесса, человечеством открыты. Но ведь и законы скульптуры тоже известны, а изваять даже сапоги великого человека не так-то просто.
      Вспомните разговор с инженером-технологом. Процесс ректификации нефти — разделения нефти на различные нужные нам компоненты (бензин, газойль, мазут и т. д.) — в самом упрощенном виде описывается десятками друг с другом связанных переменных величин.
      Учесть все эти величины даже в статике, то есть
      когда имеет место равновесие, нелегко, а для разработки алгоритмов оптимального управления нужно иметь уравнения динамики процесса. В деталях процессы, протекающие в колонне, не известны, и главное состоит в удачном упрощении этих процессов, с тем чтобы описывающие их уравнения были бы не очень сложны, но соответствовали бы процессу достаточно хорошо (в ранее обсужденном нами смысле).
      Однако, отбор важных переменных и отбрасывание мало влияющих на ход процесса — дело тонкое. С одной стороны, надо не выплеснуть с водой и ребенку, а с другой — сохранение большого числа переменных может столь усложнить математическую модель, что с ней будет очень трудно работать. К сожалению, я не могу с вами поделиться секретом, как это надо делать: иногда путь виден сразу, в других случаях затрачивается много сил и времени, а результаты малоутешительны.
      Но, кроме того, есть еще одно осложнение: нужно учесть всякие возможные непредвиденные обстоятельства. То изменился состав сырья — поступающей на перегонку нефти, — то поднялась или понизилась температура воздуха, то изменилось давление окружающей среды. Все такие случайные изменения происходят независимо от того, как ведется процесс, но их необходимо учитывать и стараться скомпенсировать. Да и вследствие того, что математическая модель дает лишь приближенное описание течения процесса, всегда будут какие-то рассогласования, и нужно иметь возможность все время уточнять и подправлять управляющие воздействия.
      Таким образом, построение математической модели, состоящей из каких-то основных уравнений процесса, не дает еще возможности непосредственно осуществить оптимальное управление. Надо в математической модели предусмотреть влияние случая, приготовиться быстро среагировать на непредвиденные изменения, обеспечить хорошее управление, несмотря на разнообразные погрешности, неточности, ошибки.
      Для этого нужен другой математический подход, о котором и пойдет речь.
      Вероятно, вам понравилась эта книжка?
      Если вы, читатель, дочитали до сих пор, и еще не подарили кому-нибудь эту книжку и не заткнули ее во второй ряд книжного шкафа, где уныло стоят фолианты и брошюры, которые стыдно выкинуть и лень продать, то весьма вероятно, вы дочитаете ее до конца.
      Когда супруги собираются идти в гости и он стоит одетый в коридоре, а она дает предпоследние наставления дочери и начинает искать нужные бусы, то он склонен считать весьма вероятным опоздание, а она уверена в обратном.
      В обиходе под вероятностью мы понимаем что-то вроде оценки шансов, догадки или предположения. И шансы быть застигнутым врасплох, заразиться скарлатиной или опоздать на поезд мы оцениваем крайне субъективно, в зависимости от своего характера, способностей и имеющейся в нашем распоряжении информации, от здравого смысла.
      Люди жалуются на плохую память, состояние здоровья или невезение, но никогда не жалуются на свой здравый смысл. А оценивают шансы одних и тех же ситуаций совершенно по-разному...
      Крупный французский математик Эмиль Борель в небольшой интересной книжке «Вероятность и достоверность» заметил: «Известно, что знание людей заслуживает имени Науки в зависимости от того, какую роль играет в-нем число». И в самых разнообразных вопросах естествознания, техники, экономики, социологии возникает необходимость иметь объективную оценку вероятности осуществления тех или иных событий.
      Вот несколько примеров.
      На Ленинском проспекте в Москве идет бойкая торговля мороженым. Если поставить по одному продавцу на квартал, то около продавцов будут очереди. Следовательно, часть людей, которым некогда стоять в очереди, мороженое не купит, будут потеряны покупатели, снизится выручка. Если же поставить по 20 продавцов на квартал, то продавцы будут простаивать без дела — покупателей не так уж много. Сколько надо поставить продавцов? Кроме того, следует учесть возможные колебания погоды, заметно меняющие спрос на мороженое.
      Вы покупаете радиопремник, холодильник или часы. При этом вам выдают гарантию на определенный срок: год, полтора года, два года и т. д. Что означает эта гарантия?
      Конечно, если испортится через месяц холодильник или остановятся часы, то их будут в специальной мастерской ремонтировать бесплатно. Но вам не хочется 5 вовсе ремонтировать: вы израсходовали трудовые сбережения в надежде пользоваться часами. Надев на руки новые часы «Полет» и изучив гарантийное обязательство завода-изготовителя, вы считаете маловероятной порчу часов в течение гарантийного срока. Но все-таки почему завод назначил гарантийный срок полтора года? И насколько более надежны часы с гарантийным сроком в два года?
      В поликлинике выдают ежедневно около 50 больничных листов по поводу заболевания гриппом. Однажды было выдано 72 больничных листа. Следует ли считать это началом эпидемии гриппа и принимать соответствующие срочные меры или считать это делом случая?
      Подобные проблемы, в которых велико влияние случая, возникают повсеместно. И часто можно не только констатировать случайность события, но и оценить количественно неопределенность осуществления или неосуществления этого события. Такую оценку выражают я словами: «Вероятность выпадения герба при подбрасывании симметричной монеты равна 7г» или: «Вероятность получить в троллейбусе билет с четным номером равна 7г, а вероятность, что этот номер будет кончаться цифрой 7, равна 7ю».
      Эти числа мы получаем, основываясь на представляющейся очевидной симметрии, на равновозможности различных исходов. Такой же симметрией обладают колода игральных карт и игральные кости. Именно с задач, относящихся к азартным играм, началась теория вероятностей — наука о случайных явлениях и их закономерностях.
     
      Как это произошло
      Начало теории вероятностей относится к XVII веку, когда известные многим по другим разделам науки Паскаль, Гюйгенс, Ферма и особенно Якоб Бернулли* заложили основы исчисления вероятностей. Хотя они
      *Якоб Бернулли — сподвижник Лейбница в установлении основ математического анализа. Он, пожалуй, самый известный из семьи Бернулли — швейцарских ученых, давших миру одиннадцать (!) видных математиков.
      занимались задачами, относящимися к азартным играм, но, конечно, эти крупные ученые ясно понимали важное натурфилософское значение теории вероятностей.
      Однако ряд задач не получил своего решения, и в вопросе о том, когда применима схема классической теории вероятностей, была полная неясность. Вопрос об условиях применимости той или иной математической схемы, математической модели не праздный вопрос, и неопределенность в основных понятиях теории привела к драматическим событиям.
      В 1812 году знаменитый Лаплас — астроном, физик и математик — в книге «Опыт философии теории вероятностей» подвел итог успехам теории вероятностей его времени, поместив в ней и свои фундаментальные результаты.
      Но наряду с важными математическими результатами и применениями в естественных науках в этом сочинении Лаплас изложил применение теории вероятностей к «нравственным наукам» — к вероятностям свидетельских показаний, к выборам и решениям собраний, к оценке справедливости судебных приговоров. Произвольность оценок и невозможность определить объективным образом вероятность человеческих суждений привели к обратному эффекту: в середине XIX века к теории вероятностей всерьез не относились, ее считали своего рода математическим развлечением.
      Понадобился гений русского академика Пафнутия Львовича Чебышева, чтобы отсеять не относящиеся к делу вопросы и из теории вероятностей сделать четкую математическую науку со своей тематикой и своим специфическим математическим аппаратом. Этим вопросам П. Чебышев посвятил всего четыре статьи, написанные им с большими перерывами в течение периода с 1845 по 1887 год, но значение их в науке было очень велико.
      Однако хватит истории, вернемся к существу дела.
     
      Случай и случай
      Лежать на пляже в Гагре без дела довольно скучно. Возьмем детское ведерко и набросаем в него гальку. Можно поспорить, что в ведерке будет, скажем, меньше 100 галек.
      Пари как-то занимает мысли и распаляет захиревшие за зиму страсти, а материал для пари доброкачественный — событие, состоящее в том, что галек оказалось меньше ста, случайное.
      Впрочем, можно поспорить и о том, какая команда выиграет первенство мира по волейболу. Это тоже случайное событие. Но между такими двумя событиями — существенная разница.
      Опыт с гальками может быть повторен многократно и в одинаковых условиях: на расстоянии десятков метров пляжа количество галек, которыми мы заполняем ведерко, будет примерно одним и тем же.
      Для подобных ситуаций характерна статистическая устойчивость, отражающая закономерности массовых явлений.
      Выигрыш в волейбол имеет другой характер: игры на первенство мира не могут быть повторены в тех же условиях многократно, ибо в будущем году будет другой состав участников, а те, которые сохранятся, приобретут новый опыт, и одни из них будут в лучшей спортивной форме, а другие — в худшей, игры будут происходить в другой стране и т. д.
      Такие события, хотя тоже случайны (могут произойти, но могут и не произойти, и заранее это предсказать с достоверностью невозможно), но они статистической устойчивостью не характеризуются.
      Подобные случайные события в теории вероятностей не изучаются, но начинают занимать умы ученых-мате-матиков других направлений этой науки. В настоящее время ситуации, подобные игре в волейбол, войне, взаимоотношениям между производителями товара и потребителями и т. д., начинают интенсивно изучаться. Но об этом будет речь ниже, а сейчас вернемся к теории вероятностей, к науке, изучающей случайные явления массового характера и события, обладающие статистической устойчивостью.
      Вероятность
      Вам/ конечно, очевидно, что вероятность вытянуть даму пик из новой, тщательно перемешанной колоды из 52 игральных карт равна У52. Когда в «Пиковой даме» Герману выпадает «тройка, семерка, туз» — это тоже случайное событие, и его вероятность нетрудно подсчитать. Хотя Герман играл в малоизвестную сейчас игру «штосс» — на это обратил мое внимание Ю. Шрейдер, — я проведу подсчет последовательного выпадения этих трех карт при хорошо известной игре в «очко». Вероятность извлечь какую-нибудь тройку (а их в колоде четыре) будет V52. Когда тройка уже извлечена, то осталась 51 карта, так что всевозможных пар карт будет 52*51, а пар, в которых при первом извлечении оказалась тройка, а при извлечении из оставшихся 51 карты окажется одна из четырех семерок, будет 4 4. Следовательно, вероятность в двух последовательных извлечениях получить пару (тройка, семерка) будет 52 51
      Наконец, из оставшихся 50 карт надо извлечь одиг из четырех тузов. Всех возможных троек карт будет 52*51*50, а всевозможных нас интересующих комбинаций (тройка, семерка, туз) будет 4*4-4. Тогда искомая вероятность желанного сочетания будет 52 *51
      4-= 0,00048.
      Это довольно маленькая вероятность, и понятна радость игрока, которому выпала такая удача.
      Разделим волейбольную площадку на две равные части. Если вы бросаете наугад мяч на волейбольную площадку (будем полагать, что мяч обязательно попадет на нее), то вероятность попасть на одну из половин площадки будет /г, а вероятность попасть в находящуюся на площадке лужу будет равна отношению площади лужи к площади всей площадки.
      Но как определить вероятность выпадения герба при подбрасывании несимметричной, например, кривой монеты? Как вычислить вероятность того, что взятая наугад галька на пляже в Гагре будет весить менее 20 граммов? Глупо же заниматься взвешиванием по очереди всех галек на пляже, а затем брать отношение числа всех галек с весом менее 20 граммов к числу всех вообще галек на пляже. Это глупо не только вследствие нереальности такого эксперимента, но и потому, что совсем не очевидна равновозможность любой гальке быть выбранной.
      Как определить вероятность, что новая лампочка перегорит не ранее чем через 1000 часов горения? Тут совсем нельзя проводить повторные эксперименты: после того как лампочка перегорит, ее придется выбросить.
      И все же мы исходим из существования определенной вероятности у перечисленных событий. Вероятность — это объективная характеристика событий, не зависящая от нашего отношения к ним. Наличие вероятности у событий, изучаемых в теории вероятностей, подобно наличию массы или скорости у тела: масса или скорость — величины объективно существующие, они характеризуют изучаемый объект, но измерить их абсолютно точно мы не можем. Однако можно указать приближенный способ их измерения. Так же можно указать приближенный способ измерения вероятности события.
      Для определения вероятности выпадения герба при подбрасывании кривой монеты мы производим какое-то число бросаний, допустим п, и подсчитываем, в скольких случаях из них выпал герб. Пусть их т. Отношение — , называемое частотой (или частостью) события, и п
      будет приближенной оценкой искомой вероятности.
      Таким образом, когда нельзя вычислить вероятность из каких-либо общих соображений — скажем, типа симметрии или равновозможности исходов, — пользуются частотной оценкой.
      Нас здесь утешает уверенность, что при увеличении числа опытов (п) такая оценка будет все более точной. Хотя это и верно, но смысл такого утверждения следует еще обсудить.
      Вы провели эксперимент.
      Ну и что?
      — Как это, — скажете вы, — ну и что? Проведена большая работа, получены многочисленные данные.
      — Да, это похвально, — скажу я, — и можно все полученные данные включить в отчет о проделанной работе. Но все же это лишь половина дела. Теперь надо еще на основании полученных данных сделать выводы. А это не так-то просто.
      Результатом экспериментов может быть либо качественное заключение, вроде: «При введении адреналина повышается кровяное давление», либо количественное описание ситуации типа: «При введении одного кубика адреналина пяти кроликам, у четырех поднялось кровяное давление».
      В действительности результатом эксперимента всегда является некоторая количественная характеристика, хотя бы число проведенных опытов. В большинстве же случаев и сам результат эксперимента может быть описан количественно, хотя и не всегда сразу ясно, как и в каких единицах следует производить измерения. А всякое количественное описание экспериментов требует математической обработки.
      Представьте себе геологическую партию, задачей которой является поиск залежей апатитов. В экспедиции они находят алмазы, золото и урановые руды, однако на все это они не обращают внимания, так как поиски других полезных ископаемых не входят в задачу экспедиции. Едва ли можно оправдать их, мягко выражаясь, расточительство. Но чем отличается от них физиолог, который проводит огромную и трудную экспериментальную работу и использует лишь крупицу добытой им информации?
      Вспомните мои разговоры с физиологом. На 17-шлей-фовом самописце фиксируется, по-видимому, колоссальная информация о жизнедеятельности кролика, а выводы из многих метров пленки в основном качественные, вроде: «После введения адреналина кровяное давление повысилось». Вся остальная полученная информация не обрабатывается и, следовательно, теряется.
      Обработка и осмысление любого экспериментального материала требует привлечения методов теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей служит теоретической базой математической статистики. В книгах по теории вероятностей или по математической статистике говорится, что содержание математической статистики — это разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных, результатов экспериментов.
      Из данных эксперимента можно сделать весьма различные выводы, особенно если число экспериментов не очень велико.
      По этому поводу четко высказался знаменитый физик Нильс Бор: «Когда имеется конечное число экспериментов и бесконечное количество теорий, то существует бесконечное же количество теорий, удовлетворяющих конечному числу экспериментов».
      Мне хочется подчеркнуть, что выводы из статистических данных надо делать с большой осторожностью: далеко не всегда ясно, надо ли приписать полученные данные воле случая или считать подтверждением проверяемой гипотезы.
      В то же время желание получить определенный результат, в который врач, геолог, химик, а подчас и физик уже верит, бывает подчас весьма велико. И научный работник использует экспериментальные данные лишь для подтверждения своей точки зрения, хотя достоверность данных в значительной степени сомнительна.
      Посудите сами, вот один пример.
      Для лечения опасной болезни используются два метода — будем их называть «старый метод» и «новый метод».
      В результате обработки данных за некоторое время можно составить следующую таблицу:
      Количе- ство пациентов Умерли Остались в живых % смертных случаев
      Старый метод 9 6 3 --267*
      Новый метод 11 2 9 тН18*
      Всего 20 8 12
      Из таблицы следует, что число смертельных исходов при новом методе заметно ниже. Но, немного подумав, мы можем усомниться, достаточно ли обширны полученные из наблюдений данные для того, чтобы дать нам разумную степень уверенности в вычисленных процентах.
      Ведь такое соотношение смертных случаев могло быть и результатом случайности...
      . Представим себе печальную ситуацию, когда на самом деле оба метода одинаково эффективны или вовсе не эффективны, так что на исход болезни они вовсе не оказывают влияния.
      Будем полагать при этом, что вероятность остаться в живых при обоих методах одинакова и равна
      и соответственно вероятность смертельного исхода есть . Какова вероятность, что число смертных случаев
      при старом методе не выше, чем приведенное в таблице, то есть из И пациентов, которых лечили по новому методу, умрет не более двух (то есть либо два, либо один, либо ни одного)? Эта вероятность будет равна примерно У25. (С такой вероятностью номер оторванного вами билета в автобусе делится на 25, то есть две его последние цифры есть 00, 25, 50 или 75. Если вы последите, то обнаружите довольно часто эту ситуацию, в среднем — 4 раза из сотни.)
      Хотя такие данные в пользу нового метода не следует отклонять, но я бы не считал их достаточно убедительными, например, для издания директивного указания о переходе на новый метод. Однако если бы я заболел и мне была бы предоставлена возможность выбора лечения и никакой дополнительной информации нельзя
      было получить, то, возможно, я предпочел бы новый метод. Но это уже вопрос не из теории вероятностей, а из другой области науки, о которой еще будет речь.
      Следует заметить, что правильным выводам сильно вредит отбрасывание экспериментатором ряда результатов опыта, которые ему кажутся не соответствующими условиям опыта, отбрасывание «выпавших» точек. Часто тут сознательно или подсознательно сказывается желание подтвердить определенную гипотезу, которой мешают эти нежелательные результаты. Конечно, бывают явные срывы в опыте, но без видимых оснований никакие результаты отбрасывать при обработке нельзя.
      Вот что сказал великолепный физик-экспериментатор академик П. Л. Капица в речи, посвященной памяти Резерфорда:
      «Изучение ядерных процессов при столкновении таит в себе по сей день одну большую слабость — это необходимость статистического метода обработки результатов. Хорошо известно, что нужна большая осторожность, чтобы при ограниченном числе статистических данных вывести из них общую закономерность. Кто-то, говоря о применении статистики, как-то сказал: «Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика»*. Правда, это было сказано о статистике общественных процессов, но до известной степени это может относиться к применению статистики в физике. Ни в одной области физики не было сделано столько грубейших ошибок и ложных открытий, как при обработке статистических данных, полученных в результате ядерных столкновений. До сих пор почти ежегодно продолжают происходить открытия новых частиц, элементов и резонансных уровней, которые потом оказываются ошибочными.
      Резерфорд хорошо знал, какая опасность таится в необъективности интерпретации экспериментальных данных, имеющих статистический характер, когда ученому хочется получить желаемый результат. Обработку статистических данных он проводил очень осторожно; интересен метод, который он применял. Счет сцинтилляций проводили обычно студенты, которые не знали, в чем
      * Мизес в известной книге «Вероятность и статистика» приводит такие шуточные слова одного англичанина: «Существует три вида лжи: во-первых, ложь вынужденная, которая извинительна, ложь низкая, для которой нет никакого извинения, и статистика» (Я. X.).
      заключался опыт. Кривые по полученным точкам проводили люди, которые не знали, что должно было получиться. Насколько мне помнится, Резерфорд и его ученики не сделали ни одного ошибочного открытия, в то время как их было немало в других лабораториях *.
      Поэтому методы математической статистики нужно применять грамотно и очень четко, и тогда научно обоснованные методы обработки результатов наблюдений станут полезным и повседневно применяемым орудием в руках любого экспериментатора.
      Я говорил, что в физиологии и медицине весьма расточительно относятся к результатам опытов — из них извлекают весьма малую информацию по сравнению с той, которую можно было бы извлечь. Это относится в значительной мере к геологии и геофизике, к химии и технике. Конечно, далеко не всегда экспериментатор виноват в том, что не обрабатываются подробно результаты опытов: для этого нужно не только владеть статистическими методами, но и иметь аппаратуру, на которой это можно делать.
      Расшифровка электроэнцефалограммы или комплексная интерпретация геофизических данных, замеряемых в нефтяной скважине, приводит не только к большому объему вычислений, но и требует сложных алгоритмов при обработке. Здесь недостаточно русских счетов или арифмометра, нужны электронная вычислительная техника, автоматический ввод результатов опыта в быстродействующую вычислительную машину и автоматическое получение результатов в виде таблиц, перфокарт или кривых.
      Но и осмысливание результатов, как и выбор методики обработки, требует глубокого и беспристрастного проникновения в изучаемый вопрос. Сами по себе машины бесполезны, они должны отвечать на поставленные вопросы, а ставить четко вопрос — это как раз и есть самое трудное. Не так ли?
      Разговор с диссертантом
      Ко мне приходит диссертант. Он инженер, имеет большой практический опыт, провел значительную работу по диссертационной теме, собрал материал, осущест-
      * Журнал «Новый мир*, 1966 год, № 8, стр. 209.
      вил часть экспериментов. И теперь ему кажется, что их надо привести в систему, сделать выводы.
      Он. Я бы хотел с вами проконсультироваться. Для изучения прочности труб из различных пластмасс я разработал методику и провел ряд экспери- ментов. Мне хотелось бы знать, нужно ли еще проводить опыты или полученных данных достаточно.
      Я. Для чего достаточно?
      Он. Для выводов о прочности при различных условиях.
      Я. Поясните, пожалуйста, подробнее, в чем задача.
      Он показывает таблицы, куда сведены данные экспериментов. Каждый опыт длился несколько недель. Проблема заключается в выборе типа наиболее проч- ной пластмассы для труб, по которым в производствен-3 ных условиях подают нефть под давлением. Опыт про-* водят так: в течение определенного времени по трубе прогоняют нефть, а затем трубу разрывают в специальной машине, замеряя при этом усилие, требуемое для разрыва. Остатки труб после опыта, конечно, выбра«-сывают.
      Я. Скажите, почему вы опыты вели неодинаковое время?
      Он. Я разработал методику, дающую возможность быстро вывести заключение о прочности труб. Нужно установить зависимость между временем использования трубы под нагрузкой и усилием разрыва. Эту зависимость я устанавливал на основании серии опытов на начальном временном участке — в течение 10 недель, — а затем продолжал дальше на основании теоретических соображений о механизме явления.
      Я. Но при таком подходе заключение о величине усилия разрыва через один, два или три года работы трубы может быть и ошибочным?
      Он. Да, но при сравнении различных типов пластмасс заключение о том, что одна пластмасса имеет преимущество перед другой, очевидно, можно сделать. Труба может использоваться много месяцев или лет, но я не могу столько времени ждать, чтобы сделать заключение о ее качественных характеристиках.
      Я. Конечно, хочется скорее защитить диссертацию!
      Он. Вы все шутите. Вам, математикам, хорошо: доказал несколько теорем — и защищайся. А нам надо набирать экспериментальный материал. На это уходит много времени.
      Я. Да, для выполнения диссертации в короткий срок теоретические вопросы, если они не очень сложные, оказываются более удобными. Впрочем, и в теоретических вопросах можно увязнуть.
      . Итак, вам кажется очевидным, что предлагаемая методика позволяет выявить наиболее прочный тип пластмассы. Мне же это пока не очевидно... Но предположим, ваша гипотеза верна. Через какие интервалы времени вы проверяете величины усилий разрыва и сколько труб исследуется одновременно?
      Он. Приходится брать 20 образцов и отбирать по 5 штук каждые 2 недели. Испытывать большее количество сразу я не могу — установка не позволяет.
      Я. Так в чем же состоит ваш вопрос?
      Он. Такие серии экспериментов проведены с тремя типами труб. Этого достаточно или нужно еще проводить?
      Я. Скажите, после проведенных опытов ярко видны преимущества какого-нибудь одного типа над другими? Например, можете вы утверждать, что за два месяца эксплуатации у первого (лучшего) типа труб величина усилия разрыва упала лишь на один процент, в то время как у других на целых 20?
      Он. Ну что вы! Взгляните на таблицы. Здесь же величины примерно одного порядка. Но если судить по средним данным, то, мне кажется, первый тип пластмассы раза в два лучше. И трубы, изготовленные из нее, были бы долговечнее тоже примерно в два раза; а это миллионы рублей экономии.
      Я. А сколько стоит проведение эксперимента?
      Он. Ну зачем нам лезть в экономику. Давайте лучше заниматься статистикой.
      Я. Представьте себе, что вам надо удалить желчный пузырь. Имеются два хирурга, которые
      могут это сделать. Один провел 10 операций, из них 9 успешно, а другой провел 100 операций, из них 90 успешно. Какого вы предпочли бы? *
      Он. Ясно, что второго, но...
      Я. А если у второго лишь 85 успешных из 100?
      Он. Не знаю. Пожалуй, все-таки второго, у него опыт побольше.
      Я. Избавлю вас от страха за исход операции. * ; Если имеется два опытных стрелка и один выбил 9 очков из 10, а другой 85 из 100, то кому следует дать пальму первенства?
      Он. Пришел я к вам, дабы получить ответы на свои вопросы, а вы норовите их задать мне. Это запрещенный прием.
      Я. Да что вы, я просто стараюсь помочь вам w четко задать ваши вопросы. Но раз вам такой путь
      не нравится, то попробую ответить на не поставленные вами вопросы.
      Вопросов здесь несколько. Давайте их перечислим.
      Первый вопрос. Сколько надо провести экспериментов, чтобы быть полностью уверенным, что полученная средняя величина усилия разрыва является истинной?
      На этот вопрос можно дать точный ответ: бесконечное количество.
      Он. То есть как — бесконечное?
      Я. Дело в том, что каждый эксперимент производится с ошибкой, ее величина заранее не известна и изменяется она от опыта к опыту. Поэтому, какое бы мы ни произвели конечное число опытов, среднее арифметическое полученных значений будет содержать ошибку. При этом, если опыты производятся в одинаковых условиях и ошибки случайны, то погрешность среднего будет уменьшаться при увеличении числа опытов, но она не может быть сведена к нулю при конечном числе опытов. Поэтому возникает следующий вопрос.
      Второй вопрос. Что можно гарантировать при 5, или 10, или 1000 опытов?,
      Вы испытываете больше доверия к хирургу, у которого 90 удачных операций из 100, вследствие его большей опытности (слово-то какое правильное!). Следовательно, коэффициент доверия к утверждению «У хирурга 90 процентов удачных операций» будет разный: выше, если это 90 из 100 операций, и ниже, если 9 из 10. Вам небось интуитивно ясно, что такое коэффициент доверия?
      Он. Да, действительно, интуитивно это ясно. Но как его задать?
      Я. Это можно сделать различным образом. Грубо говоря, это та цена, которую надо заплатить за более надежные данные. Эта цена может быть выражена количеством необходимых опытов с учетом их точностей, выражена в рублях, необходимых для постановки и проведения опытов, или в каких-либо других единицах.
      Вот тут статистика и смыкается с экономикой, хотя вы и хотели их разделить.
      Он. Да, понимаю. Но все же скажите, как мне поступить?
      Я. Об этом речь будет позже. Пока же я хочу сформулировать вопросы. Вы почему-то брали по 5 образцов через одинаковые интервалы времени. В то же врейя величина изучаемого вами усилия разрыва изменяется со временем не линейно, а скорее убывает по гиперболе или по экспоненте, как у=2-~в/, где t — время, у — величина усилия, а — числовой коэффициент. Наиболее ответственная часть определяемой вами кривой — это начальный период. Поэтому возникает еще один вопрос.
      Третий вопрос. В какие моменты времени целесообразнее производить опыты и какое количество труб надо брать каждый раз?
      Здесь можно ставить вопрос по-разному: можно считать, что общее количество образцов задано заранее, также задано время, отводимое на все опыты. Тогда задача будет заключаться в выборе моментов времени для испытаний и в определении количества труб в каждой выборке, которые обеспечивают максимальный коэффициент доверия. Можно ставить задачу иначе: задаться коэффициен-
      том доверия и минимизировать общие затраты на все опыты. Могут быть и другие постановки задачи.
      Он. Вы меня повергли в смятение... Все-таки как мне поступить?
      Мы выбрали постановку задачи, был спланирован эксперимент, и через два месяца получены результаты. Я не буду останавливаться подробнее на этой работе.
      Экспериментатор и статистик
      Разговор с диссертантом показывает довольно общую обстановку, в которой оказывается экспериментатор. Разберем теперь немного подробнее затронутые вопросы.
      Экспериментаторы редко обращаются за помощью к статистикам. Чаще производят обработку результатов наблюдений сами — «как бог на душу положит». Выводы при этом получаются иногда самые фантастические, как я уже рассказал выше. Но дело не только в этом. Результаты эксперимента, их информативность и значимость при тех же затратах труда и средств в значительной мере зависят от того, как будет проводиться эксперимент: в какие моменты времени производятся измерения, сколько измерений и в каких точках, как выбрать значения параметров или воздействий, находящихся во власти экспериментатора... Можно написать еще много всяких вопросительных и восклицательных фраз. Но самое существенное состоит в том, что математик может подсказать экспериментатору, как выпутаться с честью из паутины этих ехидных вопросов. Как же надо поступить?
      Очень просто: нужно привлечь статистика не по окончании экспериментальной части, а в самом начале всей работы. Как правило, экспериментатор, придумывая опыт, не заботится о том, как затем извлечь максимум информации об интересующем его явлении. А статистик именно об этом будет думать. Он должен спланировать эксперимент, выбрать число необходимых испытаний, продумать процедуру их проведения, позаботиться о том, чтобы данные экспериментов были получены в форме, удобной для непосредственной обработки. Работы у статистика будет по горло. Он будет «мешать» экспериментатору, требуя от него выполнения разных кажущихся несущественными условий, но зато после получения опытных данных их обработка и последующее осмысливание будут проходить быстро и эффективно.
      Например, биолог, изучая влияние радиации на белых мышей, возьмет партию в 30 мышей; из 10 он образует контрольную группу, а из 20 — экспериментальную. Эти 20 . он разобьет на 5 групп, по 4 особи в каждой. Четверки и будут подвергаться различным дозам облучения. Как будто все хорошо: есть и экспериментальные группы и контрольная. Но статистик потребует перенумеровать всех мышей и затем, не глядя на них и используя таблицу случайных чисел, укажет, какие номера отнести в какую группу. Сделает он это с целью исключить не только сознательный отбор мышей экспериментатором (скажем, более сильных особей для облучения большими дозами), но и бессознательный (например, по принадлежности особей к одному помету).
      Выбор объектов для эксперимента должен быть совершенно случайным, чтобы даже кажущаяся несущественной причина не могла привести к ошибочным выводам.
      В равной мере это относится и к неодушевленным предметам. Обсудим для примера организацию контроля качества продукции на заводе радиоламп. Качественным показателем будет срок службы радиоламп. Если за месяц завод выпустил ламп определенного типа 50 тысяч штук, а предполагаемый срок службы 500 часов непрерывной работы (то есть более 20 суток), то возникает серьезная задача: как проверить этот показатель качества всей партии ламп?
      Для проверки срока службы радиоламп отбирают некоторое их число (выборочная группа), ставят на стенд и держат под накалом более 20 суток подряд. В течение этого времени вся месячная партия хранится на заводе. Выпустить ее в продажу еще нельзя. Вдруг она не будет удовлетворять техническим условиям и завод не сможет гарантировать потребителю 500 часов работы? А типов ламп много, склады готовой продукции забиты. Тяжелое положение...
      Если пользоваться выборочным контролем, то нужно знать, сколько ламп следует поставить на стенд и когда считать испытание удовлетворительным.
      Лет двадцать назад на одном из заводов я столкнулся с этой проблемой. Из месячной партии в несколько десятков тысяч радиоламп определенного типа отбирали 10 ламп и держали на стенде под накалом по
      500 часов. Если в течение этого времени ни одна из 10 ламп не выходила из строя, то положение считалось удовлетворительным и партия принималась. Если же хотя бы одна лампа выходила из строя — поднимался шум, выяснялись причины такого большого (!) процента брака, принимались срочные меры для снижения этого процента.
      В то же время нетрудно вычислить, что при такой процедуре вероятность отгрузки потребителю весьма скверной партии довольно большая. Оказывается, если во всей партии 5 процентов брака, то есть из 100 тысяч ламп 5 тысяч дефектных, то вероятность извлечь при случайном выборе все 10 годных ламп равна 0,60. Это означает, что в среднем 60 партий из 100 будут приниматься как годные, а остальные будут забракованы. Если же продукция содержит 10 процентов брака, то в среднем при такой процедуре браковки 34 партии из 100 будут приниматься как годные. Едва ли потребителя может удовлетворить такое низкое качество.
      Плохо, конечно, если потребитель использует такие ненадежные лампы в домашнем телевизоре или в радиоприемнике. Здесь дело ограничивается крепкими выражениями в адрес завода. А выражения произносятся в основном дома, и заводское начальство спокойно ездит на рыбалку. Но когда потребитель — другое предприятие и радиолампы применяются, допустим, в специальных приборах, где в одном управляющем устройстве стоят сотни радиоламп, неприятности могут быть очень серьезными.
      Произведем весьма приблизительный подсчет. Если в используемой нами партии 10 процентов дефектных ламп и моменты их выхода из строя равномерно распределены в интервале времени в 500 часов, то вероятность, что наугад взятая из этой партии лампа выйдет из строя в течение суток, будет примерно 0,005. Предположим, что в управляющем устройстве используется 300 радиоламп. Тогда вероятность события, состоящего в том, что ни одна из 300 ламп, используемых в нашем управляющем устройстве, не выйдет из строя в течение суток, будет равна (1 — 0,005)300=0,995300 0,2. Следовательно, вероятность того, что в течение суток по крайней мере одна из 300 ламп выйдет из строя, будет равна 1 — 0,2=0,8.
      Если выход из строя хотя бы одной лампы в аппаратуре управляющего устройства приводит к ошибкам в работе или полному выходу из строя всего устройства, то наш подсчет показывает катастрофическую картину: в среднем лишь двое суток из десяти аппаратура будет работать без перебоев и поломок! Только самоубийцы рискнули бы лететь в самолете, управляющая аппаратура которого работает с такой надежностью!
      Вернемся к процедуре отбора ламп для контрольной проверки на срок службы.
      Представим себе, что задача завода — лишь выполнить план, а за качество он не несет серьезной ответственности. Тогда представители завода сознательно или бессознательно постараются отбирать на контрольные испытания более надежные лампы. Это в некоторой мере может быть сделано так: ночные и дневные смены дают продукцию различного качества — значит, надо брать лампы, сделанные днем; некоторые операции производятся вручную — следовательно, на контроль надо отбирать продукцию, изготовленную более квалифицированным персоналом.
      После такого контроля потребитель будет, вообще говоря, получать еще более скверную продукцию, чем при беспристрастном отборе 10 ламп.
      Конечно, при описанной процедуре для надежности нужно отбирать на контроль значительно больше, чем 10 ламп. Но здесь вновь возникают организационные проблемы: типов ламп много, и если из каждой партии отбирать, скажем, по 1000 ламп и держать их на испытательном стенде по 20 дней, то понадобятся огромные стендовые помещения, впустую потратится электроэнергия, да и испытанные лампы надо же выкидывать или хотя бы уценять. А все это ведет к производственным потерям.
      Статистик в этой обстановке потребует такой процедуры отбора продукции на выборочный контроль, при которой был бы обеспечен беспристрастный выбор. Но и саму процедуру можно значительно усовершенствовать.
      Уже сегодня статистики могут предложить более выгодную процедуру принятия решений о годности или дефектности партии.
      Стоп! Обратите внимание на слова, отмеченные курсивом. До сих пор об этом речь шла как бы исподволь. А теперь скажем в открытую.
     
