|
Фpaгмeнт (Беседа первая):
Ох, уж эти новые программы!
Лето выдалось жаркое. Лишь одна неделя была дождливой. И случилось так, что именно в это время на туристском пароходе оказались работники просвещения. Старый педагог-математик Петр Иванович, преподаватель литературы Григорий Андреевич и учительница биологии Анна Александровна с мужем-инженером скучали в своей каюте. Юрий Алексеевич (так звали инженера) подшучивал над своими попутчиками, говоря, что если собираются педагоги, то сразу начинается педсовет, — нет бы отдохнуть в каникулы от работы.
И правда, на какую бы тему они ни говорили, разговор в конце концов переходил на школу. Вот и в этот совсем уже непогожий день мужчины поначалу говорили о футболе.
— Нет, вы как хотите, — перебила мужской разговор Анна Александровна, — а у меня этот футбол в печенках сидит. Мой Леня все время проводит у телевизора и в результате — чуть не схватил тройку по математике.
— Вам хорошо, — возразил Григорий Андреевич. — У вас муж инженер. Он может помочь сыну, — конечно, когда нет футбола. А мне каково! Недавно Сеня просит помочь решить задачу. Смотрю я — и ничего не понимаю. Какие-то множества, высказывания. А ведь это — IV класс! Наворочали черт знает что! Какие-то пустые множества. Это из высшей математики, что ли?
— Ну, нет, — возразил инженер, — нам высшую математику сам профессор Иванов читал. Никаких множеств там не было, ни пустых, ни полных.
— Да-с, увлеклись наши ученые, vвлеклись, — в раздумье промолвил Петр Иванович. — Не нужны все эти выкрутасы. Я как-никак сорок с лишним лет в школе математику преподавал. Все-таки главное — научить детей навыкам счета и решению задач. Да и задачи теперь не те пошли... Помню, мне еще в гимназии на экзамене попалась задачка: купец продал столько фунтов чая, сколько членов имеет геометрическая прогрессия, коей третий член равен наибольшему члену бинома Ньютона, причем в показателе бинома стоит цена одного фунта чая, а...
— Извините, что перебиваю вас, — возразил инженер, — но такие «шитые» задачи, по-моему, никому не нужны.
— Вот и ошибаетесь, батенька. Очень они способствуют развитию. А арифметические задачи? Знаете. до революции задачник Верещагина был. Иной раз семь потов сойдет, пока вопросы к задаче поставишь.
— Ну, хитрых арифметических задач и сейчас хватает, — возразил Юрий Алексеевич. — Помню, Ленька был в V классе, придет ко мне с задачкой, так мне что приходилось делать? Сначала уравнение составлю, решу его. а потом думаю, как же теперь пo вопросам решить. Мало того, учительница у них требовала, чтоб знали, какого типа задача. Так что, может, правильно, что теперь новая программа и новые учебники будут. Говорят, в них все задачи уравнениями решать надо.
— Ты уж молчи, — напустилась на инженера жена. — Знаем мы про эти новые учебники. Читали! В «Правде» статья была. Называлась, кажется, «Математика для мамы». И уж так там досталось новым учебникам — лучше бы их и не писали. С I класса надумали вводить и иксы, и геометрию, и чуть ли не высшую математику. Безобразие! Родители не могут решать задачи, которые первоклассникам задают в школе!
— Ну, положим, высшей математики в первых классах не будет, — сказал Петр Иванович, — это вы уж чересчур. Я хоть сейчас и на пенсии, но за школьными делами слежу. Так что насчет высшей математики в начальных классах — это вы зря. Но вот в старших классах, говорят, высшую математику введут. И, по-моему, лишнее все это. Изучить ее хорошо в школе все равно не смогут, только по верхам пройдут. Гораздо полезнее школьников элементарной математике научить. Вот в прошлом году принимал я вступительные экзамены в одном институте. Так там на письменном дали систему показательных уравнений. Верите ли, всего несколько человек и решили-то. И то небось с частными репетиторами занимались.
— А наш Леня без репетитора занимался. Только перед экзаменом Николай Николаевич его проверил, — похвалилась Анна Александровна.
— Это кто, наш сосед по столику? — спросил Григорий Андреевич.
— Да. Он наш давний знакомый. Долгое время работал со мной в одной школе — математику вел. А потом защитил диссертацию, сейчас работает в Академии педагогических наук.
— Слушайте! -воскликнул Григорий Андреевич. — А не позвать ли его к нам? Раз математик, да еще в академии, пусть и отвечает за все эти фокусы в новых программах!
— Это идея! — поддержала его Анна Александровна. — Как это я сразу не додумалась? Юра, сходи к Николаю Николаевичу, попроси его к нам на огонек. Надеюсь, вы не против? -обратилась она к Петру Ивановичу.
— Что вы, мне это очень интересно.
— Тем более что все равно дождь, — добавил Юрий Алексеевич, выходя из каюты. Через некоторое время он вернулся вместе с Николаем Николаевичем.
— Простите нас, ради бога, Николай Николаевич! — обратилась к нему Анна Александровна. — У нас тут дискуссия по поводу новых программ по математике. Объясните, пожалуйста, для чего они понадобились.
— Охотно. Вы слышали об открытии Уотсона и Крика и о дальнейших успехах молекулярной биологии?
— Простите, мы хотим про ма-те-ма-ти-ку, — нараспев произнесла Анна Александровна.-А биологию я сама в школе преподаю, дайте хоть немного отдохнуть от нее.
— Не спешите, не спешите. Так вот, вы, конечно, слышали о расшифровке структуры молекулы ДНК, о тонкой структуре гена, о механизме биосинтеза белка и их практических применениях — хотя бы в селекции и практической генетике...
— Но, Николай Николаевич, — поддержал супругу инженер, — конечно, мы знаем, что физика и математика сыграли в этих открытиях далеко не последнюю роль, однако...
— Я говорю совсем не об этом. Что бы вы сказали, если бы в школьных учебниках биологии эти научные факты отсутствовали?
— Я бы сказала, что эти учебники и программа курса биологии отстали от жизни.
— Благодарю вас. А вы, дорогой Юрий Алексеевич, что бы вы сказали, если бы в школьных учебниках физики ни слова не говорилось об открытии Басова и Прохорова — я имею в виду лазеры — и о тех практических применениях этого открытия, которые имеются уже сегодня?
