НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

Библиотечка «За страницами учебника»

Бобров С. Волшебный двурог. — 1967 г.

Сергей Павлович Бобров
«Волшебный двурог»
Схемы и чертежи М. Гетманского и Г. Соболевского
Рисунки В. Конашевича. — 1967 г.


DJVU


PEKЛAMA Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD. Подробности...

Выставлен на продажу домен
mp3-kniga.ru
Обращаться: r01.ru
(аукцион доменов)



 

      СОДЕРЖАНИЕ

Так, значит, давай познакомимся, любезный читатель!..
Схолия Первая.
    Непослушная задачка. Неожиданная встреча.
Схолия Вторая.
    Его имя? Радикс! Песенки Радикса. Архимедово число. Грозное видение.
Схолия Третья.
    Еще один незнакомец. Прескучная прогулка. Правило правой руки.
Схолия Четвертая.
    Загадочная надпись. Тетушка Розамунда. Выйдет-невыйдет! Игра в «Дразнилку». Большой Дразнилка.
Схолия Пятая.
    Орден Семи Мостов. Странная задача. Речь Д-ра У.У.Уникурсальяна. Часы Розамунды. Уникурсальная фигура. Узлы. Связная фигура. Как обойти связную фигуру. Мост. Дерево. Пути. Что такое петля? Нить Ариадны. Общее правило лабиринта. Лабиринт и дерево.
Схолия Шестая.
    Совершенные числа. Удивительный замок. Сынишка Радикса Индусские числа. Теорема Ферма. Простые числа.
Схолия Седьмая.
    Комплексные человечки работают. Кто такой Дразнилка? Цикл и инверсия. Как прыгает шашка? Числа одной четности. Почему остается одна инверсия? Определители. Знаменитое завещание. История трех мушкетеров. Магические квадраты. Куча ядер. Тетраэдры. Треугольные числа.Треугольник Паскаля.
Схолия Восьмая.
    Лист Мебиуса. Точка и часики. Пруд и Точка. Бушмейстера разрезали. Режем еще раз! Отчего и почему? Бутылка джинна.
Схолия Девятая.
    Колесообразное число. Секрет открыт. Как сокращать дроби? История 77 слонов. Небывалое равенство. Сколько будет три и три?
Схолия Десятая.
    Громадные числа. «Счет песчинок» Архимеда. Работы Архимеда. Что утверждал «Псаммит»?
Схолия Одиннадцатая.
    Стихи о Ньютоне. Детство Паскаля. Прогрессии. Арифметическая прогрессия. Сумма арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия. Сумма геометрической прогрессии. Появление Мишки. Это вовсе и не число! Бесконечное число раз?? Из одного ? два...
Схолия, Двенадцатая.
    Неразменный рубль. Сколько всего четных чисел? А сколько квадратов? Секрет неразменного рубля. Разделим яблочко!.. Бесконечно малая величина. Ахиллес и черепаха. Правило «исчерпывания». Как делается число 2? Понятие геометрического места. Уравнение прямой. Уравнения кривых. Путешествие продолжается. Новые друзья Илюши.
Схолия Тринадцатая.
    Поверхности вращения. Круг и парабола. Гипербола и эллипс. Особые геометрические места. Математика бежит к арабам. История Галилея.
Схолия Четырнадцатая.
    Сферический треугольник. «Альмагест» Птолемея. Петли планет. Пятый постулат Евклида. Лобачевский и Бельтрами. Измерение кривизны. Постоянная отрицательная кривизна. Цепная линия и трактриса. Параллельные линии. Параллельные Лобачевского. Треугольник Лобачевского. Сумма углов треугольника и подобие. Действительно меньше! Какова геометрия нашего мира? Особые «прямые». Геометрия теней.
Схолия Пятнадцатая.
    Египетские дроби. Удвоение куба. Геометрия в Греции и движение. Трисекция угла. Конус Демокрита. Что имел в виду «Псаммит»? Понятие предела. Складывай, да но торопись!
Схолия Шестнадцатая.
    Алгебраизация геометрии. Корни уравнений. Касательная. Максимум и минимум. Скорость роста кривой. Сложные связи переменных. Функция и ее производная. «Микроскоп Ньютона». Уплывающая процессия... Законы природы. Сумма натуральных квадратов. Квадратура параболы.
Схолия Семнадцатая.
    Объем конуса. Понятие о логарифмах. Основание и модуль. «Неделимые» полоски. Площадь гиперболы. Неперово число. Фикусы эллипса. Лемниската. Решение кубического уравнения. Изыскание максимума. Найти производную. Гора Пюп-де-Дом. Дружественные числа. Безгранично, но конечно!
Схолия Восемнадцатая.
    Повергающая Неправду. Геометрия комплексных человечков. Тригонометрическая форма. Возведение в степень. Деление круга. А вот и звезда! Теорема Евдокса. Золотое сечение.
Схолия Девятнадцатая.
    Комплексные числа. Город Болонья и кубическое уравнение. Формула Кардана. Невсис Паппа. Гиясэддин ал-Каши. Опять Дразнилка.
Схолия Двадцатая.
    Заклинательница Сатурна. Случайные явления. Размышления Декарта. Понятие о рассеянии. Обезьяна и Ворон. Перепутаны конверты! К пределу, но по-своему! Русские ученые-вороятностники.
Эпилог.



      Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. II. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.
     
     
     
      Так, значит, давай познакомимся, любезный читатель!..
     
      Когда вы узнаете о том, что давным-давно, в середине XVIII века, мальчик Блез Паскаль самостоятельно читал «Начала» Евклида, а девочка Софья Ковалевская1 не так давно, в прошлом веке, ухитрилась разобраться в основах математического анализа по разрозненным листам учебника Остроградского, которыми случайно оклеили степы детской комнаты, то не удивляйтесь и не думайте, что это просто занимательные рассказы или поразительные исключения.
      1 Очерк о Софье Ковалевской можпо прочитать в книге «Люди русской науки». М., Физматгиз, 1961, стр. 178.
      Что-нибудь в этом роде было в детстве у всякого, кто любил математику и затем всю жизнь работал в какой-либо ее области. Именно так, в самостоятельной работе, и проявляются первые начатки подлинного интереса к науке, именно так и растут будущие труженики на славном поприще научной деятельности.
      Есть немало хороших книг, которые могли бы помочь любознательному школьнику, если он увлекается математикой. Но нередко эти книги трудны и требуют от читателя большого напряжения, которое не всегда по силам учащемуся средней школы.
      В этой книжке юным читателям дается такой материал по математике, который будит их интерес к знанию, раскрывает перед ними некоторые перспективы, позволяет представить себе, что такое математика. С другой стороны, здесь есть материал для самостоятельной работы, то есть не просто рассказы о математике, а нечто большее, что даст нашему читателю радость научного труда, радость небольшого, но все-таки заработанного собственными трудами познания.
      Книга рассчитана на подростка, кончившего семь классов, и поэтому очень много в ней дать нельзя. Для примера укажем, что почти невозможно дать обзор научной деятельности Софьи Ковалевской, не говоря уже о более поздних ученых. Однако все-таки возможно на ряде любопытных примеров ввести читателя в мир научной математической мысли. Некоторые из этих примеров принадлежат к исторически чрезвычайно важным, другие представляют собой не слишком трудные вещи, а иной раз это просто загадка, но за ней кое-что таится, и над этим стоит подумать.
      А кроме того, эта книжка для того и написана, чтобы читатель понял, что математика — не только не скучная, но даже очень увлекательная наука! Если кто ее совсем не любит — пусть хоть заглянет в книгу. И даже он найдет здесь кое-что интересное...
      Наш рассказ представляет собой фантастическое путешествие по волшебным странам математического мира, но читатель и сам довольно скоро разберет, что все те добродушные, веселые и шутливые фигуры, с которыми он повстречается, только для того и появились на белый свет, чтобы помочь ему поразмыслить над тем, что он найдет на страницах книги.
      Читатель узнает, как человек изобрел и усовершенствовал такую великую вещь, как математический анализ, то есть то самое, что называется «высшей математикой». Рассказ наш доводится до примеров определенного интеграла и производной. А ведь это и есть тот самый крепкий и надежный фундамент, на котором покоится вся огромная современная техника.
      Вторая наша тема, которой отдано гораздо меньше внимания, — это не-евклидова геометрия. Попутно и по необходимости мы касаемся и других вопросов. В частности, у нас есть обычные разделы занимательной математики — лабиринты, уникурсальные фигуры, игра в «Дразнилку». Есть и задачи-шутки, но некоторые из них совсем не так просты и касаются вещей серьезных.
      Но если доктор У. У. Уникурсальян, с которым вы познакомитесь через несколько страниц и, надеемся, подружитесь, — великий мастер говорить длинные речи, причем иной раз довольно затейливо, то из этого еще не следует, что все, о чем здесь говорится, так уж просто и легко.
      Впрочем, если уж читатель не сразу разберется в древней прекрасной легенде о царевне Ариадне и ее путеводной нити, то он не должен пугаться. Наоборот, он должен запастись тер-
      пением и перечесть эту историю еще разок. Ничего не будет страшного, если он вернется к ней и третий раз. Надо все так хорошо разобрать, чтобы потом об этом понятно рассказать тому, кто совсем не читал этой книги. А как же достигнуть этого?
      Да очень простым способом. Надо не просто перечитывать, а Делать это в приятном обществе карандаша и бумаги. Втроем разобрать любую из наших историй гораздо легче. Не надо только забывать о том, что если всякий понимает, что школьная парта сделана из дерева, то далеко не всякий сумеет пойти в лес, срубить там дерево и сделать из него эту самую парту. А нам с вами, чтобы научиться работать, надо непременно попробовать что-то сделать собственными руками, а не только знать понаслышке. А то ведь есть на свете такая обидная поговорка: «Слышал звон, да не знает, откуда он...» А узнать-то не так уж и трудно: подумать не торопясь, взяться и не бросать, пока не выйдет то, что надо.
      Некоторые наши темы очень просты и касаются вопросов почти что шуточных. Но и в них, если как следует разобраться, есть немало интересного и очень полезного. Можно просто пообещать читателю: если ты проработаешь всю эту книгу, ты кое-что серьезное о математике узнаешь!
      Таково мнение доктора у. у. Уникурсальяна, и мы вполне к нему присоединяемся. Он сам и все его друзья будут говорить с вами весело и любезно и терпеливо будут стараться навести вас на правильную мысль. А иной раз и подразнят немножко! Да ведь это любя, обижаться не стоит!..
      Нет никакой нужды читать сразу всю книжку подряд. Тот, кто сперва прочтет то, что полегче, а потом возьмется за более непослушные задачки, ничего не потеряет.
      Может быть, прочитав эту книгу, захочется познакомиться и с другими книгами по математике. Сейчас у нас есть много хороших книг для самостоятельного чтения. Целый ряд их упоминается у нас в примечаниях. Большинство из них немного потруднее, чем эта книжка. Но ничего не поделаешь, надо привыкать работать с книгой. Если в примечании книга отмечена звездочкой в скобках (*), значит она повышенной трудности. Такую книгу лучше разобрать вместе с товарищами или с руководителем.
      Есть еще очень полезные книжки, где рассказывается, как жили и трудились крупные ученые. Почитаешь и увидишь, что и им не все и не всегда легко давалось, но их горячая любовь к знаниям и упорство превозмогали трудности. Есть очень хорошие книги академика С. И. Вавилова о Ньютоне, профессора В. С. Кагапа — о Лобачевском, французского ученого Даль-ма — о математике Галуа, революционере и ученом. Интересен
      целый том «Воспоминаний и писем» Ковалевской. Можно порекомендовать несколько хороших книг по истории математики: Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» (*), а особенно надо посоветовать прочесть книгу Д. Я. Стройка «Краткий очерк истории математики».
      Впрочем, если среди наших читателей найдутся такие, которым всего этого покажется мало, то в таком особенном случае можно посоветовать заняться очень полезной и сравнительно не очень трудной книгой Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих». В этой книжке очень много хороших примеров из физики.
      А вообще не надо робеть перед наукой. Конечно, не всякий будет в дальнейшем Ньютоном или Ковалевской. Но ведь в наши дни математика нужна повсюду — не только в инженерии, не только в космонавтике, а даже и в медицине, ц в изучении литературы. У нас много больших научно-исследовательских институтов, где нужны математически образованные люди: ведь работа там идет коллег:тивная и нередко совместные усилия дают плоды исключительной ценности. Наш дорогой Пушкин говорил, что надо «в просвещении быть с веком наравне». Это не очень легко, но и не так уж трудно, если любить это дело и понимать, до какой степени оно в наши дни нужно Родине.
      Первое издание «Волшебного двурога» вышло в 1948 году. Научным редактором книги был замечательный ученый Игорь Владимирович Арнольд, безвременно скончавшийся. Он не дожил двух месяцев до выхода в свет нашей книги.
      В 1959 и в 1962 годах пишущий эти строки выпустил еще две книги по общедоступной математике — два томика «Архимедова лета», на которые мы будем ссылаться время от времени. Чтобы не писать каждый раз название этих книг, мы будем сокращенно обозначать таким образом: AЛ-II, XVIII, 4. Это значит: «Архимедово лето», том II, глава XVIII, раздел 4.
      Знай, дорогой мой читатель, что немало славных русских имен вписано золотыми буквами в книгу развития науки математической! Таковы — Остроградский, Лобачевский, Ляпунов, Чебышев, Марков, Вороной, Золотарев, Федоров, Ковалевская и многие другие. И из ныне здравствующих наших математиков есть немало таких, которые обогатили мировую науку поистине высокими достижениями. Назовем хотя бы Виноградова, Бернштейна, Колмогорова... Да ведь вот беда: за редкими исключениями, для того чтобы хотя бы разобраться в том, какими вопросами они занимались, надо знать во много-много раз больше того, чем говорится в этой книге!
      Теперь уж, кажется, все ясно, только надо сказать еще два
      слова тому, кто совсем не любит математику. Всякий понимает, что хочешь не хочешь, а считать-то надо уметь! Без этого не проживешь. А кто же такие эти ученые-математики? Чем они занимаются?
      Каждый из нас слышал имя великого ученого Исаака Ньютона. Однажды он сказал, что геометрия, «будучи искусством точного измерения», была придумана людьми для того, чтобы мы, пользуясь чертежами, могли избегать утомительных вычислений. Другими словами, великий математик уверяет, что его наука дает нам возможность поменьше мучаться с вычислениями, а это ведь как раз и есть то, чего хочет человек, который не любит математики! Но когда наука пдет вперед, постоянно упрощая для нас все более трудные задачи, она в то же время дает человеку гигантские силы, и он обретает возможность делать то, чего прежние поколения не могли изучить, попять и одолеть! Вот в чем самая сила, дорогой мой читатель, не забывай об этом.
      Теперь, когда все самое главное уже высказано, читатель может еще спросить: «А почему же в этой книжке рассказывает о математике не ученый, а писатель?» Действительно, почему? Но на этот вопрос давным-давно ответил великий писатель Земли Русской ЛЕВ ТОЛСТОЙ, который в своей работе «Что такое искусство?» (1897 г.) говорит: «Дело искусства состоит именно в том, чтобы делать понятным и доступным то, что могло быть непонятным и недоступным в виде рассуждений».
      Автор считает своим приятным долгом выразить признательность научному редактору книги проф. И. Н. Веселовскому за целый ряд ценных указаний и поправок при редактировании.
     
     
      Схолия Первая.
      в которой наш любезный читатель знакомится... Впрочем, может быть, ты еще не совсем понимаешь, что такое схолия? Схолия, видишь ли, — это нечто очень интересное, и как-нибудь немного погодя я тебе все это изложу подробно. Ну, а теперь, конечно, ты уж и сам смекнул, что эта книжка рассчитана на довольно догадливых молодых людей. Знаешь ли ты, кстати сказать, что такое Эратосфеново решето? Если не знаешь, то я тебе и об этом тоже кое-что расскажу. Отсюда совершенно ясно, что я буду рассказывать, а ты, разумеется, будешь на ус мотать. А именно это-то и называется теперь у нас играть в схо ли и. Итак, внимание! Начинается Схолия Первая, в которой читатель знакомится с Илюшей Комовым, со всей его семьей и с одним очень странным существом, про которое весьма трудно сказать сразу, было оно или никогда и не бывало...
     
