ФОРМУЛЫ ПРОПУЩЕНЫ, BOЗМOЖНЫ OШИБКИ, СВЕРЯЙТЕ С ОРИГИНАЛОМ
Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времен до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами. Посмотрите на предметы обихода жителя древности. Уже тогда создатели этих предметов преследовали не только чисто утилитарные цели — служить хранилищем воды, оружием в охоте и т. д., но и одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком, покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили свое утилитарное назначение и превратились только в украшения.
Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного сформировалось в самостоятельную ветвь науки — эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Здесь же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, ее основных законов организации. В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира.
Идеи пифагорейцев оказались удивительно живучими. Во всех последующих исследованиях ученые пытались так или иначе найти простые числовые соотношения в самых различных явлениях и структурах; изучение законов .шармонии стало важной частью изучения природы.
Известный теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший десять книг о зодчестве, говорил:
«Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи этих трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии — упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соразмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было вполне совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей».
Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый — красоту в истине.
Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов — от цветка ромашки (разве он не прекрасен?!) до красоты обнаженного человеческого тела. Попытки найти подобные критерии прекрасного в различных видах искусств и природы и составляют предмет эстетики.
«Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы — квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок — беспорядку, йростоту — сложности, определенность — неопределенности. Очевидно в этом проявляется сущность самой жизни, как феномена природы — упорядочение беспорядка (хаоса).
Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому де-
лению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному — «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Мы предпочли использовать первое название, как наиболее точно отражающее сущность этого понятия.
Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является золотой. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. В этом легко убедиться при изучении шедевров древнегреческого искусства.
В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именует ее «Sectio autea», откуда и получил начало термин «золотое сечение». (По мнению белорусского философа Э. Сороко, термин «золотое сечение» идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения делится именно в таком отношении.) Лука Пачоли в 1509 году пишет первое сочинение о золотой пропорции, названной им «божественной». Иоганн Кеплер говорит о ней как о «бесценном сокровище», как об одном из двух сокровищ геометрии.
После И. Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзииг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым». Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого
тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке.
Дать определение золотой пропорции еще не значит ее изучить. Нужно было определить величину этого удивительного соотношения. Она оказалась близкой к 1,6, а если точнее — к 1,62, еще точнее — к 1,618. Более глубокий математический анализ показал, что золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, она отвечает простому математическому выражению (1 + V 5) : 2 и равна 1,6180339...
Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются от поколения к поколению, наполняясь новым содержанием, проявляются в самых разнообразных областях науки, проникают в технику.
К понятию «золотая пропорция» в наибольшей степени подходит определение «формула красоты». Действительно, эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел гармонии природы. Эта пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи и астрономы.
Такая универсальность золотой пропорции не делает ее простой и доступной для изучения. Многое в сущности этой «константы гармоничности» остается неизведанным. Еще неясно, почему Природа предпочла эту пропорцию всем другим — не за ее ли уникальность?
Характерно, что золотая пропорция отвечает делению целого на две неравные части, следовательно, она отвечает асимметрии. Почему же она так привлекательна, часто более привлекательна, чем симметричные пропорции? Очевидно, эта пропорция обладает каким-то особым свойством. Целое йожно поделить на бесконечное множество неравных частей, но только одно из таких сечений отвечает золотой пропорции. По-видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую еще предстоит открыть. Рассмотрение особенностей проявления золотой пропорции — от объектов природы до произведений искусств и составляет предмет книги. Она не претендует на полноту изложения проблемы, так как исследования различных форм проявления золотой пропорции продолжаются и в печати периодически появляются все новые и новые публикации. Автор стремился изложить наиболее интересные факты и закономерности, касающиеся золотой пропорции, в достаточно популярной и увлекательной форме, делающей книгу доступной широкому кругу читателей. Насколько это удалось — судить читателям.
Золотая пропорция — понятие математическое, ее изучение — это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. Неудивительно, что при изложении некоторых мыслей и выводов поэтическая форма оказалась предпочтительной и автор использовал в книге свои стихотворения, относящиеся к рассматриваемой теме. В конечном итоге, искусство — не противник, а союзник науки.
I ЧАСТЬ. ОЗАРЕНИЕ ПИФАГОРА
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении... Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень.
И. Кеплер
Сейчас невозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Очевидно, ее неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.
Пифагор родился в 570 году до и. э. на острове Самосе. В знак протеста против тирании Поликрата он покинул родной остров и отправился в путешествие по странам Востока. По свидетельству историков, он посетил Египет, где попал в плен к персидскому завоевателю Камбизу, и его увели в далекий Вавилон. Здесь жрецы посвятили его в свои науки и дали возможность изучить теорию чисел, музыку, философию.
В зрелом возрасте Пифагор поселился в Кротоне, где основал строго закрытое общество своих последователей («пифагорейский союз»), уже при жизни почитавших его как высшее существо. Теперь уже невозможно разграничить то, что сделано собственно Пифагором, а что является плодом коллективного творчества его учеников и последователей. Пифагорейцам принадлежат выдающиеся заслуги в развитии математики, философии, теории музыки, которые не утратили своего значения и по сей день.
Музыка, гармония и числа — эти три понятия неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев. Математика являлась одной из основ их религии. Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях. Как отмечал Аристотель, пифагорейцы «видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям... элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю Вселенную гармонией и числом».
С именем Пифагора мы со школьной скамьи связываем теорему о сторонах треугольника — «теорему квадратов». Эта теорема удивительно красива: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». В науке немного отыщется столь простых и красивых формул. Существует легенда, что открывший это соотношение Пифагор был восхищен и приказал в честь выдающегося открытия прииесги в жертву богам сто быков. Впрочем, количество быков в других источниках уменьшено до одного. И неудивительно, ведь прошло столько времени!
Кроме знаменитой теоремы и золотой пропорции, Пифагору, по свидетельству историков, принадлежат фундаментальные работы в теории музыки, открытие иррациональных чисел, потрясших основы пифагорейской математики. Пифагором была создана модель Солнечной системы, основанная на аналогии в расположении планет и звуков музыкальной октавы.
Утверждение Пифагора «Все есть число» и было основано на признании фундаментальной роли в природе простых целочисленных величин. Поэтому он и искал закономерности в небольших числах, придавая каждому из них особую, часто мистическую роль. Возможно, что рассмотрение, глубокое и последовательное, простейших геометрических фигур и привело его к открытию математических законов.
Многие математические закономерности, как говорят, «лежали на поверхности», их нужно было увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически. А в этом нельзя было отказать философам древнего мира; ведь все их научное познание строилось на анализе предметов и явлений, установлении связи между ними. В наше время даже трудно представить, что возможно развитие науки совершенно без использования эксперимента, а ведь таковой была наука древнего мира.
