Библиотечка «Квант»
Иосиф Шаевич Слободецкий
Лев Григорьевич Асламазов
Задачи по физике
*** 1980 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Каждый школьник знает, что нельзя изучить физику, не решая задач. Простые задачи разбирают на уроке, более сложные задаются на дом, еще более сложные, как говорят «нестандартные» задачи решают на олимпиадах. Большинство людей считает решение задач делом необходимым, но довольно скучным. В немалой степени это связано с тем, что в задачах, как правило, речь идет о идеализированных телах и системах, упрощенных до такой степени, что трудно поверить в то, что эти задачи имеют хотя бы какое-то отношение к реальному миру и что их решение может помочь в объяснении тех или иных интересных явлений, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. В действительности же решение почти любой задачи может много дать не только для изучения законов, изложенных в учебнике, и в привитии навыков пользования этими законами, но и помочь понять то, что происходит в окружающем нас мире. Нужно только увидеть связь между упрощенной ситуацией, о которой идет речь в задаче, и реальными явлениями. Именно это мы и хотели показать читателям книги. Для сборника мы постарались отобрать те задачи, которые непосредственно связаны с реальными объектами и явлениями, или те, решение которых позволяло обсудить интересные вопросы современной физики и техники. По этой причине решения задач в ряде случаев представляют собой небольшие научно-популярные статьи. Так, например, задача о струе послужила поводом для рассказа о кумулятивных явлениях и т. д. Пользуясь случаем, мы хотели бы выразить благодарность своим друзьям В. Е. Белонучкину, Ю. М. Бруку, И. Ф. Гинзбургу, С. М. Козелу, Г. Л. Коткину, А. Л. Стасенко, вместе с которыми много раз составляли задачи для олимпиад и обсуждали их решения. Мы благодарны также Ю. В. Пухначеву и Ю. П. Попову, сделавшим для книги шуточные рисунки. Авторы В июле 1980 г., когда эта книга готовилась к печати, трагически погиб в автомобильной катастрофе одни из ее авторов — кандидат физико-математических иаук, научный сотрудник Ии: ститута физики высоких давлений АН СССР Иосиф Шаевич Слободецкий. И. Ш. Слободецкий был одним из инициаторов создания журнала «Квант». Будучи членом редакционной коллегии журнала, он вел активную организационную и научную работу в отделе физики, был бессменным руководителем раздела «Задачник «Кванта»» по физике. Огромный вклад внес И. Ш. Слободецкий в создание серии «Библиотечка «Квант»». С самого начала работы редакционной коллегии этой серии ои являлся ее ученым секретарем. Глубокая профессиональная эрудиция физика-теоретика, искреннее стремление сделать как можно больше полезного людям, редкий дар общения, необыкновенная самоотдача — все эти качества Иосифа Шаевича Слободецкого вызывали неизменную любовь и уважение к нему друзей и коллег по работе. Редакционная коллегия ФPAГMEHT КНИГИ (...) 164. Остановимся на двух наиболее существенных факторах. Во-первых, лицо человека в маске освещено гораздо хуже, чем сама маска и окружающие предметы. Поэтому свет, отраженный лицом, очень слаб по сравнению со светом, идущим от маски н других предметов. Вот почему для наблюдателя из публики лицо фехтовальщика в маске практически неразличимо. Сам же спортсмен, наоборот, хорошо видит ярко освещенные предметы вокруг себя на фоне слабого света, отраженного внутренней стороной проволочной маски. К тому же изображение маски в глазу спортсмена получается сильно размытым (несфокусированном), так как маска расположена слишком близко к глазу. Аналогично объясняется, почему днем невооруженным глазом нельзя увидеть звезд: солнечный свет, рассеянный атмосферой, гораздо сильнее света звезд. Во-вторых, поскольку проволочная сетка находится близко от лица спорстмена, она закрывает для наблюдателя довольно большую часть лица. В то же время спортсмену эта маска не мешает. В заключение рассмотрим еще одну подобную задачу — почему днем с улицы ничего не видно внутри комнаты, если смотреть через окно, занавешенное сетчатой тканью? Очевидно, в этом случае тот факт, что сильно освещенная снаружи занавеска отражает много света по сравнению с предметами внутри комнаты, играет решающую роль. Если смотреть из комнаты на улицу, то яркие предметы будут хорошо видны, так как внутренняя сторона занавески освещена слабо. Однако видно будет значительно хуже, если в комнату попадают прямые солнечные лучи и стены комнаты хорошо отражают свет, — тогда и изнутри занавеска освещена хорошо. Чтобы хорошо видеть то, что происходит на улице, необходимо в этом случае подойти вплотную к окну. Вечером, наоборот, очень хорошо видна с улицы освещенная комната и совсем не видна улица из комнаты. 