Библиотечка «Квант»
Семён Григорьевич Гиндикин
Рассказы о физиках
и математиках
*** 1981 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ФPAГMEHTЫ КНИГИ (...) Позднее Гаусс напишет: «Главным образом, более поздним исследователям, правда немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу, — таким, как Фер , Эйлер Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашл доступ к сокровищнице этой божественной науки и показали какими богатствами она наполнена».
Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков использует Пребывание в Геттингене, для изучения трудов классиков, он переосмысливает их достижения сопоставляет с тем, что он открыл сам. По его замыслу результаты этой деятельности должны былп быть подытожены во всеобъемлющем труде. К написанию этой книги Гаусс приступает после возвращения в Брауншвейг в у 1798 г. после окончания университета. В книгу должны были войти собственные результаты, все еще остававшиеся неопубликованными, если не считать газетной заметки, в которой кстати обещалось: «Это открытие является собственно лишь следствием одной еще не совсем законченной большой теории. Как только она получит эту законченность, она будет предложена публике». На осуществление грандиозного замысла ушло четыре года напряженной работы. ГЕЛЬМШТАДТСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ. В Брауншвейге Гаусс не имел литературы, необходимой для «Арифметическими исследованиями». Поэтому он съездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подготовил диссертацию посвящённую доказательству Основной теоремы. (если хотеть оставаться н области действительных чисел, то Основную теорему можно сформулировать так: веянии многочлен действительными коэффициентами раскдабыеяется в произведение многочленов первой и второй критически разбирает все предшествующие попытки до казательства и с большой тщательностью проводит иде Даламбера. Безупречного доказательства все же не слоЖилось, так как не хватало строгой теории В дальнейшем Гаусс придумал еще три доказательства Основной теоремы Гаусс переходит к их обобщению эллиптическим функциям. Он понимает, что речь идет «о совершенно новой области анализа». После 1800 г. Гаусс уже не смог уделять эллиптическим функциям столько времени, сколько было необходимо для доведения теории до состояния удовлетворяющего его своей полнотой и строгостью. С самого начала он отказался от регулярных публикаций, надеясь опубликовать все разом, как это было с его арифметическими работами. Однако заботы так никогда и не доставили ему необходимого времени. В 1808 г. он пишет своему другу и ученику Шумахеру: «О круговыми и логарифмическими функциями мы умеем теперь обходиться как единожды один, но великолепный золотой родник, хранящий сокровенное высших функций остается пока почти terra incognita*). *) Неизведанная область (лат.). Я очень много работал над этим прежде и со временем дам собственный большой труд об этом, на что я намекал еще в моих «Арифметических исследованиях». Приходишь в изумление от чрезвычайного богатства новых и в высшей степени интересных истин и соотношений, доставляемых этими функциями». Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своих результатов. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г сразу два молодых математика - Абель и Якоби - опубликовали многое из того, что было им получено. «Результаты Якоби представляют часть моей собственной большой работы, которую я собираюсь когда-нибудь издать. Она будет представлять исчерпывающий труд на эту тему если только небесам будет угодно продлить мою жизнь и даровать мне силы и душевный покой» Господин Абель предвосхитил многие мои мысли и примерно на треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большой строгостью и изяществом. Абель шел тем же путем что и я в 1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получили столь похожие результаты. К моему удивлению, это сходство распространяется даже на форму, а местами и на обозначения, поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Но чтобы понял меня неправильно, я должен добавить, что не помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследованиях г кем-нибудь из посторонних» (письмо Ьесселго). Наконец, в письме Креллю: «Поскольку Абель продемонстрировал такую проницательность и такое изящем-во в вопросах изложения, я чувствую, что могу совершенно отказаться от опубликования полученных мной результатов» (май 1828 г.). Следует отметить, что замечание Гаусса в «Арифме ческих исследованиях» о том, что теорию деления круга можно перенести на лемнискату, оказало большое влияние наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону от чистои математики. Он много раз эпизодически будет обращаться к ней и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 г. он опубликовал работу о гипергеометрическои функции. (Эта функция зависит от трех параметров. Придавая им конкретные значения, можно получить большинство функций встречающихся в математической физике.) Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел. О его геометрических работах мы расскажем ниже. Однако никогда математика уже не будет главным делом его жизни. Характерный внешний штрих: в 1801 г. Гаусс прекращает регулярно весТИ дневник (хотя отдельные записи появляются до 1814 г.). Мы редко отдаем себе отчет, как короток был «математический век» Гаусса-менее 10 лет. При этом большую часть времени заняли работы, оставшиеся неизвестными современникам (эллиптические функции). МАЛЫЕ ПЛАНЕТЫ. Расскажем теперь о новом увлечении Гаусса. Биографы много спорили о причинах, по которым Гаусс начал заниматься астрономией. Прежде всего надо иметь в виду, что, начиная с работ KeroieDa Галилея и Ньютона, астрономия была наиболее явким местом приложения математики. ГЕОДЕЗИЯ. К 1820 г. центр практических интересов Гаусса переместился в геодезию. Еще в начале века он пытался воспользоваться результатами измерений дуги меридиана, предпринятых французскими геодезистами для установления эталона длины (метра), чтобы найти истинное сжатие Земли. Но дуга оказалась слишком мала. Гаусб мечтал провести измерение достаточно большой дуги меридиана. К этой работе он смог приступить только в 1820 г. Хотя измерения растянулись на два десятилетия, Гаусс не смог осуществить свой замысел в полном объеме. Большое значение имели полученные в связи с геодезией исследования по обработке результатов измерений (к этому времени относятся основные публикации о методе наименьших квадратов) и различные геометрические результаты, связанные с необходимостью проводить измерения на поверхности эллипсоида. В 20-е годы обсуждался вопрос о переезде Гаусса в Берлин, где он должен был стать во главе института. Сюда должны были быть приглашены наиболее перспективные молодые математики, прежде всего Якоби и Абель. Переговоры затянулись на четыре года; разногласия были по поводу того, должен ли Гаусс читать лекции, и сколько ему должны платить в год — 1200 или 2000 талеров. Переговоры окончились безрезультатно. Впрочем, не совсем: в Геттингене Гауссу стали платить то жалование, на кото- дезии мы обязаны тем, что на сравнительно короткое время математика вновь стала одним из главных дел Гаусса. В 1816 г. он думает об обобщении основной задачи картографии - задачи об отображении одной поверхности на другую «так, чтобы отображение было подобно отображаемому в мельчайших деталях». Гаусс посоветовал Шумахеру выбрать этот вопрос при объявлении конкурса на премию Копенгагенского научного общества. Конкурс был объявлен в 1822 г. В том же году Гаусс представил свои мемуар, в котором вводятся падите). В записях Гаусса упоминается поверхность вращения постоянной отрицательной кривизны. Потом ее назовут псевдосферой, и Бельтрами обнаружит, что ее внутренняя геометрия есть геометрия Лобачевского. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ. По некоторым сведениям Гаусс интересовался постулатом о параллельных еще в Брауншвейге в 1792 г. В Геттингене он много обсуждал проблему параллельных со студентом из Венгрии Фарка-шем Бойяи. Из письма 1799 г., адресованного Ф. Боияи, мы узнаем, насколько ясно понимает Гаусс, что имеются многочисленные утверждения, приняв которые, можно доказать пятый постулат: «Я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за доказательство». И вместе с тем: «Однако дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, а к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии». Отсюда до понимания возможности неевклидовой геометрии один шаг, но он все-таки еще не был сделан, хотя эта фраза часто ошибочно воспринимается как свидетельство того, что Гаусс пришел к неевклидовой геометрии уже в 1799 г. Заслуживают внимания слова Гаусса, что он не имеет возможности уделить достаточно времени этим вопросам. Характерно, что о проблеме параллельных нет ничего в дневнике. По-видимому, она никогда не находилась в центре внимания Гаусса. В 1804 г. Гаусс опровергает попытки ф. Бойяи доказать постулат о параллельных. Письмо заканчивается так: «Однако я еще надеюсь на то, что некогда и еще до моего конца, эти подводные камни позволят перебраться через них». Похоже, что эти слова означают надежду, что доказательство будет найдено. Вот еще несколько свидетельств: «В теории параллельных мы до сих пор не опередили Евклида. Это позорная часть математики, которая, рано или поздно, должна принять совершенно другой вид» (1813 г.). «Мы не продвинулись дальше того места, где был Евклид 2000 лет назад» (1816 г.). Однако в том же 1816 г. он говорит о «пробеле, который нельзя заполнить», а в 1817 г. в письме Ольберсу мы читаем: «Я все больше прихожу к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, человеческим умом и для человеческого ума. Может быть, в другой жизни, мы придем к другим
|