Рассмотрим, например, простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 (рис. 1). В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большого — 2. По теореме Пифагора длина гипотенузы в нем равна у 5. Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих сооружениях того периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2: У о.
Рассмотренный треугольник был конечно хорошо известен и Пифагору и мог послужить основой для развития различных математических идей или для их под-тверждения. Величина гипотенузы такого треугольника, равная у 5, могла дать начало открытию несоизмеримых 10
или иррациональных чисел. К тому же число «пять» у пифагорейцев считалось священным и служило своеобразным символом их союза.
Соотношения сторон а, Ь, с данного треугольника очень простые и понятные каждому, знающему основы геометрии: a/b = 1 :2, с/а = V 5/1, c/b = V 5/2. Однако из этих величин следует и еще одно отношение (а+с)/Ь=(1 + )( 5)/2, равное 1,618033 Это и есть золотая пропорция, которую обычно обозначают буквой Ф. Как видим, эта замечательная пропорция буквально лежала на поверхности — ее нужно было только увидеть.
В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры — квадрат или прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. Если с середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией. Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1 :2 : V 5. Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе, и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией (рис. 1). Несколько золотых пропорций образуются при построении десятиугольной фигуры.
Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1 :2 мог послужить основой для открытия теоремы квадратов, золотой пропорции и несоизмеримых величии — великих открытий Пифагора.
Изложенная последовательность раскрытия закономерностей треугольника с отношением сторон 1 :2 является безусловно сугубо предположительной, но не лишенной внутренней логики. Конечно, в действительности последовательность рассуждений Пифагора, приведшая его к великим математическим открытиям, была иной. Легче прийти к теореме квадратов исходя из рассмотрения прямоугольного треугольника со сторонами 3:4:5, который был известен с давних времен и назывался «совершенным», «священным египетским», «треугольником Пифагора» или Плутарха. Иранские архитекторы
времен Ахеменидов и Сассаиидов применяли этот треугольник при вычерчивании профиля своих эллиптических куполов.
Треугольник со сторонами 3:4:5 входит в число целого ряда прямоугольных треугольников, именуемых в древности «божественными», для которых справедливо отношение: а2+Ь2=с2, где а, Ь, с, — целые числа. Вот некоторые из этих треугольников:
52=42+32. 132= 122+52; 252=242+72.
По существу, закономерности отношений сторон в этих треугольниках и выражают собой теорему, которая позже получила название теоремы Пифагора. Знал ли Пифагор такие треугольники, или открыл их заново, или же, перейдя от этих «божественных» треугольников к другим, распространил указанную формулу на все прямоугольные треугольники, открыв при этом иррациональные числа и золотую пропорцию?
Никто уже не ответит на эти вопросы. В истории науки нередки случаи, когда какие-либо открытия забывались, терялись и вновь возрождались другими учеными, и об их действительном авторстве можно только предполагать. Как указывает Матила Гика, китайцы уже в XI веке до н. э. были знакомы с теоремой 52= = 42+32.
Плутарх отмечает, что площадь треугольника со сторонами 5:4:3 равна шести, а кубическое число этой площади равно сумме кубов сторон треугольника: 63= = 53+43+З3. Было предложено применять отношение 52=42 + 32 в числе инвариант для создания первого «логического контакта при наступлении эры межпланетной сигнализации».
Нетрудно доказать, что существует только один прямоугольный треугольник, стороны которого (х, у, z) образуют геометрическую прогрессию: z/y=y/x. В этом треугольнике отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф, а два других отношения сторон (z/y и у/х) отвечают корню квадратному из золотой пропорции. Это — удивительный «золотой» треугольник, он является ярким выражением золотой пропорции. С ним мы еще не раз будем встречаться в книге. Читатель может убедиться, что красивы могут быть не только произведения высокого искусства, творения Природы, но и геометрические фигуры, даже математические формулы.
Рассмотрим одно семейство равнобедренных тре-
угольников, построенных по правилам золотой пропорции: остроугольный — с углами 36°, 72° и 72° и тупоугольный — с углами 108°, 36° и 33°. Из рисунка 2 видно, что остроугольный треугольник ABC разбивается на три треугольника золотой пропорции. В них стороны равны: АД= 1, ДВ=Ф, ВС=АВ=Ф+1 =Ф2, АС=АЕ=Ф.
Интересен еще один замечательный треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90°, 54° и 36°, а их отношение составляет 5:3:2. В этом прямоугольном треугольнике отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции Ф/2. Это отношение отвечает равенству Ф/2=Соб 36°. Отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с числом п:
Эта простая и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой пропорцией. Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой пропорции, о ее родстве с таким универсальным числом, как «пи»? Характерно, что в рассмотренном треугольнике отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5:3:2 (где величина одного угла равна сумме двух других), а отношения сторон несоизмеримы. Что кроется в этой «таинственности числовых соотношений»?
В формуле ф = = 2 Cos-- дважды встречается число «пять». И угол 36° является углом при вершинах пятиконечного звездчатого многоугольника. Очевидно, не случайно число «пять» у пифагорейцев считалось священным, а пятиугольная звезда — символом союза пифагорейских философов и математиков. Оно же считалось в древности символом жизни, и мы увидим в дальнейшем рассказе, как часто это число встречается в строении различных растений и животных.
Геометрию пятигранника и звездчатого пятиугольника изучали многие математики. Мы не будем излагать их изыскания, отметим лишь, что эти фигуры буквально «нашпигованы» золотой пропорцией; она проявляется здесь в десятках различных соотношений. В изображенном рисунке 3 среди отрезков HJ, EH, EJ, ЕВ отношение каждого последующего к предыдущему равно золотой пропорции». Пачоли нашел в пяти Платоновых телах — отрезков ЕВ/ЕА, AJ/JK, AK/AJ. Здесь же содержится треугольник с углами 90°, 54° и 46°, который мы рассмотрели выше. Нет, неспроста пифагорейцы выбрали пятиугольник символом своего научного сообщества!
В 1509 году в Венеции современник и друг Леонардо да Винчи Лука Пачоли издал книгу «О божественной пропорции». Пачоли нашел в пяти Платоновых телах — правильных многоугольниках (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) тринадцать проявлений «божественной» пропорции. В главе «О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» он рассматривает правильный икосаэдр. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, образуя правильный пятиугольник. Если соединить между собой любые два противоположных ребра икосаэдра, получится прямоугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большей.
Таким образом, золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые, по представлениям ученых древности, лежат в основе мирозданья. Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников — тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.
