Библиотечка «Квант»
Г. Штейнгауз
Математический
калейдоскоп
*** 1981 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
Доказательства математических теорем следуют строгим законам логики. Подобно этому школьник, решив задачу, обязан отчетливо изложить решение и обосновать законность каждого шага решения. Но в случае сколько-нибудь сложной задачи сначала надо придумать решение и лишь потом его обосновать. Подобно этому интересные новые теоремы математики сначала придумывают «по догадке», или, как говорят более учено, по интуиции. Математическая интуиция часто руководствуется представлениями о красоте. Решение хорошо поставленной, естественной задачи обычно оказывается красивым. Конечно, не каждая красиво выглядящая гипотеза оправдывается. Но искать подлинное решение проблемы часто бывает разумным среди предположений, выделяющихся своей красотой. Известный польский математик Гуго Штейигауз в своей книге «Математический калейдоскоп» стремится увлечь читателя математикой именно с этой стороны красотой математических фактов н возможностью их усмотреть интуитивно еще до логического обоснования. Доказательства тоже бывают красивы своей неожиданной простотой. Они конечно, тоже имеются вжниге Штейнгауэа, но многие факты сообщаются и без доказательств, чтобы увлечь читателя своей красотой, в то время как само доказательство может оказаться и недоступным читателям из-за недостатка у них знаний. «Математический калейдоскоп» можно читать разными способами. Нет ничего зазорного и в том, чтобы перелистывать его, останавливаясь подробнее на картинках, поражающих своей красотой, либо обращая внимание на простоту формулировок ответов в тех случаях, когда, казалось бы, заданные вопросы простых ответов не обещают. Но, конечно, читатель получит больше пользы и больше удовольствия, если разберется в доказательствах там, где они приведены, и попытается их найти там, где они не даны автором. Книга Штейнгауэа переведена на много языков. В 1949 г. был издан и ее русский перевод, сделанный с первого, менее полного, польского издания. Всюду книга пользовалась большим успехом. Я надеюсь, что новое ее издание тоже завоюет ей много друзей среди читателей «Библиотечки «Кванта». А. Колмогоров Предлагая польскому читателю второе (а в общем счете — седьмое) издание моего «Калейдоскопа», должен сразу же оговорить, как и в предисловии к первому изданию, что эта книга не претендует ни на систематическое построение какого-либо раздела математики, ни на популярное изложение тех или иных математических задач. Это просто книжка с картинками. Основная ее цель — представить математику в зримой форме — сохраняется в качестве главной и в новом издании, xota я и допускал более длинные словесные комментарии там, где без них было не обойтись. Ошибался бы тот, кто считал «Калейдоскоп» собранием шарад и курьезов, поскольку серьезные вопросы подменяются в нем детскими игрушками. Это верно, что «Калейдоскоп» обращен к любознательности ребенка, которому он показывает неведомые и захватывающие воображение предметы. Но не так ли поступает с нами сама природа? И разве из-за этого мир превращается в магазин с игрушками? Думаю, что нет. А если и так, то можно ли это вменять в вину «Калейдоскопу»? Немало найдется таких рисунков, в которых читатель не увидит математики. Эти рисунки просто красивы. Когда они пришли мне в голову, хотелось увидеть модель, а когда модель была готова, хотелось посмотреть, как она выйдет на фотографии — взрослые люди и даже взрослые математики тоже должны иногда поиграть. Все это было бы невозможно без помощи рисовальщиков, модельщиков и фотографов. В первом издании было 180 иллюстраций, во втором число их перевалило за 300. Для первого издания рисунки делали Энгельштейн, Грюнберг и Халицка, а фотографии — Ванда Диамандувна; к этим именам, которые я вспоминаю с благодарностью, должен присоединить теперь имена Бронислава Купца с кафедры фототехники Вроцлавского политехнического института и рисовальщиков В. Вдовйка, А. Трояновского и А. Тн-чыньского. Модели для нового издания изготовил Рышард Новаковский; эти модели принадлежат математическому кабинету Вроцлавского университета им. Болеслава Берута. Для понимания книги не требуется знания высшей математики. Есть в ней, правда, и трудные места, но их можно опустить, так как «Калейдоскоп» не является каким-либо систематическим руководством. Кто пожелает, может поразмыслить над предла! аемыми вопросами; некоторые из них легкие, ответы на некоторые другие автору неизвестны, но встречаются и такие, которые в настоящее время никто не умеет решать. Примечания