      Дело клонилось к вечеру, и пора уже было лампу зажигать.
      — Илюша! — сказала мама довольно настойчиво.
      Она сказала это уже в третий раз, и на этот раз Илюша даже попытался ответить маме, но, кроме неясного мычания, никто ничего не разобрал.
      Налька, сестра Илюши, которая сидела у окна и упивалась
      «Графом Монте-Кристо», отвела глаза от книжки, хотя оторвать Нальку от чтения было не так-то просто. Но она всегда заступалась за Илюшу перед мамон, хотя с маминой точки зрения можно было обойтись и без этого..
      — Мама, он сейчас, — сказала Наля.
      — Это я уже слышала.
      Тут и Илюша обрел дар речи.
      — Мама, — произнес он в высшей степени убедительно, — я, честное слово... сейчас...
      Папа опустил газету и сказал:
      — Ну, Илюша, брось-ка ты эти свои пустяки и садись есть кашу.
      Илюша встал со стула, но почувствовал себя оскорбленным в своих лучших чувствах.
      — Папа, — ответил он, — у меня задачка не выходит!
      — Задачка твоя от тебя никуда не уйдет, — возразила мама, — а каша стынет. Поешь, а потом возись хоть до света со своими задачками.
      Илюша сердито уселся за кашу, взял ложку и принялся есть с большим аппетитом.
      А затем мама убрала со стола, зажгли лампу. Потом Наля начала позевывать и не без сожаления захлопнула растрепанный том «Монте-Крнсто». Илюша изгрыз весь кончик карандаша, а папа прочел всю газету. Мама сказала:
      — Илюша, ты что же, правда до света сидеть намерен?
      Илюша посмотрел на нее с чувством жестокой обиды. Ему
      хотелось ответить... Но он покосился на папу и решил отложить этот разговор, потому что папа очень плохо разбирался в препирательствах Илюши с мамой и обычно прекращал их в ту же минуту, совершенно не желая входить в обсуждение того, кто прав и кто виповат.
      — Покажи папе, — предложила мама.
      Илюше очень хотелось ответить: «И не подумаю», по вместо этого он вздохнул, взял задачник и медленно подошел к папе, разглядывая по дороге в сотый раз непослушную задачку.
      Папа взял книгу.
      — Так, — заметил он спокойно, — ну что ж тут такого? Покажи-ка, как ты делал.
      Илюша притащил тетрадку.
      — Н-да, — сказал папа, — начал правильно. А теперь надо кончать. Скобки раскрывать раньше времени незачем. Ничего тут особенного нет.
      Илюша посмотрел на папу, потом на пол.
      — Не выходит! — сообщил он, хотя понимал, что повторять это и бесполезно и не так уж приятно.
      — Не торопись, — ответил папа, отдавая ему тетрадку, — подумай. Это у тебя что такое?
      Илюша посмотрел на строчку, которую указывал ему папиы палец, и ничего не сумел ответить.
      — Ну? — спросил папа.
      Илюша посмотрел еще раз на спокойное папино лицо, потом на непонятную строчку и снова не ответил ни слова.
      — Наверху у тебя что? — спросил папа.
      — Разность кубов.
      — Так. А внизу?
      А что было внизу, в знаменателе, этого-то Илюша и не знал.
      — Квадратный трехчлен! — сказал папа. — Неужели ты не знаешь? Проспал в классе?
      — Ничего не проспал! — обиженно пробормотал Илюша.
      — Допустим, — отозвался папа, — что не проспал. Но тогда — в предположении, что ты не проспал, — ты должен знать. А?
      У папы была пренеприятная манера: если ему что-нибудь вот так пробурчишь, то он начинает говорить несколько насмешливым и совершенно бсзразличпым тоном, и тогда уж от него толку не добьешься. Вот и сейчас как раз так и вышло. Илюша взял задачник и тетрадку и поплелся обратно. «Квадратный трехчлен?..» Да, кажется, действительно было что-то.в этом роде, но что именно, припомнить было невозможно.
      — Илюша, — сказала мама, — я тебе постелила. Ложись лучше спать. А завтра утром встанешь и на свежую голову сделаешь.
      Илюша молча поглядел на маму. Завтра утром надо идти в школу, а идти с нерешенной задачкой не больно-то весело.
      Наля ушла спать. А часы подумали, зашипели и пробили одиннадцать. Глаза у Илюши начали слипаться, а задачка все не выходила.
      Мама тихонько сказала папе:
      — Ну покажи ему.
      А папа так же тихонько ответил:
      — Что за баловство? А если бы некому было показать? Что тут для него интересного, если я покажу? Интересно самому добиться.
      Папа встал с дивана и вышел. Мама тоже ушла. Илюша сндел, подпершись кулаком, и без всякого толку разглядывал довольно простой, но совершенно непонятный ответ в конце задачника.
      Стало совсем тихо. Илюша попробовал было закрыть глаза, но быстро их вытаращил, потому что оказалось — глаза только этого и дожидаются да того и гляди сами закроются. Он серди-
      то встал со стула, подошел к папиному столу, постоял, потом осторожно вытащил из стопки папиных книг одну наудачу, открыл и погрузился в непонятные рассуждения о паровых котлах. Перевернув рассеянно две странички с запутанными диаграммами, он уткнулся в формулу, где около хорошо известных ему алгебраических знаков стояла какая-то длинная черная закорючка, у которой был вид важный и неприступный. «Да-а! — подумал Илюша. — Ему хорошо, папе, если он и таких штук не боится. Что ему моя задачка!..» Положил аккуратно книжку на место, уселся за свой стол и погрузился в самые неопределенные раздумья...
      Какой-то странный легкий шелест донесся до его слуха. Илюша не обратил никакого внимания, но настойчивый шорох повторился и заставил его обернуться. И тут он увидел нечто удивительное.
      Страница лежавшего перед ним на столе задачника тихопь-ко шевелилась и вроде как поскрипывала, как будто под ней что-то ползало. Илюша недовольно сморщился, сообразив, что под лист забралось что-то вроде таракана. И как только он это подумал, справа из-за края страницы показались два тоненьких усика этого пройдохи, который — извольте радоваться! — нашел себе место для прогулок.
      — Постой! — угрожающе прошептал Илюша и осторожно протянул руку, норовя половчее ухватить незваного гостя за его длинные усищи.
      Но как только он их коснулся, немедленно отдернул руку, воскликнув: «Ах ты! Чтоб тебя!..», ибо эти усики сразу сомкнулись и так ущипнули его за палец, что он света не взвидел.
      — Это что еще за новости? — сказал рассерженно Илюша, разглядывая красненькое пятнышко на пальце. — Да разве это таракан? Это прямо...
      А под страницей опять что-то зашуршало, и какой-то тоненький голосок спросил укоризненно:
      — А в каком смысле прямо, молодой человек?
      Однако оцепеневший от удивления молодой человек не мог
      сообразить, кому и что именно надлежит отвечать на этот неожиданный вопрос.
      Пока он размышлял над этой внезапно возникшей проблемой ', страница задачника медленно перевернулась, а нижний ее край плавно завернулся внутрь, будто кто-то собирался эту
      1 Вопрос о том, как надлежит в различных обстоятельствах разуметь и толковать слово «прямо», обсуждается весьма подробно в Схолии Четырнадцатой, так что ты уж, пожалуйста, не удивляйся этому вопросу.
      страничку свернуть в фунтик. Илюша в удивлении иротер глаза. Через мгновение некое престранное существо выпустило из крохотной своей лапки кончик странички, фунтик развернулся, и листок задачника лег на свое место. А странное существо спросило Илюшу тем же тоненьким голоском:
      — Так как же зто, молодой человек, насчет прямо, а? Что вы, собственно, имели в виду мне сказать?
      Илюша вытаращил глаза на своего небывалого собеседника. Важпый тон этого существа совершенно не соответствовал его комариному голоску. Крохотный блестящий глазок его был чуть побольше булавочной головки, однако смотрел так покровительственно-насмешливо, что Илюша даже пемного оробел. Мальчик промолчал целую минуту и наконец спросил:
      — А кто ты такой?
      Собеседник снисходительно ухмыльнулся и спросил в свою очередь:
      — Неужели не узнаешь?
      Илюша в недоумении пожал плечами.
      Перед ним на страничке задачника стоял маленький, примерно в сантиметр ростом, знак квадратного корня.
      Та длинная черта направо, под которой до сих пор люди добрые писали подкоренное количество, у него раздваивалась, как клюв, а на том месте, где обычно пишут показатель корня, сверкал хитро прищуренный глаз. А слева у него была крохотная ручонка, которая в настоящий момент сделала довольно выразительный жест, который как бы говорил: «Ну-с. молодой человек?..»
     
     
      Схолия Вторая.
      из каковой любознательный читатель... А что же такое все-таки схолия? Это, видишь ли, нечто вроде... Кстати: ты, друг-читатель, помнишь теорему Виеты? Не помнишь? Проспал, вроде как Илюша квадратный трехчлен? Ах, ты совсем не знаешь? У вас не проходили? Ты болел? Так, может быть, ты еще мал? Другими словами, тебе еще рано играть в схолии?.. Итак, в Схолии Второй читатель узнает, как Илюша познакомился поближе с тем самым странным существом, о котором автор этой удивительно правдивой книжки даже и сам не в состоянии толком сказать, было оно или не было.
     
