|
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Что в этой книге содержится, как она написана и какие требования предъявляет к читателю?
Начну с последнего. Предполагается прежде всего, что читатель владеет элементарной математикой в объеме курса средней школы. В некоторых главах от читателя требуется сверх того знакомство с теорией пределов и с понятием функции, скажем, такое, какое дается во всяком курсе математического анализа.
Этим требования к читателю в отношении его математических знаний исчерпываются. Но зато сравнительно большие требования предъявляются к уровню его математического развития. Самый характер трактуемых вопросов предполагает наличие у читателя довольно значительных навыков в области абстрактного логического мышления и умения ориентироваться в методологической стороне дела. С другой стороны, я старался вести изложение так, чтобы систематическая самостоятельная работа нат этой книгой могла содействовать, в свою очередь, развитию у читателя указанных навыков и ориентировки.
Теперь о содержании книги. Она состоит из двух частей — учения о числе в его последовательных обобщениях и начальных глав теории чисел в обычном смысле слова. Объединение этот несколько разнородного материала в одной книге обусловлено стремлением включить в книгу весь материал арифметической части "Специального курса элементарной математики", входящего, согласно действующей программе, как обязательный предмет в учебный план педвузов. Этим объясняется и несколько отличающийся от обычного характер изложения в последних двух главах книги (более детальное изложение вопросов об общем наибольшем делителе и наименьшем кратном, о признаках делимости и дрЛ, а также и включение в первую часть вопросов, непосредственно к развитию понятия числа отношения не имеющих (теории показательной и логарифмической функций и в связи с этим некоторых общих теорем теории функций действительного переменного).
Основная же часть книги, как сказано, отведена учению о числе. Здесь читатель найдет, во-первых, ставшие уже в вопросах обоснования понятия о числе классическими:теорию количественного натурального числа по Кантору, теорию натуральных чисел и двустороннего натурального ряда Грассмана, теорию пар для введения отрицательных, дробных и комплексных чисел, теорию сечений Дедекинда, сходящихся последовательностей Кантора и примыкающие к ним теории степенной, показательной и логарифмической функций; далее, краткие сведения о трансфинитных числах, излагаемые в связи с учением о натуральном числе, теорию кватернионов в геометрическом изложении и элементарные сведения из теории гиперкомплексных чисел в объеме, необходимом для доказательства теоремы Фробениуса, в известном смысле завершающей учение о числовом поле в его связи с обобщением понятия о числе.
Весь перечисленный материал выделен в тексте так, что читатель, желающий ознакомиться с той или иной теорией вне зависимости от основной нити изложения, может, отвлекаясь от отдельных вводных фраз, непосредственно приняться за чтение соответствующих параграфов книги. В особенности это относится к § 1—4, 12, 13, 17, 19—23, 36—41, 46—50, 58—67, 69, 73, ф-81, 90, 102, 106—121.
Такое выделение, естественное для книги, содержащей изложение большого числа разнородных по своему содержанию вопросов, обусловлено также и тем, что остальная часть ее содержит материал, повидимому, впервые включаемый в систематический курс теоретической арифметики и уже потому не могущий претендовать на вхождение в общепринятый минимум сведений по этому курсу.
Это прежде всего относится к операторной теории числа и измерения и к примыкающей к ней теории операций высших ступеней (включая и теорему Абеля), затем к теории е-приближе-ний, теории натуральной показательной функции, а также к учению о делимости, в котором в основу положены понятие о наи меньшем кратном (а не о наибольшем общем делителе, как обычно) и отношение делимости для дробных чисел. Имея в виду сравнительную элементарность вопросов, я позволил себе не наводить литературных справок и потому лишен возможности сослаться на какие-либо литературные источники по указанным пунктам, за исключением разве указанных в тексте работ Гамильтона, от которых ведет свое начало операторная теория числа.
Сюда же в известкой мере относится и несколько отличающееся от обычного изложение теории количественного натурального числа, в котором я преследовал методологическую и частично методическую цель установления непосредственной связи между принципом полной индукции и определением конечности множества, чтобы лишь на следующей ступени абстракции установить систему аксиом Пеано.