      Нам нужно принимать решения
      Принимать решения приходится каждому из нас и на каждом шагу. Руководители предприятий, лабораторий, цехов, военные начальники, члены правительства, пионервожатые и звеньевые должны принимать решения организационного характера. Врач принимает решение, ставя диагноз, назначая лекарства, останавливаясь на методе лечения или выписывая пациента на работу. Шофер или летчик принимают решение, выбирая маршрут, изменяя его, прибавляя газ или включая тормоз. Ученый принимает решение, выбрав методику проведения опыта или доказательства теоремы, а закончив опыт или доказав теорему, принимает решение об окончании работы.
      Направляясь на свидание, во Дворец бракосочетания или в суд, мы предварительно принимаем решение, которое, к сожалению, не всегда хорошо обдумано. Впрочем, и в других случаях принимаемые нами решения недостаточно обоснованы, слабо аргументированы,
      ненадежны. Этому мешает не только легкомыслие или недостаток мудрости, но и недостаток информации. А когда она ненадежна или просто ошибочна, тогда и приходится принимать «волевое» решение или полагаться на злополучное авось.
      Итак, довольно часто решения принимаются в условиях неопределенности. Сами измерения или исследования служат поводом для эксперимента и последующей обработки данных весьма редко (если не сказать — никогда). Каждый научный работник — физик, инженер, врач, селекционер или социолог — ставит эксперимент и делает из него выводы при неполной информации, при участии случая, в условиях неопределенности. Это решение может носить различный характер: бурить в данном районе скважину; считать данный район перспективным в смысле нефтеносности; считать стрептомицин эффективным средством лечения при воспалении легких; принимать партию радиоламп, если среди 50 выбранных не более двух дефектных; считать скорость света в пустоте равной 2,99793 1010 см/сек; считать, что открыта новая элементарная частица; переходить на новую форму экономического стимулирования предприятий; уменьшить в 5 раз прием на заочные факультеты инженерных вузов.
      Чтобы экспериментатор сумел среди возможных решений выбрать наилучшее или по крайней мере достаточно хорошее, он должен знать определенные правила этого выбора и руководствоваться ими.
      Сейчас наука может в некоторых случаях указать правила, или, как теперь принято говорить, стратегию для выбора наилучшего (или достаточно хорошего) решения. В иных обстоятельствах такой стратегии еще нет, но есть рекомендации, как разумнее ставить вопросы, как строить подходящую математическую модель ситуации и изучать эту модель.
      Ряд областей математики тесно связан с проблемами принятия решений. Это теория игр, теория оптимального планирования и управления, теория операций и другие. Но главными из них являются теория вероятностей и математическая статистика.
      Математическая статистика не только занимается разработкой приемов обработки экспериментальных данных, но разрабатывает методы принятия решений в условиях неопределенности, причем неопределенности, характеризующейся статистической устойчивостью.
      Следует, конечно, ясно, себе представлять, что принятие решения основывается не только на статистических соображениях. Вам совсем не все равно, ошибется ли в 10 случаях из 100 школьник, решающий задачи о переливании воды в бассейнах, геофизик-интерпретатор, составляющий заключение о нефтеносности пласта, или хирург, которому вы вручаете свою жизнь. Мало того, вам совсем не безразлично, куда поставят ненадежную радиолампу: в ваш телевизор или в аппаратуру самолета, на котором вам предстоит совершить полет. А вероятность выхода из строя этой лампы, скажем, в течение часа одна и та же!
      Таким образом, статистик, указывающий правила принятия решений, и экспериментатор, пользующийся этими правилами, должны учитывать последствия своего решения: при неверном решении могут быть потеряны время и средства, идущие на эксперимент, нанесен ущерб обществу и потеряна репутация.
      Поэтому никогда не надо жалеть труда на разработку правил принятия решений в условиях неопределен* ности.
      Я говорил о неизбежности принимать решения на каждом шагу нашей не только научной, но и повседневной жизни. И вы, читатель, конечно, делаете это не так уж плохо: в противном случае едва ли у вас были бы время, место и желание читать эту книжку. Вы полагаетесь при этом на свой здравый смысл и редко подводящую вас интуицию. Давайте устроим им небольшую проверку.
      Интуиция: дни рождения
      Если день рождения кого-либо из ваших знакомых совпадает с вашим (пусть даже вам двадцать, а ему пятьдесят), вы удивляетесь — редкое событие. Я знал влюбленных, познакомившихся в их общий день рождения. Сам факт — общий день рождения — ими рассматривался как предзнаменование! А то, что они в этот день познакомились, — предзнаменование вдвойне!
      Представьте себе аудиторию, где может поместиться несколько сот человек, например, слушателей, пришедших на лекцию. Проведем мысленный эксперимент: опросим всех присутствующих о дате их дня рождения и отметим те пары, тройки, четверки и т. д., у которых общий день рождения. Но прежде чем опрашивать, давайте заключим пари — так будет интереснее. Я плачу вам рубль, если в аудитории не окажется ни одной пары лиц с общим днем рождения, а вы платите мне рубль, если хотя бы одна такая пара будет обнаружена.
      Сколько в аудитории должно быть людей, чтобы наше пари было честным, то есть чтобы шансы на выигрыш у меня и у вас были бы равные? Заметьте, если в аудитории 367 человек, то хотя бы одна пара лиц с общим днем рождения будет обнаружена наверняка. И вы, таким образом, оказываетесь в безнадежном положении. В самом деле, в году самое большее 366 дней, и, вообще говоря, может так случиться, что в аудитории найдется 366 лиц, имеющих различные дни рождения (1 января, 2 января и т. д. вплоть до 31 декабря). Но уже триста шестьдесят седьмому деться некуда, для него нет свободного дня, и ему придется с кем-нибудь из предыдущих 366 поделить счастье праздновать день рождения.
      Если же в аудитории всего два человека — вы и я, то довольно мало шансов нам иметь общий день рождения, так что у меня мало шансов выиграть у вас рубль.
      Прошу вас, проявите силу воли и, не заглядывая на последующие страницы, ответьте (в течение пяти минут) на поставленный вопрос. Запомните число, которое вы назначили.
      Конечно, можно получить точный ответ с помощью несложных вычислений. Для иллюстрации метода решим более простую задачу.
      Напишем слово ШКОЛЬНИК на плотной бумаге, разрежем слово на отдельные буквы — квадратики, перевернем буквами вниз и перемешаем, как при игре в домино (рис. 87). Будем теперь по воле случая выбирать по одной букве и складывать.
      Какова вероятность того, что из трех последовательно выбранных букв получится слово КОЛ?
      Эту вероятность легко подсчитать, если мы примем гипотезу, что все квадратики с буквами после перемешивания имеют одинаковые шансы быть выбранными. Тогда вероятность того, что первой будет выбрана буква К, равна, очевидно, 2/8 (на двух из восьми квадратиков написана буква К). Далее, из оставшихся семи букв вероятность выбрать букву О равна 1/7. Наконец, вероятность выбрать букву Л из оставшихся шести букв равна 1/6. Таким образом, вероятность последовательно составить слово КОЛ равна:
      Это небольшая вероятность, и, наверное, среди школьных отметок «КОЛ» встречается чаще.
      А теперь вернемся к нашему пари. На лекциях по теории вероятностей я неоднократно задавал слушателям тот же вопрос. Ответы были разные: 100 человек, 150 человек, 183 человека (это 366:2). Меньше 50 никогда никто не назначал. Затем проводился опрос (он отнимает мало времени), и в аудитории из 80, 50 и даже 30 слушателей неизменно оказывалось несколько пар с общим днем рождения. На слушателей это производит очень сильное впечатление.
      Давайте проведем необходимые вычисления. Мы подсчитаем сначала вероятность противоположного события: все п слушателей имеют разные дни рождения. Для простоты будем считать, что год состоит из 365 дней (то есть пренебрежем более редкой возможностью родиться 29 февраля). Будем полагать, что каждый из слушателей может родиться в любой из 365 дней и все эти возможности равновероятны.
     
      Если провести теперь вычисления по этим формулам для ряда значений п, то получатся числа, приведенные
      во второй колонке таблицы *. В третьей колонке приведены для тех же значений п условия честного пари, то есть соотношения между ставками участвующих в споре, при которых их средний выигрыш был бы одинаковым. Эта величина равна, как легко подсчитать,
      Из таблицы видно, что ответ на поставленный в начале раздела вопрос будет весьма неожиданным: наше пари будет честным (приблизительно), если в комнате будет 23 человека. Тогда вероятность того, что в аудитории не найдется ни одной пары лиц е одинаковым днем рождения, примерно равна вероятности обнаружить хотя бы одну пару лиц с общим днем рождения.
      В то же время при 100 присутствующих в зале наше пари было бы честным, если бы я поставил 3300 тысяч рублей против вашего рубля. Вы видите, сколь безнадежны были бы ваши надежды выиграть при равных ставках (рубль на рубль).
     
      Интуиция: везет — не везет
      Опоздания, проигрыши, нежелательные встречи, неудачные браки, плохая погода и отсутствие клева на рыбалке отравляют жизнь человечества. Но если погоду и клев на рыбалке нельзя отнести на свой личный счет, где фиксируются жизненные неудачи, то нечаянные опоздания, проигрыши и несчастная любовь — это, конечно, ваше собственное невезение. Когда кого-либо считают «везучим» или говорят о наступлении полосы невезения, то такие слова кажутся сказанными «для красного словца». Впрочем, если покопаться в памяти, то небось в вашей жизни периоды невезения действительно сменялись периодами удач.
      Может быть, другие менее яркие ситуации стерлись в памяти? А может быть, так оно и есть на самом деле? Не берусь судить, для этого нужно было бы вести многолетние и серьезно поставленные наблюдения. Однако для азартных игр или для более серьезных задач теории диффузии вопрос о везении, или, более точно, о соответствии наших интуитивных представлений действительному положению дел, можно исследовать достаточно подробно.
      В таблице на этой странице записаны числа появлений герба при бросании правильной монеты. Каждое двузначное число означает число выпадений герба в серии из 100 бросаний, а общее число бросаний равно 10 тысячам. В первой колонке указаны номера испытаний, а в последней — число выпавших гербов в соответствующих сериях из тысячи бросаний. Общее число появления герба при 10 тысячах бросаний оказалось равным 4979. Такое число, наверное, не вызовет у вас недоверия: похоже, что монета действительно правильная.
      Вглядитесь теперь в таблицу. После более или менее пристального разглядывания вы можете мне задать все тот же вопрос: «Ну и что?» Я хотел бы предложить вам сыграть в «орлянку». Пригласите вашего приятеля или приятельницу, если выигрыш у нее может вас порадовать чем-нибудь, кроме разменной монеты, и достаньте из кармана первую попавшуюся монету. Лучше подбрасывать монету большого размера — 5 или 50 копеек или даже юбилейный рубль. Вы (или ваш партнер) начните монету подбрасывать и проделайте это много раз. Удобно полагать, что подбрасывания происходят через равные интервалы времени. Если выпадает герб — вы выигрываете, и партнер платит вам одну копейку, если решка — партнер выигрывает, и вы платите ему одну копейку.
      Не подумайте, что я толкаю вас на тернистый путь азартных игр. Я сознательно предложил такую маленькую ставку, чтобы вы могли играть долго, не боясь разорения, и переживания при проигрыше или выигрыше не заслонили бы научную сторону вопроса.
      Ясное дело, выпадение герба и решки будет как-то нерегулярно чередоваться. Но вас интересует не то, какая сторона монеты выпала при определенном бросании, скажем, при двухсотом, а какова сумма вашего выигрыша или проигрыша за все время игры до данного момента. Об этом суммарном выигрыше, а не о выигрыше при каком-то очередном подбрасывании, я и буду вести речь.
      Представьте себе, что монету бросает ваш партнер 200 раз подряд и за это время вы ни разу не были в выигрыше (по сумме очков). Будете ли вы считать, что вам просто не везет, или будете подозревать партнера в мошенничестве? Впрочем, если честность партнера вне подозрений, то, может быть, следует объяснить такую жестокую несправедливость несимметрией монеты и сменить ее?
      Может быть, вам покажется, что 200 бросаний — это слишком маленькое число для разговора о несправедливости?
      Настроение у вас скверное. Все же вы продолжаете игру, хотя и полны подозрений. Но вот монета подброшена уже тысячу раз, а вы все еще ни разу не были в выигрыше по сумме очков. Как вы оцените ситуацию?
      Кажется, вы уже начали подозревать партнера. Простите, но что служит поводом для ваших подозрений? Если монета симметрична и партнер не жульничает, то при каждом бросании монета имеет равные шансы выпасть гербом или решкой. Здравый смысл вам подсказывает, что при достаточно длинной серии таких подбрасываний каждый из партнеров будет в выигрыше примерно половину всего времени.
      Убедительно, но... совершенно неверно!
      Назовем, для краткости, лидером игрока, находящегося в данный момент в выигрыше (по сумме очков). Оказывается лидерство в игре меняется значительно реже, чем подсказывает интуиция. Как бы длинны нь были серии бросаний, вероятнее всего, что смены лидерства вообще не будет; одна смена лидерства более вероятна, чем две; а две смены вероятнее, чем три, и т. д.
      Традиционный следователь (или психолог) должен был бы квалифицировать большинство игроков как жуликов, а большинство монет считать неправильными. Однако если взять тысячу монет и каждую подбрасывать 10 тысяч раз, то большинство из тысячи монет будут себя вести таким образом, что один из играющих окажется почти все время в выигрыше. Лишь для немногих монет перемены лидерства будут происходить так, как мы этого ожидаем от правильной монеты.
      Для наглядности изобразим игру в виде графика. На горизонтальной оси отложим моменты времени, в которые происходят бросания, а на вертикалях в этих точках — суммарный выигрыш. Если все это изображать на клетчатой бумаге, то игра представится ломаной линией, где ординаты узлов квадратной сетки означают суммарный выигрыш при соответствующем номере бросания. На рисунке 88 представлен типичный график подобной игры.
      Различные такие графики будут возможными исходами игры. При нашей игре изменению лидерства всегда предшествует ничья, то есть ситуация, когда сумма выигрышей обоих игроков равна нулю. Впрочем, за ничьей не всегда следует перемена лидерства, это происходит лишь с вероятностью, равной половине.
      Вы, конечно, согласитесь с таким естественным утверждением: при подбрасывании монеты через равные промежутки времени за два дня игры будет в 2 раза больше ничьих, чем за один день.
      Но и это не так!
      Оказывается, число ничьих возрастает как корень квадратный из времени. В это, конечно, трудно поверить. Но, может быть, вас убедят количественные данные? Мне придется воспользоваться характеристикой распределения вероятностей, называемой медианой.
      Вы помните медиану в треугольнике? Это линия, делящая противоположную сторону пополам. Так же и в теории вероятностей медиана (обозначаемая Me) — это число, делящее распределение вероятностей пополам (вероятность того, что случайная величина примет значение меньше Me, равна половине так же, как и вероятность принять значение больше Me, тоже равна половине).
      В задаче о совпадении дней рождения я как раз спрашивал вас о том, какова медиана числа лиц, среди которых хотя бы одна пара имеет общий день рождения. Напомню: оказалось, что эта медиана равна примерно 23.
      Вычисление показывает, что медиана числа ничьих при 10 тысячах бросаний равна 67, но при одном миллионе бросаний она становится равной 674, то есть возрастает лишь в 10 раз, а не в 100 раз, как вы ожидали в соответствии со «здравым смыслом».
      Для подтверждения этих результатов, столь противоречащих нашей интуиции, приведу экспериментальные результаты. Они заимствованы, как, впрочем, и почти весь фактический материал этого раздела, из великолепной книги В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения».
      Вернемся на минуту к таблице, помещенной в начале раздела и вызвавшей законный вопрос: «Ну и г1 что?» Эта таблица составлена в результате реально 3 осуществленного эксперимента.
      Для подбрасывания монеты 10 тысяч раз надо за- тратить часов десять-пятнадцать. Конечно, крупный математик Вилли Феллер — наш современник — не тратил эти часы на подбрасывание монеты, как это делал Бюффон в XVIII веке. Вместо подбрасывания монеты можно осуществить любой другой опыт с двумя равновероятными исходами. Такие эксперименты очень легко провести на быстродействующей вычислительной машине, где вместо герба и решки будут появляться * равновероятно 0 и 1. На подобный эксперимент с 10 ты- \ сячами «бросаний» надо затратить менее минуты машинного времени, то есть времени работы вычислительной машины, затрачиваемого на соответствующие арифметические и логические действия. Результаты одного из подобных экспериментов ниже приводятся. Но я буду по-прежнему говорить о монете, суммарном выигрыше и проигрыше и перемене лидерства.
      В эксперименте, результаты которого сведены в таблицу, имела место следующая картина перемен лидерства:
      Первый игрок был лидером Второй игрок был лидером
      Первые 7804 бросания Следующие 2 бросания Следующие 30 бросаний Следующие 48 бросаний Следующие 2046 бросаний Следующие 8 бросаний Следующие 54 бросания Следующие 2 бросания Следующие 6 бросаний
      Всего за десять тысяч бросаний первый игрок был лидером при 9930 бросаниях, а второй — всего при 70.
      Как видите, первому игроку «невероятно везло». Однако такая картина не исключение, а скорее правило. В среднем один такой же эксперимент из десяти приведет к результатам, при которых один из игроков будет
      в еще более скверном положении, чем был сейчас второй игрок.
      На рисунке 89 представлен график аналогичного эксперимента. По горизонтальной оси отложены номера бросаний, а по вертикальной — суммарный выигрыш первого игрока. Ясно, что отрицательный выигрыш — это проигрыш первого и, следовательно, выигрыш второго игрока. На графике имеется 142 ничьих, из которых лишь 78 представляют действительное изменение лидерства. В ранее описанном эксперименте было 14 ничейных положений, из которых 8 привели к смене лидерства. Оказывается, что при 10 тысячах бросаний вероятность более чем 140 ничьих равна 0,157, а вероятность того, что будет менее 15 ничьих, равна 0,115.
      Заметьте, как все эти результаты противоречат нашей интуиции! Не знаю, утешит ли это вас, но похоже, что периоды «невезения», сменяемые периодами «везения», — это не из ряда вон выходящее явление, а скорее, закономерность.
      Вот еще один пример, когда интуиция подводит.
      Восемнадцатилетние девушки обычно уже не против того, чтобы выйти замуж. Во всяком случае, Эльвира весьма ревниво оценивает шансы своих подруг. И ей не так уж важен сам факт собственного замужества, как велики страдания ее женского самолюбия, когда «другие выходят, а она еще нет...». Можно посочувствовать девушке, но на самом деле никакого невезения нет, и все закономерно. Математическая модель ситуации предполагает справедливость: во-первых, браки
      одних девушек не влияют на браки других, и шансы выйти замуж для всех однолеток равны; во-вторых, величины времени ожидания этого столь важного события, то есть времени, истекшего от восемнадцати лет до дня бракосочетания, — это случайные величины, имеющие одинаковое вероятностное распределение.
      Итак, девушек на выданье очень много, и без большого греха будем считать, что их даже бесконечно много. Предположим, что (п — 1) из них уже вышли замуж, но, наконец, вышла замуж и Эльвира, заняв, таким образом, в ряду подруг п-е месго.
      Не очень хитрые рассуждения и подсчеты показывают, что вероятность этого события есть -, а
      это означает, что среднее время ожидания для нашей Эльвиры равно бесконечности. Поэтому следует считать большим везением, ежели Эльвира выйдет замуж пятой, сотой или десятитысячной, а не сетовать на невезение, когда в очередную субботу не она идет во Дворец бракосочетаний.
     
