Математические досуги

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Следуя за развитием естественных наук, математические игры пережили переход от классической эры к современной. Не только наука, но и развлечения XX века неотделимы от современной математики. Если в классические времена лишь теория вероятностей органически включала в себя теорию игр, то сейчас само слово «игра» стало математическим термином, который широко используется в самых различных науках: в экономике, биологии, военном деле... Однако популярная литература почти не отразила этого превращения.
      К числу тех, кто прокладывает новые пути в этой трудной области, несомненно принадлежит Мартин Гарднер. Его книги с полным правом могли бы называться «Математическими развлечениями XX века». Они открывают читателю совершенно новый мир. Используя самые разнообразные источники, включая в переписку и поиски десятки математиков и физиков, автор по существу создает новый жанр популярной литературы. Его книги обращены к самому широкому кругу читателей и в то же время затрагивают весьма трудные разделы современной науки. Читатель не может не получить удовольствия от неожиданных связей между развлечениями и серьезной наукой и не удивиться остроумным применениям абстрактных понятий и вычислительной техники для анализа игр и головоломок.
      Первая книга Гарднера «Математические голово-ломки и развлечения» вышла в русском переводе год назад и была по достоинству оценена читателями. Тридцать восемь математических миниатюр, вошедших во второй том, не менее интересны, чем первые сорок шесть. Эти восемьдесят четыре главы практически
      исчерпывают содержание пяти сборников Гарднера, выпущенных на английском языке и первоначально опубликованных в журнале Scientific American в 1956—1964 годах. Хронологический порядок нарушает лишь последняя глава, которая носит название „Игра «Жизнь»”. Опубликованная в 1971 году, она должна была бы войти в следующую книгу. Однако игра «Жизнь» настолько необычна и непохожа на все остальные, что нам хотелось привести ее как пример истинной игры XX века, в которую лучше всего играть с вычислительной машиной. В этой игре причудливая смена позиций и трудно предсказуемый ход событий воспринимаются как почти готовый сценарий увлекательного кинофильма.
      В конце нашей книги помещен список литературы по занимательной математике на русском языке, который дополняет список, опубликованный в первом томе. Это по существу первый опыт такой библиографии.
      Ю. Данилов Я. Смородинский
     
      ГЛАВА 1
      ОШИБКА ЭЙЛЕРА:
      ОТКРЫТИЕ ГРЕКО-ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА
      История математики богата остроумными гипотезами (подсказанными интуицией ученых, обладавших даром математического предвидения), которые в течение столетий не удается ни доказать, ни опровергнуть. Когда же, наконец, появляется доказательство (или опровержение), математики считают это событием первостепенной важности.
      На ежегодном съезде Американского математического общества в апреле 1959 года были сделаны сообщения сразу о двух таких работах. Одна из них не представляет для нас интереса (она относится к сложным разделам теории групп); зато вторая, посвященная опровержению гипотезы великого математика Эйлера, связана с многими задачами занимательной математики. В свое время Эйлер высказал предположение, чго греко-латинских квадратов определенных порядков не существует, и эта гипотеза в течение 177 лет считалась неопровержимой. Однако трем математикам (Э. Т. Паркеру, Р. К. Боусу и С. С. Шрикхенду) удалось составить греко-латинские квадраты десятого порядка и тем самым опровергнуть гипотезу Эйлера.
      Трио математиков, которых друзья окрестили «разоблачителями Эйлера», написало коротенькую работу о своем открытии. Я приведу ее с некоторыми комментариями.
      «В последние годы жизни Леонард Эйлер (1707—1783) написал обширный мемуар о магических квадратах, озаглавленный «Исследование магического квадрата нового типа». Сейчас такие квадраты принято называть латинскими, потому что Эйлер обозначил их клетки обычными латинскими буквами (вместо букв греческого алфавита)».
      В качестве примера рассмотрим квадрат, изображенный на рис. 1 слева. Шестнадцать клеток в нем заполнены латинскими буквами а, 6, с и d, причем в каждом столбце и в каждой строке буквы не повторяются. В центре рис. 1 находится другой латинский квадрат, в клетки которого вписаны греческие буквы а, р, у» Если наложить квадраты друг на друга, как показано на правом рисунке, то окажется, что каждая латинская буква появляется один и только один раз в паре с каждой греческой буквой. Два или более латинских квадратов, которые можно так скомбинировать друг с другом, называются ортогональными, а получившийся комбинированный квадрат принято называть греко-латинским.