Несколько особое положение занимает также небольшая методологическая экскурсия в область философских споров сравнительно недавнего происхождения, связанных с так называемым "интуиционизмом”. Ни на что большее, кроме беглого ознакомления читателя с постановкой вопроса, эта часть не претендует; предъявляя здесь, быть может, и более высокие требования к читателю, чем в остальных частях книги, автор не считал возможным просто обойти молчанием обстоятельства, имеющие фундаментальное значение в вопросах обоснования арифметики.
Положенные в основу методологические установки, из которых и вытекал выбор того, а не иного способа изложения, определяются общим стремлением с моей стороны установить связь между формальной стороной и тем конкретным содержанием понятия числа, которое обусловлено его ролью в изучении тех или иных конкретных величин, тех или иных количественных соотношений действительности.
Изложение теории натурального числа, принятое в главах I и II, и последовательное проведение операторной точки зрения позволяют, по моему мнению, осветить возникающие в связи с указанной установкой методологические вопросы с большей ясностью, нежели это было бы возможно в пределах классических формальных теорий. Кроме того, я считал, что с точки зрения интересов читателя здесь следовало предпочесть проникнутое определенным мировоззрением изложение более, быть может, легкому и менее ответственному сухому перечислению математических фактов. В этих двух обстоятельствах я видел достаточное оправдание для включения указанных выше вопросов и указанных методов изложения в книгу, предназначенную для заполнения весьма существенного пробела в нашей учебной литературе.
Москва, июнь 1937 г.
И. Арнольд.
ВВЕДЕНИЕ.
Развитие математики, начиная с середины прошлого столетия, шло под знаком особого внимания к вопросам обоснования.
Мы будем предполагать в общих чертах известным читателю тот процесс, который характеризует в этом смысле развитие геометрической мысли и ее последний этап, отмеченный открытием Лобачевского и последующей тщательной работой нат логическим обоснованием геометрии и установлением системы непротиворечивых геометрических аксиом. Аналогичная работа шла параллельно и в отношении логического обоснования математического анализа, являющегося важнейшим орудием математического познания действительности.
И в том и в другом случае основной, исходной базой логических построений оказалось понятие числа. Логический анализ арифметических понятий стал, таким образом, неотъемлемой частью указанного процесса, вызванного к жизни насущнейшей потребностью разобраться в недостаточно ясной с логической стороны структуре математических дисциплин, чрезвычайно усложнившихся во время своего бурного роста в XVII и XVIII веках.
По пути анализа понятия числа удалось установить, что ряд обобщений этого понятия, вызывавших сомнения методологического характера с самого начала своего возникновения, допускает строгое логическое обоснование на основе понятия натурального, т. е. целого положительного числа.
Содержание этого утверждения распадается на две части,, существенно отличающиеся друг от друга.
Во-первых, Гамильтоном (Hamilton) были установлены общие принципиальные основы, на которых может быть построена теория отрицательных и дробных рациональных чисел, если систему натуральных чисел считать заданной. На этой основе впоследствии были построены формальные теории, известные под именем "теорий пар“, не оставляющие уже никаких пробелов в логическом переходе от понятия целого числа к дробным и отрицательным числам. На той же логической основе осуществляется и переход от понятия действительного числа к системе комплексных чисел, а также и дальнейшие обобщения (теория векторов в пространстве, теория кватернионов, гиперкомплекс-ные числа). В этой части задачи обоснования понятия числа основные пути логических построений, а также методологический анализ смыслового значения последовательных обобщений
понятия числа восходят к фундаментальному сочинению Гамильтона "Lectures on Quaternions", изданному в 1853 году.
Около того же времени (1857) Дедекинду (Dedekind) и, независимо от него, несколько позже Мере (Мёгау) и Кантору (Cantor) удалось построить на логической основе теорию действительных чисел. Отправным пунктом при этом служила система (положительных и отрицательных) рациональных чисел. В отличие от построений Гамильтона и примыкающих к нему теорий, носящих ярко выраженный алгебраический характер, мы встречаемся здесь с принципиально новым элементом построения-— анализом понятия непрерывности. Самая постановка вопроса и методы ее решения были здесь тесно связаны с соответствующими проблемами математического анализа.
Оставалось еще провести логический анализ и установить аксиомы, лежащие в основе понятия натурального числа.