      Блуждание
      Около трехсот лет назад голландский торговец мануфактурой Антони ван Левенгук, самодовольный невежда, но крайне любознательный и настойчивый человек, увидел жизнь через линзы созданных им самим микроскопов. В дождевой воде плавали и играли маленькие животные, в сто раз меньше любого существа, видимого простым глазом! — так пишет Поль де Крайф в знаменитой книге «Охотники за микробами».
      Через полтораста лет после невероятного открытия Левенгука английский ботаник Роберт Броун разглядывал жизнь через окуляр уже достаточно совершенного микроскопа. Он обратил внимание на беспорядочные скачки и пляску мельчайших частичек цветочной пыльцы. Броун был грамотен и сведущ: он понимал, что наблюдает движения не живых существ, а плавающих в воде соринок. Впрочем, Броун не удовлетворился общими рассуждениями. Для доказательства обнаруженного им факта необъяснимых движений соринок он изучил поведение взвешенных в жидкости частиц огромного числа веществ и предметов, среди которых был даже обломок сфинкса. Разыскав кусочек кварца, внутри которого была заполненная водою полость, и сунув его под микроскоп, он увидел и в полости хаотические движения взвешенных в воде частичек. Вода попала туда, наверное, очень давно, но соринки продолжали свою пляску. Это было в 1827 году.
      Объяснение беспорядочных движений мелких частичек в жидкости далось нелегко.
      Универсальность эффекта произвела на Броуна весьма большое впечатление, и он предположил, что открыл некую элементарную форму жизни, присущую как органической, так и неорганической материи.
      В конце XIX века последовательно были отвергнуты гипотезы о том, что природа броуновского движения связана с какой-то электрической силой, испарением жидкости, механическими ударами. Броуновское движение неизменно обнаруживалось после пребывания образца в течение недели в полной темноте или после нагревания в течение многих часов.
      В конце концов стало ясно: само явление — броуновское движение — имеет фундаментальное значение.
      Из описанных опытов сейчас делают естественный вывод: причина явления заключается в беспорядочной бомбардировке частиц молекулами окружающей жидкости. Но для четкого и однозначного анализа этой проблемы понадобился гений Эйнштейна.
      Попробуем разобраться в некоторых вопросах, относящихся к броуновскому движению. Мы уже знаем, как подступиться к такой задаче: надо построить удобную модель явления, а затем и математическую модель. Взвешенная в жидкости частица со всех сторон подвергается ударам молекул жидкости. Сила ударов различна — молекулы движутся с разными скоростями, удары сыплются со всех сторон — направления случайны, и шансы получить удары справа или слева, снизу или сверху одинаковы. Количество соударений частицы с молекулами велико, это величина порядка 10й в секунду. Впрочем, при построении модели явления абсолютные величины числа соударений и скоростей молекул несущественны.
      Попробуем определить, насколько меняется положение прыгающей частицы за время, во много раз большее, чем промежуток между двумя ударами.
      Мы построим сейчас модель этого явления. Будем считать: во-первых, скорости молекул одинаковыми по величине; во-вторых, будем полагать, что удары происходят через равные интервалы времени (если происходит примерно 10й ударов в секунду, то примем, что удары происходят через время т=1014 секунды; в качестве масштабного возьмем интервал времени между двумя последовательными ударами); в-третьих, будем считать, что движущаяся в жидкости частица имеет форму шарика.
      Равновозможность различных направлений движения молекул означает следующее: если на поверхности шарика выделить две области одинаковой площади (но не обязательно одинаковой формы!), то вероятности попадания любой молекулы в каждую из площадок будут одинаковы. Сама же вероятность попадания молекулы в любую выделенную область равна отношению площади этой области ко всей площади поверхности шарика. Такое распределение направлений ударов называется равномерным.
      Кроме того, будем полагать, что попадания различных молекул в любые неперекрывающиеся площадки — это события независимые.
      При этих предположениях каждый последующий шаг частицы не зависит от предыдущего, и шаги равны по величине, хотя направления их случайны и равномерно распределены.
      Перейдем от трехмерной модели к двумерной. Поведение частицы на плоскости аналогично поведению пьяного человека на городской площади. Он плохо держится на ногах и каждый шаг делает куда-то в сторону, случайно, с равными шансами в любом направлении. При этом направление последующего шага совершенно не зависит от предыдущих. Такого человека будем называть абсолютно пьяным.
      Где же он окажется спустя некоторое время?
      Конечно, пи он, ни мы этого не знаем, и предсказать это невозможно.
      Впрочем, при хорошо организованной службе охраны общественного порядка он окажется в вытрезвителе. Но не будем поддаваться соблазну отвлечься от прямого ответа на вопрос; абсолютно пьяный — это модель броуновской частицы. Мы бы могли его заменить блохой, прыгающей в большом пустом зале, где ничто не может особенным образом привлечь ее внимания.
      Абсолютно пьяный человек способен через п шагов куда-то переместиться, и можно оценить, далеко ли он уйдет от того места, в котором мы его обнаружили сначала. Расстояние р„ (см. рис. 90) между начальной точкой Р„ и конечной точкой Рп его пути (за п шагов) будет, конечно, случайным. Но какова средняя величина этого расстояния ри?
      Величину р„ можно вычислить, основываясь на исходных предположениях. Но прежде чем указать эту величину, мне хочется еще упростить модель (здесь ясно, что значит упростить модель — уменьшить число координат или степеней свободы).
      Представим себе того же пьяного в узком коридоре, где он может двигаться лишь туда-сюда. А поведение его все то же: он делает каждый шаг независимо от предыдущих и с равной вероятностью шагает вперед и назад. Шаги его по величине одинаковы, и если величина шага равна /, то после каждого шага он удаляется от начальной точки (или приближается к ней) на величину ±1 с вероятностью /г (см. рис. 91).
      Нас по-прежнему интересует, как далеко удалится пьяный за п шагов. Пьяный в коридоре — это модель одномерного случайного блуждания частицы; в то время как движение пьяного на площади — модель двумерного случайного блуждания; а броуновское движение соринки в жидкости — трехмерное случайное блуждание.
      Одномерная модель случайного блуждания путем перефразировки немедленно сводится к модели игры в «орлянку», которую мы недавно обсуждали. В самом деле, если вы будете подбрасывать симметричную монету через равные интервалы времени и ваш партнер
      платит вам I копеек в случае выпадения герба, а вы ему платите I копеек при выпадении решки, то сумма вашего выигрыша после п бросаний будет равна разности числа гербов и решек, умноженной на I. Численно она в точности равна величине расстояния, на которое удалится пьяный за п шагов, так что это расстояние равно величине разности числа шагов влево и вправо, умноженной на величину шага.
      Вы, наверное, еще помните недоумение, которое испытали, читая предыдущий раздел, когда обсуждался вопрос о величине периода лидерства или о количестве ничьих при игре в «орлянку». Подобные результаты мы получим и сейчас.
      Так как вероятности шагов вперед и назад одинаковы и шаги независимы, то в среднем будет одинаковое количество шагов вперед и назад; и следовательно, среднее значение расстояния, на которое удалится пьяный при блуждании по коридору, равно 0: в среднем абсолютно пьяный человек останется на месте.
      Поясню, что же это означает. Проследим за большим числом таким же образом блуждающих частиц. Для каждой из них зарегистрируем положение, в котором она окажется через одно и то же число п шагов, например, через 127 шагов. Это я написал, чтобы подчеркнуть: сейчас число шагов фиксировано. Среди полученных чисел будут как положительные, так и отрицательные. Но средняя величина этих чисел (то есть величина, равная их сумме, поделенной на количество частиц) будет близка к нулю. Математик скажет: среднее значение (или, как принято в теории вероятностей, математическое ожидание) величины расстояния, пройденного частицей за п шагов, равно нулю. Но нас интересует оценка возможных отклонений этих расстояний от среднего значения.
      В терминах игры в «орлянку» те же самые утверждения звучат так: математическое ожидание выигрыша каждого из игроков при безобидной игре равно нулю. Но нас интересует оценка величины возможных выигрышей.
      Обозначим через рк по-прежнему расстояние между начальным положением частицы и ее положением на n-м шаге. Можно было бы заняться изучением абсолютного значения величины р„ (или, иначе говоря, величины выигрыша все равно какого из игроков). Но
      при вычислениях удобнее пользоваться другой положительной величиной — квадратом пройденного расстояния р% (квадратом выигрыша).
      Математическое ожидание величины квадрата пройденного расстояния (то есть среднее значение этой величины при наблюдении за большим количеством блуждающих частиц) обозначим через /?2. Это уже не случайная, а обычная, как говорят, детерминированная величина.
      Оказывается, что /?2 — величина, имеющая размерность квадрата расстояния, — пропорциональна квадрату длины шага Р. Далее очевидно, величина /?* зависит от числа шагов п, и на первйй взгляд кажется, что рна должна быть пропорциональна гР. Однако можно показать, пользуясь независимостью шагов (или независимостью исходов при последовательных бросаниях монеты), что на самом деле /?2 пропорциональна первой степени п, и выражение выглядит так
      Если за единицу времени совершается k скачков величины ±I, то среднее значение уклонения частицы от начального положения Rf за время t будет пропорционально времени:
      Размерность этой величины — квадрат расстояния, а нам, конечно, удобнее измерять расстояние в линейных мерах (в сантиметрах, а не в сантиметрах в квадрате). Соответствующая типичная величина уклонения частицы за п шагов будет равна
      Аналогично типичная величина уклонения частицы за время t будет равна
      Пропорциональность уклонения частицы квадратному корню из числа шагов Vп (или Y t) (а не числу шагов п) является фундаментальной при исследовании подобных статистических явлений. Оценивая возможяый выигрыш при игре в «орлянку», можно сказать, что типичная величина выигрыша (или проигрыша при п бросаниях монеты будет пропорциональна У п.
      Как вы помните, количество ничьих также возрастало пропорционально Уп.
      Модель случайного блуждания имеет многочисленные интерпретации. Когда автомобили покидают центр большого города в конце рабочего дня, выбор пути каждым автомобилистом можно считать случайным.
      Впрочем, вы, вероятно, обиделись бы гипотезе о случайности вашего продвижения по жизненному пути, гипотезе о близости этого движения к «случайному блужданию». Однако мы с вами ведем речь о движении других людей и не будем возражать против предлагаемой математической модели, тем более что люди эти не встретятся на нашем пути.
      Такая парадоксальность — дань людскому тщеславию. Оно живо проявляется, например, в достаточно бессодержательной полемике о том, может ли машина мыслить. Не привыкшие к математическому мышлению лица до хрипоты отстаивают преимущественное право людей на мышление, не давая себе труда четко сфор-
      мулировать как предмет спора, так и исходные понятия (например, такие, как «машина», «мыслить» и «может»).
      Но вернемся к движению потока автомобилей.
      С точки зрения инженера-транспортника или математика, решающего проблему разъезда автомашин, в качестве простейшей модели целесообразно рассматривать такое движение как случайное блуждание. Путь каждого отдельного автомобиля удобнее и проще считать случайным, чем пытаться предсказать его (хотя для шофера он не случаен). Такая модель оказывается приемлемой (во всяком случае, сначала, как говорят, в первом приближении). Затем понадобятся, возможно, уточнения, но начало будет заложено хорошее.
      Рассматривая движение транспорта как проблему статистическую (диффузионную), можно рассчитать характеристики дорог, обеспечивающих беспрепятственный разъезд автомашин в часы «пик». И если в результате, возвращаясь домой с работы, вы будете двигаться со средней скоростью 40 километров в час вместо 15 и не будете выходить из себя, простаивая у каждого светофора, то, может быть, это несколько сгладит неприятные ощущения от оскорбительного предположения о случайности, а не обдуманной определенности вашего пути.
      Подъехав к Т-образному перекрестку, вы должны совершить поворот либо направо, либо налево. При построении интересующей нас модели удобно предполагать, что выбор направления поворота каждым водителем случаен и направление поворота последующих машин не зависит от предыдущих. Предположим также, что для каждого автомобиля равновероятен поворот направо и налево. В этой модели мы можем, например, оценить количественно возможные превышения числа машин, едущих направо, над числом машин, поворачивающих налево, и такая задача совершенно аналогична задаче о поведении абсолютно пьяного человека в узком коридоре или оценке возможного выигрыша при игре В «орлянку».
      Я только что упомянул о возможности статистического рассмотрения движения транспорта, написав в скобках — диффузионного. Вот это как раз произошло не случайно. Хорошо известная диффузия атомов или молекул может быть изучена с помощью все той же математической модели.
      Понаблюдаем за движением молекулы газа. Такое наблюдение, конечно, нельзя осуществить, но я надеюсь на ваше воображение. Вот свободно движется полюбившаяся нам молекула — ей сейчас ничто не мешает. Вдруг на ее пути встретилась другая ей подобная — произошло соударение, и они разлетаются в разные стороны. Такую картину можно наблюдать при столкновении двух движущихся бильярдных шаров с той лишь разницей, что молекулы движутся не на плоскости, а в пространстве. Соударения молекул происходят часто (при нормальном давлении), и среднее расстояние, которое пробегает молекула от одного соударения до другого — оно называется по понятным причинам длиной свободного пробега, — имеет вполне определенную небольшую величину.
      Снова обратившись к воображению, представим себе, что все расстояния между соударениями одинаковы и в точности равны длине свободного пробега.
      Тогда движение нашей молекулы будет весьма похоже на поведение абсолютно пьяного человека на площади: она будет двигаться шагами определенного размера, направление каждого последующего шага будет случайным и равномерно распределенным и не будет зависеть ог предыдущих шагов. Разница лишь в том, что пьяный движется по площади, а молекула в пространстве. Но это не помешает нам точно тем же методом подсчитать, как далеко сможет удалиться молекула за заданное время.
      Электроны в телах участвуют в тепловом движении вещества. Обратимся, например, к простейшему колебательному контуру, состоящему из конденсатора, сопротивления и катушки. На обкладках конденсатора тепловое движение электронов вызывает меняющийся со временем (по величине и знаку) электрический заряд, а в катушке — также меняющийся электрический ток. Механизм этого явления можно себе представить так. Беспорядочное тепловое движение электронов в веществе контура эквивалентно действию очень малых, случайно чередующихся по величине и знаку частых электрических толчков — кратковременно действующих электродвижущих сил. Эти хаотические колебания заряда или тока — электрические флюктуации принято называть тепловым шумом.
      Величина теплового шума весьма мала: при комнатной температуре эквивалентный флюктуационный ток, который можно зарегистрировать в сопротивлении в течение одной секунды, равен примерно 10~10 ампера. Эйнштейн, исходя из общих соображений, предсказал наличие таких флюктуаций, но лишь через 20 лет это явление было обнаружено экспериментально.
      Аналогичное явление наблюдается в электронных лампах. Поток электронов с катода на анод также имеет случайный характер: количество электронов, поступающих на анод в единицу времени, колеблется нерегулярно. При обычных токах порядка одного миллиампера с катода на анод в секунду «перелетает» примерно 1016 электронов, а время их пролета — 10-9 секунды. Уклонения от «среднего тока», которые и обусловливают флюктуационную составляющую, носят название дробового шума.
      Природа дробового шума такова, что изучить его количественно помогает все та же модель броуновского движения.
      Тепловой шум в проводниках и дробовой шум в лампах — ахиллесова пята всей радиотехники. Эти шумы вы слышите в паузах вещания, когда включенный радиоприемник настроен на какую-нибудь станцию.
      Именно наличие флюктуационных шумов, принципиально неустранимых, ибо их причиной является дискретность природы электричества, ограничивает дальность радиосвязи, возможности радиолокации, телевидения и других областей радиотехники.
      И если 25 — 30 лет тому назад специалистов по радиоприему, радиолокации или радионавигации мало интересовали методы теории вероятностей, то уже в течение последних 20 лет, когда радиотехника стала подбираться к использованию предельно возможных точностей и дальностей, методы теории вероятностей стали одним из самых основных орудий в руках специалистов связи, радио и автоматики.
     
      Пьяный увидел собутыльника
      Все тот же пьяный в конце коридора увидел стоящего у стены собутыльника. Противоречия, его разры-
      вающие, очевидны. Он по-прежнему совершает случайные шаги вперед-назад. Но все же его больше тянет в сторону собутыльника, и мы опишем его движение, сказав, что одинаковые по величине шаги вперед и назад им совершаются хотя случайно и независимо, но вероятность р совершить шаг вперед больше, чем вероятность q = l — р шага назад. В этой ситуации пьяный в среднем не будет уже оставаться на месте, а будет постепенно, хотя и медленно, сдвигаться вперед.
      Этот средний сдвиг пропорционален произведению числа шагов на разность вероятностей совершить шаг вперед или назад *.
      Конечно, как и раньше, пьяный тут ни при чем — это модель одномерного случайного блуждания при наличии силы, действующей на частицу так, что шаги вперед частица совершает чаще, чем назад.
      Нетрудно подсчитать не только среднюю величину уклонения частицы от исходного положения, но и типичную величину уклонения. Она, как и при симметричном блуждании, пропорциональна длине шага, корню квадратному из числа шагов, но, кроме того, пропорциональна корню из произведения вероятностей шагов вперед и назад, так что окончательная формула в обозначениях предыдущего раздела имеет вид
      Несимметричное блуждание служит хорошей математической моделью многих процессов. Так, ранее рассмотренную задачу оценки потока автомашин на Т-образном перекрестке лучше рассматривать как несимметричное блуждание, ибо повороты на таком перекрестке обычно обусловлены необходимостью выехать на какие-то другие магистрали, привлекательность которых для водителей автомашин различна. Различными тогда будут и вероятности поворотов машин налево и направо, и оценивать эти вероятности можно частотой соответствующих поворотов, которую легко получить из наблюдений за потоком машин.
      Важными являются проблемы диффузии частиц (атомов, молекул, соринок) в случае, когда существует течение в каком-то определенном направлении. Примером такого явления может служить диффузия ионов газа в электрическом поле. Изучение этого явления сводится к изучению той же математической модели несимметричного случайного блуждания. Здесь конечно, само рассматриваемое блуждание — двумерное и даже иногда трехмерное, но это вносит лишь незначительные осложнения, и я не буду на них останавливаться.
     
      Блуждающий ученик
      В предыдущих разделах блуждающая частица могла после каждого шага переходить лишь в соседние точки.
      Практически интересно изучить поведение более резвой частицы, которая может прыгать и через шаг, и через два, и через большее число шагов.
      Обратимся еще к одной модели. Школьник за контрольную работу по математике может получить любую оценку от 1 до 5. Контрольные работы проводятся один раз в неделю. Каждую неделю изучают новый материал, и поэтому будем считать результаты каждой контрольной не зависящими от предыдущих. Кроме того, будем полагать результаты случайными и имеющими определенную вероятность. Для конкретности примем следующий закон распределения вероятностей отметок:
      Отметка 1 2 3 4 5
      Вероятность . . . . . . 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
      Конечно, родители немедленно возмутятся против предположения о случайности исхода контрольной работы именно их ребенка (они-то знают причины срывов!) и о независимости исходов от прошлого. Но по-
      терпите немного: я для того и разбираю этот пример, чтобы позже учесть зависимость результатов от прошлого. Что же касается случайности исхода контрольной работы, то он всегда в какой-то мере случаен. Но главное — нам удобнее, легче и перспективнее считать его случайным (подобно поворотам автомашин), чем учитывать многочисленные причины, влияющие на исход контрольной работы. И если наша задача — оценить размеры бедствия, к которому может привести такое поведение ученика, и своевременно принять меры, если ученику грозит двойка в четверти или переэкзаменовка (или, в случае пятерки в четверти, покупка велосипеда), то нас вполне устроит обоснованный прогноз.
      Мне удобнее использовать другую терминологию. Я буду говорить о состоянии системы, считая, что изучаемая система может находиться в одном из нескольких возможных состояний и переходит из одного состояния в какое-то другое на каждом шагу. Сейчас система — это ученик, его состояния — недельные отметки, и переход из одного состояния в другое — это получение новой отметки.
      Впрочем, чтобы не путаться, получение отметки такой же, как и предыдущая, будем также называть переходом, но в то же самое состояние. С этой точки зрения жизнь ученика протекает тускло, без эмоций, сопровождающих поощрения и наказания.
      Переход из одних состояний в другие происходит в соответствии с распределением вероятностей состояний — отметок. Это — блуждание по множеству возможных состояний.
      Такое блуждание удобно представить графиком (рис. 92). Здесь по горизонтальной оси отложено время и указаны моменты переходов, то есть моменты,, когда ученик получает очередную недельную отметку. (Я указал просто номера недель, ибо безразлично, в каком масштабе измерять время.) По вертикальной оси отложены отметки, они же могут обозначать номера состояний. Любой такой график означает какую-то реальную последовательность отметок, но вероятности различных графиков, вообще говоря, не одинаковы.
      Есть разные способы выводить окончательную отметку за четверть или за весь учебный год. Такая отметка — это критерий, по которому ученика относят либо к категории неуспевающих, либо середняков, либо хороших или лучших. Разные учителя пользуются и разными критериями. Простейшим является средний балл. Это всем понятная оценка: берется сумма всех
      отметок и делится на их число.
      Конечно, средний балл как-то характеризует работу ученика в течение всего оцениваемого периода. Но при одних и тех же вероятностях, которые записаны в таблице, могут быть различные средние баллы за четверть. Ведь не исключено, что наш ученик 10 недель подряд получал только двойки и, следовательно, его средний балл будет 2. Я напоминаю наши предположения: каждая отметка случайна, независима от других и подчинена заданному распределению вероятностей.
      Поэтому четвертной балл (средний балл за четверть, обозначим его х) — это случайная величина. И математическое ожидание, то есть среднее значение четвертного балла, — его обозначим х — для нашего распределения вероятностен равно
      1-0,1 + 2- 0,2+3-0,3+4-0,2+5-0,2 = 3,2.
      Таким образом, в среднем такие ученики будут успевающими.
      Но в «среднем» здесь означает лишь, что если взять четвертные баллы у большого количества таких учеников, скажем, у тысячи, и вычислить среднее арифметическое этой тысячи четвертных оценок, то получится число, близкое к 3,2. Но различные ученики среди отобранной тысячи могли при этом получить весьма разные четвертные баллы. Может же случиться так, что
      за 10 контрольных подряд какой-то ученик из этой тысячи ни разу не получит отметки выше тройки! Вероятность такой неприятной ситуации равна примерно 0,006, так что в среднем подобная ситуация будет происходить в 6 случаях из тысячи *.
      Замечу тут же, что вероятность получить средний балл ниже трех будет значительно больше вычисленной величины, так как, даже получив несколько пятерок и четверок, можно за счет достаточного числа двоек и единиц получить низкий средний балл. Например, из нашего графика видно, что за первые 10 шагов средний балл 2,5, хотя здесь есть одна четверка и одна пятерка.
      Таким образом, у нашего ученика не так уж мало шансов приобрести многочисленные неприятности, которые сулит школьнику четвертная отметка ниже тройки.
      Нерадивый ученик обрадуется возможности оправдать скверные отметки ссылками на значительную вероятность неприятного исхода, когда он учится на самом деле немного выше среднего. Но не дадим ему такого удовлетворения: в действительности его задача — изменить распределение вероятностей различных исходов, с тем чтобы вероятность получения двойки в четверти была бы очень мала. А для этого надо к завтрашнему дню выучить математику как следует.
      Все же редко учитель выставляет в качестве отметки за четверть средний балл: столь формальный подход не дает возможности учесть успехи школьника, если он начал добросовестнее заниматься и подогнал хвосты. Да и на самом деле последующие отметки по математике зависят от предыдущих; здесь сказываются и логические связи различных разделов математики, и вера или неверие ученика в свои силы, и уже сложившееся отношение учителя. Хотя результаты каждой контрольной работы заранее точно предсказать нельзя — они случайны, — следует все же учитывать изменение вероятностей возможных отметок на текущей неделе в зависимости от того, что было на прошлой. Если за прошлую контрольную школьник получий единицу, то
      * Нетрудно произвести соответствующий подсчет. Вероятность того, что ученик получит отметку не выше тройки (то есть или 1, или 2, или 3), есть, в соответствии с таблицей 0,1 -f0,2+0,3=0,6. Вероятность, что при 10 независимых испытаниях такое событие осуществится все 10 раз, равна 0,610, то есть примерно 0,006.
      15 Я. Хургин
      225
      шансов за следующую получить пятерку на самом деле, конечно, меньше, чем если бы за прошлую контрольную была четверка или пятерка.
      В нашей терминологии такая ситуация означает, что последующие состояния зависят от предыдущих, то есть вероятности последующих состояний зависят от того, какое состояние было на предыдущем шаге.
      Вы, конечно, справедливо полагаете, что каждая отметка, хотя и случайна, зависит от всей предыдущей жизни ученика, от всех его успехов и неудач на математическом поприще, да и не только на математическом. Но изучим пока более примитивную модель и будем считать вероятности последующих состояний — отметок, — зависящими только от состояний на предыдущем шаге. В такой модели вероятности отметок на каждом шагу можно задать таблицей. Вы видите пример подобной таблицы:
      Предыдущие состояния Последующие состояния
      1 2 3 4 5
      1 0,4 0,3 0,1 0,1 0,1
      2 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1
      3 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
      4 0.1 0,1 0,2 0,4 0,2
      5 0,1 0,1 0,1 0,2 0.5
      Здесь, например, стоящее на пересечении второй строки и третьего столбца число 0,2 означает, что вероятность перейти из состояния 2 в состояние 3 за один шаг равна 0,2. Для нашего ученика это означает, что он получит тройку на последующей контрольной лишь с вероятностью 0,2, если на предыдущей у него была двойка.
      Математики обычно не пишут слева и сверху номера состояний, а лишь выписывают таблицу вероятностей:
      0,4 0,3 0,1 С,1 0,1
      0,3 0,3 0,2 0.1 0,1
      0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
      0,1 0,1 0,2 0,4 0,2
      0,1 0,1 0,1 0,2 С,5
      Напомню: такая таблица называется матрицей.
      В данном случае числа — элементы матрицы — называются вероятностями перехода, и вся таблица носит название матрицы переходных вероятностей.
      Другой более наглядный способ представления вероятностей перехода состоит в построении соответствующего графа. Кружочками обозначены состояния, стрелки указывают переход из одного состояния в другое, а числа над стрелками — вероятности этих переходов. На рисунке 93 указаны лишь стрелки переходов из состояний 2 и 5 во все другие. Остальные стрелки не нарисованы, иначе получилась бы слишком густая паутина.
      Математики для удобства (или по традиции) пишут не номера состояний, а сами состояния, обозначая их буквами с какими-нибудь индексами.
      В нашем примере пять состояний; их можно обозначить: Ей Ей Ей Ей Es. Это означает: если ученик получил четверку, то его состояние Е4. Если он получал отметки такие, какие указаны на рисунке 92, то последовательность переходов из одних состояний в другие запишется в виде цепочки
      Е2 Е3 -э- Ех Е4 Es -э- Еь Е2 — +Е2~Ег —
      При этом вероятности переходов задаются матрицей переходных вероятностей.
      Впервые цепочки случайных событий или, в нашей терминологии, цепочки переходов системы из одних
      состояний в другие изучал в начале нашего века Андрей Андреевич Марков, знаменитый русский математик, ученик П. Л. Чебышева.
      Уже пример с отметками школьника показывает недостаточность модели независимых исходов при описании последовательности смены состояний системы. В большинстве задач физики и естествознания состояние системы в будущем зависит от того, в каком из возможных состояний система находится сейчас.
      Эта зависимость может быть и не однозначной: система может оказаться через некоторое время в разных состояниях, но вероятности будущих состояний обычно зависят от предыдущих.
      Если вероятность перехода системы из одного состояния в другое зависит только от этих состояний и не зависит от предыдущей истории системы, то такие переходы называют простой цепью Маркова. Если же эти вероятности зависят и от предыдущих состояний системы, то это сложная цепь Маркова.
     