      — Послушай, — начал осторожно Илюша, — может быть, все это мне снится?
      — А может быть, и не снится?.. — совершенно тем же тоном отвечал ему новый знакомый.
      — Нет, — возразил мальчик, — я так не могу. Ничего не понимаю.
      — А как же ты можешь?
      — Не знаю, — отвечал Илюша.
      — Очень мило! — отвечал ему собеседник с довольно ехидной улыбочкой. — Так мы и запишем: пункт первый — ты не можешь, пункт второй — ты не знаешь. И будем полагать сию тему исчерпанной. И, значит, начнем все сначала.
      И тут Илюша, поеживаясь от недоумения, увидел, что его новый знакомый уже вырос примерно до метра ростом и что он, оказывается, сделан из какого-то блестящего синеватого металла. И оба они стоят в какой-то неизвестной до сих пор Илюше маленькой компате, а прямо перед ними стена, которая отдаленно напоминает классную доску.
      Илюшин знакомец состроил очень гордую мину и не то что проговорил, а, можно сказать, провозгласил:
      — Мое имя Радикс, что означает по латыни «корень». Ясно?
      — Ясно, — торопливо пробормотал Илюша, вдруг потерявший способность противоречить.
      — А это что такое? — спросил Радикс, указывая на темную стену.
      Илюша поднял глаза и увидел на стене ряд алгебраических знаков. Знаки были все знакомые, но Илюше было как-то не по себе оттого, что знаки эти не стояли на месте, а толкались, бродили по всей стене из стороны в сторону, то собирались кучками, то вновь расходились.
      — Квадратный трехчлен! — вдруг скомандовал Радикс, да так зычно, что Илюша даже вздрогнул.
      И в тот же миг на стене воцарился полный порядок. А Илюша в великом смущении увидел следующее:
      ...
      — Фу, какая ерунда! — воскликнул он. — И угораздило же меня такую простую вещь позабыть?
      — Отсюда совершенно ясно, — продолжал Радикс, — что поскольку... Впрочем, этот маленький инцидент тоже можно полагать исчерпанным. Не правда ли?
      Илюша еле выдавил из себя неопределенное мычание. Но все-таки он несколько приободрился.
      — Так вот, — вымолвил Радикс, — скажи, пожалуйста, как ты относишься к песенкам?
      — К песенкам?.. — нерешительно повторил мальчик, но понимая, куда он клонит. — Да, в общем... как тебе сказать... ничего отношусь.
      — Так не спеть лп нам песенку?
      — Какую?
      — А вот увидишь. Повторяй за мной и не сбивайся. А ну-ка!
      И они запели следующую песенку:
      Кто усидчив и проворен,
      Тот нигде не пропадет.
      Он посмотрит прямо в корень...
      То есть нет, совсем не в корень,
      Нет, не в корень, а под корень,
      Карандашик погрызет,
      Поглядит и извлечет.
      Кто усидчив и проворен,
      Тот нигде не пропадет!
      Песенка понравилась Илюше, а самое главное — Илюша заметил, что песенка эта волшебная. Волшебство же ее заключалось в том, что хоть Илюша никогда ее не слыхал, он ни разу не сбился, когда пел ее.
      — Ну, что ты скажешь? — вопросил Радикс. — Ты ведь погашаешь, что автор этой песенки я, а автора хлебом не корми, а только похвали. Что ж ты не хвалишь мою песенку?
      — Очень хорошая песенка, — торопливо выговорил Илюша как только мог любезно, — но только, видишь ли, мне очень стыдно, что я запутался и забыл эту формулу...
      — А у нас об этом, — вкрадчиво отвечал ему собеседник, — еще будет случай потолковать по душам. Не бойся, но забудем!
      А пока поставим точку. Вопрос исчерпан. Вернемся лучше к песенке. Усвоил ли ты ее содержание? *
      — Содержание... — отвечал несколько ошеломленный Илюша, — я усвоил. То есть, видишь ли...
      Тут Радикс глянул на мальчика очень важно.
      — Хм... — протянул он. — Усвоить содержание дело хорошее. Но что бы ты мог ответить на эту песенку?
      Илюша посмотрел на Радикса, помолчал, потом сказал:
      — Может быть, если бы я просто попробовал разложить этот трехчлен на множители, вместо того чтобы сидеть да злиться, так он бы разложился в лучшем виде и я бы все вспомнил?
      — Вот это дело! — воскликнул Радикс. — Хорошо сказано. Поддерживаю и присоединяюсь... А поскольку это действительно так, то я готов предложить тебе в качестве премии еще одну песенку. Тут, видишь ли, вот какая история...
      При этих словах Радикс задумчиво почесал себе бровь (потому что затылка в его распоряжении не имелось).
      — Кто-то мне недавно говорил, уж не помню кто, будто ты любишь математику...
      — Конечно, люблю. И даже очень, — отозвался немедленно мальчик. — Да ты не думай, пожалуйста, что я хвастаюсь! Сам Василий Иваныч в классе говорил, что мы у него с Колькой Неверовым математический актив.
      — А ведь это, братец, довольно ответственное звание — «математический актив», если положить, к примеру, что Василий Иваныч говорил всерьез.
      Илюша замялся. Ему хотелось согласиться, а все-таки немножко неловко самому о себе говорить как о «довольно ответственном математическом активе»...
      — Ничего, брат, не поделаешь, — отвечал Радикс. — Хочешь быть в математическом активе, так нечего трусить. Давай попробуем?
      Илюша не знал, что на это ответить, и спросил:
      — А про какую ты песенку говорил?
      Радикс улыбнулся, стал рядом с Илюшей и протянул ему свою руку.
      — Это будет, — сказал он, — совершенно новая и особенная песенка — и заметь: она с секретом. Внимание!
      Двадцать две совы скучали На больших сухих суках,
      Двадцать две совы мечтали
      О семи больших мышах,
      О мышах довольно юрких,
      В аккуратных серых шкурках.
      Слюнки капали с усов
      У огромных серых сов.
      Вот как жили-поживали Эти совы на суках —
      Двадцать две совы мечтали
      О семи больших мышах.
      Песенка хорошая, — сказал Илюша, — только я не совсем понял, в чем тут дело.
      — Я ведь тебе сказал, что песенка эта с секретом. Дано: совы, мышп и так далее, рифмы, строчки и все такое. Спрашивается: о чем повествует данное сочинение?
      Илюша думал, думал, но придумать ничего не мог.
      — Слабо, слабо! — отозвался собеседник. — Тогда вот ты мне что скажи: слыхал ли ты что-нибудь о музах?
      — Слыхал, — отвечал мальчик. — Это такие, вроде богинь у греков были, и они разными искусствами занимались: одна театром, другая стихами, и так далее.
      — Справедливо! А тебе никогда не приходилось слышать, чтобы эти музы действовали хором?
      — Хм... — протянул Илюша. — Постой-ка, я как будто бы что-то слышал на этот счет... только не помню что.
      — А насчет любви к родному краю?
      — К родному краю?.. — удивился Илюша. — A-а! Стой-ка, я, кажется, теперь вспомнил. Это такие стихи, мне их папа уже сколько раз читал. Их сочинил Валерий Брюсов:
      Свои хор заветный водят музы Вдали от дольних зол и бед.
      Но ты родные Сиракузы Люби, как древле Архимед.
      Ты об этом говорил?
      И так как Радикс подмигнул, мальчик воскликнул:
      — Понял! Это ты спел песенку про архимедово чис-л о. Двадцать две совы на суках, то есть наверху, — это числитель. А семь мышей — те внизу, это знаменатель. Выходит дробь двадцать две седьмых, отношение окружности к диаметру. Только ведь это не очень точное значение! У папы в справочнике я видел это число л с пятнадцатью десятичными знаками, а папа говорит, что на самом деле этим знакам и конца нет. Впрочем, папа сказал, что очень уж много знаков и не нужно. А все-таки хочется запомнить побольше. Да никак не запомнишь!
      — Это пустяки! — сказал Радикс. — Могу помочь тебе и выдумать хоть тысячу песенок для этого, и все будут разные. Про что хочешь? Про длинное я? Так я такое я тебе подарю, что с ним ты можешь делать микроскопы, телескопы и все, что хочешь. Только эту высокоторжественную песенку надлежит петь погромче:
      Гордый Рим трубил победа'
      Над твердыней Сиракуз,
      Но трудами Архимеда Много больше я горжусь.
      Надо нынче нам заняться,
      Оказать старинке честь:
      Чтобы нам не ошибаться,
      Чтоб окружность верно счесть,
      Надо только постараться И запомнить все как есть:
      Три — четырнадцать — пятнадцать —
      Девяносто два и шесть!
      Ну-с! — произнес Радикс. — Вот мел, вот тебе плоскость, то есть стена, она же доска, пиши!
      Илюша взял мел и написал на стене:
      3,1415926...
      — Ясно. Теперь не забуду. Превосходная песенка!
      — Песенка полезная, — отвечал, задумчиво улыбаясь, Радикс. — Ты можешь быть уверен, что это приближенное значение я годится для самого точного расчета, потому что если ты возьмешь даже не семь, а только шесть знаков, то и тогда получишь прекрасные результаты. Если, например, вычислять длину окружности, диаметр которой равен одному километру, то ошибка будет меньше миллиметра... В пятом веке нашей эры китайские математики предложили дробь yyg в качестве
      приближенного значения я. Эту дробь запомнить нетрудно. Напиши по два раза три первых нечетных числа — единицу, тройку и пятерку, — то есть 113355, раздели эти шесть цифр на две группы, по три цифры в каждой: вторая будет числителем, а первая — знаменателем. Просто и ясно!
      — Ловко! — ответил Илюша улыбаясь.
      — Кстати, — добавил Радикс, — известно ли тебе, что египтяне полагали, что площадь круга равна квадрату восьми девятых диаметра? Если ты припомнишь формулу площади круга, то легко можешь найти, чем египтяне заменяли я. И тогда увидишь, что египетское приближение не так уж плохо. Вавилонские математики — древние звездочеты, халдеи — иногда считали я равным просто трем. Они исходили из того, что радиус шестикратно помещается в окружности в качестве хорды, и это деление круга сперва на шесть частей, а потом на двенадцать и привело к первому, очень неточному значению числа я, которое было принято равным 3,0. Это же значение приводится дважды и в библии. А индусы полагали, что корень квадратный из десяти очень близок к числу я. Ты это и сам легко можешь проверить на бумажкеТебе, быть может, небезынтересно будет узнать, что в первом русском учебнике математики, в «Арифметике» Леонтия Магницкого, которая вышла в свет в самом начале восемнадцатого века, первое значение для я, которое узнали на Руси, как раз и было архимедовым числом, то есть равнялось двадцати двум седьмым. И если ты действительно любишь математику, то так и быть, я могу тебе подарить на память о нашей встрече совершенно замечательное приближение для я. В нем довольно много знаков, а нашел его математик Шэнкс лет восемьдесят тому назад. Я так полагаю, этого тебе хватит! Вот оно какое:
      ...
      В этот самый миг вдруг где-то сбоку раздалось оглушительно-грозное громыхание, а вслед за ним послышался такой пронзительный шип, что Илюша даже вспомнил, как шипит паровоз, когда машинист выпускает пар. Только здесь, видимо, шппел не один паровоз, а штук десять сразу...
      1 Загляни, мой хороший читатель, в АЛ-П, XVI, XVII, XVIII, там все это рассказано очень подробно.
      2 Однако, как на грех, при переписке Шэнкс пропустил один нуль, и эту его ошибку обнаружили только в 1948 году. Теперь с помощью электронпо-счетных машин пайдено уже несколько тысяч злаков числа я.
      Илюша невольно посмотрел на Радикса и очень удивился. На тощем личике Радикса был написан неподдельный ужас. Его длинный клюв-ротик раскрылся, зубы стучали, глаз вытаращился.
      — Что такое? — спросил шепотом Илюша.
      — Тссс!.. — зашипел на него Радикс. — Молчи, молчи! Может быть, это еще и не он... И зачем я только вылез из моего милого родного задачника!
      — Да что такое? — переспросил Илюша, которому тоже стало жутко. А когда он снова поглядел на Радикса, то заметил, что его новый знакомец делается от страха все меньше и меньше, и шепот его едва доносился до мальчика.
      — Кажется, — пискнул он снизу еле слышно, — я должен погибнуть!
      И в тот же миг перед Илюшей внезапно появился большой светлый квадрат. По ному пробегали какие-то странные тени, так что Илюше показалось, что у этого квадрата есть рожица, которая уставилась на Радикса самым ехидным образом, как будто говоря: «Вот ты где попался, голубчик!» А затем рожица показала язык Радиксу.
      — Что это? — прошептал мальчик.
      — Квадрат! — раздался комариный голосок Радикса откуда-то с самого пола. — Сейчас он меня... того... возведет!.. Возведет.., и крышка!
      Как ни струхнул Илюша в эту минуту, но все-такн сообразил, что действительно, если его приятеля Радикса возведут в квадрат, то от него не много останется.
      А светлый квадрат, корча страшные рожи и плотоядно облизываясь, все приближался.
      — Послушай... — простонал несчастный Радикс.
      Но тут снова раздался пронзительный свист, который заглушил слова Радикса, и перед Илюшей поднялась большая серая туча, в тени которой сперва померк, а затем и совсем исчез сердитый квадрат. И вот тут-то из этой огромной тучи со страшным свистом вырос громадный черный змий, ростом примерно с трехэтажный дом. Где-то высоко покачивалась, изящно согнувшись, его тонкая головка, а над ней сиял драгоценным пламенем какой-то странный знак вроде перевернутой набок восьмерки. Илюша смотрел на это невообразимое чудовище со смешанным чувством удивления, страха и любопытства. Он смутно припоминал, что этот грозный гигант ужасно похож на что-то такое, что он совсем недавно видел в одной папиной кпижке.
      — Величайший Змий! — еле пискнул снизу Радикс.
      Тут серая клубящаяся туча рассеялась, и мальчик увидел во весь рост этого колоссального Змия с его согнутой вправо шеей и загнутым влево хвостом. Змий взглянул на мальчика равнодушно и надменно, но глаза его блеснули холодным пламенем, когда он заметил несчастного, крохотного Радикса, который теперь стал ростом с Илюшину ладошку и совершенно растерялся от ужаса.
      Сверху раздался страшный, размеренно медленный, словно металлический голос.
      — Кто, — произнес он важно, — в дивных владениях ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА осмеливается без должного почтения упоминать имя нашего прославленного учителя, великого Бриарея геометрии и защитника прекрасных Сиракуз?
      — Величайший! — простонал насмерть перепуганный Радикс. — Величайший! Многославный! Пресветлый Змий! Отец змиев!.. О ты, Колумб площадей и Васко да Гама объемов! О могущественный покровитель винных бочек! Во имя учителей наших, преславного Кавальери, великого Паскаля, бессмертного Ньютона, счастливейшего из смертных...
      — Умолкни, нечестивец! — грозно произнес Великий Змий. — Ты должен быть уничтожен за твою дерзость!
      Тут Илюша не выдержал. Уничтожать бедного Радикса только за то, что он показал ему л, вычисленное с такой замечательной точностью, показалось Илюше совершенно невыносимой жестокостью.
      — Глубокоуважаемый Великий Змий, — сказал Илюша твердым, хотя и дрожащим голосом, — я, конечно, только еще в восьмом классе, но ведь он не нарочно! Просто он мне рассказывал про длинное я. Правда, он не виноват!
      Блестящие очи Змия обратились к Илюше и как будто только впервые заметили его.
      — Мальчик... Человечье дитя! Как он сюда попал?
     
     
      Схолия Третья,
      при помощи каковой любознательный читатель узнает еще много интересного о приключениях глубокоуважаемого Ильи Алексеевича в дивных владениях ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА. Здесь он встретит известное страшилище, по имени Элефуга, почтенного старца, которому недавно пошел семьсот сорок четвертый годик от роду. Затем появляется еще один персоназк, не столь квадратный, сколь насмешливый, и отправляет Илюшу в довольно скучную прогулку, во время которой наш герой встречает очень маленького, но весьма проворного попутчика, а по дороге внезапно выясняется, что правая рука может иногда вывести человека из большого затруднения, если ему уж так не терпится познакомиться с очаровательной Розамундой. Имей в виду: все, что говорится в зтой схолии, чистая правда, что и будет доказано в Схолии Четвертой more geometrico, то есть по обычаям геометрии.
     