Первый шаг в этом направлении был сделан Г е р м а н о м Грассманом (Grassmann). В изданном им совместно с братом Робертом в 1861 году учебнике арифметики содержатся определения основных операций, достаточные для дальнейших формальных построений, устанавливающих основные законы арифметических действий. В системе аксиом Грассмана понятие натурального числа отражено, однако, лишь в наиболее абстрактном аспекте порядкового числа, в котором система натуральных чисел рассматривается лишь с точки зрения взаимного расположения их в натуральной последовательности 1, 2, 3, 4,...
Дополняющий построение Грассмана анализ самого понятия числа как характеристики свойств множеств или собраний предметов основан на фундаментальных работах основателя теории множеств Кантора, который обратил внимание на понятие взаимно-однозначного соответствия и на связанное с этим общее понятие мощности множеств. Далее, Кантор последова-гельно провел логическое разделение понятий количественного и порядкового числа, рассматривая наравне с конечными также и бесконечные множества и вводя для характеристики этих последних количественные и порядковые трансфинитные числа.
Дальнейшие работы, связанные с именами Дедекинда, П е а н о (Реапо), Фреге (Frege) и Ресселя (Russel), могут быть, в известной мере, охарактеризованы как синтез построений Грассмана и Кантора, в котором основной задачей являлось выделение класса конечных множеств и соответственно системы конечных чисел, составляющих предмет изучения обыкновенной арифметики. При этом выяснилась фундаментальная роль в этом как раз отношении принципа полной индукции, лежащем в основе построений Грассмана. Этот принцип или эквивалентное ему предложение используется для выделения класса конечных множеств и входит, таким образом, как часть, во всякое определение натурального числа.
Несмотря на то, что построение теории натуральных чисел было доведено до высокой степени формальной законченности (и даже для исключения интуиции — записано с помощью особой системы логических обозначений, введенной Пеано и изве-10
стной под названием "пазиграфии"), вопрос об обосновании арифметики, в частности, вопрос о непротиворечивости аксиом, все же оставался открытым и после этих работ.
В настоящее время не подлежит сомнению то обстоятельство, что вопрос этот не может быть разрешен в рамках чисто формальных арифметических теорий.
С одной стороны, методологическая критика основных логических понятий (уже в XX веке), связанная с именами Брауэра (Brouwer) и Вейля (Weyl) и известная под названием "интуиционизма“, весьма остро поставила вопрос о непротиворечивости системы аксиом арифметики и формальной логики и о смысле математических суждений вообще. Можно считать общепризнанным, что то сравнительно непринужденное обращение с основными понятиями "множества", "соответствия", "все", "существует" и т. д., которое характеризует упомянутые выше работы Пеано, Фреге и Ресселя, во всяком случае нуждается в более глубоком обосновании и анализе, нежели тот, который возможен в рамках формальных логических построений.
В частности, попытки одного из крупнейших математиков современности, Гильберта (Hilbert), поставить вопрос (в несколько иной плоскости) все же на формальную почву и доказать этим путем основное положение о непротиворечивости систем аксиом логики и арифметики в их классической формулировке до сих пор не увенчались успехом.
Можно, вообще, думать, что лежащая в основе формальных построений точка зрения на математику как на процесс "писания некоторых знаков по определенным формальным правилам" характеризует лишь некоторые внешние свойства структуры отдельных отрезков математических построений. В эту узкую схему не укладывается все многообразие применения в рамках даже самой математики методов содержательного, неформализованного мышления.
Примечание. В отношении сравнительно недавно предложенного Г ент-цепом (Gentzen) *) решения проблемы непротиворечивости было бы преждевременным высказывать здесь какое-либо суждение.
В применении к непосредственно интересующему нас вопросу об обосновании арифметики из изложенного следует, что, с одной стороны, сравнительно законченные формальные построения Грассмана и Пеано отражают лишь одну сторону дела. Применение непосредственного процесса счета и других содержательных методов рассуждения уже в рамках самой арифметики может выйти за пределы первоначальной формальной схемы. С другой стороны, и более широкая задача общего логического обоснования понятия количественного числа и соответствующих построений, относящихся ко множествам, приводит, как было указано выше, к неразрешенным методологическим проблемам общего характера, также выходящим за пределы чисто формальной трактовки вопроса.
