Библиотечка «Квант»
Игорь Фёдорович Шарыгин
Задачи по геометрии
*** 1982 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Первый раздел открывается набором геометрических фактов, примыкающих к курсу геометрии 6 — 8 классов средней школы. Многие из них входили в традиционные школьные учебники. Кроме того, в этом разделе собраны задачи (в основном «на вычисление» элементов геометрических фигур), призванные активизировать знание основных школьных формул и теорем, развить технику решения геометрических задач. Задачи этого раздела снабжены лишь ответами. Работа над ними поможет читателю подготовиться к школьным и конкурсным экзаменам (некоторые из этих задач в прошлом предлагались на экзаменах). В известной мере это утверждение можно отнести и к задачам «на вычисление» из второго раздела. Уже в первом разделе встречаются нелегкие задачи. Во втором разделе, рассчитанном на увлеченного геометрией читателя, трудность задач возрастает (хотя и здесь каждый параграф открывается сравнительно простыми вводными задачами). Основными критериями отбора задач являлись: естественность формулировки, геометричность решения, неожиданность результата, оригинальность задачи. Автор не делал попытки систематизировать задачи по типам и методам решения, по принадлежности к тому или иному разделу геометрической науки. По существу, почти каждая геометрическая задача (по сравнению с рутинными упражнениями на решение уравнений, неравенств, исследование функций и т. п.) нестандартна: в каждой надо придумать, какие сделать дополнительные построения, какими воспользоваться формулами и теоремами. Поэтому предлагаемую книгу никак нельзя рассматривать как задачник по систематическому курсу геометрии; скорее это сборник (...) намеренно не намечал нее возможные связи и обоощения задач, как это принято у матема-тиков-теоретиков, доискивающихся в каждом отдельном случае до логически наиболее прозрачного общего действовал скорее как физик-практик Решить конкретную задачу, по принципу: изящного решения, надо «посчитать». Возможно, некоторые читатели не откажут в удовольствии улучшить предложенный автором путь решения отдельных задач. Хотя степень оригииальоости собранных в книге задач различна (некоторые можно найти в старых книгах и журналах, другие предлагались на олимпиадах или были опубликованы в журнале «Квант») надеется’ что кое-что из представленной геометрии Заметим, что в некоторых случаях к задачам второго раздела дается лишь план решения или разбирается один из возможных случаев. Необходимость перебора разных возможных расположений фигур — нередко встречающийся недостаток элементарно-геометрических доказательств, который, как правило, исчезает при переходе к векторам, «направленным углам», методу координат и т. п.; правда, при этом зачастую исчезает и сама геометрия. Чтобы сделать книгу понятной для читателей разной подготовки и разных поколений, была выбрана не совсем совпадающая с принятой сейчас в школе терминология. «Конгруэнтные» фигуры называются просто «равными», не используются знаки [АВ] для отрезка и (АВ) для прямой и т. п.; надо полагать, что это не затруднит, а скорее облегчит пользование книгой. Уже после того как рукопись была подготовлена, автору представилась возможность включить в нее еще 62 задачи повышенной трудности. Они помещены в конце книги вместе с ответами и указаниями. В заключение автор считает своим долгом поблагодарить А. 3. Берштейна, принимавшего участие в работе над первым разделом книги. Автор признателен также А. А. Ягубьянцу, сообщившему несколько изящных геометрических фактов. Автор РАЗДЕЛ I ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1. Доказать, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся ею в отноше нии 1 :2. 2. Доказать, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. 3. Доказать, что диаметр окружности, описанной около треугольника, равен отношению его стороны к синусу противолежащего угла. 4. Пусть вершина угла находится вне круга и стороны угла пересекают окружность. Доказать, что величина угла измеряется полуразностью дуг, высекаемых его сторонами на окружности и расположенных внутри угла. 5. Пусть вершина угла находится внутри круга. Доказать, что величина угла измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями за вершину угла. 6 Пусть АВ — хорда окружности, / — касательная к окружности (Л-точка касания). Доказать, что каждый из двух углов между АВ и / измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри рассматриваемого угла. 7. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра окружности радиуса R (a.R), проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и в. Доказать, что МА 1 1 MB. постоянно для всех секущих и равно а-Я2 (квадрату длины касательной) 8 В окружности радиуса R через точку М, находящуюся на расстоянии а от ее центра (аЯ). проведена хорда АВ. Доказать, что 1AM1-1MB1 постоянно длжвсех хорд и равно R2 — a2. Пусть AM — биссектриса треугольника AtSL. Доказать, что - 4$-. То же верно для биссектрисы внешнего угла треугольника. (В этом случае М лежит на продолжении стороны ВС.) 10. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. цП. Стороны треугольника равны а, b и с. Доказать, что длина медианы та, проведенной к стороне а, вычисляется по формуле та = У?Ь2 + 2с2 — а2. 12. Даны два треугольника, у которых одна вершина А — общая, а другие вершины расположены на двух прямых, проходящих через А. Доказать, что отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений двух сторон, содержащих вершину А. 13. Доказать, что площадь описанного многоугольника равна гр, где р — его полупериметр, г —радиус вписанной окружности (в частности, эта формула справедлива для треугольника). 