НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

Библиотечка «За страницами учебника»

Численные методы. Данилина Н. И., Дубровская Н. С. и др. — 1976 г.

Данилина Нинель Ивановна
Дубровская Нинель Соломоновна
Кваша Ольга Петровна
Смирнов Георгий Леонидович
Феклисов Геннадий Иванович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

*** 1976 ***


DJVU


PEKЛAMA Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD. Подробности...

Выставлен на продажу домен
mp3-kniga.ru
Обращаться: r01.ru
(аукцион доменов)



 

Учебник написан в понятной и доступной для изучения форме. Теоретический материал сопровождается многочисленными примерами, а также упражнениями для самостоятельной работы.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.
Раздел первый ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Глава I Элементарная теория погрешностей
§ 1.1. Точные и приближенные числа. Источники погрешностей. Клас сификация погрешностей
§ 1.2. Абсолютная и относительная погрешности
§ 1.3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра числа Верная значащая цифра
$ 1.4. Округление чисел
$ 1.5. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа
§ 1.6. Погрешности суммы и разности
§ 1.7. Погрешность произведения. Число верных знаков произведения
§ 1.8. Погрешность частного. Число верных знаков частного
§ 1.9. Погрешности степени и корня
§ 1.10. Правила подсчета цифр
Упражнения

Глава II Методы решения систем линейных уравнений
§ 2.1. Матрицы и векторы. Основные действия над матрицами и векторами 35
§ 2.2. Определитель матрицы. Свойства определителя и методы его вычисления 41
§ 2.3. Ранг матрицы 48
§ 2.4. Обратная матрица 49
§ 2.5. Абсолютная величина и норма матрицы 52
§ 2.6. Клеточные матрицы. Действия над клеточными матрицами 54
§ 2.7. Треугольные матрицы. Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц 64
§ 2.8. Понятие о системе линейных уравнений 68
§ 2.9. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений 69
§ 2.10. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений 73
§ 2.11. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) 75
§ 2.12. Вычисление определителей с помощью схемы Гаусса 85
§ 2.13. Обращение матрицы с помощью схемы Гаусса 86
§ 2.14. Понятие предела для векторов и матриц 89
§ 2.15. Приближенные методы решения систем линейных уравнений 90
§ 2.16. Условия сходимости итерационного процесса 94
§ 2.17. Оценка погрешности приближенного процесса метода итерации 95
§ 2.18. Метод Зейделя. Условия сходимости процесса Зейделя 96
§ 2.19. Оценка погрешности процесса Зейделя 99
§ 2.20. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций 100
§ 2.21. Исправление элементов приближенной обратной матрицы 102
Упражнения 103

Глава III Методы решения нелинейных уравнений
§3.1. Алгебраические и трансцендентные уравнения 108
§ 3.2. Графические методы решения уравнений и систем 112
§ 3.3. Отделение корней 115
§ 3.4. Уточнение корней. Метод проб 120
§ 3.5. Метод хорд 123
§ 3.6. Метод Ньютона (метод касательных) 127
§ 3.7. Комбинированный метод хорд и касательных 131
§ 3.8. Метод итерации (метод последовательных приближений) 135
§ 3.9. Приближенное решение систем уравнений. Метод Ньютона для системы двух уравнений 139
§ 3.10. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 142
§ 3.11. Общие свойства алгебраических уравнений. Определение числа действительных корней алгебраического уравнения 144
§ 3.12. Нахождение области существования корней алгебраического уравнения 147
§ 3.13. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера 150
§ 3.14. Схема деления многочлена на квадратный трехчлен 153
§ 3.15. Выделение квадратного трехчлена по методу Хичкока 156
Упражнения 160

Глава IV Интерполирование и экстраполирование
§ 4.1. Способы задания функций 161
§ 4.2. Математические таблицы 163
§ 4.3. Математическая постановка задачи интерполирования 168
§ 4.4. Интерполяционный многочлен Лагранжа 169
§ 4.5. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа 174
§ 4.6. Конечные разности 176
§ 4.7. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции 182
§ 4.8. Вторая интерполяционная формула Ньютона 185
§ 4.9. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 187
§ 4.10. Единственность интерполяционного многочлена 189
§ 4.11. Интерполирование в таблицах 189
§ 4.12. Линейное интерполирование по Эйткину 192
§ 4.13. Разделенные разности : 194
§ 4.14. Первая интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции 196
§ 4.15. Интерполяционные формулы Гаусса 197
§ 4.16. Интерполирование с помощью многочленов Чебышева 199
§ 4.17. Обратное интерполирование 201
Упражнения 204

Глава V
Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы
§5.1. Характеристический многочлен и методы определения его коэффициентов 208
§ 5.2. Метод непосредственного развертывания 210
§ 5.3. Метод Крылова для развертывания характеристического определителя 212
§ 5.4. Вычисление собственных векторов по методу Крылова 219
§ 5.5. Метод Данилевского 220
§ 5.6. Вычисление собственных векторов по методу Данилевского 232
§ 5.7. Метод Леверрье — Фаддеева 234
§ 5.8, Метод интерполяции 236
§ 5.9. Определение первого собственного числа матрицы методом итерации 239
§ 5.10. Определение последующих собственных чисел и принадлежащих
им собственных векторов 241
Упражнения 243

Глава VI Математическая обработка данных
§ 6.1. Постановка задачи 244
§ 6.2. Построение эмпирических линейных зависимостей. Методы уточнения параметров этих зависимостей 246
§ 6.3. Выбор эмпирических формул для нелинейных зависимостей 253
§ 6.4. Преобразование координат 257
§ 6.5. Эмпирические формулы, содержащие три параметра 259
Упражнения 261

