|
Предисловие переводчика
Автор книги профессор Ясского университета Флорика Кымпан — известный в Румынии историк математики и писатель-популяризатор. Ее перу принадлежат статьи в специальных журналах, научно-исследовательские работы по истории математики, популярные книги на эту тему.
В процессе работы над задуманным ею трудом по истории тригонометрии Ф. Кымпан натолкнулась на множество интересных фактов, связанных с числом л. Так родилась идея создания литературно-математического рассказа об этом числе. В итоге получилось не сухое изложение истории исследований о числе л и связанной с ним известной задачи о квадратуре круга, а живой рассказ о разных эпохах в развитии математической мысли, об обстановке, в которой протекали работа и жизнь ученых, в той или иной степени занимавшихся проблемой числа Пи.
Книга рассчитана на широкую читательскую публику. Она доступна лицам, обладающим математическими знаниями в пределах программы средней школы. В то же время она представляет интерес и для читателей с более серьезной математической подготовкой.
В процессе редактирования в тексте были сделаны — с согласия автора — некоторые сокращения и исправления. Это, в частности, касается главы «Отказ от канона». Сокращения и исправления внесены также в примечания к книге, помещенные в ее конце. Дополнения, сделанные в примечаниях редакторами книги (включая вновь паписанные примечания), отмечены пометкой «Прим. ред»,
М. Маноле
Предисловие
Хотя число л является лишь одним из бесконечного множества действительных чисел, оно обратило на себя внимание людей еще в те времена, когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1, 2, 3, ... стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов либо их длины, площади или объемы, люди познакомились и с числом л. Тогда оно еще не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3.
Нетрудно понять, почему числу пи уделяли так много внимания. Выражая величину отношения между длиной окружности и длиной ее диаметра, оно появлялось во всех расчетах, связанных с площадью круга или длиной окружности. Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известно как число л. Безусловно, к такому выводу они могли прийти только после того, как к ряду натуральных чисел добавились дробные числа. Со временем, по мере того как в области геометрии накапливались новые результаты, разгорались споры о природе числа л. Этому во многом способствовали попытки геометров определить сторону квадрата, имеющего площадь, точно равную площади заданного круга.
Эта задача, ставшая позже известной как задача о квадратуре круга, должна была как будто остаться, подобно любой другой математической задаче, достоянием специалистов. Но случилось иное: своим кажущимся элементарным характером она породила иллюзию, будто для ее решения нужпы не столько глубокие математические познания, сколько изобретательность. Под влиянием этой иллюзии задача о квадратуре круга получила широкую известность среди нематематиков, превратившись в навязчивую идею, предмет страсти
и даже в цель жизни многих из них. И по сей день вы ражение «квадратура круга» вызывает у непосвященных представление о задаче, полной глубокой таинственности. На самом же деле ничего таинственного в ней не было — кроме того, пожалуй, что для ее решения требовалось знать, что такое число Пи. Установить его природу было не очень легко. Средства, необходимые для такого исследования, поначалу отсутствовали. Создавались они постепенно, по мере того как математика развивала и закрепляла свои собственные методы изучения природы.
Вот почему задача о квадратуре круга занимала умы математиков — и особенно нематематиков — более тридцати веков. За это длительное время она несколько утратила «строгость», свойственную задаче из специальной области; вместо этого, однако, она приобрела немало занимательного. Это и побуждает нас рассказать о ней читателю, владеющему некоторыми элементарными геометрическими понятиями из курса математики средней школы. Такие понятия сохраняются где-то в памяти человека, даже если они с течением времени кажутся забытыми. Чтобы устранить у читателя всякое сомнение в том, что он сможет следить за ходом изложения в этой книге, мы заверяем его, что недостающие знания будут ему «подсказаны» в ходе изложения. Автор страстно желает устранить сложившееся в силу неверной традиции ошибочное представление о недоступности математических книг для неспециалистов.
