Математика и спорт

DjVu

      I. МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПОРТА И СПОРТ ДЛЯ МАТЕМАТИКИ (ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ)
      Математика и спорт, казалось бы, далеки друг от друга. Но это только на первый взгляд. Лишь по недоразумению многим юношам и девушкам занятия точными науками и спортом представляются малосовместимыми. Это происходит из-за отсутствия опыта или из-за того, что часто в школе с хорошо поставленным преподаванием точных наук уроки физической культуры организованы менее удачно. Во всяком случае, среди школьников, которых мы привыкли считать способными и умными, встречается несколько пренебрежительное отношение к физкультуре, спортивным играм, к регулярным физическим нагрузкам. В то же время многие представители различных наук и, в частности, математики и физики старшего поколения с большим вниманием относятся к своим спортивным занятиям.
      За последние десятилетия произошли существенные изменения условий жизни, произошел качественный скачок в образовании, особенно в области точных наук. Возросший поток информации увеличил психологические нагрузки в сфере служебных обязанностей; занятия в школе и вузе стали более напряженными. Новые условия жизни, учебы и работы потребовали от молодежи (и даже от людей взрослых) определенной психологической и физической устойчивости. Мы убеждены на основании наблюдений и собственного опыта, что такая устойчивость особенно необходима тем, кто занимается математикой и физикой. Ученым, занятым творческой работой, известны и радость открытия (одна из удивительных радостей жизни, не всем знакомая), и напряженный труд, и горечь отказа от некоторых развлечений, и усталость, которая сопутствует периодам напряженной работы. Норберт Винер писал: «Интенсивная исследовательская работа изматывает до предела. Если ученый лишится возможности отдыхать с такой же полнотой, с которой он отдается работе, это сразу же скажется на качестве его статей»).
      Многие стремятся к «разрядке умственной напряженности». Однако разные люди эту разрядку обретают различными путями. Одни увлекаются бриджем (разве это не игра для математиков?!), другие шахматами (шахматное искусство достойно мудрых третьи — эпизодическими прогулками и очень немногие — физической культурой. Большинство считает, что ни бридж, ни шахматы, ни японская игра «го», ни другие игры, требующие умственного напряжения, не приносят настоящего отдыха. Бытует также (может быть, спорное) убеждение, что серьезные занятия одновременно математикой и шахматами невозможны. Приводят примеры, среди них один наиболее яркий: Э. Ласкер, став выдающимся шахматистом и чемпионом мира, ушел из математики, в которой раньше активно работал, и имел результаты, вошедшие в учебники.
      Кое-кто из деятелей науки утверждает, что крепкие та-баки и напитки приносят ясность мысли и некоторый творческий подъем. Полезно, однако, испробовать другие средства: регулярно заниматься посильными физическими упражнениями, пробежками, посещать плавательный бассейн или приобщиться к спортивным играм — теннису, баскетболу, бадминтону, волейболу и другим. Вновь сошлемся на Норберта Вянера, который считал, что ему лчше всего писалось, когда умственная работа чередовалась с простыми, не требующими умственной нагрузки удовольствиями — прогулками, плаванием. Поклонникам интеллектуальных игр полезно знать, что в спорте и спортивных играх ум, образование, расчет — вещи далеко не лишние. Так, например, хороший теннисист должен обладать разнообразной и тонкой техникой ударов. Это требует огромного труда, сравнимого с трудом скрипача. Но, выходя на корт, теннисист встречается с соперником, который, как правило, не уступает ему в технике. И здесь уже все решают тактика, сметка, расчет и предвидение. Недаром подавляющая часть хороших теннисистов — образованные и умные люди, недаром среди ученых теннис — широко распространенная игра. Но теннис не исключение, аналогичные соображения можно было бы высказать относительно других спортивных игр: по мнению крупных авторитетов современный спорт вообще становится в последние годы все более интеллектуальным. Следует также иметь в виду, что не только шашки, шахматы, карточные игры или биллиард служат источником многих интересных задач. Их можно встретить. в спорте повсюду. Математические методы все шире используются в спорте. Подумайте, сколько еще нерешенных проблем возникает при рассмотрении взаимодействия мяча и ракетки, мяча с грунтом или травой. В этой книжке среди другого материала вы обнаружите обсуждение системы игры в теннис с позиций теории марковских процессов, судейства в фигурном катании — с позиции экспертных оценок и многое другое.