      Илюша беспомощно оглянулся и не сразу рассмотрел Радикса, который уныло глядел в сторону н вид у него был такой, как будто под его черту не число поставили, а одну только запятую от десятичной дроби и дожидаются, что ж он теперь будет делать?.. Громадный Змий посматривал со своей высоты на Илюшу и, по-видимому, дожидался ответа. Вид у него был довольно суровый. Илюша хотел было сказать, что он просто запутался с квадратным трехчленом, но только и мог произнести: «Я...» — и на этом замолк.
      — Ты? — вопросительно повторил Великий Змий, пе спуская с него своего немигающего взора, который просто насквозь пронизывал Илюшу.
      И вдруг Илюша не выдержал и решительно сказал:
      — Мне хочется посмотреть, и... мне интересно! Я хочу... узнать! Да!
      — Что же ты хочешь посмотреть, мальчик? — спросил Великий и Совершенный Змий, отец змиев.
      — Я, — сказал Илюша, — очень люблю математику... И если у меня эта задачка не выходила, так это не оттого, что я лентяй. Мне хочется посмотреть и узнать... про все.
      — Про все? — спросил Змий, видимо немного удивленный. — А не много ли ты хочешь?
      — Не знаю. Только я буду очень стараться, потому что мне интересно, и вообще... я хочу быть математиком!
      — Л может, лучше из рогатки? — спросил Змий, и Илюше показалось, что это страшное чудовище насмехается над ним. — Или волейбол, например? — продолжал Змии. — Саженками наперегонки? На лыжах с горки?
      — Саженками я хорошо умею, — отвечал Илюша, вспомнив, как приятно плыть через речку в прохладной воде, а над головой у тебя звенят синекрылые стрекозы, — и волейбол тоже штука хорошая. — Только мне хочется быть математиком.
      — Так, — сказал Великий Змий. — Но ты понимаешь, что это не так просто? И не струсишь?
      — Нет! — твердо ответил Илюша. — Трусить не буду. Только... вы, пожалуйста, простите Радикса...
      — Посмотрим, — медленно н надменно процедил Волшебный Змий сквозь зубы таким тоном, который не предвещал ничего хорошего.
      И вслед за этим он медленно расплылся в воздухе и исчез. Илюша облегченно вздохнул, обернулся и с трудом заметил внизу малюсенький радикал, не больше двух миллиметров ростом.
      — Ну, видишь, он ушел! — сказал ему Илюша. — Значит, он не сердится.
      — Не сердится! — отвечал Радикс, понемногу вырастая до пяти сантиметров. — Плохо ты его знаешь. Вот начнут теперь тебя водить по Великим Испытаниям, тогда посмотрим, что ты запоешь!
      — А что такое Великие Испытания?
      — Вот увидишь, — уныло произнес Радикс. — Не обрадуешься... Однако, разумеется, коль скоро он сказал...
      — Что значит «коль скоро»? — спросил Илюша.
      — «Коль скоро» — значит «если», — грустно отвечал Радикс.
      1 — А почему же ты не говоришь просто «если»?
      — «Почему, почему»!.. — сказал Радикс рассердившись. — Так полагается. Например: коль скоро мальчик пристает к почтенным и танпственным существам с разной чепухой, он, возможно, подвергнется физикальному поучению, например, получит березовой каши сколько влезет. Угощение на славу.
      — Ну что это такое! — воскликнул возмущенный Илюша. — Я думал, ты что-нибудь объяснишь...
      — Как сказать! Роджер Бэкон, который жил в тринадцатом веке и которого
      звали Доктор Восхитительнейший и считали колдуном, хотя он просто был замечательный по тем временам физик и философ, утверждал, что только розгами и можно вогнать в мозги ученика первые четыре теоремы из одного старинного учебника геометрии, а пятая теорема уже называется Элефуга, что значит «бегство несчастного».
      — А сам-то он все-таки не убежал! — с торжеством ответил Илюша. — Да и я, например, всю уж планиметрию прошел, и без всякой березовой каши.
      — Н-да, — неохотно отозвался Радикс и, помолчав, добавил: — А знаешь, что это была за теорема, о которой говорили такие страшные вещи? Вот что она гласит: «В равнобедренных треугольниках углы при основании равны, а если продолжить равные стороны, то и углы под основанием равны». Как по-твоему: трудная теорема?
      — По-моему, нет, — ответил Илюша. — Чего ж тут трудного? Я бы так поступил: перегнул бы треугольник по высоте, то есть по оси симметрии. По-моему, простая теорема.
      — Ну вот, — отвечал Радикс, — так представь себе, в давние времена ее еще называли «ослиным мостом», то есть таким местом, дальше которого упрямого лентяя сдвинуть невозможно. А впрочем... Сейчас ведь дело то не в этом.
      В это время слева раздались какие-то очень четкие шаги — * раз, два! раз, два! — вроде маршировки... Илюша не спеша обернулся и увидел престранного человечка, у которого вместо головы был квадрат, перечеркнутый из угла в угол двумя диагоналями, а с обоих боков этот квадрат замыкался двумя дугами. Странная рожица довольно ехидно ухмылялась.
      — Начинается! — пробормотал Радикс с досадой.
      — Привет! — сказала квадратная рожица, уморительно гримасничая. — Привет, прелестный мальчик, очень рады вас видеть! Давно дожидаемся. Любопытство тоже вещь не лишняя, как сказал один толстый сом, проглотив утенка, который собирался клюнуть его в самый ус.
      — Эх, — сказал Радикс на ухо Илюше, — ведь вот пришлют тебе такую ехиду! Всю душу вымотает.
      — Прошу вас, очаровательный юноша! — галантно произнесла квадратная рожица, отвешивая низкий поклон и расшаркиваясь. — Будьте уж так любезны, снизойдите к этой маленькой прогулке.
      В высшей степени важно для моциона, как сказал один рассеянный паренек, споткнувшись о здоровенную тумбу...
      Илюша посмотрел на Радикса и увидел, что его новому другу вовсе не охота на все это смотреть... Перед Илюшей вдруг выросла синеватая степа, а в ней небольшое круглое отверстие, через которое можно было пролезть.
      — Замечательно уютная прогулка! — сообщил квадратнорожий человечек. — Прелестная Розамунда ждет не дождется вашу милость. У нее там масса всяких развлечений. Прошу вас, не стесняйтесь.
      Илюша, не совсем понимая, куда клонят эти загадочные речи, все же полез в отверстие. Радикс было сунулся туда же, но квадратнорожпй человечек погрозил ему пальцем. Илюша оглянулся и понял, что остался один. Он пошел по длинному коридору, который, петляя, заворачивал то в одну, то в другую сторону; несколько раз он проходил в какие-то двери и опять шел по бесконечным переходам, выходил на перекрестки, сворачивал, попадал в тупики, возвращался и снова поворачивал и, наконец, стал замечать, что уже не может понять, был он на этом месте или только что пришел сюда в первый раз. Тогда он решил вернуться, но и это оказалось очень трудно: невозможно было сообразить, в какую сторону идти. Он пошел наугад, дошел до синеватой стены, остановился и, покопавшись в кармане, достал кусочек мела. Потом, двинувшись дальше, стал ставить крестики у поворотов. Наконец, когда уж он совсем выбился из сил, он увидел знакомое круглое оконце, вылез в него и увидел унылую фигуру Радикса.
      — Ну-с, — сказал Радикс, весьма кисло усмехаясь, — как тебе понравилась прелестная Розамунда?
      — Какая там Розамунда! — грустно произнес Илюша. — Ходил, ходил по этим закоулкам... и...
      — И вернулся не солоно хлебавши, — резюмировал Радикс.
      — Я пойду опять, — сказал Илюша. — Ведь не может быть,
      чтобы нельзя было пройти?
      Радикс промолчал, а Илюша снова полез в оконце. На этот раз он пошел в другую сторону. Снова попал в какую-то дверь, и опять пошли одинаковые коридоры, нескончаемые тупики, повороты, петли, перекрестки с несколькими дверями, и ои по пять раз возвращался на то же самое место.
      — Вот мучение! — сказал Илюша, а потом позвал: — Радикс! А, Радикс!
      — У телефона, — ответил ему голос Радикса неизвестно откуда.
      — Как глупо! С тобою серьезно, а ты тут с телефоном каким-то...
      — Ах, глупо? — ответил Радикс неизвестно откуда. — Кладу трубку.
      — Нет-нет, не надо! — заторопился Илюша. — Я хотел тебя спросить: хорошо, что я ставлю крестики?
      Наступила полная тишина.
      — Радикс! — позвал Илюша.
      — Я вас слушаю.
      — Что же ты не отвечаешь?
      Опять тишипа.
      — Фу! — сказал Илюша. — Ну, тогда так... Если ты молчишь, то я буду так считать: молчание есть знак согласия. Ты слышишь?
      — Радикс у аппарата.
      — Ну, так как же?
      Опять наступило молчание. Илюша решил рассматривать это как утвердительный ответ. И снова пошел дальше. Еще несколько раз он попадал в новые двери, но неизменно выходил все к той же синеватой стене. Наконец опять позвал Радикса.
      — Кто говорит? — спросил Радикс важно.
      — Точно ты не знаешь! — сказал обиженно Илюша. — Ты мне скажи... Это, наверно, лабиринт? Да?
      Полная тишина была ему ответом.
      — Где-то я, в какой-то книжке видел, — грустно продолжал Илюша, не дождавшись ответа, — только там с карандашом не так уж трудно...
      — Еще бы! — отвечал невидимый Радикс. — Там перед тобой план, ты все видишь, а вот когда его нет...
      И Радикс снова умолк, Илюша обрадовался. То, что сказал сейчас Радикс, показалось ему косвенным утвердительным ответом на его вопрос о лабприпте. Он вспомнил: в этой книжке было прямо сказано, что непроходимых лабиринтов не существует.
      После долгих блужданий и размышлений Илюша так устал болтаться по этим совершенно голым коридорам, что стал опираться рукой на степу. И тогда вдруг ему пришло в голову, что если он идет вперед и не отпускает правую руку от стены, то, значит, уже наверное куда-то двигается, а не просто путается, ибо самое неприятное было в том, что никак не поймешь — был ты здесь или нет. Л таким образом как будто можно исследовать весь лабиринт или, на худой конец, хоть часть его...
      Вдруг из-за угла какой-то маленький зверек с яркой лампочкой ка лбу опрометью бросился к Илюше, остановился, будто в недоумении, поводил туда-сюда своей лампочкой-глазком... Снова куда-то стремглав бросился и исчез. Немного он напоминал мышку.
      Илюше пришло в голову попробовать определить, что именно он имеет в виду, когда говорит сам себе, что хочет «исследовать ту или иную часть лабиринта». Подумав, он решил
      начать с самого простого — с туника. Что значит исследовать тупик, если ты идешь, касаясь правой рукой его стены? Это значит, что дойдешь до его замыкающей стенки, пройдешь вдоль нее, а потом выйдешь из туника назад, касаясь степы той же правой рукой. но касаться ты будешь уже не той стены, которая была справа, когда ты вошел в тупик, а другой — противоположной. Ты пройдешь таким образом тупик два раза, туда и обратно. Если ты попадешь в петлю, то можешь ее рассматривать тоже как тупик, но с некоторым островком посредине. Ты пройдешь всю петлю и вернешься к тому месту, с которого начал. Островок все время будет находиться слева от тебя, и если в нем нет дверей, то можно им и не интересоваться.
      — Самое, по-видимому, опасное в лабиринте, — рассуждал Илюша, — это не вовремя сменить руку, ибо если ты, идя по петле мпмо островка, сменишь руку и будешь держаться стены островка, то так и будешь ходить вокруг этого островка. А ошибку эту очень легко не заметить, потому что петля может быть очень сложной.
      Сделав еще несколько шагов, мальчик остановплся и сказал себе:
      — Кажется, я придумал! Дело в том, что поскольку у лабиринта есть только один вход, то, во всяком случае, это правило правой руки дает возможность вернуться к выходу, как бы далеко я ни зашел. Кажется, я придумал!
      Снова откуда-то выскочила та же мышка и, не останавливаясь, промчалась в обратном направлении...
      Тут Илюша снова позвал Радикса. Прошло несколько секунд, и он услыхал ответ:
      — К вашим услугам!
      — Послушай, Радикс, — осторожно начал Илюша, — как ты думаешь, если я буду все время- держаться правой рукой за стену? То есть, конечно, можно и левой, но только все время одной и той же рукой. По-моему, тогда уж я не могу здесь заблудиться.
      Воцарилось полное молчание. Илюша подождал, подождал и еще позвал Радикса. Но на этот раз тот совсем не отвечал. Илюша сперва было струхнул, а потом подумал, что, быть может, столь глубокое молчание как раз и означает, что он догадался... Но делать было нечего, Радикс не отзывался, и
      Илюша пошел дальше. Долго он ходил из коридора в коридор и наконец, совершенно замучившись, вошел еще в какую-то дверь. И когда он в нее вошел, ему показалось, что ои услыхал нечто похожее на чей-то очень тихий вздох облегчения. Он позвал Радикса, но ответа не было. Илюша радостио усмехнулся, теперь уже совершенно уверенный в том, что наконец попал на правильный путь, и с новыми силами двинулся дальше.
      Навстречу ему сейчас же попалась мышка, которая бежала очень быстро. Добежала до Илюши, уткнулась в него носиком, отскочила, обежала его два раза кругом, а через минуту выскочила с другой стороны и опять умчалась...
      Мышка была проворная и соображала быстро.
      Схолия Ч еш в ер ш а я,
      с помощью каковой читатель знакомится с прелестной Розамундой и узнает, что красота этой особы имеет, как это пи странно, обратную сторону. Попутно выясняется, что эта гостеприимная красотка (акней не так-то легко попасть на прием), приходится тетушкой каждому гостю, который согласится пройти сравнительно небольшое расстояние вниз головой, а потом получить урок, как надлежит поступать с дамами, которые выходят из себя, а это прямиком подводит тебя к задаче, как из восьми квадратиков сделать сорок с лишним тысяч совершенно таких же. Читатель more geometrico может сам убедиться, что все, рассказанное в Третьей и Четвертой Схолиях этой удивительной книжки, сущая правда. Впрочем, если кто-нибудь этому не поверит, то горю помочь нетрудно. Ясно, что с карандашом в руках прогуляться по плану лабиринта — дело не очень хитрое. Но тот, кто пожелает испытать именно то, что испытал Илюша, гуляя по настоящему лабиринту, должен поступить иначе. Надо взять кусочек плотной бумаги, вырезать в середине его небольшое отверстие, чуть пошире коридорчика лабиринта на плане, наложить эту планшетку на план, как раз на вход в лабиринт, и двигаться вперед, передвигая отверстие вдоль коридора. Вот тогда читатель действительно попадет в положение Илюши, ибо он будет видеть только небольшой кусок коридора, по которому идет.
      Описывать дальнейшее путешествие Илюши нет никакой надобности, потому что оно было совершенно таким же, как и.раньше. Разница была только в том, что Илюша бродил там часа два, заходил в три дюжины тупичков, но ни разу не попал назад к синеватой стене, и это наполняло его надеждой. Вскоре он вышел на довольно широкую площадку, где пол был зеленый, в разных красивых узорпых прожилках, точках, петельках, линиях. Все было очень запутанное, но довольно приятное. А посреди площадки стоял маленький очень хорошенький домик, тоже изукрашенный разными узорами. Под самой его крышей висело множество серебряных колокольчиков, которые, едва только Илюша вышел на площадку, отзвонили какой-то очень веселенький марш и тут же повторили его еще раз.
      Илюше так понравилась эта музыка, что он даже остановился послушать.
      Затем музыка кончилась. Илюша немного подождал, но колокольчики больше не звонили.
      Илюша подошел к этому необыкновенному домику, обошел его кругом и наконец нашел что-то вроде двери, которая
      А вот по какому ему пришлось прогуляться.
      почему-то была выпуклая, точно ее сзади долго гладили каким-то цилиндрическим утюгом. Справа у двери внесла небольшая табличка, на которой аккуратно и четко было написано:
      Что такое? — пробормотал обескураженный Плюша. — Двадцать два часа — это десять часов вечера, а здесь написано «утра»? А десять часов... это опять вечером, а тут написано «дня»? Какой же это прием, когда он кончается в ту же секунду, когда начинается? И перерыв с трех часов до одиннадцати, целых восемь часов подряд они обедают! А в десять уже прием кончается. Что такое?
      Илюша постоял, перечел табличку, еще раз убедился, что он ничего не понимает, пожал плечами и потом осторожно постучался.
      — Ах, это вы, молодой человек! — раздался из домика пискливый и скрипучий голос. — Ах, как я тронута! Ах, как это мило, что вы наконец посетили бедную, всеми покинутую Розамунду! Ну, что же вы там без толку топчетесь, прелестный юноша? Идите прямо по двери.
      Илюша снова взглянул на дверь в еще большем недоумении и спросил:
      — То есть как это «по двери»?
      — Очень просто, — отвечал скрипучий голос. — О великая богиня Лилавати! Почему судьба посылает ко мне таких отменных дураков, которые даже не умеют по двери пройти? Говорят вам: идите, молодой человек, так извольте слушаться!
      Молодой человек, которому поднесли такой отменный комплимент, почесал в затылке и занес ногу на дверь. Тут он заметил, что выпуклая дверь, как только он на нее наступил, начала как-то странно изгибаться на манер винта. Выяснилось, что на двери есть какие-то незаметные горизонтальные черточки, на которые можно спокойно ставить ноги и подниматься наверх.
      Двигаясь таким образом, Илюша увидел, что, поднимаясь, все время сворачивает куда-то вправо. Затем он поднялся на самый верх и тут заметил, что каким-то образом очутился уже внутри домика. И при этом вниз головой! Он было собрался испугаться, но потом раздумал, пошел храбро вперед и попал прямо на пол. И при этом вверх головой.
      — Здравствуйте, — сказал немного опешивший Илюша. — Какая у вас странная дверь!
      — Ну, что тут странного? — воскликнула хозяйка. — Односторонняя поверхность. Куда проще обыкновенной поверхности: у той две стороны, а у этой всего одна. Гораздо проще! Разве не ясно?
      — Как это так «одна»? — удивился Илюша.
      — Ах, великая Лилавати! — взвизгнула хозяйка. — Но ведь вы же не переходили на другую сторону?
      — Нет, — ответил Илюша, глядя на нее во все глаза и пока еще ничего не попимая.
