Георгий Евгеньевич Шилов
Как строить графики
Популярные лекции по математике
*** 1959 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Показано, как, пользуясь этими графиками, строить графики более сложных функций. Брошюра рассчитана на учащихся старших классов. А синуса график, волна за волной, По оси абсцисс убегает ... (Из студенческого фольклора) Трудно найти область науки или общественной жизни, где не применялись бы графики. Всем нам неоднократно приходилось видеть, например, графики роста промышленного производства или производительности труда в СССР. Явления природы, как например суточные или годовые изменения температуры, атмосферного давления и т. д., также проще всего описать с помощью графика. Построение графиков такого рода не представляет труда, — была бы лишь заранее составлена соответствующая таблица. Мы будем говорить здесь о других графиках: о графиках, которые должны быть построены по данным математическим формулам. Потребность в таких графиках часто возникает в разных областях знания. Так, анализируя теоретически ход будущего физического процесса, ученый получает формулу, дающую некую интересующую его величину, например количество получающегося продукта в зависимости от времени. График, составленный по этой формуле, наглядно представит результаты будущего процесса. Возможно, что, глядя на этот график, ученый внесет существенные изменения в схему опыта, чтобы получить лучшие результаты. Мы разберем в этой брошюре некоторые простые приемы построения графиков по заданным формулам. Начертим на плоскости две взаимно-перпендикулярные прямые, горизонтальную и вертикальную, и обозначим через О их точку пересечения. Горизонтальную прямую назовем осью абсцисс, вертикальную — осью ординат. Каждая из осей делится точкой О на две полуоси, положительную и отрицательную, при этом правая полуось оси абсцисс и верхняя полуось оси ординат считаются положительными, а левая полуось оси абсцисс и нижняя полуось оси ординат считаются отрицательными. Положительные полуоси отметим стрелками. Местоположение каждой точки М на плоскости теперь можно определить парой чисел. Для этого опустим из точки М перпендикуляра на каждую из осей; эти перпендикуляры отсекут на осях отрезки ОА и ОВ (рис. 1). Длину отрезка ОА, взятую со знаком -)-, если А лежит на положительной полуоси, и со знаком — , если А лежит на отрицательной полуоси, будем называть абсциссой точки М и обозначать через х. Аналогично длину отрезка ОВ (с тем же правилом знака) будем называть ординатой точки М и обозначать через у. Два числа х и у называются координатами точки М. Каждая точка на плоскости имеет какие-то координаты. Точки оси абсцисс имеют ординату, равную нулю, точки оси ординат имеют абсциссу, равную нулю. Начало координат О (точка пересечения осей) имеет обе координаты, равные нулю. Обратно, если даны любые два числа х и у любых знаков, то всегда можно постро-Рис. 1. ить точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, для этого нужно на оси абсцисс отложить отрезок О А = х и из точки А восставить перпендикуляр AM =у (с учетом знаков); точка М и будет искомой. Пусть дана формула, для которой требуется построить график. В этой формуле должно быть указано, какие действия следует произвести над независимым переменным (обозначенным через х), чтобы получить значение интересующей нас величины (обозначаемой через у). Например, формула показывает, что для получения значений величины у нужно независимое переменное х возвести в квадрат, прибавить единицу и единицу разделить на полученный результат. Если х принимает какое-либо числовое значение х0, то по нашей формуле и у примет некоторое числовое значение у0. Числа хо и Уо определяют некоторую точку MQ в плоскости чертежа. Вместо х0 можно затем взять другое число xt и по формуле сосчитать новое значение ур, пара чисел определит новую точку Мл на плоскости. Геометрическое место всех точек, ордината которых связана с абсциссой данной формулой, и называется графиком, отвечающим этой формуле. Совокупность точек графика, вообще говоря, бесконечна, и мы не можем рассчитывать фактически построить по ука- занному правилу их все без исключения. Но мы обойдемся без этого. В большинстве случаев достаточно некоторого небольшого числа точек, чтобы иметь возможность судить об общем виде графика. Способ построения графика «по точкам» состоит именно в том, что намечают некоторое число точек графика и соединяют эти точки (по возможности) плавной линией.
|