      Известно, что методами математической статистики устанавливают перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность, обрабатывают показания датчиков, контролирующих нагрузки спортсменов. Теория информации позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при занятиях различными видами спорта (горнолыжным, настольным теннисом и др.). Математика и физика помогают изыскивать наиболее удачные формы гребных судов и весел. Существует мнение, что идеи П. JI. Чебышева, касающиеся раскроя тканей, были использованы при конструировании суконной оплетки теннисного мяча ).
      В то же время занятия спортом благотворно влияют на умственную деятельность и психику человека, укрепляют его волю. Этот факт бесспорен для многих ученых, занимающихся плаванием, теннисом, бегом, лыжами, альпинизмом.
      Можно утверждать, что удивительное творческое долголетие многих наших выдающихся математиков и физиков обеспечивается их дружбой со спортом.
      Следует назвать многих крупных ученых — Б. Понтекорво, Дж. Литлвуда, Р. Пэли — сочетавших науку со спортом. Нильс Бор и Харольд Бор играли в классной футбольной команде, Нильс Бор был отличным лыжником, Альберт Эйнштейн увлекался вождением яхт (а не только игрой на скрипке). О математиках и физиках — альпинистах следовало бы написать целую книгу. Как тут не вспомнить Чарли Чаплина, писавшего, что в минуты тяжелых переживаний и неприятностей он брал ракетку, отправлялся к тренировочной стенке
      ) Профессор кафедры «Прикладная математика» МИИТ Е. С. Вентцель рассказала нам, что, будучи студенткой математического факультета Ленинградского университета, слышала от своих учителей о лекции по раскрою одежды, объявленной П. Л. Чебышевым. Среди слушателей было много портных. Лекцию П. Л. Чебышев начал словами: «Предположим, что человек имеет форму шара».
      я бил о нее час — два мячом, пока не становилось легче на душе и не возвращалось спокойствие.
      Если сравнить детей, получивших физическое воспитание, с детьми, которые не увлекались спортом, то можно заметить, что первые легче преодолевают трудности в жизни, учебе, успешнее борются с болезнями.
      Существуют различные пути в любительский спорт, в жизнь, где учеба, а затем работа и творчество сочетаются с физическими нагрузками. Этими путями никогда не поздно воспользоваться.
      Очень многое дает школа: уроки физической культуры, лыжные прогулки, посещение плавательных бассейнов, подготовка к сдаче норм ГТО. Кроме того, при отделах народного образования, дворцах пионеров, при спортивных обществах функционируют многочисленные детские спортивные школы. В них особенно охотно принимаются школьники младших классов.
      Под руководством кафедр физического воспитания и спорта проходят занятия в вузах. Помимо (а иногда и вместо) обязательных занятий можно тренироваться в специализированных секциях: плавания, борьбы, гимнастики, легкой или тяжелой атлетики, баскетбола, волейбола и др. При увлеченности и усердии достижимы спортивные разряды. Все это не только не мешает, но благоприятствует учебе. Следует лишь разумно распоряжаться бюджетом своего времени. Разнообразные возможности доставляют спортивные общества, повсюду имеющие свои секции. Таким образом, на пути в спорт очень многое зависит от нас самих. Спорт приносит уверенность в собственных силах и успехи в деле служения обществу, родине.
      Возможно, что читатель, раскрывший эту книгу, верит в полезность спортивных занятий и находит для них место в своем бюджете времени.
      Не исключено также, что спектр читателей окажется достаточно широким — от лиц, близких к точным наукам, но далеких от спорта, до тех, кто близок к спорту, но далек от наук точных (от математики — в первую очередь).
      Хорошо известно, что спорт является неисчерпаемым источником весьма интересных и трудных проблем, к которым имеют прямое отношение многие науки: медицина, биомеханика, гидро- и аэродинамика, социология, статистика и другие. Эти проблемы изучают, решают, о них рассказывают специалисты из соответствующих областей знаний. Охватить их в достаточной общности в рамках небольшого издания невозможно; а для нас — и непосильно. В этой книге мы
      попытаемся привлечь внимание читателя как к возможности изучения многих ситуаций в спорте с математических позиций, так и к целесообразности более обоснованных количественных и качественных оценок спортивных явлений. Мы рассмотрим лишь некоторые из спортивных ситуаций, поддающихся изучению методами молодой математической теории — «исследование операций». Возникшие в последние четыре десятилетия эти методы стали играть значительную роль в прикладной математике.
     
      2. ЧТО ТАКОЕ ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА?
     
      2.1. О «чистой» и «прикладной» математике
      Трудно указать предмет, который вызвал бы в последние годы столь ожесточенные споры среди людей, имеющих отношение к математике. Пока идут эти споры, во всех промышленно развитых странах развернулась широкая подготовка специалистов в области прикладной математики; в частности, и в наших институтах специальность «прикладная математика» превращается в одну из наиболее популярных. В то же время многие выдающиеся специалисты утверждают, что никакой прикладной математики вообще нет...
      Что же это за область, «которой нет»? И чем занимаются специалисты в этой (еще неизвестно, существующей ли) области?
      Математика начала применяться еще до того, как стала наукой. Простые арифметические и геометрические понятия и закономерности проникали во все области человеческой деятельности. Во времена же расцвета античного мира произошло оформление математики как науки с ее характерным дедуктивным методом, согласно которому все ее утверждения выводятся по строгим логическим правилам из немногочисленных исходных положений, принимаемых без доказательства, как аксиомы. С этого периода началось построение грандиозного здания математики.
      Попутно с развитием математики расширялся и круг ее приложений. Многие важные математические понятия и методы были созданы специально для решения прикладных задач и лишь затем анализировались, развивались и обобщались в «чисто математическом» плане. Отдельные дисциплины — небесная механика, теоретическая электротехника, теория прочности, теоретическая физика и некоторые другие — оказались буквально «нашпигованными» математикой.
      Однако до последних десятилетий сравнительно сложные разделы математики применялись все же лишь в небольшом числе традиционных областей науки и техники; да и там сложные задачи часто не удавалось довести до практически приемлемого решения.
      В наше время электронные цифровые вычислительные машины в корне изменили представление о возможностях применения математики. С помощью ЭВМ были решены многие ранее поставленные математические задачи прикладного характера, а также и новые задачи и проблемы, относящиеся как к традиционным областям приложений, так и к новым областям,. где ранее математика не находила применения. Оказалось, что не только конкретные математические результаты, но и сам строй математического мышления приносит неоценимую пользу в самых разных областях науки, техники, экономики, всей человеческой деятельности. Наступает качественно новый период развития математики — период «всеобщей математизации».
      И вот стало отчетливо видно, что математика в процессе ее приложений приобретает ряд характерных особенностей, черт, родственных для различных областей приложения и в то же время порой существенно отличающихся от привычных черт «чистой» математики. Традиционное выдвижение на первый план логического совершенства, глубины и общности формулировок далеко не всегда отвечает жестким требованиям современных приложений — своевременности, эффективности, экономичности. Вследствие этого получилось, что специалисты в области «чистой» математики часто оказывались не в состоянии математику эффективно применять. Возникла настоятельная потребность в специалистах нового типа.
      Прикладная математика призвана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами. Таким образом, при достаточно широком взгляде на математику прикладная математика является неотъемлемой частью «математики вообще». При этом не следует представлять себе упрощенно, что будто бы математику можно отчетливо разделить на «чистую» и «прикладную» или что прикладная математика — это математическая дисциплина типа алгебры или геометрии.
      Применяться могут самые разнообразные разделы математики, и огромное число математических понятий и методов являются как «чистыми», так и «прикладными» (или «преимушественно чистыми», «преимущественно прикладными» и т. п.), т. е. могут входить как в чисто математические, так и в прикладные исследования. Поэтому более правильно говорить о чистой и прикладной математике не как о разделах математики, а как о ее аспектах, подходах к ней, отвечающих, соответственно, тезисам «математика как цель» и «математика как средство». И оказывается, Что многие понятия, методы, утверждения в этих двух подходах не только играют существенно различную роль, но порой наполняются и различным содержанием (см. 2.2).
