DjVu

Выявлена сущность булевой алгебры и ее расширений в пределах трехзначной логики Лукасевича. Средствами алгебры множеств и диаграмм Кэррола прояснена сущность модальностей, актуального следования и силлогистики. Предназначено стремящимся разобраться в основах информатики и безупречного рассуждения.
     
      Хотя эта книга написана мной единолично, быть ей или не быть - зависело не только и не прежде всего от моей воли и способности. Оказалось совершенно необходимым энергичное и ответственное участие других людей, которые, к счастью, своевременно пришли на помощь, за что всем им самая сердечная благодарность.
      Наипервейшее спасибо прекрасному человеку, бесподобному хирургу Борису Васильевичу Петровскому и его замечательным сподвижникам, без чьего искусного вмешательства возможность появления книги заведомо исключалась. Впрочем, победа медицины в данном случае достигнута а значительной степени благодаря и моей жене - Наталии Сергеевне Казанской, вынесшей главную тяжесть испытания.
      Безусловно необходимыми участниками являются три других нечаянно встретившихся мне человека - президент фонда "Новое тысячелетие" Умут Бейсенбаеана Ке-мельбекоаа, председатель Попечительского Совета этого фонда Ян Вильямович Сиверц ван Рейзема и председатель Эскпертного Совета Владимир Васильевич Яхненко. Именно они убедили меня в том, что такую книгу следует написать и взяли на себя заботы по ее изданию, а затем неназойливо, но постоянно интересовались, как идет работа (чтобы не останавливалась). Искренне благодарен им за доброту и внимание.
      А еще благодарю моих товарищей по работе - сотрудников научно-исследовательской лаборатории электронных вычислительных машин на факультете ВМиК Московского университета, основанной светлой памяти Сергеем Львовичем Соболевым и Иваном Семеновичем Березиным, вдохновившими нас на многие годы целеустремленной созидательной работы, результаты которой, увы, редко бывают востребованы. В особенности благодарю Владилена Петровича Розина, выполнившего редактирование и набор текста книги, а также Хосе Рамиля Альвареса, подготовившего необходимые средства редактирования.
      Н. Брусенцов. Ноябрь 1994 г.
     
     
      Гражданам прежней Отчизны моей В робкой надежде Что будут умней
      О предмете и основаниях информатики
      Информатика - слово новое: в словарях, изданных лет 15 - 20 тому назад, его не найти, а если и встретится, то не в современном значении, а скорее как синоним "книговедения", "библиографии". нечто связанное с реферативными журналами. УДК, институтами технической информации. Положение в корне изменилось вследствие стремительного распространения компьютеров и особенно после того, как французы стали употреблять термин tn/ormatique в значении, близком к computer science. Сегодня перед "информатикой" померкла даже “кибернетика": информатизационные технологии, информатизация производства, науки, образования, информатизация общества... -
      все это информатика. Впрочем, сущность информатики таким образом не проясняется. Ведь не будет никакой разницы, если говорить о компьютерных или компьютеризованных технологиях и о компьютеризации названных сфер деятельности людей. Даже первоклассники знают, что информатика - это о компьютерах, обучение “компьютерной грамотности".
      Если же вникнуть в существо дела глубже, то обнаружится, что компьютеры представляют собой только новое техническое воплощение тех издревле разрабатываемых человечеством принципов и фундаментальных механизмов, в изучении которых и состоит прежде всего предмет информатики. Действительно, информатика - наука об информации. Информация же (от латинского tnformtio - изложение, разъяснение, истолкование; представление, понятие; осведомление, просвещение) в наиболее общем смысле термина есть отображение реальности. осуществленное в той или иной системе предназначенных для этого средств. Это. если угодно, продукт той самой способности саиоотражения материи.
      Отражение не следует понимать буквально, скажем, как отражение в зеркале. Конечно, оно может быть и копированием, и изображением или подражанием, но кроме того, возможно также постижение и выражение сущности (смысла) отражаемого - отображение сущности. Должно быть, именно эту последнюю разновидность информации древние греки связывали с термином логос (Хо^од). означавшим и слово, и речь, и рассуждение, рассказ, сочинение, и разум, понятие, смысл. От него происходит и логика (Хо^аеп') - название науки, которая, если не тождественна информатике, то по меньшей мере составляет
      ее важнейшую часть, поскольку информатика занимается главным образом системами отображения.