      — И все-таки очутились здесь, то есть по другую сторону двери? Ну, вот и всё. Очень просто! Вы потому очутились по другую сторону, что у этой двери только одна сторона и есть, та самая, по которой вы шли. Чего же проще? Малое дитя и то догадается. Ну, поняли вы наконец?
      — Ничего не понимаю! — сказал Илюша и уставился на хозяйку.
      Перед шш сидела коротенькая толстенькая особа, очень похожая на резиновую куклу. Она сидела в узорном креслице, ножки ее не доставали до полу, на башмачках были бантики, а длинный ее язычок вился в воздухе. Он то почесывал левую ладонь Розамунды, то обдергивал ее коротенькую юбочку. Выпученные глазки ее, медленно поворачиваясь над крохотным вздернутым носиком, внимательно осматривали гостя. Вдруг ее язык стрельнул прямо к Илюше и пожал ему руку.
      Илюша машинально пожал язык и пробормотал еще раз:
      — Здравствуйте!
      — Ну, теперь поняли?
      — Не-ет, — нерешительно вымолвил Илюша.
      — Фу-у! — произнесла Розамунда. — Вы меня прямо выводите из себя.
      — Я... — начал было Илюша.
      — Вывел! Вывел! — вдруг во всю глотку закричала Розамунда.
      И тут же в один миг вся она вывернулась наизнанку. Все формы были как будто такие же, только совершенно навыворот.
      Самое неожиданное, однако, заключалось в том, что длиннейший язык Розамунды оказался теперь во всю длину свою на свободе. Он сделал несколько вкрадчивых движений, как бы осматривая окрестность, а потом вдруг взвился вверх, и так стремительно, что Илюша подумал, не догадался ли язык, что теперь он хозяин положения и, следовательно, может действовать, как ему заблагорассудится.
      — Вот видите, что вы со мной сделали! — закричала изнутри самой себя Розамунда. И голос у нее теперь стал глухой, точно у щенка, который свалился в бочку и там жалобно скулит.
      — Что же теперь делать? — растерянно спросил Илюша.
      — О богиня! — взвизгнула изнутри Розамунда. — Вы видите мой язык? Помогите мне поймать его!
      Легко это было сказать, но не так-то просто
      сделать: язык Розамунды точно догадался, что его хотят поймать, и начал метаться теперь по всей комнате с бешеной быстротой. Он задевал за все, что подвертывалось, и хлестал, словно громадный кнут, по всем предметам, которые так и летели кувырком во все стороны.
      — Почему у вас там такой шум? — глухо взвизгнула Розамунда. — Чего же вы думаете?
      Дайте мне мой язык!
      — Ваш язык!.. — вскрикнул Илюша, еле увертываясь от расходившегося языка. — Он взбесился!
      А язык в эту минуту поймал Илюшу за ногу, повертел им в воздухе и бросил его прямо в стену. Илюша ударился об стену и, по закону «угол падения равен углу отражения», отлетел, ударился в другую стену, потом в зеркало и, наконец, попал на пол.
      — Да что ж с ним делать? — в ужасе закричал, забравшись под стол, Илюша. — Он скоро весь домик разнесет!
      — Не нужно было меня выводить из себя, противный мальчишка! — глухо выла Розамунда. — Поистине язык мой — враг мой. II всех моих друзей тоже. Засуньте мне его в рот, умоляю вас во имя милостивой богини Лилавати!
      Илюша осторожно выполз из-под стола, еле вырвался от норовившего снова ухватить его языка, подскочил к вывернутой наизнанку Розамунде и кое-как впихнул ей часть языка в рот. Язык упирался, бился, вился, но ничего не мог поделать. От отчаяния он даже попал в чернильницу самым кончиком и, воспользовавшись этим, написал тут же на потолке очень странное слово, а именно:
      Но тут Розамунда втащила его впутрь. Тогда Илюша, догадавшись наконец, как ей надо помочь, ухватился за язык у его основания и дернул изо всех сил. В мгновение ока Розамунда как ни в чем не бывало опять уже сидела на своем креслице и задумчиво поправляла бантик на туфле кончпком своего бесконечного языка, который начал прилежно прибирать Розамундову светлицу.
      Хозяйка теперь взгляпула на Илюшу довольно снисходительно.
      — Ну, пустяки! — пробормотала она. — Забудем ото маленькое недоразумение.
      — Скажите, — осторожно начал Илюша, — а что у вас там написано около двери насчет приема? Я не совсем понял. Если вы, например, принимаете с двадцати двух часов до десяти утра, то вы, значит, принимаете ночью. Но в таком случае зачем же вы пишете, когда у вас дпем бывает перерыв, если вы все равно днем не принимаете?
      — Терпеть не могу объяснять! — закричала хозяйка. — Самому надо понимать. Есть у вас голова на плечах? Извольте ею работать. Может быть, я еще сама не понимаю — вы откуда знаете? Так вот и извольте, как любезный гость, все мне рассказать. Да не как-нибудь, а так, чтобы мне приятно было послушать. А то я и слушать не захочу. А может быть, захочу.
      И снова вдруг у самых ног Илюши проворно проскочил маленький серенький зверек, которого Илюша уже три раза видел во время своих скитаний по лабиринту. Мальчик только покосился на него, но тот остановился на всем бегу, приподнялся на задние лапки, правой лапкой расправил свои пушистые усики, метнул хвостиком туда-сюда и тончайшим голоском (в котором слышалось что-то вроде «фона» в настраиваемом радиоприемнике) заявил:
      — А я умею! А я пробегу! Туда и сюда!
      — Да? — снисходительно процедила Розамунда, на миг смягчившись. — Рада слышать. Похвально! А как поживает мой добрый старичок Радикс? Ты его видела?
      Мигом странный зверек мелькнул по полу и исчез. А через секунду вернулся, снова приподнялся и заявил:
      — Благоденствует. Шлет низкий поклон и желает вам здравствовать многие лета!
      Немедленно колокольчики грянули на все голоса:
      — Радикс благоденствует! Динь-динь-динь! Мышка лаби-ринствует! Дпнь-дпнь-динь! А ты не умеешь!
      — Что это значит? — спросил Илюша. Ему вдруг пришло в голову, что болтливые колокольчики звонят именно про него, будто он чего-то «не умеет»!
      — Мышка у меня памятливая, не то, что некоторые, у которых в одно ухо войдет, а в другое тут же выскочит.
      Илюша стоял и поеживался, не зная, что сказать. В это время язык Розамупды, медленно выполз из ее ротика и начал завиваться в воздухе, изображая сперва нечто вроде волнообразной линии, а затем какую-то штуку, похожую на соленоид, а потом винтовую линию. Линия вилась, покачивалась, и Илюша невольно залюбовался ее узором.
      Розамунда, однако, вышла из задумчивости и сама теперь
      не без интереса следила за теми выкрутасами, которые творил ее язык в воздухе.
      — Красиво! — сказал Илюша.
      — Ее зовут Геликоида, — ответила она.
      Тут язык Розамунды быстро развинтился, а йотом снова завинтился в другую сторону.
      — Кого? — спросил Илюша с удивлением.
      — Вот эту очаровательную кривую. Но это слишком хитро для вас. Вы даже и с лабиринтом чуть было совсем не запутались! Однако перейдем к делу. Угодно вам быть моим племянником?
      — Угодно, — сказал Илюша с интересом.
      — Мои племянники, — хитро прищуриваясь, сказала Розамунда, завинтив язык большой баранкой, — зовут меня... тетушкой Дразнилкой!
      Мгновенно все колокольчики на домике зазвонили очень хитро и тонко. Казалось, что каждый из них позванивает и повторяет:
      — Тетушка Дразнилка! Тетушка Дразнплка!
      — Или, — продолжала, нежно улыбаясь, Розамунда, — они меня еще называют «Выйдет-не-выйдет»...
      А колокольчики снова обрадовались и начали выкрикивать на разные тоненькие голоса:
      — Выйдет-не-выйдет! Тетушка Дразнилка! Выйдет-не-выйдет!
      Тетушка Дразнплка даже потолстела от удовольствия, протянула куда-то очень далеко свой бесконечный язык и достала маленькую квадратную коробочку.
      В коробочке лежали три деревянных квадратика и оставалось еще место для такого же четвертого, вместо которого была пустышка. На квадратиках были буквы. На первом — буква «И», на втором — «К», на третьем — «С».
      — «Икс», — прочел Илюша.
      — Поразительно! — сказала тетушка Дразнилка, высоко поднимая брови. — Как это таких глупых мальчиков все-таки учат читать?
      Илюша хотел было обидеться, но потом подумал, что, пожалуй, лучше не стоит болтать, пока тебя не спрашивают.
      — Переставь буквы, — сказала тетушка Дразнилка, — и прочти, что получится. Переставляй по-всякому. И так и сяк. Ну, читай, что у тебя получается.
      — Получается, — сказал Илюша, — «кси», потом «ски», «иск», «кис» и «сик»... Вот и всё. Вместе с иксом вышло шесть штук. А что это за слова?
      — Слова самые простые, — ответила тетушка Дразнилка, которая постепенно становилась все толще. — «Кси» — это греческая буква, которая произносится так же, как латинский «икс». «Ски» — так англичане называют лыжи. «Кис» — так кошек зовут. «Сик» — по-латыни будет «так». Ну, «иск» — это ты и сам знаешь. Судебный иск. Так вот, возьми поставь слово «кси». А теперь можешь передвигать шашкп в коробочке. Только не вынимать! Передвигай так, чтобы вышло опять слово «икс».
      Илюша начал передвигать шашкп с буквами. Сперва ничего не получалось. А потом вдруг получился «икс».
      — Очень мило, — сказала тетушка. — Ну, теперь ставь все другие слова и делай из них «икс».
      Слово «сик» у Илюши очень быстро превратилось в «икс». Но зато, как он ни бился над другими словами — «иск», «кис»
      и «ски», — пичего пе получалось.
      — Нет, — сказал наконец Илюша, — два слова выходят, а три эти никак не сделаешь.
      — Прелестно, очаровательный мальчик! — ответила тетушка Дразнилка. — Ведь оно так и называется; «Вый-дет-не-выйдет». Ну, давай возьмем похитрее.
      Длинный язык ее мигом прибрал коробочку с «иксом» и притащил другую коробочку, немного побольше. В этой коробочке лежало девять квадратных шашек, причем та, которая находилась в правом нижнем углу коробочки, была такая же, как другие. На каждой шашке была буква, как на рисунке справа.
      — Вынь последнюю шашку с буквой «А» из коробочки совсем. Перемешай шашки, а потом добейся, так же как
      с «иксом», чтобы они стали по порядку. Если тебе трудно с буквами, переверни шашкп — у каждой на другой стороне есть номер.
      Илюша перевернул шашки, и у него вышло, как на рисунке слева.
      Буквы теперь заменились цифрами, которые, однако, шли одна за другой ие в обычном порядке, по строкам, а «змейкой». Илюша вынул шашки, перемешал, расставил и начал передвигать. Оказалось, что это похитрее, чем с «иксом», то есть с тремя шашками. Илюша пыхтел, старался, мучился, наверное, минут двадцать, пока наконец добрался до конца. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 все попали на свои места, только вместо 7, 8 у Илюши получалось 8 и 7. И как он нп бился, начиная опять все с самого начала, переставить их, как полагается, не мог.
      — Не выходит! — наконец признался Илюша.
      И все колокольчики сейчас же подхватили это.
      — Попробуй еще раз, — посоветовала тетушка Дразнилка.
      Илюша перемешал шашкп и снова начал. Но и во второй
      раз получилось то же самое. Наконец в третий раз все цифры стали на свои места.
      — Вот что, — сказал Илюша, — мне бы надо записывать, какие комбинации выходят, а какие нет. Потому что про «икс» запомнить нетрудно, а здесь лучше записывать.
      — Вот как! — раздался голос около Илюши.
      Он обернулся и увидел знакомую квадратную рожицу.
      — Какой догадливый мальчик! — сказала рожица. — Записывать хочет! Пиши, пишп. Сколько же тебе придется записать разных комбинаций этих цифр?
      — Не знаю, — сказал Илюша. — А разве много?
      — Сущие пустяки, — ответила рожица, — так, тысяч около сорока с лишним!
      На сколько мест можно поставить тройку?
      — Сорок тысяч! — сказал Илюша. — Как же так выходит?
      — На что проще! — ответила рожица. — Возьми две шашки. Сколько комбинаций выйдет?
      Илюша подумал.
      — По-моему, пз двух получается две. Откуда же еще? Один, два, а потом: два, один. Вот и всё.
      — Очаровательно! — ответила рожица. — Ну, теперь рассуди; если ты к двум цифрам, то есть к единице и двойке, прибавляешь еще тройку, сколько получится комбинаций? Вот перед тобой две комбинации: «один — два», а потом «два — один». На сколько мест ты можешь теперь поставить тройку?
      — Могу поставить спереди — это раз, после единицы — это два, после двойки — это три. Ага! Значит, каждый раз я могу поставить тройку тремя разными способами, а комбинаций у меня две. Получается шесть. Надо перемножить.
      — Наконец-то! — облегченно вздохнула рожица. — Ну, а теперь дальше. Если у тебя шесть комбинаций по три, а ты берешь еще четверку, сколькими способами можно ее добавить в каждую комбинацию?
      — Четырьмя способами: спереди, после единицы, после двойки, после тройки. Выходит двадцать четыре. А к этим двадцати четырем комбинациям пятерку я могу добавить пятью способами. Понял, понял! И выйдет... выйдет... Постой-ка!.. Выйдет сто двадцать.
      — Верно, — отвечала рожи-
      ца. — О, догадлпвый юноша! Ты пе замечаешь никакого общего правила?
      Илюша подумал и сказал робко:
      — Кажется, замечаю. Надо перемножить все цифры, начиная с двойки и до той самой цифры, сколько шашек.
      — Начнем уж лучше с едппицы для простоты, — ответила рожица. — Ничего не изменится. Эта штука называется факторна л. Никогда он тебе не попадался? Ну, так вот, попробуй, пере-мпожь все цифры до восьмерки. Посмотрим, сколько получится.
      Илюша долго множил и под конец убедился, что цифра действительно получается весьма внушительная.
      — Ну, теперь возьмем, — сказала тетушка Дразнплка, — самого главного Дразнилку.
      Длинный язык ее мелькнул в воздухе и притащил третью коробочку, в которой было шестнадцать деревянных квадратпков, причем все они были зеленого цвета, а один квадратик был белый. Он стоял в правом нижнем углу. На квадратиках были красные буквы. И в общем получалось, как на верхнем рисунке.
      — Ну вот, — произнесла тетушка Дразнплка, — познакомься друг
      мой, с моим тезкой. Переверни квадратики — на обратной стороне есть цифры.
      Илюша перевернул шашкп, но получились почему-то не цифры, а то, что нарисовано слева.
      — Ну, переверни еще разок!
      Илюша перевернул еще раз, вынул одну шашку, и получилось, как нарисовано на следующей странице.
      Илюша спутал квадратики, расставил их и взялся за дело. И опять вышло то же, что с восемью шашками: то выйдет всё как следует, а то последние цифры застрянут и вместо 13, 14 и 15 выходит 13, 15 и 14. И повернуть не удается!
      — Ну-с, — произнесла сильно потолстевшая тетушка Дразнилка, — что же ты скажешь, превосходный юноша, насчет того, почему во всех дразнилках с двумя последними шашками что-то не ладится, а?
      Илюша ничего не мог ответить. Он начал было думать, но в голову ему лезло что-то совсем другое... Он думал о том, как ему узнать поскорей у Радикса: во-первых, кто такая богиня Лилавати, о которой каждую минуту вспоминает Розамунда; во-вторых, как получилось с этой странной дверью; в-третьих, что за нелепая надпись о приеме и непонятные часы; в-четвертых, ведь он так и не узнал, кто такой Бриарей, о котором говорил Великий Змий.
      — Ну-с? — спросила тетушка Дразнилка. — Придумал?
      Илюша густо покраснел, ибо он думал совсем о другом.
      — Ну-с? — повторил квадратнорожий человечек.
      — А тебе какое дело? — сердито спросил его Илюша. — Ты мне ничего не показывал!
      — Невежливый мальчик, — произнесла скрипучим голосом тетушка Дразнилка, — явно нуждающийся в том, чтобы ему в общедоступпой форме пояснили, что такое «коль скоро»...
      При этих словах тетушка Дразнилка неожиданно сильно похудела. Квадратнорожий человечек гордо выпятил грудь, и показал на свою удивительную рожицу.
      — Я, — сказал он важно, — не кто иной, как Кандидат Тупиковых Наук, я Доктор Четных и Нечетных Узлов, я Магистр Деревьев, а сверх того я ношу звание Первого Командора Великого Ордена Семи Мостов. Мое имя — Уникурсал Уникурсалыч Уникурсальян.
      Илюша смотрел на него во все глаза и думал, что от таких объяснений только увеличивается громадная куча вопросов, с которыми не к кому обратиться, и больше ничего. Вдруг Илюше показалось, что к его ноге ластится кошка. «Откуда здесь кошка?» — подумал он с досадой и посмотрел вниз. Оказалось, что это все тот же противный язык Розамунды, который незаметно подкрался из-под стола к Илюшиной ноге и уже успел трижды обвиться вокруг ноги. Илюша попробовал было вытащить ногу, но оказалось, что это совершенно невозможно. Очень было похоже на капкан!..
      Тогда Илюша очень грустно посмотрел на Розамунду и на Доктора Четных и Нечетных Узлов У. У. Уникурсальяна и сказал, несколько запинаясь:
      ...
      — Нет-нет... я... то есть... во-первых, извините, потому что я не знал, что у вас есть такой... удивительный орден... и я, правда, никогда ничего про него не слыхал.
      Вдруг Илюша почувствовал, что нога его понемножку освобождается. И тут его, что называется, осенило:
      — А насчет Дразнилки я сейчас скажу! Только про самого маленького Дразнилку, про «икс». Я думаю, что их потому никак не переставишь, что они ходят друг за дружкой гуськом. И ничего с ними не поделаешь... А я ведь не знал, Уникур-сал Уникурсалыч, что вы доктор наук, и я даже хотел вас спросить: если взять самого главного Дразнилку, с пятнадцатью квадратиками, сколько же там получится комбинаций?
      Упикурсал Уникурсалыч посмотрел на Илюшу довольно свирепо, но быстро смягчился.
      — Не таг: много, — ответпл он. — Если, например, пустышка тоже может стоять на любом месте, то выйдет всего каких-нибудь двадцать триллионов с небольшим.
      — Триллионов! — сказал, охнув, Илюша. — Это ведь после биллионов, то есть миллиардов?
      — Вот именно, — ответил важно Уникурсал Уникурсалыч. — Ну, другими словами, это будет столько, если два помножить на десять в тринадцатой степени. Ну и ехце немножко... В общем, не так уж много, как сказал один задумчивый гусь, обнаружив, что его хозяйка принесла с базара два десятка яблок.
     