      Широко известен афоризм: «чистая математика делает .то, что можно, так, как нужно, а прикладная — то, что нужно, так, как можно». В действительности не существует бесспорных признаков, по которым можно классифицировать математические конструкции на чистые и прикладные. Все относительно. Так, например, во времена Карла Гаусса (1777 — 1855) комплексные числа большинством математиков рассматривались как весьма абстрактные объекты. Но прошли годы, возникла теория функций комплексного переменного, и ее аппарат нашел приложения в гидро- и аэродинамике (в расчетах подъемной силы крыла самолета), в теоретической электротехнике и других областях. Абстрактная теория групп, ведущая свое начало от работ Жозефа Лагранжа (1736-1813), нашла изумительное применение в конкретных задачах кристаллографии, теоретической физики, в квантовой механике, в теории кодирования (математической теории передачи сообщений по каналам связи). Существование некоторых элементарных частиц было предвосхищено теорией групп задолго до их фактического обнаружения. Существование позитрона и мезона постулировалось в работах П. Дирака и Юкавы. Свойства этих частиц изучались математическими методами до экспериментального доказательства их существования. В терминах теории групп Феликс Клейн (1849 — 1925) классифицировал различные разделы геометрии. Понятие группы, наряду с понятиями множества, функции, предела,стало одним из основных в математике. Подобными примерами перерастания чистого в прикладное и обратными процессами история математики очень богата.
      Об этом же писал Ф. Клейн): «Чисто логические концепции должны составить, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самая жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям тек взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики - это то же, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов, сосудов».
      Пока дисциплин, основанных на систематическом применении математики, было немного, а сами методы этого применения были не слишком сложны, потребности в большом числе специалистов по прикладной математике не было. С легкими математическими задачами справлялись сами представители этих дисциплин, а более трудные и принципиально новые задачи изучали такие великие ученые, как Б. Риман, А. 1 уан-каре, А. М. Ляпунов и другие (которые были одновременно специалистами как по чистой, так и по прикладной математике!). Однако в период всеобщей математизации, когда прикладные математические задачи становятся все бодее сложными и разнообразными, такого сочетания усилии недостаточно: великих ученых не хватает на все задачи! В то же время существенный вклад в решение таких задач из самых разнообразных областей человеческой деятельности сейчас могут внести лишь специалисты с широким математическим образованием, владеющие методами применения математики и обладающие соответствующими интересами и навыками. Это и есть «прикладные» математики. В зависимости от темперамента и обстоятельств они могут специализироваться лиоо в какой-то определенной области приложения математики, например, использовать математические методы в задачах спорта, либо же, будучи в первую очередь математиками, переходить от одной области к другой; могут работать в составе групп или же самостоятельно.
      И, наконец, отметим, что, несмотря на многовековую историю применения математики и огромный опыт такого применения к конкретным задачам, изучение принципов и общих методов этого применения только начинается. Возможно, некоторые из наших читателей примут участие в изучении, систематизации и-совершенствовании этих принципов и методов, т е в оформлении своеобразной дисциплины - прикладной математики и в выходах ее в спортивную тематику.
     
      2.2. Каковы особенности прикладной математики?
      Говоря теперь о чистой и прикладной математике, мы будем, с одной стороны, иметь в виду «академическую» математику, изучаемую на математических факультетах университетов и целиком основанную на дедуктивном методе, а с другой стороны — математику в том виде, который она приобретает в процессе приложений.
      Естественно, что содержание многих понятий, утверждений, методов и в чистой, и в прикладной математике одинаково или почти одинаково (пример - теорема Пифагора). Однако сейчас мы сосредоточим внимание на различиях.
      Существование решения. Вопрос «имеет ли данная - задача решение» не так прост, как может показаться на первый взгляд; и зачастую «чистый» и «прикладной» математики дают на него прямо противоположные ответы. Не углубляясь в философские и логические дебри, поясним сказанное на примере.
      Американские студенты увлекаются игрой в «гекс». Играют двое на четырехсторонней доске из правильных шестиугольников (в качестве доски, например, можно использовать кафельный пол) фишками двух цветов: «черными» и «полосатыми». Обычно размеры доски - 11 х 11 шестиугольников (см. рис. 1). Две противоположные стороны доски объявляются «черными», две другие — «полосатыми». Игроки по очереди выкладывают свои фишки: один — «черные», другой — «полосатые». причем фишку можно класть иа любое свободное поле. За каждым из игроков закреплена пара сторон доски — одинаковых по цвету с его фишками. Цель каждого игрока — соединить связным путем свои стороны своими фишками.
      Естественно поставить вопрос: а сушествует ли выигрышная стратегия для первого или второго игроков («стратегия» состоит в указании хода в любом уже создавшемся положении)? На этот вопрос дал ответ известный американский математик Дж. Нэш: он доказал, что существует выигрышная стратегия для первого (начинающего) игрока и не существует для второго. Приведем схему его остроумного доказательства.