в конце книги указывают на источники, в которых автор почерпнул большую часть своих замыслов. Несколько лиц критически прочли рукопись: М. Кац (первое издание), Г. С. М. Коксетер и Г. Роббинс (американское издание); при подготовке настоящего издания я пользовался помощью Я Мыцельского. Название книги придумано моей женой. Какова основная идея книги? Их две: 1) предметом математики является действительность, 2) математика универсальна — нет вещи, которая была бы ей чужда. Этих идей читатель не откроет ни в одном рисунке в отдельности, но обозрев их все, почувствует, что таков именно их совокупный смысл. Вроцлав, 16 сентября 1954 г. ТРЕУГОЛЬНИКИ. КВАДРАТЫ. ИГРЫ. Из этих четырех дощечек (1) составится квадрат или равносторонний треугольник, в зависимости от того, в какую сторону повернуть рукоятку. С помощью прямоугольного треугольника можно разложить квадрат на два квадрата (2); чтобы убедиться, что больший квадрат складывается из двух меньших, проведем через центр среднего квадрата горизонтальную и вертикальную прямые и сместим, не поворачивая, получившиеся четыре части в углы большего квадрата; сместив теперь малый квадрат, мы покроем оставшуюся незанятой среднюю часть большего квадрата. Из равенства а= b+с видно, что малый квадрат точно соответствует размеру этой средней части. Смысл только что доказанного утверждения становится особенно прозрачным в случае треугольника (3) со сторонами 3, 4 и 5. Имеем: 9+16=25. Мы-можем, следовательно, построить прямой угол с помощью 12-сан-тиметровой нитки со связанными концами и с отметками на расстоянии 3, 4 и 5 сантиметров одна от другой. То же свойство прямоугольного треугольника можно проверить и без квадратов (4). Чтобы построить равносторонний треугольник, можно взять произвольный треугольник (5) и разделить каждый его угол на три равные части; тогда внутри его получится малый треугольник, который и будет равносторонним. Угол с большой точностью делится на три равные части следующим образом (6): сначала угол делится по патам, а затем хорда половинного угла делится на три; луч, отсекающий 2/3 этой хорды, отделяет одну треть всего угла. Данный способ не является абсолютно точным. Всю плоскость можно покрыть квадратными плитками нескольких разных размеров (7). Весьма интересно разбиение прямоугольника на одни только разные квадраты. На стр. 10 представлены (8) девять квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 18. Задача: составить из этих квадратов прямоугольник. Это простейший пример разбиения прямоугольника на разные квадраты. Ни в каком разбиении не может быть меньше девяти квадратов. Даже квадрат можно разбить на разные квадраты. Мы здесь изобразили (9) одно такое разбиение на 24 квадрата со сторонами 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16. 18. 20. 29, 30, 31, 33, 35. 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64,81. Можно ли разбить квадрат менее чем на 24 разных квадрата? Чтобы из произвольного треугольника вырезать треугольник с площадью в семь раз меньше, отделяем (10 А) от каждой стороны по одной трети и соединяем полученные точки с противоположными вершинами; то, что площадь красного треугольника равна одной седьмой площади исходного треугольника, видно из соседнего рисунка (10 В): красный треугольник равновелик каждому из шести серо-коричневых треугольников; выступающими коричневыми треугольниками можно покрыть синие треугольники; следовательно, общая площадь семи равновеликих тре- угольников равна площади исходного треугольника. Простейшее разбиение плоскости на равные квадраты (11) используется во многих играх. На доске (12) размером 3x3 можно играть в крестики-нулики следующим образом. Игроки поочередно ставят по одному крестику (первый игрок) или нулику (второй игрок). После того, как выставлено по три крестика и нулика, каждый игрок при очередном ходе имеет право переставить один свой крестик или нулик на одну из соседних свободных клеток (но не наискосок). Выигрывает тот, кто первый займет три клетки по вертикали, горизонтали или диагонали. Начинающий обеспечит себе выигрыш, если он своим первым ходом займет центральную клетку, а затем будет должным образом отвечать на ходы противника Действительно, если первый игрок поставит сначала крестик в клетку е. то второй игрок может поставить нулик либо в одну из прилегающих, либо в угловую клетку. Пусть нулик поставлен в угловую клетку, например, кле1ку с. Тогда первый игрок должен поставить крестик в клетку ft, вынуждая противника занять клетку ft; на это первый игрок отвечает занятием клетки с, и второй игрок должен