Библиотечка «Квант»
А. Л. Эфрос
Физика и геометрия
беспорядка
*** 1982 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Наука, которая составляет предмет этой книги, очень молода. Её основные идеи были сформулированы лишь в 1957 г. в работе английских учёных Бродбента и Хаммерсли. Эта работа возникла следующим образом. В середине пятидесятых годов Вродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применений угля. При этом он столкнулся с интересной проблемой и привлёк к ней внимание математика Хаммерсли. Основной элемент маски — это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии. Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes. В буквальном переводе слово percolation означает просачивание, фильтрацию; в русской научной литературе наряду с термином «протекание» можно встретить термин «перколяция», произошедший от английского слова). Теория, изучающая такого рода явления, стала называться «теорией протекания». За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические свойства неупорядоченных систем, таких, как аморфные полупроводники, кристаллические полупроводники с примесями или материалы, представляющие собой смесь двух разных веществ — диэлектрика и металла. Явления, описываемые теорией протекания, относятся к так называемым «критическим явлениям». Эти явления характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. К критическим явлениям относятся также фазовые переходы второго рода (например, переход металла из нормального состояния в сверхпроводящее при понижении температуры). Физика всех критических явлений очень своеобразна и имеет общие черты, самая важная из которых состоит в том, что вблизи критической точки система как бы распадается на блоки с отличающимися свойствами, причём размер отдельных блоков неограниченно растёт при приближении к критической точке. Очертания блоков при этом случайны. В некоторых явлениях вся конфигурация хаотически меняется со временем за счёт теплового движения, в других явлениях она заморожена, но меняется при переходе от образца к образцу. Блоки расположены беспорядочно, так что глядя на мгновенную фотографию системы, трудно увидеть какие-либо закономерности. Однако «в среднем» эта геометрия, которую можно назвать «геометрией беспорядка», обладает вполне определёнными свойствами. Физические свойства всегда неразрывно связаны с геометрией. Например, физические свойства кристаллов определяются геометрией кристаллических решёток. Точно так же ряд свойств системы, находящейся вблизи критической точки, определяется «геометрией беспорядка». Самое интересное то, что благодаря большим размерам блоков, эта геометрия фактически не зависит от атомной структуры вещества и потому обладает универсальными свойствами, одинаковыми для многих, совершенно разных систем. Отсюда следует универсальность физических свойств, проявляющаяся в окрестности критических точек. Такого рода связь между физикой и геометрией можно проследить в рамках теории протекания, и в этом — одна из главных задач книги. Теория протекания формулируется с помощью простых геометрических образов таких, как проволочные сетки, шарики, кристаллические решётки. Она не содержит понятия температуры и поэтому даёт возможность получить представление о критических явлениях читателям, не знакомым со статистической физикой. Как и вся теория критических явлений, теория протекания не превратилась ещё в строгую с математической точки зрения науку. Многие важные утверждения остаются недоказанными, некоторые вопросы не выяснены. В тех случаях, где строгие доказательства существуют, но являются сложными, в книге эти доказательства заменены рассуждениями, скорее, объясняющими результат, чем доказывающими его. Однако автор всюду старался чётко отделить доказанные утверждения от недоказанных. Книга содержит подробное изложение теории протекания и ее различных применений. Она построена следующим образом. Определение того, что называется теорией протекания и какие процессы она описывает, отложено до самой последней страницы книги. Это определение должно включать столько сложных понятий, что нет смысла давать его вначале. Почти каждая глава содержит какую-либо конкретную проблему, рассмотрение которой приводит к задаче теории протекания. Предполагается, что после нескольких глав читатель должен почувствовать, что общего между разными задачами теории протекания и какое отношение имеет к этому название книги. Как правило, рассматриваемые проблемы представляют собой важные области применения теории протекания. Однако некоторые из них (проект фруктового сада в гл. 5, распространение слухов в гл. 11) носят иллюстративный и даже несколько иронический характер. В книге излагаются необходимые для понимания материала сведения из элементарной теории вероятностей. В