      Способ размещения букв в правом квадрате является решением популярной в позапрошлом веке карточной головоломки: из тузов, королей, дам и валетов всех четырех мастей (всего 16 карт) надо сложить квадрат так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились карты четырех разных мастей и четырех разных значений. Попробуйте решить другую задачу, в которой то же условие должно выполняться не только для строк и столбцов, но и для двух главных диагоналей.
      «В общем случае латинский квадрат я-го порядка определяется как квадрат размером я X «, у которого все пг клеток заполнены различными символами, причем так, что каждый символ встречается один и только один раз в каждом столбце и в каждой строке. Может существовать набор из двух или большего числа латинских квадратов, попарно ортогональных друг другу. На рис. 2 показаны четыре взаимно ортогональных латинских квадрата пятого порядка с числами в качестве символов».
      Во времена Эйлера умели доказывать, что не существует греко-латинского квадрата второго порядка. Были известны квадраты третьего, четвертого и пятого порядков, и, естественно, вставал вопрос: как обстоит дело при п = 6? Эйлер сформулировал задачу следующим образом. В каждом из шести полков служат шесть офицеров шести различных званий. Можно ли построить
      этих 36 офицеров в каре так, чтобы шесть офицеров, стоящие в каждой колонне и в каждой шеренге, были шести разных1 званий и служили в шести разных полках?
      «Эйлер показал, что задача о п2 офицеров (эквивалентная задаче о построении греко-латинского квадрата д-го порядка) всегда разрешима, если п — нечетное или «четно-четное» (то есть делящееся на четыре) число. Тщательно проанализировав задачу, Эйлер пришел к следующему выводу: «Я не сомневаюсь в том, что полный квадрат из 36 клеток построить невозможно; то же самое относится к случаю, если п = 10, п== 14 и вообще если п равно любому нечетно-четному числу» (то есть четному числу, которое не делится на 4). Этот вывод известен как гипотеза Эйлера. Более строгая формулировка гипотезы звучит так: ни для какого положительного целого числа k не существует пары ортогональных латинских квадратов порядка (...)
      В 1901 году французский математик Гастон Тарри опубликовал доказательство гипотезы Эйлера для квадрата шестого порядка. Тарри доказывал задачу вместе со своим братом, и сделали они это очень трудоемким способом, просто выписав все возможные латинские квадраты шестого порядка и показав, что ни одна пара не может образовать греко-латинский квадрат. Это, безусловно, подтверждало гипотезу Эйлера. Некоторые математики даже выступили в печати с «доказательствами» того, что гипотеза Эйлера верна, но впоследствии во всех этих доказательствах обнаружились ошибки. Трудоемкость метода Тарри возрастает с увеличением порядка квадрата. Следующий неизученный случай (п = 10) оказался уже слишком сложным для такого исследования и еще в 1959 году находился за пределами возможностей электронно-вычислительных машин. Математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе составили программу поиска греко-латинских квадратов десятого порядка на машине SWAC. Проработав более 100 часов, машина не нашла ни одного квадрата. Надо сказать, что поиски ограничивались мизерной долей всех возможных случаев. От-
      сюда можно было сделать только одно заключение: если гипотеза Эйлера справедлива, то для доказательства этого даже самой быстродействующей электронно-вычислительной машине 1958 года понадобилось бы по крайне мере столетие (если бы она работала по программе, написанной для SWAC).
      «Мемуар Эйлера заканчивается следующей фразой: „На этом я прекращаю исследование задачи, которая, будучи сама по себе не слишком полезна, привела нас к весьма важным вопросам комбинаторики и общей теории магических квад-ратов“.
      Удивительным примером единства наук является то, что толчком для изучения гипотезы Эйлера послужили практические нужды сельского хозяйства, а исследования, которые сам Эйлер считал бесполезными, оказались чрезвычайно важными для планирования экспериментов».
      Рональд Фишер, ныне известный ученый, профессор генетики Кембриджского университета, в начале 20-х годов нашего века впервые показал, как использовать латинские квадраты в сельском хозяйстве. Пусть, например, вам надо выяснить с минимальной затратой времени и средств, как влияют на рост пшеницы семь различных удобрений. Трудность подобных экспериментов связана с тем, что плодородие различных участков почвы неодинаково и обычно меняется без какой-либо закономерности. Как поставить эксперимент, в котором будут не только исследованы все семь удобрений, но и исключена всякая неоднозначность, порожденная изменением состава почвы? Для этого пшеничное поле следует разделить на клетки, чтобы получился квадрат 7X7, и внести удобрения по схеме любого квадрата, выбранного случайным образом. Несложная статистическая обработка результатов позволяет исключить всякие отклонения, связанные с изменением плодородия почвы.
      Предположим, что у нас не один, а семь сортов пшеницы. Можно ли так поставить эксперимент, чтобы учесть и четвертую переменную — сорт пшеницы? (Под тремя первыми переменными подразумеваются две координаты грядки — номер строки и номер столбца — и
      вид удобрения.) Решением этой задачи будет греколатинский квадрат. Семь сортов пшеницы надо посеять в соответствии с греческими буквами, а семь разных удобрений распределить в соответствии с латинскими. Результаты опыта и в этом случае требуют лишь простой статистической обработки.
      Греко-латинские квадраты сейчас широко используются при планировании экспериментов в биологии, медицине, социологии и даже в торговле. Естественно, что ячейка квадрата совсем не обязательно должна быть участком земли. Ей может соответствовать корова, пациент, пришедший к врачу, лист дерева, клетка с животными, место, в которое делается укол, промежуток времени и даже наблюдатель или группа наблюдателей. Греко-латинский квадрат в каждом случае является схемой эксперимента. Его строки отвечают одной, столбцы — другой, латинские буквы — третьей, а греческие буквы — четвертой переменной. Предположим, например, что ученый-медик хочет выяснить действие пяти лекарственных препаратов на людей пяти разных возрастных групп, пяти весовых категорий, находящихся в пяти разных стадиях одной и той же болезни. Для этого эксперимента лучше всего воспользоваться греко-латинским квадратом пятого порядка, выбранным случайным образом из всех возможных квадратов того же порядка. Если число переменных должно быть больше, комбинируют несколько латинских квадратов; правда, для квадратов /г-го порядка существует не больше чем п—1 взаимно ортогональных квадратов.
      Рассказ о том, как Паркер, Боус и Шрикхенд ухитрились найти греко-латинские квадраты порядков 10, 14, 18, 22 (и так далее), мы начнем с 1958 года, когда Паркер сделал открытие, подвергшее гипотезу Эйлера серьезному сомнению. Вслед за Паркером Боус нашел некоторые общие правила построения греко-латинских квадратов. Затем с помощью этих правил Боус и Шрикхенд сумели построить квадрат порядка 22, что противоречило гипотезе Эйлера, ибо 22 — четное число, которое не делится на 4. Интересно, что метод построения этого квадрата был основан на знаменитой задаче занимательной математики, предложенной Киркманом в 1850 году и известной как «задача Киркмана о школьницах».
      Рис. 3. Греко-латинский квадрат десятого порядка, построенный Э. Т. Паркером.
      Учительница, взяв на ежедневную прогулку 15 девочек, обычно строит их в 5 шеренг по 3 девочки в каждой. Надо так расставить девочек, чтобы в течение недели ни одна девочка не оказалась бы в одном ряду С другой девочкой дважды. Решение задачи представляет собой пример важного метода планирования эксперимента, который называется «уравновешенные неполные блоки».
      Когда Паркеру стали известны результаты Боуса и Шрикхенда, он придумал новый метод построения греко-латинского квадрата десятого порядка, изображенного на рис. 3. В каждой клетке левая цифра (от 0 до 9) относится к первому латинскому квадрату, а правая цифра — ко второму. С помощью этого квадрата, само существование которого отрицается во многих учебниках по методике эксперимента, можно без труда осуществить эксперименты, где эффективно контролируются четыре переменные, каждая из которых принимает десять разных значений. (Отметим, что находящийся в правом нижнем углу квадрата десятого порядка маленький квадрат третьего порядка представляет собой греко-латинский квадрат. Все квадраты десятого порядка, составленные Паркером с сотрудниками, содержали подквадрат третьего порядка — подразумевается, что, переставляя строки и столбцы большого квадрата, такой маленький квадрат можно выделить всегда. Изменение порядка расположения строк и столбцов не влияет на свойства греко-латинского квадрата. Это утверждение совершенно тривиально. Если один квадрат получается из другого перестановкой строк или столбцов, то эти два квадрата не различаются. Одно время оставался открытым вопрос о том, все ли греко-латинские квадраты десятого порядка содержат подквадраты третьего порядка; ответ оказался отрицательным, потому что нашлось много квадратов, не обладавших таким свойством.)
      Заканчивая сообщение, авторы пишут:
      «В это время завязалась лихорадочная переписка между Боусом и Шрикхендом, с одной стороны, и Паркером — с другой. Методы все больше совершенствовались; в конце концов выяснилось, что гипотеза Эйлера неверна для всех значений п — 4& + 2, когда п больше шести. Та неожиданность, с которой вдруг разрешилась проблема, в течение двух столетий сбивавшая с толку математиков, поразила авторов открытия не меньше, чем окружающих. Еще удивительнее то, что для доказательства теоремы использовались методы, весьма далекие от используемых в современной математике.
      После 1959 года резко возросли как скорость электронно-вычислительных машин, так и изобретательность математиков-программистов. Паркер написал программу для электронно-вычислительной машины UNIVAC-1206, которой требовалось от 28 до 45 мин рабочего времени, чтобы осуществить полный поиск квадратов, ортогональных заданному латинскому квадрату десятого порядка, то есть машина работала примерно в три триллиона раз быстрее старой SWAC. Результатом были сотни новых греко-латинских квадратов десятого по-
      рядка. Оказалось, что такие квадраты встречаются весьма часто. Были найдены квадраты, ортогональные более чем половине введенных в машину латинских квадратов десятого порядка, выбранных случайным образом. Паркер по этому поводу писал: «Таким образом, Эйлер довольно сильно ошибся, ибо расчеты на старых машинах показали, что поиски надо вести в более широких масштабах». Проведенные в последнее время исследования греко-латинских квадратов с помощью машин принесли сильнейшее разочарование, потому что никому так и не удалось найти трех взаимно ортогональных латинских квадратов десятого порядка. Раньше было доказано, что максимальное число взаимно ортогональных латинских квадратов п-го порядка равно п—1. Если найдено п—1 таких квадратов, то они называются «полным набором». Например, латинский квадрат второго порядка имеет полный набор, состоящий из него самого. Квадрат третьего порядка имеет полный набор из двух ортогональных квадратов, а полный набор квадрата четвертого порядка содержит три квадрата. Полный набор из четырех взаимно ортогональных латинских квадратов пятого порядка показан на рис. 2. (Конечно, из любой пары можно построить греко-латинский квадрат.) Квадрат шестого порядка не имеет не только полного набора, но даже взаимно ортогональной пары, зато полные наборы седьмого, восьмого и девятого порядков существуют. Поэтому десятый порядок является наименьшим, для которого пока не выяснено, можно ли найти полный набор. Неизвестно даже, существует ли набор из трех квадратов десятого порядка.
      Интерес к рассматриваемому вопросу возрастает из-за его тесной связи с так называемыми «конечными проективными плоскостями». Было показано, что если существует полный набор взаимно ортогональных латинских квадратов порядка п, то с их помощью можно построить конечную проективную плоскость порядка п. Наоборот, если дана конечная проективная плоскость порядка п, то можно построить полный набор взаимно ортогональных латинских квадратов порядка п. Тарри доказал, что нельзя построить даже двух латинских квадратов шестого порядка, следовательно, не существует и конечной проективной плоскости шестого
      порядка. Известны полные наборы (а значит, конечные проективные плоскости) для порядков, равных 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9. Низший порядок конечной проективной плоскости, существование которой не было ни доказано, ни опровергнуто, равен десяти. Таким образом, обнаружение полного набора девяти латинских квадратов десятого порядка будет одновременно ответом на очень важный и пока не решенный вопрос о конечных проективных плоскостях. В настоящее время решение этой задачи находится за пределами возможностей электронно-вычислительных машин, и не похоже, чтобы его можно было осуществить до тех пор, пока значительно не возрастут их скорости или же не будет найден какой-то принципиально новый подход.
      Рис. 4. Коврик, узор которого повторяет схему паркеровского греко-латинского квадрата.
      Рис. 5. Решение задачи с картами.
      На обложке ноябрьского номера журнала Scientific American за 1959 год была помещена репродукция с картины работающей в журнале художницы Эми Казэ. На картине изображен греко-латинский квадрат
      десятого порядка, показанный на рис. 3. Художница взяла десять красок вместо десяти цифр и каждую клетку раскрасила в два цвета так, чтобы на картине не было двух одинаковых клеток. Расцветку этого квадрата повторяет изображенный на рис. 4 прелестный коврик, вышитый одной из читательниц. Если узор на коврике повернуть на 90°, то он совпадет с квадратом на рис. 3. В каждой клетке цвет каймы относится к одному латинскому квадрату, а цвет маленького квадратика — к другому. В любом столбце и в любой строке квадрата каждый цвет появляется один раз в центре клетки и один раз — по краям. Картина Эми Казэ была куплена у художницы и подарена Паркеру его институтом.
     
      ОТВЕТ
      На рис. 5 показано, как надо разложить шестнадцать старших карт, чтобы ни в одном ряду, ни в одном столбце и ни на одной главной диагонали ни картинки, ни масти не повторялись. Заметим, что четыре карты в каждом углу, а также четыре центральные карты образуют набор, в котором тоже представлены все масти и картинки. Неплохо, если бы еще и цвета мастей располагались в шахматном порядке, но последнее уже невозможно.
      Роуз Болл в книге «Математические очерки и развлечения» приводит ссылку на издание 1723 года, где впервые упоминается задача, и сообщает, что она имеет 72 существенно различных решения (решения, переходящие друг в друга при вращениях и отражениях, считаются одинаковыми). Однако Дьюдени в «Математических забавах» (задача 304), опираясь на более ранний источник 1624 года — книгу Клода Гаспара Баше,— замечает, что число 72 указано неверно и что всего существует 144 различных решения.
      Если рассматривать только строки и столбцы, забыв о расположении карт на главных диагоналях, то можно найти решения, в которых цвета чередуются в шахматном порядке. Вот одно из решений.
      Дама червей Валет треф Туз бубен Король пик
      Король треф Туз червей Валет пик Дама бубен
      Валет бубен Дама пик Король червей Туз треф
      Туз пик Король бубен Дама треф Валет червей
     
     
      ГЛАВА 2
      ЭЛЛИПС
     
      «Нельзя отрицать, что буквально с первого взгляда круг привлекает нас своей простотой, однако даже самому консервативному астроному достаточно лишь мимолетного знакомства с эллипсом, чтобы убедиться в том, что идеальная простота круга сродни бессмысленной улыбке идиота. По сравнению со сведениями, которые несет эллипс, круг не дает ничего. Возможно, рассчитывая на физическую простоту Вселенной, мы тоже мыслим окружностями, проецируя свое элементарное мышление на бесконечно запутанный окружающий мир», — писал в своей книге «Математика — царица и служанка науки» Эрик Т. Белл.
      Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся совершенно бессмысленными, но проходят века, и эти исследования приобретают огромную научную ценность. Вряд ли можно найти лучший пример этому, чем исследование древними греками кривых второго порядка, отличных от окружностей: эллипса, параболы и гиперболы. Первым их начал изучать один из учеников Платона. До XVII века, когда Кеплер открыл, что планеты движутся по эллипсам, а Галилей доказал, что траекторией снаряда является парабола, эти кривые, если можно так выразиться, не находили себе применения.
      Аполлоний из Перги, древнегреческий геометр, живший в III веке до нашей эры, посвятил этим кривым огромнейший трактат. В своей книге «Кснические сечения» он впервые показал, как можно получить все четыре кривые, включая и окружность, рассекая один и тот же конус плоскостью под разными углами. Если плоскость пересекает конус параллельно основанию, то в сечении получается окружность (рис, 6,а). Если
      плоскость немного наклонена (неважно насколько), то сечение оказывается эллиптическим (рис. 6,б). Чем сильнее наклоняется плоскость, тем больше вытягивается эллипс, или, как говорят математики, тем больше возрастает его эксцентриситет. Может показаться, что с увеличением угла наклона секущей плоскости форма кривой должна приближаться к грушевидной (потому что чем глубже разрез, тем шире конус), но это не так. Пока плоскость не станет параллельной образующей конуса, кривая остается точным эллипсом. Но, как только плоскость оказывается параллельной образующей, кривая перестает быть замкнутой и две ее ветви устремляются в бесконечность, образуя параболу (рис. 6, в). Дальнейший наклон плоскости приведет к тому, что она пересечет второй конус, имеющий с первым общую вершину (рис. 6,г). В этом случае два конических сечения представляют собой две ветви гиперболы. (Очень распространена ошибка, будто для образования гиперболы плоскость непременно должна быть параллельна оси конуса.) Форма ветвей меняется с изменением наклона плоскости до тех пор, пока они не выродятся в прямые. Все четыре типа кривых (окружность, эллипс, парабола и гипербола) называются кривыми второго порядка, потому что в декартовых координатах они описываются уравнениями второго порядка с двумя переменными. После прямой и окружности эллипс является простейшей из всех плоских кривых. Существует много разных определений эллипса, но следующее определение, пожалуй, самое понятное: эллипс есть траектория точки, движущейся в плоскости гак, что сумма ее расстояний до двух фиксированных точек остается постоянной. Это определение лежит в основе хорошо известного способа построения эллипса.
      Воткните в лист бумаги две кнопки, наденьте на них петлю из нитки и натяните ее острием карандаша так, как показано на рис. 7. Водя карандашом вокруг кнопок, вы нарисуете эллипс. (Длина нитки не может измениться, поэтому сумма расстояний от острия карандаша до кнопок остается постоянной.) Две фиксированные точки (в нашем случае — кнопки) называются фокусами эллипса. Они лежат на большой оси. Диаметр, перпендикулярный этой оси, называется малой осью. Сближение кнопок без изменения длины нитки уменьшает эксцентриситет эллипса. Если фокусы совпадают, эллипс превращается в окружность. С увеличением расстояния между фокусами эллипс вытягивается до тех пор, пока, наконец, не выродится в прямую.
      Эллипс можно начертить и многими другими способами. Для демонстрации одного забавного способа понадобится сковородка и картонный круг диаметром, вдвое меньшим диаметра сковороды. Оклейте внутренний борт сковороды материей, чтобы круг при вращении не соскальзывал с него. Полосками клейкой ленты укрепите на дне сковороды лист бумаги. Продырявьте круг в любом месте отточенным концом карандаша до соприкосновения с бумагой и начните катить диск по краю сковороды (рис. 8). На бумаге появится эллипс. Удобно, одной рукой придерживая карандаш, второй медленно катить диск, плотно прижав его к краю сковороды. Если вы проткнете диск в центре, то карандаш нарисует окружность. Чем ближе отверстие к краю диска, тем больше эксцентриситет эллипса. Если карандаш стоит на краю диска, эллиптический след вырождается в прямую.
      А вот другой, не менее приятный способ вычерчивания эллипса. Вырежьте из бумаги большой круг и в любом его месте, кроме центра, поставьте точку. Сложите круг так, чтобы эта точка оказалась под любой точкой окружности на краю диска. Разогните листок и снова согните, прикрыв точку уже другим местом на окружности. Сделайте так несколько раз, пока вся бумага не покроется сгибами, которые образуют семейство касательных к эллипсу (рис. 9).
      Г. Дьюдени объясняет, как нарисовать эллипс с помощью нитки и двух булавок и как вычертить тем же способом эллипс с заданными осями.
      Рис. 8. Эллипсограф из сковороды и картонного круга. 22
      Рис. 9. Если лист бумаги перегибать так, чтобы край его все время проходил через точку, не совпадающую с центром листа, то огибающая линия сгиба будет эллипсом.
      Сначала следует начертить оси. Затем находят фокусы Ли В эллипса, имеющего такие оси. Пусть С будет концом малой оси. Точки А и В расположены симметрично на большой оси, причем так, что отрезки АС и СВ равны каждой половине главной оси. Теперь легко доказать, что с помощью петли, периметр которой равен периметру треугольника АВС, можно построить искомый эллипс.
      Хотя эллипс и не столь прост, как окружность, тем не менее он чаще встречается в повседневной жизни. Дело в том, что любая окружность становится эллипсом, если смотреть на нее под углом. Кроме того, все тени, отбрасываемые кругами и шарами, представляют собой эллипсы. На самой сфере тени ограничены окружностями большого круга (например, внутренние очертания растущего месяца), но нам они представляются частями эллипсов. Наклоните стакан с водой (стакан может быть и цилиндрической и конической формы), и вы увидите, что поверхность воды приняла очертания эллипса.
      Лежащий на столе мяч (рис. 10) отбрасывает эллиптическую тень, образованную сечением светового конуса, в который вписан шар. Мяч касается стола точно в одном из фокусов эллипса. Представим себе сферу с большим радиусом, которая вписана в тот же конус, но касается стола снизу; тогда точка касания будет вторым фокусом эллипса. Обе сферы служат основой знаменитого доказательства (принадлежащего Ж. Дан-делену, бельгийскому математику XIX века) того, что в сечении конуса плоскостью действительно получается эллипс.
      Пусть А—произвольная точка на поверхности конуса. Через точку А и вершину конуса проведем прямую (жирная прямая на рис. 10), касающуюся сфер в точках D и Е.
      Соединим прямыми точку А с точками Б и С (в которых сферы соприкасаются с плоскостью). Отрезки АВ и AD равны как касательные к сфере, проведенные из одной точки; отрезки АЕ и АС также равны по той же причине. Сложив равные отрезки, получим
      AD + АЕ = АВ + АС.
      Рис. 11. Касательная составляет равные углы с прямыми, проведенными в точку касания из обоих фокусов эллипса.
      Но AD + АЕ — это просто отрезок DE. Из соображений симметрии длина DE должна быть постоянна д не зависеть от положения точки Л.
      Если сумма AD + АЕ постоянна, то из приведенного равенства следует, что сумма АВ + АС тоже должна быть постоянной. АВ и АС — расстояния от точки А до двух фиксированных точек, поэтому геометрическим местом точек А должен быть эллипс, фокусами которого являются точки В и С.
      В физике эллипс появляется как траектория движения материальной точки по замкнутой орбите под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Например, планеты и спутники ббращаются по эллиптическим орбитам с центром тяготения в одном из фокусов. Во времена Кеплера считали, что бог не может допустить, чтобы планеты обращались по кривым, менее совершенным, чем окружности. Сообщая о своем великом открытии — о том, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, — Кеплеру пришлось всячески оправдываться и извиняться. Он считал эллипсы той грязью, с которой ему пришлось возиться, чтобы очистить астрономическую науку от еще большей грязи, накопившейся вокруг попыток сохранить круговые орбиты. Сам Кеплер так никогда и не понял, почему орбиты небесных тел имеют форму эллипсов. Объяснить этот факт сумел лишь Ньютон, опиравшийся на открытый им же закон всемирного тяготения. Даже великий Галилей, имея неопровержимые доказательства, подтверждающие открытие Кеплера, до последних дней не верил в существование орбит, отличных от окружностей.
      Отражение от эллипса обладает одним важным свойством, которое становится понятным из рис. 11. Проведем касательную к какой-нибудь точке эллипса.
      Прямые, соединяющие эту точку с фокусами, образуют равные углы с касательной. Представим себе вертикальную металлическую полоску, ограничивающую эллипс. Если волна или материальная точка выйдет из фокуса и будет двигаться по прямой, то, отразившись от края, она окажется точно во втором фокусе. Более того, двигаясь из фокуса к границе эллипса с постоянной скоростью, тело или волна окажется во втором фокусе через один и тот же промежуток времени, независимо от первоначального направления движения. Вообразим, что в неглубокий эллиптический бак налита вода. Если опустить палец в то место, где находится фокус эллипса, то через несколько секунд вокруг второго фокуса сойдутся круговые волны.
      Льюис Кэррол написал небольшую книжку о круглом бильярдном столе. В одиннадцатом издании Британской энциклопедии в примечании к статье о бильярде мы читаем: «В 1907 году в Англии был для разнообразия введен овальный стол». Однако ни у этого стола, ни у круглого стола Льюиса Кэррола лузы не было, и только в июле 1964 года Эдвин Э. Робинсон получил патент на круглый бильярдный стол с четырьмя лузами. Тогда же в США появилась придуманная Артуром Фриго игра «Эллиптипул», в которой луза располагалась в одном из фокусов эллиптического стола. На таком столе, ударяя шары о борт, можно все время выигрывать.
      Возможны три варианта поведения шара на круглом столе. Если послать шар без закручивания из фокуса в любом направлении, то он отразится от края и вернется во второй фокус. Пусть движение шара ничем не замедляется, тогда, отскочив от борта, он будет каждый раз проходить через фокус (рис. 12, а). Однако после нескольких отскоков траектория шара практически совпадет с главной осью эллипса. Если шар послан не из фокуса, то он никогда не попадет в промежуток между фокусами и будет все время двигаться по прямым, касательным к маленькому внутреннему эллипсу с теми же фокусами (рис. 12,6). ЕсЗпи шар запущен между фокусами, то он останется там навсегда и будет перемещаться от борта к борту, никогда не пересекая двух гипербол, фокусы которых совпадают с фокусами эллипса.
      В поэме «Микадо» есть строчки, описывающие странный бильярд, на котором пришлось играть герою повествования:
      Стол не выстлан сукном,
      Кий изогнут крюком,
      И шары все на эллипс похожи!
      В книге Джеймса Джойса «Портрет художника как молодого человека» учитель, цитируя эти строки, объясняет, что В. С. Гильберт под эллипсом подразумевал эллипсоид. А что такое эллипсоид? Существуют эллипсоиды трех типов. Эллипсоид вращения, который правильнее назвать сфероидом, представляет собой поверхность, полученную вращением эллипса вокруг одной из осей. Вращение вокруг малой оси порождает сфероид, сплющенный у полюсов, как Земля. В результате вращения вокруг большой оси получается вытянутый сфероид, имеющий форму мяча для игры в регби. Представьте себе, что такой эллипсоид имеет зеркальную внутреннюю поверхность. Тогда, поместив в один из его фокусов горящую свечу, мы сможем зажечь бумажку, находящуюся во втором фокусе.
      Знаменитые «комнаты шепотов» представляют собой помещения с эллипсоидальными потолками. Слабый звук, произнесенный в одном из фокусов, отчетливо слышен во втором. В США наиболее известна галерея шепотов в Скульптурном зале Капитолия, без ее посещения не обходится ни одна экскурсия. Прекрасная комната шепотов, правда меньшего размера, у входа в бар в нижнем этаже Центрального вокзала в Нью-Йорке. Двое людей, стоящих там лицом к стене в диагонально противоположных углах квадратной площадки, хорошо слышат друг друга, даже когда на площадке толпятся люди.
      И вытянутый, и сплющенный сфероиды имеют в сечении окружность, если секущая плоскость перпендикулярна одной из трех координатных осей, и эллипс — если секущая плоскость перпендикулярна двум другим осям. Фигура является настоящим эллипсоидом, если длина всех трех ее осей различна, а сечения в трех перпендикулярных осям плоскостях имеют вид эллипсов (рис. 13). Волны, шлифуя в течение многих лет камни, в конце концов придают им почти эллипсоидальную форму.
     
      Головоломок, связанных с эллипсом, немного. Вот две простые задачи.
      1. Докажите, что ни один правильный многоугольник с числом сторон, большим, чем у квадрата, нельзя вписать в эллипс так, чтобы его вершины лежали на эллипсе.
      2. Сгибая лист бумаги таким образом, как объяснялось выше, вы получаете эллипс с фокусами в центре и во внутренней точке круга. Докажите, что огибающая .линии сгиба действительно будет эллипсом.
     
      ОТВЕТЫ
      1. В эллипс нельзя вписать никакой правильный многоугольник с числом сторон, большим, чем у квадрата. Дело в том, что вершины всех правильных многоугольников лежат на окружности. Окружность не может пересекаться с эллипсом более чем в четырех точках. Следовательно, не существует правильного многоугольника с числом сторон, большим, чем у квадрата, все вершины которого лежали бы на эллипсе.
      2. Доказательство того, что при сгибании бумаги действительно получается эллипс, можно провести следующим образом.
      Пусть точка А на рис. 14 — любая точка круга, не являющаяся его центром О. Мы сгибаем круг так, чтобы совместить точку А с какой-нибудь точкой окружности. При этом линией сгиба должна быть прямая XY, которая перпендикулярна АВ и делит отрезок АВ пополам. Отсюда следует, что ВС и АС равны, а поэтому ОС + -{- АС = ОС СВ. Но отрезок ОС-{-СВ равен радиусу круга, который не может меняться, поэтому левая часть равенства ОС + ЛС тоже должна быть постоянной.
      Отрезок ОС + ЛС представляет собой сумму расстояний от точки С до двух фиксированных точек Л и О, поэтому геометрическим местом точек С (движущихся при перемещении точки В по окружности) должен быть эллипс с фокусами в точках Л и О.
      Линия сгиба XY является касательной к эллипсу в точке С, потому что она образует равные углы с прямыми, проведенными из фокусов в точку С. Это легко установить, заметив, что угол ХСА равен углу ХСВ, который в свою очередь равен углу YCO. Линии сгиба всегда касательны к эллипсу, поэтому эллипс является огибающей бесконечного множества линий сгиба, которые появляются, когда бумага сгибается много раз.
      KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