Математический аквариум

DjVu

      Предисловие
      Водных животных, способных причинить вред человеку, можно разделить на четыре основные категории: кусающие, во главе с пресловутой акулой; колющие, которые впрыскивают жертвам яд; ядоносные, которые, если их съесть, вызывают болезненные ощущения или смерть; оглушающие, которых отличает способность оглушать или убивать генерируемым ими электрическим током.
      Т. Дозье. Опасные морские создания
      Прекрасен и необъятен математический океан. Однако мало кому удается безболезненно достичь его глубин и познать всю ту красоту, которая сокрыта на его дне. Но если посчастливилось окунуться в захватывающий мир математического творчества, то уже почти невозможно удержаться от желания хоть как-то показать другому великолепную структуру математики. И если нет возможности увлечь читателя за собой в глубины этого океана (а не каждому дано преодолеть волны математических формул и мыслей, да при этом не испугаться его подводных обитателей), то собрать маленький и спокойный аквариум симпатичных жителей математических морей уже под силу. За прозрачным отшлифованным стеклом мир математики будет не столь пугающим даже для начинающего, но столь же блистательным для каждого, кто умеет видеть красоту. А она, красота, и есть содержание математики.
      Итак, читатель, ты приглашаешься на безобидную, но, хочется верить, небесполезную прогулку по уголкам математического аквариума.
      Несколько слов о том, как написана книга. Главная цель ее — показать, как именно рождаются решения задач. Как из грубых, запутанных рассуждений и поисков получаются коротенькие, чистые решения, единственный недостаток которых — непонятно, как их можно придумать сразу. К сожалению, именно такие «очищенные» решения и приводятся в большинстве учебников, поэтому в данной книге их почти не будет. Зато к большинству разобранных задач будет приложен несколько необычный текст, называемый «поиском решения». Именно этот текст и определил особенности (а значит, как недостатки, так и достоинства) изложения материала.
      Теперь — для кого написана книга .Основной читатель — это школьник старших классов, будущий абитуриент и, возможно, уже участник математических олимпиад. Кроме того, книга предназначена учителям математики и просто тем, кто влюблен в нее. В соответствии с этим в книге выделено три уровня изложения, которые легко определить по задачам, приведенным в первой вступительной главе. Главный читатель — это тот, кому понятна первая задача. Что-то разобравшие во второй задаче и готовые взяться за третью, словом, читатели, почувствовавшие вкус к олимпи-адным задачам, определяют второй уровень. Третий уровень составляют читатели, для которых понятен набросок решения четвертой задачи. Такой уровень нужен только в отдельных местах книги, которые к тому же можно безболезненно пропустить. В любом случае основные усилия были приложены к тому, чтобы читать было интересно даже в тех местах, где уровень изложения не соответствует уровню подготовки читателя.
      Многие главы, особенно первые, содержат полезный материал для абитуриентской практики. По ходу текста для самостоятельного решения предлагаются задачи (разного уровня), но задачи главы «Тренажер» имеют прежде всего олимпиадную направленность.
      Обязательно ли решать задачи? Это зависит от того, что Вы хотите получить от книги. Если Вы настроились полистать ее, чтобы полюбоваться картинками и насладиться отдельными местами текста (а такой способ чтения нисколько не предосудителен, так как особенно приятен), то вполне достаточно знакомства с формулировками — может быть, они вызовут у Вас улыбку необычностью постановки задачи. Если Ваш интерес методологический, то есть «устройство аквариума и выбор рыбок» Вас волнует больше, чем их «жизнь», то и тут вряд ли у Вас появится желание решать что-то, хотя не исключено, что какая-то из задач Вас привлечет особенно сильно. Ну а если Вы решили использовать книгу как отправную точку путешествия в математический океан? Что ж, тогда задачи лучше решать, но не все и не сразу. Попробовать «на вкус» можно много, но лучше поначалу выбрать те, которые кажутся особенно привлекательными или совсем простыми, и на них потратить побольше времени. Самая большая польза будет от решения тех задач, которые в книге разобраны. Если каждое решение читать только после того, как попытаешься его сам найти, то эффект будет максимальным. Правда, следовать этому совету намного труднее, чем давать его...