      Язык
      Известный физик Уиллард Гиббс, один из создателей статистической механики, был очень замкнутым человеком и на заседаниях ученого совета университета обычно молчал. Однажды на совете решался вопрос, уделять ли в новых учебных программах больше места математике или иностранным языкам.
      Впервые Гиббс не выдержал и, нарушая свой обычай, произнес речь: она состояла из трех слов. «Математика — это язык!» — сказал он.
      В некотором роде верно и обратное, и я сей-чай расскажу об одной математической модели живого языка.
      При передаче по телеграфу текста на русском языке буквы е и ё объединяются в одну е, также объединяются в один знак ь и ъ. Тогда получается 31 буква. Но еще нужен символ для указания пробела между словами, я его буду обозначать черточкой. Таким образом телеграф использует 32 буквы (см. таблицу на следующей странице).
      Самая простейшая модель языка — это составление слов из букв* появляющихся случайно и равновероятно. Можно представить себе модельный эксперимент.
      На 32 одинаковых карточках написаны все 32 буквы, их тщательно перемешивают, вынимают из колоды одну наугад и записывают букву. Возвратив вынутую карточку, снова перемешивают, вновь вынимают букву и приписывают к предыдущей. Так можно продолжать сколько угодно. Когда вытаскивается карточка с « — », то это означает окончание одного слова и начало другого.
      При таком эксперименте была получена следующая фраза:
      Это совсем не похоже на наш язык, и дело, конечно, в том, что в русском языке буквы встречаются не одинаково часто, и в текстах «Евгения Онегина», «Золотого теленка» или «Учебника зоологии» буква Щ встречается значительно реже, чем буквы А или О.
      Оказывается, в русском языке наиболее часто встречается буква О и наиболее редко — Ф.
      В таблице (на стр. 230) содержатся относительные частоты (которые примерно равны вероятностям) отдельных букв в письменном русском языке.
      Следующее приближение к русскому языку получится, если из нашей колоды буквы выбирать случайно, но с вероятностями, с которыми они появляются в естественном языке. Для этого надо взять 1000 одинаковых карточек и написать на них буквы в соответствии с таблицей.
      Так на 90 карточках надо написать О, на 26 написать М, на 175 написать « — » (то есть пробел между словами) и так далее. А затем повторить процедуру с перемешиванием карточек и последовательным вытаскиванием наугад.
      Но нет необходимости в таком сложном опыте. Вместо этого можно воспользоваться любой книгой на русском языке и выбирать из нее буквы наудачу. Вот фраза, полученная в таком эксперименте:
      Такая фраза тоже еще мало похожа на наш язык. И это понятно: в языке существуют тесные связи между соседними буквами. Никогда не встречаются пары букв ШЩ или ОЬ и часто — ПО или МА. А в предыдущей модели последовательные буквы появлялись независимо.
      Если учесть зависимость лишь между соседними буквами, то язык будет описываться простой цепью Маркова. Переходные вероятности — это вероятности того, что за данной буквой следует какая-то другая. Так, вероятность М — » А выше, чем вероятность М — * М, а вероятность Ш — *Щ, как мне кажется, равна нулю: такого сочетания вроде бы в русском языке не бывает.
      Если учитывать парные связи букв, но не учитывать еще связи букв по три, четыре и т. д., то получатся, например, фразы:
      Это уже значительно больше похоже на наш язык. Учет связей букв по три, то есть модель языка, в котором вероятности сочетаний букв по три те же, что и в естественном языке, дает еще лучшее приближение. Вот как это звучит:
      Наконец, учет четырехбуквенных сочетаний, то есть модель языка с помощью цепи Маркова третьего порядка, дает фразу:
      И КОРИо
      Эта фраза, как и две предыдущие, весьма похожа на русский язык; и, если бы вам кто-либо сказал такое, вы не сразу сообразили бы, что это какая-то ерунда, и старались бы вникнуть в смысл *.
      Читатель, вы, конечно, можете мне задать законный вопрос: «Ну и что?»
      Действительно, можно составить бессмысленные фразы, похожие по структуре на русский язык. Но зачем на это тратить время?
      Я мог бы возразить: была построена математическая модель письменного русского языка.
      Однако модели строят не просто так, а для какой-либо определенной цели, и я теперь должен объяснить ту цель, ради которой строилась эта модель. Я это сделаю, но не сразу, не в следующем разделе, ибо для понимания существа дела надо рассказать о теории информации. Впрочем, я надеюсь, вы не будете в обиде за некоторую оттяжку. Проблема, о которой сейчас пойдет речь, сама по себе очень интересна.
      * Написанные фразы были получены экспериментальным путем сотрудниками кафедры теории вероятностей Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1957 — 1958 годах. Методику экспериментов и важные соображения, которые привели математиков к этим опытам, читатель может найти в статье Р. Л. Добрушина «Математические методы в лингвистике» («Математическое просвещение», вып. 6-й, 1961 г.). См. также: К. Шеннон, Работы по теории информации и кибернетике. М., Изд-во иностранной литературы, 1963, стр. 254 — 255.
     
      Информация
      Иди о всеобщем значении, обратной связи и передаче информации при управлении привели Норберга Винера к рассмотрению вопросов управления в технике, в живой природе и в обществе с единой точки зрения.
      Я уже писал немного об обратной связи. А теперь хочу остановиться на теории информации.
      «Завтра ожидается переменная облачность, времена-ми дождь, ветер умеренный...»
      Это сообщение передается по телеграфу, по радио, в газете, по телефону, устно и многими другими способами. Совершенно безразлично, каким из этих способов вы узнаете прогноз погоды, — для получателя важно лишь содержание. В то же время физические носители сообщения совершенно различны: электрический ток, электромагнитные волны, буквы на бумаге, звуковые волны.
      Что же общего между всеми этими сигналами? Они несут одну и ту же информацию.
      Зазвонил телефонный звонок — и вы получили информацию о вызове. Сняли трубку — звонок прекратился: сигнал, несущий информацию о принятии вызова, поступил на телефонную станцию и был преобразован в сигнал, выключивший позывное устройство.
      Вы дотронулись до горячего чайника — вскрикнули и отдернули руку. Я уже пояснял современную точку зрения на болевой рефлекс. Сейчас важно лишь заме-
      тить, что по нервной сети была передана в мозг информация об ожоге кожи, там информация была переработана, и, в частности, был выработан новый сигнал, поступивший по нервной сети к мышцам руки. В результате вы и отдернули руку.
      Рыбы передают друг другу информацию (разговаривают!) с помощью ультразвуковых колебаний в воде; летучие мыши посредством ультразвуковой локации ориентируются в пространстве.
      Удивительным образом происходит обмен информацией у пчел. Когда пчела нашла «обетованную землю», где рой может испить нектар с ароматных цветов, она возвращается в улей и танцует: фигуры ее полета-танца содержат информацию о направлении и расстоянии до найденного места. Это проверено тонкими и очень остроумными опытами.
      Жизнь любого организма обязательно сопровождается интенсивным обменом информацией с внешней средой, а при более или менее высокой организации — сопровождается взаимными потоками информации между организмами.
      В автоматический станок заранее закладывается информация — программа работы. Кроме того, станок получает текущую информацию — производятся измерения деталей; и если размеры их вышли за пределы допуска, то передается информация о необходимой перестройке станка.
      При управлении по радио полетом самолета (радионавигации) информация о положении самолета и метеорологической обстановке передается в управляющее устройство, там она сравнивается с требуемым курсом. В результате вырабатывается информация о необходимом изменении положения рулей.
      Система управления предприятием или министерством использует информацию о наличии материалов и полуфабрикатов на складах, о наличии действующего и ремонтируемого оборудования, рабочей силы и т. д., ориентируется на заданный план выпуска продукции, что тоже есть запасенная (хранимая) информация.
      Итак, информация всюду; во всех системах управления и регулирования есть каналы связи, по которым происходит передача, прием и преобразование информации. Включение красного светофора останавливает поезд; нажатием кнопки запускается многотонный пресс; достаточно одной фразы командующего для залпа тысячи орудий.
      Поступающее к получателю сообщение здесь может иметь лишь два значения: красный — зеленый, включен — выключен. Это простейшая информация; она содержится в ответе на вопрос, на который можно ответить лишь «да» или «нет».
      Получатель не знает заранее ответа, в противном случае он никакой информации не получает. С точки зрения получателя ответ на такой вопрос случаен, и заранее не известно, какой из двух возможных ответов будет получен.
      Светофор для городского транспорта имеет три цвета: красный, желтый и зеленый. Сообщение, передаваемое водителю, может быть одним из трех возможных: «Стоп!», «Внимание!» и «Проезд разрешен». При передаче букв по телеграфу сообщение принимает одно из возможных значений — букв алфавита. Впрочем, можно пользоваться и другой нашей терминологией: можно говорить, что в результате опыта (приема буквы) осуществился один из возможных исходов опыта (принята буква Ш).
      Есть, конечно, опыты, имеющие столь большое число возможных исходов, что удобнее рассматривать их как опыты с бесконечным числом исходов. Например, при записи музыки рельеф на граммофонной пластинке может иметь практически бесконечное число возможных вариантов.
      Как и в случае двух исходов, при многих исходах получатель не знает заранее, какой из исходов осуществится; для получателя ответ случаен, заранее не известен.
     
      Память и код
      Информацию можно накапливать, запасать. По существу, весь процесс обучения состоит в накоплении информации. Информация запасается или запоминается в книгах, статьях и анкетах, в картинах и архитектурных памятниках, на нотной бумаге, граммофонных пластинках и магнитофонной ленте. В электронных вычислительных машинах имеются специальные устройства для сохранения информации; некоторую информацию в машине сохраняют надолго, например, исходные данные; но имеются устройства быстрой выдачи данных, где результаты промежуточных вычислений сохраняются лишь на то время, пока данное вычисление не кончено.
      В мозгу животных и человека механизм памяти весьма сложен и, по-видимому, разнообразен. Он пока еще только начинает изучаться. Однако впоследствии выяснилось несоответствие между деятельностью чело-
      веческой памяти, или, более правильно, различных человеческих памятей и весьма примитивных по идее устройств хранения информации в вычислительных машинах.
      Сейчас постепенно термины вычислительной техники «быстрая память», «долговременная память» заменяются на «устройство с быстрой выдачей данных», «устройство длительного хранения данных» и т. д. Но все же и прижившийся термин «память» широко распространен.
      Во всех этих так называемых системах памяти информация представлена в совершенно различном виде. Знаки на бумаге, рельеф на граммофонной пластинке, возможные состояния (замкнуто — разомкнуто) электронных реле, состояния (возбуждено — не возбуждено) нервных клеток — все это различные виды, в которых может быть представлена информация. При этом одна и та же информация может быть представлена различным образом: число 5 можно представить цифрой, буквами (пять), можно загнуть пять пальцев.
      Главное в таком представлении — это различимость:
      нужно так представить информацию, чтобы можно было отличить один исход от другого, сообщения должны быть однозначно различимы. Для запоминания или передачи различных цифр от нуля до девяти необходимо иметь десять различных символов, но безразлично, будут ли это арабские или римские цифры, запись словами, последовательности электрических импульсов или какие-либо другие символы.
      Способ представления возможных исходов опыта (или возможных ответов, или возможных сообщений) в различимом виде называют кодом, а сам процесс представления информации в различимом виде называют кодированием.
      Таким образом, информацию можно запасать, ее можно преобразовывать, перепредставлять в другом виде, то есть перекодировать. Но нам сейчас важнее всего то, что информацию можно передавать.
      Перефразируя один афоризм известного физика Д. Томсона, можно сказать, что информацию можно, подобно деньгам, накапливать, но пользу она приносит только тогда, когда ее тратят, то есть передают другим или используют сами для совершения или предупреждения каких-либо действий или поступков.
      Бесполезна вчерашняя сводка погоды; опасно лечиться у малограмотного врача или ехать в автомобиле с пьяным шофером — информация должна быть своевременной и надежной.
      Когда докладчик или собеседник говорит очень быстро, то слушатель не может успеть разобрать речь, он не сможет надежно, однозначно восстановить принятую информацию. При любом способе передачи и приема информации надежность — уверенная различимость передаваемых сообщений, и быстрота передачи информации — требования противоречивые.
      Поэтому при проектировании любой системы передачи информации возникает вопрос: как осуществить передачу информации так, чтобы оба эти основных тре* бования удовлетворялись возможно лучше?
      Положение еще осложняется наличием помех в любом канале связи.
      Когда в комнате шумно, то трудно разобрать даже речь соседа, обращенную непосредственно к вам, а тем более слушать лекцию.
      Я уже упоминал о том, что при радиоприеме, телефонном разговоре, передаче телеграмм и при всех других видах электро- или радиосвязи всегда есть флюк-туационный шум, мешающий приему. Уровень флюктуа-ционного шума в канале связи можно уменьшить, но устранить его совсем принципиально нельзя.
      Кроме того, нам осложняет жизнь множество помех другого характера. Например, при радиоприеме возникают помехи от прослушивающихся (соседних) радиостанций, помехи от атмосферных разрядов, проходящих трамваев, рентгеновских установок и многих других источников паразитных электромагнитных излучений.
      Разговаривая по телефону с возлюбленной, вы то слышите чью-то брань — это наводка со стороны другого близко расположенного телефонного канала, то слышите замогильный вой или свист — это помехи от неполадок в аппаратуре.
      При телеграфной передаче помехи искажают передаваемые буквы, и вместо телеграммы «Высылаем дело номер сто пять» вы можете получить: «Высылаем тело помер что петь». Искажение всего четырех букв может привести вас в смятение... В печати результатом воздействия различных помех также являются опечатки. Итак, всем мыслимым системам передачи информации мешают разнообразные по характеру помехи.
      Различные системы передачи информации укладываются в простую на первый взгляд схему, которая изображена на рисунке 94. Действительно, по каналу связи передаются сигналы от передатчика к приемнику. Они и служат носителями информации.
      Как же осуществить безошибочную, надежную транспортировку передаваемых сообщений?
      Вот правдоподобное рассуждение, кажущееся совершенно очевидным и простейшим. Ошибочная расшифровка посланного сообщения происходит в результате искажения сигнала помехами в канале связи. Значит, надо ликвидировать помехи, лучше всего их зажать, задавить в том месте, где они возникают. Или найти такой способ передачи сигналов, при котором сигналы не искажаются помехами.
      А если этого сделать нельзя, то надо увеличить мощность сигнала. Действительно, если кричать очень громко, то даже в шумной комнате вы сможете если не объясниться в любви, то хоть показать себя и назначить свидание.,
      И с середины XIX. века — со времени изобретения 3 электромагнитного телеграфа и до середины XX века это рассуждение служило путеводной звездой инженеров, на него опирались конструкторы телефона и теле- графа, радио и телевидения.
      Но, несмотря на огромный труд и значительные успехи на этом пути, пока что помехи мешают, и, как вы испытали на своей шкуре, подчас очень сильно мешают.
      А нам нужно увеличивать дальносгь связи. Уже недостаточно передавать сигналы из Москвы во Владивосток или даже на Луну, понадобилось осуществить связь с космическим кораблем, опустившимся на Венеру... Нам не хватает мощностей, мы не можем в прост-, ранство передавать как угодно большую мощность: техника не позволяет, да и цена этого слишком велика.
      Задачи радиолокации требуют все более точного и быстрого обнаружения быстролетящих самолетов или ракет — возникают новые задачи радиолокации.
      При управлении сложными объектами — такими, как ракеты или технологические процессы, нужно все более ; точно определять их параметры, передавать значения этих параметров в управляющие устройства, не теряя точности при передаче, и вновь передавать высокоточные команды управления. А повышению точности мешают все те же шумы и помехи.
      Словом, не только в космосе, но и на нашей планете связь стоит дорого, и нужно научиться передавать информацию быстро, надежно и дешево.
      Но позвольте, читатель, задать вам ехидные вопросы: верно ли правдоподобное рассуждение, отмеченное выше курсивом? Так ли важно передавать неискаженные сигналы? Зачем нам бороться за «чистоту» сигналов, коль борьба эта тяжелая и дорогостоящая? Хотя я как будто и говорил об этом, но, прежде чем читать дальнейшее, попробуйте себе ответить на эти вопросы.
      А теперь давайте вместе разбираться: в чем тут подвох?
      На вокзале диспетчер объявляет по радио об отправлении поезда. Подчас его голос мало напоминает живую человеческую речь, нельзя даже понять, говорит женщина или мужчина. Однако это не мешает нам узнать, на какой платформе находится нужный поезд. Передаваемый сигнал — человеческая речь — оказывается при этом сильно искаженным, но необходимые сведения мы все же получаем.
      Следовательно, задача состоит не в том, чтобы воспроизвести сигнал в неискаженном виде, а в правильном воспроизведении получателем переданной информации. Это простое, но очень важное соображение было четко понято и применено на практике лишь сравнительно недавно, немногим более двадцати лет назад.
      Заметим кстати: мы вновь обнаружили кажущееся весьма убедительным правдоподобное рассуждение, которое оказалось ошибочным.
      В 1948 году вышли две статьи Клода Шеннона, известного американского математика и инженера, которые он назвал «Математическая теория связи».
      О теории К. Шеннона я вскоре расскажу, а сейчас хочу заметить, что именно К. Шеннон четко понял и сформулировал задачу, которую нужно решать при изучении вопроса, о передаче информации по каналам связи.
      В схеме, представленной на рисунке 94, инженеры, увлеченные техническими проблемами, забыли о двух лицах — отправителе и получателе сообщений. А если о них вспомнить, то схема приобретает иной вид (рис. 95).
      Источник сообщений или отправитель — это, например, я, если мне нужно отправить телеграмму, позвонить по телефону приятелю или дать распоряжение сотрудникам прекратить болтовню и заниматься делом. Но для передачи сообщения я должен его закодировать, представить в виде, годном для передачи. Телеграмму я закодирую, написав ее буквами на бумаге, по телефону буду говорить, а сотрудников могу остановить красноречивым жестом.
      Телеграфист, в свою очередь, закодирует мою телеграмму посредством электрических импульсов, и эти сигналы будут переданы по каналу связи — кабелю. На приемном конце импульсы поступят в декодирующее устройство, где будут преобразованы обратно в буквы, и уже напечатанная буквами телеграмма будет доставлена адресату.
      При телефонном разговоре кодирующее устройство — это микрофон, в котором звуковые колебания преобразуются в электрические, а декодирующее устройство — это телефон моего приятеля, в котором электрические колебания преобразуются в звуковые колебания мембраны.
      Из примеров и схемы видно, что конструктор может, кроме передатчика и приемника, влиять на кодирующее и декодирующее устройства, он может выбирать по своему усмотрению методы кодирования и декодирования.
      Теперь возникает вопрос: как же выбрать кодирование и декодирование для безошибочной передачи информации? Да и вообще можно ли это сделать?
     
      Что это такое — информация?
      Выше я многократно употреблял слово «информация», но ничего не сказал о том содержании, которое вкладывал в него. Правда, вы, конечно, знаете, что это за штука, хотя едва ли сможете дать точное определение. Это и понятно: не так-то просто дать определение столь широкого понятия, есть опасность утонуть в общих словах или попасть в так называемый логический круг, который в просторечии зовется порочным кругом. Вот пример такого логического ляпсуса. В «Словаре русского языка» (составитель С. И. Ожегов, ОГИЗ, 1949 г.) написано: «Радость — чувство удовольствия, внутреннего удовлетворения».
      Далее читаем: «Удовольствие — чувство радости от приятных ощущений, переживаний».
      Вот и попробуйте понять, что же такое радость и удовольствие и какая между ними разница. Но я постараюсь как-нибудь выпутаться из словесной паутины и объяснить, что же это такое — информация.
      Обычно, говоря об информационных характеристиках какого-либо процесса или явления, им ют в виду те свойства, которые в некотором смысле противопоставляются энергетическим или массовым характеристикам этого процесса. В самом деле, нам же безразлично, каким образом была получена сводка погоды — из газеты, по радио или другим способом.
      Информация не масса и не энергия. Конечно, при передаче информации расходуется энергия. Но эта энергия не характеризует передаваемую информацию ни количественно, ни качественно: по одному слову командующего начинается война, по сигналу сирены останавливается работа завода, а то и города. В то же время затрачиваемая на первичный сигнал энергия может быть весьма мала.
      Однако информация — такое же объективное свойство материальных процессов, как масса и энергия. Но с понятиями массы и энергии наука имеет дело давно, а информация начала изучаться систематически совсем недавно — примерно последние 20 лет, и поэтому к новому понятию еще надо привыкать.
      До сих пор математики не дали точного определения термину «информация», которое могло бы всесторонне охватить это понятие и послужить базой для построения общей теории информации, хотя плодотворные попытки в этом направлении делаются.
      Однако когда сейчас говорят о теории информации, то часто, явно или неявно, имеют в виду идеи, выдвинутые немногим более двадцати лет назад Клодом Шенноном. Но направление, основанное Шенноном, относится не вообще к информации, а к проблеме передачи информации по каналам связи и представляет собой единую научную дисциплину. По используемым математическим методам теория передачи информации относится к теории вероятностей, и уже сейчас это одна из ее глав, очень плодотворных и насыщенных богатым содержанием.
      Я сначала расскажу о проблемах, относящихся к передаче информации по каналам связи, а затем уже кратко коснусь и других вопросов.
      Можно воскликнуть: «Поразительная информация!», «Ценная информация!» — или уныло сообщить: «Бессодержательная информация». Но такие эпитеты подходят для рекламы или выражения эмоций: они не характеризуют эту информацию количественно. А для построения системы передачи информации полезно было бы иметь количественную характеристику информации.
      Когда мы говорим, что в некотором сообщении содержится мало или много информации, то сравниваем ее количественные характеристики, подобно тому как сравниваются вес, длина или стоимость предметов.
      Давайте попробуем придумать количественную меру информации. Вот четыре различных сообщения:
      1. При бросании монеты выпал герб.
      2. Шлагбаум закрыт.
      3. У меня родилась дочь.
      4. Номер трамвайного билета оканчивается цифрой 7.
      Скажите, пожалуйста, в каком из них больше информации?
      Едва ли вы сможете ответить на столь каверзный вопрос. В самом деле, для меня рождение дочери — большое событие, а вам, наверное, на это наплевать. Но если вы вопреки запрещениям играете в «орлянку» на деньги, то для вас выпадение герба будет нести радость или огорчение — различную информацию, да еще ее размеры будут меняться в зависимости от ставки. А если вы спешите на свидание и шлагбаум закрыт, то такая информация может повлечь за собой обиды и разочарования.
      Таким образом, ответ на мой вопрос зависит от точки зрения или обстоятельств. А как обстоит дело с точки зрения конструктора системы связи, скажем, телеграфа? Субъективное содержание передаваемой информации для него не имеет значения. Ему надо создать систему, по которой можно передать по возможности без ошибок сообщение о рождении дочери независимо от того, насколько обрадует это получателя.
      Одно из основных достижений Клода Шеннона и состоит в создании такого понятия количества информации, которое полезно прежде всего в технике связи. При передаче по каналу связи не имеет значения смысловое содержание передаваемой информации, и, следовательно, понятие количества информации должно опираться на другие характеристики передаваемых сообщений.
      Вернемся к вопросу о том, в каком из четырех сообщений больше информации.
      Первые три сообщения могут иметь лишь по два варианта: герб — решка, открыт — закрыт, девочка — мальчик. Для передачи такого сообщения достаточно воспользоваться лишь двумя символами, например, 1 или 0, плюс или минус.
      Это, конечно, простейшая информация, она содержится в опыте лишь с двумя исходами.
      (Следует сразу заметить, что в опыте с единственным возможным исходом никакой информации не содержится. Действительно, взрослый не узнает нового из сообщения: если сегодня среда, то завтра будет четверг.)
      Номер трамвайного билета может оканчиваться любой цифрой от 0 до 9, и поэтому последнее из наших сообщений имеет 10 возможных вариантов. Для передачи любого из возможных исходов опыта с проверкой цифры, на которую оканчивается номер билета, нужно иметь не менее 10 различных символов. Если же передавать русский текст, то понадобится не менее 32 различных символов.
      Итак, с точки зрения конструктора системы связи передаваемая информация прежде всего характеризуется количеством возможных вариантов сообщения или количеством возможных исходов (если вести речь в терминах передачи сообщений об исходе опыта).
      Вспомните задачу о совпадении дней рождения. Если вы спросите дату дня рождения у первого встречного (лучше знакомого, незнакомый может о вас подумать что-нибудь не то...) и обнаружите совпадение его дня рождения с вашим, то высоко оцените полученную информацию. Если же окажется, что дни рождения не совпали, то такую информацию оцените как незначительную: почти наверняка вы ожидали этот ответ.
      В опыте с подбрасыванием симметричной монеты количественная оценка информации о появлении как герба, так и решки должна быть одна и та же: шансы их появления одинаковы, а субъективный характер исходов (герб — выигрыш, решка — проигрыш) мы же исключили.
      Теперь заметим: информацию о рождении девочки (а не мальчика) и о выпадении герба (а не решки) разумно количественно выразить одинаково, ибо неопределенность исходов в этих случаях одна и та же: вероятности выпадения герба и рождения девочки совпадают и равны
      При однократном подбрасывании монеты неопределенность исхода — выпадение герба — значительно больше, чем при проверке совпадения дней рождения двух лиц. Количество информации, приобретаемое при выпадении герба, следует оценить выше, чем при известии о несовпадении дней рождения, но ниже, чем при известии об их совпадении.
      Итак, количество информации, характеризующее подлежащее передаче сообщение, определяется количе-
      * В различные исторические периоды соотношение между числом рождающихся девочек и мальчиков несколько меняется, но оно всегда примерно одинаково. При грубой оценке можно полагать вероятности рождения девочки и мальчика одинаковыми и, следовательно, равными Чг.
      ством возможных сообщений и их вероятностями и не зависит от смыслового содержания сообщения.
      Это центральная идея теории передачи информации Клода Шеннона.
      Количественная мера
      Выбор того или другого вида транспорта (автомобиль, поезд, самолет) для поездки из одного города в другой зависит не от точного расстояния между городами (97 км или 5472 км), а от того — десятки ли это, сотни или тысячи километров. В очень многих вопросах играет основную роль не точное значение самой величины, а, как говорят, порядок величины, то есть количество цифр в числе при его обычной записи в десятичной «системе счисления. Так, число 5472 заключено между 1000= 103 или 10000= 104, и удобно говорить, что 5472 — число порядка 104. Впрочем, если вспомнить логарифмы, то вместо неравенства 1035472 104 можно написать 3.log 54724. Таким образом, оценка порядков величин удобна в логарифмической шкале.
      В теории информации обычно пользуются не десятичной, а двоичной системой счисления, то есть записывают числа лишь с помощью последовательностей из нулей и единиц. При этом, как мы уже установили в конце раздела «Многомерное пространство», количество всевозможных наборов п чисел из нулей и единиц равно 2”.
      Следовательно, порядок величины в двоичной системе счисления также определяется логарифмической зависимостью, ибо само число п равно логарифму от 2", но только логарифму не десятичному, а взятому по основанию 2.
      Уже в первом разговоре с физиологом шла речь о совершеннейшем механизме природы — зрительном аппарате человека и животных. Хочу обратить ваше внимание на то, как справляется этот аппарат с колоссальным разнообразием яркостей, встречающимся в жизни. Единица яркости в оптике носит название стильб (сб). Вот некоторые примеры яркостей светящихся тел:
      яркость ночного безлунного неба — около 10-8 сб;
      яркость полной Луны, видимой через атмосферу, — 0,25 сб;
      яркость керосиновой лампы — 1,5 сб;
      яркость металлического волоска лампы накаливания — около 200 сб;
      яркость Солнца — около 1,5* 105 сб.
      Смотреть незащищенными глазами на Солнце больно, но менее яркие предметы можно рассматривать и даже различать их яркость. Физиологами установлено, что отношение наименьшей и наибольшей яркостей, которые уверенно различает глаз, — это величина порядка 1012. Справиться с этим огромным диапазоном яркостей зрительный аппарат может только за счет логарифмического масштаба. Многочисленные опыты показали, что глаз действительно реагирует на величину логарифма яркости.
      Таким образом, для оценки величины информации, содержащейся в яркости светящегося тела, естественно использовать логарифмическую меру.
      Теперь заметим, что для передачи по каналу связи, скажем, трехзначного числа (в десятичной системе счисления) вовсе не нужно передавать трехзначное количество каких-нибудь символов. Нужно передать лишь три символа, причем каждый из них может принимать одно из десяти возможных значений, которые будут соответствовать записи этого числа обычными цифрами.
      Запись того же числа в двоичной системе счисления содержит не более десяти двоичных символов, ибо 210 = 1024. Поэтому если пользоваться обычным телеграфным кодом, то есть использовать лишь два сигнала, например, посылку тока и паузу, то для передачи любого из трехзначных чисел надо не более 10 таких сигналов.
      Следовательно, и при передаче информации по каналу связи логарифмическая мера оказывается естественной.
      Использовать логарифмическую меру для количественной оценки информации, передаваемой по каналу связи, предложил Хартли еще в 1928 году. Но Шеннон пошел значительно дальше — он использовал вероятности различных сообщений.
      Если в сообщении не содержится никакой неопределенности, то есть его содержание заранее известно (брошенный камень упадет на Землю) и, следовательно, не несет никакой информации, то удобно считать в этом случае количество информации равным нулю. Чем меньше шансов данному сообщению быть переданным, то есть чем меньше его вероятность, тем выше следует количественно выразить получаемую информацию при реализации этого исхода. Таким образом, меру количества информации следует ввести так, чтобы количество информации, содержащейся в сообщении, возрастало при уменьшении его вероятности. Естественно так ввести меру количества информации, чтобы при двукратном повторении сообщения (независимым образом) количество информации удваивалось, при трехкратном повторении — утраивалось и т. д.
      Доход рабочего, получающего сдельно, следует характеризовать среднесуточной зарплатой, а не заработком за один какой-нибудь день. Подобно этому в теории информации существенной характеристикой является не количество информации, приобретаемой при осуществлении опыта. И так как исход опыта случаен и подчинен определенному распределению вероятностей, то в качестве среднего надо взять уже знакомое математическое ожидание.
      Предположим, что запас возможных сообщений состоит всего из двух сообщений с вероятностями Pi и Р2 (всегда при этом Pi+P2=l). Тогда, следуя К. Шеннону, среднее количество информации, приобретаемое при передаче такого сообщения, равно:
      (минусы здесь поставлены для того, чтобы количество информации было положительным числом, ибо вероятности Р меньше единицы, и, следовательно, их логарифмы отрицательны).
      Далее определение количества информации в общем случае вводится так, что если опыт независимым образом повторяется дважды, приобретаемое количество информации удваивается, если повторяется трижды — количество информации утраивается и т. д.
      Соображения и рассуждения, которые я приводил до сих пор, наверное, представлялись вам довольно очевидными. Но появление ни с того ни с сего логарифма может показаться неоправданным.
      Оказывается, если исходить из некоторых очевидных свойств, которыми нам хочется наделить вводимое понятие количества информации, то единственной мерой, обладающей нужными свойствами, будет именно логарифмическая мера. Это теорема Шеннона. Я не буду обременять вас ее доказательством: хотя оно и элементарно, но длинно.
      Пожонглируем немножко с последней формулой. (...)
     