      В ряду фундаментальных наук трактуемая указанным образом информатика занимает ключевое место. Аристотель (384 - 322 до н.э.), положивший начало этой науке и с поразительной глубиной разработавший важнейшие ее разделы, обозначенные им как "первая философия", "диалектика", "аналитика", "топика", сказал об этом так: "Ибо, будучи способом исследования, она прокладывает путь к началам всех учений". ("Топика", кн. 1, гл.2, 101Ь 3).
      Было бы преувеличением сказать, что Аристотель создал информатику, хотя бы потому, что как систематической науки ее и сегодня еще нет. Впрочем, говорят же, что Аристотелем создана логика, и в сущности это верно, несмотря даже на то, что сам термин "логика" появился, пожалуй, уже после смерти создателя.
      Именно Аристотелем положена в качестве непременного начала этой науки, а вместе с ней и всех наук, аксиома о недопустимости противоречия:
      "Есть, однако, такие, кто, как мы сказали, и сам говорит, что одно и то же может в одно и то же время и быть, и не быть, и утверждает, что так считать вполне возможно. Этого мнения придерживаются и многие, рассуждающие о природе. Мы же приняли, что в одно и то же время быть и не быть нельзя, и на этом основании показали, что это самое достоверное из всех начал" ("Метафизика", кн. 4, гл. 4, 1005Ь 35);
      “...очевидно, что противолежащие друг другу высказывания об одном и том же не могут быть истинны в одно и то же время" (1063Ь 15);
      “...нет ни одного прямого доказательства этих (положений), однако есть доказательство против того, кто принимает противное им" (1062а 30);
      “...и (тем самым) исключает возможность рассуждать" (1062Ь 20).
      Установив незыблемое основание, Аристотель построил на нем совершенную систему рассуждения - силлогистику, адекватно отображающую сущность элементарных взаимосвязей между объектами реальности и раскрывающую механизмы логики естественного языка. Выработанные таким образом приемы безупречного, доказательного рассуждения (выражаясь в современной манере - корректной обработки и анализа информации) позволили Аристотелю осуществить систематические и до сих пор не утратившие актуальности исследования в са-
      мых различных областях, включая философию, физику, политику, поэтику, психологию, этику. Таким образом он убедительно продемонстрировал универсальность и мощь своего "способа исследования", т.е. обоснованной и разработанной им системы достоверного отображения реальности, объективного анализа и истолкования информации.
      Представляется невероятным, чтобы наработанное Аристотелем мог сделать один человек, причем более двух тысяч лет тому назад. Но ничего чудодейственного в его наследии нет - все в пределах возможностей нормального человеческого ума, не гарантированного от ошибок и заблуждений, однако обретшего незыблемую точку опоры и безотказный метод. Гораздо трудней понять другое - почему современная нам информатика, насчитывающая в своих рядах сотни тысяч, а возможно, миллионы высокообразованных людей, "до зубов" вооруженных ультрасовременной математикой и сверхбыстродействующими компьютерами, не способна ни эффективно воспользоваться результатами Аристотеля, ни хотя бы разобраться в том, что им создано, в чем секрет его необыкновенных достижений особенно в интеллектуальных приложениях информатики, с которыми сегодня ничего подобного не происходит.
      Должно быть, неспроста содержание информатики все в большей степени подменяется проблемами информационной техники, которая действительно прогрессирует дьявольскими темпами, принося невиданные барыши ее производителям. Но какова истинная ценность этого прогресса при неразвитости принципов благотворного применения новой техники - на пользу она или во вред?
      Осторожно выражаясь, можно сказать, что большие надежды, возлагаемые на современную информационную технику в решении актуальнейших социальных проблем, таких как оптимизация управления народным хозяйством, совершенствование законодательства, повышение эффективности системы образования, подготовки кадров, развитие культуры, не оправдываются. Если же принять во внимание, что в названных областях положение неуклонно ухудшается при интенсивном наращивании мощностей и обновлении технических средств информации, то оценка будет значительно ужесточена. Странно, но чем больше возможностей, тем менее эффективно они используются, а нередко и прямо вредят делу, для которого предназначены. К примеру, взять хотя бы сомнительную роль современной прессы, кино, радио и телевидения в насаждении благоразумия и морали.
      Не блещет современная информатика и как "способ исследования".
      который по мысли Аристотеля призван прокладывать путь к началам всех учений. В ней самой никакого систематического способа усмотреть невозможно. Более того, у информатики сегодня как бы два различных основания, два начала: одно, происходящее от Аристотеля. но основательно извращенное средневековыми схоластами, принято по традиции в гуманитарных науках; другое - разработанная в новое время преимущественно математиками символическая, или математическая, логика - предназначено для естественников и инженеров.