      Надо отметить, что книга рассчитана скорее на многоразовое пользование, чем на одноразовое прочтение. В определенной мере она может служить справочником-коллекцией различных математических методов решения задач. Поэтому некоторые места специально написаны в полурекламном стиле: чтобы идея или метод пробились в подсознание и через некоторое время Вам мучительно вспоминалось: что-то я по этому поводу где-то читал. И, может быть, тогда Вам захочется перелистать страницы еще раз. Во всяком случае сделать это будет нетрудно, так как зависимость одной главы от другой — минимальная.
      Ну а теперь — к делу!
     
      1
      На газете до Венеры
     
      Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда.
      А. П. Чехов. Письмо к ученому соседу
     
      ...Поскольку подошло время футбольного матча, Вы оторвались от газеты и сложили ее пополам. Немного поразмыслив, Вы решили, что не домешает взять газету с собой, и, сложив ее еще несколько раз, затиснули в карман. И тут родилась
      Задача. А какова будет толщина газеты, если ее сложить 50 раз?
      Конечно, в какой-то момент газету уже и не согнешь, но, в крайнем случае, ее можно и разрезать. Итак, читатель, оцени на глаз, какова же будет толщина: 10 см? 1 м? 100 м? 1986 км? Может, больше? Может, до Венеры хватит?
      Решение. Как ни странно, понадобится только арифметика, да еще немного веры в правильность вычислений. Итак, если сложить газету один раз, то она станет толще вдвое, если два раза — то в четыре, то есть 22, три раза дадут два в третьей степени..., десять — два в десятой, пятьдесят — два в пятидесятой (250). Чтобы упростить счет, заметим, что 210 — это 1024, то есть приблизительно 103. Значит, толщина газеты увеличится не меньше чем в 10!5 раз, ибо 250=(2!0)5 больше, чем (103)5=10!5. Если считать, что толщина газеты равняется 0,1 мм, то общая толщина оказывается равной 10й мм, или 10п м, или 108 км — итого сто миллионов километров — только ненамного меньше, чем расстояние до Солнца, но до Венеры (в противостоянии) наверняка хватит.
      Задача эта достаточно проста и общеизвестна, чтобы на ее примере попробовать проанализировать, в чем состоят сильные и слабые стороны математического рассуждения. В чем сильные стороны — в общем-то понятно: недоступная с первого взгляда постановка задачи оказалась сведенной к совершенно стандартным и заурядным вычислениям. Хитрость-то, однако, заключается в том, что математика здесь выступает в двух обличьях: как элементарная математика (то есть тот самый набор стандартных вы-
      числений) и как искусство сводить более сложную задачу к более простой. Именно это искусство и составляет основную сложность и содержание математического рассуждения, и именно ему труднее всего научить. К сожалению, довольно-таки большой груз элементарных навыков и сведений, необходимых для свободного владения основным искусством, производит на учащихся
      столь тяжкое впечатление, что математика так и остается для них набором запутанных формул и непонятных рассуждений. В то же время математик-профессионал, как правило, формул не помнит, а рассуждения придумывает сам, запоминая только идеи. Надо ли говорить, что это намного экономичнее и полезнее! Автор считал бы основную цель, поставленную перед собой при написании этой книги, достигнутой, если бы ему удалось привить читателю вкус к искусству решать задачи «методом идей».