      Пропускная способность
      Поезда, курсирующие, скажем, между Москвой и Ленинградом, перевозят грузы. Можно к паровозу прицепить больше вагонов и тем повысить грузоподъемность состава, но при этом снизится скорость, с которой может двигаться состав. Естественно назвать пропускной способностью железной дороги наибольшее количество груза (в тоннах), которое можно перевезти в час по этой дороге, то есть количество груза, которое возможно перевезти при наиболее выгодном распределении грузов по локомотивам и при наиболее разумном расписании движения поездов.
      При передаче информации по каналу связи наблюдается весьма похожая ситуация. Для определенности рассмотрим телеграфную передачу с двумя простейшими элементарными сигналами — посылкой тока и паузой.
      При помощи этих двух элементарных сигналов передаются буквы, цифры и другие необходимые символы. Так, например, код Бодо, используемый в современных1 буквопечатающих аппаратах, сопоставляет каждой из 32 букв определенную комбинацию из пяти посылок тока или пауз одинаковой длительности *.
      Элементарные сигналы, подобно груженым вагонам, являются носителями передаваемой информации. Количество информации, которое можно «нагрузить» на один элементарный сигнал, будет наибольшим в том случае, когда элементарные сигналы равновероятны. Элементарные сигналы имеют определенную продолжительность, следовательно, количество информации, которую можно передать по каналу в единицу времени, ограниченно. Пропускной способностью канала связи естественно назвать наибольшее количество информации, которое можно передать по каналу в единицу времени.
      При движении поездов по железной дороге часть грузов будет гибнуть. Это будет происходить по различным случайным обстоятельствам: из-за крушений и стихийных бедствий, вследствие недосмотра обслужи-
      * Если на каждом из пяти мест может быть лишь один из двух символов (посылка или пауза), то всего различных сигналов будет 25=32.
      вающего персонала и т. д. Если бы подобные обстоятельства происходили часто, то необходимо было бы учесть их при распределении грузов по составам и составлении графиков движения поездов. С подобным положением приходится, например, реально сталкиваться во время войны, когда железнодорожные составы подвергаются частым вражеским нападениям.
      Однако при учете разных случайных обстоятельств, приводящих к гибели части груза, все же можно говорить о пропускной способности железной дороги: это будет наибольшее количество груза, которое в среднем можно перевезти в час по железной дороге (с учетом потерь). Оно, конечно, уменьшится по сравнению с количеством груза, которое можно перевезти, если никаких потерь груза не будет.
      Аналогичная ситуация имеется в канале связи: помехи, действующие в канале, искажают передаваемые сигналы, и в результате теряется часть передаваемой информации.
      Однако и здесь сохраняется понятие пропускной способности канала: это наибольшее количество инфор-
      мации, которое можно передать в среднем за единицу времени по каналу в присутствии помех.
      Пропускная способность канала при наличии помех определяется только количеством и продолжительностью элементарных сигналов и вероятностями их искажений помехами (то есть вероятностями того, что был передан один элементарный сигнал, а вместо него принят другой) и больше ни от чего не зависит.
      Кодирование
      Наверное, при разговоре по телефону и плохой слышимости вы многократно кричите в трубку: «Алло! Алло! Плохо слышно! Повторите!» Я опускаю другие более крепкие выражения, так же медленно приводящие к успеху. Конечно, даже при большом уровне помех, при очень плохой слышимости, если повторять каждое слово очень много раз, то ваш собеседник разберет все, что вы хотите ему сообщить. Но тогда на разговор уйдет очень много времени. То же относится и к телеграфной передаче и к другим системам передачи информации: многократное повторение дает возможность надежно принять информацию, но при этом резко падает скорость передачи.
      А нельзя ли осуществить надежный прием сообщений, не уменьшая скорости передачи информации?
      Широко известна азбука Морзе, в которой буквы представлены последовательностями из точек и тире. Это код. Впрочем, совсем не существенно, будут ли использованы точки и тире, или нули и единицы, или посылки тока разной полярности. Вот несколько примеров кодов азбуки Морзе:
      Буква А Б В Г Д Е Ж
      Код 01 1000 011 110 100 0 0001
      Вы помните таблицу вероятностей появления букв в русском языке, которая была приведена в одном из предыдущих разделов. Заметьте: в азбуке Морзе коды состоят из различного количества символов, и более часто встречающиеся буквы имеют более короткие коды.
      В упоминавшемся раньше коде Бодо все буквы записаны одинаковым количеством символов. Вот коды тех же букв:
      Буква А Б В ГД ЕЖ Код 10000 00110 01101 01010 11110 01000 00011
      Такие коды называют равномерными в отличие от неравномерных кодов, подобных коду Морзе, где элементарные сообщения имеют различную продолжительность.
      Очевидна разумность использования неравномерного кода: не нужно тратить столько же времени на передачу часто встречающегося сообщения (буквы Е), сколько и на передачу редко встречающегося (буквы Ж). Но зато равномерные коды имеют ряд преимуществ при реализации. Например, при передаче с помощью кода Морзе требуется еще дополнительный знак для разделения букв, иначе будет полная путаница. При использовании кода Бодо ясно, что каждые последовательно поступающие пять символов — это буква, и сообщения легко разделяются.
      Впрочем, наличие специального знака для разделения букв тоже спасает не всегда. Разделительный знак, как и всякий другой символ, может быть искажен. Если, например, в слове ДА (100-01) разделительный знак выпадет, то получившаяся последовательность 10001 может быть расшифрована и как НУ (10-001), и как НИТ (10-00-1), и как ТЖ (1-0001), и еще иначе.
      Все же можно построить двоичный код без помощи разделительных знаков. Здесь можно воспользоваться теорией графов. Идея состоит в том, чтобы не использовать комбинации, начальная часть которых уже использована в качестве самостоятельной комбинации.
      Например, можно применить комбинации 10 и 001, но нельзя применить 10 и 100, так как если уже передано 10, то неизвестно, передана ли полностью комбинация 10 или лишь первые два элемента комбинации 100. Выбрать нужные комбинации нам поможет граф — дерево. В двух верхних узлах (рис. 97) пишем 0 и 1 и затем на каждом шаге, спускаясь вниз, приписываем справа еще 0 или 1. Таким образом, на п-м шаге будут выписаны все комбинации из нулей и единиц, содержащие п символов.
      Код без разделительных знаков будем строить по следующему алгоритму (правилу). Если мы выбрали уже какую-либо комбинацию, скажем, 010, то вся часть дерева, во главе которой находится эта вершина, дальше не используется. В примере, представленном на рисунке 97, используемые вершины обозначены кружочками, а используемые ребра нарисованы жирно.
      При этом выбор комбинации исключает возможность использования всех дальнейших комбинаций, отвечающих разветвлениям графа.
      Таким образом, можно выбрать любое нужное количество неперепутываемых кодовых комбинаций.
      При выборе указанных на рисунке 97 комбинаций 1, 010, 011, 0000, 0001, 00100, 00101, 00110, 00111 любая непрерывно переданная последовательность этих комбинаций разделяется единственным образом. Скажем, последовательность 00100111001110100110001 разделяется так: 00100-1-1-1-00111-010-011-0001, и по-другому вам ее разделить не удастся, если использовать только выбранные нами комбинации.
      Граф не только дает возможность выбрать непере-путываемые комбинации, но и расшифровать полученную последовательность. Именно, последовательно шагая от вершины графа вправо, если 1, „ Влево если 0 доходим до кружка, обозначающего одну Из комбинаций. Поставив разделительный знак « — ») возвращаемся к вершине и вновь начинаем шагать по графу Конечно, такое движение по графу легко автоматизировать, поручив эту «прогулку» вычислительной машине.
      Итак, в кодах, подобных кодам Морзе и Бодо, кодируется отдельно каждая передаваемая буква. За счет выбора кода можно улучшить дело: уменьшить количество неправильно принимаемых букв или увеличить скорость передачи при сохранении ее качества. Но достигнуть кардинального улучшения на этом пути не удается. Поэтому поищем другой подход к проблеме кодирования.
      Поздравительные телеграммы к Новому году принимаются по льготному тарифу. Можно послать любую из нескольких стандартных телеграмм. При передаче такой телеграммы нет необходимости передавать весь текст, достаточно лишь передать адрес получателя и
      номер или шифр выбранной отправителем телеграммы. Передача шифра занимает, конечно, значительно меньше времени, чем текст телеграммы; это дает возможность снизить тариф.
      Предположим, что передаются не поздравительные, а служебные телеграммы, например, сообщения о банковских операциях. Они также имеют стандартный характер. Но при передаче таких специальных сообщений надежный прием имеет решающее значение. Кодируя телеграммы соответствующими номерами или шифрами, мы имели бы возможность освобождающееся время использовать для повышения надежности передачи. Для этого, например, можно было бы повторять номер телеграммы несколько раз.
      Мы уже обсуждали вопрос о структуре языка, где слова — это не всевозможные сочетания букв, а только некоторые из возможных.
      Вы, наверное, хорошо знаете игру в слова, которой развлекаются школьники и студенты во время неинтересных лекций и уроков. Нужно, используя лишь буквы выбранного слова, составить всевозможные другие осмысленные слова. Из большого слова вроде «электрификация» можно составить примерно 200 осмысленных слов — существительных в именительном падеже.
      Я несколько изменю условия. Возьмем три буквы — А, К, Р и составим всевозможные слова из этих трех букв, допуская и их повторения. Таких слов будет З3 = 27. В таблице выписаны все эти слова и прописными буквами отмечены те, которые имеют смысл на русском языке.
      ааа каа раа
      аак КАК РАК
      аар КАР рар
      ака кка рка
      АРА кра рра
      акк ккк ркк
      АКР ккр ркр
      арк крк ррк
      арр крр ррр
      Из 27 слов осмысленных оказалось всего 5. Количество слов в полном словаре русского языка порядка 100 тысяч, а только всевозможных семибуквенных сочетаний из 32 букв русского алфавита, очевидно,
      будет 327, то есть более 30 миллиардов. Но ведь в русском языке есть слова из 10, 12, 15 букв! Мой старинный друг А. Д. Мышкис, внимательно прочитавший первое издание книжки и сделавший много полезных замечаний, написал мне, что он сам видел такое длинное слово — виноградосоковыжимательница. Предоставляю вам, читатель, удовольствие посчитать здесь количество букв. Таким образом, в языке при образовании слов используется лишь небольшая доля возможных буквенных сочетаний, и на миллионы бессмысленных слов приходится лишь одно содержательное.
     
      Модель языка и передача информации
      Вспомните, пожалуйста, модель языка в виде цепи Маркова. В этой модели вероятности последующих букв зависели от предыдущих сочетаний букв. Можно, пользуясь переходными вероятностями, подсчитать вероятности различных многобуквенных сообщений. Скажем, среди всевозможных семибуквенных слов будут такие, как эщишъэа, для которых вероятность передачи по телеграфу практически равна нулю. Будут такие, как выезжаю, вероятность передачи которых значительна, и такие, как пиф-паф, — вероятность их передачи мала.
      Я буду дальше делить все сообщения на две категории: высоковероятные и маловероятные. Хотя такое деление кажется условным, но ему можно придать точный смысл. Главное состоит в том, что не только вероятность каждого маловероятного сообщения незначительна, но и сумма вероятностей всех вместе маловероятных сообщений весьма мала.
      Когда создается система передачи информации, то разумно ее строить так, чтобы высоковероятные сообщения воспроизводились надежно. Что же касается маловероятных сообщений, то нет смысла принимать специальные меры для их безошибочной передачи, коль скоро почти наверное их вообще передавать не будут.
      Клод Шеннон рассмотрел передачу по каналу связи последовательности сообщений, представляющей собою цепь Маркова.
      Это не обязательно человеческий язык. Последовательность команд для управления каким-либо агрега-
      том, процесс течения болезни, последовательность химических превращений часто могут быть описаны с помощью цепей Маркова.
      Вы уже обратили внимание на возможность заменить кодирование отдельных букв или символов кодированием целых слов или, лучше сказать, целых блоков из символов.
      И если последовательность на входе канала связи — это цепь Маркова, то можно, взяв блоки символов достаточно длинные, разделить все сообщения на сравнительно небольшую группу высоковероятных сообщений — их и надо передавать, а не весьма обширную группу маловероятных блоков, о качественной передаче которых не следует заботиться. Их можно даже вовсе не передавать, столь маловероятно их появление.
      А теперь нужно выбрать метод кодирования для группы высоковероятных блоков. Чем длиннее будут кодируемые цепочки символов, тем экономичнее, выгоднее можно выбрать кодирование.
     
      Основной факт теории передачи информации
      Если количество грузов (в тоннах), поступающих в среднем в час на станцию Москва-Товарная, не превышает пропускной способности железной дороги Москва — Ленинград, то эти грузы могут быть доставлены в Ленинград. Только для этого график движения поездов должен быть составлен специальным образом.
      Если же поступающее количество грузов превышает пропускную способность дороги, то все грузы перевезены быть не могут, они будут постепенно накапливаться на складе, и в конце концов понадобятся дополнительные меры, чтобы перевезти все грузы по назначению.
      Примерно аналогичная картина наблюдается при передаче информации по каналу связи. Если среднее количество информации, поступающей на вход канала связи в единицу времени, будет меньше пропускной способности канала, то возможно передать всю эту информацию по каналу и правильно ее расшифровать на выходе канала. Сделать это можно, если выбрать подходящее кодирование.
      Если же количество информации, поступающей в канал в единицу времени, больше пропускной способности канала, то всю информацию передать невозможно.
      Эти утверждения сначала кажутся очевидными. Но напомню: в канале действуют помехи, искажающие случайным образом сигналы, передаваемые по каналу. А речь идет о правильной, безошибочной расшифровке передаваемой информации. И поэтому при более внимательном отношении к нашему утверждению оно представляется ошибочным: раз есть в канале помехи, случайным образом искажающие сигналы, а значит и искажающие информацию, которую несут эти сигналы, то вроде бы невозможно безошибочно принимать информацию в присутствии помех.
      Однако наше первое утверждение верно; подчеркнем некоторые его стороны.
      Мы не забыли, что часть сигналов может быть искажена, но ведь и при действии рассматриваемых случайных помех какая-то информация будет передаваться по каналу. Передаваемое нами количество информации лишь не должно превышать наибольшего возможного количества информации, которое все же можно передать по рассматриваемому каналу в присутствии помех; это количество информации (в единицу времени) и было названо выше пропускной способностью канала.
      Для осуществления такой передачи, конечно, должен быть подобран специальным образом метод кодирования. Этот метод так подбирается, чтобы, несмотря на искажение отдельных сигналов, все же информация, несомая группой сигналов, могла быть однозначно расшифрована. Для этого приходится кодировать сразу длинные блоки, а не отдельные символы или буквы.
      Если быть точным, следует сделать еще одно замечание: для осуществления кодирования, весьма близкого к наилучшему, пришлось бы кодировать все более длинные сообщения, что весьма затруднительно технически. Как сложно было бы, например, кодировать сразу единым образом как одно сообщение все телеграммы, которые надо передать за сутки из Москвы в Ленинград! Поэтому утверждение наше о возможности безошибочной передачи следует понимать так: чем с большей надежностью, то есть чем с меньшим числом ошибок нужно передать информацию, тем сложнее будет метод кодирования.
      Итак, вместо неискаженного воспроизведения пере-даваемых сигналов, которые повреждаются помехами в канале связи, — сложное кодирование, которое дает реальную возможность воспроизведения передаваемой информации с как угодно малым количеством ошибок.
      Эта замечательная идея и теория, обосновывающая возможность такого кодирования, да и некоторые методы построения кодов принадлежат Клоду Шеннону.
      Но как же реально строить коды, которые реализуют идеи Шеннона? Есть много способов построения таких кодов. За последние 10 — 15 лет теория построения помехоустойчивых кодов широко развилась, и здесь достигнуты значительные успехи.
      Задача построения таких кодов — это увлекательная математическая задача. Многие методы построения кодов вполне элементарны и занимательны, но для рассказа о них потребовалось бы слишком много места, а я и так уж слишком надолго занял ваше внимание проблемами теории передачи информации.
      А как же быть с содержанием?
      Все-таки если вы не конструктор системы связи, а, скажем, отец ребенка, то вам не покажется равноценной информация о рождении девочки (а не мальчика) или о четности или нечетности номера трамвайного билета. Вам представляется более важным содержание, смысл получаемого сообщения, чем его вероятность.
      Трудно с вами не согласиться. Но как же ввести меру содержательности, ценности, важности сообщения? Как изучать смысловую, или, как ее называют, семантическую, информацию? Да и вообще можно ли ее изучать?
      Сообщение об открытии нового антибиотика несет совершенно различную смысловую информацию ребенку, научившемуся читать по слогам, школьнику девятого класса, студенту-микробиологу и ведущему специалисту по антибиотикам, так что для разных получателей одна и та же информация, как правило, представляет различную ценность.
      В статистической теории информации, о которой подробно было рассказано в предыдущих разделах, считалось, что получатель информации способен извлечь всю передаваемую ему по каналу связи информацию, и оценивалось именно это наибольшее количество информации. Иными словами, речь шла о потенциальной возможности извлечь из данного сообщения некоторое количество информации, а не о том, какую информацию способен извлечь из поступающего сообщения вполне определенный получатель.
      В то же время способность извлечь информацию из сообщения зависит от запаса сведений, которыми обладает получатель сообщения. Именно поэтому сообщение об открытии нового антибиотика несет различную информацию ребенку, школьнику, студенту и специалисту по антибиотикам.
      Будем представлять себе запас исходной информации, которой обладает получатель, в виде словаря, в котором не только перечислены слова, но и указаны связи между ними. Например, если в словаре указаны слова «школьник» и «книга», то должно быть указано еще и отношение между ними: школьник читает книгу или школьник имеет книгу, а не книга читает школьника или как-нибудь еще.
      Автор излагаемого здесь подхода при изучении семантической информации советский математик Ю. Шрейдер назвал такой словарь тезаурусом. Это слово греческое и означает сокровище, но, впрочем, это не существенно, как я уже говорил в разделе «Как возникают термины».
      Вследствие того, что тезаурус у младенца, школьника, студента-микробиолога и специалиста по антибиотикам разный, сообщение об эффективности стрептомицина при лечении воспаления легких принесет им различную информацию. При этом младенец такую информацию не воспримет (ее естественно положить равной нулю), школьник получит меньше информации, чем
      студент, изучающий курс фармакологии, а специалист вновь не получит информации — он это уже давно знает. Таким образом, размеры получаемой информации зависят ог величины (или развития) тезауруса получателя, и если эту информацию изображать графически, то она выглядит подобно положительной полуволне синусоиды, где максимум соответствует получателю, у которого достаточно сильно развит тезаурус, чтобы воспринять принимаемую информацию, но еще недостаточно для того, чтобы эта информация ему не несла ничего нового.
      Когда новое сообщение поступает к получателю, его тезаурус как-то изменяется, преобразуется. При этом наибольшие изменения произойдут в тезаурусе достаточно подготовленного получателя, но еще не слишком, чтобы подступающее сообщение ему еще не было известно или достаточно очевидно.
      При таком подходе можно в качестве меры информации, приобретаемой данным получателем при поступлении к нему сообщения (или меры информации, содержащейся в данном сообщении относительно данного получателя), взять степень изменения тезауруса под влиянием принятого сообщения. Конечно, нужно еще предложить количественную меру этого изменения, и это делается в работах Ю. Шрейдера. Впрочем, сейчас положено лишь начало этого трудного направления исследований, и я не могу в нескольких словах пояснить суть дела. Во всяком случае, после почти двадцатилетнего торжества статистической теории информации и критического пересмотра ее исходных предпосылок, сейчас появилось обнадеживающее направление исследований, которое дает возможность учесть смысловое содержание сообщений. А это сулит новые успехи в интереснейшей области науки об информации.
     