Платон писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи». Конечно, это была интуитивно созданная, построенная на геометрических представлениях, картина мироздания. Она была чисто умозрительной, лишенной физической и экспериментальной основы. Ее главное и единственное преимущество заключалось в геометрической красоте. Но вот что примечательно. Французский геолог де Бе-мон и математик Пуанкаре считали Землю деформированной в форме додекаэдра. По гипотезе советского геолога С. И Кислицииа, около 400—500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в геоикосаэдр. Переход из одной кристаллической формы в другую был неполным; геододекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. Теория структуры воды, предложенная в 1933 году Берналом и Фаулером, основана на водородной связи молекул воды, расположенных по тетраэдру. Химик Г. Г. Маленков пришел к выводу, что вода имеет структуру пентадодекаэдра. Удивительно близко к интуитивной гипотезе Платона!
Еще одна геометрическая фигура широко распространена в живой природе — это спираль. Спираль присутствует во многих живых организмах, растениях и животных. Гёте считал спираль математическим символом жизни и духовного развития. Если в логарифмической спирали из центра О провести прямую, то образующиеся отрезки ОА, ОВ, ОС, ОД и т. д., полученные при пересечении прямой с витками спирали, образуют геометрическую прогрессию. Сохраняется справедливым соотношение:
Отрезки радиуса, заключенного между последовательными завитками спирали, также образуют прогрессию с отношением АВ/ВС=ВС/СД=... =п. Частным случаем спирали является такая, которая отвечает значению п, равному Ф, то есть золотой пропорции. Такая спираль обнаружена в образцах ионийской валюты. Ее назвали «кривой гармонического возрастания».
Золотая пропорция встречается и в других геометрических фигурах. Так, для квадрата, вписанного в полукруг, точка В делит отрезок АС в золотой пропорции: АС/ВС = ВС/АВ = Ф= 1,618... (рис. 4).
Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна радиусу, деленному на золотую пропорцию.
Интересные закономерности пропорций обнаружил И. Шевелев в построениях прямоугольника, вписанного в полуокружность. Если в прямоугольнике со сторонами 1:2 провести диагональ и описать полуокружность радиусом, равным диагонали, то получим фигуру, в которой содержатся интересные пропорции (рис. 5). По мнению И. Шевелева, отношения этой фигуры содержат пропорции египетских пирамид, греческого храма Парфенона, размерностей русских саженей, римского пасса, морской сажени и золотой пропорции.
Мы рассмотрели проявление золотой пропорции в самых различных геометрических фигурах, начиная от простого прямоугольного треугольника. Но остался неясным вопрос об авторстве. Является ли Пифагор первооткрывателем этой замечательной пропорции? Весьма сомнительно. Ямвлих во «Введении в Никомахову арифметику» говорит, что Пифагор нашел золотую пропорцию и что этому... он научился у вавилонян.
Имя Пифагора еще при его жизни обросло легендами, чему способствовал и он сам, рассказывая, например, что является сыном бога Аполлона, что у него золотое бедро и т. п. За многие столетия, прошедшие после его смерти, количество легенд не поубавилось, а количество достоверных сведений о нем возросло незначительно, да и то лишь со слов ученых, живших значительно позже Пифагора. Сами труды Пифагора по математике, музыке, философии не сохранились; о них можно судить лишь на основании более поздних публикаций ученых древности. Как указывает Б. Л. ван дер Варден, «...мы кое-что знаем о музыкальной теории Пифагора, почти ничего не знаем о его теории чисел, о его астрономии — еще меньше, о его геометрии, если рассудить толком, — ровно ничего».
Многие историки сомневаются даже в том, что знаменитая теорема квадратов открыта Пифагором. Греческий философ Прокл, например, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору, рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Ветрувий же полагает, что бык пал жертвой открытия прямоугольного треугольника со сторонами 3:4:5. Однако известно, что Пифагор был непримиримым противником убоя и жертвоприношений животных, в особенности крупного рогатого скота.
В наше время известно, что за 1200 лет до Пифагора эта теорема уже приводилась в клинописных текстах Междуречья. Вполне возможно, что Пифагор узнал о «своей теореме» во время длительного вынужденного пребывания в Вавилоне. Вполне возможно, что Пифагор мог, по рассеянности (все великие ученые страдают этим пороком!) или с целью приумножения «лары своей родины выдать приобретенные им в Египте и Вавилоне математические знания за свои оригинальные открытия. Существовал ведь некий декрет, по которому даже авторство всех математических работ пифагорейского союза приписывалось Пифагору.
Но если сомнительно авторство Пифагора в теореме квадратов, названной его именем, то тем более сомнительным является открытие им золотой пропорции. В своих длительных путешествиях по странам Востока Пифагор мог позаимствовать и это открытие. Ведь и звездчатый пятиугольник, ставший символом союза пифагорейцев, можно увидеть на древних вавилонских рисунках.
Эстафета знаний древности ведет от Греции к Египту, а от него к Вавилону. Но ведь и знания народов Двуречья не возникли на пустом месте, их корни также уходят в другие эпохи и другие страны.
В поисках истоков золотой пропорции следует прежде всего направиться в Древний Египет, к его загадочным пирамидам — хранилищам многих неразгаданных тайн.
ТАЙНЫ ЕГИПЕТСКИХ ПИРАМИД
Все на свете страшится времени, время страшится пирамид.
Арабская пословица
Бесконечное, однообразное море песка, редкие высохшие кустики растений, едва заметные следы от прошедшего верблюда заметает ветер. Раскаленное солнце пустыни... И оно кажется тусклым, словно покрыто мелким песком.
И вдруг, словно мираж, перед изумленным взором путешественника возникают пирамиды — фантастические фигуры из камня, устремленные к солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих относили к одному из семи чудес света.
О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший>юС©пласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегаю-
щих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.
Обращаясь к своему войску перед «битвой у пирамид» во время египетской кампании, Наполеон патетически воскликнул: «Солдаты! На вас смотрят сорок веков!» При этом он «украл» у пирамид около пятисот лет. Фундамент первой из пирамид Египта был заложен в начале XXVII века до н. э., строительство последней было завершено примерно в конце XVIII века до н. э. К тому времени, когда в Афинах обосновались первые греки, нынешняя самая высокая пирамида простояла почти тысячу лет; ко времени легендарного основания Рима ей было почти две тысячи лет.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса (Хуфу). Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т. п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись досужей выдумкой. В попытках найти сенсационные открытия многие авторы публикаций забывали о создателях пирамид и их времени и начинали извлекать корни, возводить в степени размеры пирамид, выраженные в метрах и миллиметрах. Словом, происходило то, что позже стали называть «пирамидо-манией».