      Поговорим немного и о слабостях. Пожалуй, одним из наиболее уязвимых мест математического подхода является то, что процесс абстракции, присущий математическому подходу, зачастую может jвести за пределы реального мира даже в тех случаях, когда решаются вполне реальные задачи. Приведенная задача как раз служит показательным образцом такого рассуждения. Ведь ни один здравомыслящий человек ие согласится, что это (совершенно строгое с математической точки зрения) вычисление приводит к достоверным результатам. Хотя указать ошибку вроде тоже трудно. Более того, для этой же задачи, но с десятью складываниями результат не вызовет никаких сомнений. Так с какого же момента пропадает вера в правдоподобность результата? Вместо ответа другой вопрос: а какова будет площадь сложенной газеты?
      Как и каждая слабость, эта слабость доставляет удовольствие. Удовольствию пренебречь здравым смыслом и проследить, куда могут завести строгие и чопорные математические методы, мы и посвятим эту короткую главу, разобрав несколько задач, ответ в которых неприемлем с точки зрения нормального человека (это не значит, что математики ненормальные!). Если отдельные места покажутся читателю сложными, он может читать их как художественный текст, поскольку эта глава только вступительная, а боль-
      шинство последующих написано о вещах более знакомых и так, чтобы их понимание требовало не столько знаний, сколько желания понять.
      Задача о ки р пич ной лестнице. Когда барону Мюнхгаузену надоело летать на ядре, он изобрел новый способ узнавать, что делается во вражеской крепости. Для этого Мюнхгаузен решил построить кирпичную лестницу, кладя один кирпич на другой ступеньками, как на рис. 1, благо кирпичей было сколько угодно. К несчастью, цемента в его распоряжении не оказалось, так что кирпичи могли держаться только за счет силы тяжести. Барону предложили построить что-нибудь понадежнее, но он заявил, что и без цемента сможет построить лестницу, вполне достаточную, чтобы преодолеть «несколько жалких миль». Сильно ли заврался барон Мюнхгаузен? Другими словами, насколько вправо может быть сдвинута кирпичная лестница, если считать, что каждый кирпич имеет по 30 см в длину? (Подчеркнем, обсуждается только математический вопрос, именно способ, когда каждый кирпич, опираясь лишь на один, сдвинут немного вправо относительно него. Что же касается архитектурных подходов к этой задаче — как именно построить надежную лестницу, то автору довелось услышать множество красивейших проектов, самый простой из которых — засыпать ров перед крепостью, а если понадобится, и саму крепость, пользуясь тем, что кирпичей неограниченное количество.)
      Прежде чем читать решение, попытайтесь самостоятельно сделать набросок вычислений или начните строить лестницу из косточек домино.
      Рис. 1. Кирпичная лестница разведчика Мюнхгаузена
      Решение. То, что с практической точки зрения проект барона Мюнхгаузена, как всегда, безнадежен — сомнений не вызывает. Гораздо труднее поверить в то, что чисто теоретически барон совершенно прав: как бы далеко ни была расположена крепость, все равно до нее на такой лестнице можно добраться (при достаточно большом количестве кирпичей) и оказаться в точности над ней. Чтобы убедиться в этом, проанализируем, насколько вправо можно отодвигать кирпичи. Если кирпичей под рукой нет, возьмем домино или, на худой конец, просто стопку книг. Главное условие — это условие равновесия. Постараемся понять, в чем оно состоит. Из школьного учебника мы смутно помним о том. что для равновесия нужно, чтобы центр тяжести находился под ногами, точнее — проектировался на подошвы ног. Но это для человека. Значит, для лестницы необходимо, чтобы ее центр тяжести проектировался на самый нижннй кирпич. Попробуем на практике. С двумя кирпичами оптимальный результат достигается довольно-такн быстро: достаточно один из кирпичей сместить относительно другого ровно на половину. Хорошо! Попробуем сверху положить еще один и тоже сместить его на половину в ту же сторону. Рушится. Странно. А если меньше сместить? Тоже рушится. А если совсем чуть-чуть? Опять падает. Почему? Ну конечно же, центр тяжести системы из двух кирпичей находится совсем не там, где у одного! А где, кстати? Несложный подсчет показывает, что центр тяжести системы из двух кирпичей, один из которых смещен наполовину, смещен ровно на четверть относительно нижнего кирпича. Что же делать? Получается где-то так: только ты уравновесишь кирпичи, как следующий кирпич грозит разрушить всю конструкцию. (В этот момент задачу уже не очень хочется решать.) Попробуем все-таки установить три кирпича. Итак, первый — внизу, второй — смещен на четверть вправо, третий — вправо еще на полкирпича. Итого сдвинулись вправо на 7,5 плюс 15, то есть на 22,5 см. Это уже что-то! Самое интересное, что верхние два кирпича стоят, как и раньше, — смещенные на половину. И тут — идея: а что, если следующий, четвертый, кирпич класть не сверху, а подкладывать снизу! Куда? Вычисление несложное (проведите его самостоятельно) и показывает, что у нас появилась возможность сдвинуться на одну шестую. Следующий кирпич мы опять будем подкладывать снизу и сдвинемся уже иа одну восьмую и так далее по четным числам (подсчет мы опускаем по причине известности задачи, а на картинку стоит посмотреть — рис. 2).