— Лазеры — не моя специальность, я инженер-механик. Но я вашу мысль понимаю. Такой курс физики не отвечал бы требованиям современности, и программу пришлось бы изменить и дополнить.
— Ну вот, Анна Александровна, вы с супругом помогли мне ответить на поставленный вопрос.
— Нет, нет, я с вами решительно не согласен, — заявил доселе молчавший Григорий Андреевич. — Я хоть и литератор, но думаю, что не ошибусь, если скажу, что математика — это не физика и не биология. Физика и биология, как вы сами признали, резко шагнули вперед за последнее время. А что в математике? Те же квадратные уравнения, та же теорема Пифагора! Зачем же здесь-то менять программу?
— Вот именно, — поддержала его Анна Александровна. — Математика столетиями не меняется. Что ж, теперь квадратные уравнения по-другому решают или теорему Пифагора иначе формулируют? Ничего подобного. Все осталось таким же, как и сто лет назад.
— О, вы несколько поспешили в своих выводах, — улыбнулся Николай Николаевич. — В том-то и дело, что школьный курс математики безнадежно отстал от науки сегодняшнего дня. Да какое там сегодняшнего! Мы преподаем детям математику начала XVII века! Именно так, не удивляйтесь. Возьмите арифметику: все, чему мы учим в школе, было, по существу, известно еще в глубокой древности. Такие же задачи, как в наших задачниках, можно найти в вавилонских клинописных табличках и в египетских папирусах. А геометрия? Наверное, у всех на зубах навязло поучение о том, что Евклид создал свои «Начала» более двух тысяч лет назад и что в его книгах содержалась буквально вся геометрия, изучаемая сегодня в школе. И самым новейшим, самым. если можно сказать, современным в действовавшем до сих пор школьном курсе математики была алгебра: отрицательные числа, буквенные обозначения, уравнения, координаты, понятие функции. Но это и есть начало XVII века. В работах Франсуа Виета и Рене Декарта все это уже было.
Может быть, я чуть-чуть преувеличиваю: были в школьном курсе математики отдельные кусочки, относящиеся к более позднему времени. Например, понятие о показательной и тригонометрических функциях окончательно оформилось в XVIII веке в трудах Леонарда Эйлера. Но это не меняет дела: та математика, которую до сих пор изучали в школе, по своему духу относится к XVII столетию.
— Браво, браво! — захлопала в ладоши Анна Александровна. — Мне кажется, вы великолепно изложили аргументы против самого себя. Вы нас убедили, что школьная математика окончательно сформировалась еще в XVII, ну пусть даже в XVIII столетии. С тех пор ее научились хорошо преподавать, написали хорошие учебники. Все мы изучали математику по учебникам Киселева. Они просуществовали несколько десятилетий, еще моя мама по ним училась. Зачем же теперь все ломать? Совершенно ясно: не нужно было менять программу по математике!
Николай Николаевич невозмутимо продолжал:
— Вы делаете явно неправильные выводы из приведенных аргументов. Школьная математика действительно за эти три века почти не изменилась, но наука математика претерпела за это время глубочайшие изменения. Ее потрясли великие открытия-достаточно назвать имена Ньютона, Эйлера, Гаусса, Галуа, Лобачевского, Римана и многих других, в том числе советских математиков, из которых я назову, например, Лузина, Виноградова, Понтрягина, Колмогорова. Современная математика такова, что без нее не обходятся даже такие науки, которые не так давно противопоставлялись математике.
В медицине все больше применяются методы диагностики с применением электронных вычислительных машин. И надо сказать, что эти машины иногда ставят диагноз лучше врачей. Был недавно в одной из клиник такой случай. Туда привезли больного лет сорока с инсультом. Инсульт был по внешним признакам нетяжелый, и врачи решили лечить его консервативным методом, дав больному полный покой. Но на всякий случай все результаты анализов сообщили диагностической машине. Она дала ответ: «При консервативном лечении — смерть, при трепанации черепа — жизнь». Врачи только посмеялись над странным предсказанием. Но к утру было уже не до смеха — состояние больного резко ухудшилось, наступили нарушения дыхания, и пришлось подключить аппарат «искусственные легкие». И тогда решили последовать совету машины. Сделали трепанацию черепа и отсосали кровь с пораженного участка. Что бы вы думали? Ожил больной! Теперь это, вероятно, самый горячий сторонник применения математики в медицине.
— Я слышал, — прервал рассказ Григорий Андреевич, — что машины применяют и в гуманитарных дисциплинах. Но как именно? Вы не могли бы рассказать?
— Ну, только очень кратко. Среди литературоведов шли споры относительно Гомера. Мнения были разные, в том числе, что не один человек, а многие писали «Илиаду». Предложили это произведение электронной вычислительной машине для стилистического анализа. Машина дала ответ: «Все песни «Илиады» принадлежат одному автору».
С помощью электронных вычислительных машин группа лингвистов и математиков проанализировала особенности пушкинского и лермонтовекого стиха в poмане «Евгений Онегин» и поэме «Тамбовская казначейша». Общеизвестно и то, что машины используются для перевода с одного языка на другой. Машины применяются также в археологии для классификации находок и их научной обработки. Вторжение математики в область гуманитарных наук так прочно, что математику стали изучать на филологических факультетах.
— Да, да, да, — подхватил Григорий Андреевич, — дочь моих знакомых учится на филфаке МГУ, занимается структурной лингвистикой. У нее большие трудности с математикой.
— Ну вот, видите! А вот еще примеры. Мне рассказывал знакомый следователь об изысканиях по поводу привлечения электронных вычислительных машин к идентификации преступников. Криминалисты и раньше, исследуя, например, взломанные сейфы, говорили о «почерке» преступника; теперь с помощью электронных вычислительных машин этому термину удается придать точный смысл. Я уже не говорю о внедрении математики в производство. На ряде предприятий есть уже свои вычислительные центры. Многие цехи перешли на автоматическое управление с использованием вычислительных машин. А планирование! Из каких именно шахт на какие именно заводы возить уголь? От. правильного решения этой задачи зависит многое. А как ее решить? Понятно, что тут возможны тысячи разных вариантов. Только привлечение вычислительных машин позволило решить эту проблему планирования в полном объеме. Машины перебирают все заслуживающие внимания варианты и предлагают наилучший. Кстати, способы отбора заслуживающих внимания вариантов рассматриваются в новой математической науке — линейном программировании, начала которой были заложены в 40-х годах советским математиком Канторовичем. Это только один пример оптимального планирования с использованием математики.