будет поставить нулик в клетку g. Теперь первый игрок за два следующих хода переставляет крестики из клетки е в клетку / и из клетки ft в клетку i и выигрывает. Если второй игрок займет сначала одну из прилегающих к е клеток, например, клетку ft, то первый займет#, второй должен будет занять с; тогда первый займет с, вынуждая второго занять d — и второй игрок не успеет помешать первому переставить крестик с g сначала на ft, а затем на L Можно условиться, что начинающий не имеет права занимать первым ходом центральную клетку, тогда при правильной игре обоих партнеров игра никогда не закончится. Некоторые шахматные позиции можно точно проанализировать. Например, в эндшпиле д-ра Бергера (13) у белых имеется только один ход, ФЫ — Ь8, обеспечивающий им победу. При этом ходе и дальнейшей правильной игре белых их выигрыш уже после восьми ходов становится очевидным. При всяком же другом ходе белых и правильной игре черных победу одерживают черные. Некоторые эндшпили замечательны богатством вариантов и неожиданностью внешне скрытого решения. Так, например, начинающему игроку нелегко будет догадаться, каким образом в этой позиции (14) белые дают мат самое большее в четыре хода. Эндшпиль д-ра Эберса (15) носит чисто математический характер. Можно точно доказать, что белые не позволят черному королю взять какую-либо из своих пешек, если только всегда будут ходить своим королем на поле, обозначенное той же буквой, что и поле, на котором стоит черный король. В соответствии с этим правилом первый ход белых есть ход В — F. Если белые ни разу не отступят от этого правила, то результат будет ничейным. Если они нарушат его хотя бы однажды, то черные смогут при желании ие позволить белым вернуться к указанной тактике, их король проникнет в лагерь белых по одной из диагоналей X — Y или О — О и черные добьются победы. Читателю не нужно быть блестящим игроком, чтобы добиться результата 1:1 в одновременной игре на двух досках против двух мастеров. Достаточно потребовать, чтобы один из мастеров (А) играл белыми, а другой (В) — черными и чтобы матч начинался ходом мастера А. Тем же самым ходом читатель должен начать свою партию с В, а когда тот ответит — повторить его ответ в партии с А и т. д. В итоге на обеих досках будет разыграна одна и та же партия. Читатель либо выиграет на одной доске и проиграет на другой, либо сделает ничью на обеих досках, поэтому в любом случае он и оба его партнера вместе наберут по одному очку. Мы не располагаем математической теорией игры в шахматы, однако для некоторых более простых игр такая теория построена. Рассмотрим, например, следующую игру (16). В квадратной коробочке имеется 16 ячеек; одна из них свободна, а остальные заполнены фишками, занумерованными числами от 1 до 15. На рисунках (16) и (17) показаны два расположения фишек в ячейках коробочки, первое из которых считается начальным, а второе выбрано произвольно. Можно ли, передвигая фишки внутри коробочки, перевести произвольно выбранное расположение в начальное? Ознакомимся с теорией этой игры. Припишем свободной ячейке номер 16; каждому расположению фишек отвечает некоторая расстановка чисел 1,2,3 15,16. От расстановки этих чисел в их естественном порядке можно перейти к любой другой расстановке за несколько шагов, каждый из которых состоит в перестановке двух соседних чисел. Например, расстановку 2, 1, 3, 4,..., 16 можно получить за один шаг — переставив единицу с двойкой. Одни расстановки требуют четного числа шагов, другие — нечетного, но никакая расстановка не может быть получена из начальной как за четное, так и за нечетное число шагов. Если бы к некоторой расстановке вело два пути — с четным и нечетным числом шагов, то можно было бы пойти первым путем и затем вернуться вторым путем, выполняя соответствующие шаги в обратном порядке. В результате получился бы путь, ведущий от начальной расстановки к ней же, в котором число шагов, будучи суммой чисел разной четности, было бы нечетным. Это, однако, невозможно — никакую расстановку нельзя перевести в себя за нечетное число шагов. Ведь на каждом шагу переставляются какие-нибудь два числа: если имеется шаг, преобразующий пару соседних чисел (3, 7) в пару (7, 3), то должен существовать обратный шаг, преобразующий пару (7, 3) в пару (3, 7). Действительно, пусть, например, в исходной расстановке, к которой мы хотим вернуться, тройка стояла слева от семерки; тогда мы должны скомпенсировать перескок тройки направо от семерки — при любых дальнейших перемещениях тройка ие сможет вернуться на свое место иначе, как перескочив снова налево от семерки. Это