      Единственный вопрос, который осталось решить, уже не имеет никакого отношения к кирпичам — насколько большой может
      бесконечные суммы переименовываются в ряды). Пожалуй, нет смысла повторять многократно написанное доказательство того, что этот ряд расходится, или, другими словами, что указанная сумма может быть сделана неограниченно большой. Доказательство можно найти в любом учебнике по высшей математике в главе «Ряды». Суть же доказательства читатель поймет на кирпичах. Если не стремиться к самому крайнему положению, то достичь крепости можно и таким способом: самый верхний кирпич сдвинут на 1/2, следующий — на 1/4, два следующих — на 1/8, четыре последующих — на 1/16 и так далее по степеням двойки. Читатель должен сам убедиться в том, что при этом способе мы сдвигаем кирпичи не так сильно (и, значит, тем более остаемся в равновесии), а то, что сдвиг будет сколь угодно большой, можно проверить несложным расчетом: сдвинув на 1/4, получим 7,5 см. Два сдвига на 1/8 дают еще 7,5 см, четыре сдвига на 1/16 — еще 7,5 см. Вот так, по 7,5 см мы н наберем сколько иам надо. Стало быть, и до крепости доберемся.
      Вопрос для искушенных в математических тонкостях: а с какой высоты придется смотреть на крепость барону Мюнхгаузену при самом оптимальном варианте? Может, лестница до Венеры достанет?
      Рис. 2. Шаткое равновесие
      быть сумма чисел, обратных четным? «Умножив» вопрос иа два, получим равносильный: насколько большой
      может быть сумма 1+ 1/2+1/3+ + 1/4+...+ 1/А: при неограниченном возрастании к? Эта сумма настолько знаменита, что имеет свое собственное имя — «гармонический ряд» (при неограниченном числе членов
      Следующая симпатичная задача заимствована из книги М. Гарднера о математических парадоксах «А иу-ка догадайся!».
      Задача. Представим себе резиновый шиур длиной 1 км. По нему не торопясь, со скоростью 1 см/с, ползет червяк. Ясно, что не скоро, но до конца он доползет. Для того чтобы жизнь не казалась ему раем, каждую секунду шнур дополнительно растягивают на 1 км. Спрашивается, доползет ли ои в таких усложненных условиях?
      Не желая лишать читателя удовольствия самостоятельно найти решение и отсылая его за ним к книге М. Гарднера, все же заметим, что при растяжении шнура червяк тоже немного переносится, а тогда идея гармонического ряда снова может оказаться небесполезной.
      Последняя задача — для проверки интуиции тех, кто уверенно овладел многомерными пространствами. Итак, представим себе fe-мерный куб с длиной ребра, равной 2. Этот куб разбит естественным образом иа 2* маленьких кубиков со стороной, равной 1 (автор представлять себе /г-мерные кубы не умеет, поэтому предпочитает изображать картинку (см. рис. 3) на двумерном, то есть на квадрате). В каждый из этих кубиков вписана сфера (естественно, A-мерная сфера единичного радиуса).