Создание электронных вычислительных машин ознаменовало начало величайшей научно-технической революции. Если паровая машина увеличила в тысячи раз физические силы человека, то вычислительные машины в тысячи раз умножили мыслительные возможности людей. Сейчас мы находимся в самом начале этого пути. Предсказать, что смогут сделать вычислительные машины в 2000 году, не рискнет и самый смелый фантаст. А ведь ребята, которые сейчас учатся в школе, будут работать не только в 2000, но и в 2020.
— Но все, что вы рассказываете, — заметил Юрий Алексеевич, — относится к вычислительным машинам. Вероятно, можно в особых вузах или техникумах готовить специалистов по работе на них. При чем тут средняя школа?
— Дело не только в появлении новой вычислительной техники. Жизнь непрерывно ставит перед математикой различные проблемы, и это привело к созданию новых отраслей математики. Математическое программирование, теория игр, исследование операций — еще 40 лет назад о них никто ничего не знал, а сейчас число публикаций по этим вопросам составляет почти половину всех вышедших по математике работ. Происходит бурный процесс математизации наук: возникли математическая экономика, математическая биология, математическая теория управления, математическая лингвистика и т. л. Произошло смещение центра тяжести интересов и в самой математике. Так что представление о математике как о застывшей науке глубоко ошибочно. Математика находит применение во все новых аспектах человеческой деятельности. И поэтому знания, необходимые для такой деятельности, должны иметь всеобщее распространение. Так что создание специальной сети вузов и техникумов — это не выход. Школьники не должны оставаться в неведении по поводу нового лица и новых достижений математики. Ведь, кажется, — улыбнулся Николай Николаевич, — по отношению к курсу биологии и физики подобное положение вещей вызывало у вас решительное осуждение?
— Ну и что же, — не сдавалась Анна Александровна. — Введите в разных классах по нескольку часов, чтобы просто, ярко и доходчиво рассказать, разумеется, в самых общих чертах — о современных достижениях вашей науки. Основа-то в школьном курсе математики есть.
— Действительно, — поддержал жену Юрий Алексеевич, — ведь, скажем, о лазерах в курсе физики говорится не столь уж подробно. Никому же не придет в голову давать школьникам полную теорию вопроса, основанную на идеях квантовой физики. Речь идет лишь об общем описании явления, так сказать, на пальцах. Ну и, разумеется, о практических применениях.
— Ну, вот видите, менять программу было незачем. Просто чуть-чуть дополнить и всё. Перегнули палку-ну, согласитесь же!
— Постойте, постойте! Для начала отметим, что вы начинаете сдавать позиции. Значит, «немножко» изменить, т. е. все же изменить, программу было необходимо.
— Рано празднуете победу, — сказал долго молчавший Петр Иванович. — Отдельные изменения в программе по математике происходили постоянно, сколько я себя помню. Это еще не означает того переворота, который устраиваете вы. Если бы речь шла о добавлении в разных классах по нескольку часов, как предлагает Анна Александровна, это не вызвало бы протеста ни у кого.
— А как, — повернулся к нему Николай Николаевич, — как вы предлагаете рассказать в этих небольших добавлениях о богатстве современной математики, о новых методах, новых подходах, о новых идеях и теориях?
— Так это лучше знать вам — математикам, — сказал Григорий Андреевич. — Могут же физики коротко рассказать о лазерах. Вот писатель Тендряков предлагает вообще все школьные предметы излагать обзорно — читали в журнале «Москва»?
— К сожалению, — отвечал Николай Николаевич, — этого сделать нельзя. Математика изучает (в части, касающейся алгебры и математического анализа) количественные отношения в реальных явлениях, она дает методы количественного описания явлений — методы, применяемые затем в физике, химии, биологии и других науках. И если о конкретном явлении можно кратко рассказать в порядке общего знакомства, то о методах математического расчета кратенько рассказывать бесполезно. Методы ведь применять надо, а для этого нужно овладевать ими. Согласитесь, было бы мало пользы, если вместо того, чтобы научить школьников решать квадратные уравнения, мы прочли бы им краткую лекцию о роли уравнений в математике и их применениях.
— Ну, — сказал Петр Иванович, — ваш пример неубедителен. Здесь ведь теоретических трудностей немного, а просто нужно набить руку, решая большое число задач.
— Хорошо, приведу другой пример. Из вашей области, Анна Александровна.
— Очень интересно.
— Вам случалось вести расчеты, связанные с частотой наследования от родителей одного или нескольких признаков? Скажем, как в классических опытах Менделя с горохом, речь может идти о наследовании желтой или зеленой окраски горошин, а также о наследовании гладкой или морщинистой их поверхности. Нередко интересно проследить, какова будет судьба трех и более элементарных признаков, как они будут комбинироваться у потомков.
— Видите ли, самой мне не приходилось проводить такие расчеты. Но я много об этом читала, а об опытах Менделя рассказывала ребятам на уроках. Мне кажется, здесь математика какая-то не очень убедительная. В простых случаях все ясно и без математики. А вот в случае сложной комбинации наследуемых признаков все как-то расплывчато. Иногда частоты появления признаков надо складывать, иногда умножать, а иной раз из одной частоты вычитают другую. Похоже, что здесь не заранее вычисляют частоту наследования, а просто подгоняют под результат, наблюдаемый в опыте.
— Спасибо, — сказал Николай Николаевич, — вы мне очень помогли.
— Не понимаю.
— Сейчас объясню. Дело в том, что в математике есть понятие вероятности, которое как раз и означает ожидаемую частоту наступления события. Выведены совершенно четкие правила, по которым вычисляется частота одновременного наступления различных событий (скажем, растение наследует и гладкую форму и желтый цвет горошины), или частота наступления хотя бы одного из этих двух событий, или наступления только первого из этих двух событий и т. д. Изучением этих и ряда более сложных закономерностей занимается специальная математическая дисциплина — теория вероятностей. Ее зарождение связано с именами Паскаля и Лапласа, ее существенное развитие на современном этапе — с именами академика Колмогорова и других советских математиков. Так вот, если бы в школе изучали теорию вероятностей — хотя бы в небольшом объеме, — то у вас не было бы сомнений при подсчетах частоты наследования той или иной комбинации признаков. Это чистая теория вероятностей, и, конечно, там ничего не подгоняется под ответ, все выводится строго по правилам. Выходит, не только математикам нужна теория вероятностей, но и биологам.