     
      Схолия Пятая.
      с помощью коей герой этой правдивой книжки, думая насладиться красноречием, начинает вместо этого водить пальчиком по лицу оратора, а затем выслушивает чрезвычайно полезный и нехитрый секрет относительно того, как решаются задачи, которые ты не можешь решить (очень важно для молодых людей, скучающих на контрольной работе!). После этого нашему герою приходится выслушать длиннейшую речь, состоящую из рассуждений о том, что такое смысл и каким образом можно его отличить от бессмыслицы, даже если таковая касается вопроса о том, что можно считать недвусмысленным. Вслед за этим Илюша сталкивается вплотную с центробежной силой и неожиданно узнает о том, что такое касательная, хотя до сих пор он думал, что она, в сущности, его не касается, и совершенно не собирался к ней прикасаться. Однако она-то и возвращает наконец Илюшу к Радиксу. Тут наш герой знакомится с такой особенной породой узлов, что водятся в большом изобилии на некоторых деревьях, но до которых можно добраться не иначе, как через целый ряд мостов, по коим строго-настрого воспрещается проходить второй раз. И вот тут-то бедный Илюша неожиданно встречается с ужасающим и известным из древности людоедом, по прозванью Минотавр, который долго питался самыми способными выпускниками средней школы, пока наконец не попался на ниточку... Все это производит на нашего героя несколько странное впечатление, которое, впрочем, довольно скоро рассеивается при непосредственном участии богини Лилавати и ее удивительных ровесниц, отнюдь не склонных к красноречию.
     
