Математические бильярды

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      В данной книге изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и «одномерный бильярд» (конечное число точечных шаров, движущихся по отрезку, лучу или по всей бесконечной прямой). Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, «арифметических», физических следствиях этого закона и рассказывается в книге.
      Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.
      Многие из излагаемых в книге результатов являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой. Проблемы этой теории непосредственно близки к переднему краю сегодняшней математики. Поэтому книга, возможно, будет интересна не только школьникам, ио и студентам, и специалистам — математикам, механикам, физикам. В ней сформулировано немало вопросов, остающихся открытыми, и мы надеемся, что кому-нибудь из читателей книги удастся продвинуться в их исследовании. Учитывая элементарность методов (при неэлементарности результатов) и плодотворность свежего взгляда иа рассматриваемые вопросы и проблемы, мы особенно рассчитываем на читателей-старшеклассников.
      Многие из решаемых в книге задач разбирались на занятиях кружков в физико-математической школе-интернате при МГУ, в летнем лагере Малой академии наук Крыма «Искатель». Часть материала публиковалась в журнале «Квант» (см. список литературы в конце книги). Некоторые идеи и результаты, приводимые в книге, неоднократно обсуждались с участниками семинара МГУ по теории динамических систем и с его руководителем Я. Г. Синаем *).
      *) В течение долгого времени и до последних дней своей жизни этим семинаром вместе с Я. Г. Синаем руководил также замечательный математик и популяризатор науки В. М. Алексеев (1932—1980).
      Этот семинар является одним из наиболее известных мировых центров по теории динамических систем и, в частности, по теории бильярдов; часть приводимых нами результатов принадлежит его участникам. Многолетнее участие авторов в работе этого семинара в значительной мере способствовало написанию этой книги.
      Читателю не следует рассчитывать на легкое чтение — через некоторые параграфы, наверное, придется буквально продираться, вооружившись карандашом и бумагой, иногда — ножницами и клеем, а может быть, микрокалькулятором или компьютером. Книгу не обязательно читать подряд — напротив, проскочив (как бильярдный шар) через параграф или главу, читатель может найти интересующий его (и доступный ему) материал — потом можно и возвратиться.
      В книге много отступлений от чисто бильярдной тематики, вызванных тем, что бильярды имеют отношение к большому числу интересных и, иа наш взгляд, красивых задач, и поэтому мы надеемся, что читатель сможет разнообразить свои впечатления, узнать что-то новое и даже не совсем обычное.
      Но стоит сразу предупредить любителей игры в бильярд — в нашей книге нет не только соответствующих полезных советов, но даже и правил этой древней игры. Эта книга — по математике, а любителям обычного бильярда мы можем порекомендовать публикации журнала «Наука и жизнь» (см. [1] в списке литературы) н книгу Г. Г. Кориолиса «Математическая теория явлений бильярдной игры» (М.: Гостехиздат, 1956), а также посетить возродившиеся чемпионаты страны по бильярду.
      Как известно, «нестрого» не означает «неверно», равно как и «строго» не означает «уместно» или «интересно» (это высказываение принадлежит современному американскому физику Дж. Лебови-цу — одному из ведущих специалистов по статистической механике). Поэтому в большинстве важных математических вопросов (при изложении методов) мы старались придерживаться полной (насколько это возможно при принятом элементарном подходе) строгости, однако в ряде вопросов более общего (физического) характера (когда касались общих принципов или идей) ограничились интуитивным уровнем описания. Это следует иметь в виду и читателю-ригористу, и читателю-«физику», привыкшему больше доверять своей интуиции.
      Представление о структуре книги можно получить не только из оглавления — в конце Введения, в котором сформулирована основная часть рассматриваемых далее вопросов и проблем, коротко рассказано и о последовательности изложения.
      Читатель, заинтересовавшийся дальнейшими деталями «математики бильярдов» или другими подходами к излагаемым вопросам, может обратиться к списку литературы в конце книги.
      Мы благодарны Я. Г. Синаю, внимательно прочитавшему всю рукопись и сделавшему много замечаний и предложений по улучшению ее текста, а также Л. А. Бунимовичу, Я. Б. Песину, А. М. Степину и Ю. П. Соловьеву, своими замечаниями способствовавшими улучшению отдельных мест книги.
      Читатель, конечно, имеет представление об игре в бильярд на прямоугольном столе с лузами (рис. В. J). Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны — упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. Более поздние сведения о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку.
      Так, французский король Карл IX в Варфоломеевскую ночь *) играл в бильярд, когда раздался условный звон колоколов парижского собора Сен-Жермен Д’Акселеруа. Затем В. Шекспир в «Антонии и Клеопатре»**) заставляет египетскую царицу Клеопатру играть в бильярд со своей фрейлиной (акт II, сцена 5; см. эпиграф к части III). В 1760 г. английский король Георг II издал указ, запрещающий игру в бильярд в общественных местах под страхом штрафа в 10 фунтов. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Как правило, в бильярд играли на прямоугольном столе с шестью лузами, из которых четыре располагались в углах стола, а две — в серединах более длинных сторон; отличались эти игры лишь количеством шаров — иногда довольствовались тремя шарами (как, например, английский король Генрих VIII), а иногда — пятнадцатью или двадцатью.
      *) Варфоломеевская ночь (известная также под названием «парижская кровавая баня»)— историческое событие, происшедшее в ночь на 24 августа 1572 г., когда католики учинилн избиение гугенотов (французских протестантов).
      **) Шекспир В. Полное собрание сочинений: В 8 т. Т.7,— М.: Искусство, 1960. Трагедия написана в 1616 г.
      Подобно тому как азартная игра б кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном столе с лузами посвящена книга известного французского физика Г. Г. Корио-лиса, написанная им в 1835 г. за год до избрания его академиком Парижской академии наук.
