DJVU

Курс «Численные методы» является одной из основных дисциплин, необходимых для подготовки программистов среднего звена. Он имеет своей целью изучение учащимися основ и методики решения задач прикладной математики с приближенными вычислениями и численными методами математического анализа в объеме, необходимом технику-программисту для работы на электронных вычислительных машинах.
      Настоящая книга — первая попытка создания учебника для изучения вычислительной математики в средних специальных учебных заведениях.
      В результате изучения этого курса учащиеся должны знать численные методы, уметь применять их при решении задач и примеров, уметь составлять и применять вычислительные бланки и таблицы для дальнейшего программирования на ЭВМ.
      По своему содержанию учебник разбит на два больших раздела: «Приближенные вычисления» и «Численные методы математического анализа». Первый раздел включает шесть глав: «Элементарная теория погрешностей»; «Методы решения систем линейных уравнений»; «Методы решения нелинейных уравнений»; «Интерполирование и экстраполирование»; «Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы»; «Математическая обработка данных». Второй раздел содержит четыре главы: «Численное интегрирование и дифференцирование»; «Ряды Фурье»; «Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений»; «Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных».
      Изучение численных методов немыслимо без решения значительного количества задач. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами. В конце каждой главы приводятся упражнения, решение которых должно способствовать лучшему усвоению излагаемого материала.
      Работа над учебником проводилась в следующем порядке: главы I, III и IX написала О. П. Кваша, главы II и V — Н. С. Дубровская, главы IV, VI и VII — Н. И. Данилина, главу VIII — Г. Л. Смирнов, главу X — Г. И. Феклисов.
      Авторы выражают свою признательность рецензентам Т. Я. Да-нелян и А. Д. Даниловой, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний, а также редактору книги А. М. Суходскому, чья работа во многом способствовала улучшению книги.
      Авторы
     
     
      Раздел первый ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
     
      Глава I
      ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
     
      § 1.1. Точные и приближенные числа. Источники погрешностей.
     
      Классификация погрешностей
      В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа дают истинное значение величины числа, приближенные — близкое к истинному, причем степень близости определяется погрешностью вычисления.
      Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5 пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 — точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 — приближенные. Измерение ширины дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными; кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники включены в счет количества деревьев.
      Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное значение приближенным в целях упрощения вычислений.
      Таким образом, приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.
      При решении той или иной задачи вручную или на вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовыми действиями над числами, может быть решена стой или иной степенью точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т, е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.
      Источниками погрешностей (ошибок) могут быть.
      1) неточное отображение реальных процессов с помощью математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами, близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;
      2) приближенное выражение величин, входящих в условие задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных, физических констант, чисел л, ей др.;
      3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса на некотором этапе. Например, если в ряде
      ...
      взять определенное количество членов и принять их сумму за sin то мы, естественно, допускаем погрешность;
      4) округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное число цифр числа.
      При отбрасывании младших разрядов числа имеет место погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку электронной цифровой вычислительной машины «Минск 1». Разрядная сетка машины допускает запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное число примет следующий вид: 0,7835479;
      5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат вычислений.
      Полная погрешность является результатом сложного взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все их виды.
      Во всех случаях полная погрешность не может превышать по своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но обычно она редко достигает такой максимальной величины.
      Таким образом, погрешности можно подразделить на три большие группы:
      1) исходные, или неустранимые, к которым относятся погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов и неточного задания исходных данных, а также погрешности,
      связанные с действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все вычисления и являются неустранимыми;
      2) погрешности округления (зарождающиеся), которые появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и окончательных результатов;
      3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных процессов конечной последовательностью действий.
      Оценка погрешности может быть произведена: с помощью абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью остаточного члена; с помощью статистических оценок.
      При работе с приближенными величинами вычислитель должен уметь:
      а) давать математические характеристики точности приближенных величин;
      б) зная степень точности исходных данных, оценить степень точности результатов;
      в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
      г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
      КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