*) G. Gentzen, Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie, Mathema-tische Annalen, 112 (1936), стр. 493—565.
Резюмируя, можно сказать, что вопрос об обосновании понятия натурального числа в настоящее время еще далек от своего разрешения.
Имея это в виду, мы в последующем элементарном изложении вопроса о натуральном числе ограничиваемся, оставаясь в рамках классических концепций Кантора, Пеано и Грассмана, следующими элементарными задачами:
1) установить понятие количественного числа в связи с вопросом о том, какие отношения действительности находят свое отражение в этом понятии,
2) установить свойства класса конечных множеств и соответствующие свойства системы конечных количественных (нату ральных) чисел, пользуясь принципом полной индукции, рассматриваемым как определение класса конечных множеств,
3) выделить те свойства системы натуральных чисел, которые лежат в основе дальнейших формальных построений, составляющих содержание гроссмановской теории порядкового числа.
По этому плану и построены первые две главы настоящей книги.
Составляющее предмет изложения дальнейших глав обобщение понятия числа уже не содержит добавочных осложнений по сравнению с теми, которые были только что указаны в отношении понятия натурального числа. В этом смысле оправдывается известное изречение Кронекера (Kronecker) "Derliebe Gott schuf die ganze Zahl, alles iibrige ist Menschenwerk", которое и сам Кронекер вряд ли имел в виду понимать дословно.
Содержание
Предисловие.
Введение.
Глава I.
Количественные натуральные числа.
1. Счет.
2. Множества.
3. Равномощные множества.
4. Классы равномощных множеств и количественные числа.
5. Конкретный смысл числовых соотношений.
6. Конкретные заместители абстрактного понятия о числе.
7. Процесс счета и переход к абстрактной формулировке арифметических положений.
8.Основные операции над множествами и над количественными числами в теории Кантора.
9. Бесконечные множества и трансфинитные количественные числа.
10. Необходимость логической характеристики конечных множеств.
11. Логическая характеристика индивидуальных классов равномощных множеств.
12. Конечные множества.
13. Принцип полной индукции.
14. Принцип полной индукциии суждения об открытых совокупностях.
15. Свойства конечных множеств и системы конечных количественных чисел.
16. Натуральный ряд как бесконечная совокупность.
Глава II.
Порядковое натуральное число.
17. Аксиоматика натурального ряда. Система аксиом Пеано.
18. Различные интерпретации системы аксиом Пеано.
19. Метод индуктивных определений Грассмана.
20. Теория арифметических действий по Грассману.
21. Сравнение натуральных чисел в теории Грассмана.
22. Введение нуля.
23. Отрицательные числа и теория двустороннего натурального ряда.
24. Порядковые трансфинитные числа.
Глава III.
Измерение скалярных величин и операторная теория рациональных чисел.
25. Соотношения скалярного расположения. Скалярные величины.
26. Числовая характеристика значений скалярной величины.
27. Числовая характеристика значений измеримых величин.
28. Аддитивные величины. Задача измерения.
29. Операторная теория рациональных чисел.
30. Аксиома Архимеда.
31. Соизмеримые и несоизмеримые переходы.
32. Действительные числа.
33. Построение шкалы числовых отметок на основе процесса измерения.
34. Классификация скалярных величин на основе критерия выполнимости операций.
Глава IV.
Теории пар.
35. Переход к теории пар.
36. Отрицательные числа как пары положительных чисел.
37. Пары как числовые системы с двумя единицами.
38. Включение положительных чисел в систему пар. Принцип перманентности.
39. Общие свойства системы относительных чисел. Группа, кольцо, поле.
40. Дробные числа как пары целых чисел.
41. Система рациональных чисел как числовое поле.
Глава V.
Операторная теория действий третьей ступени.
42. Постановка вопроса.
43. Операторная теория возвышения в степень с дробным показателем.
44. Мультипликативное (логарифмическое) измерение.
45. Операции высших ступеней.
Глава VI.
Действительные числа.
46. Постановка вопроса.
47. Рациональная числовая прямая.
48. Определение непрерывности по Дедекинду.
49. Отсутствие непрерывности в системе рациональных чисел.
