Библиотечка «Квант»
Игорь Фёдорович Шарыгин
Задачи по геометрии
(стереометрия)
*** 1984 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Распознавание фрагмента текста НЕУВЕРЕННОЕ. СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 4 Раздел I. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ 5 Раздел II. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ-МИНИМУМ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 24 § 1. Задачи на доказательство 24 § 2. Задачи ва максимум-минимум. Геометрические неравенства 30 § 3. Геометрические места точек 35 Произвольный тетраэдр 38 Равногранный тетраэдр 39 Ортоцентрический тетраэдр 41 Произвольный многогранник. Сфера 42 Выход в пространство 43 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 45 Раздел I 45 Раздел II 98 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга содержит 340 различных задач по стереометрии и является естественным продолжением вышедшей книги автора «Задачи по геометрии: Планиметрия» — М.: Наука, 1982 («Библиотечка «Квант», вып. 17). В связи с этим автор считает возможным ограничиться в предисловии лишь замечаниями, непосредственно относящимися к данной книге. Задачи этого сборника разбиты на два больших раздела: задачи на вычисление и задачи на доказательство. Наиболее простые задачи первого раздела снабжены лишь ответами, другие — краткими указаниями, наиболее трудные — более подробными указаниями и решениями. Здесь следует .сделать две оговорки. Во-первых, в большинстве случаев решения задач лишь намечены, ряд деталей предлагается рассматривать читателю. Во-вторых, неся ответственность за предлагаемые решения, автор не считает целесообразным рекомендовать свои решения в качестве образца на конкурсном экзамене. Во втором разделе собраны различные геометрические факты и теоремы, задачи на максимум и минимум (некоторые задачи этого раздела можно было бы отнести и к первому), задачи па геометрические места точек; здесь же рассматриваются некоторые вопросы геометрии тетраэдра, сферической геометрии и т. п. Говоря о методах решения задач, предлагаемых в сборнике, приходится констатировать, что, по сравнению с задачами по планиметрии, резко возрастает удельный вес аналитических, счетных методов. Автор РАЗДЕЛ 1 ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ 1. Дан куб с реброма. Две вершины правильного тетраэдра лежат на его диагонали, а две оставшиеся яа диагонали его грани. Найти объем тетраэдра. 2. В основании четырехуголыгой пирамиды лежит прямоугольник, высота пирамиды h. Найти объем пирамиды, если известно, что все ее пять граней равновелики. 3. Среди пирамид, все ребра которых равны а, найти объем той пирамиды, которая имеет наибольшее число ребер. 4. Вокруг шара описана правильная усеченная четырехугольная пирамида, апофема которой равна а. Найти ее боковую поверхность. 5. Определить угол при вершине осевого сечения конуса, если его объем в три раза больше объема вписанного в него шара. 6. Три шара касаются плоскости данного треугольника в вершинах треугольника и между собой. Найти радиусы этих шаров, если стороны треугольника равны а, бис. 7. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба с ребром а. В каком отношении делит каждую из этих диагоналей их общий перпендикуляр? 8. Доказать, что площадь проекции многоугольника, расположенного в плоскости а, на плоскость {5 равна S cosip, где S — площадь многоугольника, ср — угол между плоскостями а и {5. 9. Даны три прямые, проходящие через одну точку А. Пусть By и В2 — две точки на одной прямой, Су и С2 — на другой, Dt т D2 — на третьей. Доказать, что 10. Пусть а, Р и у — углы, образованные произвольной прямой с тремя попарно перпендикулярными прямыми. Доказать, что cos2 а + cos2 р + cos2 у — 1. 11. Пусть S и Р — площади двух граней тетраэдра, а — длина их общего ребра, а — двугранный угбл между ними. Доказать, что объем тетраэдра V может быть найден по формуле 12. Доказать, что для объема произвольного тетраэдра V справедлива формула V = abd sin tp, где а и b — два противоположных ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, ф — угол между ними. 13. Доказать, что плоскость, делящая пополам двугранный угол при каком-либо ребре тетраэдра, делит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям граней, заключающих этот угол. 14. Доказать, что для объема V многогранника, описанного около сферы радиуса R, справедливо равенство V = SnR, где Sn — полная поверхность многогран-ника. 15. Дан выпуклый многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях. Доказать, что его объем можно вычислять по формуле где — площадь грани, расположенной в одной плоскости, S2 — площадь грани, расположенной в другой плоскости, S — площадь сечения многогранника плоскостью, равноудаленной от двух данных, h — расстояние между данными плоскостями. 16. Доказать, что отношение объемов сферы и описанного около нее усеченпого конуса равно отношению нх полных поверхностей.. 17. Доказать, что площадь части поверхности сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле где R — радиус сферы, h — расстояние между плоскостями. 18. Доказать, что объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего, иожне вычислять по формуле где а — длина хорды этого сегмента, a Л — проекция этой хорды на диаметр. 19. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке (центре тяжести тетраэдра) и делятся в ней в отношении 3 : 1 (считая от вершин). Доказать также, что в зтой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, и делятся этой точкой пополам. 20. Доказать, что прямые, соединяющие середпну высоты правильного тетраэдра с вершинами той грани, на которую эта высота опущена, попарно перпендикулярны. 