      Прежде всего, можно доказать (мы предоставляем это читателю), что данная игра обязательно заканчивается выигрышем одного из игроков, т. е. ничьих не бывает. Считая это известным, докажем существование выигрышной стратегии для первого игрока методом «от противного», т. е. допустим, что такой стратегии нет. Это означает, что, как бы ни старался первый игрок, второй может уйти от поражения, т. е. в силу невозможности ничьих выиграть. Но тогда второй игрок имеет выигрышную стратегию (подумайте, почему это так?).
      Пусть первый игрок играет таким образом. Он ставит на любое поле первую фишку и затем, не обращая на нее внимания, отвечает на ходы противника, пользуясь выигрышной стратегией второго игрока (как бы считая себя вторым игроком). Так он продолжает до тех пор, пока ему в силу этой стратегии не понадобится место, уже занятое первой фишкой. В этот момент он ставит фишку на любое свободное место, а дальше опять играет, не обращая на нее внимания, пользуясь выигрышной стратегией второго игрока и т. д. В результате после каждого своего хода первый игрок получает позицию, предусмотренную стратегией для второго игрока, да еще впридачу одно накрытое поле. Значит, его противник очередным ходом не может закончить партию, как бы он ни ходил. А так как ничья невозможна, то первый игрок обязательно доведет партию до своей победы, вопреки предположению. Полученное противоречие доказывает существование выигрышной стратегии для первого игрока; а отсюда ясно, что у второго игрока такой стратегии не может быть.
      Казалось бы, задача о выигрышной стратегии полностью решена. Но тут приходит игрок и спрашивает у математика: «Как же я должен играть, чтобы наверняка выиграть?» Анализ проведенного доказательства позволяет дать только такой ответ: «Перебери все возможные стратегии (их конечное число); в силу сказанного среди них есть по крайней мере одна выигрышная — ею и пользуйся!» «Но как их перебрать? Их ведь так много...» «А это к математике не относится, — возможно, ответит математик, — пусть инженеры изготовят устройство для такого перебора. Я свое дело сделал».
      Это — ответ «чистого» математика. «Прикладной» же математик не может не учитывать реальных обстоятельств при построении решения (в данном примере — выигрышной стратегии). Нетрудно проверить, что общее число S всевозможных стратегий (для первого игрока во всяком случае) удовлетворяет оценке:
      (напомним, что поле на доске состоит из ста двадцати одного шестиугольника).
      Правая часть этого неравенства заведомо превосходит . Можно быть уверенным, что никогда никакое устройство не сможет осуществить перебор такого количества вариантов!
      Итак, перед нами утверждение о существовании решения задачи, вполне правомерное с точки зрения «ортодоксальной» чистой математики, но с точки зрения прикладной математики — неприемлемое. Грубо говоря, расхождение этих двух подходов получилось из-за того, что «ортодоксально» конечное общее число стратегий оказалось практически... бесконечным. Поэтому, хотя абстрактное решение данной задачи и существует (доказано, что у первого игрока есть выигрышная стратегия), «прикладной» математик ответит, что у задачи игры в «гекс» решения нет (нельзя в общем случае _указать практически реализуемый алгоритм нахождения этой выигрышной стратегии).
      Способ рассуждений. В чистой математике нет понятий «не вполне строгое доказательство» и т. п.; в ней все «не вполне точно определенное» — не определено, «не вполне строго доказанное» — не доказано. При решении любой задачи в чистой математике переходить от одних утверждений к другим можно, исходя из условий этой задачи, только на основе правил строгой логики.
      Не то в прикладной математике! Конечно, и в ней дедуктивные рассуждения играют весьма важную роль. Но здесь не менее важны и рассуждения иного рода, которые называют «эвристическими», «правдоподобными», «рациональными» и т. п. Это — рассуждения, неприемлемые с точки зрения чистой математики, но при разумном их применении приводящие к правильным практическим результатам. Такие рассуждения типичны для всех дисциплин (физика, химия, биология, медицина и т. д.), кроме чистой математики; так что в этом отношении прикладная математика находится как бы на стыке математики с этими дисциплинами.
      Эвристические рассуждения могут включать аналогии, численные и физические эксперименты, общие выводы на основе анализа типичных случаев (это — так называемая «неполная индукция») и другие подобные способы рассуждений. Все эти способы в чистой математике доказательной силы не имеют, однако в прикладных задачах они вполне правомерны и постоянно применяются.