      Что могут математические машины
      На обложке популярного журнала вы видите прелестную девушку, сидящую в современном кресле за пультом электронной вычислительной машины. Из текста на обороте страницы становится известно, что девушка-оператор выполняет труд тысяч вычислителей, совершает арифметические действия с баснословной скоростью и небывалой точностью. Для нее нет трудностей и преград...
      Однако это плохая реклама. Прежде всего девушка здесь ни при чем. Задачи решает не оператор и не машина — задачи решают математики! И не те два или три, которые принесли оператору программу (то есть совокупность инструкций для действий математической машины), хотя и их труд был подчас велик и нелегок. В решении каждой задачи на машине зримо, или незримо виден гений многих поколений великих математиков, в том числе и наших современников.
      Что же касается электронной вычислительной техники, то если бы задача состояла лишь в усовершенствовании труда вычислителей, конторских служащих или кассирш, не нужно было бы создавать устройства, производящие десятки тысяч или миллионы арифметических операций в секунду. Эту работу могут выполнять значительно более простые и дешевые устройства. Важно другое: появилась возможность решать качественно новые задачи. Ибо, даже посадив за конторские счеты все 3 миллиарда жителей Земли, нельзя успеть подсчитать траекторию движения ракеты за время ее полета. А на электронной вычислительной машине это сделать можно.
      Итак, речь пойдет о возможностях современных математических машин. Я сознательно не написал — быстродействующих и электронных. Уже сейчас создаются машины, в которых нет электронных устройств, а быстродействие не всегда является их главным достоинством. Например, в некоторых системах управления процессами нефтепереработки, в некоторых процессах химической промышленности нельзя использовать электронные устройства: случайное короткое замыкание или небольшая искра может вызвать взрыв или пожар. Кроме того, процессы здесь протекают сравнительно медленно, и поэтому вместо электронных устройств в таких производствах используют устройства пневматические. Сейчас развивается новая отрасль науки, которую назвали пневмоникой. Все арифметические и логические операции, выполняемые в электронной вычислительной машине посредством преобразования электрического напряжения или тока, в пневматических вычислительных устройствах производят с помощью преобразований потоков воздуха, да еще и при давлениях, весьма незначительно отличающихся от нормального.
      Не подумайте, пожалуйста, будто я хочу убедить вас в том, что быстродействие математических машин — не существенная деталь.
      Задачи экономического характера, например, составление месячного или годового плана работы завода или годового плана в масштабе всей страны, требуют перебора очень большого количества вариантов и выбора среди них наилучшего. Конечно, лучший план должен оптимизировать какой-либо критерий, но об этом мы уже вели речь. Однако от общей теории до практических воплощений — большая дистанция, и сейчас работают многие коллективы математиков и экономистов над внедрением математических методов и математических машин в экономику. Трудности здесь, огромны, в том числе и вычислительные.
      Вспомните, пожалуйста, задачу о распределении работ, описанную в разделе «Граф». Казалось, совсем просто решить задачу: надо перебрать все варианты.
      Но если у вас всего десять сотрудников и десять работ, то количество возможных способов размещения работ по сотрудникам будет равно 3628800.
      В самом деле, если первый из десяти человек может выполнять любую из десяти работ, то на долю второго уже остается девять возможностей, на долю третьего — восемь и т. д. Число всех возможных размещений будет равно произведению этих чисел:
      10-9-8- 2-1 = 10! = 3628 800
      (читается «десять факториал»).
      Если вы оснащены только канцелярскими счетами, такое количество вариантов кажется вам огромным. Для современной же электронной вычислительной машины обращение с подобными числами не представляет ничего из ряда вон выходящего.
      Но если, не меняя существа задачи, увеличить количество сотрудников до тридцати, то аналогичные рассуждения приведут вас к числу 30! Это число, несмотря на компактную запись, колоссально: оно превосходит 1033, то есть единицу с тридцатью тремя нулями. Представить его себе уже невозможно. Да и вычислительной машине не справиться с перебором таких объемов. В самом деле даже для математической машины, совершающей миллион арифметических операций в секунду, понадобилось бы на этот перебор более 1018 лет, то есть более миллиарда миллиардов лет. А ведь может быть задача о назначении для 100 и более сотрудников!
      Поэтому нельзя полагаться просто на перебор всех
      вариантов. Прежде чем передать задачу на вычислительную машину, нужна предварительная и порой очень серьезная работа квалифицированных математиков.
      Многие экономические задачи решаются методами математического программирования. Скажем, задачи линейного программирования сводятся к решению алгебраических уравнений и неравенств. Знакомая из школы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, такая, как
      решается в две-три строчки. Для этого нужно, например, помножить первое уравнение на 2, второе на 5 и вычесть из первого второе, найти с помощью сложения и деления, что *2 = 2,5, затем подставить это значение во второе уравнение и с помощью умножения, вычитания и деления найти, что Х\ = 3. Здесь требуется произвести лишь 9 умножений и делений и 6 сложений и вычитаний; всего 15 арифметических операций.
      Но если решать аналогичную систему из 800 уравнений с 800 неизвестными, то потребуется выполнить 250 миллионов арифметических операций. В то же время для исследования многих вопросов экономики и техники нужно решать задачи со значительно большим объемом вычислений. Здесь, конечно, нужны и быстродействие, и устройства для хранения больших количеств информации, и специальные приемы, ускоряющие процесс нахождения решения.
      Но, кроме вычислений, математическим машинам можно поручать и принципиально другую работу. По-видимому, сегодня уже многие теоремы элементарной геометрии, даже те, которые не содержатся в школьных учебниках и, быть может, вовсе не известны человечеству, можно доказывать на математических машинах; для этого составлены соответствующие программы.
      Кажется, что доказательства теорем — это деятельность, принципиально отличающаяся от арифметических или логических операций, которые производятся при решении уравнений. Однако математические машины в действительности производят лишь арифметические и элементарные логические операции, операции перебора, сравнения чисел и операции выбора (скажем, выбора наибольшего числа из группы чисел). А для доказательства теорем — проведения доказательных рассуждений — другие операции и не нужны.
      Математической машине можно поручать сочинение музыки, Математик и музыкант Р. Зарипов занялся моделированием музыкального творчества на универсальной математической машине. Разобравшись в некоторых общих законах музыкальной композиции, он составил соответствующую программу для математической машины, и она ее выполнила — «написала» музыку. Я слышал эту музыку — несколько вполне грамотных пьес для виолончели, и некоторые из них доставили мне удовольствие. Правда, когда слушаешь эти пьесы, то кажется, что слушаешь уже знакомую музыку известных композиторов. Но такое иногда случается, даже когда присутствуешь на концерте живого композитора...
      Художник А. Блох, как мне кажется, оформил книжку соответственно ее направленности. Но в этом месте он не удержался и, как видите, на страницах 269, 271 и 305 изобразил робота. Здесь не только перепутан композитор с исполнителем, но, главное, искажен смысл работы Р. Зарипова. Его достижение состоит в составлении программы сочинения музыки для универсальной
      математической машины. Работая по программе Р. Зарипова, машина выдает на печать последовательность цифр, с помощью которых определенным кодом записаны обычные ноты. А исполнение музыкального произведения после перекодировки — записи нот обычным способом — это дело музыканта-исполнителя.
      Научной общественностью широко обсуждается вопрос о целесообразности использования математических машин для повышения эффективности обучения. У меня этот вопрос никаких сомнений не вызывает: безусловно, разумное применение обучающих машин должно дать хороший эффект. Но в процесс обучения людей весьма медленно проникают новые методы.
      Чтение лекций сейчас выглядит так же, как и сотни лет назад. Я пишу формулы мелом на доске, стираю тряпкой, диктую определения, которые каждый студент может прочитать в учебнике, и завоевываю внимание аудитории известной политикой «кнута и пряника»: то рассказываю анекдоты и истории из жизни, то останавливаю ехидным замечанием мило болтающих девушек, то ставлю в глупое положение парней, дремлющих после бурно проведенного вечера, отведенного им для самостоятельной работы. А затем на экзамене доказываю студенту, что неудовлетворительную оценку он заслужил справедливо. Приходится тратить на это полчаса, а то и час, хотя мне очевидна оценка через несколько минут. Но студент не должен думать, будто «пару» он получил нечаянно, вытянув «несчастливый» билет, он должен сам оценить размеры бедствия.
      В то же время уже сейчас кое-где поручили машинам проводить экзамен, и результаты как будто неплохие. Нет страха перед экзаменатором, но и нельзя его обвинить в необъективности: машина автоматически выставляет оценку в зависимости от количества правильных и неправильных ответов на вопросы. Кое-какие успехи есть и в применении математических машин в процессе обучения; и надо надеяться, что это только начало.
      Математики составили программы для игры в шахматы, и уже сейчас машины, вооруженные такой программой, неплохо играют. «Играют» машины и в более простые игры: в домино и в «подкидного дурака».
      Конечно, читатель-рационалист заинтересуется: кто оплачивает эти развлечения математиков? Но программирование игры, например, в шахматы не развлечение — это моделирование интеллектуальной деятельности человека.
      В настоящее время довольно много внимания уделяется составлению программ для перевода с одного языка на другой. Рационалист опять может сказать, что дешевле нанять переводчика. Да, сейчас, наверное, дешевле, зато, возможно, наступит время, когда будет дешевле машинный перевод. Но дело не только в дешевизне: машинный перевод — это тоже модель интеллектуальной деятельности человека.
      А что для нас может представлять больший интерес, чем мы сами?
     
      Разговор с психиатром
      В самом деле, мне представляется, что нет более интересного объекта для изучения, чем человек и особенно его интеллект. Каждый психиатр сталкивается с удивительным многообразием человеческих характеров, с уклонением от привычных норм в мышлении. И если психиатр сумеет все это увидеть, а потом рассказать, то не услышишь более интересного рассказа.
      Мне повезло: близкий друг нашей семьи — талантливый психиатр и любознательный человек — в течение
      многих лет держал нас в курсе наиболее важных событий в своей практике. Если добавить, что психиатр — очаровательная женщина и великолепный рассказчик, то мне повезло вдвойне.
      Не прошел мимо нее и мой интерес к кибернетике, биологии, медицине. И хотя я ей рассказывал о своих беседах с физиологами и медиками, до недавнего времени ей казалось, что пока в области психиатрии эти новые подходы неприменимы. Но вот несколько лет назад...
      Психиатр. Мне бы хотелось с тобой посоветоваться по поводу моей работы.
      Я. С удовольствием. Но какой тебе от меня может быть толк?
      Я. Мне нужно выбрать направление своей деятельности. Тут что-то надо менять. Как ты знаешь, я изучаю группу так называемых инволюционных, или предстарческих, психозов. Сейчас я собрала катамнезы* своих старых пациентов. Таким образом, имеется возможность посмотреть ход их болезни во времени. И надо как-то это обработать.
      Я. Что значит — обработать?
      Я. Ну, сделать какие-то выводы. Сейчас видно, правильно ли я ставила им диагноз, скажем, 10 — 15 лет назад.
      Я. Предположим, что мы вычислим процент правильно поставленных тобой диагнозов. Что же мы узнаем? Мне кажется, что в лучшем случае удастся лишь выяснить твою квалификацию в те годы. Тогда, конечно, можно будет поставить вопрос о неправильном начислении тебе зарплаты 15 лет назад, если ты часто ошибалась, и потребовать перерасчета в твою пользу в случае малого процента ошибок. Правда, тут надежда на успех мала.
      Я. Нет, не шути, я говорю серьезно.
      Я. СкажЬ, а этот процент можно сейчас установить абсолютно достоверно? Я имею в виду надежность диагностики состояния больных в данное время.
      Я. В каком-то британском медицинском журнале статья по психиатрии начиналась так: «Неврас-
      * Анамнез — история жизни и болезни до момента обследования, катамнез — это исход болезни, ее история после лечения.
      теник — это субъект, строящий воздушные замки. Шизофреник — человек, живущий в одном из таких замков. Психиатр — сборщик арендной и квартирной платы с этих людей».
      Как видишь, этот автор различает неврастеника от шизофреника, но он не учитывает возможности индивидуума сначала построить воздушный замок, а затем поселиться в нем.
      Говоря серьезно, достоверно установить диагноз не всегда легко.
      Недавно я организовала для одной из больных консультацию у своего научного шефа, и мы не смогли с ним прийти к единому мнению: шизофрения у больной или психопатия.
      Я. Но есть случаи, когда диагностика однозначна?
      Я. Да, довольно часто. Во всяком случае, квалифицированные психиатры одной и той же школы, как правило, дают одинаковую диагностику.
      Я. А что меняется, если поставить другой диагноз? От этого улучшится состояние здоровья больных?
      Я. Сразу — едва ли. Но методика лечения может значительно меняться.
      Я. А сколько же можно поставить разных диагнозов в изучаемых тобой близких ситуациях?
      Я. Мы диагностируем довольно много болезней. В рамках психозов позднего возраста, которыми я занимаюсь, можно насчитать 7 отчетливых клинических форм. Это практически диагностируемые болезни. При более углубленном и дробящем анализе, с расчетом на казуистику, будет, вероятно, более 20 заболеваний.
      Я. И у каждого заболевания свой метод лечения или методов лечения меньше, чем болезней?
      Я. Пока мы не имеем для каждой болезни своего метода лечения. Методов лечения меньше, чем болезней.
      Я. Зачем же нужно иметь больше диагнозов, чем методов лечения?
      Я. Это трудный вопрос. Может быть, потом будем иметь больше методов лечения. Дело в том, что за последние 10 лет появилась отдельная отрасль знания, пограничная между психиатрией и
      фармакологией, так называемая психофармакология. Число вновь синтезируемых психофармакологических препаратов неуклонно растет. В клинике их применяют в чистом виде и в комбинациях, эффект от них иногда разителен, иногда недостаточен. Клиницисты прибегают к новым сочетаниям. Ясно, что постепенно мы научимся лучше и точнее подбирать препараты, и не исключено, что в будущем будет соответствие между точно и, главное, своевременно сформулированным диагнозом и назначаемым видом лечения. Поэтому сегодня вполне актуальна задача ранней диагностики. В поздних состояниях диагноз очевиден, но лечение практически безрезультатно.
      Я. Хорошо. Предположим, что тебе удалось сравнить диагнозы с исходом болезни у пациентов, которые были у тебя под наблюдением. Ну и что?
      Я. Вот именно: «Ну и что?» В психиатрии появилось много подобных описательных работ. Может быть, пришло время сделать какие-то более существенные и объективные обобщения, достоверно выявить характерные особенности ранней стадии болезни, которые ведут к тому или иному исходу.
      Я. Но зачем это нужно, если путь больного к развязке от тебя не зависит?
      Я. Нет, это не так, в некоторой степени зависит. Во-первых, все-таки будет иначе идти лечение при правильном диагнозе. Во-вторых, правильная диагностика зачастую имеет важнейшее значение для судьбы больного, например, при судебно-психиатрической экспертизе.
      Понимаешь, от диагностики состояния обследуемого зависит установление вменяемости или невменяемости при совершении преступления или :. установление дееспособности при разборе гражданских дел. Следовательно, в зависимости от врачебного заключения обследуемый может быть осужден при установлении вменяемости в момент совершения преступления. Или, скажем, обследуемый может быть лишен права воспитывать детей или состоять в браке в случае установления его недееспособности.
      Я. Да, это серьезные проблемы. А как же сейчас вы с этим справляетесь?
      Я. В обычных случаях опытный психиатр безошибочно ставит диагноз. Но и, так сказать, необычных случаев больше чем достаточно. Мне пришлось, например, консультировать одного больного, который в связи с повторными правонарушениями многократно подвергался судебно-психиатрической экспертизе в разных учреждениях, и диагностика колебалась между психопатией и шизофренией и, соответственно, вменяемостью и невменяемостью.
      Я. Погоди, правильно ли я понял: шизофрения — это болезнь, а психопатия — не болезнь, так, что ли?
      Я. При шизофрении, представляющей собой довольно распространенную форму заболевания, у человека значительно искажается способность мыслить, чувствовать и действовать. Эти три стороны теряют присущее им в норме единство (кстати, позволяющее по мимике и поступкам безошибочно понимать побудительные мотивы и направления мыслей), и возникают явления разобщенности, расщепления (schizo — расщепление, phrenos — личность).
      Таким образом, человек не может нести ответственность за свои поступки. А при расстройстве психической деятельности, называемом психопатией, пациенты могут управлять своими поступками, они все же подконтрольны себе. Понимаешь, тут речь идет о дифференциональном разграничении сложных синдромов, и диагностические расхождения могли быть обусловлены разнобоем в определении ряда симптомов (признаков) болезни.
      Я. Но я не знаю, что такое синдром.
      Я. Синдром — это определенный набор симптомов, иногда говорят — симптомокомплекс.
      Я. Это уже понятнее. Из скольких же симптомов состоит синдром?
      Я. Это как когда: бывает три, пять, десять.
      Я. И состояние вы характеризуете вполне определенным симптомокомплексом, то есть каждый симптом имеет вполне определенное значение, смысл?
      Я. Более или менее определенное.
      Я. Это я не понимаю. Давай упростим ситуа-
      Рис. 98
      цию. Будем считать, что каждый симптом двоичный, то есть может принимать только два значения. Обследуемый, например, возбужден — не возбужден, ревнив — не ревнив и т. д.
      П. Хорошо, хотя это уж слишком упрощает ситуацию.
      Я. Тебе кажется простой такая ситуация? Давай подсчитаем. Если симптомокомплекс состоит из 10 симптомов, то его возможных вариантов будет 210 - 1024. И каждый из этих вариантов описан и что-нибудь означает.
      П. Откуда у тебя их столько взялось?
      Я. Ага, вот видишь, а говоришь — упрощаю ситуацию. Давай разберемся. Пускай у тебя всего три двоичных характеристики: мужчина — женщина, возбужден — не возбужден, ревнив — не ревнив. Составим соответствующую схему (рис. 98).
      Здесь перечислены все возможности. Как видишь, на каждом этапе количество вариантов удваивается. Поэтому при трех симптомах вариантов будет 23 = 8, а при 10 симптомах 210 = 1024.
      Я. Да, теперь поняла. Я и не представляла, что их так много.
      Я. Так что же вы делаете, как выпутываетесь из этого положения?
      Я. Не смогу сразу сообразить, мне редко приходится считать.
      Я. Небось далеко не все варианты встречаются, поэтому на самом деле их много меньше.
      Я. Да, конечно.
      Я. Но как же вы производите отбор существенных симптомокомплексов от несущественных?
      Я. У нас все делается как-то иначе. История болезни в психиатрии — это сочинение в 15 — 20 страниц машинописного текста, и если она написана хорошо, то по ней можно себе представить образ этого больного в мельчайших деталях.
      Я. Зачем же это надо?
      Я. Люди все разные, и душевные болезни тоже очень различно протекают.
      Я. Но ведь и психиатры разные. Скажем, если бы психиатрию выучили Ф. Достоевский, Л. Толстой, А. Чехов, М. Горький, В. Тендряков и В. Некрасов и взялись бы описать одного и того же больного, то все они сделали бы это по-разному?
      Я. Да, конечно. В этом огромная трудность.
      Я. Мне кажется, что вы сами себе создаете трудности. Вы же не лечите больных индивидуально, а имеете всего несколько методов лечения. Зачем же такое разнообразие описаний? Похоже, что психиатрия не наука, а скорее искусство?
      Я. Да, действительно, психиатрия сегодня — это искусство. Вместе с тем, по точному определению А. С. Пушкина, надо ремесло ставить подножием искусства. Вероятно, математический анализ набора симптомов в картине психической болезни можно сравнить со знаниями палитры красок для художника или овладением техникой гамм, как исходной азбукой музыки, для пианиста. Поэтому, не отменяя искусства при установлении диагноза психического расстройства, нам, психиатрам, нужен твой математический анализ. Вот я тебя и спрашиваю: что же делать? Мне ясно, что надо как-то иначе ставить вопрос, но как — я себе плохо представляю.
      Я. Скажи, а сколько симптомов вы описываете в истории болезни?
      Я. Много, очень много. Я гак сразу сказать не могу.
      Я. Давай попробуем сделать вот что. Составь подробнейшую анкету, пусть там будет несколько сот пунктов. Ряд пунктов — это числа, например, возраст, кровяное давление и т. д. Есть симптомы, где оценки не цифровые. Но если это двоичные характеристики, вроде ревнив — не ревнив, будем ставить 1 и 0.
      Если же симптом может быть выражен по-разному, то будем оценивать его, скажем, по четырехбалльной системе, ибо едва ли нужна большая детализация. Ведь врачи расходятся именно в оценке деталей; поэтому чем будут грубее характеристики, тем будет, по-моему, лучше.
      Я. Постой! Это новое соображение — чем грубее, тем лучше. Мы всегда стараемся провести исследование возможно тоньше.
      Я. И имеете полный разнобой в оценках.
      Я. Да, действительно. Итак, предположим, что я составлю такую анкету. Что потом?
      Я. Затем ты возьмешь несколько сот больных, о которых тебе все известно: и история болезни, и исход. На них надо заполнить подробную анкету. А затем попробуем использовать кибернетическую диагностическую методику — программу распознавания образов.
      Я. Что это даст?
      Я. Во-первых, можно научиться автоматически ставить диагноз; во-вторых, выяснить значимость или информативность различных симптомов и характеристик.
      Я. Знаешь, это же огромная работа.
      Я. А даром ничего не получишь.
      Я. Ну что же, давай попробуем...
     
      Распознавание образов
      Игру в шахматы, сочинение мелодий, решение урав- нений и доказательство теорем — всю эту деятельность математическая машина производит по определенным правилам, задающим последовательность логических или арифметических операций. Эти правила — программы — составляются человеком.
      А могут ли математические машины, подобно людям или другим живым организмам, сами для себя составлять программу действий для достижения определенной цели, или без подробной программы, составленной человеком, они ничего делать не могут?
      Этот вопрос вызывает сегодня споры. Особенно активно отстаивают неповторимость живого при составлении программы целесообразного поведения, то есть превосходство живого над машиной, биологи, медики и лица гуманитарных профессий. При этом под словом «машина» они понимают нечто сделанное руками людей при помощи молотка, зубила или, в лучшем случае, паяльника.
      Ну, а математики? Вот мнение Д. Пойя, крупного математика и педагога, о котором я уже упоминал. В книге «Математика и правдоподобные рассуждения» он пишет:
      «С самого начала было ясно, что эти два вида рас-суждений (речь идет о доказательных и правдоподобных. — Я. X.) имеют разные задачи. С самого начала они казались очень различными: доказательное рассуждение казалось определенным, окончательным, «машиноподобным», а правдоподобное рассуждение — смутным, условным, специфически «человеческим». Теперь мы можем видеть различие отчетливее. В противоположность доказательному умозаключению правдоподобное умозаключение оставляет неопределенным в высшей степени существенный пункт: «силу», или «вес», заключения. Этот вес может зависеть не только от выясненных оснований, таких, как основания, выраженные в посылках, но также от невыясненных, невыраженных оснований где-нибудь в фоне человека, выводящего заключение. У человека есть фон, а у машины его нет. Действительно, вы можете построить машину, которая выводила бы за вас доказательные заключения, но, я думаю, вы никогда не сумеете построить машину, которая будет выводить правдоподобные заключения».
      Итак, Д. Пойя не верит в то, что можно поручить машине выводить правдоподобные заключения. Это им было сказано в 1954 году. А сегодня мы с гордостью за Человека можем сказать, что Д. Пойя ошибся: можно научить машину строить правдоподобные рассужде-
      ния, и она кое-где уже превзошла в этом деле своего учителя.
      Ситуация сложная, и я начну издалека. Грудного ребенка прежде всего учат отличать маму от папы или от бабушки. Ему многократно повторяют слова: мама, папа, баба, указывая при этом на соответствующих лиц. А мама-то все разная: то причесанная, то простоволосая, то бодрая, то усталая, то в одном платье, то в другом — и все это мама. То же происходит и с папой. Но вот появляется какая-то личность с зачесом и наклоняется к ребенку. Ребенок радостно лепечет «папа», но мама говорит ребенку — «дядя». И ребенок должен теперь научиться отличать папу от этого дяди, да и от всех других дядей. Как это ему удается? Как происходит процесс обучения и последующего распознавания дядей, тетей, кошек, слонов и автомобилей? Каков здесь механизм? Ничего об этом нам точно пока не известно.
      Как отличить женский портрет от мужского, осиновые листья от березовых? Ведь ни один лист березы не совпадает точно с другим, они лишь похожи. И нельзя ли научить математическую машину разделять всевозможные объекты на классы похожих, подобно тому как
      мы учим детей читать буквы, написанные разными людьми и потому совсем не одинаковые, или подобно тому как врачей обучают ставить диагноз болезни, когда на свете нет двух одинаковых людей и двух одинаковых болезней. При этом машине заранее не задается формализованный критерий, в соответствии с которым происходит классификация; имеются лишь по нескольку экземпляров объектов из этих классов, например, десяток осиновых листьев и дюжина березовых.
      Та же задача возникает при создании автомата для чтения рукописного или машинописного текста, при построении программы для математической машины, производящей классификацию стадии шизофрении или диагностику рака. Конечно, такие автоматы моделируют функции мышления.
      Первые автоматы Для распознавания зрительных образов делались по аналогии со зрительной системой животных. Зрительная система — одно из самых совершенных и удивительных творений природы — одна из самых сложных систем. Дно человеческого глаза состоит примерно из 130 миллионов чувствительных к свету клеток — палочек и колбочек. За слоем этих рецепторов (клеток, воспринимающих раздражения) расположено несколько слоев других клеток. Они сложным образом перерабатывают поступающие сигналы и посылают их в мозг. Там они снова и снова подвергаются переработке. Процесс обработки световых сигналов зрительным анализатором до конца еще не раскрыт, и созданные пока модели дают возможность разобраться в механизме работы этого сложнейшего аппарата лишь в самых грубых чертах.
      Один из пионеров моделирования функций мышления с помощью автоматов, американский инженер Ф. Розенблатт назвал автоматы, моделирующие функции нейрофизиологических систем, перцептронами. Слово «перцептрон» происходит от латинского слова «перцепция», что означает восприятие.
      Я не буду рассказывать ни о теории перцептронов, ни о практике создания их моделей человеком. Идеи, на которых основаны различные перцептроны, очень интересны, но практически их воплощения для решения достаточно сложных задач наталкиваются пока на значительные трудности.
      Поэтому многие ученые, занимающиеся проблемой моделирования распознавания образов, начали поиски других путей. И об одном из них я сейчас расскажу.
      На рисунке 99 изображены прямоугольники двух классов. Можно ли научить машину классифицировать такие фигуры?
      Поставим задачу конкретнее. Сначала вам показывают лишь те восемь прямоугольников, которые представлены на рисунке. Затем показывают совершенно новый, не совпадающий ни с одним из 8 нарисованных. Можно ли предложить алгоритм (правило), по которому каждый новый прямоугольник относили бы однозначно к первому или второму классу?
      Вы скажете, что такое правило очень просто сформулировать: это горизонтальные и вертикальные прямоугольники. Может быть, вы и правы, но как объяснить машине понятия — вертикальный и горизонтальный?
      Сделать это не так уж трудно. Введем обозначения:
      Х\ — ширина прямоугольника, х2 — его высота. Тогда для прямоугольников I и II классов можно составить таблицы.
      Теперь нарисуем систему декартовых координат (хь х2) и отложим точки, соответствующие этим парам чисел (рис. 100). Мы здесь отметили кружочками точки, соответствующие прямоугольникам I класса, и тонкими крестиками — II класса. Можно провести линию, разделяющую два множества — крестики и нолики. Это может быть произвольная линия, разделяющая крестики от ноликов. Например, на рисунке 100 приведены две из возможных линий — сплошная тонкая кривая и жирная прямая.
      Само собой напрашивается правило для разделения на классы: будем относить прямоугольник к I классу, еиш соответствующая ему точка (хи х%) попала в область I, и ко II классу, если точка попала в область II.
      Например, если пользоваться алгоритмом, задаваемым нарисованной сплошной тонкой кривой, то прямоугольники, которые представлены на рисунке 101, будут классифицироваться следующим образом. К классу I будут отнесены прямоугольники (1,1), (1,2), (2,2), (9,3) и к классу II — (4,5), (5,5), (6,5).
      Если же пользоваться правилом, задаваемым жирной прямой, то все семь прямоугольников рисунка 101 относятся к классу I. Может быть, вам не нравятся выбранные правила? Вы, конечно, ехидно улыбаетесь: вам ясно, что надо было провести не кривую, а прямую, и притом именно биссектрису этого прямого угла. Я и провел ее пунктиром для вашего удовольствия.
      Но ваша уверенность тут же пропала бы вместе с ехидной улыбкой, если бы я с самого начала классифицировал прямоугольники рисунка 99, отнеся к классу I заштрихованные прямоугольники, а к классу II — . не-заштрихованные. Как бы вы проводили границу между классами?
      Итак, отметим теперь важные свойства такого алгоритма классификации. Прежде всего все прямоугольники делились на две категории. Одни из них предъявлялись с самого начала (они изображены у нас на рисунке 99). Затем строилось правило, их разделяющее. После того как правило (то есть кривая) была выбрана, обучение заканчивалось. Затем предъявлялись новые прямоугольники. Пользуясь полученным правилом, мы классифицировали эти новые прямоугольники, относя их к разным классам в зависимости от того, оказывались ли соответствующие им точки на плоскости по одну сторону от кривой или по другую.
      Получился как бы экзамен, который мы устроили кривой — выбранному правилу. От его результата зависит наша оценка качества выбранного правила. Конечно, мы должны знать заранее про каждый из предъявляемых на экзамене прямоугольников, к какому из двух классов он относится: экзаменатор должен знать правильный ответ. Тогда по количеству ошибок на экзамене мы сможем вынести суждение о качестве выбранного правила.
      Теперь обсудим результаты экзамена. Для проверки качества обоих выбранных нами правил классификации — жирной прямой и тонкой сплошной кривой были предъявлены на экзамене семь прямоугольников, которые представлены на рисунке 101. Заранее задано, что на самом деле прямоугольники (9,3) и (6,5) относятся к I классу, (12) и (4,5) относятся ко II классу, а квадраты (1,1), (2,2) и (5,5) можно в равной мере отнести к обоим классам.
      1Цма классификация проводилась по правилу «тонкая сплошная кривая», то прямоугольники (9,3), (1,1), (2,2), (1,2) были отнесены к I классу, а (4,5), (6,5), (5,5) — ко II классу. Это показано на рисунке 101‘Следовательно, классификация по этому правилу привела* к двум ошибкам: (1,2) и (6,5) классифицированы неверно.
      При классификации с помощью правила «жирная прямая» все семь прямоугольников, предъявленных на экзамене, отнесены к I классу, что привело также к двум ошибкам: (1,2) и (4,5) классифицированы неверно. Следовательно, если судить лишь по результатам этого экзамена, а сам результат оценивать лишь по количеству ошибок, то оба правила одинаково плохи (или хороши) — они привели к одинаковому количеству ошибок.
      Следует заметить, что предъявлять на экзамене квадраты при делении прямоугольников на вертикальные и горизонтальные так же незаконно, как предъявлять фото хорошо выбритого биттлза при делении фотопортретов на мужские и женские. Поэтому квадраты нужно вовсе изъять из экзаменационного материала.
      Итак, вы видите, что, во-первых, выбор правила разделения на классы зависит от материала, на котором происходит обучение; во-вторых, разделение это производится не всегда однозначно: можно по-разному установить границу раздела.
      Ну, а такое разделение на классы разве не есть правдоподобное рассуждение? Я сейчас расскажу о цикле задач классификации — технической и медицинской диагностике, — решение которых людьми — это типичные примеры правдоподобных умозаключений.
     