гл. 1 даётся общее представление о вероятностях и случайных величинах. В гл. 2 излагаются правила сложения и умножения вероятностей и вводится функция распределения. Книгу можно прочитать в облегченном варианте, опустив гл. 2 и прочие главы и разделы, помеченные двумя звездочками. Правда, при этом читатель лишается возможности проследить за выводами некоторых количественных результатов, содержащихся в этих разделах, а также во многих упражнениях. Это, однако, не мешает пониманию (может быть, немного упрощённому) прочих разделов книги. Упражнения, приведённые в книге, должны играть важную роль при освоении новых понятий. Как правило, они очень просты, и их рекомендуется выполнять, не заглядывая предварительно в раздел «Ответы и решения» (за исключением случаев, где это особо оговорено). Важную роль в создании этой книги сыграл Б. И. Шкловский. Он участвовал в обсуждении её плана, названия и прочитал книгу в рукописи. Я чрезвычайно благодарен ему за это. Я благодарен также своим коллегам 1. Г. Асламазову, Н. Б. Васильеву, Ю. Ф. Берковской, М. Э. Райху, прочитавшим рукопись книги и сделавшим ряд полезных замечаний. Я благодарен художнику Б. А. Марской, сделавшей для книги несколько рисунков, в том числе рисунок на обложку. Особую благодарность я хочу выразить своей жене Н. И. Эфрос, взявшей на себя тяжёлый труд оформления рукописи. А. Эфрос Часть I. ЗАДАЧА УЗЛОВ Глава 1. ПОРОГ ПРОТЕКАНИЯ 1.1 Два ученых мужа кромсают экранную сетку. 1.2 Что такое случайная величина? 1.3 Среднее значение и дисперсия. 1.4 Зачем нужна большая сетка? Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2.1 События и их вероятности. 2.2 Сложение вероятностей. 2.3 Умножение вероятностей. 2.4 Порог протекания в сетке 2x2. 2.5 Непрерывная случайная величина. 2.6 Порог протекания как непрерывная случайная величина. Глава 3. БЕСКОНЕЧНЫЙ КЛАСТЕР 3.1 Постоянный магнит. 3.2 Ферромагнетик с примесями. 3.3 Появление бесконечного кластера. 3.4 Снова задача узлов. 3.5 Кластеры при низкой концентрации магнитных атомов. Глава 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УЗЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО НА ЭВМ 4.1 Почему Монте-Карло? 4.2 Что такое метод Монте-Карло? 4.3 Как придумать случайное число? 4.4 Метод середины квадрата. 4.5 Линейный конгруэнтный метод. 4.6 Определение порога протекания методом Монте-Карло на ЭВМ. Распределение блокированных и неблокированных узлов. 4.7 Поиск путей протекания. 4.8 Определение порога. Глава 1. Порог протекания 1.1. Два учёных мужа кромсают экранную сетку Не так уже часто в современных научных журналах появляются отчёты об экспериментах, объектом которых является, например, кусок обыкновенной экранной сетки, купленной с несколько необычной целью [1] (Прямое назначение экранной сетки состоит в том, чтобы защищать различную радиоаппаратуру от электрических помех.) в ближайшем магазине скобяных изделий. И хотя статья американских физиков Ватсона и Лиса, появившаяся в журнале «Физикл Ревью» за 1974 г. была далеко не первой работой в области теории протекания, наш рассказ начнется именно с неё. Кусок сетки, с которым работали Ватсон и Лис, имел квадратную форму и содержал 137 х 137 = 18769 узлов с расстоянием дюйма = 6,35 мм между соседними узлами. Исследователи припаяли к двум противоположным сторонам квадрата медные электроды и включили сетку в электрическую цепь (рис. 1.1, а), чтобы измерить её сопротивление. Затем они стали блокировать отдельные узлы и изучать электрическое сопротивление в зависимости от доли блокированных узлов. Как показано на рис. 1.1, б, в, блокировка узла состояла лишь в том, что кусачками перерезались все четыре проволоки, которые связывались этим узлом. Каждый новый узел, подлежащий блокировке, выбирался среди нетронутых ранее узлов случайно. В принципе, для этого можно было бы написать координаты каждого узла на отдельной бумажке, положить все бумажки в шапку, хорошенько перемешать и вынимать по одиночке. Однако при большом количестве узлов такая процедура (как и другие механические способы жеребьевки) крайне неудобна и потому ученые пользовались случайной последовательностью координат узлов, составленной ЭВМ. Ниже будет подробно описано, каким способом можно «заставить» ЭВМ генерировать случайные числа, а пока без всякого ущерба для понимания можно мысленно заменить ЭВМ шапкой. Ясно, что по мере увеличения числа блокированных узлов электропроводность сетки уменьшалась. (Электропроводностью называется величина, обратная сопротивлению. Сопротивление измеряется в омах (Ом), а электропроводность — в обратных омах (Ом-1).) Более того, если обозначить через х отношение числа неблокированных узлов к полному числу узлов (1372), то при некотором значении ж, которое мы будем в дальнейшем называть пороговым (критическим) значением или порогом протекания и обозначать через жс, электропроводность обращалась в нуль. Это происходило, когда перерезался последний путь, связывающий левый и правый электроды. Определение величины хс и являлось одной из задач эксперимента. Было найдено, что хс = 0,59. Наверное, первый вопрос, который требует объяснения, состоит Рис. 1.1. Схема эксперимента Ватсона и Лиса, а) Исходная сетка. Количество узлов на рисунке сильно уменьшено; б) кусок сетки с блокированными узлами. Блокированные узлы показаны чёрными кружками, а неблокированные — светлыми; в) чёрный узел означает разрыв контакта между четырьмя проволоками, которые связывает узел, светлый узел сохраняет контакт. Через чёрные узлы электричекий ток не течёт ни в каком направлении, через светлые узлы ток течёт в любом направлении. в том, является ли величина хс случайной и невоспроизводимой от опыта к опыту или вполне определённой? Допустим, что мы повторили эксперимент, взяв другой кусок экранной сетки и воспользовавшись другой случайной последовательностью блокируемых узлов. Здравый смысл подсказывает, что поскольку на каждом этапе вся конфигурация блокированных и целых узлов во втором эксперименте нисколько не похожа на то, что было в первом эксперименте, то разрыв последнего пути, соединяющего электроды, тоже должен произойти при другом значении ж, так что величина жс, полученная во втором эксперименте, должна быть иной. Это, конечно, правильно. Пороговое значение хс в рассматриваемом эксперименте является величиной случайной. Поскольку такого рода величины будут фигурировать всюду на протяжении этой книги, полезно с самого начала пояснить: 1.2. Что такое случайная величина? В математике так называют величину, о которой известно, какие значения она принимает и как часто она принимает то или иное значение, но неизвестно (и не может быть известно в рамках данной математической задачи), какое именно значение она примет в любом конкретном случае. Вот классический пример случайной величины: бросают на стол шестигранный кубик с номерами на каждой грани. Случайной величиной является номер грани, оказавшейся сверху. Такая величина называется дискретной, потому что она принимает лишь некоторые определенные значения (в данном случае шесть значений — 1, 2, 3, 4, 5, 6). Предсказать заранее, какое именно число получится в данном опыте (т. е. при данном броске) невозможно, но можно предсказать вероятность того, что получится определенное число (например, 4). Допустим, что сделано некоторое число опытов, равное Q, причем число 4 выпало в Q4 случаях. Отношение Щ- называется относительной частотой появления данного значения случайной величины (числа 4). Если полное число опытов не очень велико, то это отношение колеблется: если сделать еще одну серию из Q опытов, то в новой серии отношение Щ- может быть существенно иным. Однако при увеличении числа опытов Q эти колебания становятся все меньше и меньше. Предел, к которому стремится относительная частота появления данного значения случайной величины, называют вероятностью этого значения. Обозначим вероятность появления числа 4 через Р(4). Если кубик «честный», т. е. все его грани одинаковы, то величину Р(4) легко предсказать. Любая из шести граней кубика в среднем должна оказываться сверху одинаковое число раз, так что, если число Q велико, = ... = Таким образом, вероятности появления всех чисел одинаковы и равны Итак, при очень большом числе бросков случайность уходит на задний план, оставляя место закономерности — симметрии граней кубика. 1.3. Среднее значение и дисперсия Вернёмся к опыту с экранной сеткой. Было выяснено, что поскольку в опыте использовалась случайная последовательность блокированных узлов, то критическая концентрация хС1 при которой прерывается ток между левым и правым электродами, также является случайной величиной, и предсказать, чему она равна в каждом конкретном эксперименте, заранее невозможно. Теоретический подход к вопросу может состоять в том, чтобы изучить «средние» свойства величины хС1 т. е. свойства, про- являющиеся в достаточно большом количестве экспериментов, выполненных при одинаковых условиях. Этими условиями являются, во-первых, полное число узлов сетки N (1372 в описанном выше эксперименте), во-вторых, свойства генератора случайных чисел, задающего случайную последовательность блокируемых узлов. То, что свойства генератора не должны меняться от эксперимента к эксперименту, вовсе не означает, что последовательности блокируемых узлов должны быть одинаковыми. (Тогда были бы одинаковыми и все значения хс1) Нужно лишь, чтобы во всех экспериментах использовался один и тот же способ создания случайной последовательности блокируемых узлов (например, шапка с бумажками). KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