165. Резкое изображение предмета, которое дает хрусталик несовершенного глаза, получается не на сетчатке глаза, а перед ней, если человек близорук, или за ней, если человек дальнозорок. В обоих случаях изображение каждой точки на сетчатке глаза получается в виде расплывчатого пятна, диаметр которого зависит от диаметра зрачка (рнс. 170) и от степени близорукости (или дальнозоркости) человека. Чем меньше диаметр зрачка, тем уже пучок лучей, создающих изображение точки, тем меньше пятно получается на сетчатке. При ярком освещении диаметр зрачка уменьшается, и изображение букв для людей, носящих не очень сильные очки, оказывается слабо размытым. Поэтому они могут читать и без очков. Для тех же, кто пользуется сильными счками, изображение букв получается далеко от сетчатки глаза, и несмотря на небольшой диаметр зрачка, изображение букв оказывается сильно размытым, так что читать текст все равно не возможно. Аналогично объясняется увеличение глубины резкости (то есть области, которая получается резкой на фотопленке) при уменьшении диаметра отверстия объектива. Действительно, пусть мы хотим одновременно сфотографировать две точки (А и В), находящиеся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 171). Если аппарат сфокусирован на какой-то предмет между этими точками (объектив дает на фотопленке резкое изображение этого предмета), то изображение точек на фотопленке получается расплывчатым, но диаметр каждого из пятен — изображений точек — зависит от диаметра отверстия объектива, уменьшаясь при уменьшении этого диаметра. Допустимое размытие определяет глубину резкости — те расстояния, на которых изображения на пленке считаются резкими. Простой расчет дает для диаметра d размытого изображения точки, смещенной на расстояние х из положения, при котором ее изображение получается резко: (...) Глубина резкости оказывается обратно пропорциональной диаметру диафрагмы. При маленьких диаметрах диафрагмы глубина резкости велика. Однако при этом начинают играть роль дифракционные явления. Из-за дифракции на диафрагме пучок не сходится в точку, а его изображение образует систему светлых и темных колец. Основная доля энергии попадает в небольшой центральный максимум, соответствующий дифракционной угловой расходимости пучка порядка Х/D, где X — длина волны света. Дифракционное размытие в фокальной плоскости объектива должно быть порядка Д. Для видимого света с длиной волны X = 5,5-10~7 м и объектива с фокусным расстоянием F = 5 см дифракционное размытие Д порядка, скажем, 0,1 мм, получается при диаметре диафрагмы D ~'0,3 мм. Таких маленьких отверстий диафрагмы не бывает в обычных объективах и дифракционное размытие пучка для них несущественно. Тем не менее оно представляет важную характеристику объектива, так как определяет возможное предельное разрешение объектива — расстояние между двумя точками, изображения которых можно будет увидеть раздельно. Очевидно, что две точки можно будет увидеть раздельно, как говорят, разрешить, если центры дифракционных изображений этих точек отстоят друг от друга на расстояние порядка радиуса их дифракционных изображений (критерий Рэлея). Следовательно, две точки разрешимы, если угловое расстояние между ними (угол, под которым они видны) порядка углового дифракционного уширения пучка: Например, для глаза с диаметром зрачка D = 4 мм при наблюдении в свете с длиной волны Для телескопа с диаметром линзы в 2 м получим ф ~ 6-10-6 рад. Чем больше диаметр объектива телескопа, тем лучше его разрешение. Вот почему астрономы стремятся получить в свое распоряжение телескопы с возможно большим диаметром объектива. Но вернемся к маленьким отверстиям диафрагмы. Мы ранее пришли к выводу, что чем меньше отверстие диафрагмы, тем больше глубина резкости. При D-+ 0 глубина резкости стремится к оо. При очень маленьких отверстиях диафрагмы можно выбросить линзу и устроить «дырочную» камеру — камеру-обскуру. Если такой фотокамерой фотографировать отдаленный предмет, находящийся на расстоянии, много большем размера камеры, то можно считать, что из каждой точки предмета в объектив попадает параллельный пучок лучей. Такой пучок будет давать иа пленке пятио, диаметр которого равен диаметру отверстия, а глубина резкости такого объектива бесконечна. При уменьшении диаметра отверстия качество изображения будет улучшаться. Это, однако, справедливо лишь до тех пор, пока диаметр D отверстия таков, что дифракционное уширение пучка мало по сравнению с диаметром отверстия. Так как дифракционное уширение пучка растет с уменьшением D, то при уменьшении диаметра отверстия качество изображения вначале улучшается, а затем начинает ухудшаться. Наилучшее изображение получается тогда, когда дифракционное уширение оказывается порядка диаметра отверстия Отсюда найдем, что для этого диаметр отверстия должен быть порядка Например, для света с длиной волны к см получим, что диаметр отверстия должен быть порядка 0,34 мм. 166. Прозрачные окна отражают меньше света, чем стены домов. 