      Существуют две сферы, которые касаются всех этих сфер: одна, большая, касается внутренним образом, другая, меньшая, — внешним. Пусть гк — радиус меньшей и r= lim г*. Избавим читателя от необходимости вычислять этот предел, а сразу сообщим ему, что он перечислен в следующем ряду: — 1, 0, 1/2, 1, 10, бесконечность. Вопрос на интуицию читателя: чему же он все-таки равен? Рекомендуется расставить ответы в порядке правдоподобности, начиная с наименее правдоподобного. Считать запрещается.
      Решение. Интуиция подводит очень многих. Правильный ответ — бесконечность. Убедиться в этом нетрудно, если рассмотреть диагональ куба. Ее длина 2}/г стремится к бесконечности. На ней располагаются три окружности: две радиусом 1 и одна радиусом гк, касающаяся двух предыдущих (рис. 4). А тогда нетрудно понять, чему равен радиус гк и почему он стремится к бесконечности. Интуиция же не срабатывает потому, что трудно себе представить, как сфера, казалось бы, находящаяся внутри, может выйти за пределы куба.
     
      2
      Искусство обозначать, или принцип «бяки»
     
      Придайте глубины печать Тому, чего нельзя понять. Красивые обозначенья Вас выведут из затрудненья.
      Гете. Фауст
     
      Цель настоящей главы — показать ту огромную роль, которую играет в математике, казалось бы, бессмысленное искусство правильно выбирать обозначения. В известной мере это — даже основное умение, которым должен владеть математик.
      Для начала убедимся, что не все равно даже то, как обозначать числа. Вспомним о римской нумерации. На первый взгляд нет большой разницы между обозначениями XX и 20. Однако попробуйте, например, умножить XX и IX, не переходя к обычным обозначениям! Тут-то и выясняется, что каждое обозначение имеет свои достоинства и недостатки, а потребность в каком-либо обозначении определяет степень удобства работы с ним. Так, может быть, все дело в том, что есть плохие и хорошие обозначения, и, значит, надо пользоваться хорошими и не пользоваться плохими? Нет, и здесь все не так просто. Например, не так уж трудно убедиться, что десятичная система тоже не идеальна, например, с точки зрения ЭВМ. Действительно, чтобы работать с десятью цифрами, их надо хотя бы различать, а как это реализовать так, чтобы надежность была высока? Гораздо проще было бы, если бы цифр было только две: 0 и 1. Тогда имеется и надежная интерпретация: есть ток или нет тока. Весьма удобна также таблица умножения: 0x0=0, 0X1=0, 1X1 = 1. И никаких проблем! Читатель может доставить себе удовольствие, придумав самостоятельно, какими техническими средствами эту таблицу можно реализовать. Как ни странно, трудности возникают при сложении, точнее, только в одном месте; сколько будет 1 + 1? От цифры 2 мы ведь уже отказались. Что же делать? А что. если положить 1 + 1 = 10? (другими словами, обозначить двойку комбинацией 10). Сколько же будет тогда дважды два? В нашем привычном мире это — четыре, а 10X10=100. Кроме того, такое умножение соответствует введенному закону умножения. Нам просто не остается никакого другого выхода, как обозначить число четыре через 100. Дальше уже проще. Дважды четыре — восемь, значит, так как 10x100= 1000, то 1000 есть обозначение для числа восемь. Точно так же 10000 — обозначение для 16 и так далее по степеням двойки. Ну а как же теперь обозначать, скажем, пятерку? Да очень просто. Раз 5=4+1, то пятерка представляется комбинацией цифр 101 = 100+1. Точно так же тройку придется обозначать 11. Ну и так далее. Все? Если бы! Пока это только интуитивный набросок хорошей идеи. А чтобы реализовать ее строго, надо четко решить следующие вопросы.