      После этого почтенный Кандидат Тупиковых Наук У. У. Уникурсальян, кавалер Ордена Семи Мостов и даже командор оного, прошелся не спеша по комнатке и, обернувшись к Илюше и хорошенькой Розамунде, произнес:
      — Почтеннейшие члены нашего ученого общества, которых объединяет, так сказать, бескорыстная привязанность именно к тому, к чему они так бескорыстно привязаны!..
      Тут уважаемый Доктор Четных и Нечетных Узлов вдруг пошатнулся, ибо язык Розамунды незаметно подобрался к нему и дернул за локоть. Доктор Уникурсальян рассеянно взглянул на язык и продолжал:
      — А сверх того, поскольку привязанность всегда может быть рассматриваема...
      И опять почтеннейший доктор покачнулся, ибо язык Розамунды снова дернул его за локоть.
      — Позвольте? — вопросительно сказал Магистр Деревьев.
      — Невозможно! — ответила ему Розамунда.
      — Что невозможно? — спросил нетерпеливо Доктор Узлов.
      — Начнем сначала, — предложила примирительно Розамунда.
      — Так это же и есть начало! — воскликнул в отчаянии командор.
      — Тогда лучше с конца, — заявила Розамунда.
      Командор прошелся по комнатке и взглянул на Илюшу.
      — Мне бы очень хотелось посмотреть, какой у вас орден.
      — Это немыслимо! — сердито заявил командор, обращаясь к Розамунде. — Это нарушает весь порядок дня и даже ночи.
      — Пусть нарушает, — ответила Розамунда.
      Командор У. У. Уникурсальян пожал в недоумении плечами, подошел к Илюше и гордо сказал:
      — Прошу!
      На груди его красовался Орден Семи Мостов самого первого класса, украшенный самоцветными камушками.
      Илюша посмотрел на орден и сказал:
      — Похож на лабиринт.
      Командор скромно, но гордо улыбнулся. А Илюша стал тут же водить пальцем по белым дорожкам, в центре которых стояли римская цифра «VII» и буква «М».
      — Темные пятна, — объяснил доктор, — представляют собой речку, а белые дорожки — это берега речки и мосты. Задача очень простая: обойти все мосты и по каждому пройти только один раз. Знаешь ли ты, что это за речка? Ты ведь иногда заглядываешь в атлас?
      — Нет, — промолвил Илюша. — Л разве есть на самом деле такая речка?
      — Есть! — отвечал обладатель великолепного ордена. — Это речка Прегель с островом Кнейпгоф, а на ней стоит город Калининград, бывший Кенигсберг. Узнай же, о любознательный юноша, что эти-то мосты и оказались случайно причиной для возникновения очень важной отрасли геометрии. Был на свете такой математик Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, член Санкт-Петербургской Академии наук, один из крупнейших ученых восемнадцатого века. Он был другом Ломоносова и, пожалуй, был один из первых ученых в то время, который оценивал научную деятельность Ломоносова по достоинству. Он долго жил в Санкт-Петербурге, там и скончался. Так вот однажды на одном вечере в обществе кто-то задал Эйлеру вопрос: можно ли пройти по всем семи кенигсбергским мостам, не проходя ни по одному по два раза? Эйлер заинтересовался этой задачей, доказал, что сделать это невозможно, и нашел общие правила, которым подчиняются задачи подобного рода. В честь этого замечательного события и учрежден этот превосходный и в высшей степени достопримечательный орден.
      Илюша повел пальцем по дорожкам, но у него не вышло. Он попробовал еще — не вышло. Попробовал в третий раз — опять то же самое.
      — Не выходит, — сказал Илюша.
      — Взгляни на мое честное и открытое лпцо. Можешь ли ты обойти все его линии и по каждой линни пройти один раз?
      Илюша попробовал, и очень скоро это ему удалось.
      — Выходит! — сказал Илюша. — А на ордене никак не получается.
      — О неопытный и трижды легкомысленный отрок! — произнес, покачивая головой, Командор Ордена Семи Мостов. — Во-первых, докажи, что это действительно невозможно, ибо ты получишь право утверждать это только тогда, когда сможешь твердо и определенно объяснить, почему одна такая задача решается, а другая не имеет решения.
      — А какой смысл, — сказал Илюша, — заниматься задачами, которые не имеют решения?
      — Смысл?.. — лениво протянула тетушка Розамунда. — А можешь ли ты толком объяснить, что значит: «решить задачу»? Попробуй решп вот эту: «Скорый поезд прошел за два часа сто километров. Однако, если бы он шел не два часа, а столько часов, сколько километров прошел в течение второго
      часа, и при этом с той же скоростью, с какой шел в первый час, то он прошел бы не сто километров, а две тысячи пятьсот два километра. Спрашивается: какова была скорость поезда в первый час и какова была его скорость во второй час?»
      Услыхав условие задачи, доктор Уникурсальян презрительно нахмурился:
      — Не сложна ли эта задача для такого богатыря, который только что пал бездыханным при осаде Квадратного Трехчлена?
      Однако тетушка Розамунда была настроена довольно милостиво; она улыбнулась почти до самых ушей, а ее проворный язык быстро притащил откуда-то карандаш и бумагу и вручил их Илюше.
      — Ничего, — отвечала тетушка Магистру Деревьев. — Эти волшебные предметы ему помогут. Он поумнеет. Он хороший мальчик.
      — Разве это волшебные предметы? — спросил с напускным удивлением гордый Доктор Узлов.
      — Да, — отвечала тетушка, — давно уж доказано, выяснено и принято всеми академиями к сведению и руководству, что карандаш и бумага суть волшебные предметы неограниченного могущества.
      — Ах, вот как! — мрачно провозгласил командор. — Простите, я забыл.
      Илюша прекрасно понял, что все это было одно притворство: ничего он, конечно, не забывал! Мальчик храбро схватил волшебный карандаш, но не прошло и нескольких минут, как он разочарованно пробурчал, что решить эту задачу немыслимо.
      — Очень рад! Восхищен! — отвечал ему Доктор Четных и Нечетных. — А нельзя лп как-нибудь иначе изложить результаты этого маленького опыта? Что обозначает «немыслимо»?
      — Нет на свете таких двух чисел, которые годились бы для этой задачи, — вот что это означает, — отвечал Илюша. — Следовательно... тут ни я, ни кто другой ничего сделать не может. Чисел таких нет. Вот мое решение.
      — Согласен, — спокойно ответствовал доктор Уникурсальян. — Это действительно можно считать решением. Другими словами: раз ты доказал, что задача неразрешима, то у нас здесь считают, что ты ее решил. Заданный тебе вопрос исчерпан.
      — Так, — сказал Илюша, — это я понимаю. Но мне неясно, зачем надо задавать такие вопросы? Мало ли что тут можно придумать!
      — Эту важпейшую проблему надлежит с осторожностью рассматривать двояко...
      — Двояко! — повторила тетушка Розамунда.
      — Вот именно! — громогласно возопил доктор. — Ибо дело не в выдумке, а в том, что если бы наука не занималась вопросами, которые кажутся неразрешимыми, она бы не двигалась вперед. В том-то и сила, что неразрешимые требуют новых способов для своего разрешения, а каждый новый способ — это новый шаг вперед. Слушай вниматель-
      С А но: вот тебе простой и пре-
      восходный пример. Это будет у нас часть вторая, ибо с первой мы уже покончили. Есть возражения? Говори прямо.
      — Возражений, — отвечал мальчик, — как будто бы и нет, но...
      — Но ты желаешь, чтобы тебя убедили. Слушай, и все получишь... Итак, в геометрии издавна возникла необходимость разделить данный угол на несколько частей, скажем, на три. У геометра в руках есть линейка и циркуль. Может он с этими инструментами проделать это деление или нет? Со времен седой древности пробовали это сделать, но ни у кого не выходило. Вот тут-то и надо выяснить, почему не выходит. В чем тут дело? Долго не могли добиться. Но наконец выяснили, что имеется бесконечное число таких углов, которые точно разделить натрое с помощью циркуля и линейки невозможно.
      — А прямой угол как будто можно разделить? — осторожно осведомился Илюша.
      — Как? Ты умеешь делить прямой угол на три? — с искренним изумлением сказала тетушка. — А умеешь, так рассказывай.
      — Прямой угол — это девяносто градусов, — отвечал Илюша, — значит, надо получить тридцать. Отнимем шестьдесят, а это сделать нетрудно — ведь он один из углов равностороннего треугольника, потому что сумма углов треугольника равна 2d, то есть 180°. На чертеже совсем просто получается!
      — Не смею спорить! — ответствовал свирепый доктор Уникурсальян, раскланиваясь с Илюшей очень любезно, но все же ехидно. — Кто станет спорить? Прямой угол, поистине прямой, ты прав. Но с непрямыми пе выходит. Еще в древности пыта-
      лпсь, а причины затруднений еле-еле выяснили только во второй половине шестнадцатого столетия нашей эры. И ни один грамотный человек, кроме нелепых упрямцев-чудаков, заниматься этим не будет. К таким безнадежным задачам относятся еще древние задачи о квадратуре круга, когда требуется построить опять-таки с помощью циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному кругу, затем задача об удвоении куба. Впрочем, обо всем этом ты узнаешь попозже *. Но это еще отнюдь не все... Самое главное в том, что попутно с этими решениями выяснено вполне и до конца, какие именно задачи можно решать с помощью циркуля и линейки, а какие нельзя, и почему нельзя. Вот в чем дело. А если ты уяснил, почему какая-нибудь задача не имеет решения, то тогда ты можешь узнать, что именно тебе требуется для решения подобных задач.
      — Извините... — произнес Илюша. — А с другими углами очень трудно?
      — Не столь трудно, — отвечал с усмешкой Доктор Четных и Нечетных, — сколь замысловато...
      — Когда готово, то нетрудно! — кротко заметила тетушка Розамунда, а язык ее, громко прищелкнув, вдруг нарисовал в воздухе чертеж. Все линии были голубоватые и очень приятно светились.
      — Прелестный чертеж! — вежливо заметил доктор. — Ну-с, вот тебе угол ABC — 75°, а вот угол СВЕ — 25°. Но делается это не линейкой и циркулем, а линейкой, на которой есть две отметки — одна за другой, и каждая равна отрезку АВ. Этот способ в древности назывался способом н е в с и с а. Через точку В надо провести прямую так, чтобы отрезок DE равнялся бы удвоенному отрезку АВ. При помощи вспомогательных прямых на чертеже нетрудно доказать, что угол AFD равен двум углам АЕЕ...
      — Как внешний угол по отношению к треугольнику AEF, — догадался Илюша.
      AЛ-II, XVI, XVII и XVIII, а в этой книжке — Схолия Девятнадцатая.
      — Точно... — протянула тетушка.
      И у Илюши на душе стало на минутку нолегче — он все-таки догадался. Ему хотелось еще кое о чем спросить, но доктор Уникурсальян не дал ему и рта раскрыть.
      — Сделать можно, — возопил доктор, — а вот объяснить, почему надо делать так, а не иначе, то есть почему этот способ в данном случае приводит к цели, — это потруднее!
      — А когда-нпбудь... — робко начал Илюша.
      — Все должно двигаться в самом удивительном порядке, — заявила тетушка Розамунда, а ее неукротимый язык принес откуда-то линейку с двумя отметками, приложил ее на чертеже к отрезку DE, и вышло точь-в-точь.
      — Вот именно! — воскликнул доктор Четных и Нечетных. — Это невсис Паппа Александрийца. Замысловато, а зато точь-в-точь! Терпи, мой любезнейший, сами греки тоже помучались как следует. А разобрать до конца не удалось. Только в шестнадцатом веке Франциск Виета разобрал. Вот и смекай — нехитрая на вид задача, а в руки попросту не дается. — Вслед за этим доктор мрачно покосился на Илюшу и пробормотал угрожающе: — Внимание и молчание!..
      — А ведь, пожалуй, теперь я начинаю соображать... — сказал Илюша.
      — Прелестно! — отвечал командор. — Я вижу, что вы, любезнейший юноша, делаете некоторые успехи, как сказала одна заботливая мамаша, ухватив за ухо своего предприимчивого отпрыска в ту минуту, когда он забрался во вторую банку с вареньем.
      — Только как это сделать? — со вздохом сказал Илюша. — То есть я не про варенье, а про невсис.
      — Все в свое время, — отвечала Розамунда.
      Она поглядела на Доктора Четных и Нечетных Узлов и сказала:
      — Ну-с?
      Доктор Узлов начал свою замечательную речь:
      — Досточтимые и глубокоуважаемые друзья мои, слушательницы и слушатели! То, что я имею сказать вам в настоящей моей изумительной речи, так необыкновенно важно, так страшно серьезно, так дивно поучительно, что у меня, признаться, у самого заранее дух захватывает. И ты, о неопытный и желторотый юнец, неизвестно как затесавшийся в наш волшебный мир, повесь свои мохнатые уши на гвоздь внимания и восхищения...
      Илюше очень хотелось обидеться, когда он услыхал про чьи-то мохнатые уши, но он решил, что лучше уж притвориться, что не понимает, о ком тут идет речь.
      — Понимаешь ли ты, достопочтенный слушатель, куда ты попал? Постигаешь ли ты, что великая наука наша — одна из древнейших наук мира; что именно на ней некогда человек чуть не впервые учился размышлять и доказывать; на ее примерах человек учил сам себя рассуждать, сам с собой обсуждал свои замыслы, сам научился поправлять их и в течение многих и многих столетий шел осторожнейшими шагами, дабы наконец овладеть тем, чем он сейчас владеет? Можешь ли ты вообразить себе, что много и много человеческих жизней трудолюбиво и самоотверженно положено на то, чтобы мир мог сделать хотя бы еще один шаг в науке? Сумеешь ли ты представить себе, что ты легко можешь услыхать здесь какое-нибудь занимательное слово, но для того, чтобы объяснить тебе, что обозначает это слово, нам всем придется положить немало труда? И поверь, что все мы готовы это для тебя сделать, но и ты должен стараться и относиться к каждому нашему слову так вдумчиво и так серьезно, как только позволяют тебе твои способности! Итак, начнем сначала! Я утверждаю, что путешествовать по нашим чудесным краям невозможно без неких мощных вспомогательных аппаратов. Вот первое, что должен я открыть вам, опираясь на всю силу моего прославленного красноречия, сиречь элоквенции. Что же это 8а аппараты и как ими пользоваться? Во времена великого Архимеда это были палочка и песок, а в наше время — это карандаш и бумага. Хотя, впрочем, никому не возбраняется, находясь на чистом воздухе, пользоваться для тех же целей палочкой и песочком. Кроме того, надо вооружиться самым прочным терпением: если ты чего-нибудь не понял, ты должен тотчас же возвратиться обратно и снова пуститься в путь в том же направлении. Имей в виду, что нет такого маршрута на свете, который не уступил бы твоему упорству. Все, что мы будем говорить и утверждать, должно быть полно совершенно определенного смысла, и все это должно быть выражено в сжатой, ясной, совершенно недвусмысленной и легкозапоминающейся форме. Как это делается, понять очень легко: подражайте мне, и всё! Однако я вынужден идти еще далее. Дело в том, что я требую, и ты требуешь, и мы требуем, и все, кто может нас услыхать, требуют, чтобы все вводимые нами новые наименования, способы выражения и обозначения были исчерпывающим образом объяснены, то есть определены. Всякое заключение наше или вывод, то есть равенство, неравенство, какая-нибудь формула, а также всякое словесное или иное (а стало быть, бессловесное!) утверждение, с полной необходимостью должны вытекать из того, что было принято нами
      ранее в качестве условия или было ранее доказано, то есть из наших предпосылок. Клянусь вам, что это самый непреложный закон в нашем хитроумном мире, где все подчинено Д е д у к ц и и, что обозначает, как вам, быть может, известно, «вывод», или «заключение». Надо всегда подумывать и о том, есть ли на что сослаться, если ко мне начнут придираться по этому самому поводу самые хитрые, самые сварливые, самые несговорчивые придиры на всем белом свете?.. Когда ученым приходится удостовериться, что некоторая задача совершенно не разрешима известными им способами, то нередко это ведет к глубоким переменам в самой науке. Кажется, чего уж проще — вычислить диагональ квадрата со стороной, равной единице? Извлек из двойки квадратный корень — и готово! Но когда в древности ученые греки впервые убедились в том, что в точности они это вычисление проделать не могут, то целая система математических воззрений была ниспровергнута! Наш волшебный мир, видишь ли, это очень серьезный волшебный мир: прошу не забывать!
      Тут Магистр Деревьев надменно обвел сверкающим взором своих притихших слушателей и продолжал с новой силой:
      — Помните: следует знать и нельзя ни в коем случае забывать о том, что то, что необходимо, не всегда достаточно, а что достаточно, не всегда необходимо. А йотом не забывайте о том, чтобы весь ход ваших рассуждений определялся четко поставленным вопросом, чтобы вы не упускали на каждом шагу поставленную вами цель. С другой стороны, смотрите, не внесли ли вы в суждения ваши чего-либо лишнего, что не было предусмотрено теми условиями или ограничениями, которые вы имели в виду. Помните: раз вам даны для задачи некоторые условия, то все они до одного должны быть использованы в решении так или иначе, а если какое-нибудь условие окажется лишним, то и это должно быть установлено с полной убедительностью, о чем мы еще потолкуем с вами в Схолии Седьмой. При этом надо знать, что это правило касается не только тех случаев, когда речь идет об обычном, или «положительном», решении задачи, которое в то же время должно являться общим решением для многих задач, подобных данной. Оно касается также и тех, нередко гораздо более трудных случаев, когда мы собираемся установить, что у нас нет возможности найти в данной области искомое или выполнить заданное предписанным способом, как заметил один прилежный юноша, подавая своему преподавателю на контрольной работе чистый лист бумаги...
      Командор прервал свою речь и задумался.
      — Так вот-с... — произнес, помолчавши, доктор Четных и Нечетных Узлов. — Может быть, тебе еще не ясно, почему он такой серьезный, наш волшебный мир? Объяснить тебе? Слушай! При помощи нашего «волшебства» мы можем сделать некоторые довольно трудные вопросы более наглядными для нашего читателя — несколько облегчить их, другими словами. Это — раз. Второе, и еще более важное, — это то, что наше «волшебство» позволяет нам вводить некоторые требования или, скажем, «условия», нужные для изложения. Такого рода «условия» необходимы и для самой науки. Со времен древности было сделано немало усилий, чтобы изъять из геометрии все неясности или недоказуемости. Однако, невзирая на то, что это повело, в частности, к замечательным открытиям, все это, вместе взятое, оказалось недостижимым. И некоторые определенные условия, или, так сказать, «соглашения», остаются в науке, и без пих нельзя. По мере надобности мы и будем прибегать к «волшебству» для того, чтобы показать смысл и выводы из такого рода соглашений.
      — Однако, — с трудом переводя дух, гордо воскликнул Кандидат Тупиковых Наук, — однако, хоть я теперь уж уЕ!0-рен, что вы все прекрасно усвоили содержание моей речи, заключающейся в том, в чем она заключалась, и утверждающей именно то, что она утверждала! И хотя все это так, но тем не менее я должен опять начать все сначала...
      При этих словах тетушка Розамунда тихо ахнула...
      — Да! — во все горло гаркнул совершенно рассвирепевший Доктор Узлов. — Я по той причине должен начать сначала, что ведь дело-то совсем не в этом, а именно в том, чтобы...
      Что ни дальше разглагольствовал почтеннейший Уникурсал Уникурсалыч, тем речь его становилась все более витиеватой, все более сложной и непонятной. Он сыпал полнозвучными и высокопарными фразами, в которых внимательный слушатель мог обнаружить изрядное количество существительных, прилагательных, глаголов и всего такого прочего, однако что все это вместе значило, понять было — увы! — невозможно.
      Сперва тетушка Розамунда слушала доктора внимательно, но теперь на лице ее было написано что-то вроде: «Караул! Помогите!» Язык хозяйки в недоумении завился огромным вопросительным знаком. Три тысячи серебряных колокольчиков вопросительно позвякивали то так, то сяк. Вдруг они все сразу зазвонили, да все громче и громче, заглушая премудрые речи Доктора Четных Узлов.
      Розамунда махнула рукой, взяла Илюшу за левую руку и повела к двери. Однако Кандидат Тупиковых Наук вцепился в правую руку Илюши и стал тащить его назад, все время продолжая ораторствовать. Серебряные колокольчики звонили так оглушительно, что, кроме их звона, ничего услыхать было невозможно. Розамунда тащила Илюшу налево, Магистр До-
      ревьев — направо, и длиннейший язык Розамунды решил, что ему сейчас самое время вмешаться в эту непонятную историю, закрутился вокруг всех трех наших героев, ухватившись за какое-то колечко на потолке, и все они понеслись по кругу с такой невероятной быстротой, что теперь уже не только не было ничего слышно, но и ничего не было видно. Илюша, совершенно оцепеневший от страха и удивления, летал по Розамупдину домику в полной уверенности, что сейчас его
      расшибут вдребезги, искренне удивляясь, как жестоко наказывает его судьба за то, что он забыл про квадратный трехчлен. И вдруг...
      И вдруг он почувствовал, что никто его не держит и он мчится по воздуху с быстротой пикирующего самолета.
      «Центробежная сила! — подумал впопыхах Илюша, быстро перевертываясь в воздухе то вниз, то вверх головой и размахивая руками. — Оторвался и лечу по касательной. Вот так история!..»
      Тут он почувствовал, что скорость его полета начинает понемногу ослабевать. Вдруг он перевернулся вверх головой и стал сразу на обе ноги.
      — Наконец-то! — сказал ему с облегчением Радикс.
      — А! — обрадовался Илюша. — Это ты! А я уж думал, что лечу прямо в тартарары. Фу! И как это я жив до сих пор?! Я видел совершенно удивительные вещи, только вот беда — мало что понял... Кое-что разобрал, да и то, по правде сказать, через пятое на десятое. А в общем... ужас что такое! Надоело ужасно — слушаю, гляжу и ничего не понимаю. Если бы ты мне рассказал...
      — Это можно, — сказал Радикс. — Ну, выкладывай, чего ты не понял.
      — Во-первых, — начал Илюша, — часы...
      В это время какие-то часы звучно пробили четыре. Илюша обернулся и увидел странный циферблат.
      — Что такое? Бьют четыре, а показывают десять!
      Илюша внимательно поглядел на часы. Раз-два-три... десять?.. Снова — раз-два-три и опять новый десяток?
      — Ох! — воскликнул Илюша, хлопнув себя по лбу. — Другой циферблат! Да это не десяток! Чепуха какая! Это просто другая система исчисления. Четверичная система. Первый класс — единицы, потом второй — четверки... а следующий класс будет четыре в квадрате, то есть шестнадцать. Как у нас на первом месте единицы, на втором — десятки, а третье место занимают сотни, а это ведь десять в квадрате. У нас число пишется так:
      ...
      причем ... могут принимать все значения от нуля до девяти, но ... могут принимать значения от нуля до трех. И так далее. Если, значит, написать девятнадцать по этой системе, будет шестнадцать плюс три, то есть сто три. А если взять сто, то выйдет тысяча двести десять. Экая досада, что я не догадался!
      — Штука нехитрая, — сказал Радикс.
      — Вот то-то и обидно! — отвечал Илюша.
      — Они тебя, — заметил Радикс, — все-таки немножко надули. То есть были приняты меры к тому, чтобы ты не догадался. Ведь перерыв-то у них сдвинут так, что прием кончается раньше перерыва.
      — Экая досада! — возмущенно повторил Илюша. — А все-таки я должен был догадаться!
      — Разумеется. Зевать не надо. Ну-с, далее?
      — Дальше вот что. Часы что — это пустяк, шутка...
      — Не всегда, — заметил Радикс, посмеиваясь.
      — Ну все-таки. А вот этот невсис... Я о нем даже не слыхал. Пряйо удивительно. Поставь на линейке две метки — н сразу готово!
      — В том-то вся и сила, что просто. Узнаешь немного погодя.
      — А потом все эти мои скитания по коридорам. Ведь это был настоящий лабиринт. Так или нет?
      — Не совсем настоящий, но вроде этого.
      — Я решил, что если все время буду держаться правой или левой рукой (это все равно, только не менять руку) за стену, то можно дойти до середины и выйти назад.
      — Почему ты так решил?
      Илюша постарался изложить своему другу все, что придумал о сходстве лабиринта с тупиком.
      Радикс выслушал и процедил:
      — Да-а... Но я берусь выстроить лабиринт, где твое правило правой руки ни к чему не приведет. В лабиринт надо войти, дойти до некоторой заранее определенной точки, которая будет центром этого лабиринта, и выйти обратно. Но так лп?
      Илюша согласился.
      — Так вот. Мой лабиринт будет представлять собой то, что ты называешь петлей. То есть тот же тупик, только вместо замыкающей стенки будет еще один кругообразный ход. В середине этого хода находится островок, в нем дверь, за ней коридор, который и кончается той точкой — центром. Далее я утверждаю, что какой бы рукой ты ни пользовался, правой или левой, ты обойдешь мой лабиринт, выйдешь обратно, но не попадешь в центр, и задача не будет решена. Что ты на это скажешь?
      Плюша нарисовал чертеж и углубился в его рассмотрение.
      — Да, — сказал Илюша, — действительно, в центр не по-
      паду. Тогда, мне кажется, можно поступить так. При обходе лабиринта по правилу правой руки я убеждаюсь, что в центр не могу попасть, и замечаю, что какой бы рукой я ни пользовался, всегда на противоположной от меня стене, то есть на той, которой я не касаюсь рукой, мне встречается дверь, и я в нее не попадаю. Если в лабиринте есть такая дверь, то я поставлю против нее крестик на моей стене, сменю руку и пойду кругом островка. Когда я попаду в эту дверь, то дойду до центра, выйду из него и, снова дойдя до моего крестика, сменю руку во второй раз. Мне кажется, что это получается лабиринт в лабиринте, и, по-моему, такой лабиринт надо называть двойным. Так можно и тройной построить!
      — Можно, — спокойно ответствовал Радикс. — Во-первых, эта система внутренних петель и островков может быть довольно сложной, а во-вторых, именно на такого рода усложнениях и основана путаница лабиринта. Ну, что у тебя еще есть? Выкладывай. А к лабиринту мы вернемся еще.
      — Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?
      — Начнем с его рожицы, — отвечал Радикс. — Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурса л ь н о й. Вот почему его так зовут. Правда, это слово — «уникурсаль-ный» — иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится — одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево. У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникур-
      Попробуй начертить сальная.
      одним росчерком! — В чем же тут дело? — спросил Двойной лабиринт Радикса.
     