      Техническая диагностика
      Сначала речь пойдет о технической диагностике. Остановлюсь сперва на задаче, возникающей перед геологом или геофизиком при бурении скважин на нефть. Чем глубже залегает нефть, тем меньше следов о ней на поверхности земли (как говорят геологи, на дневной поверхности) и тем труднее ее обнаружить. Поэтому геофизики широко применяют разнообразные методы, дающие возможность косвенно выяснить свойства глубоко залегающих горных пород. Они измеряют и изучают гравитационные, электрические и мршитные поля, ядерные и другие излучения, упругие сейсмические колебания, получаемые при специальных взрывах. Геохимические методы позволяют обнаружить весьма незначительные количества либо самого искомое полезного ископаемого, либо других веществ, ему‘сопутствующих. Такие исследования проводятся в воздухе, на земле и под землей — в скважинах и шахтах.
      Геолог или геофизик имеет, таким образом, в своем распоряжении довольно много косвенных сведений. Но этой информацией весьма трудно воспользоваться: ни один из методов разведки не дает однозначного ответа на интересующий геолога вопрос о том, есть ли в исследуемом пласте нефть.
      Возникающая в этом случае ситуация подобна ситуации, при которой следователю нужно вынести заключение о виновности обвиняемого по косвенным уликам. Ни одна из улик в отдельности не является доказательством вины, а все вместе, в комплексе, могут однозначно определить преступника.
      И перед геофизиком-интерпретатором возникает подчас трудная задача: на основании измерений большого щличества различных параметров и сведений о ряде качественных характеристик вынести заключение: следует ли изучаемый пласт отнести к нефтенасыщенным или пустым.
      ТаксА заключение, или, как мы раньше говорили, принятт решения, ведет к серьезным последствиям. Если принимается решение, что проходимый скважиной пласт нефтенасыщен, то бурение прекращается, скважина цементируется, ее стенка простреливается в месте, где ожидается приток жидкости, и оценивается идущий по скважине вверх поток жидкости, которой заполнена пористая порода пласта. Если эта жидкость нефть — все хорошо. А если не нефть, а вода? Тогда потеряны время, деньги, труд многих людей, затраченные на буре-
      ние. А потери эти значительны: скважина глубиной 4 — 5 километров бурится примерно год и стоит около миллиона рублей. Если же принимается решение, что пласт насыщен водой, а на самом деле он нефтенасыщенный и продуктивный, то потери еще больше: остаются под землей миллионы тонн драгоценной нефти.
      Некоторые из параметров, измеряемые при прохождении скважины, — числа, но в большинстве это кривые, характеризующие изменение того или иного параметра вдоль скважины (например, изменение электрического сопротивления породы).
      Геофизиками детально разработан целый ряд методов интерпретации (толкования) различных геофизических параметров, а также методов совместной интерпретации двух и даже трех параметров пласта. Методика совместной оценки двух-трех параметров, хотя и повышает достоверность интерпретации, но не дает возможности выносить надежные рекомендации по данным измерений и избегать значительных ошибок. Даже на месторождениях, легких для интерпретации, например в Татарии, допускается еще 5 — 6 процентов ошибок. Но есть месторождения и трудные, где количество ошибок весьма велико. Об этом речь будет ниже.
      В то же время одновременный учет интерпретатором показаний всех 10 — 15 геофизических параметров, имеющихся в его распоряжении, невозможен. Такая задача значительно превосходит возможности человеческой памяти, человеческие возможности анализа, синтеза, логических операций, арифметических действий и перебора вариантов, то есть человеческие возможности переработки информации. #
      Трудность задачи нефтеразведки и ее важность объяснены, как мне кажется, уже достаточно. А теперь подойдем к ее решению с других позиций.
      Человек способен выполнять более разнообразную работу, чем подъемный кран, но кран может пбйЦшмать десятки тонн, а рекордсмены по тяжелой атлетике не поднимают и 300 килограммов. Так же обстоит дело и с задачей технической диагностики — интерпретации данных геофизических измерений. Математическая машина может делать это лучше, быстрее, эффективнее человека.
      Подобно тому как вертикальные и горизонтальные прямоугольники мы описывали с помощью пар чисел (длины и ширины), будем описывать пласт набором чисел.
      Кривые, характеризующие параметры пласта, тоже заменяются набором чисел. Это обычно средние значения в определенных интервалах или какие-либо наиболее характерные значения кривых, скажем, экстремальные значения.
      Если в пласте измеряется, например, 12 параметров — 12 чисел хи х2, ... х12, то можно рассматривать двенадцатимерное пространство, где точка Р с координатами (хи х2 ... xi2) будет соответствовать пласту с данными значениями параметров. Надеюсь, вас уже не пугают ни многомерное пространство, ни точки со столь большим количеством координат. Впрочем, не старайтесь мысленно погрузиться в это пространство; достаточно представлять себе всю последующую ситуацию в обычном трехмерном пространстве и спокойно говорить, что в двенадцатимерном или стомерном пространстве все будет выглядеть аналогично. Это пространство будем называть пространством параметров. Всевозможные наборы измерений выбранных 12 параметров, характерные для нефтеносных пластов исследуемого месторождения, будут представляться точками в пространстве параметров. Множество всех возможных «нефтеносных» точек в пространстве занимает некоторую область. Обозначим эту область русской буквой Я (нефть). Аналогично точки, характеризующие всевозможные пористые пласты, не насыщенные нефтью, — пустые пласты — также будут занимать какую-то область в пространстве параметров. Ее обозначим русской буквоц Я (пустой).
      Как вы думаете, будут ли области Я и Я иметь общие точки, или, как мы ранее говорили, будут ли эти области пересекаться?
      Ответ здесь неоднозначен; все зависит от того, насколько удачно выбраны измеряемые параметры. Скажем, если бы измерялись лишь три параметра — мощность пласта (его толщина), величина кажущегося электрического сопротивления, измеренная зондом 2,25 метра, и относительная амплитуда потенциалов самопроизвольной поляризации, — то области Я и Я имели бы общие точки, ибо при одних и тех же значениях этих трех параметров пласт может быть насыщен как нефтью, так и водой.
      Если бы измерялись лишь глубина залегания пласта, его мощность и пористость (то есть относительные размеры пространства между твердыми частицами, где могла бы помещаться жидкость), то области Я и Я могли бы вовсе оказаться неразличимыми.
      Но нефтенасыщенные пласты на самом деле существенно отличаются от пустых: в одних залегает нефть, а в других ее нет. И основная гипотеза состоит в том, что существует такой набор параметров, по которому однозначно можно отличить пустые пласты от нефтенасыщенных. Такой набор параметров может быть и значительным по количеству и труднодоступным для измерений, но должен существовать наверняка, ибо мы точно знаем, что нефть — это не вода.
      Если параметры выбраны удачно, то области Я и Я расположены в разных частях пространства и могут быть отделены друг от друга какой-то поверхностью. Иллюстрацию ситуации вы видите на рисунке 102.
      В двенадцатимерном пространстве все выглядит вполне аналогично, только разделяющая поверхность — одиннадцатимерная.
      Будем пока считать, что нам повезло: параметры выбраны удачно, и области Я и Я разделимы в пространстве параметров. Если бы области Я и Я нам были полностью известны, то было бы нетрудно найти поверхность, их разделяющую. Но на самом деле нам могут быть известны лишь наборы измерений, которые произведены в нескольких уже пробуренных скважинах, да результаты опробований этих скважин. Таким образом, говоря на геометрическом языке, в нашем распоряжении имеются некоторые группы точек из областей Я и Я, и больше ничего нам не известно. Пользуясь только этими данными, надо научиться классифицировать любые другие пласты, которые впоследствии могут появляться, то есть относить соответствующие пластам точки либо к области Я, либо к области Я.
      Теперь логично поступить так же, как и с прямоугольниками. Имеющуюся в нашем распоряжении группу точек из области Я разделим на две части. Так же поступим с группой точек из области Я. Взяв одну подгруппу из Я и одну из Я, используем их для построения разделяющей поверхности — решающего правила. Эти последовательности точек назовем обучающими. Оставшиеся точки используем для проверки качества построенного правила, то есть для экзамена; их будем называть экзаменационным материалом.
      Все дело, конечно, в том, как теперь строить решающее правило — разделяющую поверхность. Выбранный метод должен обеспечить не только принципиальную возможность построения решающего правила, но и построение правила за достаточно малое время (разумеется, машинное время, то есть время, затрачиваемое быстродействующей математической машиной) и последующую классификацию предъявляемого на экзамене материала с малым количеством ошибок. Эти требования противоречивы: чем проще вид разделяющей поверхности, тем легче ее построить. В то же время при более простом виде разделяющей поверхности может оказаться слишком много ошибок. Иллюстрацией здесь служат рисунки 103 и 104, где любая прямая — более простое правило — делит хуже, чем кривая — график многочлена третьей степени.
      Я обманул вас, читатель, сказав, что при построении решающего правила ничего не известно, кроме обучающих последовательностей. Конечно, никаких других точек в пространстве параметров, кроме обучающих последовательностей, в нашем распоряжении нет. Но есть один общий факт, без которого все наши, выводы окажутся бесперспективными. Речь идет о статистической устойчивости. Погода, потребное количество учителей через десять лет или количество заболеваний раком легких могут прогнозироваться лишь на основании прошлого опыта в предположении, что далее «будет происходить нечто подобное», то есть в предположении наличия определенного распределения вероятностей в множестве изучаемых величин.
      Для погоды это совместное распределение вероятностей температур, давлений, влажностей и т. д.: для потребного количества учителей — распределение вероятностей количества рождающихся детей, детской смертности и других величин, определяющих количество детей определенного возраста через десять лет. Для прогноза эффективности выбранного решающего правила — прогноза количества ошибочных заключений при классификации — мало знать количество ошибок на экзамене. Нужно еще быть уверенным, что впоследствии «будет происходить нечто подобное», то есть нужно предполагать заранее, что множество классифицируемых объектов подчинено определенному, хотя нам и не известному, распределению вероятностей. Лишь на основании этого предположения можно строить статистический прогноз.
      Мы уже раньше обсуждали вопрос о том, что не все случайные события обладают статистической устойчивостью. И если проверка подлинности подписи на чеке (в противоположность подделке) с успехом решается посредством программы распознавания образов — здесь имеется четкая статистическая задача, — то при вынесении приговора преступнику, подделавшему чек, нельзя судей заменить подобной программой.
      Я не буду рассказывать о возможных способах построения решающих правил для распознавания образов — это заняло бы слишком много места, хотя и можно о соответствующих методах рассказать популярно. Хочу лишь заметить, что если имеющиеся в нашем рас-
      поряжении параметры не дают возможности всегда однозначно классифицировать объекты и, следовательно, могут привести к ошибкам при любом решающем правиле, то можно все же выбирать правила, обеспечивающие наименьшее количество ошибок.
      Соответствующую ситуацию иллюстрирует рисунок 105, где области Н и П пересекаются. В случае когда появление точек в областях Н и П подчинено равномерному закону распределения, правило классификации, задаваемое пунктирной линией, дает в среднем заметно большее количество ошибок, чем правило, задаваемое сплошной линией.
      Трудно сказать, всегда ли оправдано применение подобных распознающих программ: возможно, что иногда это стрельба из пушек по воробьям, а иногда трудности получения нужных данных столь велики, что не оправдывают использования предлагаемых методов.
      Но в задачах комплексной интерпретации геофизических измерений для выделения нефтеносных пластов, применение распознающих программ привело к значительному эффекту. Например, на легких для «человеческой интерпретации» месторождениях Татарии, где геофизики-интерпретаторы допускают 5 — 6 процентов ошибок, интерпретация, использующая программы распознавания образов и построенная с помощью современной математической машины, дала около одного процента ошибок. На материалах нефтяного месторождения Жетыбай рядовые геофизики-интерпретаторы, работающие на промысле, допустили на имевшемся в нашем распоряжении материале 35 процентов ошибочных заключений; высококвалифицированные геофизики с помощью новейших методов и средств «человеческой интерпретации» дали 22 процента ошибочных заключений. В то же время машинная интерпретация с помощью программы распознавания образов на том же материале привела лишь к 6 процентам ошибок. Эффект, как видите, разителен.
      Следует подчеркнуть, что при интерпретации геофизических данных с помощью программы распознавания образов на самом деле использовать математическую машину нужно лишь на этапе выбора правила классификации. После того как правило выбрано, интерпретация сводится к простейшим арифметическим операциям умножения и сложения чисел. Именно, нужно значения замеренных в пласте параметров расположить в определенной последовательности, умножить каждое из значений на соответствующий коэффициент и полученные числа сложить. Если сумма окажется больше некоторого заранее назначенного числа (как говорят, порога) — например, больше единицы, то принимается решение о нефтеносности исследуемого пласта, если же эта сумма меньше того же числа, то принимается решение — пласт пустой. Конечно, такие простые операции можно провести на конторских счетах или путем сложения столбиком, и их может произвести каждый, кто с успехом окончил неполную среднюю школу и еще не забыл сложение и умножение.
      Сейчас эти методы машинной интерпретации кое-где уже внедрены в практику промыслового бурения.
     
      Кое-что о медицинской диагностике
      Работа по диагностике психических и нервных болезней еще только началась, и трудно предсказать, будут ли эффективными предлагаемые методы в этой достоверного материала о сотнях больных с ответом на множество вопросов о каждом — весьма трудоемкая работа. Анкета, о которой шла речь при разговоре математика с психиатром, составлена в нескольких вариантах. В одном из них имеется 130 симптомов, и пока не полностью известно, какие из них существенны для диагностики шизофрении.
      Но прежде чем рассказать о некоторых задачах медицинской диагностики, где применение программ распознавания образов привело уже к определенному успеху, следует более четко пояснить, о какой диагностике идет речь.
      Диагностика болезни — это сложнейший мыслительный процесс. Нужно по жалобам больного, на основании его опроса и обследования представить себе возможный круг заболеваний. Затем провести дополнительные исследования, которые могут прояснить картину, выбрать метод лечения и, по ходу течения болезни, менять в нужном направлении лечение.
      Когда пациент жалуется на боль в руке, то это может быть и заболевание нервной системы, и результат
      нарушения деятельности сердечно-сосудистой системы, и заболевания мышц, и т. д. Пока не известно, как с помощью математических методов подобраться к таким общим вопросам диагностики. В настоящее время методы распознавания образов дают лишь возможность формализовать и решать задачи дифференциальной диагностики. Я сейчас поясню более точно, о чем идет речь.
      В клинической практике все многообразие заболеваний сравнительно легко разделяется врачом на ряд заметно отличающихся друг от друга групп. Каждая из этих групп состоит из нескольких сходных по симптоматике заболеваний. Затем возникает задача определения уже точно одного из этой группы — задача диф-ференцировки. Именно дифференциальная диагностика представляет подчас значительные трудности даже для весьма квалифицированных клиницистов, и поэтому созываются консилиумы — совещания врачей разных специальностей. Впрочем, эти крайние меры коллективного обсуждения тоже не всегда приводят к спасению пациента. Но бремя ответственности за ошибочное решение для участников консилиума оказывается менее тяжким. Как вы понимаете, это тоже кое-что значит: вспомните наши рассуждения о выборе критерия и принятия решения.
      Обсуждение задачи дифференциальной диагностики в этой книжке вовсе не указывает на какую-либо глубокую связь между дифференциальным исчислением и дифференциальной диагностикой. Дифференцировка — это дробление целого на части, разделение сложного на простые элементы. А уж будут ли элементы представлять собой довольно абстрактные интервалы на числовой оси или вполне конкретные симптомы болезней — туберкулеза, абсцесса или опухоли легких — дело авторов терминологии, приклеивающих прилагательное «дифференциальный» к своим специфическим терминам. Если вы пропустили раздел «Откуда берутся термины», то сейчас очень своевременно его прочитать. Только потом не забудьте вернуться к дифференциальной диагностике — сейчас начинается самое интересное.
      Использование методов распознавания образов для дифференциальной диагностики болезней требует сначала выделения характерных симптомов или синдромов. Это задача медиков. Затем, когда симптомы уже выбраны и собран материал для обучения и экзамена, то есть представлены в достаточном количестве больные каждой из дифференцируемых болезней, производится выработка на машине решающего правила. И наконец, когда уже правило выбрано, можно его использовать на практике.
      И у нас и за рубежом есть много работ по применению методов распознавания образов при диагностике заболеваний. Я не могу рассказать обо всех. Но мне хочется, читатель, заставить вас поверить в эффективность новых методов. И для примера я расскажу о двух работах. Одна проводилась в Ленинграде коллективом кибернетиков — авторов нескольких программ распознавания образов, и врачей-неврологов. Я не могу сказать, что эта работа демонстрирует самые лучшие методы или самые впечатляющие результаты, — она выбрана просто потому, что с авторами и самой работой я знаком.
      Другая работа проводилась коллективом врачей-психиатров из Института психиатрии Академии медицинских наук и моими сотрудниками.
      Было бы весьма нескромно утверждать, что наша работа лучшая из лучших или хотя бы лучше работы ленинградцев. Но признать публично свою работу хуже других тоже рискованно (зачем же ее тогда было делать!), да и едва ли кто-нибудь поверит в столь высокий уровень авторской самокритики.
      Поэтому я не буду расхваливать или хулить разработанные методы и полученные результаты, а положусь на вашу, читатель, проницательность.
      Расскажу сначала о работе ленинградцев.
      Нарушения мозгового кровообращения приводят как к кровоизлияниям в мозговое вещество, так и к размягчениям вещества головного мозга. Причины их различны. Размягчение вещества головного мозга нередко вызывается закупоркой сосудов мозга (тромбозом). Для ликвидации тромбозов больному вводятся в кровь антикоагулянты — вещества, препятствующие свертыванию крови и образованию тромбов.
      При кровоизлияниях применяются прямо противоположные вещества — коагулянты, приводящие к обратным действиям — повышающие свертываемость крови, предотвращающие дальнейшее вытекание крови из сосудистого русла в вещество головного мозга.
      Поэтому ошибки в дифференциальной диагностике размягчений и кровоизлияний могут иметь роковые для больного последствия. Если при размягчении будет ошибочно поставлен диагноз кровоизлияния и назначены больному коагулянты, то процессы закупорки сосудов, образования тромбов будут усилены. Прекращение притока крови к большим участкам вещества головного мозга приведет к их разрушениям, и больной может погибнуть. С другой стороны, если при кровоизлиянии ошибочно установлен диагноз размягчения, то назначение больному антикоагулянтов вызовет еще большее понижение свертывающих свойств крови, ее «разжижение» и, следовательно, усиление кровотечения.
      Вместе с тем решение этой задачи дифференциальной диагностики представляет большие трудности даже для опытных клиницистов-неврологов. Нередко процент ошибочных или неопределенных заключений оказывается очень высоким. Ленинградские кибернетики и неврологи (А. Француз, И. Тонконогий и их сотрудники) изучили 278 случаев клинико-анатомических наблюдений с размягчениями мозгового вещества и кровоизлияниями, возникшими вследствие инсульта при гипертонической болезни, атеросклерозе и ревматическом васкулите. Как показало сравнение данных врачебной диагностики в клинике с результатами последующего патологоанатомического изучения, число правильных врачебных диагнозов составляло 75 процентов, неопределенных диагнозов — 13 процентов и ошибочных диагнозов — 12 процентов. Неопределенный диагноз, то есть ситуация, когда врачи не могут принять никакого решения, для пациента почти то же самое, что и ошибочный диагноз, — не принимается правильных мер для лечения, и больной может погибнуть.
      Кажется удивительным столь малый процент правильных диагнозов в случае столь распространенного заболевания: уж очень не похожи действительные последствия заболевания — закупорка кровотока и противоположное ей кровотечение. Но внешне проявления у больных бывают очень похожи.
      Так, например, потеря сознания или рвота считаются признаками кровоизлияний. Однако эти же симптомы иногда наблюдаются при нарушениях мозгового кровообращения по типу размягчения. Красная, кровянистая окраска спинномозговой жидкости считается характерной для кровоизлияния, а бесцветная спинномозговая жидкость — для размягчений. Но нередко отсутствие изменений в окраске этой жидкости наблюдается и при кровоизлияниях.
      Таким образом, каждый из этих признаков в отдельности встречается при обоих нами обсуждаемых заболеваниях. И по-видимому, единственной надежной методикой постановки диагноза является совместная диагностика по всем симптомам.
      Ленинградские ученые применили методику распознавания образов, используя 25 симптомов болезни. Обучение было произведено на выборке в 100 случаях из имевшихся в их распоряжении 278, а на экзамене по остальному материалу машинная диагностика дала 88 процентов правильных диагнозов. Как видите, применение математических методов привело к значительному повышению надежности диагностики: с 75 процентов до 88. Хотелось бы, конечно, получить все 100 процентов правильных ответов. Но, во-первых, сделаны лишь первые шаги. Во-вторых, может оказаться, что для однозначной диагностики принципиально недостаточны наблюдаемые симптомы, и такая работа подскажет необходимость искать другие определяющие симптомы, прибегать к дополнительным методам обследования. Хочегся в оправдание машинных ошибок еще заметить, что в действительности врач пользуется значительно большей информацией, чем те 25 симптомов, которые закладываются в математическую машину. Врач видит больного и подсознательно фиксирует многое. Но передать машине это многое ему трудно — врачи, как и все другие люди, далеко не всегда хорошо умеют анализировать те сведения и стимулы, на которых основываются их решения.
      Теперь расскажу о нашей работе с психиатрами.
      Дальнейшие контакты привели к постановке задачи несколько отличной от той, о которой шла речь выше в разговоре с психиатром.
      Шизофрения — болезнь, часто начинающаяся или впервые проявляющаяся в юношеском возрасте. Ее течение бывает различно. Одна из форм этой болезни,, при которой ее симптомы наблюдаются в течение всей жизни, называется непрерывной. Но и при непрерывной шизофрении, начавшейся в юношеском возрасте, течение болезни может протекать по-разному, и врачи различают три формы: текущую вяло, наиболее тяжелую и некоторую промежуточную по тяжести. Эти три формы будем называть вялой, средней и тяжелой.
      Мы занялись задачей прогноза заболевания непрерывной юношеской шизофренией: нужно по данным начального периода болезни предсказать ее развитие через 15 — 20 лет. Позже я расскажу об этом подробнее.
      Работа протекала следующим образом. В наше распоряжение предоставили большой статистический материал: истории болезни более чем 800 больных с давностью заболевания 13 — 15 и более лет и сравнительно одинаковым возрастом начала заболевания. Для каждого больного был тщательно клинически проанализирован начальный этап болезни (первые 3 — 5 лет) и выделены его характерные симптомы. Затем было выделено 130 двоичных признаков (симптомов), и на каждого больного была заполнена карта, содержащая эти 130 признаков. При наличии признака в карте записывались 1, а при его отсутствии — 0. В качестве признаков брались симптомы психического заболевания в их наиболее элементарном виде и трактовке, известной широкому кругу психиатров, с той целью, чтобы у врача не было сомнений, что записать в каждую графу.
      Рассказывать о психических болезнях, об симптоматике их трудно и небезопасно. Обычно читатель, понахватавшись терминов и не дав себе труда осознать их, начинает сразу же диагносцировать свое мрачное настроение после какого-нибудь скандала, обычную рассеянность либо восторженность как соответствующие психические симптомы и даже подчас болезни.
      Когда эта диагностическая анкета появилась в нашей лаборатории, сплошь состоящей из молодых, в основном веселых и жизнерадостных людей, все они активно занялись самодиагнозом, заполнили графы анкеты нулями и единицами (на своем уровне их понимания!) и, естественно, большинство причислило себя, под общий хохот, к разным формам больных шизофренией.
      Но не всякий читатель может отнестись к своему собственному заключению юмористически. Поэтому я уклонюсь от описания симптоматики шизофрении и остановлюсь лишь на деталях, полезных для понимания методов работы и ее результатов.
      В соответствии с принятой классификацией все больные по их состоянию здоровья в конце периода наблюдения, то есть спустя 15 лет, были отнесены к одной из трех упомянутых форм. Эта работа отняла, конечно, много времени. Параллельно создавался алгоритм классификации, который был бы в состоянии справиться со столь большим исходным материалом. Действительно, как это уже понятно читателю, если бы все варианты расположения нулей и единиц в анкете могли бы встретиться в жизни, то таких вариантов было бы 2130, то есть более чем 1040, — число вариантов, не доступное не только никакой математической машине, но и вообще нашему пониманию. (Если допустить, что вокруг каждой из звезд вселенной вращается планета с тремя, как и на Земле, миллиардами людей, и все бы они были шизофрениками, то их общее количество было бы неизмеримо меньше 1040.)
      Построение программы классификации и ее отладка на большой электронной вычислительной машине тоже было не легкой работой. Но теперь мы имеем возможность обрабатывать экспериментальный материал, содержащий несколько сот двоичных признаков. А этого, по-видимому, достаточно для решения практически любой задачи классификации обсуждаемого здесь типа.
      Разработанные правила классификации опирались на записанные в диагностической карте признаки и их сочетания по два и по три. Впрочем, программа дает возможность использовать и более сложные сочетания признаков.
      При построении правила обучение проводилось на выборках по 40 — 60 больных каждого из трех классов; остальные диагностические карты использовались для проверки правила — для экзамена.
      При создании диагностического правила машина отобрала наиболее информативные признаки, которых оказалось 36 из 130, а они легли в основу построенного правила. Остальные признаки временно игнорировались. Однако классификация на основе лишь этих 36 признаков дала хорошие результаты: 92 — 94 процента ответов оказались правильными. Замечу, что большинство отобранных признаков и их сочетаний хорошо согласуется с клиническими представлениями.
      Интересно было бы сопоставить наши результаты с прогнозом специалистов-психиатров, если бы им была предоставлена возможность прогнозировать состояние больных по той же анкете или даже только по признакам, отобранным в процессе построения правила. Мы этого, к сожалению, не сделали, так как трудно было организовать такой «экзамен». Но наши коллеги-медики говорили, что предсказания врачей дали бы значительно меньший процент правильных прогнозов.
      Теперь стоит сказать несколько слов о самой проблеме прогноза течения болезни на много лет вперед.
      Очевидно, весьма важно уметь оценить тяжесть будущего течения болезни по начальным ее проявлениям. Это особенно существенно для таких областей медицины, как психиатрия или онкология, где пока точно не раскрыта природа болезненного процесса и о развитии процесса (и прежде всего шизофрении) можно судить лишь по характеру и последовательности появления определенных патологических симптомов. От правильности прогноза зависит своевременность лечебных мер, а для ряда категорий больных — и рекомендаций социально-трудового характера. Кроме того, скажем, для психиатрии немаловажная проблема — предсказать количество потребных больничных коек через пять, десять или пятнадцать лет, а это существенно зависит от прогноза течения болезни у больных, находящихся сегодня под наблюдением.
      Итак, полученные нами фактические результаты решения задачи классификации — задачи прогноза состояния больных непрерывной юношеской шизофренией — оказались неплохими. Однако эти результаты, с моей точки зрения, не самое главное. Более важным мне представляется другое. Как уже было выяснено в разговоре с психиатром, в диагностике психических заболеваний очень много субъективного. Использование же формализованных правил классификации позволяет сделать диагностику более объективной, ибо такие правила автоматически опираются на коллективный опыт и могут уточняться с увеличением имеющегося достоверного материала. А это дает возможность поставить всю проблему дифференциальной диагностики на новый, более высокий уровень. Конечно, потребуется огромная работа коллектива врачей и математиков, но уже видно, что игра стоит свеч. Далее, использование подобных диагностических алгоритмов, возможно, приведет к сокращению и упрощению обследования за счет более четко
      сформулированного, измельченного вопросника диагностической карты.
      Те же программы дают возможность сопоставить традиционные методы обследования с новыми: физиологическими, биохимическими, электроэнцефалографи-ческими и т. д., и определить информативность последних. Они же помогают проверять эффективность методов лечения, ибо это тоже задачи классификации.
      Не пора ли заменить врача диагностической машиной?
      Если математические методы могут дать более высокий процент правильных диагнозов, не пора ли уволить врачей и поручить математикам медицинскую диагностику?
      Я думаю, врачи могут спать спокойно. Не следует считать, будто роль врачей — это лишь постановка диагноза. У них есть еще более трудные задачи — вылечивать больных, решать важные проблемы профилактики и многое другое.
      Но, может быть, именно диагностику следует уже забрать у врачей и передать математическим машинам? Без участия врача ни о какой машинной диагностике не может быть и речи: именно врач должен отобрать важные симптомы. И если он иногда ошибется при оценке информативности тех или других симптомов, то это вовсе не означает, что его можно вовсе исключить из игры. Как раз наоборот: нужно передать врачам диагностические машины для облегчения и повышения эффективности их труда. Но здесь есть одна опасность, и из-за нее я и решился написать этот, казалось бы, вовсе не нужный раздел.
      На самом деле человек — врач — представляет собой великолепную диагностическую машину. Я надеюсь, врачи не только не обидятся на меня за такое сравнение, но воспримут как высшую похвалу. Однако следует сразу оговориться: врач должен уметь наблюдать больного, должен не только смотреть и слушать, но видеть и слышать.
      Как-то мы обсуждали вопросы медицинской кибернетики с Б. Е. Вотчалом — великолепным врачом-терапев-том, эрудированным ученым и очень умным человеком. Действительный член Академии медицинских наук, профессор Вотчал не только придумывает приборы для исследований, но и любит их делать своими руками. Он активный пропагандист новой техники в медицине, председатель авторитетных комиссий по этим вопросам. Поэтому его мнение о роли электроники в медицине особенно интересно. Так вот, он утверждает, что в настоящее время электронные приборы и кибернетическая аппаратура подчас не помогают врачу, а вредят — врач больше доверяет электронным приборам, чем своим глазам и ушам. И поэтому, вместо того чтобы как следует слушать и простукивать больного, врач смотрит на электрокардиограмму и считает ее данные приговором в последней инстанции. Конечно, подобные замечания относятся не только к электрокардиографии, но в равной мере к любым другим методам обследования больного, в которых роль врача все дальше отодвигается на второй план.
      Я вовсе не призываю врачей выкинуть все новые методы обследования больного и вернуться к добрым, старым временам земского врача — я настаиваю лишь на необходимости при диагностике заболеваний стрелять из всех орудий. А глаза, руки, уши врача — это велико1 лепные приборы, созданные природой. Поэтому не следует машины использовать вместо врачей или врачей вместо машин — нужно использовать их вместе.
     