      Определение. Требуется дать однозначное определение каждого числа, желательно единообразное по форме (пока это сделано только для степеней двоек).
      Корректность. Требуется доказать, что данное обозначение согласуется с введенными операциями умножения и сложения, например, что 5=2+3. Ведь последнее равенство мы тоже вполне могли бы взять за основу обозначения для числа 5, но где гарантия, что получилось бы то же самое? (Вопросы корректности, обычно редко принимаемые во внимание, на самом деле, одни из самых тонких.)
      На самом деле большинство читателей уже давно поняли, что речь идет о хорошо известной двоичной системе счисления. Поэтому не стоит делать вид, будто бы мы совершили какое-то открытие и что все указанные вопросы — проблемы. Для читателей, сталкивающихся с этим впервые, напомним, как легко и естественно вводится двоичная система счисления. Если ABC — десятичная запись какого-то числа k, то k — 100А +10В + С, что в общем-то понятно, ибо А — число сотен, В — десятков, С — единиц. В двоичной же записи /г=4Л + 2В + С, причем А, В, С — цифры, не больше единицы. (Здесь 4 и 2 записаны в десятичной системе. Если и их записать в двоичной, то получится 100А+10В+С.)
      Все это известно, но, чтобы заронить у читателя капельку сомнения, поставим следующий вопрос: а что получилось бы, если
      бы мы положили в качестве обозначения для двойки сочетание 11? А если 110, 1000? Тут вопросы определения и корректности — огромный простор для деятельности читателя. Маленькая подсказка: правило перенесения единицы в следующий разряд в общем-то ни на чем не основано. Почему, в самом деле, мы обязаны ее прибавлять? Тогда комбинация 110 приведет к системе счисления с основанием ( — 2) и с совершенно нестандартными законами сложения и умножения многозначных чисел (а понять суть законов деления — это целое исследование).
      Вернемся, однако, к анализу удобства обозначений. Так ли уж хороша двоичная система? Все-таки не слишком: уж больно длинными бывают обозначения совсем коротких чисел (сколько цифр, например, в двоичной записи числа 9999?). Поэтому человек тоже не испытывает особого удовольствия при общении с машиной на ее двоичном языке. Оказывается, наиболее приемлемой для обоих является система счисления, в основу которой положена степень двойки, скажем, 8 или 16. С одной стороны, запись довольно компактна для человека, с другой — переход в двоичную систему происходит мгновенно — надо только переписать каждую цифру. Например, 55 в восьмеричной системе счисления переводится как 101101. В десятичной системе нет даже намека на такое удобство. Там 55 переводится как 110111. Остается только сожалеть, что у нас на руках десять пальцев, а не восемь (кроме удобства общения с машиной нам это облегчило бы труд по запоминанию таблицы умножения).
      Вот еще один интересный пример, подсказанный ЭВМ. Как записывать отрицательные числа? Мы это делаем просто — с помощью знака, и нам кажется, что это удобно. А как это делает ЭВМ? Ответ оказывается нетривиальным. Прежде всего отметим, что в любой ЭВМ отведено строго определенное количество разрядов, скажем k, для каждого числа. В каждом из разрядов хранится цифра 0 или 1. Один, самый старший, разряд отведен под знаки. Казалось бы, чего же более: 0 — это плюс, 1 — минус, и все в порядке. Однако в машине так просто решается вопрос только с положительными числами: последние разряды заняты значащими цифрами, а первые, включая знаковый, занимают незначащие нули. Если же число отрицательное, то вместо него записывается двоичное представление числа, равного разности 2* и исходного числа. Как следствие, в знаковом разряде оказывается единица. (Надо помнить, что при этом запрещается использовать для работы на ЭВМ числа большие, чем 2ft_1 — 1.) Для ясности приведем пример. Допустим, что в машине под каждое число отводится четыре разряда (хилая машина!). Тогда число +5 будет в ией храниться как 0101, а — 3 — как 1101.