Власть фараона в Древнем Египте была огромной, ему воздавали божественные почести, называли большим богом. Бог-фараон был покровителем страны, вершителем судеб народа. Культ умершего владыки приобретал огромное значение в египетской религии. Для сохранения тела покойного фараона и его духа и возвеличивания власти фараона сооружали гигантские пирамиды.
Очевидно, назначение пирамид было многофункциональным. Они не только служили усыпальницами фараонов. что, кстати, гарантировало их строителям «финансирование» работ, обеспечивало их рабочими и стройматериалами и в то же время безбедную жизнь зодчих, художников, распорядителей работ и т. д. Пирамиды, являясь грандиозными сооружениями древности,
оказывались атрибутами величия, могущества и богатства страны, свидетельством достижения науки, которая считалась привилегией жрецов и тщательно ими оберегалась. Пирамиды были также памятниками культуры, хранилищами сведений о жизни фараона и народа страны, сведений из истории, собранием предметов быта.
Очевидно, были и другие назначения этих грандиозных сооружений древности, но нас прежде всего интересует «научное содержание» пирамид, воплощенное в их форме, размерах и ориентировке на местности. Трудно предполагать, что форма и размеры пирамиды были выбраны случайно. Здесь каждая деталь, каждый элемент формы выбирались тщательно и должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Ведь они строились на тысячелетия, «навечно».
Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.
Очевидно, и размеры пирамиды: площадь ее основания и высота — не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.
Методической ошибкой многих исследователей является то" что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.
Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).
Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины — локтях.
Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса (рис. 6). Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м (здесь расхождений в данных почти нет). Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Полное соответствие пятистам локтям будет, если длину локтя считать равной 0,4663 м. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.
Высота пирамиды (Н) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Не мудрствуя лукаво, все исследователи считают, что высота пирамиды в период ее создания была такой же, какой она является в настоящее время. Однако это совсем не так.
Строго говоря, пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10X10 м, а столетие назад она была равна 6X6 м. Очевидно, вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.
Одним из «чудес» великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм!). Этот несомненный факт производит потрясающее впечатление на всех, кто бывал внутри пирамиды и видел плотно сочлененные громадные плиты.
Вот, например, свидетельство одного из современников арабского историка Аль-Кайси, который проник в великую пирамиду вскоре после того, как ее вскрыли, то есть в IX столетии: «Пирамиды построены из огромных камней от десяти до двадцати локтей длины, от двух до трех локтей высоты и такой же ширины. Но особенно восхищает удивительная тщательность, с какой эти камни обтесаны и уложены. Плиты так хорошо подогнаны, что между ними нигде нельзя просунуть ни иголки, ни волоска».
Но никакого «чуда» и здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств — ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. Можно предполагать, что зазоры между блоками пирамиды во время ее строительства составляли многие миллиметры и в них можно было свободно просунуть не только лезвие бритвы, но и нож.
В результате отмеченной усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.
Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г. Вайз: он равен 51°5Г. Его величина и сегодня признается большинством исследователей, а указанному значению угла а отвечает тангенс (tga), равный 1,27306. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному золотой пропорции Ф= 1,27202 и является иррациональной величиной. Есть основания предполагать (это будет видно из изложенного дальше), что в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное У Ф= 1,272. Если принять угол а равным 51°50, то есть уменьшить всего на одну угловую минуту, величина tga станет равной 1,272. Следует отметить, что, по данным М. Гика, угол наклона граней пирамиды, измеренный в 1840 году тем же Г. Вайзом, равен 51°50.
Итак, примем первоначальный угол наклона граней пирамиды равным 51с50, а отношение катетов, то есть высоты пирамиды Н к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Вот такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения (или должна была иметь по-проекту; а у каких строителей не бывает отклонений от проекта?!).
Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания — 500 локтей, высота — 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя (здесь дробная часть локтя не должна удивлять, ведь этот размер пирамиды не замерялся во время строительства, а являлся производным).
Итак, мы реконструировали основные размеры пирамиды фараона Хеопса, определяющие ее архитектурную идею. А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM= 1,272=-|ГФ; ON/MN= 1,618=Ф. Как видно, отношение длины апофемы боковой грани к половине стороны ее основания отвечает золотой пропорции. На это соотношение обратил внимание еще в 1855 году Г. Ребер. Два других отношения равны корню квадратному из золотой пропорции.
Можно предполагать, что основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечении, в котором отношение катетов равно отношению гипотенузы к большему катету и равно 1,272 = У Ф, а отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф= 1,618. Существует только один треугольник с таким отношением сторон, которое отвечает геометрической прогрессии. Если обозначить стороны такого треугольника буквами х, у, z, то получим следующее равенство: (z/x)2= l + z/х, а так как отношение сторон z/x в этом треугольнике равно Ф, то есть золотой пропорции, то получим в итоге простую и по-своему красивую зависимость Ф2=Ф+1.
Есть основание утверждать, что египетские архитекторы заложили в форму пирамиды Хеопса именно этот замечательный (и единственный) треугольник, основанный на золотой пропорции, но знали ли они указанные выше уравнения — остается загадкой.
Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника ВОС равно 500 локтям, апофема его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер ОВ и ОС. Они равны 475,5 локтя. Нетрудно убедиться в том, что отношение апофемы к половине основания равно 1,618, то есть золотой пропорции.
Площадь основания пирамиды равна 250 ООО кв. локтей, площадь боковой грани 101 125 лк2, а площадь четырех граней пирамиды равна 404 500 лк2. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.
Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых граней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 3182=101 127 лк2; что почти отвечает площади боковой грани (101 125 лк2).
Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды Н отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16—3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском числе я», равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H = = 1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа п (3,14159...); отклонение составляет всего одну тысячную долю. Трудно ожидать более высокой точности от древних египтян (да еще и при выражении числа «пи» через отношение целых чисел!); к тому же все установленные значения имеют близкую точность.
Значение числа «пи», которым оперировали, по-видимому, строители пирамиды, равное 3,144, близко отвечает следующим выражениям:
и вполне возможно, что египтяне довольствовались приближенным значением числа «пи», равным 3,14; ведь и сейчас мы в большинстве случаев пользуемся этим значением числа «пи» без ущерба для расчетов.
Кроме этого, судя по папирусу Ринда, египтяне эпохи Среднего царства приравнивали площадь круга к площади квадрата, сторона которого равнялась 8/9 площади круга, что отвечает значению числа «пи», равному 3,16. Возможно, что этот упрощенный вариант расчета площади круга был предназначен для «широкой публики», а более точное значение числа «пи», воплощенное в пирамидах, сохранялось жрецами в глубокой тайне.
Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2Н/Ь=Ф и 2L/H=3t. Подкупает простота и схожесть, некая симметричность этих формул, которые связывают значения величины числа «пи»
и золотой пропорции отношением: 4/зх= У Ф. И точность расчета величин по этим формулам довольно хорошая — число «пи» равно 3,14, а золотая пропорция — 1,618. А ведь указанные соотношения размеров пирамиды получены при использовании только целых чисел, равных числу локтей.
Таким образом, есть основание утверждать, что основным отношением частей пирамиды Хеопса является золотая пропорция, выраженная в пирамиде неоднократно. В отношениях высоты и основания содержится число «пи». Такой представляется основная геометрическая идея, воплощенная в великой пирамиде. Все закономерные соотношения размеров сооружения явились результатом заложения в нем двух исходных величин: стороны основания, равной 500 локтям, и высоты, равной 318 локтям. Эти два размера и определили все остальные пропорции, они и стали воплощением основной геометрической идеи пирамиды.
А теперь вернемся к началу строительства этого памятника, к его проекту. В верхних эшелонах египетской власти было решено строить пирамиду Хеопса с основанием 500X 500 локтей, дабы перекрыть все прежние рекорды, утереть нос предыдущим фараонам, «сделать пирамиду» в 5 раз больше, чем у фараона Хофра (100Х Х100 лк). Вопрос о размерах основания решен единогласно (один провозгласил, другие не возражали).
Осталось решить вопрос о высоте. Здесь уже слово было предоставлено ученым мужам, мудрочтимым жрецам. Проведя долгие дни и ночи в библиотеках дворца и произведя многочисленные и таинственные для непосвященных расчеты, они установили: высота пирамиды должна быть равной 318 локтям и ни одним больше или меньше. Только при высоте пирамиды в( 318 локтей и основании 500 локтей отношение удвоенного основания к высоте отвечает священному числу «пи», которое со* ставляет 3,14. Если увеличить высоту пирамиды всего лишь на один локоть, отношение это будет равно 3,135, а если уменьшить всего на один локоть, оно составит 3,154. Следовательно, только отношение 2-500/318 давало величину, отвечающую числу «пи». Установленная в 318 локтей высота пирамиды и обеспечит заложенную в ней гармонию, геометрическую красоту формы и великую мудрость ее создателей.
Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (то есть несоизмеримые!) величины — я и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел — стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.
Итак, подведем итоги. Какую же информацию о знаниях древних египтян в области математики содержит пирамида Хеопса? К ней нужно отнести знание геометрии пирамид, ее сечений, углов, отношение сторон, знание гармонического треугольника с отношением сторон, равным У Ф. Но из этого отношения сторон в треугольнике, равного У Ф, следует уравнение х2=х+1. Может быть, и его знали египтяне?
Пирамида свидетельствует о знании египтянами золотой пропорции, равной 1,618. Однако трудно предполагать, что египтян]е_ знали и выражение для золотой пропорции: ф = 5 . Пирамида свидетельствует о знании ими числа «пи» и соотношения между числом «пи» и золотой пропорцией. Но ведь обе эти величины являются иррациональными. Знали ли египтяне о несоизмеримости этих величин?
Можно предполагать, что не знали; ведь они выражали в пропорциях пирамиды эти величины через отношения целых чисел.
Пирамида несет нам как послание с далеких веков Фундаментальные знания по математике. Возможно, что это еще не все скрытые в пирамиде математические откровения. Может быть, удастся открыть и другие «тайны» великой пирамиды, если не гнаться за сенсациями и не впадать в мистику.
Читатель вправе усомниться в обоснованности сделанных выводов. Ведь изучена только одна пирамида. Может быть, совершенно случайно отношение удвоенной стороны основания к высоте пирамиды оказалось близким величине «пи»? А затем уже пошли «математические фокусы» с числами и формулами? Ну что же, каждый имеет право на сомнение, а автор обязан убедить читателя в своей правоте достаточным числом фактов и аргументов.
О том, что установленные в пирамиде Хеопса соотношения размеров не являются случайными, в частности, не случайно и отношение высоты к основанию, свидетельствуют замеры других египетских пирамид, приведенных в книге Л. Зайдлера «Атлантида». У четырех из них угол наклона боковых граней к плоскости основания равен 51°5Г, что отвечает тангенсу угла а (отношению высоты пирамиды к половине стороны основания), равному 1,273= У Ф=4/я. У других пирамид это отношение соответствовало 4:3; 3: зх; 2: зх; 5:4. Причем точность этого отношения очень велика; отклонение угла наклона боковых граней от расчетных составляет 4 угловых минуты в пирамиде Хефрена, 2 угловых минуты в пирамиде Снофру и всего 1 угловую минуту — во всех остальных пирамидах, а погрешность в линейных размерах изменяется соответственно от 0,25 до 0,02 процента. Как видно, у многих пирамид в основу соотношений размеров положена та же математическая идея, что и в пирамиде Хеопса, а у некоторых другие математические закономерности, которые целесообразно рассмотреть.
Из анализа размеров других пирамид Древнего Египта, описанных в книге Л. Зайдлера, видно, что в пропорциях многих из них фигурирует число «пи», величина которого очень близка к его истинному значению. Так, в пирамиде фараона Аменехета расчет числа «пи», сделанный на основании угла наклона боковых граней, всего на 0,0002 отличается от современного значения этой величины. Почти столь же близкое значение числа «пи» получено при расчетах пропорций в пирамиде фараона Снофру. И в других пирамидах с наклоном боковых граней таким же, как у пирамиды Хеопса, расчеты приводят к удивительно точному значению числа «пи». Тут уже трудно утверждать о наличии лишь случайного совпадения. Но и не легко доказать, что египетские зодчие сознательно и целенаправленно стремились воплотить в пропорциях пирамид числа п и Ф, хотя бесспорно, что пропорции созданных ими грандиозных сооружений очень точно отвечают истинным значениям этих величин.
В приведенных расчетах углы наклона боковых граней пирамид определены с точностью до 1 угловой минуты. Изменение же угла наклона боковых граней лишь на 1 угловую минуту изменяет расчетную величину числа л на 0,002. Таким образом, рассчитанные на основании наклона боковых граней пирамид величины чисел «пи» отклоняются от истинного значения этой величины в пределах точности современного замера угла наклона боковых граней (то есть в пределах Г). Если учесть, что размеры пирамид определялись в целых числах количества локтей, то можно сказать, что все отмеченные «ошибки» расчетных величин числа «пи» находятся в пределах точности измерений, применяемых в Древнем Египте.
Значительный интерес представляет пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней в ней равен 53°12, что отвечает отношению катетов 4:3.