14. Доказать, что площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на chhvc угла между ними. 15. Доказать справедливость следующих формул для площади треугольника: X sin б sin С, где А, В, С —углы треугольника, а — длина стороны против угла A, R — радиус описанного круга. 16. Доказать что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле 17. Доказать, что если а и b — две стороны треугольника, а — угол между ними и I —длина биссектрисы 18. Доказать, что расстояния от вершины А треугольника А ВС до точек касания вписанной окружности со сторонами АВ и АС равны р — а, где р—полупериметр ДЛбС, а = 1 ВС . «.Дрк-эт, чт0 если в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется соотношение, то существует окружность, касающаяся всех сторон его. 20. а) Доказать, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. б) Доказать, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны. 21. На одной стороне прямого угла с вершиной в точке О взяты две точки А и В, причем. Найти радиус окружности, проходящей через точки Л и В и касающейся другой стороны угла. 22. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из острых углов равен 30°. Найти радиус окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей данный треугольник на две равновеликие части. 23. В прямоугольном треугольнике ABC даны длины катетов 1СВ1 = а, 1СА1 = Ь. Найти расстояние от вершины С до ближайшей к С точки вписанной окружности. 24. В прямоугольном треугольнике медиана длины гп делит прямой угол в отношении 1 :2. Найти площадь треугольника. 25. В треугольнике ABC даны стороны Найти отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В. 26. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне. 27. Доказать, что сумма расстоянии от люоои точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. 28. В равнобедренном треугольнике ЛВС цлв,— =BG) на основании АС взята точка М так, что I дд й, I мс = Ъ. В треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности. Найти расстояние между точками касания этих окружностей со стороной ВМ- 29. В параллелограмме со сторонами а и Ъ и углом а проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами. 30. В ромб с высотой h и острым углом а вписана окружность. Найти радиус наибольшей из двух возможных окружностей, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба. 31. Определить острый угол ромба, в котором длина стороны есть среднее геометрическое длин диагоналей. 32. Длины диагоналей выпуклого четырехугольника равны а и Ь, а длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны между собой. Найти площадь четырехугольника. 33. Основание AD прямоугольника ABCD, в три раза большее его высоты АВ, точками М и N разделено на три равные части. Найти АМВ -f ANB-f ADB. 34. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены хорды АС и AD, касающиеся данных окружностей. Доказать, что 1AC12-1BD1 = = 1 AD 2 -1ВС1. I I 35. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу. 36. На окружности радиуса г выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, длины которых относятся как 3:4:5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найти площадь треугольника, образованного этими касательными. 37. Около окружности описана равнобочная трапеция с боковой стороной /, одно из оснований которой равно а. Найти площадь трапеции. 38. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найти площадь средней части, если площади крайних Si и S2. 39. В трапеции ABCD со сторонами проведена биссектриса угла Л. Определить, что она пересекает: основание ВС или боковую ctodo-ну CD. v 40. Найти длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и проходящей через точку пересечения диагоналей, если основания трапеции равны а и Ь. 41. В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найти угол при основании. 42. В трапеции ABCD основания Найти площадь трапеции, если известно, что являются биссектрисами углов 43. В равнобочной трапеции средняя линия равна а, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции. 44. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного в трапецию круга. 45. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и ее основаниями, равны S и S2. Найти площадь трапеции. 46. В треугольнике ЛВС угол ABC равен а. Найти угод АОС. где О —центр вписанной окружности. 47ЛВ прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Найти расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников, если катеты данного треугольника равны а и Ь. 48. Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти острый угол параллелограмма, если длины его сторон 49. Дан полукруг с диаметром АВ. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр Л В?. 50. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а, и построены две окружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата A BCD, касается стороны АВ в точке Е, а также касается стороны ВС и диагонали АС. Вторая окружность с центром в точке А проходит через точку Е. Найти площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями. 51. Вершины правильного шестиугольника со стороной а являются центрами окружностей, радиусы которых равны a/Y2- Найти площадь части шестиугольника, расположенной вне этих окружностей. 52. Вне окружности радиуса R взята точка Л, из которой проведены две секущие, одна — проходящая через центр, а другая — на расстоянии R/2 от центра. Найти площадь части круга, расположенной между этими секущими. 