      В прикладных математических рассуждениях за математическими понятиями обычно стоят реальные объекты. Поэтому при решении прикладной математической задачи часто оказываются полезными сведения, не содержащиеся явно в формулировке задачи, но вытекающие из ее «физического смысла».
      Однако в ряде случаев наиболее целесообразными, а порой и единственно возможными оказываются дедуктивные методы. Поэтому прикладная математика использует все способы рассуждений.
      Почему же все-таки в прикладной математике далеко не всегда удается проводить все построения так же строго, как в чистой? Дело в том, что зачастую эвристическим путем можно получить решения задач именно в тех случаях, когда чисто дедуктивные методы не приводят к цели или требуют колоссальных, неоправданных усилий. Кроме того, переход от реального объекта к его математической модели (об этом см. ниже) всегда является эвристическим и осуществляется лишь с некоторой точностью. Решение математической задачи — это только часть полного исследования.
     
      2.3. Математические модели
      Специалист по прикладной математике все время имеет дело с математическими моделями. Моделями могут быть геометрические фигуры, числовые множества, различные уравнения и системы уравнений и т. п., описывающие какие-либо свойства изучаемого реального объекта или явления.
      Рассмотрим простой пример. Пусть нас интересует объем жидкости, которую может вместить стоящий перед нами стакан. Этот объем можно найти, например, наполнив стакан и затем вылив воду в специальный сосуд с делениями. Но вот мы говорим, что стакан — это круглый цилиндр с диаметром основания d и высотой И.
      Тем самым мы переходим к математической модели, которая дает возможность получить ответ: hnd2/4 без эксперимента, но и без учета несовершенства реальной формы стакана, поверхностного натяжения и т. п.
      Конечно, математическая модель описывает реальный объект лишь приближенно. Однако бывают случаи, когда принятая математическая модель описывает реальный объекз совершенно неправильно, как говорят, модель оказывается неадекватной реальному объекту. Составление математической модели — дело очень ответственное. Реальный объект может иметь много различных, неравносильных моделей; поиски адекватной и в то же время достаточно простой модели зачастую приобретают драматический характер. Кроме того, изучая модель, мы можем столкнуться с совершенно непредвиденными математическими трудностями.
      Всякий научный подход связан с построением модели изучаемого явления. Модель в определенном смысле проще самого объекта; обычно она имитирует не все, а лишь наиболее важные (для данного исследования) его особенности (характеристики) и потому удобнее для изучения. Все зависит от изучаемого объекта (явления, ситуации) и от тех свойств, которые учитываются моделью. Так, математической моделью токов, протекающих в электрической цепи, служит система линейных алгебраических уравнений (например, знакомый из школьного курса физики закон Кирхгофа). Физической моделью, воспроизводящей работу водителя поезда (самолета), является автомашинист (автопилот). Физической моделью строительной конструкции может служить система упругих стержней, а математической моделью последней — система уравнений, связывающих напряжения в этих стержнях.
      Н. Винер и его сотрудники построили механическую, а затем математическую модель, имитирующую дрожание руки человека с нарушенной координацией движений.
      Нет ничего необычного и в построении моделей: каждый инженерный, экономический и иной расчет, выполняемый с привлечением средств и языка математики, является, в сущности, математическим моделированием.
      Один и тот же объект (явление, ситуация) может иметь несколько неэквивалентных моделей. Это определяется тем, какие характеристики объекта учитываются в модели. Но даже при учете одних и тех же характеристик возможны различные модификации.
      Важнейшее требование к математической модели состоит в ее адекватности изучаемому реальному объекту, т. е. в правильном описании объекта пег соответствующим характеристикам. Модель, адекватная по одной системе характеристик, может быть неадекватной по другой. Так, например, в § 3 строится математическая модель игры в теннис, адекватная игре по основной характеристике — по изменению счета в гейма (сеге). Однако эта модель не учитывает эмоциональных, психологических факторов и адаптации к игре противника. Затем эта модель уточняется и вводится еще одна характеристика — адаптация или обучение в ходе игры. И все же эта модель остается неадекватной реальному процессу по другим особенностям.
      Модель должна быть относительно простой: существующие методы, вычислительные средства (ЭВМ) должны дать возможность провести анализ модели по выбранным характеристикам. Как правило, чем модель адекватней реальному процессу, тем она сложней. Поэтому требования простоты и адекватности в определенном смысле противоположны.
