Геометрия масс

DjVu

      Родоначальником метода, о котором пойдет речь в этой книге, был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в II] в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом им была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).
      Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой (или одной плоскости) и т. п. Эффективны барицентрические соображения при доказательстве неравенств и решении разнообразных задач.
      Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно.^Понятия механики не только служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.
      Идея барицентрического подхода раскрывается в гл. I предлагаемой книги. Сущность его состоит в том, что наше внимание концентрируется на определенных точках — центрах масс каких-то систем материальных точек, связанных с рассматриваемой геометрической задачей. Из механических соображений эти точки появляются совершенно естественно.
      *) Приставка «бари» означает тяжелый (от греческого Papio); поэтому «барицентр» означает центр тяжести (центр масс).
      Геометрически же целесообразность рассмотрения именно этих точек заранее неясна; и вдруг чудесным образом оказывается, что их использование позволяет быстро найти (и строго обосновать) решение трудной геометрической задачи.
      | В механических задачах рассматриваются материальные точки с положительными массами. Тел с отрицательными массами, которые под воздействием притяжения Земли «падали» бы не вниз, а вверх, никто не наблюдал. Однако для решения геометрических задач целесообразно распространить понятие центра масс на случай материальных точек и с отрицательными массами. Это сделано в гл. II. Здесь же (по-видимому, впервые в научной и популярной литературе) иллюстрируется возможность применения в геометрии таких «монстров», как материальные точки с комплексными массами.
      ^Через два тысячелетия после того времени, когда жил и работал гениальный Архимед, другой гениальный математик Леонард Эйлер (швейцарец по происхождению, проживший почти полжизни в России и считавший ее своей второй родиной) в связи с изучением вращательного движения тел ввел понятие момента инерции. И снова, как и в случае центра масс, нашлись удивительные пути доказательства трудных и интересных геометрических фактов с помощью этого понятия. И поскольку свойства момента инерции (в частности, формулы Лагранжа и Якоби) тесно связаны со свойствами центра масс, мы также рассматриваем их (вместе с геометрическими приложениями) в этой книге — в гл. III.
      Идеи Архимеда живут, развиваются, обогащаются новым содержанием. В прошлом столетии замечательный немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790 — 1868), известный своими работами в области теории чисел, топологии, геометрии, подметил, что барицентрические решения геометрических задач приводят к введению очень интересной системы координат, не похожей ни на декартову, ни на полярную систему, но очень богатую геометрическими приложениями*). С рассмотрением барицентрических координат связана гл. IV предлагаемой книги, где демонстрируются возможности их применения.
      Наконец, последняя гл. V книги посвящена разнообразным приложениям барицентрического метода. Здесь вы найдете применение изложенных в книге идей к вопросам химии,
      *) В своей монографии «Барицентрическое исчисление» (1827) Мёбиус сумел с помощью введенных им координат изложить проективную геометрию.
      проблемам цветового зрения, задачам популяционной генетики, топологии, вычислительной математики.
      В книге теоретический материал занимает немного места: небольшое число несложно доказываемых основных теорем и поясняющих соображений — вот и все, к чему сводится математическое изложение теоретических основ барицентрического метода. Основной же объем книги занимают примеры и задачи. Примеры (приведенные с подробным решением) предназначены для того, чтобы проиллюстрировать, как работает метод; их в книге более пятидесяти. Кроме того, в книге содержится свыше 250 задач; некоторые из них имеют характер несложных упражнений, предназначенных для усвоения формулировок теорем, другие содержат больше трудностей, но и гораздо интереснее геометрически, а некоторые являются «крепкими орешками», «раскусив» которые вы получите удовольствие от познания геометрического содержания.
      Книга доступна учащимся старших классов, интересующимся математикой. Правда, в некоторых местах используются комплексные числа, многомерные пространства и другие сведения, несколько выходящие за рамки школьной программы, однако эти вопросы рассматриваются в тематике факультативных и кружковых занятий.
      Авторы будут признательны читателям за замечания по содержанию книги, характеру изложения и подбору задач.
      М. Б. Балк
      В. Г. Болтянский
     
      ГЛАВА I
      ПОНЯТИЕ ЦЕНТРА МАСС И ПЕРВЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
     
      «...Я счел нужным написать тебе и... изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».
      Архимед. Послание к Эратосфену «О механических теоремах»
      В этой главе приводится чисто математическое определение понятия центра масс и устанавливаются (с помощью векторов) основные его свойства. Это позволяет по-новому изложить решения многих геометрических задач, причем эти решения проводятся на языке механики и являются математически строгими.
     