53. В четырехугольнике ABCD известны углы. Найти расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, Л и В, а другая — через точки В, С и D. 54. На сторонах АВ и AD ромба ABCD взяты две точки М и N так, что прямые МС и NC делят ромб на три равновеликие части. Найти длину отрезка MN, если BD 1 = d. 55. На стороне АВ треугольника ABC взяты точки М и N так, что 1AM1:1MN1:1NB1= 1 1 Через точки М и N проведены прямые, параллельные стороне АС. Наити площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна S. 56. Дана окружность и точка А вне ее. АВ и Л О--касательные к окружности (В и С — точки касания). Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окружности. 57. Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность, и на дуге ВС взята произвольная точка М. Доказать, что AM 1 = ВМ +1 СМ . 58. Пусть Н — точка пересечения высот Найти углы Л ЛВС, если ВАН = а, ЛВЯ = р. 59. Площадь ромба S, сумма длин его диагоналей равна т. Найти сторону ромба. 60. Квадрат со стороной а вписан в окружность. Найти сторону квадрата, вписанного в один из полученных сегментов. 61. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник ABCD так, что —- = 1 (ВС лежит на хорде). Найти площадь прямоугольника. 62. Площадь кругового кольца S. Радиус большей окружности равен длине меньшей. Найти радиус меньшей окружности. 63. Сторону правильного десятиугольника выразить через R — радиус описанной окружности. 64. К окружности радиуса R из внешней точки М проведены касательные МА и MB, образующие угол а. Определить площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окружности. 65. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найти радиус окружности, проходящей через середину стороны АВ, центр квадрата и вершину С. 66. Дан ромб со стороной а и острым углом а. Найти радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или ее продолжения. 67. Даны три попарно касающиеся окружности радиуса г. Найти площадь треугольника, образованного тремя прямыми, каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает третью. 68. Окружность радиуса г касается некоторой прямой в точке М. На этой прямой по разные стороны от М взяты точки А и В так, что 1МА1 = 1МВ1==а. Найти радиус окружности, проходящей через А и В и касающейся данной окружности. о 69. Дан квадрат ABCD со стороной а. На стороне ВС взята точка М так, что 1ВМ = 31МС, а на стороне CD — точка N так, что 2C/V 1ND1. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник AMN. (70. Дан квадрат ABCD со стороной а. Определить расстояние между серединой отрезка AM, где М —середина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей ее в отношении CN : [ 7VZ? = 3:1. 71. В треугольнике ABC из вершины А выходит прямая, делящая пополам медиану BD (точка D лежит на стороне АС). В каком отношении эта прямая делит сторону ВС? . 72 В прямоугольном треугольнике АВL катет ьл равен Ъ, катет СВ равен а, СЙ - высота, AM- медиана. Найти площадь треугольника ВМН. 73. В равнобедренном треугольнике ABL заданы ВАС = а 90° и ВС 1 = а. Найти расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружНОСТИ. 74. Вокруг треугольника ABC, в котором ?С—а, СВА = а ВС А = р, описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найти длину X°i75 Вокружности радиуса R проведен диаметр и на нем взята точка А на расстоянии а от центра. Найти радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружНОСТИ. 76 В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды равной длины. Каждая хорда разделена точками пересечения на три части равной длины. Найти радиус окружности, если длина каждой из хорд равна а. 77. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найти радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна а. 78. В правильном треугольнике ABC, сторона которого равна а, проведена высота ВК В треугольники АВК и ВСК вписано по окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны АС. Найти площадь треугольника, отсекаемого этой касательной от треугольника ABC. 79. Во вписанном четырехугольнике ABCD известны углы DAB = a, АВС = {3, ВКС — у, где К — точка пересечения диагоналей. Найти ACD. 80. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке К, известно, что 1АВ1 — а, 1BK1-b, 1АК1 = с, CD = d. Найти длину диагонали АС. 81. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол а, а с диагональю — угол р. Найти отношение площади круга к площади трапеции. 82. В равнобочной трапеции ABCD известны основания 1AD1=a, 1BC1-b и боковая сторона 1AB1-d. Через вершину В проведена прямая, делящая пополам диагональ АС и пересекающая AD в точке К. Найти площадь треугольника BDK-1 83. Найти сумму квадратов расстояний от точки М, взйтой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от М до центра окружности равно а. 84.)Общая хорда двух пересекающихся окружностей видйаиз их центров под углами 90° и 60°. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами =равно а. 85.; Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит сторону АС в отношении 2:1, а точка М делит сторону А В в отношении 1 :2 (считая в обоих случаях от вершины А). Доказать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC. 86. Окружности радиусов R и R/2 касаются друг друга внешним образом. Один из концов отрезка op образующего с линией центров угол, рав-S 30= совнадаУеГс центром окружной радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обеих о ру ностёй? (Отрезок пересекает обе окружности.)
|