      Характеристики моделирования распадаются, в первом приближении, на две категории. Одна из них состоит из величин, поддающихся достаточно точному измерению, управлению. Это — детерминированные величины. Другая категория охватывает величины стохастические, имеющие случайную природу и не поддающиеся точным измерениям. Упомянутая модель игры в теннис содержит стохастические характеристики и описывается в терминах теории вероятностей и случайных процессов. Стохастической является также модель прогнозирования спортивных результатов (§ 5). В то же время модель распределения игровых обязанностей в баскетбольной (хоккейной и т. п.) команде является детерминированной (§ 6).
      Математическими моделями, цель которых обосновать принятие в данной ситуации того или иного из возможных решений, занимается важнейший раздел прикладной математики — исследование операций.
     
      2.4. Исследование операций
      Потребность в принятии решений «стара как мир». Задачи принятия решений рождаются у колыбели человека, возникают перед ним на протяжении всей жизни; они касаются вопросов образования, быта, работы, передвижения по населенному пункту и т. п. Принимать решения по огромному множеству вопросов необходимо обществу, его организациям, государственным органам.
      Так возникают проблемы эффективного управления хозяйством, производственным объединением, предприятием; проблемы рационального управления запасами, проблемы организации движения транспорта, управления перевозками грузов, проблемы массового обслуживания в медицинских учреждениях, парикмахерских, пунктах технической профилактики и т. д. и т. п. Обычно решение этих проблем связано с удовлетворением требований максимального дохода, минимальных производственных затрат, наименьшего времени обслуживания, наибольшего быстродействия и т. д.
      Необходимость принимать решение возникает во многих спортивных ситуациях: в организации тренировок и соревнований, в комплектовании спортивных команд, в распределении обязанностей игроков команды, в выборе тактики игры и т. п.
      Несомненно также, что каждому приходится принимать решения чуть ли не каждую минуту: какую одежду надеть, как распределить дневной бюджет времени, как организовать питание, какой маршрут избрать при поездке на работу, в театр или в гости.
      Очевидно, что решения вынуждены принимать не только люди, но и животные: при поисках пищи, при защите от хищников, при воспитании детенышей и в других ситуациях. Однако вряд ли можно утверждать, что заяц, спасаясь от преследования лисы, занимается... исследованием операций. По-видимому, способность обосновывать принятые решения — один из признаков, выделяющих homo sapiens среди животного мира. Но и про человека можно сказать, что он «занимается исследованием операций», только если он использует математические методы, применяет тот или иной математический аппарат. В жизни решения обычно принимаются или интуитивно (например, при самозащите), или на основании жизненного опыта (например, при выборе одежды, питания), или на базе сопоставления между собой (не всегда исчерпывающего и бесспорного) различных вариантов из некоторого обозримого множества, или иными путями, не требующими математических методов.
      В то же время многочисленные ситуации (в частности, перечисленные ранее) столь сложны, а последствия принятых решений могут оказаться столь значительными, что предварительный количественный и качественный анализ становится обязательным. В этих случаях не обойтись без применения научных, в первую очередь математических, методов.
      «Семь раз отмерь, один — отрежь» — говорит пословица. Исследование операций как раз и есть своеобразное математическое «примеривание» будущих решений, позволяющих экономить время, силы и материальные средства, избегать серьезных ошибок, на которых уже нельзя «учиться» (слишком дорого бы это обошлось). Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные» [2].
      Научная дисциплина «исследование операций» начала формироваться в начале второй мировой войны в связи с необходимостью выдачи рекомендаций по ряду военных проблем (переброска войск к театрам военных действий, исполь-
      эование вооружений, распределение средств военного воздействия по различным объектам и т. п.). В последующем в поле зрения исследования операций попали всевозможные задачи мирного характера: распределение материальных ресурсов, управление запасами, организация труда, всевозможные транспортные задачи и многое другое.
      Решение проблемы методами исследования операций состоит из ряда этапов, среди которых отметим следующие (не отделяемые друг от друга не только что «китайской стеной», но даже более «легкими перегородками»).
      1. Формулировка задачи, ситуации, процесса, описание исследуемого объекта на вербальном (словесном) уровне и их осмысливание.
      2. Выбор метода исследования и построение математической модели (одной из возможных) задачи.
      3. Изучение, анализ модели, формализация связей (установление математических зависимостей) между параметрами, характеристиками модели.
      4. Построение критериев (функций цели), с помощью которых оцениваются возможные решения.