50. Введение иррациональных чисел. Непрерывность системы действительных чисел.
51. Теорема об ограниченных монотонных последовательностях. Точные границы ограниченного множества.
52. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
53. Метод конечного покрытия и метод деления промежутка.
54. Теорема Вейерштрасса о предельной точке ограниченного множества.
55. Теорема о равномерной непрерывности.
56. Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своих точных границ.
57. Замечания о теоремах существования.
58. Всюду плотные множества и их сечения.
59. Основная лемма.
60. Двойные последовательности и бесконечные десятичные дроби.
61. Основные операции в области действительных чисел.
Глава VII.
Степенная, показательная и логарифмическая функции.
62. Операция извлечения корня. Степенная функция.
63. Показательная функция.
64. Логарифмическая функция.
65. Общие теоремы о взаимнообратных функциях.
66. Замечания о многозначных операциях.
67. Функциональные уравнения, определяющие показательную, степенную и логарифмическую функции.
68. Теорема Абеля об ассоциативных операциях.
69. Натуральная показательная функция и натуральный логарифм.
Глава VIII.
Определение действительных чисел с помощью их рациональных приближений.
70. Постановка вопроса. Фундаментальное неравенство.
71. Теория e-приближений.
72. Операции над действительными числами, определенными системами e-приближений.
Глава IX.
Теория сходящихся последовательностей Кантора.
73. Критерий сходимости Кошии и его использование Кантором.
74. Связь с теорией e-приближений.
75. Критерий сходимости Коши с точки зрения теории Дедекинда.
76. Теория действительных чисел по Кантору.
77. Сечения в области рациональных чисел с точки зрения теории Кантора.
78. Непрерывность системы действительных чисел в формулировке Кантора.
79. Операции третьей ступени.
80. Мощность системы действительных чисел.
Глава X.
Комплексные числа.
81. Введение.
82. Комплексные числа как операторы.
83. Основные действия над комплексными числами.
84. Возвышение в степень и извлечение корня.
85. Координатная форма комплексного числа.
86. Действия над комплекснымичислами в координатной форме.
87. Теория пределов в комплексной области.
88. Показательная и логарифмическая функции.
89. Переход к теории пар.
90. Комплексные числа как пары действительных чисел.
Глава XI.
Геометрическая теория кватернионов.
91. Векторы-переходы в трехмерном пространстве.
92. Кватернионы как операторы.
93. Сложение кватернионов. Векторы-операторы.
94. Умножение кватернионов. Версоры.
95. Сферическая композиция.
96. Перемножение векторов-операторов.
97. Формулы умножения комплексных единиц i, j и k.
98. Основные законы действий в алгебре кватернионов.
99. Вращения вокруг осей в трехмерном пространстве.
Глава XII.
Числовые поля гиперкомплексных чисел.
100. Гиперкомплексные числа.
101. Теорема Фробениуса.
Глава XIII.
Делимость чисел. Разложение на простые множители.
102. Предмет теории чисел.
103. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель двух чисел.
104. Обобщения. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное нескольких чисел.
105. Линейные зависимости между числами, связанные с величинами наименьшего кратного и наибольшего делителя нескольких чисел.
106. Алгорифм Евклида.
107. Непрерывные дроби и их простейшие приложения. Решение неопределенных уравнений первой степени.
108. Разложение на первоначальные множители.
109. О простых числах.
110. Следствия теоремы о разложении на простые множители. Числовые функции [x] и f(х).
Глава XIV.
Теория сравнений.
111. Понятие о сравнении. Классы равноостаточных чисел по данному модулю.
112. Основные свойства сравнений. Операции сложения и умножения по данному модулю. Признаки делимости чисел.
113. Операция деления. Делители нуля. Приведенная система вычетов.
114. Решение сравнений первой степени.
115. Дроби по простому модулю.
116. Теоремы Ферма и Эйлера. Приложения к решению сравнений первой степени.
117. Теорема Вильсона.
118. О числе решений сравнений высших степеней.
119. Степенные вычеты. Первообразные корни простого модуля.
120. Теория индексов и ее приложения.
121. Приложения теории степенных вычетов к вопросам элементарной арифметики.
Предметный указатель.
Список литературы. |