Величайший математик XVIII в. Ж. JI. Лагранж, прозванный «самой высокой пирамидой математических наук», утверждал, что математик не совсем понял свое творение, если не может изложить его столь ясно, чтобы оно стало понятным для рядового человека. Это его мнение — верное и в применении к теме, которой посвящена эта книга, — разделяют и другие математики. Так, например, Ж. Колле говорит: «Если высшая математика менее доступна, то ее основные элементы понятны для всех, и, чтобы постичь их, достаточно обладать тем здравым смыслом, которым, как утверждает Декарт, в равной степени наделены все люди».
Многие, очевидно, сомневаются, что чтение книги об истории числа л может принести такое же наслаждение, как и чтение повести или романа. Мне хотелось бы рассеять это сомнение и доказать, что сюжет из области математики может быть таким же привлекательным и захватывающим, как и сюжет из любой другой — литературной, музыкальной или научной — области. Читатель, возможно, будет удивлен, узнав, какие страстные споры, какие бурные чувства — чувства, порой доходившие до восторгов или отчаяния, — вызывало число л у тех, кто им занимался. Этому числу удавалось в течение тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только ученых, но и философов, и художников. История числа л лишний раз убеждает, что мысли тех, кто стремится к решению одной и той же задачи, не остаются изолированными во времени и в пространстве: они «ищут» друг друга и соединяются в единое целое, подобно звукам мелодии, связанным между собой законами гармонии. Когда решение математической задачи полечено, его структура нередко дышит кра-
сотой, воздействующей на ум и душу подобно звукам классической симфонии.
Но хватит заверений в том, что читатель сможет понять эту книгу, что для этого необходимы лишь элементарные математические познания. Ведь некоторые, наверное, все равно будут сомневаться. Поэтому я просто расскажу о замысле этой книги.
Конечно, самое простое было бы придерживаться способа, широко используемого в математике. Для этого надо было бы изложить нашу задачу, гипотезы, на которых она основана, затем логически объединить их в доказательства, из которых следуют определенные заключения, и, наконец, привести получающиеся из этих заключений следствия, продемонстрировав их практическое применение. Это весьма подходящий путь для автора научно-популярного произведения.
Мы не пойдем по такому пути. Хотя настоящее повествование посвящено сугубо научной истине и основано на подлинных исторических документах, оно преследует не только просветительные цели — автор стремился к тому, чтобы доставить читателю также и духовное наслаждение. В книге не просто излагается постепенное развитие вопроса о природе числа л и квадратуре круга: автор хотел открыть как бы дверь в прошлое, через которую читатель смог бы собственными глазами следить за событиями, случившимися давным-давно. Ясно, что это отнюдь не прямой путь изложения истины науки. «Прямой» путь можно было бы сравнить с посещением выставки произведений скульптора, выставленных в художественном салоне; наш же путь скорее похож на визит в его мастерскую. Вместо завершенных скульптурных форм, расставленных с расчетом на максимальное эмоциональное воздействие, здесь, в мастерской, мы находим ящик с глиной, время от времени смачиваемой художником, чтобы она не засохла. Мы видим, как художник берет из ящика куски и прилепляет их к незаконченной форме, сырой массой возвышающейся на его рабочем столе. Затем, действуя пальцами и применяя стек, скульптор продолжает лепку. С восхищением следим мы за тем, как глина постепенно принимает живые очертания. Но вот художник быстро отходит от своего творения и смотрит на него через почти закрытые веки. Затем он берет большой кусок глины и бьет им по тому, что только что создал. Он разрушает свое творение, чтобы снова и снова лепить, пока у него не возникнет уверенность в том, что он выразил то, что хотел.
Так вот, наша цель — это как бы краткий визит в мастерскую великого скульптора, называемого математикой. Живые сцены в форме диалогов; наузы, дающие возможность без помех оглядеться и увидеть, как скульптор — математика, — век за веком воплощая «в глине» нашу задачу, придает ей все более четкие очертания; разрушения почти законченной формы с целью ее усовершенствования; глухой звук падающих на пол излишних и уже бесполезных кусков глины — вот как мы попытаемся представить историю ваяния числа л.