относится ко всем парам — число шагов, в которых участвуют любые два заданных числа, четно Следовательно, четно и общее число шагов. Мы убедились, таким образом, что существуют расстановки четные и нечетные — первые получаются из начальной расстановки за четное, а вторые — за нечетное число шагов. Если какая-нибудь расстановка четна, то она не может быть нечетной. Все сказанное относится к расстановке фишек в один ряд. При перемещениях внутри коробочки нельзя выполнять произвольные шаги. Можно, правда, принимать за расстановку любое расположение фишек, если читать номера от левого верхнего угла до правого нижнего, однако, теперь всякий шаг заключается в перестановке пустой ячейки 16 с соседней фишкой, номер которой может быть каким угодно. Если соседняя фишка расположена справа или слева, то при этом получится шаг в прежнем смысле, как если бы числа были расставлены в один ряд. Однако если она находится сверху или снизу, то при расположении в один ряд этому соответствует перестановка двух чисел, между которыми стоят три числа. Такая перестановка требует семи шагов. Если мы хотим перейти от расстановки (16) к расстановке (17), то нам во всяком случае придется вернуть пустую ячейку 16 в ее исходное положение в правом нижнем углу; следовательно, влево ее нужно будет переместить столько же раз, сколько и вправо, и вниз столько же раз, сколько и вверх. Таким образом, получится четное число 2h горизонтальных и четное число 2v вертикальных перемещений. Этому соответствует 2h+2v-7 шагов, т. е. четное число шагов. Но за четное число шагов четная расстановка переходит всегда в четную, а нечетная — в нечетную (почему?). Между тем расстановка (17) нечетна, так как она получается из начальной за один шаг — перестановкой единицы и двойки, а расстановка (16) четна, так как она получается из начальной за нуль шагов; в силу этого переход от (16) к (17) неосуществим. В то же время всегда можно перейти от любой четной расстановки к любой другой четной расстановке, а от любой нечетной — к любой другой нечетной; предлагаем читателю доказать это самостоятельно. Игра «в пятнадцать» была какое-то время популярной, но после опубликования в 1879 г. ее теории вышла из моды. Все упоминавшиеся здесь игры имеют нечто общее, роднящее их также со многими другими играми. Не только для шахматных эндшпилей, но и для таких игр, как «крестики — нулики» или «волки и овцы», теория позволяет установйть, какая из сторон выиграет при условии правильной игры. Одновременно теория указывает, как играть правильно. Этому как будто противоречит возможность ничьей в шахматах, однако, такую возможность можно исключить, если условиться, что проигравшим считается партнер, который в случае повторения позиции сыграет так же, как он сыграл раньше. Общее утверждение об играх подобного рода гласит, что всякая игра либо несправедлива, либо нейтральна. При этом нейтральной считается игра, которая при правильной тактике обоих партнеров всегда заканчивается вничью. В некоторых играх ничьи отсутствуют; такие игры называют категоричными. В ряде случаев ничейный исход можно исключить с помощью дополнительных соглашений (как в только что приведенном примере). Согласно сделанному утверждению, всякая категоричная игра является несправедливой. Условимся, что в игре белых и черных начинают всегда белые; тогда, например, в игре в «волки и овцы» белые всегда могут добиться победы; сделанное выше утверждение означает, что и в любой другой категоричной игре одна из сторон всегда может добиться победы, так что исход борьбы предрешен еще до ее начала. При этом победа достигается независимо от того, как играет другая сторона. Ясно, что только одна сторона располагает такой выигрышной тактикой. Иногда эту тактику найти легко, как в случае «волков и овец», иногда трудно, как в некоторых шахматных эндшпилях, иногда неясно даже, удастся ли это сделать в пределах обозримого будущего, как в случае обычной игры в шахматы, однако, всегда для одной из сторон такая тактика существует. (В случае шахмат необходимо принять указанное выше дополнительное соглашение, а также считать, что пат означает проигрыш для стороны, не имеющей хода.) Для доказательства рассмотрим эндшпиль, в котором белые дают мат самое большее в 4 хода. Обозначим эту позицию через С4. Белые, очевидно, располагают таким первым ходом, что при любом ответе на него черных получится позиция EG3. Они, таким образом, располагают хорошим ходом, если хорошим считать ход, приводящий к позиции EGs- Точно так же и в позиции EG3 у белых имеется хороший ход, который приводит к позиции EG2, а в этой