— Да, здесь я, пожалуй, вас поддержу, — сказал Юрий Алексеевич. — Надо в школе поговорить о вероятностях, да и задачки порешать. Комбинаторика тоже нужна. И, пожалуй, инженерам не меньше, чем селекционерам.
— А скажите, Юрий Алексеевич, — оживился Николай Николаевич, — как вы полагаете, можно ли в школе рассказывать о вероятностях обзорно? Дескать, придумали математики вот такую теорию, вот чем она занимается и вот как применяется. А?
— Конечно, нельзя, — ответил за инженера — Петр Иванович. — От такого знакомства толку не будет. Надо научить решать задачи, да с пониманием дела решать. А иначе и времени не стоит тратить.
— Ну, что вы скажете, Анна Александровна?
— Да, пожалуй, по поводу вероятностей я могла бы с вами согласиться. Это, видимо, полезно.
— Но то, что относится к теории вероятностей, относится и к целому ряду других вопросов. Совершенно необходимо более глубоко изучать понятие функции. Ведь именно идея функциональной зависимости величин и лежит в основе большинства приложений математики. И врач, рассматривающий график изменения температуры больного, и физик, изучающий таблицу с результатами опытов, и экономист, изучающий взаимную связь различных показателей работы предприятия, и, уж конечно, всякий специалист, переводящий свою задачу на язык электронной машины, — все они имеют дело с функциональной зависимостью. Недаром умение чертить графики функций стало обязательным в школе. Но глубоко усвоить понятие функции можно, лишь познакомившись с тем, как изучает их современная математика. А для этого надо знать, хотя бы в виде предварительного знакомства, дифференциальное и интегральное исчисления.
У многих людей эти области математики вызывают мистический ужас. Между тем эти области не слишком сложны и овладеть их основными идеями куда проще, чем научиться решать специально подобранные замысловатые тригонометрические уравнения. При правильном отборе материала вполне можно сделать эти науки доступными для школьников.
И наконец, теория множеств. Эта область математики возникла не очень давно — всего сто лет назад. Сначала она казалась чем-то экзотическим, не имеющим отношения к обычной математике. Но постепенно стало ясно, что, подобно мольеровскому герою, всю жизнь говорившему прозой и не знавшему об этом, математика и ее приложения все время имели дело с множествами и операциями над ними. Только слова применялись другие, в каждой области свои. И это затрудняло работу, так как приходилось наряду с естественными трудностями сталкиваться с необходимостью перевода с одного языка на другой. Вы, конечно, слышали, что сравнительно недавно — в прошлом веке — обнаружены племена, у которых было несколько сортов чисел: одни для счета людей, другие для счета животных, третьи применялись при подсчете домашних предметов или оружия... Легко представить себе, как это неудобно. Скажем, у вас есть несколько луков (и, конечно, стрелы к ним) и к вам подходит группа охотников. Хватит ли всем луков? Надо сосчитать. Но ведь охотников вы считаете на одном числовом «языке», а луки считаете совсем другими числами. Так что мало посчитать, надо еще перевести с одного числового языка на другой. Неудобно, правда? Примерно то же происходило (да еще и сейчас происходит) с понятиями теории множеств. Чтобы всем было понятно, о чем идет речь, я приведу бытовые примеры. Мы говорим не множество волков, а стая волков, не множество инструментов, а набор инструментов, не множество людей, а коллектив и т. д.
Пока речь идет об обычном употреблении этих слов, все так и остается, но если мы хотим какие-нибудь множества изучать с помощью математики, то весьма полезно применять к ним общие для всех множеств законы. А такие есть, и ими занимается теория множеств. Курс математики в школе до сих пор выглядел весьма разрозненным, правда ведь, Петр Иванович? Теория множеств дает возможность придать этому курсу единство, пронизать его сквозными линиями в большей степени, чем это было раньше.
— А время-то, время откуда на все это взять? — спросил Петр Иванович. — Опять интенсификация урока и увеличение домашних заданий?
— Опять за счет отдыха детей? За счет прогулок, свежего воздуха?
— И, конечно, за счет чтения? — подхватили Анна Александровна и Григорий Андреевич.
— А учитель и так задыхается, — добавил Петр Иванович. — Почти что каждый день новый материал.
— Уфф, сколько ужасов вы тут наговорили, — покачал головой Николай Николаевич.-А между тем ничего такого не будет: новая программа вовсе не должна приводить к увеличению загруженности учащихся. Уроки нужно будет строить, конечно, не совсем так, как раньше.
— Это, батенька, хорошие слова, и ничего больше. Дети все те же, и все те же 45 минут на уроке. В чем же разница? — недовольно произнес Петр Иванович.
— Разница в еще большем упоре на сознательность обучения. Если до сих пор мы часто говорили себе: «Пусть ученик сначала выучит правило, а потом я ему объясню, что оно значит», то теперь этот прием становится недопустимым. Вообще, делается меньшая ставка на выучивание математического материала и большая — на его постепенную отработку. Это, конечно, повышает требования к построению урока, о чем я и сказал. А новый материал — он ведь пойдет за счет ликвидации излишеств старой программы.
В этом вы правы. Мы как раз перед вашим приходом говорили о диких задачах по арифметике и о вычурных системах показательных уравнений.
— Вот, вот. А чего стоит целая наука о том, как можно и как нельзя записывать вычисление площади прямоугольника (скажем, со сторонами 2 метра и 3 метра):
2м х 3м = 6 кв. м,
2м во 2 ст. х 3 = 6м во 2 ст.—
или еще как-нибудь, — добавил Николай Николаевич. — Да и разве только это? Очень много частностей, условностей загромождали курс математики. Новая программа делает его значительно более стройным, обозримым, более современным. Ученики получат в руки могучие методы решения задач; те задачи, которые раньше решались искусственными путями, теперь будут решаться совершенно естественно.