21. Доказать, что сумма квадратов длин ребер тетраэдра в четыре раза больше, чем сумма квадратов расстояний между серединами его скрещивающихся ребер. 22. Дан куб ABCDA ByCiDi *) с ребром а, К — середина ребра DDt. Найти угол и расстояние между прямыми СК vi.AxD. 23. Найти угол и расстояние между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром а. 24. В основании пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD. Ребро SD является высотой пирамиды. Найти объем пирамиды, если известно, что АВ = 25. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а, боковые ребра имеют длину Ъ. Найти радиус шара, касающегося всех ребер пирамиды или их продолжений. 26. Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба. Найти отношение объемов шара и куба. 27. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найти радиус сферы, проходящей через середины ребер ААи ВВУ и через вершины А и Cv *) ABCD и AjB Di — две грани куба, AAU BBU CClt DD, — его ребра. 28. Б основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной а, высота параллелепипеда рав на Ъ. Найти радиус сферы, проходящей через концы стороны А В основания и касающейся граней параллелепипеда, параллельных АВ. 29. В сферу радиуса R вписана правильная треугольная призма со стороной основания а. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы. 30. Два шара одного радиуса и два другого расположены так, что каждый шар касается трех других и данной плоскости. Найти отношение радиуса большего шара к меньшему. 31. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром а. Наи-ти радиус сферы, проходящей через вершины С и D и середины ребер А В и АС. 32. Одна грань куба лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, на одной из боковых граней пирамиды лежат две вершины куба, а на двух других по одной. Найти ребро куба, если сторона основания пирамиды равна а, а высота пирамиды h. 33. Двугранный угол при основании правильной /г-угольной пирамиды равен а. Найти двугранный угол между соседними боковыми гранями. 34. В треугольной призме АВСАХВХСХ*) проведены две плоскости: одна проходит через вершины А, В и СХ, а другая — через вершины Ах, Вх и С. Эти плоскости разделили призму на четыре части. Об1ем меньшей из этих частей равен V. Найти объем призмы. 35. Через точку, находящуюся на расстоянии а от центра шара радиуса R (R а), проведены три попарно перпендикулярные хорды. Найти сумму квадратов отрезков хорд, на которые их делит данная точка. 36. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник ABC со стороной а. На боковых ребрах взяты точки Ах, В[ и Сг, удаленные от плоскости основания соответственно па расстояния а/2, а, За/2. Найти угол между плоскостями ABC и А1В1С1. 37. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна апофеме боковой грани. Через сторону основания проведено сечение, делящее пополам поверхностъ пирамиды. Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды. 38. Центр шара находится в плоскости основания правильной треугольной пирамиды. Вершины основания лежат на поверхности шара. Найти I — длину линии пересечения поверхностей шара и пирамиды, если радиус шара равен R, а плоский угол при вершине пирамиды а. 39. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (S — вершина) на диагонали AD взяты три точки, делящие диагональ на четыре равные части. Через эти точки проведены сечения, параллельные плоскости SAB. Найти отношения площадей полученных сечений. 40. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между боковым ребром и плоскостью оспования. Определить двугранные углы между соседними боковыми гранями этой пирамиды. 41. В основании треугольной пирамиды, все боковые ребра которой попарно перпендикулярны, лежит треугольник площади S. Площадь одной из боковых граней Q. Найти площадь проекции этой грани на основание. 42. АВСА1В1С1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. К — точка на ребре АВ, отличная от А и В, М — па прямой ВХСХ, L — в плоскости гранп АССХАХ. Прямая KL образует равные углы с плоскостями ABC и ABBlA1, LM образует равные углы с плоскостями ВССХВХ и АССХАХ, КМ также образует равные углы с плоскостями ВССЛВХ и АСС1А1. Известно, что KL = КМ = 1. Найти ребро призмы. 43. В правильной четырех угольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между боковым ребром и плоскостью боковой грани, не содержащей это ребро. Найти этот угол. 44. Найти другранный угол между основанием и боковой гранью правильной треугольной усеченной пирамиды, если известно, что в нее можно вписать шар и, кроме того, существует шар, касающийся всех ее ребер. 45. Три ребра треугольной пирамиды равны 1, а три других равны а. Ни одна грань не является правильным треугольником. В каких пределах может меняться а? Чему равен объем этой пирамиды? 46. Боковые гранп треугольной пирамиды равновелики и наклонены к плоскости основапия под углами а, {5 и у. Найти отношение радиуса шара, вписапного в эту пирамиду, к радиусу шара, касающегося основания пирамиды и продолжений трех боковых граней. 47. Все ребра правильной шестиугольной призмы равны а. Найти площадь сечения, проведенного через сторону основания под углом ct к плоскости основания. 48. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX известны АВ = а, AD = Ъ, \ААХ\ = с. Найти угол между плоскостями ABXDX и AXCXD. 49. В основании пирамиды ABCDM лежит квадрат ABCD со стороной а, боковые ребра AM и ВМ также равны а, боковые ребра СМ и DM имеют длину Ь. На грани CDM, как на основании, во внешнюю сторону построена треугольная пирамида CDMN, боковые ребра которой имеют длину а. Найти расстояние между прямыми AD и MN. 50. В тетраэдре одно ребро равно а, противоположное — Ь, а остальные — с. Найти радиус описанного шара. KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