167. Когда рыба рассматривается с моста, лучи от нее, идущие в глаз, падают на поверхность воды под малым углом и поэтому их отражение от поверхности невелико по сравнению с тем случаем, когда рыба рассматривается с невысокого берега. Кроме этих лучей в глаз попадают лучи от Солнца, которые создают общий слепящий фон. Если наблюдатель стоит на мосту, в его глаза попадают солнечные лучи, падающие под меньшим углом, чем в том случае, когда он стоит на берегу. Поэтому эти лучи меньше отражаются от поверхности воды и фон в этом случае менее яркий. 168. Освещенность изображения Е равна отношению светового потока Ф, проходящего через линзу, к площади изображения S. Отношение освещенностей для рассматриваемых двух случаев можно записать так: Освещенность поверхностей линз в обоих случаях одна и та же. Поэтому отношение световых потоков равно отношению площадей линз — целой и разрезанной пополам. Это значит, что Теперь найдем отношение площадей изображения. Изображение Солнца лежит в фокальной плоскости линзы. Обозначим фокусное расстояние линзы F, а угол, под которым видно Солнце с Земли, а. Так как Солнце находится очень далеко от Земли, то можно считать, что из каждой точки Солнца на линзу попадает параллельный пучок лучен, собирающихся с фокальной плоскости линзы. Поэтому угол а — это угол между пучками лучей, идущих от крайних точек Солнца. (...) Для того чтобы найти размер изображения во втором случае, нужно знать фокусное расстояние составной линзы. Заметим, что оптическая сила двух сложенных вплотную тонких линз равна сумме их оптических сил. Действительно, луч, вышедший из фокуса первой линзы, становится после того, как он пройдет эту линзу, параллельным главной оптической оси системы и после прохождения второй линзы сойдется в ее фокусе. Обозначив фокусное расстояние сложной линзы F, мы можем согласно формуле линзы написать Но отсюда следует, что фокусное расстояние линзы, составленной из двух половинок плоско-выпуклой линзы, вдвое меньше фокусного расстояния целой линзы. Благодаря этому радиус изображения Солнца во втором случае будет вдвое меньше, чем в первом случае, а площадь изображения — в четыре раза меньше, то есть Следовательно, освещенность изображения Солнца увеличилась в два раза. 169. Размер солнечного зайчика обычно намного больше размера зеркала. Это связано с тем, что параллельный пучок лучей, идущий от одной точки Солнца, отражается от зеркала и, попадая на экран или стену, дает пятно, размер которого примерно равен размеру зеркала. Зайчик образуют накладывающиеся пятна, которые получаются при отражении пучков, идущих от всех точек Солнца. Размер зайчика определяется пучками лучей, идущими от диаметрально противоположных точек Солнца (рис. 173). ,Так как угол между этими пучками равен угловому диаметру Солнца а « 30' (углу, в котором видно Солнце с Земли), то диаметр пятна равен примерно расстояние до стенки. Распределение освещенности в этом пятне неравномерно, однако для оценки пренебрежем этим обстоятельством и будем считать, что Солнце находится в зените. Тогда плоскость зеркальца должна составлять угол 45° с направлением на Солнце и освещенность зеркальца равна , где Ео — освещенность прямыми солнечными лучами. Световой поток Фо, попадающий на зеркальце, равен . Пренебрежем поглощением и рассеянием этого потока, Тогда, разделив (...) Для оценки можно воспользоваться любой из формул (1) или (2). Теперь можно найти освещенность точек корабля, в которые посылают зайчики п горожан. Она равна пЕ и должна быть примерно такой же, как освещенность Еи которую получают в фокальной плоскости линзы при выжигании. Диаметр изображения Солнца в фокальной плоскости линзы равен Fa (см. задачу 168), а световой поток Ф, собираемый линзой, равен E0-nD2H. Поэтому (...) Наша оценка, по-видимому, несколько завышена. По сообщению польского журнала «Вокруг света» (№ 12 за 1974 г.) греческий физик Иоиас Саккос в 1973 г. провел следующий опыт. 70 солдатам были даны отполированные листы меди размером 150 ¦ 90 см2. Солдаты направили отраженный солнечный свет в одно и то же место копии римского деревянного корабля, стоящего в 200 м от берега. Через две секунды после этого корабль задымился, а еще через три секунды загорелся. 170. Матовый колпак равномерно рассеивает свет от лампы. Поэтому, хотя яркость нити накаливания лампочки очень велика, яркость матового колпака (т. е. световой поток, излучаемый с единицы поверхности колпака) мала. Сравнительно невелика и яркость изображения колпака на сетчатке глаза. 171. О форме блестящих предметов мы судим обычно по бликам на их поверхности. При рассеянном же освещении блики отсутствуют. 172. Так как расстояния от Солнца до Земли и Луны велики по сравнению с диаметром Солнца, то при расчетах мы можем считать, что Солнце — это точечный источник света, равномерно излучающий световую энергию во все пространство. Примем, что сила света этого источника, то есть энергия, излучаемая Солнцем в единичный телесный угол за 1 секунду, равна /. Тогда осве-щенность поверхности Земли в яркий солнечный день будет равна где L — расстояние от Солнца до Земли. Луна освещает Землю отраженным солнечным светом. Так как расстояние от Солнца до Луны можно принять равным расстоянию от Солнца до Земли, то освещенность поверхности Луны в полнолуние тоже равна /ДА На всю поверхность Луны попадает световая энергия Так как энергия aW рассеивается затем равномерно по всем на* правлениям по «полусфере», то в единичный телесный угол излучается энергия (полный телесный угол равен 4л). Теперь легко найти освещенность поверхности Земли в полнолуние. Считая Луну точечным источником (...) Интересно, что около 300 лет назад аналогичный раечет позволил Ньютону правильно оценить расстояние до ближайших ярких звезд. Ньютон исходил из того, что видимая звездная величина некоторых звезд, например, а Центавра, примерно такая же, как у Сатурна. Иными словами, освещенности, создаваемые этими звездами и Сатурном на плоскости, перпендикулярной к световым лучам, идущим от звезд и от Сатурна, примерно одинаковы. Приведем отрывок из работы Ньютона, который мы взяли из примечания редактора русского перевода к книге Ф. Крауфорда «Волны» (М.: Наука, 1974). «На диск Сатурна падает около 1/2100000000 части солнечного света. Во столько же раз поверхность этого диска меньше сферической поверхности, радиус которой равен радиусу орбиты Сатурна. Предположим, далее, что Сатурн отражает 1/4 часть этого света. Тогда отраженный полусферой Сатурна свет будет составлять 1/4200000000 часть света, испущенного полусферой Солнца. Уменьшение света обратно пропорционально второй степени расстояния до светящегося тела. Поэтому если Солнце было бы на расстоянии от'Земли в 10000 раз большем, чем Сатурн, оно оказалось бы таким же ярким, каким кажется Сатурн без своего кольца. Такое свечение немного превосходило бы свечение неподвижной звезды первой величины. Таким образом, расстояние, с которого Солнце светило бы как неподвижная звезда, примерно в 100000 раз больше расстояния до Сатурна». Расстояние от Сатурна до Земли равно примерно 1,4-109 км. Таким образом, согласно расчету Ньютона расстояние до ближайших ярких звезд должно быть равно 1,4-1014 км. Эта оценка по порядку величины правильна для расстояния до а Центавра, Сириуса, Проциона. Согласно нынешним данным расстояние до Центавра в 28 000 раз, до Сириуса в 58 000, а до Проциона в 75 000 раз больше расстояния от Солнца (Земли) до Сатурна. 173. Площадь изображения фонаря, даваемого хрусталиком, обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника, но и световой поток, падающий на зрачок, тоже обратно пропорционален квадрату расстояния до источника, поэтому освещенность изображения не зависит от расстояния до фонаря. Убедимся в этом. Обозначим I энергию, излучаемую фонарем в единицу телесного угла (яркость фонаря), /. — расстояние до фонаря и do — диаметр зрачка. Освещенность поверхности хрусталика равна (...) 174. Так как внутренняя поверхность сферы света не поглощает, то рано или поздно установится равновесие между попадающей в сферу световой энергией и выходящей из нее, т. е. сфера будет являться идеальным отражателем света. Каждый элемент полости сферы должен излучать на всю сферу столько же световой энергии, сколько и получает. Но поток энергии, излучаемой всей сферой на отверстие, равен падающему потоку. Отсюда следует, что освещенность всех точек полости сферы будет такой же, какой была бы освещенность плоского экрана, установленного у отверстия в сфере. Течка же, диаметрально противоположная отверстию, облучается двумя путями: первичным пучком и всей сферой. Оба потока при равновесии равны, следовательно, она будет в два раза больше освещена, чем все другие точки сферы. 175. Обозначим через В световой поток, испускаемый единицей площади поверхности жука внутри единичного телесного угла (поверхностная яркость). Тогда с площади So (рис. 176) на объектив фотоаппарата падает световой расстояние от фотоаппарата до жука. После объектива световой поток попадает на фотопленку, создавая на ней изображение. Освещенность этого изображения где S — площадь изображения выделенного участка поверхности жука. Найдем ее. Поскольку линейное увеличение линзы равно fid (/ — расстояние от линзы до изображения), отношение площадей изображения и предмета (...)
|