      5. Оптимизация построенных критериев на множестве возможных (допустимых) решений, т. е. выбор оптимальных (предпочтительных в определенном смысле) решений.
      6. Сопоставление построенной модели и полученных решений с реальным объектом.
      7. Уточнение математической модели или построение иной, основанной на другом методе математической формализации.
      8. Выдача рекомендаций.
      9. Практическая реализация: принятие какого-либо из оптимальных решений; заметим, что этот последний шаг лежит уже за пределами теории исследования операций и реализуется лицом (группой лиц, административным органом и т. п.), ответственным за принятие решения. Все предшествующее этому последнему шагу имеет целью его облегчить и обосновать.
     
      2.5. Об основных понятиях исследования операций
      Уже давно пришло время разъяснить читателю некоторые понятия исследования операций, а также привести примеры.
      Операцией принято называть всякое целенаправленное и управляемое мероприятие (т. е. систему действий, подчиненную единому замыслу, допускающую управление и направленную на достижение определенных целей). Операция описывается определенным набором параметров (характеристик), а управление состоит в выборе значений этих параметров. Определение набора таких значений называется решением или стратегией. Оптимальные решения (стратегии) — это решения наиболее предпочтительные по тем или иным соображениям, т. е. те, которые оптимизируют так называемые критерии качества операции (сообщают им наибольшее или наименьшее значения).
      Не так уж часто в результате изучения математической модели удается прийти к однозначному решению — найти единственное оптимальное решение. В подавляющем большинстве случаев удается лишь сузить область поиска оптимальных решений (которых может быть несколько), выделить решения, близкие к оптимальным, практически равноценные. Однако и это оказывается успехом, ибо существенно облегчает задачу лица, ответственного за принятие решений, выбрать какое-либо из них.
      Неск олько практических задач. Перечислим типичные задачи, которые могут быть рассмотрены методами теории исследования операций.
      1. Распределение игровых амплуа в спортивной команде (баскетбольной, хоккейной и др.), обеспечивающее наибольший эффект в игре.
      2. Системы организации чемпионатов, турниров и кубковых встреч (шахматных, теннисных, хоккейных и др.), обеспечивающие достижение определенных целей. Например, для выявления первого и второго призеров кубковой встречи (с соблюдением определенных условий). Или, например, для того чтобы в матче двух шахматных команд обеспечить следующие естественные условия:
      а) все участники играют одинаковое число партий фигурами каждого цвета;
      б) в каждом туре участники обеих команд играют одинаковое число партий белыми и черными;
      3. Составление для спортсменов диеты, удовлетворяющей требованиям медиков и, в то же время, наиболее экономной и сохраняющей вес спортсмена в определенных рамках, а также подборка содержимого рюкзака с продуктами, обеспечивающая при наименьшем его весе необходимый рацион.
      Эти примеры могут быть дополнены нескончаемым списком практических задач из самых различных областей человеческой деятельности. Назовем некоторые из них.
      4. Задача об использовании сырья. Предприятие выпускает продукцию нескольких видов и использует различного типа
      сырье. Известно, какое сырье и в каких количествах используется для изготовления единицы продукции каждого из видов. Известен также доход от реализации единицы каждого вида продукции. Требуется (при заданных запасах сырья) составить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия оказался бы максимальным.
      5. Задача об оптимальном использовании оборудования. При заданном плане производства по номенклатуре и при известной производительности имеющегося парка станков (по каждому из видов продукции) требуется составить план использования оборудования, т. е. указать, какое количество единиц продукции каждого вида следует изготовлять на каждом из станков с тем, чтобы в минимальное время был реализован заданный план.
      6. Организация противовоздушной обороны некоторого объекта, обеспечивающая наибольшую эффективность при заданном уровне затрат или же требующая наименьших затрат при установленном уровне эффективности.
      7. Медицинское обследование. Для профилактики сердечнососудистых заболеваний требуется организовать обследование жителей города. При заданных материальных средствах, оборудовании, медицинском персонале требуется разработать такой план обследования (число медицинских учреждений, их размещение, оснащение оборудованием, штаты специалистов и т. п.), при котором оно оказалось бы наиболее эффективным.
      Построение математической модели задачи исследования операций может потребовать использования того или иного математического аппарата: алгебраических или дифференциальных уравнений, методов математического программирования, методов теории вероятностей, статистики, случайных процессов и многих других. Однако детальное рассмотрение всего этого комплекса вопросов выходит за рамки нашей книги.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