Такое отношение катетов соответствует хорошо известному треугольнику со сторонами 3:4:5, который называют «совершенным», «священным», или «египетским» треугольником. По свидетельству историков, «египетскому треугольнику» придавали магический смысл. Плутарх писал, что египтяне сравнивали природу Вселенной с треугольником; они символически уподобляли вертикальный катет мужу, основание — жене, а гипотенузу — тому, что рождается от обоих. Как указывает Лауэр, среди пирамид VI династии, почти полностью разрушенных, обнаружена пирамида Пени II в Саккаре с углом наклона боковых граней около 53°, что сближает ее с пирамидой Хефрена, в основе построения которой лежит священный треугольник 3:4:5.
Для треугольника 3:4:5, как говорилось, справедливо равенство 32 + 42 = 52, которое выражает теорему Пифагора. Не эту ли теорему хотели увековечить египетские жрецы, возводя пирамиду на основе треугольника 3:4:5? Трудно найти более удачный пример для открытия и иллюстрации теоремы квадратов. Приходит-ся вновь сомневаться в принадлежности Пифагора
к первооткрывателям знаменитой формулы. Но главного предприимчивый математик из Самоса добился: теорема названа его именем.
У ИСТОКОВ ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ
У кого та мысль, разумная иль глупая, найдется, которой бы никто не ведал до него.
Гёте
Создание египетских пирамид свидетельствует о значительном уровне знаний в области геометрии, которыми владели зодчие. Но эти знания не возникли только в период строительства пирамид и не только в их геометрии были воплощены. Ко времени создания этих величественных монументов в египетской архитектуре уже был накоплен опыт создания сооружений с гармоническими пропорциями, уже были заложены основы геометрии. Египетские зодчие знали и умело использовали в своих сооружениях пропорции прямоугольных треугольников со сторонами 1:1:2, 1:2: У 5, пропорции квадрата, прямоугольников с различными целочисленными соотношениями сторон.
Уже при сооружении первой египетской пирамиды Джосера в Саккаре (около 2800 лет до и. э.) комплекс храмов располагался в прямоугольнике со сторонами 1:2. Толщина стен этого комплекса относилась к их высоте как 3:2. Высота пирамиды (60 м) относится к стороне ее основания (121 м) как 1:2. Само же основание пирамиды представляет собой прямоугольник со сторонами 2: У 5. Очевидно, уже в те далекие времена зодчие применяли пропорции прямоугольников и треугольников со сторонами 1:1 и 1:2 — простейших геометрических фигур. Да что говорить о Египте! Уже в самых древних архитектурных сооружениях человек использовал простые целочисленные — пропорции. Древнейшим городом на земле является Иерихон. Его первые сооружения были созданы за 9500 лет до нашего времени. Храм, выстроенный в Иерихоне, представляет собой довольно сложное сооружение симметричной формы, его размер 6X9 м, то есть отношение сторон равно 2:3.
Не случайно выбраны строителями пирамиды Хеопса и размеры усыпальницы фараона: размер в плане 10X20 локтей, а высота — 11,172 локтя. Диагональ
основания усыпальницы делит его на два треугольника со сторонами 1 :2 : У 5. Диагональ восточной и западной стен камеры имеет размер 15 локтей, она делит эта стены на треугольники с соотношением сторон 2:3 :У 5 или, в локтях,— 10:15:11,172 где 11,172=5«у5— высота усыпальницы.
Изучая архитектурные сооружения Древнего Египта, В. Н. Владимиров пришел к выводу о существовании в те времена системы пропорций, построенных на квадрате и его производных (рис. 7).
Проведем диагональ в квадрате со сторонами 1:1, затем отложим длину этой диагонали на продолжении одной из сторон квадрата. Получим прямоугольник со сторонами 1 : У2 и диагональю, равной УЗ. Отложим эту диагональ на продолжении стороны прямоугольника, получим новый прямоугольник со сторонами 1 : уЗидиа-гональю, равной У 4 = 2. Таким же путем получим третий прямоугольник со сторонами 1 :2 (то есть равный Двум квадратам) и диагональю, равной У5.
Простейшая геометрическая фигура — квадрат с отношением сторон 1 :1 и диагональю У 2 — в своем логическом развитии рождала удивительно красивую и стройную систему пропорций — «систему диагоналей», где простые целочисленные соотношения 1:1, 1:2 сопрягаются с иррациональными У 2, У 3, У 5. Указан-
ные построения «от квадрата» приводили к созданию производной системы треугольников с теми же отношениями сторон, построенными на сочетании целых и иррациональных чисел. Да и сами эти иррациональные числа являются производными все тех же простых целых чисел: У2, УЗ, У5. Логическое развитие указанной системы построений должно было привести и к уникальной золотой пропорции.
Как указывает В. Н. Владимиров, во многих сооружениях Древнего Египта встречается отношение У 5:2= = 1,118, совпадающее с «функцией» золотого сечения. По его мнению, шесть связанных между собой величин: 1) квадрат, 2) его диагональ, 3) прямоугольный треугольник с углом 60°, 4) прямоугольник, состоящий из двух квадратов, J5, 6) отношения его диагонали к сторонам У 5:2 и У 5 :1 лежат в основе пропорций большинства сооружений Древнего Египта.
Свидетельством этого является и изображение зодчего Хесира в его гробнице, расположенной вблизи пирамиды фараона Джосера. И. Ш. Шевелев обратил внимание, что в руках у зодчего изображены орудия труда: прибор для письма и две мерные палки, служившие, вероятно, эталонами мер. Длины этих палок соотносятся как сторона и диагональ прямоугольника «два квадрата», то есть как числа 1 и У 5. Очевидно, этот секрет зодчего и хотел изобразить ваятель на портрете Хесиры, чтобы довести его до сведения далеких потомков.
Изучая архитектуру Древнего Египта, К. Н. Афанасьев установил, что во многих сооружениях проявляются пропорции священных или египетских прямоугольных треугольников. Простейший египетский треугольник характеризуется отношением сторон 3:4:5, известны также треугольники с соотношением сторон 5 : 12 : 13 и 20 : 21 : 29. Очевидно, эти треугольники были издавна известны в Древнем Египте и их пропорции широко использовались архитекторами. Треугольник со сторонами 3:4:5 очень удобен для практического применения; с его помощью легко построить прямой угол, который был необходим как в создании архитектурных сооружений, так и в замерах площадей земельных участков. Этим и объясняется распространенность пропорций треугольника 3:4:5 в Древнем Египте. Об этом
свидетельствует целый ряд примеров, описанных К. Н. Афанасьевым.
Так, стороны участка богатой усадьбы в Ахетатоне построены в отношении 3:4. Стороны Северного дворца в Ахетатоне построены в пропорции сторон 4:5. Отноше-ние длины к ширине главного зала заупокойного храма фараона Хефрена равно 5:3, то есть отношению гипотенузы к меньшему катету. Общая длина всего храма относится к его ширине как 12:5, что отвечает соотношению катетов другого «египетского» треугольника (5:12:13).