Может быть, таким иугем читатель с доверием и радостью сблизится с математикой. И если эго произойдет, то по-настоящему полезными могут оказаться примечания, помещенные в конце книги. В них, кроме исторических и библиографических справок, можно найти и легко прослеживаемые доказательства.
Введение
... Я не специалист по математике, а только поклонник ее, неудачник, влюбленный в эту самую прекрасную из наук.
Поль Валери
Если задать кому-нибудь из вас вопрос, где и сколько раз вам приходилось видеть круг, то, пожимая, наверное, плечами, вы ответили бы: «С тех пор как помню себя, я постоянно н повсюду видел круги. Тарелка, из которой я ем; юла, заставлявшая меня в детстве забывать обо всем на свете; кружка, к которой я первый раз протянул руку; железный обруч от кадки или от винной бочки, который я гонял мальчишкой, ... — ведь все это круги. Я вижу сегодня форму круга или окружности в искрящейся алмазной коронке буровых станков, ее напоминает мне любая цилиндрическая или коническая форма, поясок или кольцо».
Круги, по которым происходит заранее рассчитанное движение, помогают нам измерять время и покорять пространство. На уроках геометрии нас учат, что у окружности есть центр, от которого все его точки одинаково удалены...
«А это я давно знал, — слышим мыв ответ, — знал еще, когда смотрел на колеса автомобиля, на котором я так хотел покататься. В школе меня учили, что прямая, проходящая через центр круга и разделяющая его на две равные части, называется диаметром, а половина диаметра — радиусом. Там же я узнал, как вычислять длину окружности и площадь круга. И теперь еще я вижу себя записывающим в тетрадь формулы:
где греческой буквой л обозначено число 3,14».
Вы, может быть, думаете, что л — просто обозначение? Ничего подобного! л — это имя собственное,
как «Иван» или «Мария». Более того! В то время как Иваном или Марией называют множество людей и нужны другие признаки, чтобы точно знать, о ком идет речь, среди бесконечного множества чисел существует лишь одно-единственное, носящее название л, а именно число, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру. Число 3,14 — одно из приближенных значений л. Для точного определения его не хватило бы и миллионов десятичных знаков, последовательность которых, между прочим, даже неизвестна. Может быть, вас удивит, что у чисел могут быть миллионы десятичных знаков и что в 1958 г. были опубликованы первые 10 ООО десятичных знаков числа л, найденные при помощи электронной вычислительной машины. Может возникнуть вопрос, какая польза от установления такого количества десятичных знаков л, тем более что для вычисления, например, траектории космической ракеты, удалившейся на любое расстояние от Земли, не понадобится и 50 десятичных знаков этого числа.
Не надо думать, что старания математиков преувеличены, что эти вычисления — напрасный труд. Если они не могут быть пока применены на практике, они могут стать полезными в решении какой-нибудь задачи из теории чисел, а это в свою очербдь может найти практическое применение. История математики знает много таких примеров.
В тумане времени
Математика знает весьма тонкие изобретения, могущие принести большую пользу как для удовлетворения желающих учиться, так и для развития всех ремесел, облегчая труд человека.
Декарт
Чтобы начать «с самого начала», надо вернуться к началу человеческой истории: заглянуть в эпоху, удаленную от нас на десятки тысяч или даже больше лет...
