Библиотечка «Квант»
Андрей Николаевич Колмогоров
Игорь Георгиевич Журбенко
Александр Владимирович Прохоров
Введение
в теорию
вероятностей
*** 1982 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие Глава 1. КОМБИНАТОРНЫЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ВЕРОЯТНОСТИ § 1. Перестановки § 2, Вероятность § 3, Равновозможные случаи § 4. Броуновское движение и задача о блуждании на плоскости § 5. Блуждание по прямой. Треугольник Паскаля § 6, Бином Ньютона § 7. Биномиальные коэффициенты и число сочетаний § 8. Формула, выражающая биномиальные коэффициенты через факториалы, и ее применение к вычислению вероятностей § 9. Формула Стирлинга Глава 2. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА Глава 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ § 1. Определение вероятности § 2. Операции с событиями: теорема сложения вероятностей § 3. Элементы комбинаторики и применения к задачам теории вероятностей § 4. Условные вероятности и независимость § 5. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли § 6. Теорема Бернулли Глава 4. СИММЕТРИЧНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ § 1. Введение § 2. Комбинаторные основы § 3. Задача о возвращении частицы в начало координат § 4. Задача о числе возвращений в начало координат § 5. Закон арксинуса § 6. О симметричном случайном блуждании на плоскости и в пространстве Глава 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 1. Понятие случайной величины § 2, Математическое ожидание и дисперсия § 3. Закон больших чисел в форме Чебышева И4 § 4. Производящие функции 117 Глава 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ 120 § 1. Испытания Бернулли 120 § 2. Случайное блуждание на прямой, соответствующее схеме Бернулли 122 § 8. Задача о разорении 127 § 4. Статистические еыводы 132 Глава 7. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 142 § 1. Общая постановка задачи 142 § 2. Производящая функция величины zn 144 § 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины zn 145 § 4. Вероятность вырождения 145 § 5. Предельное поведение zn 150 Заключение 155 Данная книга рассчитана на читателя, пожелавшего на элементарном уровне ознакомиться с основными понятиями теории вероятностей и составить себе некоторое впечатление о возможных применениях этой области математики, бурное развитие которой приходится на последние десятилетия. Широкое распространение вероятностных методов в самых различных областях науки и техники было связано с тем, что с помощью этих методов удалось получить ответы на многие естественно -научные задачи, долгое время не поддающиеся решению. Книга не ставит перед собой цели охватить все возможные применения теории вероятностей, тем более что на элементарном уровне это сделать вообще невозможно. В то же самое время привести интересные примеры использования вероятностных методов в простейших практических ситуациях являлось одной из главных целей книги. В качестве таких примеров достаточно подробно изучаются основные закономерности броуновского движения, проводится исследование процессов гибели и размножения, приводятся некоторые другие примеры. Естественно, что приведенные результаты являются лишь элементарным введением в указанные области науки, позволяющим, тем не менее, составить у читателя чувство близости к современным естественнонаучным проблемам. Глава 1 служит общим введением в комбинаторные начала теории вероятностей, все идеи и иллюстрации этой главы получают дальнейшее развитие в следующих главах. Главы 3, 5 посвящены определениям и доказательствам основных закономерностей теории вероятностей га основе классической вероятностной модели. В этих главах подготавливается почва для перехода к произвольным дискретным вероятностным моделям, потребность в кото- рых продиктована конкретными естественнонаучными задачами, разобранными в главах 4, 6 и 7. Проблема отношения основных вероятностных понятий к опыту затрагивается в главе 2. Здесь обсуждается происхождение классического определения вероятности, дается ее статистическое определение, намечается аксиоматический подход. В главе 4 рассматривается простейшая модель симметричного случайного блуждания частицы на прямой и на плоскости. Простыми комбинаторными методами решаются трудные задачи, имеющие занимательную формулировку и неожиданные ответы. Это задачи о возвращении частицы в исходное положение, о достижении некоторого уровня, о времени пребывани/Г частицы в некоторых границах. В главе 6 большая часть этих проблем развивается в несимметричном случае. Решается классическая задача о разорении. В последнем параграфе приведены примеры самых простых задач математической статистики с решениями. Вопросам неограниченного роста популяций или их вымирания посвящена глава 7. В основу данной книги легли курсы лекций и семинаров авторов, неоднократно на протяжении последних лет читавшиеся в Московском государственном университете и Физико-математической школе при МГУ. Главы 1, 3 и 5 близки по содержанию к статьям А. Н. Колмогорова и Б. В. Гнеденко, И. Г. Журбенко, опубликованным в журнале «Математика в школе» в 1968 году. Весь текст книги постоянно сопровождается большим количеством примеров и задач, часть которых в зависимости от трудности решается полностью, на остальные даются только ответы. Книга будет доступна школьникам старших классов, проявляющим интерес к математике и ее применениям. Она может также