Однако все это только отдельные, разрозненные примеры. Интересно было бы найти учебник геометрии, составленный учеными Древнего Египта. Ведь должны же быть где-то изложены основные знания Древнего Египта по геометрии, должен же существовать письменный источник, из которого зодчие черпали необходимые им знания по составлению пропорций?
На одном из египетских рельефов гробницы периода Древнего царства (2800—2400 гг. до н. э.) хорошо сохранился рисунок, изображающий семь мужских фигур возле трех прямоугольников (рис. 8). По характеру фигур, их поз, инструментам в руках нетрудно догадаться, что здесь изображена обработка каменотесами трех каменных блоков. Возле каждого из блоков расположен каменотес с зубилом в одной руке и молотком в другой. Здесь же расположено четверо «разметчиков», которые производят разметку прямоугольных каменных плит. Может быть, это архитекторы или их подмастерья, которые обучены геометрии и, пользуясь простейшими приспособлениями, прежде всего шнуром, определяют геометрические пропорции каменных плит? Что же хотел сообщить своим далеким потомкам безвестный художник или ученый, оставивший свой простой и лаконичный рисунок?
Рассмотрим внимательно каждый прямоугольник в отдельности. Стороны правого нижнего прямоугольника равны, следовательно, это квадрат со сторонами 1 :1 и диагональю, равной У 2. Изображенный на рисунке разметчик с помощью нити или шнура замеряет размер диагонали квадрата, акцентируя внимание на этом элементе рисунка (рис. 9).
Отношения сторон в верхнем прямоугольнике равно 1,118, что равно отношению V 5:2, то есть отношению стороны квадрата к диагонали его половины. Отношение У 5:2 тесно связано с золотой пропорцией, равной = 1,61803... и его часто называют «функцией золотой пропорции». (Это выражение будет нам встречаться довольно часто, и его стоит запомнить. Обозначим наш прямоугольник АБСД. На рисунке видно, что в прямоугольнике проведена дуга радиусом, равным большой стороне, до пересечения с другой стороной.
Точка пересечения Е делит большую сторону на два отрезка BE и ЕС, отношение которых равно 1,236, то есть У 5—1. Отношение меньшей стороны прямоугольника к меньшей части отрезка ЕС равно двум. Радиус дуги ДЕ образует гипотенузу треугольника ЕСД с отношением катетов 1:2 и гипотенузой, равной У5.
Прямоугольный треугольник ЕСД с отношением сторон 1 :2: У5 примечателен тем, что в нем присутствуют отношения сторон, отвечающие золотой пропорции. Действительно, отношение суммы гипотенузы и малого катета к большому катету равно золотой_пропорции. Подобное отношение (ЕД—ЕС)/СД= (У5—1)/2 = 0,618... равно другому выражению золотой пропорции.
Из приведенных отношений следует, что диагональ этого прямоугольника равна трем, а образуемый ею треугольник АСД имеет отношение сторон, равное 2 : У 5: 3. Площадь этого треугольника равна У 5, а по-луразность площадей треугольников АСД и ЕСД равна золотой пропорции.
В третьей каменной плите, которую обрабатывает один каменотес и двое размечают, отношения сторон равны 5:4. В точке Е дуга делит большую сторону прямоугольника в соотношении 3:2. Образующийся прямоугольный треугольник ЕСД имеет соотношение катетов и гипотенузы 3:4:5. Такой треугольник издавна назывался, как мы знаем, священным, или египетским. Он принадлежит к числу треугольников, в которых отношение катетов и гипотенузы выражается целыми числами. Такие треугольники наглядно иллюстрируют формулу квадратов, которую все знают как «формулу Пифагора». Не подлежит сомнению, что египетский художник или математик (или зодчий) решил изобразить именно этот треугольник на своем рисунке и не только его, но и порядок построения такого треугольника в прямоугольнике со сторонами 4:5.
Подведем итоги. В сохранившемся рисунке на гробнице приводятся изображения трех прямоугольников и сведения о построении пяти различных прямоугольных треугольников с соотношением катетов 1:1, 1:2, 2:5, 3:4 и 4:5. В их числе квадрат, прямоугольник «два квадрата», священный (или египетский) треугольник со сторонами 3:4:5, треугольник с катетами 4 :5. Они дают богатый набор важнейших пропорций: 1:1, 1:2, 1: У 2, 2: У 5, 2:3; 3:4, 4:5 и т. д., широко распространенных в архитектуре Древнего Египта. Характерно, что и соотношение числа каменотесов (3) к числу разметчиков (4) на рисунке отвечает отношению катетов в священном египетском треугольнике. Наверное, и их число на рисунке не случайно.
Очевидно, что все три прямоугольника, изображенные на древнем рельефе, выбраны совсем не случайно, они образуют строго согласованную систему взаимосвязанных геометрических фигур. Изображены не только эти фигуры, но и методы их построения с помощью линейки и шнура, игравшего роль циркуля. А циркуль и линейка были, как известно, долгое время единственными инструментами древних геометров. Все геометрические построения, определение пропорций, разбиение целого на части производилось с помощью этих простейших инструментов.
Нет, на древнем рельефе не просто сцена, изображающая работу каменотесов. В ее лаконичных геометрических фигурах тщательно зашифрован если не весь, то основной багаж знаний по геометрии, который накопили египетские ученые древнего царства. Здесь целый арсенал средств построения геометрических пропорций, которые широко использовали египетские архитекторы в своей работе. В этом рельефе «краткая аннотация» геометрии египтян.
Следует лишь удивляться достигнутому египтянами уровню знаний геометрии, умению пользоваться этими знаниями, изощренности их математического мастерства; им нельзя отказать ни в глубине познания основ геометрии, ни в уменье логически мыслить, ни во владении гармоническими пропорциями, если учесть, что творцы рельефа на гробнице жили 45 столетий назад.
Вот такая удивительная информация содержится в простеньком рисунке, изображающем египетских каменотесов за работой! А что, в таком случае, остается сказать о египетских пирамидах, хранящих зияния древних ученых Египта? Здесь каждая геометрическая фигура, каждая пропорция заслуживают внимательного изучения.
Священные, или египетские треугольники были известны не только в Древнем Египте. Матила Гика в своей книге «Эстетика пропорций в природе и искусе г-ве» (1936 г.) указывает на знание треугольников со сторонами 3:4:5 китайцами еще в XI веке до н. э, Ветре-
чаются в античной архитектуре и отношения 20:21. Многочисленные примеры такой пропорции приводит советский ученый К. Н. Афанасьев. Интересно, что и знаменитый своей архитектурой храм Софии в Константинополе (Стамбуле) имеет соотношение размеров 20:21.