      Характерной чертой обеих логик, и гуманитарной, и математической, является их настойчиво подчеркиваемый формализм, заключающийся в стремлении осуществлять рассуждение, не вникая в смысл того, о чем рассуждают, а исходя из "формы" выражения этого смысла. Подобный "способ*’, кстати, диаметрально противоположный аристотелеву. крайне затрудняет разработку, освоение и применение информационных систем, а прокладываемый им “путь к началам всех учений" оказывается если и проходимым, то с немалыми препятствиями.
      Свидетельством того, что дело обстоит именно таким образом, служит то, что при решении насущных проблем люди, как правило, предпочитают не пользоваться формальной логикой, полагаясь на "здравый смысл", а также тщетность бесчисленных попыток включить обучение основам логики в систему общего образования, что. без сомнения, необходимо и в случае благоразумной реализации могло бы радикально повысить эффективность просвещения, открывая этим возможность успешно преодолевать и многие другие трудности. Но внедрение формализма приводит, как известно, к противоположным результатам.
      Несостоятельность формализма убедительно подтверждается и неблагополучным положением в самой информатике. Впечатляющие достижения электроники создают видимость стремительного прогресса компьютерной информатики, информатизации буквально всех сфер жизни, но в действительности происходит нагнетание компьютерной техники в эти сферы, как правило, без основательной оценки последствий, которая и не может быть произведена ввиду неразвитости принципиальных составляющих информатики, т. е. собственно информатики как науки об отображении реальности.
      По этой же причине практически не прогрессируют интеллектуальные применения компьютеров, хотя разговоры об искусственном ин-
      теллекте ведутся с самого начала "компьютерной эры". Ясно, что компьютер - орудие интеллекта, но создавать машинный интеллект, не разобравшись в таких непременных компонентах любого интеллекта, как отношение следования или силлогистическая необходимость, безнадежно.
      Традиционная (гуманитарная) логика, предпочтя формалистическую манеру стоиков (Лукасевич, стр. 55), в частности, Хрисиппа (ок. 280 - 208 до н.э.) содержательному рассуждению Аристотеля, заимствовала у последнего его фигуры и модусы силлогизма как догматические правила, которые каждый изучающий логику обязан знать наизусть (Челпанов, стр. 86). Математическая логика в результате неоднократных попыток все еще не пришла к адекватному выражению отношения непарадоксального следования и не находит возможности корректно отобразить в своих системах аристотелеву силлогистику, которая будто бы не соответствует требованиям математики (вполне соответствуя, однако, логике естественного языка людей, при умелом употреблении безупречно работающего и в математических рассуждениях!).
      Система Аристотеля действительно не так проста, чтобы ее можно было воспроизвести на основании примитивных представлений. Вместе с тем, ей присуще неоспоримое преимущество перед прочими системами - в ней адекватно отображена логика человеческого рассуждения, оиа находится в полном согласии с опытом и со здравым смыслом. Поэтому именно эта система должна быть положена в основание информатики, чтобы обеспечить возможность успешного развития последней. А что касается мнений о несовместимости представлений Аристотеля с концепциями современной математики и невписываемости отношений силлогистики в математическую логику, то эта книга посвящена как раз опровержению этих мнений и показу того, что все в точности вписывается.
     
      1. БУЛЕВА АЛГЕБРА
     
      Булева алгебра - сравнительно простая, естественная и вместе с тем весьма мощная система отображения, квалифицируемая нередко как фундаментальная в том смысле, что составляет удобную основу для построения более сложных систем. Булевой, или булевской, эта алгебра названа в честь англичанина Джорджа Буля (1815-1864). который положил начало практической алгебраиэации мышления, изобретя первую алгебру логики (Стяжкин, стр. 320).
      Формально изобретение заключалось в том. что обычная числовая алгебра с ее операциями сложения, вычитания, умножения и деления была использована с множеством значений, включающим только два числа - 0 и 1. Оказалось, что вычисления на таком множестве моделируют логику рассуждения - достоверность тех или иных выводов из принятых посылок вычислима в двузначной арифметике.
      Этот поразительный результат стимулировал быстрое увеличение активности, направленной на создание и исследование систем так называемой символьной, или символической, логики, которая сегодня более известна как математическая логика. Булева алгебра, выработанная путем обстоятельного усовершенствования того, что было предложено самим Булем, представляет собой наиболее законченную, всесторонне изученную и эффективно применяемую часть этой интенсивно развивающейся области знания.
