Обобщения чисел

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Понятие числа складывалось в математике постепенно в результате длительного развития, которое шло под воздействием практики и внутренних потребностей математики. Так, в конце концов, сформировалось понятие действительного числа, которое в данной книге предполагается известным.
      На этом, однако, развитие понятия числа не остановилось. Внутренние потребности математики привели к комплексным числам. Возникшая на их основе теория функций комплексного переменного имеет теперь большие практические применения. Комплексным числам в книге отведено много места. Доказана основная теорема алгебры о том, что многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень. Возникающее из этой теоремы разложение многочлена на линейные множители тщательно изучено. При этом в качестве вспомогательного аппарата в книге используется деление многочленов друг на друга и алгоритм Евклида.
      Поскольку комплексные числа оказались очень важными и полезными в математике, возникла чисто обобщательская попытка развивать понятие числа в том же направлении. Так возникли кватернионы, но лишь в результате отказа от коммутативности умножения. Благодаря отсутствию коммутативности умножения оказалось невозможным построить теорию функций кватернионного переменного. Таким образом, применение кватернионов в математике оказалось очень незначительным. При помощи кватернионов хорошо описываются вращения трехмерного и четырехмерного евклидовых пространств. Конечно, это по своему значению не может идти ни в какое сравнение с применением комплексных чисел. В книге дается описание кватернионов и применение их к изучению вращений трехмерного и четырехмерного евклидовых пространств. Этот раздел книги завершается доказательством теоремы Фробениуса, утверждающей, что дальнейшее развитие понятия числа в направлении кватернионов невозможно.
      Переход от рациональных чисел к действительным числам вызван скорее внутренней логикой развития математики, чем практическими потребностями, так как ПРИ помощи рациональных чисел с любой точностью мскно осуществить любое измерение. К действительным числам привело математическое открытие, возникающее из теоремы Пифагора и состоящее в том, что длина диагонали квадрата со стороной равной единице не может быть измерена точно рациональным числом. Действительные числа как бы заполняют промежутки между рациональными числами и приводят к тому, что условие сходимости Коши являйся не только необходимым, но и достаточным условием сходимости. Этот факт чрезвычайно важен в математике. Действительные числа представляют собой ту непрерывную среду, в которую помещены рациональные числа. Здесь становится совершенно ясным, что для чисел характерно не только наличие действий сложения, вычитания, умножения и деления, но также и понятие предельного перехода, т. е. известно, что означает последовательность чйсел сходящаяся к данному числу.
      Совокупность величин, в которой имеются алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также определен предельный переход, является естественным логически возможным обобщением понЯ™й числа. Оказывается, что таких обобщений вовсе не омень много. Именно их описанию в основном посвящена эта книга.
      Переход от рациональных чисел к действительным опирается на представление о том, что такое малое рациональное число. Оказывается, что, кроме совершенно естественного понятия малости рационального числа, сущест0Ует другое, связанное с некоторым простым числом р. Связанное с этим понятием малости расширение рациональных чисел приводит к возникновению р-адических чисел» которые имеют в настоящее время важное применение в теории чисел и описаны в книге.
      Величинами, для которых возможны алгебраические операции, являются так называемые вычеты по простому модулю р. Рациональные функции некоторой величины где коэффициентами служат вычеты по модулю р, образуют систему величин, в которой возможны операции сложеИия вычитания, умножения и деления, а также естественно возникает понятие малости. Дополняя эту систему рациональных функций таким образом, чтобы вновь полученная система величин была с точки зрения предельного перехода полной, т. е, чтобы условие Коши являлось необходимым и достаточным условием сходимости, мы приходим к изучению бесконечных рядов относительно величины t. Это еще одна система величин, в которой возможны алгебраические операции и предельный переход. В конце книги формулируется теорема Ковальского, описывающая до некоторой степени любую систему величин, в которой имеются алгебраические операции и предельный переход.
      Книга посвящена описанию таких систем величин с алгебраическими операциями и предельным переходом, которые являются логически возможными обобщениями чисел. Налагая на эту систему величин некоторые очень простые и естественные ограничения, мы приходим к результату, что никаких других логических возможностей для построения приемлемых в математике величин, аналогичных действительным и комплексным числам, кроме действительных и комплексных чисел, не существует. Это показывает, что действительные и комплексные числа сложились в математике не в результате случайного процесса исторического развития, а как единственные логически возможные величины, удовлетворяющие тем требованиям, которые естественно предъявить к числам.
      В заключение выражаю благодарность С. М. Асееву за большую помощь при редактировании этой книги.
     
      ГЛАВА I
      КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
      Здесь я прежде всего очень кратко рассказываю о том, как возникли в математике и постепенно утвердились в ней комплексные числа. Затем даю определение комплексных чисел, действий над ними и их геометрическую интерпретацию. Попутно доказываются формулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умножением комплексных чисел.
      § 1. Историческая справка
      Из курса математики известно, что отрицательные числа введены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадрат ного корня, обратная к операции возведения в квадрат, не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Этого, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный из отрицательного числа. В XVI веке Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения (Квант, 1976, № 9, с. 2). Оказалось, что именно в том случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается корень квадратный из отрицательного числа (там же, с. И). Обнаружилось таким образом, что производя вычисления с выражениями, содержащими корень квадратный из отрицательного числа, можно получить вполне понятные результаты. Поэтому эти корни стали употреблять в математике. Назвали их мнимыми числами, и тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам на грани XVIII — XIX столетий дал Гаусс (Квант, 1977, № 8, с. 2), который назвал их комплексными числами, дал им геометрическую интерпретацию и, что самое главное, доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.
      § 2. Определение комплексных чисел
      Мы будем исходить из того, что действительные числа нам известны. Мы знаем, что для них определены два основных действия — сложение и умножение — и имеются обратные к ним действия — вычитание и деление. Для этих действий выполняются хорошо известные правила, которые обычно употребляются совершенно автоматически, и поэтому я их не буду здесь формулировать. Множество объектов, для которых определены действия сложения и умножения и обратные к ним действия вычитания и деления, причем выполнены обычные правила, имеющие место для действительных чисел, называется в современной абстрактной алгебре полем.