Пропорции архитектурных сооружений типа 1:2, 1: У 2 и им подобные легко объяснить ссылкой на прямоугольники и квадрат — простейшие геометрические фигуры, взятые в основу архитектурных построений. Но как объяснить применение пропорции 20:21? Едва ли это можно объяснить ссылкой на священный треугольник со сторонами 20:21 :29. Да и знали ли его зодчие древнего мира? А если нет, то почему они предпочли правильному квадрату со сторонами 1 :1 слегка искаженный со сторонами 1 :1,05? Может быть, им не понравился правильный квадрат по его эстетическим критериям? Такой квадрат они могли посчитать «мертвым», лишенным динамики и предпочли ему неправильный, слегка искаженный, но «живой»? Ведь к подобной идее пришли их коллеги по профессии спустя тысячелетия, а новое, как известно, это хорошо забытое старое.
Ну а как же с золотой пропорцией? Можно ли считать ее первооткрывателями жителей Древнего Египта? Невозможно с полной уверенностью утверждать, что египетские зодчие имели научное представление о золотой пропорции и ее математических свойствах. Но бесспорно, что они знали и сознательно применяли замечательные треугольники: священный со сторонами 3:4:5, треугольник со сторонами 1 :2 : У 5, гармонический треугольник с отношением сторон 1 : Ф и 1: У Ф, а в них содержится золотая пропорция и «около нее нельзя было пройти мимо».
Современные исследователи приходят к выводу, что египтяне еще в эпоху древнего царства разработали систему «гармонического пропорционирования» изображения, причем в его основе лежит золотая пропорция. «Поскольку пропорциональные соотношения носили универсальный характер, — отмечает Н. А. Померанцева, — Распространяясь на многие области науки, философии и искусства, и воспринимались самими египтянами как отражение гармонического строения мироздания, они считались священными и, что вполне возможно, держались в тайне».
Неудивительно, что сведения о золотой пропорции и других достижениях геометрии древних египтян, содержащиеся в геометрических пропорциях пирамид и в рассмотренном рисунке, так умело зашифрованы. Для не посвященного в премудрости египетской науки рисунок на гробнице изображает каменотесов за обработкой каменных плит, а для достаточно эрудированных — это кладезь премудрости, сокровищница знаний египетских ученых (жрецов).
Значит ли это, что египтяне являются первооткрывателями золотой пропорции? Такое утверждение было бы преждевременным. Чем больше мы изучаем древние культуры, тем больше убеждаемся в наличии глубоких корней, в преемственности многих знаний. Ведь и египетская наука не возникла на пустом месте. Она наследовала знания других народов, других эпох, и прежде всею Двуречья. Существует также гипотеза, что некоторые свои знания египтяне получили от жителей легендарной Атлантиды. Эту гипотезу активно поддерживал поэт В. Брюсов. В одном из своих стихотворений он писал:
...Терпенье, труд, упорный, чрезвычайный,
Воздвигли там ряд каменных могил,
Чтоб в них навек зов истины застыл:
Их числа, формы, грани — не случайны!
Египет цели благостной достиг:
Хранят поныне плиты пирамиды Живой завет погибшей Атлантиды.
Может быть, в далекой истории Двуречья и Атлантиды теряются корни египетской культуры и с ними истоки открытия золотой пропорции? И вот неожиданно в наше богатое открытиями время следы золотой пропорции удалось обнаружить в еще более удаленном от нас прошлом, в удаленном на 20—25 тысяч лет.
Как сообщает Б. Фролов, при археологических раскопках палеолитической стоянки на реке Ангаре в Сибири М. Герасимов обнаружил прямоугольную тщательно обработанную пластинку, изготовленную из бивня мамонта. Пластинка декорирована сложным рисунком спиральной формы, в центре ее — отверстие. Размеры пластинки 13,6 X 8,2 см, что с точностью до ± 1 мм отвечает золотой пропорции. Возрйст этой стоянки оценивается в 20—25 тысяч лет. Очевидно, пластинка из этой палеолитической стоянки является наиболее древним свидетельством применения людьми правила золотой пропорции.
Если бы указанная находка была единственной, можно было бы считать соотношение сторон в ней, отвечающее золотой пропорции, просто случайностью. Однако и в изображениях эпохи палеолита более позднего периода (около 15 тыс. лет назад) в пещерах Франции также обнаружены подобные пропорции. Американский студент Макс Рафаель писал в 1946 году, что изображения бизонов, мамонтов и лошади в этих пещерах находятся в размерах золотой пропорции. А. Окладников нашел на скалах возле села Шишкино на реке Лене палеолитические рисунки диких коней и козла, размеры которых таковы, что они находятся в соответствии с пропорцией золотого сечения. К тому же и пластина из бивня мамонта, описанная выше, оказалась необычной, она являлась древним календарем. Семь витков спирали на ее поверхности имели 243 зазубрины, а кромки — 122 зазубрины, что в сумме составляло 365 — число дней в году.
Нет необходимости доказывать, что у людей палеолита не было научного представления о золотой пропорции. Применение ими золотой пропорции было итогом творческой интуиции, интуитивного познания мира. Но разве это принижает творцов эпохи палеолита? И как здесь не вспомнить замечательное стихотворение Валерия Брюсова:
Мечтатели, сибиллы н пророки
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли — вне сознания — далеко,
Туда, где светят царственные числа.
ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ И ЕГО ЗАДАЧИ
Как прекрасно почувствовать единство целого комплекса явлений, которые при непосредственном восприятии казались разрозненными.
А. Эйнштейн
Усилием математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована. Казалось бы, вопрос исчерпан. Оставалось лишь изучать проявление этой закономерности в природе, искать ее практическое применение. Возможно, так бы и произошло, если
бы не появилась в истории математики одна незаметная задача.
С понятием «средневековье» в нашем сознании ассоциируется разгул инквизиции, костры, на которых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за «телом господним». Наука в те времена явно не находилась «в центре внимания общества». В ее разрозненных очагах едва теплилась пытливая мысль ученых; она никогда не угасала, даже при безраздельном господстве догматов христианской религии.
В этих условиях появление книги по математике, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо из Пизы, явилось важным событием в «научной жизни общества». В книге «Liber abacci» («Книга об абаке») были собраны известные в то время сведения по математике, приводились примеры решения всевозможных задач. И среди них была простая, не лишенная практической ценности для предприимчивых итальянцев, задача о кроликах: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения. В результате решения этой немудреной задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. Этот ряд чисел был позже назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи).
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