      1.1. Базисные операции
      Как математический объект булева алгебра вполне аналогична послужившей ей прототипом числовой алгебре, но отличается от нее набором базисных операций и множеством значений, на котором они определены. В соответствии с концепцией Буля это множество содержит лишь нулевой и единичный элементы. Базисных операций всего три: одна одноместная (одаооперашшая, монарная) и две двуместные (бинарные). Принципы организации и функционирования, свойственные числовой алгебре, полностью сохранены: основная конструкция (выражение) строится при помощи скобок (или эквивалентных правил бесскобочного синтаксиса) путем применения операций к ранее образованным тем же путем выражениям, которыми на каком-то этапе этого пути оказываются не детализируемые далее, иехобные, символы, называемые обычно терминальными, или терминалами.
      Например, выражение (а+2)(Ъ-с/3) представляет собой произведение выражений а+2 и Ъ-с/3 , первое из которых построено непосредственно из терминальных символов а, 2, второе же - из терминала Ъ и выражения с/3.
      Выражение, входящее в составное выражение в качестве его подвыражения, называют вложенным в него. Вложенность естественно приводит к иерархии и рекурсии.
      Одноместную операцию булевой алгебры сами алгебраисты называют дополнением, а логики и другие пользователи этой алгебры - отрицанием. О причинах и последствиях этого разногласия будет сказано в дальнейшем.
      Двуместная мультипликативная (типа умножения) операция в булевой алгебре называется конъюнкцией, или логическим умножением, двуместная аддитивная (типа сложения) - дизъюнкцией, а иногда логическим сложением.
      В качестве знака дополнения-отрицания применяются: штрих, черта над операндом, а также префиксы ¦> и "минус". Так, выражение "дополнение х " в зависимости от используемых обозначений может быть представлено в следующих вариантах: ж', х. и, -х. Впрочем,
      не исключены и какие-нибудь иные.
      Знаком дизъюнкции, как правило, служит v (первая буква латинского vet - "неразделительное или"). Конъюнкцию обозначают этой же буквой, перевернутой верхом вниз - л, а иногда знаком & либо "точкой". Нередко знак конъюнкции просто опускают, подобно знаку умножения в числовой алгебре. Поэтому возможны следующие разновидности выражения "конъюнкция х.у ": жлу. х&у. х-у. ху.
      Исчерпывающим определением перечисленных базисных операций служит таблица:
      Базисные операции булевой алгебры...
      Определение каждой из операций представляют также в форме матрицы значений, порождаемых данной операцией в точках с целочисленными декартовыми координатами (я.у):...
      Все эти определения носят, конечно, чисто арифметический характер. Например, определение конъюнкции является ни чем иным, как таблицей умножения чисел О, 1. Алгебра же начинается с выявления присущи операциям свойств с целью установить законы тождественного преобразования выражений.
      1.2. Основные тождества
      В общем случае выражение состоит из знаков операций, букв и цифр, обозначающих те объекты, к которым применяются операции, и скобок, регламентирующих вложенность. В частности, выражением является и отдельная буква или цифра (а в иных системах и отдельный знак операции).
      Вместе с тем, всякое выражение, подобно отдельной букве, может быть объектом операций (операндом) и так же как буква способно принимать значение из допустимых в булевой алгебре О и 1. Различие в том, что букве ее текущее значение придают непосредственно (присваивают), а значение выражения вычисляется, или оценивается, путем выполнения всех предписанных в нем операций над текущими значениями входящих в него букв и подвыражений в порядке их вложенности. Впрочем, можно и обратно, фиксировав значение выражения. устанавливать обеспечивающие его наборы значений букв.
      Выражение, содержащее к различных букв, может быть вычислено на 2к различных наборах значений этих букв и сопоставляет таким образом каждому из них (принимает на нем) однозначно определенное значение. Два выражения с одним и тем же набором букв называются тождественными (выражающими одно и то же), если на любом из наборов значений, присвоенном их буквам, значения этих выражений совпадают (одинаковы, равны).
      Тождественность, или тождество, выражений принято обозначать знаком тождества который, будучи помещен между двумя выражениями. свидетельствует, что они тождественны друг другу. Нетож-дественность обозначаются перечеркиванием знака тождества. Например: х = х, х' а х, х а у. Всякая буква предполагается тождественной сама себе и не тождественной любой другой букве.