Раздел второй
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АН АЛИЗА

Численное интегрирование и дифференцирование
§ 7.1. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы 265 § 7.2. Обобщенная формула численного интегрирования Ньютона — Котеса 271
§ 7.3. Квадратурная формула Чебышева 274
§ 7„4. Квадратурная формула Гаусса 277
§ 7.5. Графическое интегрирование 284
§ 7.6. Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона 285
§ 7.7. Формула приближенного дифференцирования, основанная на интерполяционной формуле Лагранжа 287
§ 7.8. Графическое дифференцирование 289
Упражнения 289

Глава VIII Ряды Фурье
§ 8.1. Понятие последовательности и ряда 290
§ 8.2. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле 294
§ 8.3, Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье 300
§ 8.4. Численный гармонический анализ. Тригонометрическое интерполирование 302
§ 8.5. Численные методы определения коэффициентов Фурье 306 Упражнения 310

Глава IX
Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 9.1. Понятие о дифференциальном уравнении 311
§ 9.2. Метод последовательных приближений (метод Пикара) 314 § 9.3. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 317
§ 9.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Метод Эйлера 318
§ 9.5. Модификации метода Эйлера 322
§ 9.6. Метод Рунге — Кутта 326
§ 9.7. Экстраполяционный метод Адамса 332
Упражнения 337

Глава X
Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных
§ 10.1 Классификация дифференциальных уравнений в частных произ
водных 338
§ 10.2. Конечно-разностные аппроксимации 341
§ 10.3. Аппроксимация эллиптических дифференциальных уравнений

в частных производных 347
§ 10.4. Решение разностных уравнений для эллиптических дифференциальных уравнений 349
§ 10.5. Влияние криволинейных граничных условий 352
§ 10.6 Аппроксимация параболических и гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных 356
Упражнения 360
Литература 363
Предметный указатель 364


Курс «Численные методы» является одной из основных дисциплин, необходимых для подготовки программистов среднего звена. Он имеет своей целью изучение учащимися основ и методики решения задач прикладной математики с приближенными вычислениями и численными методами математического анализа в объеме, необходимом технику-программисту для работы на электронных вычислительных машинах.
      Настоящая книга — первая попытка создания учебника для изучения вычислительной математики в средних специальных учебных заведениях.
      В результате изучения этого курса учащиеся должны знать численные методы, уметь применять их при решении задач и примеров, уметь составлять и применять вычислительные бланки и таблицы для дальнейшего программирования на ЭВМ.
      По своему содержанию учебник разбит на два больших раздела: «Приближенные вычисления» и «Численные методы математического анализа». Первый раздел включает шесть глав: «Элементарная теория погрешностей»; «Методы решения систем линейных уравнений»; «Методы решения нелинейных уравнений»; «Интерполирование и экстраполирование»; «Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы»; «Математическая обработка данных». Второй раздел содержит четыре главы: «Численное интегрирование и дифференцирование»; «Ряды Фурье»; «Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений»; «Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных».
      Изучение численных методов немыслимо без решения значительного количества задач. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами. В конце каждой главы приводятся упражнения, решение которых должно способствовать лучшему усвоению излагаемого материала.
      Работа над учебником проводилась в следующем порядке: главы I, III и IX написала О. П. Кваша, главы II и V — Н. С. Дубровская, главы IV, VI и VII — Н. И. Данилина, главу VIII — Г. Л. Смирнов, главу X — Г. И. Феклисов.
      Авторы выражают свою признательность рецензентам Т. Я. Да-нелян и А. Д. Даниловой, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний, а также редактору книги А. М. Суходскому, чья работа во многом способствовала улучшению книги.
      Авторы
     
     
      Раздел первый ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
     
      Глава I
      ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
     
      § 1.1. Точные и приближенные числа. Источники погрешностей.
     
      Классификация погрешностей
      В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа дают истинное значение величины числа, приближенные — близкое к истинному, причем степень близости определяется погрешностью вычисления.
      Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5 пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 — точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 — приближенные. Измерение ширины дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными; кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники включены в счет количества деревьев.
      Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное значение приближенным в целях упрощения вычислений.
      Таким образом, приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.
      При решении той или иной задачи вручную или на вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовыми действиями над числами, может быть решена стой или иной степенью точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т, е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.
      Источниками погрешностей (ошибок) могут быть.
      1) неточное отображение реальных процессов с помощью математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами, близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;
      2) приближенное выражение величин, входящих в условие задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных, физических констант, чисел л, ей др.;
      3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса на некотором этапе. Например, если в ряде
      ...
      взять определенное количество членов и принять их сумму за sin то мы, естественно, допускаем погрешность;
      4) округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное число цифр числа.
      При отбрасывании младших разрядов числа имеет место погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку электронной цифровой вычислительной машины «Минск 1». Разрядная сетка машины допускает запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное число примет следующий вид: 0,7835479;
      5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат вычислений.
      Полная погрешность является результатом сложного взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все их виды.
      Во всех случаях полная погрешность не может превышать по своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но обычно она редко достигает такой максимальной величины.
      Таким образом, погрешности можно подразделить на три большие группы:
      1) исходные, или неустранимые, к которым относятся погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов и неточного задания исходных данных, а также погрешности,
      связанные с действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все вычисления и являются неустранимыми;
      2) погрешности округления (зарождающиеся), которые появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и окончательных результатов;
      3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных процессов конечной последовательностью действий.
      Оценка погрешности может быть произведена: с помощью абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью остаточного члена; с помощью статистических оценок.
      При работе с приближенными величинами вычислитель должен уметь:
      а) давать математические характеристики точности приближенных величин;
      б) зная степень точности исходных данных, оценить степень точности результатов;
      в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
      г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
      КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ

 

НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru