|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе моей книги с таким же названием, вышедшей в 1938 году1).
1). П. С. Александров. Введение в теорию групп.— М.: Учпедгиз, 1938 г.
По-видимому, потребность в совершенно элементарном введении в теорию групп сохраняется и в настоящее время, несмотря на довольно обширную литературу по алгебре, в которой, в частности, не мало хороших и достаточно полных изложений теории групп. Поэтому я был очень обрадован представившейся теперь возможности опубликовать популярное изложение теории групп в серии «Библиотечка «Квант», тем более, что эта серия предназначена как раз тому кругу читателей, для которого я в основном и писал эту книжку.
Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.
Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более, что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этим понятием кажется мне одним из самых естественных способов первого ознакомления с современной математикой вообще.
Овладеть понятием группы может с интересом и пользой всякий любящий математику ученик старших классов средней школы. Книжка эта и написана в первую очередь для интересующихся математикой учащихся старших классов средней школы, а также для лиц, преподающих математику в школе. Что касается характера изложения, то я старался не давать понятии, не разъяснив их на простых, в значительной части геометрических примерах.
Книга содержит написанное Юрием Петровичем Соловьевым добавление «Группы перемещений плоскости и пространства и их подгруппы». Это добавление представляется мне дающим одну из самых живых, важных и интересных иллюстраций общего понятия группы, фундаментальная важность которого для всей математики и ее приложений уже отмечалась выше.
Переработка моей прежней книги осуществлена Ю. П. Соловьевым, которому я выражаю искреннюю благодарность. Особенно же я благодарю Ю. П Соловьева за то, что он написал уже упомянутое добавление к этой книге, существенно дополняющее и украшающее ее.
г. Москва
12 сентября 1979 года
В школе переход от арифметических задач к алгебраическим находит свое выражение в том, что в задачах численные данные заменяются буквенными. Обозначение чисел буквами отвлекает нас от специальных числовых данных, фигурирующих в той или иной задаче, и приучает решать задачи в общем виде, т. е. для любых числовых значений входящих в нее величин.
В соответствии с этим, в начальных, самых важных, главах школьного курса алгебры изучаются правила действий над буквенными выражениями, или, что то же самое, законы так называемых тождественных преобразований алгебраических выражений. Постараемся с самого начала выяснить это понятие.
Каждое алгебраическое выражение представляет собой совокупность букв, связанных между собой знаками алгебраических действий; при этом для простоты мы в настоящую минуту будем рассматривать лишь действия сложения, вычитания и умножения. Смысл каждого алгебраического выражения заключается в следующем: если буквы, участвующие в выражении, заменить числами, то выражение показывает, какие действия и в каком порядке надо выполнить над этими числами; другими словами, всякое алгебраическое выражение представляет собой некоторый, записанный в общем виде, рецепт для обыкновенного арифметического вычисления. Тождественное преобразование алгебраического выражения означает переход от одного выражения к другому, связанному с первым следующим соотношением: если мы в обоих выражениях каждой букве дадим совершенно произвольное числовое значение с одним условием, чтобы одна и та же буква, входящая в оба выражения, получила в обоих случаях одно и то же значение, и если после этого произведем
указами выше (...)
свойство действий сложения и умножения: произведение суммы двух чисел на третье число равно сумме произведения каждого из слагаемых на это третье число.
Тождеств существует бесконечно много. Однако можно установить небольшое число основных тождеств, подобных вышенаписанным, таким образом, что любое тождество является следствием из этих основных тождеств.
Всякое алгебраическое вычисление, т. е. всякое сколь угодно сложное тождественное преобразование одного алгебраического выражения в другое, является, таким образом, комбинацией небольшого числа основных или элементарных тождественных преобразовании, излагаемых в элементарной алгебре под названием правил раскрытия скобок, правил знаков и т. п. Совершая эти комбинации элементарных преобразовании, обычно даже забывают о том, что каждая буква в алгебраическом выражении есть только символ, знак, обозначающий некоторое число: вычисления, как гово рят, производят механически, забывая о реальном смысле производимого в каждый момент преобразования, а заботясь лишь о соблюдении правил этих преобразований. Так поступают обычно и опытные математики и начинающие учащиеся. Однако в последнем случае иногда, к сожалению, бывает, что этот реальный смысл производимых преобразований вообще ускользает из сознания.
В механическом осуществлении алгебраических операций есть и другая, более серьезная сторона. Она заключается в том, чго под буквами, входящими в алгебраическое выражение, во многих случаях можно понимать не число, а разнообразные другие объекты математического исследования: не только над числами, но и над другими объектами — примеры этому мы увидим —можно производить действия, которые имеют ряд общих основных свойств с алгебраическими действиями, и которые поэтому естественно назвать сложением, умножением и т. д. Например, силы в механике не являются числами: они являются так называемыми векторами, т. е. величинами, имеющими не только числовое значение, но и направление. Между тем силы можно складывать, и это сложение обладает основными свойствами обычного алгебраического сложения чисел. Это приводит к тому, что над силами можно производить вычисления по правилам алгебры. Таким образом, могущество алгебраических преобразований идет гораздо дальше, чем запись в общей форме действий над числами: алгебра учит вычислениям с любыми объектами, для которых определены действия, удовлетворяющие основным алгебраическим аксиомам.
ГЛАВА I
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
В этом параграфе мы опишем вкратце те основные понятия из теории множеств, которые постоянно употребляются в теории групп. Большинство этих понятий хорошо известно читателю из курса математики
средней школы.
Прежде всего, мы предполагаем известными понятия
множества и его подмножеств. Напомним лишь, что если В является подмножеством множества А, то этот факт обозначается так: В а А или A zd В. Знак с называется знаком включения.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой. Но бывают и бесконечные множества. Таковы, например: множество всех натуральных (т. е. целых положительных) чисел; множество всех прямых, проходящих через данную точку (в плоскости или в пространстве); множество всех окружностей, проходящих через две данные точки; множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую в пространстве и т. д.
Заметим еще одно обстоятельство: в математике рассматривается и множество, обозначаемое символом ©, вовсе не содержащее элементов (пустое множество). Пустое множество есть подмножество всякого множества. Пустое множество в этой книге нам почти не придется рассматривать, вообще же в математике оно часто является необходимым моментом в рассуждениях.
Напомним теперь определение операции над множествами.
1. Сумма множеств. Суммой A U В (или объединением) множеств А и В называепюя множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В.
Отметим, в частности, следующее: если множество В есть подмножество множества А, то сумма множеств В и А совпадает с А.
Совершенно аналогичным способом определяется сумма любого числа множеств. Можно определить и сумму бесконечного числа множеств. Все это содержится в следующем определении:
Пусть дана какая-нибудь конечная или бесконечная совокупность множеств. Суммой множеств данной совокупности называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, входящих в данную совокупность.
2. Пересечение множеств. Под пересечением множеств А и В понимается множество элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначается Л f|-B. Конечно, это множество может оказаться и пустым.
Заметим, что если В cz А, то пересечение множеств А и В есть множество В.
Вообще пересечением множеств данной (конечной или бесконечной) совокупности множеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих ко всем множествам данной совокупности.
3. Отображения или функции. Предположим, что некоторое количество людей идет, скажем, в театр. При входе в театр люди раздеваются и получают в гардеробе номер, под которым висит их пальто.
Что интересует нас с математической стороны в этом всем известном явлении? Интересующим нас обстоятельством является факт, который может быть сформулирован следующим образом.
Каждому зрителю театра соответствует (или поставлен в соответствие) некоторый предмет, а именно: тот номер, который этот зритель получил в гардеробе.
Если каким-нибудь образом каждому элементу а некоторого множества А поставлен в соответствие определенный элемент b некоторого множества В, то мы говорим, что множество А отображено во множество В, или что мы имеем функцию, аргумент которой пробегает множество А, а значения ее принадлежат множеству В. Для того чтобы показать, что данный элемент b поставлен в соответствие элементу а, пишут. b = f(a) и говорят, что Ь есть образ элемента а при данном отображении f (или что b есть значение функции для значения а аргумента).
При этом могут представиться различные случаи, которые мы сейчас и разберем. Может случиться что на данный спектакль распроданы все билеты. Югда и в гардеробе обычно не остается свободных мест: не только каждый зритель получит номер, но при этом все номера окажутся распределенными между зрителями. Этот факт с математической точки зрения означает, что:
каждому элементу множества А поставлен в соответствие элемент b = f(a) множества В, причем каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу множества А. (Выделенные слова выражают в применении к нашему частному примеру как раз то обстоятельство, что все номера оказались розданными.) В этом случае мы говорим, что имеем отображение множества А на множество В.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