      Известны различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз (при игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами — см. литографию известного художника XIX века А. Оберландера на второй странице обложки). Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда, которому посвящена эта книга.
      Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов (рис. В. 2). Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика?
      Математическая проблема бильярда, или проблема траекторий, состоит в том, чтобы найти ответ на этот вопрос. Описанная механическая система — точечный шар в бильярдной области Q, ограниченной бортом Г (границей области Q),— и называется математическим бильярдом. Траектория бильярда в области Q определяется начальным положением точки q (q?Q) и начальным вектором ее скорости V. Пренебрежение трением означает, что абсолютную величину скорости v при движении точки мы считаем неизменной во времени, поэтому задаваемый в начальный момент времени /=0 вектор © можно считать единичным, характеризующимся лишь своим направлением. Направление вектора ©(/), т. е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону абсолютно упругого отражения: после удара шара (точки q{i)) о борт Г в точке Р шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения». Если борт Г в окрестности точки Р криволинейный, то углы падения и отражения — это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной MN к кривой Г, проведенной в точке Р (рис. В. 2) *). Таким образом,
      *) В физике обычно принято отсчитывать углы падения и отражения от нормали к кривой Г в точке Р. Нам удобнее отсчитывать углы от касательной.
      траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену.
      Борт Г бильярда может иметь и точки излома — типа точек Аи А2, ... на рис. В.2. Касательная к кривой Г в такой точке не определена. Поэтому бильярдную траекторию, попадающую в такую точку, мы будем считать оканчивающейся в ней. Такие «тупиковые» траектории в определенном смысле исключительны, и мы их, как правило, рассматривать не будем. Сформулированная выше проблема траекторий относится к поведению неособых, бесконечных во времени траекторий.
      Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания — разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные — непериодические. На рис. В.З изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике, в круге.
      Траектория с «начальным условием» (q, v) будет периодической (или замкнутой), если через некоторое время (через период) точка возвращается в свое начальное положение q с первоначальной скоростью V. Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» — такими мы привыкли представлять, например, движения планет около Солнца и качания маятника. Рассматриваемая проблема в отношении периодических траекторий сводится, в частности, к вопросу о существовании: в любой ли области Q существуют периодические (замкнутые) траектории? Другой вопрос — о критерии периодичности: как по данным начальным условиям {q, v) узнать, будет ли соответствующая траектория периодической?
      В первых двух частях книги мы найдем критерии периодичности для бильярдов в круге и в прямоугольнике. Во второй главе будет решен и вопрос о существовании периодических траекторий бильярда в произвольной выпуклой области с гладкой (без изломов) границей. А вот этот же вопрос для бильярдов в многоугольниках (даже в тупоугольных треугольниках!) до настоящего времени остается открытым. Иначе говоря, неизвестно, в любом ли многоугольнике (или тупоугольном треугольнике) существуют периодические траектории. А ведь этот вопрос, по сути, относится к элементарной геометрии. Известные нам сведения по данному поводу приведены в гл. 9.
      Интерес представляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическая траектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области (если принять минимальный период Периодической траектории, скажем, за единицу)?
      Оказывается, это далеко не праздные вопросы — например, они имеют прямое отношение к исследованию специальных систем квантовой механики. Однако объяснение этого выходит далеко за рамки наших возможностей в данной книге.
      Взамен рассмотрим элементарную задачу совсем из другой области, изящно решаемую с помощью бильярдов. Речь пойдет о «переливаниях», которые, казалось бы, не имеют уж ничего общего с бильярдами. Начнем с классической головоломки.
      Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды? Всякие уловки запрещены, т. е. на сосудах нельзя делать никаких отметок, их нельзя наклонять, чтобы отмерять доли литра, и т. д.
      Предложенная задача решается либо алгебраическим методом, либо методом проб и ошибок. При чем же здесь бильярдные шары?
      Как ни странно, но головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбического стола! Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц (рис. В.4). По горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали — та же величина для 7-литрового сосуда.
      Как же пользоваться диаграммой? Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по Я.
      Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний изображены схематически на рис. В.4. Наклонные стрелки говорят о том, что вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальные означают, что либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку, либо больший сосуд надо наполнить водой до краев.
      Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. На диаграмме (рис. В.4) это соответствует тому, что шар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта до тех пор, пока не ударится в верхний борт. Нарисовав траекторию бильярдного шара, читатель убедится в том, что точка 2 достигается на этот раз за 14 отражений от борта. Полученное решение с 14 переливаниями уже является самым коротким.
      Требуется немного сообразительности, чтобы применить метод бильярдного шара к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Поскольку кроме как во введении об этих задачах мы говорить больше не будем, поговорим об этом методе здесь более подробно.
      Рассмотрим старую головоломку с тремя сосудами, восходящую еще к Никола Фонтана, итальянскому математику XVI века, которого друзья называли Тартальей *). Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов объемом 3 и 5 литров воду надо поровну разлить в два больших сосуда. Диаграмма для этой задачи — ромбический стол размером 3X5 — изображена на рис. В.5. Главная диагональ ромба, поделенная наклонными прямыми на 8 частей, щью вы получите решение в минимальным числом переливаний, равным 7.
      Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда
      Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель (подумайте сами, почему). Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромбического стола надо отсечь нижний правый угол (рис. В.6). Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объем.
      *) Тарталья по-итальянски означает «заика». Он родился в 1500 г. в итальянском городе Брекчия. В 1512 г. во время взятия города французами Тарталья был ранен в нижнюю часть лица, что отразилось на его речи; товарищи прозвали его заикой.