Рассказы
о максимумах
и минимумах

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят — оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.
      В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно — двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад - в эпоху формирования математического анализа — были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.
      Тогда же выяснилось, что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в естествознании, а именно обнаружилось, что многие законы природы допускают вывод из так называемых «вариационных принципов», согласно которым истинное движение механической системы, света, электричества, жидкости, газа и т. п. можно выделить из произвольной совокупности допустимых движений тем, что они минимизируют или максимизируют некоторые величины. В конце XVII столетия было поставлено несколько конкретных экстремальных задач естественнонаучного содержания (брахистохрона, задача Ньютона и др.). Потребность решать как их, так и многие другие проблемы, возникающие в геометрии, физике, механике, привела к созданию новой главы математического анализа, получившей название вариационного исчисления.
      Интенсивное развитие вариационного исчисления продолжалось около двух столетий. В нем принимали участие многие замечательные ученые XVIII и XIX веков, и к началу нашего столетия стало казаться, что они почти исчерпали эту тематику.
      Но это оказалось не так. Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше. Пришлось несколько развить математический анализ и создать новый его раздел — «выпуклый анализ», где изучались выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи.
      С другой стороны, потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного нечисленна Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимального управления был разработан в пятидесятые — шестидесятые годы советскими математиками — Л. С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.
      Цель данной книги — познакомить читателя со всем этим кругом идей. Но эта цель — не единственная. Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки. За все это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии, алгебре, физике и т. п. В решении этих конкретных задач принимали участие крупнейшие ученые прошлых эпох — Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тар-талья, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приемы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.
      Хочется, чтобы читатель понял, как и зачем рождается математическая теория. В первой части книги он познакомится со многими конкретными задачами, при обсуждении их решений соприкоснется с творчеством ряда крупнейших математиков прошлою. И это имеет не только исторический интерес. Идеи и методы, созданные замечательными математиками при решении конхретных проблем, обычно не умирают. Они потом обязательно где-нибудь возрождаются, и потому проникновение в замыслы великих людей все1да обогащает.
      Но когда возникает необходимость в решении большого числа разнообразных проблем, создаются предпосылки для создания общей теории. Во второй части рассказывается об одном методе решения задач на максимум и минимум, восходящем к Лагранжу. Основной замысел этого метода сохраняется на протяжении более двух столетий. Меняется его наполнение, но центральная мысль при этом остается неизменной. Понять причины такой универсальности идеи Лагранжа непросто. Однако научиться пользоваться лагранжевским
      принципом для решения задач совсем не трудно, и в конце второй части книги все задачи, которые обсуждались вначале, задачи, решения которых были столь непохожи друг на друга, исследуются нами с помощью единого общего приема, стандартно, с применением одной и той же схемы.
      Автор старался показать, как из анализа разрозненных фактов рождается общая идея, как она трансформируется, обогащается новым содержанием и вместе с тем остается сама собой.
      Все содержание книги, кроме заключительной части четырнадцатого рассказа, адресовано прежде всего школьнику. Но мне хотелось бы видеть среди читателей книги и студентов, интересующихся математикой и, конечно, учителей. Последний рассказ адресован прежде всего им. Там затрагивается вопрос о том, как и чему следует учить. Содержание книги, мне думается, дает благодарный материал для того, чтобы обсудить эту тему, которая еще очень долго будет всех волновать. Я надеюсь также, что эту книгу прочтут и мои коллеги, занимающиеся математикой и преподающие ее студентам.
      Хочу выразить благодарность тем, кто читал рукопись и высказал мне свои замечания о ней. Прежде всего это относится к Андрею Николаевичу Колмогорову, Николаю Борисовичу Васильеву, Ивану Пенкову и Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву.
     
      СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
     
      Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой, ... доступной только величайшему искусству.
      Б. Рассел
      Следовать за мыслями великого человека есть наука самая занимательная.
      А. С. Пушкин
     
      Рассказ первый
      ЗАЧЕМ РЕШАЮТ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ?
     
      В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.
      Л. Эйлер
      Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, ... и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного.
      П. Л. Чебышев
      ...хочется дойти до самой сути.
      Б. Л. Пастернак
     
      О максимумах и минимумах мы узнаем в школе. Вот одна старинная задача, которую вы могли решать на уроках геометрии.
      Даны две точки А и В по одну сторону от прямой I. Требуется найти на I такую точку D, чтобы сумма расстояний от А до D и от В до D была наименьшей (рис. 1).
      Здесь надо найти наименьшее значение, т. е. минимум. Во многих задачах требуется найти максимум, т. е. наибольшее значение чего-нибудь. Оба понятия — максимум и минимум — объединяются единым термином — «экстремум», что по-латыни означает «крайнее». Задачи на отыскание максимума и минимума называются экстремальными задачами. (Почти тот же самый смысл вкладывается в название «задачи оптимизации».) Методы решения и исследования различного рода экстремальных задач составляют специальные разделы математического анализа. Они объединяются в общую главу, называемую теорией экстремальных задач.
      Здесь наша цель — обсудить два вопроса: зачем решают задачи на максимум и минимум и из каких компонентов складывается теория экстремальных задач.
      Выше была поставлена геометрическая задача. Ее можно встретить почти в каждом учебнике геометрии. Когда же она появилась впервые? И зачем?
      Считают, что автором этой задачи является известный математик античности Герон Александрийский. (Далее мы называем ее задачей Герона.) О Героне мы все знаем благодаря формуле площади треугольника, носящей его имя. Книга, где помещена эта задача, называется «О зеркалах». О времени ее написания идут споры, но большинство исследователей сходятся на том, что она написана в I веке до п. э. Сам труд Герона не сохранился, и о нем известно из комментариев к нему, написанных позже. Думаю, что читатель уже слышал про задачу Герона и решал ее. Я привел ее потому, что нам она будет очень полезна для разного рода иллюстраций.