      Что наша жизнь? Игра...
      Так начинается известная ария Германа из оперы «Пиковая дама», сплошь состоящая из афоризмов.
      Хотя другие его лозунги вызывают серьезное сомнение, с этим не согласиться нельзя. И вот почему.
      В течение жизни мы нередко сталкиваемся с ситуациями, в которых участники имеют различные интересы и идут различными путями для достижения своих целей. Мы написали — целей, а не цели, так как участников может быть сколько угодно и у каждого своя цель.
      Такие ситуации часто называют конфликтными, а математическую модель подобной обстановки называют игрой. Теперь вы видите, сколь верна первая фраза арии Германа, хотя автор либретто оперы небось имел в виду нечто другое.
      Давайте вспомним еще одну драматическую ситуацию — дуэль Ленского и Онегина:
      Плащи бросают два врага. Зарецкий тридцать два шага Отмерил с точностью отменной, Друзей развел по крайний след, И каждый взял свой пистолет. «Теперь сходитесь».
      Хладнокровно, Еще не целя, два врага Походкой твердой, тихо, ровно Четыре перешли шага,
      Четыре смертные ступени.
      Свой пистолет тогда Евгений,
      Не преставая наступать,
      Стал первый тихо подымать.
      Вот пять шагов еще ступили,
      И Ленский, жмуря левый глаз, Стал также целить — но как раз Онегин выстрелил... Пробили Часы урочные: поэт Роняет, молча, пистолет.
      Дуэлянты имели различные цели. Естественно предположить, что Ленский хладнокровно относился к возможности погибнуть, но хотел наказать обидчика; Онегин стремился сохранить свою жизнь и вовсе не был заинтересован в гибели противника. Они могли произвести лишь по одному выстрелу; и каждый из них, идя навстречу другому, мог выстрелить на первом шаге, на
      втором, на третьем и так далее вплоть до стрельбы непосредственно от барьера. Итак, каждый мог выбрать один из моментов выстрела — одну из шестнадцати стратегий — так в математической теории игр называют возможные действия каждого из участников (шестнадцать шагов у каждого дуэлянта).
      Обратимся к задаче, также имеющей драматическую окраску, но все же обычно не ведущей к столь катастрофическим последствиям, как дуэль, — к защите диссертации. Здесь простейшая математическая модель — игра диссертанта и оппонента. При самом грубом рассмотрении этой игры у диссертанта есть две стратегии: написать хорошую или плохую диссертацию, а у его оппонента тоже две стратегии: дать положительный или отрицательный отзыв.
      Диссертанту проще, конечно, написать плохую работу, но в этом случае более вероятна отрицательная рецензия оппонента, и тогда цель — получение ученой степени — не будет достигнута.
      Но оппоненту легче лишь пролистать работу и написать положительный отзыв. Однако если он напишет положительный отзыв на совсем скверную работу и это выяснится во время публичной защиты, то оппонент потерпит определенный ущерб — его научный престиж будет подорван. Диссертант не знает, какую стратегию выберет оппонент. Он должен всесторонне оценить свое положение и выбрать стратегию.
      Каждый из игроков может выбрать для себя какую-то стратегию — одну из возможных. Всякий набор возможных стратегий (по одной для каждого из игроков) будем называть ситуацией. Например, возможна ситуация: диссертант выбрал стратегию — писать плохую диссертацию; оппонент выбрал стратегию — отрицательный отзыв.
      Естественно ввести количественный критерий — меру предпочтительности для каждой из возможных ситуаций. Игроку придется расплачиваться при неудачном выборе стратегии, и он что-то приобретает при удачном выборе. Поэтому меру предпочтительности часто называют выигрышем. Конечно, игра не всегда приводит к приобретениям; и если ситуация привела вас к проигрышу, то это соответствует отрицательному выигрышу. Впрочем, в некоторых задачах в качестве меры предпочтительности стратегии берутся потери, и тогда удачная
      ситуация, ведущая к выигрышу, соответствует отрицательным потерям.
      Следует заметить, что в наших примерах приобретения одного из игроков вовсе не равны потерям другого, так что на самом деле их интересы хотя и различны, но не противоположны, как это бывает, например, в азартных играх.
      У нас с вами, читатель, также идет игра. Вот мои стратегии: я пишу хорошую, посредственную или скверную книжку. Ваши стратегии: вы ее читаете от корки до корки, внимательно просматриваете или поверхностно пролистываете. Это так называемая игра 3X3, ибо у меня три стратегии и у вас их три.
      Если же после чтения от начала до конца вы пишете рецензию. восторженную, прохладную или разгромную, а после просмотра либо швыряете книжку в угол, либо дарите родственникам, то у меня по-прежнему три стратегии, а у вас уже шесть, и это игра ЗХб.
      В нашей с вами игре вы платите в кассу, покупая книжку, и тратите время на ее чтение, а я могу поплатиться даже в том случае, когда мне кажется, будто написана хорошая книжка. Поэтому далее будем говорить как о выигрышах, так и о потерях. Как видите, в нашей игре мы расплачиваемся совсем по-разному, так что в одной и той же игре потери разных игроков могут измеряться в различных единицах.
      Всякую такую игру двух лиц с конечным числом стратегий удобно представить в виде таблицы — матрицы выигрышей, где строки будут соответствовать стратегиям первого.игрока, столбцы — второго. Ниже вы видите пример такой матрицы для игры 2X2 — диссертанта и оппонента:
      Положительный отзыв 4 3
      Отрицательный отзыв — 4 — 2
      Числа, стоящие в клетках матрицы, означают здесь выигрыши диссертанта для каждой из ситуаций. Эти выигрыши взяты, конечно, в условных единицах, ибо мы пока не знаем, как же количественно выразить восторг диссертанта при благополучном исходе защиты или его горе при провале.
      Матрица выигрышей оппонента может выглядеть совершенно иначе, и вот пример такой матрицы:
      Уже ясно, почему велики потери оппонента при положительной оценке плохой диссертации. Но дать отрицательный отзыв даже на плохую работу, а уж тем более на хорошую оппоненту не очень-то приятно: как правило, люди не хотят выступать в роли того соседа, которого приглашают, когда надо резать курицу. И если оппоненту не удается выйти своевременно из игры и ему прйходится писать отрицательный отзыв, то он терпит какой-то ущерб. В данном случае я оценил соответствующий выигрыш числом — 3. Наилучшая ситуация для оппонента — положительный отзыв при хорошей диссертации, и поэтому выигрыш оппонента здесь положительный — для него это хоть и не очень большой, но выигрыш. Если посмотреть теперь внимательно на матрицу выигрышей, то становится ясно, почему обычно возникают затруднения при подборе оппонентов.
      В нашем примере выигрыши (и потери) оцениваются в условных единицах. Но в азартных играх или при анализе многих экономических вопросов выигрыши выражаются в деньгах, в военном деле потери — это и есть потери сторон, в технических проблемах потерями могут быть, например, время ремонта или простоя обо-
      рудования. Таким образом, выигрыши могут выражаться в самых различных единицах.
      В игре может быть, конечно, сколько угодно участников. Например, в нашей с вами игре, читатель, на самом деле очень много участников — это все читатели моей книжки. При этом у читателей разные интересы, подготовка и цели: одни хотят из книжки почерпнуть что-то новое и важное, другие — немного отвлечься от своих дел, третьи... Не стоит обо всех говорить — я тоже не всегда могу объяснить, зачем просматриваю попавшую в руки книжку по генетике или архитектуре.
      В качестве участника не всегда следует рассматривать каждое отдельное лицо. При игре в футбол естественно считать, что участников два — это две команды, а война, в зависимости от рассматриваемой задачи, превращает в участников игры государства или даже группы государств, но участниками могут быть и отдельные армейские подразделения.
      Цель игры для каждого из участников — выбор такой стратегии, при которой его выигрыш будет наибольшим из возможных. И все было бы просто, если бы игроку было известно, какие стратегии выбрали другие участники. В этом случае он рассмотрел бы все ситуации, в которые входят выбранные другими участниками стратегии, и выбрал бы себе ту стратегию, при которой его выигрыш максимален. Но игрок не знает, какие стратегии выбрали его противники, и в этом-то заключаются трудности, интерес и иногда азарт игры.
      Среди всевозможных игр наиболее простыми оказываются игры с двумя участниками, у которых противоположные интересы: в каждой партии игры потери одного из участников равны (с обратным знаком) выигрышу другого. Такие игры иногда называют антагонистическими. Но я не буду пользоваться последним термином, дабы не вносить путаницу в понятия, которыми, как видите, пользуются не только в философии, но и в математике.
      В этом случае сумма выигрышей игроков (выигрыша и потери — отрицательного выигрыша) всегда равна нулю. Поэтому такие игры будем называть нулевыми играми.
      Следует заметить, что нулевая сумма игры — это весьма существенное ограничение. Даже в столь острых конфликтах, как военные, оно не имеет места потери
      одной из сторон вовсе не равны выигрышу другой, тем более что потери сторон могут, как мы уже знаем, выражаться в различных единицах.
      Очевидно, что при задании нулевой игры нет необходимости указывать выигрыши обоих игроков. И поэтому такая игра задается перечислением стратегий обоих игроков и одной матрицей выигрышей.
      Как же найти решение игры? Для каждого из игроков решение игры означает указание такого способа действий, при котором его средний выигрыш за большее число игр будет максимальным. Следует сказать, что мы считаем здесь обоих игроков в равной степени «умными» или «глупыми» — каждый может с одинаковым успехом просмотреть всевозможные ситуации и оценить размеры бедствия.
      В правилах нашей игры, конечно, следует оговорить, что стратегия, выбранная в данной партии игры каждым из участников, не известна его противнику.
      Если каждый из противников будет действовать в соответствии с теорией игр, то он должен всякий раз выбирать такую стратегию, при которой получается максимально возможный выигрыш в случае наименее благоприятного действия противника.
      Можно интерпретировать нулевую игру как выбор точки на местности, причем стратегии игрока А — это выбор географической широты точки, а стратегии игрока В — это выбор долготы. Значением выигрыша
      будет высота выбранной точки над уровнем моря. Если на местности рельеф выглядит как горная цепь в широтном направлении и в ней есть сравнительно низкий перевал, то интересующая нас ситуация равновесия и соответствует этой седловой точке — минимаксу. Поэтому такая стратегия называется минимаксной.
      Если наилучшая стратегия одного из игроков — минимаксная, то есть стратегия, при которой в матрице игры сначала берется максимальное из чисел в каждой строке, а затем минимальное из всех отобранных чисел, то оптимальная стратегия другого игрока — максимин-ная, то есть стратегия, при которой сначала берутся минимальные числа в каждой строке матрицы, а затем максимальные из отобранных. Можно доказать, что всегда максимин не превосходит минимакса. Если же они совпадают, то в игре есть седловая точка — она является одновременно максимином для одного игрока и минимаксом для другого. В этом случае их общее значение называется значением игры.
      Если в игре есть седловая точка и один из игроков выбирает соответствующую ей стратегию, то наилучшей стратегией второго игрока будет также стратегия, соответствующая седловой точке, — любая другая стратегия лишь увеличит его потери.
      Оптимальные стратегии, соответствующие седловой точке, называют чистыми стратегиями. Если в игре есть седловая точка, то нечего от противника скрывать свои замыслы — все равно наилучшее, что могут сделать оба игрока, учитывая, конечно, что их противник достаточно мудр, — это выбрать чистые стратегии. Если же игра не содержит седловой точки, то нет оптимальных чистых стратегий для каждого из участников. Такие игры имеют более сложное решение, и тут противникам, кроме рассуждений, помогает случай. Оказывается, оптимальным поведением здесь будет смена своих стратегий от партии к партии, причем смена случайная, но с определенными вероятностями появления разных стратегий. Эти вероятности могут быть вычислены, если известна матрица игры. Такая стратегия называется смешанной.
      Для того чтобы эти рассуждения не повисли в воздухе, давайте вновь обратимся к игре в монету, немного изменив условия. Теперь игра состоит в том, что вы кладете монету на стол и закрываете ладошкой. Ваш противник должен угадать, положили ли вы ее вверх
      гербом или решкой. Если он угадал, вы платите ему одну копейку, если не угадал — платит он вам. Матрица игры здесь очень проста:
      Но в этом случае минимакс (то есть максимум по строкам и затем минимум по столбцам) равен +1, в то время как максимин равен — 1. Таким образом, здесь нет седловой точки.
      Какой же тактики вы будете придерживаться?
      Самый простой способ — это класть всегда монету одной и той же стороной: например, гербом вверх. Но тогда ваш противник вскоре это заметит и будет неизменно выигрывать. Можно, скажем, поочередно менять герб и решку. Но и это противник скоро обнаружит, и подобный образ действий вновь приведет вас к проигрышу. Если такое чередование достаточно усложнить, но оставить закономерным, то наблюдательный противник все равно это обнаружит и в конце концов разорит вас.
      Следовательно, противника нужно лишить возможности извлекать в течение игры какую-либо полезную информацию о ваших намерениях на будущее. А для этого ваши решения на каждом шагу должны быть случайными и независимыми. И кроме того, вам следует равновероятно выкладывать монету то гербом, то решкой. Нетрудно проверить, что и для вашего противника оптимальной стратегией в этой игре будет такая, при которой он будет называть герб и решку независимо и равновероятно. Таким образом, в описанной игре лучшее, что могут делать противники, это пользоваться для своего решения подбрасыванием другой монеты.
      Это кажется парадоксальным: вместо целесообразного поведения рекомендуется действовать по воле случая без участия «разума». Однако более пристальное рассмотрение показывает, что это не столь парадоксально, сколь неожиданно. Но такая неожиданность обыденна; в течение всей жизни мы открываем для себя новые разумные вещи, о которых раньше не подозревали.
      Хотя наш вывод не выглядит обнадеживающе, в действительности теория игр уже сейчас имеет ряд важных достижений при анализе поведения животных, людей и социальных групп в обществе; при выборе оптимального образа поведения в конфликтной обстановке, когда нет полной информации; при решении проблем, возникающих в военных и экономических, юридических и производственных и многих других ситуациях.
      Однако достижения теории игр состоят не столько в решении конкретных задач, сколько в том, что она указывает людям, имеющим дело с весьма запутанными проблемами, некоторую ориентацию, когда им приходится сталкиваться со сложными конфликтными ситуациями.
      В начале книги разговоры с физиологом привели нас к выводу, что живому организму приходится перестраиваться (менять свое состояние), чтобы решать «еликое множество разнообразных задач, встречающихся на его жизненном пути. Моделирование приспособления живого организма к внешним условиям для решения определенных задач, то есть моделирование целесообразного поведения, идет сейчас по пути теории игр. Речь идет об играх автоматов друг с другом и их играх с «природой», то есть приспособление автомата к изменяющимся по не зависящим от него причинам воздействиям внешней среды.
      Здесь и замечательные работы умершего в 1966 году талантливого советского ученого М. Л. Цетлина о поведении автоматов в «случайных средах», которые интенсивно развиваются его учениками и соратниками, и игра в шахматы математических машин с человеком и друг с другом, моделирование экономических ситуаций, и многое другое. Весь этот круг вопросов очень интересен и перспективен, но подробнее я на этом не могу остановиться, надо кончать — ведь нельзя объять необъятного.
      И поскольку одна из моих задач — привлечь ваше внимание к разделам математики, от которых вам может быть и непосредственная польза, то при случае обратите более пристальное внимание на математическую теорию игр.
     
      За круглым столом с друзьями
      Первыми читателями этой книги были, конечно, мои друзья. Кто прочитал отдельные главы, кто большие части, а некоторые даже всю рукопись.
      Одни сказали, что кое-где затянуто и длинновато, — и я бросился сокращать текст. Другие заметили, что кое-где написано слишком кратко и недостаточно популярно, — я с тем же усердием удлинял и расширял соответствующие места.
      Мягкие и вежливые обратили внимание на слишком резкий тон отдельных страниц и на не принятые в обиходе выражения; более решительные настаивали не только на сохранении остроты полемики, а даже на ее обострении.
      Однажды мы обсуждали рукопись вчетвером. Первый требовал убрать диалоги: ему казалась эта форма непригодной для такой книжки; второй настаивал на их сохранении — это, по его словам, придает документальность; третий заметил, что в диалогах мои собеседники выглядят менее выигрышно, чем я, и это будет приписано самомнению автора. Второй собеседник возразил: «Хотя «Путешествия Гулливера» написаны от первого лица, никто же не думал, что сам Дж. Свифт беседовал с учеными мужами в Великой Академии в Лагадо. А нашего читателя тем более на мякине не проведешь». Тогда первый ехидно заметил, что, наверное, третьему не нравятся диалоги, потому что именно в разговоре с ним автор выглядит умнее собеседника. На что тот ответил, что этот разговор был вовсе не с ним, ибо он никогда не занимался зрительным анализатором...
      Они долго спорили, кто же умнее, кто прав и в чем, забыв меня спросить, кого я имел в виду на самом деле. А когда вспомнили и спросили, то второй собеседник заметил, что спор между ними показал незначительность роли личности в этой полемике и полезность самой полемики. В конце концов мы вместе решили сохранить диалоги.
      Работа над книгой занимала слишком много времени, и мне несколько раз хотелось бросить эту затею. Но мои друзья и родственники не давали пойти на попятный. Ни одно доброе дело не остается безнаказанным.
      Им пришлось не только слушать мои жалобы, но читать рукопись и высказывать свое мнение. И все они внесли какие-то улучшения. Если вы, читатель, дошли до этого раздела, хотя бы просмотрев остальные, то их благородные намерения и труд уже вознаграждены.
      Мне хотелось выразить всем им свою признательность, перечислив здесь фамилии и даже указав вклад каждого из них. Но когда я взялся составлять список лиц, чтобы поблагодарить их за полезные замечания и сочувствие, то понял свою беспомощность — так их много. Я надеюсь, что они простят мне отсутствие здесь персональной благодарности. Что делать!
      За любовь всегда приходится платить либо расплачиваться, а это еще не самая большая их потеря.
     
      Последний разговор с читателем
      Автор должен, наконец, объяснить, зачем он написал книжку, а бедняга читатель тратил время на ее изучение или даже поверхностное пролистывание.
      Эта книжка не самоучитель современной математики, не букварь и тем более не учебник. Она написана для тех, от кого математика отгорожена густой дымовой завесой из формул и графиков, формулировок и доказательств. Преодолеть эту завесу трудно. Нельзя же научиться плавать или играть на скрипке, лишь наблюдая, как это делают другие. Также невозможно без большой самостоятельной работы овладеть математическими методами рассуждений, многочисленными разделами математики и научиться ее применять.
      Но мне хотелось помочь вам, читатель, увидеть, что за этой дымовой завесой на самом деле находятся понятные и занятные, интересные и полезные вещи. Конечно, мне удалось пробить лишь небольшие бреши в густом дыму. Вы увидели только фрагменты, и, быть может, не самые впечатляющие. Но разве, заглядывая в щелку из-за кулис или слушая симфонию через транзистор, можно по-настоящему насладиться искусством?
      Не знаю, удалось ли мне показать вам величие и значение математики и снять с нее ореол таинственности и недоступности. Если вам не лень, ответьте на эти вопросы мне — автору и издательству. Если вам хочется обругать автора, то сделайте это, пожалуйста, с осторожностью: я же старался вас уберечь от травм, которые наносят неподготовленному лицу математические атрибуты. Напомню три различных определения науки математики, принадлежащие великим ученым.
      Фридрих Энгельс: «Математика — это наука, имеющая своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира».
      Давид Гильберт: «Математика — это то, что под этим понимают компетентные люди».
      Уиллард Гиббс: «Математика — это язык».
      Летом 1966 года в Москве проходил IV Международный конгресс математиков. Впервые на этом конгрессе действовала секция по математическим проблемам управляющих систем. Признанный лидер советской, а быть может, и мировой школы теории вероятностей академик Андрей Николаевич Колмогоров, открывая заседания этой секции, сказал примерно следующее: «Математика — это то, посредством чего люди управляют природой и собой».
      Вы, конечно, вынуждены управлять собой, хотите управлять природой и, может быть, руководить другими людьми. Поэтому ваша оптимальная стратегия, по-видимому, сводится к тому, чтобы овладеть математикой либо войти в контакт с математиками и работать с ними вместе.
      И если вы вняли рассыпанным в книжке молитвам и обратились в математическую веру, то примите на вооружение имеющий столь много значений и в то же время вполне однозначный вопрос: «Ну и что?»

|||||||||||||||||||||||||||||||||
Распознавание текста книги с изображений (OCR) — творческая студия БК-МТГК.

 

 

НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru