Математические новеллы

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      В предисловии к первому изданию своей книги «Жизнь растений», вышедшему в 1878 г., К. А. Тимирязев писал: «Положение автора общедоступного сочинения... тем отличается от положения автора специального исследования, что оно лишает его всякой возможности оправдываться и защищаться. Оно выдает его совершенно беззащитным в руки его судей. Первой и Последней безапелляционной инстанцией является читатель. Специалист может находить свое изложение добросовестным, преодолевающим значительные трудности и пр., но если оно просто не нравится читателю, оно уже не достигает своей цели и, следовательно, осуждено».
      Отношение к книгам Мартина Гарднера читатели и у нас, и за рубежом выражают ясно и определенно: их читают.
      Предлагаемая книга, выходящая вслед за «Математическими головоломками и развлечениями» и «Матема-. тическими досугами», — третий «семестр» того замечательного курса общедоступной математики, который ка протяжении многих лет М. Гарднер ведет на страницах Журнала Scientific American, третий том своеобразной «Энциклопедии математических игр XX века».
      Быть процитированным в разделе «Математических нгр» журнала Scientific American для автора задачи, будь то начинающий любитель или известный математик, — не меньшая часть, чем быть «ограбленным» знаменитым «многоголовым» математиком Никола Бурбаки, Имеющим обыкновение приводить в своих «Элементах математики» чужие результаты без ссылки на автора.
      Демонстрируя классическую или лишь недавно придуманную задачу, Гарднер неизменно показывает ее в необычном ракурсе, проводит неожиданные параллели или обогащает ее содержание новым, ранее не известным фактом.
      Гарднер широко использует самые разнообразные источники: труды по общей истории и истории математики, переписку с читателями, монографии и учебники, наследие великих математиков прошлого.
      В настоящей книге читателя ожидают не только встречи с изобретателем полиомино С. Голомбом, автором игры «Жизнь» Дж. Конуэем, голландским художником М. Эшером, но и с новыми именами, в частности с автором многотомного «Искусства программирования для ЭВМ» Д. Кнутом.
      Материал, собранный в книге, как правило, расположен в хронологическом порядке и охватывает период с 1964 г. по 1969 г. Глава «Новые игры: «Гонки», «Сим» и «Щелк!» опубликована в январском и февральском номерах Scientific American за 1973 г.
      Ю. Данилов Я. Смородинский
     
      ГЛАВА 1
      ТРУДНОСТИ И ПАРАДОКСЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕСКОНЕЧНЫМИ РЯДАМИ И ПОНЯТИЕМ ПРЕДЕЛА
      Для тех, кто постиг все премудрости элементарной математики и намерен приступить к изучению так называемой высшей математики, или математического анализа, весьма полезно, не вдаваясь в излишние тонкости, сначала разобраться в том, что такое предел, на интуитивном уровне.
      Основные инструменты математического анализа — производная и определенный интеграл — представляют собой пределы частичных сумм некоторых рядов. Каждое иррациональное число, например л, е и V2, также можно представить в виде суммы (то есть предела частичных сумм) надлежащим образом построенного ряда. Может быть, несколько «легкомысленный» подход к понятию предела с позиций занимательной математики позволит обойти хотя бы некоторые нз тех трудностей, с которыми пришлось столкнуться математикам на заре развития анализа и которые и поныне служат камнем преткновения для всякого, кто впервые встречается с понятием предела.
      Греческий философ Зенон Элейский, живший в V в. до н. э., на ряде замечательных парадоксов — «апорнй Зенона» — показал, какие логические ловушки подстерегают каждого, кто вздумает говорить о бесконечных рядах. «Каким образом бегун может вообще покрыть расстояние от пункта А до пункта В?» — вопрошал Зенон. Ведь прежде чем пробежать все расстояние, отделяющее пункт А от пункта В, бегун должен преодолеть его половину, Пробежав половину пути, бегун, прежде чем оказаться у финиша, должен будет преодолеть половину оставшегося расстояния, то есть оказаться в точке,
      отстоящей от пункта А на расстоянии, равном 3/ всего пути. После этого, прежде чем попасть в пункт В, бегун снова должен будет сначала пробежать половину оставшегося расстояния, то есть дойти до «промежуточного финиша» в точке 7/ (если длину всего пути АВ мы примем за 1) и т. д.. Иными словами, бегун должен пробежать расстояние, равное сумме ряда (...)
      Многоточие означает, что ряд продолжается до бесконечности. Каким образом, спрашивает Зенон, бегун может преодолеть бесконечную последовательность отрезков за конечное время? Ведь, сколько бы членов ряда мы ни взяли, достичь «конца пути» — 1 нам так и не удастся, ибо не будет доставать отрезка пути, равного последнему взятому члену.
      • Нетрудно придумать мысленный эксперимент, подтверждающий, казалось бы, правильность вывода Зенона. Вообразим, что мы совместили центр круглого основания шахматного ферзя с точкой А. Теперь будем перемещать ферзя из А в В по следующей схеме. Засечем время и, передвинув ферзя на половину расстояния АВ, подождем, пока с момента «старта» истечет секунда. Затем передвинем ферзя еще на четверть расстояния АВ и подождем, пока истечет секунда, отсчитываемая с момента второго старта. Так же будем передвигать ферзя и дальше: каждый новый ход будем делать лишь через секунду после начала предыдущего. Спрашивается, через какой промежуток времени ферзь достигнет точки В?. Оказывается, что это событие не произойдет никогда. Предположим теперь, что ферзь движется с постоянной скоростью, подобранной так, что он проходит половину расстояния за полсекунды, четверть расстояния — за четверть секунды и т. д. В этом случае и пройденное от точки А расстояние и истекшее с начала пути время будут описываться одним и тем же рядом, в котором каждый последующий член вдвое меньше предыдущего. Этот ряд сходится к 1.
      Что имеет в виду математик, когда говорит, что «сумма» ряда (...) равна 1? Ясно, что в данном случае в понятие «сумма» он вкладывает иной смысл, чем в понятие «сумма конечного ряда». Просуммировать бесконечный ряд в обычном смысле слова невозможно, потому что число слагаемых — членов ряда — бесконечно. Когда математик говорит о сумме бесконечного ряда, он имеет в виду число, к которому стремятся частичные суммы ряда при неограниченном числе входящих в них членов ряда. Слово «стремится» математик также понимает в специальном смысле: оно означает, что разность между сукмой ряда и его частичными суммами можно сделать сколь угодно малой. Мы подошли сейчас к самой сути понятия предела. Частичные суммы бесконечного ряда иногда могут достигать его суммы и даже превосходить ее. Простой пример ряда, у которого частичные сум\ш превосходят свой предел — сумму ряда, — мы получим, изменив знаки у четных членов ряда (...)
      Предположим, что Ахиллес бежит вдесятеро быстрее, чем ползет черепаха, и в начале состязания черепаха имеет 100 м форы. К тому времени когда Ахиллес пробежит 100 м, черепаха успеет проползти 10 м. Когда же Ахиллес пробежит и эти 10 м, черепаха уползет вперед на 1 м. Если на преодоление каждого отрезка пути (длиной в 100, 10, 1 м и т. д.) Ахиллес будет затрачивать одно и то же время, он никогда не догонит черепаху. Если же оба участника состязания будут двигаться с постоянными скоростями, Ахиллесу непременно удастся настичь черепаху. Какое расстояние он успеет пробежать к этому моменту? Ответом (в метрах), очевидно, служит сумма ряда (...)
      Задачи о прыгающем мяче, которые можно найти j многих сборниках задач на смекалку, также легко ешаются с помощью объясненного выше искусствен-юго приема. Предположим, что идеально круглый мяч, тадая с высоты 1 м, каждый раз подпрыгивает на высоту, составляющую 7з от предыдущей. Если бы каждый тодскок длился 1 с, мяч прыгал бы вечно. Однако вре-лена подскоков убывают вместе с высотой, образуя сходящийся ряд, поэтому мяч в конце концов перестает тодпрыгивать, хотя (теоретически) успевает совершить бесконечное число подскоков. Надо полагать, что читатель без труда сможет определить путь, который
      успевает пройти идеальный мяч, прежде чем он окончательно перестанет подпрыгивать.
      Неиссякаемым источником рядов рассматриваемого нами типа служат геометрические задачи. Пусть сторона самого большого квадрата на рис. 1 имеет единичную длину. Построим бесконечную последовательность квадратов, вписанных друг в друга таким образом, что вершины каждого последующего квадрата совпадают с серединами сторон предыдущего квадрата. Чему равна площадь всей бесконечной последовательности квадратов? Очевидно, она равна 1 плюс сумма уже знакомого нам ряда (V2 + V4+ •••)• Иными словами, полная площадь, занимаемая членами бесконечной последовательности квадратов, равна 2. Лишь немногим труднее задача, предложенная в 1905 г. на ежегодной математической олимпиаде в Венгрии. Единичный квадрат разделен на девять равных квадратов, как для игры в крестики и нолики. Центральный квадрат закрашен в черный цвет. Каждый из восьми остальных квадратов в свою очередь разделен, как и исходный квадрат, и каждый центральный квадрат из девяти квадратов «второго поколения» закрашен в черный цвет. Описанная процедура повторяется неограниченное число раз. Чему равен предел площади части исходного квадрата, закрашенной в черный цвет (рис. 2)? (Ответы на этот и другие вопросы помещены в конце главы.)
      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