      Зачем нужны такие хитрости? А вот зачем. При таком способе хранения отрицательные числа ничем не отличаются от положительных с точки зрения операций сложения. Попробуйте и убедитесь, что обычные правила сложения автоматически следят за знаками и дают верные результаты. Следует только помнить, что при переполнении, когда мы обязаны выйти за границу k-ro разряда, эта необходимость попросту игнорируется: если некуда записывать, то и не будем! А представьте себе, как неприятно было бы в противном случае: каждый раз надо было прежде всего смотреть, какие знаки у складываемых чисел, и в зависимости от этого выбирать законы сложения. Люди-то к такому привыкли, но это не самое большое неудобство, к которому они привыкли.
      Этим запас обозначений для чисел, однако, далеко не исчерпан. Вот еще несколько примеров.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
     
      Вместо заключения
     
      К переводу своей статьи известный английский математик Джон Литлвуд написал примечания: «Я весьма благодарен проф. Риссу за перевод этой статьи. Я весьма благодарен проф. Риссу за перевод предыдущего замечания. Я весьма благодарен проф. Риссу за перевод предыдущего замечания».
      Почему этим Литлвуд и ограничился?
      Факультативный курс математики для 6 — 7-х классов в задачах (Ленинград, 1985)
     
      Один из моих друзей — по профессии живописец, и мне не раз случалось заходить в его мастерскую. Каждый раз он показывал мне свои новые работы и спрашивал мое мнение о них. Будучи совершенным дилетантом в живописи, я, тем не менее, совершенно беззастенчиво критиковал его. К моему величайшему удивлению, после моей критики он часто исправлял сделанное. Надо ли говорить о том, что через некоторое время я почувствовал себя тонким знатоком искусства. А однажды я даже спросил его: «Как же так, ты — профессионал, а я в живописи — нуль. Тем не менее, я говорю тебе о недостатках, и ты их исправляешь. Неужели ты сам их не видишь?» Его ответ навсегда лишил меня иллюзий: «Конечно, вижу, — спокойно сказал он, — но если даже ты их замечаешь, значит, это надо исправлять!»
      Теперь, находясь в роли автора, я хотел бы воспользоваться опытом моего друга. Я буду благодарен всем читателям, которые пришлют мне свои замечания, тем более, что критиковать есть что. Мне было бы приятно получить не только критику, ио и предложения по усовершенствованию текста или пожелания по включению в него иных тем и методов.
      Рукопись была прочитана не только редакторами и рецензентами, но и добровольно взявшими на себя такую ношу А. Е. Колесниковым, Е. Н. Захаровой, С. Е. Рукшиным. Контрольным читателем, перерешавшим большую часть задач, был десятиклассник
      Вадим Зудилин. Все они внесли множество ценнейших предложений по усовершенствованию книги. Им — особая благодарность.
      Я весьма признателен также тем, с кем обсуждались только фрагменты книги. Вообще, я благодарен всем друзьям и близким, которые мужественно выдержали тот период времени, когда со мной нельзя было говорить ни о чем другом, кроме этой книги.
      И о задачах. Их по ходу текста разбросано более двухсот. Часть из них являются оригинальными (около одной пятой всего количества), другие — либо широко известными, либо извлеченными из процитированных в книге источников, в первую очередь из двух брошюр заочной математической школы при ЛГУ: одной, процитированной в эпиграфе к этой главе, а другой — в главе о раскраске. Наконец, очень много задач было взято из замечательной книги Н. Б. Васильева и П. П. Савина «Избранные задачи математических олимпиад», давно ставшей библиографической редкостью.
      И последнее. Автор просит извинения за то, что его «я» слишком часто проскальзывало на этих страницах, пусть и не всегда от первого лица. Да и вообще за все то, что могло шокировать читающего, ибо это издержки огромного желания сделать книгу интересной. Насколько это удалось — судить самому читателю.