      § 1. Наглядное введение
      ав физике под материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь при сравнении их с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче. Для упрощения рассуждений такое «малое» тело рассматривают как геометрическую точку (т. е. считают, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке А сосредоточена масса т, то будем эту материальную точку обозначать через тА, т. е. будем записывать материальную точку в виде «произведения».
      Рассмотрим два небольших шарика, имеющих массы т1 и т2, соединенных жестким «невесомым» стержнем. На этом стержне имеется такая замечательная точка Z, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии — ни один из шариков не «перетянет». Эта точка Z и есть центр масс двух рассматриваемых материальных точек с массами mi и т2.
      Такая же картина наблюдается и для большего числа материальных точек. Представим себе, что в некоторой области пространства (например, внутри некоторого куба) находятся п массивных шариков с массами т,, т2,...,т„. Размеры шариков предполагаем малыми (по сравнению с наименьшим из расстояний между ними). Иначе говоря, речь идет об п материальных точках
      Будем полагать, что вся рассматриваемая область заполнена веществом пренебрежимо малой массы по сравнению с массой каждого шарика (пенопласт); мы полагаем, что этот пенопласт не гнется, не сжимается, не растягивается. Материальные точки (1) «сидят» в нем неподвижно, как изюминки в застывшем тесте. Можно представлять себе картину и иначе: рассматриваемые шарики соединены «невесомыми» стержнями в одну жесткую систему. Если выбрать произвольную точку одного из соединяющих стержней и подвесить всю систему на ниточке, закрепленной в этой дочке, то рассматриваемая система, вообще говоря, не окажется в состоянии равновесия, одна часть «перетянет». Но есть такая замечательная точка Z, что если мы подвесим всю систему на вертикальной ниточке, прикрепленной в точке Z (считая, что один из стержней проходит через эту точку, рис. 1), а затем как угодно повернем систему вокруг точки Z, успокоим и отпустим, то она останется в равновесии. Такую точку Z называют центром масс, или барицентром системы материальных точек (1).
      При применении этого понятия к решению геометрических задач используются следующие интуитивно ясные и имеющие простой механический смысл свойства центра масс.
      1. Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.
      2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение (рис. 2)
      3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.^ Вот и вся теория. Как видите, речь идет об очень простых фактах из области механики. Разумеется, сформулированные свойства 1, 2, 3 должны быть обоснованы (и это будет аккуратно сделано в § 2). Но сейчас мы хотим проиллюстрировать то, что, несмотря на простоту этих фактов, они, тем не менее, представляют собой мощное средство доказательства теорем и решения геометрических задач.
      Пример 1. Докажем теорему Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
      Решение (предложенное Архимедом). Пусть ABC (рис. 3) — данный треугольник; AAU BBU CCt — его медианы. Загрузим
      вершины А, В, С равными массами, — скажем, по 1 грамму. Получающаяся система трех материальных точек 1А, IB, 1С имеет однозначно определенный центр масс Z (свойство 1). В силу свойства 3 положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1C мы перенесем в их центр масс, т. е. (согласно свойству 2) в точку Аг. Но тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 2Аг и 1А. Значит, Ze[AA, J. Аналогично убедимся, что ZefBBi] и Ze[CCi]. Таким образам, все три медианы имеют общую точку Z. Кроме того, по правилу рычага (свойство’ 2) имеем 21 ZAX | = 11 ZA |, или | ZA |: | ZAl | = 2:1.
      Задачи
      1. Каждая вершина тетраэдра ABCD (не обязательно правильного) соединена отрезком с точкой пересечения медиан противо -лежащей ей грани (всего получается четыре отрезка); далее, каждая
      середина ребра соединена отрезком с серединой противоположного ребра (три отрезка). Имеют ли эти семь отрезков общую точку?
      2. Через середину медианы ААг и через вершину В треугольника ABC проведена прямая. В каком отношении делит она сторону АС?
      § 2. Математическое определение центра масс
      Для того чтобы с помощью понятия центра масс получать математически корректные решения геометрических задач, непригодно определение центра масс с помощью «подвешивания на ниточке». И хотя эту физическую картину мы можем постоянно иметь в нашем воображении, следует разъяснить точный математический смысл понятия центра масс с помощью геометрических терминов. Иначе говоря, следует произвести математизацию изложенной в предыдущем параграфе наглядной картины.
      Выражение «материальная точка тА» будет означать: «Точка А вместе с числом т, которое ей сопоставлено». Число т будем называть массой материальной точки тА; в этой главе всегда будет предполагаться, что т 0. Ради краткости вместо слов «материальная точка» будем часто писать м. т.