— Ничего, — подмигнул Петр Иванович, — вместо них придумают другие заковыристые задачи.
Все засмеялись.
— И вот еще что я хотел сказать. Обыкновенно беспокоятся о математическом развитии тех детей, которые после школы выбирают деятельность, связанную с точными науками. Мне же кажется ничуть не менее важным дать хорошие математические знания тем, кто не пойдет в такие вузы, не будет работать на заводах точной механики или в планово-экономических центрах.
В наше время каждый молодой человек должен знать интегралы в не меньшей степени, чем стихи Пушкина. Прошло то время, когда в понятие общей культуры входили только знания по гуманитарным предметам. Школа обязана дать основные знания и из математики.
— Я вот сейчас вспоминаю о своем разговоре с одной учительницей, — задумчиво произнес Петр Иванович. — Было это лет пять назад. С большим сожалением говорила она о том, что почти весь IV класс уходит на повторение материала первых трех классов. Вот я и подумал, что, может, вы правы: найдется необходимое время на все эти новшества.
— Да разве только в IV классе? — воскликнул Николай Николаевич. — Повторение вообще занимало непростительно много времени. Это было расплатой за плохое построение курса.
— Ну, вообще не повторять все-таки нельзя, — сказала Анна Александровна.
— Разумеется. Но повторение и новый материал не должны быть оторваны друг от друга. И тогда на повторении мы сэкономим массу времени. А дети не будут относиться к повторению как к жвачке.
— Скажите, пожалуйста, — спросил Юрий Алексеевич, — почему вы так уверены, что новый материал, включенный теперь в программы, окажется доступным для детей? Это как-нибудь проверялось?
— Да, проверялось. Я уже не говорю о том, что введению новой программы предшествует ее двухгодичная апробация.
— Как двухгодичная? — не понял Юрий Алексеевич.
— Вот как. Например, программы для IV класса введены в 1970/71 учебном году. В 1968/69 учебном году они проверялись в нескольких школах, а в 1969/70 учебном году — уже в нескольких районах страны. Такая проверка позволяет улучшить и сами программы, и учебники, и методику преподавания. То же было с новыми учебниками для первых трех классов, да и со всеми вновь вводимыми учебниками. Но это еще не все. Новые программы для старших классов прошли основательную проверку в математических школах. Там были и дифференциалы, и интегралы, и многое другое. Короче говоря, нет ни одного вопроса в новой программе, который бы не изучался в математических школах.
— Э, куда хватили, батенька, — проворчал Петр Иванович, — математические школы. Там дети-то какие.
Старого учителя поддержали все. Но Николай Николаевич не сдавался и на этот раз:
— Математические школы тоже разные бывают. Есть, конечно, широкоизвестные школы. В них такой большой наплыв, что они могут себе позволить отбирать математически одаренных детей. Но во многих-и очень многих — математических школах учатся обычные дети. Да и потом дело вовсе не в этом. Ведь никто и не собирается во всех школах преподавать математику так, как в математических. Но это все же был опыт, показывающий, как дети усваивают новые идеи, что для них оказывается более трудным, в какой последовательности надо излагать новый материал и т. д.
— Николай Николаевич, мы вас замучили. Но еще один вопрос, — сказала Анна Александровна. — Раньше родители могли оказывать детям необходимую помощь в учебе. А как будет теперь? Ведь мы по новой программе, понятно, никогда не учились. Как же дети
будут учиться, если им не к кому обратиться дома за помощью?
— Любезная Анна Александровна, а знаете ли вы, например, что такое деление на части и что такое деление по содержанию? — спросил Николай Николаевич.
— Понятия не имею, — удивилась она.
— А в каком классе дочь ваша учится? Вот-вот. А когда она начинала изучать деление, вас, несомненно, вызывали на родительское собрание, и учительница объясняла, что такое деление на части, что такое деление по содержанию и как отвечать на недоумение вашей дочери по этому поводу.
— Не помню. Но вообще-то, вызывали и по разным вопросам инструктировали.
— Вот видите. Младшему школьнику обязательно нужна родительская помощь, в том числе в частных вопросах, определяемых методикой преподавания. И никогда родители не смогли бы ее оказывать, если бы не такие инструктажи. Так что ваши сетования на трудность новой программы для родителей объясняются только слабой связью со школой. Где есть такая связь, там родители получают все необходимые разъяснения и о высказываниях, и о множествах, и обо всем прочем. Кстати, сейчас выходят очень обстоятельные книги для учителей. Их тоже должны читать родители.
— Что книжка, — вздохнул Григорий Андреевич.-Книжке вопроса не задашь, а задашь, так она не ответит.
— Николай Николаевич, — сказал инженер, — ехать нам еще долго, погода плохая. Может быть, вы расскажете нам о новой программе подробнее? Тем более что у Григория Андреевича сын в V класс переходит, у нас младшая дочка вот-вот окончит детсад и тоже в школу пойдет.
— Ну, что же, — с готовностью ответил Николай Николаевич, — завтра и начнем. Поскольку в нашем распоряжении четыре дня... Гм, какие же вопросы мы сможем обсудить? Да, пожалуй, вот так будет лучше всего: мы проведем четыре беседы:
1. Высказывания.
2. Множества.
3. Новое в школьном курсе алгебры.
4. Новое в школьном курсе геометрии.
— Не понимаю, — удивилась Анна Александровна, — куда девалась арифметика? Или в ней все осталось по-прежнему?
— Дело в том, что теперь такого отдельного предмета — арифметики — в школе нет. В младших классах — с 1 по 3 — идет предмет «Математика». В нем изучаются начала арифметики, алгебры и геометрии. В IV классе фактически выделяются два предмета: один — «Арифметика и начала алгебры», второй — «Геометрия». С 6 класса математика делится на две дисциплины: геометрию, которая идет до окончания школы, и алгебру, которую в IX классе сменяет предмет «Алгебра и начала анализа».
Об арифметике как таковой мне вам рассказывать особенно нечего: тут, по сравнению со старой программой, мало что изменилось. Та же таблица умножения, те же задачи. Больше того, материал существенно упрощен, так как более трудные задачи ученики решают с иксом.