Вот люди, одетые в шкуры, содранные каменными ножами со 9версй, за которыми они охотились с помощью дубинок. Один из людей сидит в тени дерева и проворно плетет ивовую корзину. Края корзины он делает круглыми, как его учили родители. Он погружен в свои мысли. На дереве висят еще три готовые корзины. Бросив работу неоконченной, он забирается на дерево, хватает три готовые корзины и спускается на землю. Он выбирает прут из кучи прутьев, лежащей рядом, и измеряет им окружность, образуемую краем самой большой из корзин, отламывая лишнюю часть прута; берет другой прут и измеряет ширину, или, как мы говорим сегодня, диаметр корзины. Затем он сравнивает оба прута и на глаз определяет, что один из них в три раза больше другого. Когда проведенное измерение убеждает его, что он не ошибся, его лицо озаряется радостью. С лихорадочной быстротой повторяет он измерение на других двух корзинах и получает такой же результат. Человек смотрит, оглядывается и, увидев пень круглой формы, проделывает над ним такую же операцию. Проверка удовлетворяет его. Уже много дней мучает его вопрос, решение которого он теперь нашел. Вопрос этот важен для плетения корзин, щели которых надо набивать глиной, чтобы они стали пригодны для хранения воды. Для таких корзин нужно выбирать прутья такой длины, которая позволяла бы получить желаемую ширину и форму: столько-то у края, столько-то в середине и столько-то у дна. Теперь все пойдет как надо. «Теперь, — думает человек, — я понимаю, как придавать корзинам нужную форму и размер».
Это был первооткрыватель числа Пи! До него никому не приходило в голову, что между диаметром окружности и ее длиной может существовать какая-либо связь.
Чтобы оценить важность этого открытия, напомним, что уже на заре истории человек пользовался многими бытовыми предметами и украшениями, имевшими форму круга. Такую форму имели площадки, на которых производился суд. Свидетельством тому служат кромлехи *), разбросанные в разных частях земного шара: в Англии, Аравии, Бретани, Индии, Норвегии, Швеции и т. д. Гомер без тени сомнения подтверждает это, когда описывает щит Ахилла, на котором была изображена сцена суда:
«...старцы градские молча на тесаных камнях сидят средь священного круга» 2).
Мы не можем проследить, каким образом и когда было открыто число л, но, по-видимому, закономерность, согласно которой диаметр окружности содержится три раза в ее длине, передавалась из поколения в поколение. Ее выражали на всех языках Земли. Ею пользовался плотник, изготовлявший деревянное колесо для телеги, каменотес, приделывавший оголовок к колодцу, гончар, измерявший окружность глиняных сосудов для нанесения на них рисунков, — вообще все ремесленники, имевшие дело с кругами. Ближе к нашим временам, когда люди открыли письменность и стали записывать свои знания, они выразили в письме и свои наблюдения о числе л. Сохранились записи, сделанные в разные времена и на разных языках, но очень сходные по содержанию, так как речь в них шла об одном и том же открытии, считавшимся в те далекие века достойным упоминания. Например, на табличках из обожженной глины, выкопанных в Месопотамии, было написано:
«Если 60 есть окружность, то третья часть от 60 представляет собой 20. Это есть диаметр» 3).
Это же соотношение, выраженное в аналогичной форме, мы находим и в задачах, содержащихся в самых древних египетских и индийских папирусах, в китайских книгах и т. п. 4).
Сумев усовершенствовать науку об измерении, египтяне позже заметили, что диаметр окружности не содержится точно 3 раза в ее длине. Установление этого факта глубоко взволновало их, так как оно породило сомнения в правильности открытых предшественниками законов. Это видно и из того, что они пытались добиться такого же результата другим путем — путем научного рассуждения. Так, очевидно, началась борьба между старыми традициями и новыми научными идеями. Число 3 перестало считаться выражением отношения между длиной окружности и ее диаметром; но египтяне продолжали верить в существование постоянного отношения между длиной окружности и диаметром, величину которого они старались установить.
Это событие оставило свои следы в строках задач, записанных писцами на папирусах. Вычисления в этих задачах уже не так просты, как в тех, где предполагалось, что число тс равно 3. Благодаря своему новому значению число л выделяется из множества натуральных чисел и привлекает внимание математиков. Этот факт зафиксирован на страницах двух расшифрованных учеными манускриптов: на папирусе Ринда, составленном Ахмесом около 1600 г. до н. э., и на Московском папирусе времен Среднего царства 5). Чтобы убедиться в этом, перенесемся мысленно к подножию величественной пирамиды Хеопса и развернем папирусы. Делать это надо с величайшей осторожностью, ибо время сделало их очень хрупкими.
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