позиции — хороший ход, дающий позицию EGt. Наконец, в этой последней позиции у белых также имеется хороший ход — шах и мат! Разумеется, плохая защита черных может облегчить белым задачу: белые смогут поставить мат за три, а не за четыре хода; в любом случае белые располагают последовательностью хороших ходов, позволяющей им поставить мат самое большее в четыре хода. Теперь понятно, что означает позиция EGn. Все позиции EGn (п= 1, 2, 3, ...) будем называть выигрышными позициями для белых. Пусть теперь на шахматной доске все 32 фигуры стоят в своей исходной позиции. Логика учит, что существуют лишь две возможности, каждая из которых исключает другую: (I) — позиция является выигрышной для белых, — позиция не является выигрышной для белых. В первом случае исход любой шахматной партии заранее предопределен в пользу белых, поскольку начальная позиция есть EGВо втором случае начальная позиция не есть EG. Это означает, что на каждый ход белых черные могут ответить ходом, который приводит к позиций, также не являющейся EGn. Ведь если бы у белых был такой ход М, что при любом ответе черных получалась бы выигрышная для белых позиция, то и исходная позиция была бы для них выигрышной, а это противоречит принятому нами допущению (II). То же рассуждение применимо и к позиции, возникающей после первого ответа черных: снова на каждый ход R белых черные могут ответить так, чтобы получилась позиция . Белые, следовательно, не могут выиграть — им для этого нужно добиться позиции EGi, чего черные не допустят, если будут играть правильно; но в таком случае ввиду категоричности игры черные должны выиграть. Мы не знаем, какая из возможностей, (I) или (II), осуществляется в шахматах на самом деле при дополнительном соглашении, исключающем ничьи, но нам известно, что осуществляется одна и только одна из этих возможностей, и поэтому шахматы являются игрой несправедливой. Такое же рассуждение применимо к шашкам и многим другим играм. Любая из этих игр, если она не категорична, может быть справедливой, но тогда она нейтральна. Неизвестно, является ли игра в шахматы (без дополнительных правил) нейтральной или нет. В последнем случае шахматы — игра несправедливая, но можно еще не знать, какая из сторон обеспечивает себе выигрыш. Если это известно, то неизвестной еще может оставаться тактика выигрывающей стороны, а в случае, когда шахматы являются нейтральной игрой, -— тактики обеих сторон, гарантирующие каждой из них ничью. Существуют игры иного рода, к которым изложенная выше теория неприменима. Доску для игры в «крестики — нулики» можно использовать и для такой игры: в каждую клетку доски (18) заранее и на всю игру вписывается какая-нибудь цифра — либо белая, либо черная; первый партнер (белые) ставит в свою карточку одну, две или три белые палочки, а второй партнер (черные) — одну, две или три черные палочки в свою карточку, но ни один из них не видит, что поставил другой; затем карточки открываются и тем самым определяются вертикаль и горизонталь доски; цифра, стоящая в клетке их пересечения, определяет размер выигрыша для белых, если эта цифра белая, и для черных, если она черная. Особенность этой игры состоит в том, что она не является замкнутой. Поясним это. Допустим, белые решили все время ставить в своей карточке две палочки и черные поняли это, играя с белыми достаточно долго. Тогда они примут наиболее выгодную для них тактику, проставляя постоянно в своей карточке две палочки, обеспечивая себе тем самым выигрыш размера 3 при каждом розыгрыше. Через некоторое время белые разгадают их систему игры и изменят свою тактику: будут ставить все время одну палочку. Это будет давать им выигрыш размера 2, пока черные не решатся на смену своей тактики. Ясно, что такое взаимное приспосабливание не дает ни одному из партнеров какого-либо определенного плана игры. В шахматах дело обстоит иначе. В задаче д-ра Бергера можно точно указать, как должны играть оба партнера, если каждый из них действует наилучшим для себя образом (см. примечание (13) в конце книги) Если белые знают, что черные действуют безошибочно, то они должны начать с хода ФЫ—Ь8, иначе им не удастся поставить мат на тринадцатом ходу. Если черным известно, что они играют с идеальным противником, то они ответят ходом Cgl—сб; при всяком другом ответе им будет поставлен мат еще до тринадцатого хода. Так разворачивается борьба в соответствии с «главной игрой», указанной в тексте. Здесь каждый из партнеров действует наилучшим для себя образом. Наличие «главной игры» делает игру замкнутой. KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