— Ну, с иксом-то мы как-нибудь решим, — заверил Григорий Андреевич. — Я хоть и литератор, а в своем классе всегда приходится заниматься всем понемногу. На уровне VI класса тяну.
— Простите, простите, — сказал инженер. — А где же в программе наших бесед анализ? Я очень надеялся услышать от вас, как это вы ухитритесь изложить его школьникам. По-моему, это совершенно недопустимо — два года математического анализа — с ума сойти!
— Да, но не думайте, что все эти два года дети будут учить только дифференциалы и интегралы. За это время будут изложены в том же курсе такие вопросы, как показательная и логарифмическая функции, вся тригонометрия, комбинаторика. Однако изучаться они будут с более современной точки зрения именно благодаря использованию понятий математического анализа. В нашем плане этого, однако, нет. Видите ли, времени у нас в обрез: четыре дня — и мы в Москве. А длительные беседы, конечно, недопустимы — мы все же на отдыхе! К тому же мы в неравноправном положении. — В голосе Николая Николаевича зазвучали шутливые нотки. — У меня работа чисто физическая: ходи и говори. А нот вам придется работать умственно: надо во всем разобраться и понять. Так что изложить все новые вопросы программы я не успею. Мы ограничимся первыми пятью классами. Здесь кончается начальный этап обучения математике. Дальше, с VI, как я уже говорил, начинается раздельное преподавание алгебры и геометрии. При этом происходит переход на новую, более трудную ступень обучения, связанную с большей систематичностью и дедуктивностью изложения. Но об этом мы будем говорить завтра.
Беседа первая. «Высказывания».
Когда назавтра Николай Николаевич пришел в каюту к своим любознательным слушателям, все уже ждали его.
— Прежде всего, — начал он, — я хочу задать вопрос уважаемому Петру Ивановичу. Скажите, как по вашему мнению, должны ли оканчивающие среднюю школу уметь делать правильные логические выводы, должны ли они знать, что такое условие и заключение теоремы, должны ли?..
— Ну, что за вопрос, батенька, конечно, должны, — нетерпеливо перебил Петр Иванович.
— В таком случае еще вопрос. А где в школьном курсе их учат умению делать правильные логические выводы, рассуждать?
— Ну, специально этому не учат, но при доказательстве теорем и решении задач в геометрии учащиеся следуют образцам рассуждений, которые дает учитель и которые они читают в учебнике, и постепенно сами... Да и в алгебре приходится рассуждать, и в арифметике при решении задач тоже ведь подумать надо.
— Спасибо, — улыбнулся Николай Николаевич. — Итак, школьники должны научиться делать правильные умозаключения, должны в конце концов усвоить основные правила логического вывода, но их этому в школе специально не учат, и приобрести эти умения они могут лишь, так сказать, попутно, стихийно — по мере решения задач и выучивания доказательства теорем. Вряд ли кто-либо из вас сочтет такое положение вещей нормальным. Детей надо научить сознательно делать правильные умозаключения, надо указать им основные правила, помогающие верно рассуждать. Новая программа по математике именно из этого и исходит. В новых учебниках излагаются первоначальные сведения, относящиеся к математической логике — науке, содержащей концентрированное выражение законов дедуктивного мышления. Это означает, что учащиеся получат первоначальные представления о том, какие приемы рассуждения позволяют делать правильные умозаключения, а какие приемы недопустимы, так как могут привести к ложным выводам, к ошибкам.
Приведу один простой шуточный пример, ярко показывающий, что приемы правильного логического мышления вовсе не столь очевидны и просты. Этот пример известен еще из глубокой древности.
Один житель острова Крит сказал: «Все критяне лжецы».
Но ведь сам он критянин и, значит, лжец. Значит, он сказал неправду. Выходит, все критяне правдивы.
Но тогда и он правдив и потому сказал правду. А если он сказал правду, то получается, что все критяне все-таки лжецы.
Значит, и он лжец и потому сказал неправду. Посему все критяне правдивы.
И он правдив — все критяне лжецы.
Тогда и он лжец...
Как же выбраться из заколдованного круга? Я не буду рассказывать разгадку этого софизма. Скажу
только, что правила математической логики
совершенно ясно и четко объяснить, в чем здесь дело. Есть и много других софизмов — так называются рассуждения, приводящие к явно нелепым выводам, — и, надо сказать, школьники очень любят их разгадывать. А разгадка любого софизма должна состоять всегда в том, чтобы показать, где мы неправильно рассуждали, где применили незаконный прием умозаключения.
Математическая логика помогает избежать ошибок в выводах, умозаключениях.
Эту весьма сложную науку не предполагается изучать в школе в большом объеме, но некоторые первоначальные сведения из нее нужны каждому. Школьники часто обращаются к учителям и родителям с вопросами о том, можно ли так рассуждать, сделать такой-то вывод и т. д.
Значит, надо вооружить их пониманием — хотя бы в самых общих чертах — точных законов логического, дедуктивного мышления.
Одной из важных черт современной математики, величественное здание которой строится на строгой логической основе, является применение аксиоматического метода. Впервые аксиоматический метод был систематически применен для построения научной теории древнегреческим ученым Евклидом. В своей книге «Начала», написанной свыше 2000 лет назад, он сделал попытку построить геометрию как чисто дедуктивную науку, изложенную на базе небольшого числа исходных первоначальных положений — аксиом.
Исходная позиция Евклида была примерно следующей. К тому времени основным способом получения новых фактов в геометрии стал дедуктивный метод, т. е. логический вывод новых положений — теорем — из уже известных фактов. Взяв какую-либо теорему, можно составить список тех фактов, которые требуются для логического вывода — доказательства — этой теоремы. Факты, вошедшие в этот список, в свою очередь, можно вывести из еще более простых фактов и т. д.
Этот процесс не бесконечен. В конце концов, проделав такой анализ для всех теорем геометрии, удается выделить небольшой список первоначальных фактов — аксиом, из которых можно логически вывести — доказать — все теоремы геометрии.
Сам Евклид не сумел провести эту точку зрения до конца и дать полный список аксиом, из которых можно было бы чисто логически вывести все теоремы элементарной геометрии. Это было сделано лишь на рубеже XIX и ХХ столетий великим немецким математиком Давидом Гильбертом, который подвел окончательный итог двухтысячелетнего аксиоматического исследования геометрии, начатого Евклидом. Но заслуга открытия аксиоматического метода, служащего мощным орудием современной математики и других наук, принадлежит Евклиду.
Кстати, не следует думать, что только геометрия строится на аксиоматической основе. Не меньшее значение аксиоматический метод имеет в алгебре и других направлениях современной математики. Конечно, курс математики должен познакомить школьников с этим методом, составляющим замечательное завоевание человеческой мысли. И это знакомство должно быть более глубоким, чем прежде. Изучение аксиоматического метода и простейших фактов математической логики начинается, как, впрочем, и по старой программе, с VI класса. Но если раньше эти сложности сваливались на бедных шестиклассников как снег на голову, то теперь в начальных классах предусматривается серьезная подготовка к их восприятию, постепенный ввод учащихся в трудности алгебры и геометрии.
— Вы меня извините, Николай Николаевич, но это все общие соображения и пожелания. А как все это осуществить? Как подготовить детей к восприятию ложных понятий математической логики? Что для этого сделано в новых программах и учебниках? — спросил инженер.
— Минуточку терпения. Именно к этому я и собираюсь переходить. С этой целью в учебники IV и V классов введены такие понятия, как высказывания, математические предложения, истинность и ложность.
Давайте разберемся по порядку. Высказывание — это любая фраза, относительно которой можно четко и недвусмысленно судить, истинна она или ложна. Например, в сегодняшнем меню я видел рассольник. Фраза «В сегодняшнем меню имеется рассольник» — высказывание, притом истинное, — конечно, если указано, что речь идет о таком-то дне и о таком-то пароходе. Но фраза «Мы сегодня будем есть рассольник» не является высказыванием, поскольку неизвестно пока, так ли это. А вдруг рассольник не удастся и мы выберем на обед что-нибудь другое.
— Выходит, фразы, построенные в будущем времени, вообще не могут быть высказываниями? — спросил литератор.
— Ну, почему же? Если такие фразы выражают научно обоснованное предвидение, то они являются высказываниями. Например, предсказание о том, что луч света за ближайшую секунду пройдет расстояние около 300000 километров, — это высказывание, и притом истинное. А что он пройдет за секунду всего 3 километра — это тоже высказывание, и притом ложное. Разумеется, не являются высказываниями вопросительные предложения: о них нельзя сказать, истинные они или ложные, так как в них ничего не утверждается. Вот еще несколько примеров высказываний — вы уж сами решите, какие из них истинны, а какие ложны:
Корова — домашнее животное.
Луна больше Земли.
Число 17 не делится без остатка на 8.
Самолеты движутся по рельсам.
А вот несколько фраз, которые не являются высказываниями, хотя в них нечто и утверждается (ведь по поводу этих фраз невозможно добиться однозначного суждения — одному покажутся они истинными, другие в этом усомнятся):
Число 0,01 очень мало.
Погода сегодня великолепная.
Днестр переплыть трудно.
Сладости полезны.
— Я только не понимаю, какое это имеет отношение к математике, — сказала долго молчавшая Анна Александровна. — Ведь то, о чем ВЫ рассказываете, относится к любому предмету.
— Да, и в том числе к математике. Понятие высказывания — первичное понятие, и если мы хотим научить школьника рассуждать, то должны начинать с него. Разумеется, полученные знания помогут школьнику сознательнее воспринимать не только математику-тут я с вами вполне согласен.
В математике встречаются разные виды высказываний — здесь есть и аксиомы, и определения, и теоремы (в том числе формулы, равенства и неравенства). Ученик должен уметь разбираться в них, отличать верные (истинные) высказывания от неверных (ложных). В начальной школе он овладевает знанием многих фактов-многих истинных высказываний в математике. Тут и знаменитое дважды два четыре, и вся таблица умножения, и первоначальные геометрические сведения. Поэтому в IV классе, когда вводится понятие высказывания, ученику уже есть на что опереться.
— А уравнение — это тоже высказывание? — спросил Петр Иванович.
— Нет. Вот посмотрите, — и Николай Николаевич написал:
х+2=13.
Можно ли сказать, верно это или нет?
— Нельзя, конечно, — ответил Петр Иванович. — Мы ведь не знаем, чему равен икс.
— Как это не знаем? — возмутилась Анна Александровна. — Икс равен одиннадцати.
— Простите, давайте разберемся, откуда вы взяли, что х = 11. Для этого вы произвели какие-то действия, т. е. вы решил и это уравнение. Вообразите, что какой-то ученик неправильно решил это уравнение и сказал, что здесь икс равен пятнадцати (т. е. он не вычел от тринадцати два, а прибавил). Ясно, что этот спор вы решите проверкой, т. е. посмотрите, что получится при х= 11 и что получится при х= 15. Если вместо икса подставить в наше уравнение число 11, то получится 11+2=13, т. е. получится верное высказывание. Если же подставить вместо икса число 15, то получится 15+2=13, т. е. получится ложное высказывание. Как видите, уравнение х+2=13 нельзя считать высказыванием, так как оно не может быть признано ни истинным, ни ложным, пока нам не сказано, чему равен икс.
В уравнении кроме чисел и знаков действий содержится еще неизвестная величина (обычно обозначаемая буквой х). Если вместо икса мы подставим одно число (скажем, Х=11 в случае рассмотренного уравнения), то получится верное числовое равенство. Как вы знаете, такое число называется корнем рассматриваемого уравнения. Если же вместо икса подставить другое число (скажем, х=15), то получится ложное высказывание — и это будет означать, что Подставленное на этот раз число не является корнем уравнения. Бели хотите, уравнение можно считать как бы вопросительным предложением: когда вам говорят, что дано уравнение х+2=13, то подразумевается неявно поставленный в опрос «Каковы корни этого уравнения?». Иначе говоря, само слово «уравнение» означает, что вы интересуетесь нахождением всех его корней. Эту эмоциональную, как бы вопросительно-побудительную окраску слова «уравнение» не следует забывать.
Кстати, по поводу вопросительности уравнения полезно обсудить сомнение, которое часто возникает у учащихся. Например, спрашивают: является ли х+2=2+х уравнением или нет? Думаю, что вопрос неправильно поставлен. Ведь слово «уравнение» показывает наше отношение к этому равенству. Если мы хот и м назвать это уравнением, то это значит, что мы интересуемся, каковы его корни, и ответ будет звучать так: «любое число является корнем этого уравнения». Если же мы хотим сказать, что равенство х+2=2+х является тождеством (в старших классах этот термин применяется), то это будет также означать наше отношение к этому равенству: мы хотим подчеркнуть, что это равенство справедливо для всех чисел, т. е. для любого значения икса. Итак, слово «уравнение» или «тождество» показывает различие в нашем отношении к написанному равенству.
Это различие сказывается еще и в том, что если уравнение нельзя назвать высказыванием, то тождество, напротив, всегда представляет собой высказывание. Возьмем для примера коммутативный (или переместительный) закон сложения: для любых чисел а, Ь справедливо равенство:
a+b = b+a.
Ясно, что это есть высказывание (притом истинное).
Перейдем теперь к вопросу о классификации верных высказываний.
Любое высказывание в математике либо объясняет значение слова — термина, либо формулирует некоторые свойства чисел, фигур и т. п. Термины вводятся определениями. Свойства либо декларируются без доказательства (тогда это аксиомы), либо доказываются (тогда это теоремы). Предположим, я не знаю, что такое четное число. Анна Александровна, объясните мне, пожалуйста, что это такое.
— Ну, это два, четыре, — двадцать четыре, — пожала плечами Анна Александровна.
Мужчины улыбнулись — все, кроме невозмутимого Николая Николаевича.
— Значит, четных чисел всего три: два, четыре и двадцать четыре? — спросил он.
— Да нет же, — я могу назвать их сколько угодно.
— Все не назовете, — улыбнулся Петр Иванович.
— Да, — сказал Николай Николаевич, — в данном случае это не метод.
— Четное число, — сказал инженер, — делится на два.
— Вот, вот. Только для школьников понятнее, если в определении звучит слово «называется»: четным называется целое число, делящееся на два. Как видите, здесь есть слово «называется». Это довольно типичная, хотя и не обязательная, особенность определений. Можно то же определение высказать и иначе: четное число — это число, делящееся на два. Но ученик должен понять, что в определении обязательно есть определяемый термин (в данном случае это — «четное число») и обязательно есть точная его характеристика (в данном случае указывается, что это — «целое число, делящееся на два»). За первые пять лет обучения дети знакомятся со многими определениями. Например, они узнают, что называется наибольшим общим делителем, параллельными прямыми, периметром многоугольника и т. д.
Перейдём к аксиомам и теоремам.
Классический пример: через две точки проходит единственная прямая линия. Мы принимаем это утверждение без доказательства, считаем его аксиомой. Напротив, теорема — это утверждение, которое доказывается, выводится из аксиом и ранее установленных теорем. Так обстоит дело в математической науке. В школьной математике не все столь определенно. Например, в V классе дети доказывают теорему о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Однако они не отдают себе отчёта, какие аксиомы и теоремы при этом используются, а просто привлекают для доказательства известный им материал. Сами термины «определение», «аксиома», «теорема» прозвучат позже, в VI классе. Но на самом деле эти виды предложений появляются раньше. И называются они одинаково — правила.
Всем памятна зубрежка правил. Но теперь мы хотим обойтись без зубрежки. Как это можно сделать, легко понять на простом примере: давайте попробуем сформулировать определение вилки. Можно сказать, что это предмет, употребляемый во время еды и приготовления пищи, у которого рабочая часть состоит из длинных параллельных зубьев. Конечно, к этому можно и придраться: например, потребовать уточнения, какие зубья мы считаем длинными. Но, разумеется, это верное определение. Между тем никогда нас не учили этому правилу, этому определению. Просто дело в том, что каждый из нас хорошо знаком с вилкой, и если бы дети столько же работали с каждым математическим понятием, сколько мы работаем вилкой, тогда, конечно, зубрежка была бы ненужной.
Вот так и строится новая программа, особенно программа первых пяти классов: постепенно, без зубрежки, в процессе выполнения упражнений дети усваивают правила обращения с математическими понятиями. Например, в IV классе изучается многоугольник. При этом в учебнике определения многоугольника нет. Значит, и с ученика это определение спрошено не будет. Но зато ученик должен успеть привыкнуть к этому понятию настолько, чтобы безошибочно узнавать многоугольники в простых случаях.
Бели мы хотим избежать в старших классах неоправданных перегрузок, то мы должны с 1 класса приучать ребят думать. Центр тяжести здесь перемещается. Раньше основные трудности были в арифметических задачах и примерах в десять-пятнадцать действий. Теперь основное — постижение логики математики. В частности, работа с правилами (определениями, аксиомами и теоремами) — очень важный вид деятельности ученика.
— Да, все это совсем не просто, — промолвил Григорий Андреевич.
— Но как интересно. Большое спасибо вам за беседу, Николай Николаевич, — добавила Анна Александровна.
— Э, нет. Так легко вы от меня не отделаетесь, — засмеялся Николай Николаевич, вынимая из бокового кармана исписанный лист бумаги. — Все равно дождь, на палубе мокро. Получайте домашнее задание.
1. Вашему сыну задали проработать текст, связанный с понятием прямоугольника, но не содержащий определения этого понятия. Он честно все выучил и решил упражнения. Однако, как вы выяснили, он не совсем ясно понимает, что такое прямоугольник: он не признал квадрат прямоугольником. Что вы будете делать?
2. Вашей дочери дали задание выделить условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать) в теореме: «Числа, кончающиеся на нуль, делятся на десять». Она делает ошибку, говоря: «Условие: число делится на десять; заключение: число оканчивается на нуль». Как вы объясните ей верный ответ? Какие примеры аналогичных теорем приведете?
3. Ваш сын, придя из школы, обратился к вам с вопросом:
— Нам сказали, что аксиомы нельзя доказать, и дали аксиому: «Через две точки проходит только одна прямая». А разве нельзя этого доказать? Приложил линейку и проверил, что вторая прямая пойдет по первой. Вот и доказательство!
Что вы скажете сыну?
— Это к какому же сроку все сделать? — спросил Григорий Андреевич.
— К какому хотите. Дело добровольное. В конце поездки я вам вручу решения всех заданий — этого и следующих, — а также разгадку софизма о критянах.
KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ
|