оказаться полезной студентам младший курсов самых различных специальностей, интересующимся применениями теории вероятностей в своих областях, А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров (...) ЗАКЛЮЧЕНИЕ Мы рассказали в этой небольшой книге об основных понятиях и некоторых результатах теории вероятностей, стараясь выдержать по возможности более простую форму, но в то же время сделать изложение достаточно полным и строгим. Мы стремились при выводе формул и доказательстве утверждений ограничиться комбинаторными методами, производящими функциями и формулой Стирлинга. Основные понятия теории вероятностей формировались, начиная с середины XVII века, в тРУДах Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Галилея и др., посвященных решению многочисленных игровых задач. В те времена были уже известны и использовались теоремы сложения и умножения вероятностей, понятие условной вероятности, формула полной вероятности, было введено математическое ожидание. Вершиной этого периода явилось творчество Якова Бернулли. В его «Искусстве предположений», изданном посмертно в 1713 году, рассматривалась последовательность независимых испытаний с двумя исходами, было выведено биномиальное распределение, появились производящие функции, решалась задача о разорении игрока, но главное — была обоснована принципиальная возможность статистического подхода к вероятности. Знаменитая теорема Бернулли, установившая, что при большом числе независимых испытаний частота события, как правило, мало отличается от его вероятности, положила начало предельным теоремам теории вероятностей. Среди этих теорем первыми нужно назвать теоремы Муавра — Лапласа о предельном распредачении отклонения частоты события от его вероятности. Для не очень больших значений п можно непосредственно вычислять факториалы и степени, входящие в правыо части выписанных формул, или пользоваться специальными таблицами (например, таблицей для логарифмов факториалов, помещенной на с. 24). При больших пит формулы Бернулли мало пригодны для непосредственного вычисления. Так, если п = 100, т = 50, то для вычисления Р100 (50) необходимо найти С%а и 2-100. Еще более затруднительно вычисление вероятностей вида Подобные примеры показывают, что точные выражения могут быть бесполезны для практического подсчета. Приближенная формула для симметричного биномиального распределения (с р = 1/2), которая позволяет сравнительно легко находить Рп (т) при больших п, была доказана Муавром в 1730 году. Было показано, что при (Если на рис. 9, помещенном на с. 20, провести кривые, огибающие графики Рп (т) сверху, то мы получим при больших п приближенный график указанной функции.) Основным средством доказательства была все та же формула Стирлинга, которую Муавр доказал независимо. Эту формулу Муавра читатель может получить сам, используя рекомендации и результаты упражнения 2 гл. 4 § 4. В последующем Лапласом (1812) была строго доказана для общего случая 0 р 1 формула Последнее соотношение известно как локальная предельная теорема Муавра — Лапласа. Используя локальную формулу, можно получить приближение для сумм биномиальных вероятностей Рп (т) которые выражают вероятность того, что число успехов в п испытаниях Ьер-нулли лежит в пределах т1 и тп2 тп2)- Это приближение дает так называемая интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа: Разность между левой и правой частями стремится при п - оо к нулю равномерно относительно flt t2 при постоянном значении 0 р 1. С помощью интегральной формулы (*) оценивается вероятность отклонения частоты успеха Sn/n в п испыта ниях Бернулли от вероятности успеха. Это распределение часто называют также гауссовским по имени Гаусса, который приблизительно в то же время, 158 что и Лаплас, получил его как распределение ошибок наблюдения в задачах астрономии и геодезии. Работы Лапласа и Гаусса по теории ошибок обнаружили, что распределение суммарной ошибки, полученной сложением большого числа незначительных случайных ошибок, при довольно общих условиях будет приближенно нормальным распределением. Таким образом, асимптотическая формула Муавра — Лапласа оказалась следствием достаточно универсального вероятностного закона. Роль, -которую нормальное распределение играет в теории вероятностей и ее приложениях, определяется центральной предельной теоремой. Говорят, что случайные величины Хг, Xit . . ., Хп удовлетворяют центральной предельной теореме, если при любых действительных числах а и Р для суммы 5п = Х1 + ... + Хп при п~ оо справедливо асимптотическое равенство Эта формула справедлива при очень широких условиях, налагаемых на Хг, Х2, . . ., Хп. Возвращаясь к теореме Муавра — Лапласа, отметим, что при значениях р, близких к 0 пли 1, можно воспользоваться другой приближенной формулой для биномиальной вероятности, которая носит имя С. Пуассона, открывшего и опубликовавшего ее в 1873 году. Если в формуле Бернулли р близко к 0, а п велико, то Рп (т) близко кг*- —г 1 где К = пр. Числа pm = е~к -^т- неотрицательны и в сумме по всем m = 0, 1, 2, составляют 1. Поэтому они могут быть взяты в качестве распределения некоторой случайной величины, принимающей целые неотрицательные значения 0, 1,2, .. . Это распределение называется распределением Пуассона (пример распределения случайной величины, принимающей счетное число значений). Оба предельных распределения — нормальное и Пуассона выводят нас за пределы книги.
|