      Четный узел.
      Илюша. — Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?
      — Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное — нечетны й. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от пего по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают. В каждый из них ты можешь пройти. Другое дело — нечетный узел. Например, из него три пути...
      — Ясно, — подхватил Илюша. Раз приду и раз уйду — значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей — и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.
      — Совершенно верно, — отвечал терпеливый Радикс. — Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?
      — Допустим, что они будут тройные.
      — Два нечетных узла?.. — повторил Илюша. — Я сейчас нарисую.
      Илюша нарисовал два чертежа. Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).
      — Ну вот, — сказал он, — две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему
      через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и Н возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти...
      — Так, — сказал Радикс. — Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура. Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя
      Нечетный узел.
      фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.
      — Как это? — спросил Илюша.
      — Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты — линиями, соединяющими эти точки.
      Илюша начертил фигуру, нарисованную внизу.
      — Ну вот, — сказал Радикс. — Это и есть схема путей и перекрестков на ордене Уникурсала Уникурсалыча. Ясно, что вопрос о том, можно ли обойти все мосты, проходя через каждый только один раз, сводится к вопросу, можно ли вычертить эту фигуру непрерывным движением, то есть уникурсальна она или нет.
      Илюша начал рассматривать схему, раза два сбился и наконец ответил:
      — Тут выходит четыре нечетных узла — А, В, С и D.
      — Ну, вот тебе и решение! — усмехнулся Радикс. — Мы с тобой сейчас установили, что в уникурсальной фигуре может быть любое число четных узлов и не более двух нечетных. Если в фигуре есть только четные узлы, то обход фигуры можно начать с любой точки. Если в фигуре есть два нечетных узла, то нужно начать обход именно с одного из них, а закончить в другом нечетном узле. А теперь представь, что тебе дана очень сложная фигура без нечетных узлов нлн с двумя нечетными узлами. Какие основания утверждать, что ты, выйдя пз первого нечетного узла, сможешь обойти ее всю, не проходя ни одного пути дважды?
      — Если она не состоит из нескольких несвязанных частей, то я, конечно, могу попасть в любую точку, а в четных узлах застрять не могу...
      — Таким образом, раньше всего надо сказать, что фигура должна быть связной. А не может ли случиться, что ты, проходя через четные узлы, оставишь в стороне какую-нибудь часть фигуры так, что к ней уже больше нельзя будет добраться, а потом застрянешь во втором нечетном узле и не обойдешь всю фигуру?
      — Как же это может случиться? — спросил Илюша.
      — А вот, например, если на нашем первом чертеже, где два ромба соединены перемычкой, ты сначала пойдешь не по сторонам одного из ромбов, а по этой перемычке. Однако то же самое может случиться и как-нибудь иначе, если ты незаметно для себя разобщишь две части фигуры и она потеряет связность. Это значит, что свободных, то есть еще не пройденных путей, соединяющих две эти части, уже не останется. Представь себе, что путь, по которому ты только что прошел, тем самым вычеркнут: ведь второй раз по нему идти нельзя, и, следовательно, он для тебя уже больше не существует. Вот тебе фигура: если ты пойдешь по пути ABCDEA, то вычеркнешь путь BCDE, а ромб CFDG окажется отрезанным.
      — Значпт, я шел неправильно. Мне надо было прежде пз D попасть не в А, а обойти сперва ромб DFCG, то есть идти в F или G.
      — Это, конечно, верно, но только для данного случая. Вот ты говоришь, что шел неправильно. Но для того, чтобы идти правильно, надо показать, что возможно найти правильный способ обхода и при этом не для какой-нибудь определенной фигуры, а в самом общем виде, то есть для любой заданной фигуры, как бы она ни была сложна. Не забудь, что при этом ты должен будешь рассуждать, не зная ничего об этой фигуре, кроме того, что это фигура связная и что в ней нечетных узлов или совсем нет, или только два. Именно так следует поставить задачу общего математического доказательства.
      — Я буду рассуждать так. Раз это фигура связная, то, значит, я имею возможность так или иначе нз первого узла попасть в тот, где должно закончиться мое путешествие, то есть либо во второй нечетный узел, либо, если это фигура только с одними четными узлами, вернуться обратно в начальный узел. Чтобы не путаться, я самый простой такой маршрут отмечу красной линией, а остальные оставлю черными. А затем пойду по этой красной линии, но в каждом узле буду останавливаться и проверять, нет ли из пего еще черных путей, которые надо обойти раньше, чем отправиться дальше по красному маршруту. Вот это и значит «идти правильно».
      — Нет, — ответил Радикс, — это еще не всё. Почему ты так уверен, что можешь обойти каждую из твоих черных фигур?
      — Потому что все узлы у них четные. И если в точках, через которые проходят и красные пути, не считать этих красных путей, то для черных путей и эти узлы тоже будут четными...
      — Справедливо! Но ведь таким образом мы приходим к той же самой задаче: снова надо доказать, что можно обойти эти фигуры. И вот мы подошли к самому важному пункту нашего рассуждения. Теперь будет не так трудно. Потому, что нам удалось привести задачу об обходе фигуры с некоторым данным числом путей к задаче об обходе фигуры с меньшим числом путей. Понимаешь?
      — Понимаю! — воскликнул Илюша. — А эти новые, более простые задачи я опять сведу к таким же, но еще более простым... И так можно каждый раз уменьшать число путей, а ведь нам дано только некоторое определенное число путей...
      — Будем говорить — конечное число путей.
      — Хорошо. А так как нам дано конечное число путей, то в конце концов все они будут исчерпаны. А следовательно, я доказал, что всякую связную фигуру, у которой нечетных узлов или нет совсем, или их только два, можно обойти непрерывным движением, проходя по каждому пути только одни раз, то есть, другими словами, что всякая такая фигура действительно упикурсальна. И при этом я нашел и общее правило такого обхода.
      — Попробуй теперь изложить это правило коротко и ясно, то есть сформулировать его.
      — Мы начинаем паше путешествие в одном из нечетных узлов, а если их пет, то в каком угодно. Потом наметим какой-
      нибудь маршрут, который вернет нас в начальный узел или в случае двух нечетных узлов приведет во второй нечетный узел. Затем идем в обход, погашая в каждом узле тем же способом все те черные закоулки, которые не вошли в наш маршрут. Вот и всё.
      — Хорошо, — отвечал Радикс. — А как ты полагаешь, надо ли заранее намечать маршрут или можно обойтись и без этого?
      — Мне кажется, — начал Илюша, — что нельзя только упускать из виду того, что путь следует выбрать так, чтобы не нарушить связность фигуры. То есть я могу, например, при первой встрече с черным закоулком не обращать на него внимания, но надо обязательно обойти его из того узла, в котором я должен с ним расстаться. На чертеже (стр. 60) вот что получается: я могу пройти мимо черного закоулка — ромба CFGD, когда я дойду до узла С, но нельзя этого делать, когда я буду в узле D. Ну, разумеется, я говорю о том случае, когда мы двигаемся по направлению от В к Е.
      — Так, — благосклонно отвечал Радикс, — все это верно. И, в общем, ты рассуждал довольно мило. Ну, а теперь уж тебе не так трудно будет доказать и еще один пункт, а именно: что всякое путешествие по уникурсальной фигуре, при котором ты, проходя через пути, не нарушаешь связности, приведет тебя к цели. Постарайся теперь это сформулировать?
      — По-моему, это уже совсем просто. Мы идем вперед, не нарушая связности. Число путей у нас все время в силу этого уменьшается. Ясно, что в конце концов мы обойдем все пути.
      — Точно, правильно, прекрасно! — задумчиво пробормотал Радикс. — А теперь вот что: дана фигура с несколькими нечетными узлами, и если их больше чем два, то она не уникурсальна. Возникает вопрос: сколько надо сделать в таком случае обходов? Вот тебе фигура с четырьмя нечетными узлами. Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов Фигура с четырьмя имеется в фигуре. Это вполне естест-нечетными узлами. -п г г>
      венно. Вот тебе еще задачка. Возьмем
      твой первый чертеж — два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом). Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетпыми узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить. Только с четными узлами или с двумя нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.
      — Так, значит, — сказал Илюша, — на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?
      — Далеко не одна.
      — А почему этот ваш командор еще и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?
      — Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые.
      — А почему он Магистр Деревьев?
      — Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, система путей потеряет связность, будет опять два отдельных ромба — и все. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путем, а если путь имеет то свойство, что при удалении его система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов. Такая система называется деревом. В ней ни одного пути, который можно
      было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать лабиринтом с одним входом, потому что всякий лабиринт мы всегда можем «обнести» еще одним «забором».
      — Уж не знаю, — вымолвил не сразу Илюша. — Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, а изображать линиями не стенки, а самые пути, как раз и получится такая фигура, которую нужно обойти или начертить...
      — Постой, постой минуточку! — прервал Радикс его рассуждения. — А как ты полагаешь, нужно ли в таком случае вычерчивать точный план путей?
      — Я должен быть точен в том смысле, чтобы на плане было то число перекрестков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути — это неважно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведет.
      — Правильно, — резюмировал его собеседник. — Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься топологической схемой путей. Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрестках, то можешь как угодно деформировать, или видоизменять, «сетку путей» — топологическая схема останется неизменной. Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Ну, а как же все-таки начертить такую фигуру?
      В фигуру вставлен А теперь ромб вставлен еще один ромб по-другому.
      — А вот тут, — признался Илюша, — я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечетных перекрестков, то есть узлов... Как же с этим быть?
      — Вот то-то и дело! — отвечал Радикс. — Это значит, что далеко не все лабиринты можно обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь зто совсем не обязательно...
      — Ну конечно! — радостно воскликнул Илюша. — Это как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечетные узлы станут четными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни четные узлы. А такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком.
      Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя два раза по каждому из его коридоров. Вот зто действительно замечательное доказательство!
      — Нет сомпений, что это действительно доказательство, но только это еще не реше-н и е задачи лабирпнта. И вот почему. Когда ты чертишь фигуру, тебе необходимо видеть ее всю, а иначе нельзя установить, правильно ли ты идешь и сохраняешь ли все время ее связность. В лабиринте совсем иное дело: там плана нет и ты не знаешь, каков ои в целом, а значит, надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, каковы его нескончаемые коридоры.
      — Да, это правда, — согласился Илюша. — Только как?
      — Ты что-то толковал насчет правила правой руки? — услышал он в ответ. — А теперь что ты о нем скажешь?
      — Когда мне пришло в голову это правило, я думал о тупике, у которого имеются разветвления, а они, в свою очередь, тоже тупики. Если лабиринт построен по этому правилу, то я, конечно, обойдя два раза каждый коридор, обойду весь лабиринт, если нет петель. А если есть петли, то все, что приходится внутри петли, я могу пропустить.
      — А что такое «петля», как ее можно обнаружить на схеме путей лабиринта, о которой мы только что говорили?
      — Это на схеме будет замкнутый путь, кольцо, то есть круговой маршрут внутри лабиринта. Если я попал на такой маршрут, то могу верпуться к тому месту, где вступил на него с другой уже стороны, причем я приду туда по еще нехоженому пути. В тупиковом лабиринте таких замкнутых маршрутов нет.
      — Правильно. Мы можем даже это свойство — отсутствие петель — принять за определение того, что такое тупиковый лабиринт. Теперь от простого случая попробуем перейти к более сложному. Скажи-ка, нельзя ли превратить какой-нибудь лабиринт с петлями в тупиковый и как это сделать?
      — Если бы я был строителем зтого лабиринта, то отметил бы все петли и перегородил их, чтобы нельзя было больше пройти по ним кругом.
      — Превосходно. Ну вот и расскажи мне подробно, как бы ты на месте строителя лабиринта все это сделал.
      — Раньше всего, конечно, я бы достал план лабиринта и на нем начертил бы дорогу, начиная от входа и все дальше в глубь лабиринта. Каждый раз у кольцевого маршрута отмечал бы, что здесь ставлю перегородку... Ну, где бы ее поставить? Поставим в том конце кольцевого коридора, где ои выводит опять к моим старым следам. Если так сделать, каждая петля стапет тупиком, стало быть, я пройду ее всю, дойду до перегородки, поверну обратно, выйду из этого нового тупика и пойду дальше по основной дороге. Да буду посматривать, не набреду ли еще на петлю, которую надо перегородить. Когда я пройду таким образом на плане весь лабиринт...
      — А уверен ты в том, что пройдешь таким образом действительно весь лабиринт?
      — Кажется, уверен, — отвечал Илюша, размышляя. — Да,
      разумеется, пройду весь лабиринт и даже дважды, потому что я ведь представляю себе лабиринт в виде хитро завинтившегося тупика с рядом петель. Но если лабиринт представляет собой тупик, то нет сомнений, что я его пройду дважды: один раз двигаясь в глубь тупиковых коридоров, а другой — возвращаясь из них обратно. Каждую петлю я превращаю перегородкой тоже в тупик, а следовательно, каждую петлю тоже обойду дважды. Так что у меня нет сомнений в том, что обойду весь лабиринт и пройду его два раза — туда и обратно. Ошибиться можно только в том случае, если я пропущу какой-нибудь коридор, что может нарушить связность. Если этого не случится, то я обойду эту самую уникурсальную фигуру двойных путей.
      — Молодец! — одобрительно пробурчал Радикс. — Теперь мы подошли к концу наших рассуждений. Подумай: нельзя ли обойтись без плана и ничего не замуровывать? Скажи, пожалуйста, знаешь ли ты древнегреческий миф о Тезее, Ариадне и страшном Минотавре?
      — Как будто знаю.
      — А ну-ка расскажи мне.
      — В то древнее время на острове Крит царствовал жестокий царь Минос. И вот он обложил Афинское царство ужасной данью: афиняне должны были каждый год отправлять Милосу в дар семерых юношей и семерых девушек. А коварный Минос посылал их в лабиринт на съедение чудовищу Минотавру — получеловеку-полубыку. В Афинах тогда царствовал Эгей, и вот его сын Тезей, когда подрос, попросил отца отправить его на остров Крит, к Миносу, в числе семерых несчастных юношей, чтобы положить конец этой ужасной дани критскому царю. Эгей долго колебался, но потом решил исполнить просьбу своего воинственного сына. Тезей поехал на Крит, там его полюбила царевна Ариадна и дала ему путеводную нить. Тезей сразился с Минотавром, убил его своей булавой и вышел из лабиринта. А затем он уехал с острова Крит вместе с Ариадной.
      — Верно, — сказал, усмехнувшись, Радикс. — Я вижу, что эта история с лабиринтом тебе понравилась. Ну, а как ты полагаешь, что он сделал с нитью Ариадны, когда пришел к лабиринту?
      — Ну разумеется, он укрепил один конец у входа, а с клубочком пошел дальше, разматывая его.
      — Значит, ничего не замуровывал и не перегораживал?
      — Ясно. И плана у него не было. Он просто шел... Ведь нить Ариадны отмечала уже пройденный путь, так что если она попадалась ему поперек дороги — зто значило, что он попал в петлю и пришел на то самое место, где уже был. И это, наверно, было сперва довольно жутко! Идешь, идешь и вдруг видишь — твоя нить лежит в новом коридоре. То есть зто только так кажется, что он новый, а на самом-то деле ты уже в нем был (иначе откуда бы в нем взялась нить?). Что ж теперь делать?..
      — Вот именно! — усмехнулся Радикс.
      — Постой! — возразил мальчик. — Ты не торопись надо миой смеяться, это я просто рассуждаю вслух. Я хочу себе представить положение этого Тезея, которому казалось, что он идет вперед, а вдруг нить показывает, что он просто вернулся туда, где уже один раз был. Но ведь это как раз и означало бы, что он попал в петлю и находится в конце ее, там, где я ставил перегородку. Значит, чтобы правильно идти, он должен считать, что тот коридор, по которому он шел, перегорожен, то есть нужно вернуться, сдваивая нить. Тогда бы он шел точ-но так же, как я, когда превращал лабиринт в тупик. Значит, надо только следить за тем, чтобы ипти ни разу не пересекать и не пропускать свободпых коридоров, то есть идти как будто по тупиковому лабиринту.
      — Отлично, юноша! — ответствовал Радикс. — Теперь ты, очевидно, сумеешь воспользоваться нитью Арпадны. Но у меня есть еще один маленький вопрос: нельзя лп эту нить из лабиринта вытащить обратно, чтобы вернуть ее с благодарностью царевне?
      — Да очень просто: взять ее за конец и вытащить.
      — Но ведь у тебя у выхода оба конца, то есть и начало и конец. Нельзя ли за оба конца взяться сразу?
      — Из тупика можно, конечно, вытащить за оба конца... Ах да, она и тут ведь лежит как в тупике! Ну разумеется, можно за оба конца тянуть.
      — То-то и есть! А если бы ты бродил по лабиринту как попало, то за оба конца мог бы и не вытащить. Положим теперь, что ты уже дошел до центра лабиринта и надо идти назад. Не помогла бы тебе еще раз нить, то есть не смогла ли бы она указать, как сократить обратный путь?
      — Если бы я, находясь в центре, натянул нить, прикреп-лепную у выхода, до отказа, наматывая ее на моток, то вытянул бы ее из всех лишних петель и тупиков и нашел бы самый короткий путь из центра к выходу.
      — Самый короткий, ты полагаешь? Нет, братец, это неверно. Ты торопишься. Это не самый короткий, а только наибольшее сокращение того пути, по которому ты двигался и который был отмечен нитью. В центр от входа может вести несколько путей, и ты мог с самого начала попасть не на самый короткий из возможных маршрутов. Теперь мы все это разобрали, и остается только решить, как же обойти лабиринт, если нити Ариадны у нас нет.
      — Тогда ничего другого не остается, как отмечать каким-нибудь способом на перекрестках те коридоры, по которым я прошел. Я бы ставил черточку на стенке того коридора, по которому пришел на перекресток, и на стенке того, по которому
      Уникурсальная фигура обхода.
      собираюсь уходить с этого перекрестка, и еще черточку, если я второй раз отправляюсь по уже пройденному, отмеченному коридору.
      — Допустим, что ты ставишь эти черточки. Ну, а как же ими надо пользоваться?
      — Основное правило такое: каждый раз, когда я прихожу иа перекресток, где уже был, я должен возвращаться обратно,
      если только это возможно. Так будет в том случае, если я пришел по новому коридору, в котором раньше не был (я бы это сразу заметил, потому что на стенке не было бы черточки). А если черточка уже есть, то я сейчас же ставлю вторую, которая запретит мне возвращаться на этот путь, потому что он обойден дважды. Тогда я должен идти по какому-нибудь — все равно по какому — из нехоженых коридоров, а если их больше нет, это означает, что я тут все исследовал и, следовательно, могу смело отправляться обратно по тому самому коридору, по которому пришел на этот перекресток в первый раз. Этот коридор меня и поведет по правильному пути.
      — Верно. Вот это и есть правило для двойного обхода всякого лабиринта. Но все ли случаи ты предусмотрел? Не может
      Схема обхода лабиринта УУУ.
      Придя в В и о пути № 3, я вижу по отметкам, что уже был на перекрестке В, и поэтому возвращаюсь по тому же коридору путем № 4, чем погашается весь участок ВС по пути № 3 — 4. Так как в С я вижу теперь свободные коридоры, то выбираю один из них (№ 5), избегая пока коридора СВ, по которому я пришел в С первый раз. Из D я выбираю произвольный путь, например № 6, и, паткнувшись в С на свои отметки, возвращаюсь тем же коридором (путь № 7) в D, откуда одним из свободных коридоров (№ 8) попадаю в Е. Избрав путь № 9, я обязан вернуться тем же коридором (путь № 10) и теперь неизбежно попадаю в центр лабиринта (путь № 11 и 12), откуда возвращаюсь ко входу но единственной оставшейся дороге (№ 13, 14, 15, 16).
      ли случиться так, что тебе и обратно идти некуда будет и нехоженых коридоров больше нет, а отмеченных по одному разу — несколько, и ты не знаешь, какой выбрать?
      — Нет, так случиться не может: ведь я пройти сквозь перекресток, придя по свободному коридору, не могу — в зтом-то и заключается суть главного правила. Если я стою и размышляю, куда дальше идти, это значит, что я вернулся по тому самому коридору, который выбрал для того, чтобы уйти с перекрестка: теперь он отмечен уже двумя черточками. Значит, надо найти коридор с одной черточкой. Это будет первый коридор, по которому я пришел, и зта одна черточка указывает обратный путь. Если я очень устану прежде, чем обойду весь лабиринт, то могу по этому признаку в любой момент выбрать правильный путь для возвращения к выходу. С нитью это совсем просто: если натянуть ее, она пройдет через каждый перекресток, который мне необходимо пройти при возвращении по своим следам; один конец будет тянуться ко мне, а другой — к выходу.
      — А теперь, — сказал Радикс, — рассмотрим еще раз наш способ двойного обхода в несколько иной форме. Ты помнишь, что мы с тобой говорили о дереве, когда толковали об уникурсальных кривых?
      — Помню. Дерево — это такая связная фигура, которая состоит только из мостов и тупиков.
      — Верно. Ну, а чем же отличается схема путей лабиринта от дерева?
      — В лабиринте могут найтись петли, то есть замкнутые пути, а в дереве, как и в настоящем, ветки обратно в ствол его не врастают.
      — Вот именно! Но представь себе, что тебе пришлось повстречаться как раз с таким деревом-уродом, у которого некоторые ветки вросли обратно своими концами в ствол
      А если мы этот чертеж развернем:
      Схема превращения лабиринта УУУ в дерево.
      друг в друга. Что бы ты стал делать, чтобы обратить такого урода в обыкновенное дерево, в смысле расположения его ветвей, разумеется?
      — Взял бы пилу или топор, залез на это дерево и стал отделять приросшие концы веток друг от друга и от ствола.
      — Правильно. Так ведь это и есть твое первое правило, по которому ты, придя на перекресток, где уже был, возвращаешься обратно.
      Именно таким образом ты и превращаешь весь лабиринт в дерево. Если ты возвращаешься снова к своему пути, это означает, что ты пошел как бы по вросшей в ствол ветке и сделал круг. А когда ты не хочешь снова идти по основному пути и идешь вспять, то как раз и «отделяешь вросшую ветку», правда, действуя не топором, а просто запрещая себе перескакивать на основной путь.
      — Так, — отвечал Илья. — Теперь как будто все ясно. Действительно, если я должен облазпть все дерево, значит, надо облазить каждую ветку, а спускаться вниз я начну только тогда, когда отмечу все ветки. Именно это я и буду делать в лабиринте, превращенном в дерево или в тупиковый лабиринт, если буду соблюдать второе наше правило, то есть не уходить с перекрестка по первому пути, пока есть другие, еще не пройденные дважды коридоры.
      — Вот ты разберись хорошенько во всех наших схемах, особенно в схеме УУУ, и тогда все ясно станет. А потом попробуй сам на досуге поразмыслить вот над чем. Наше правило обеспечивает двойной обход лабиринта. А может быть, можно обходить дважды не все коридоры? Ведь схему коридоров лабиринта все же иногда удается превратить в уникурсальную фигуру, удваивая не все коридоры лабиринта. Ну-ка, попробуй найти какое-нибудь общее правило для этого. Ты сам пробовал ходить по лабиринту и знаешь, что это довольно утомительно. Нельзя ли как-нибудь уменьшить количество этих скучнейших, а быть может — кто знает? — и совершенно лишних хождений взад и вперед по одним и тем же коридорам? При этом, конечно, надо сделать так, чтобы весь лабиринт обойти, и в центре его побывать, и выйти на белый свет оттуда. Вот тут-то, друг Илюша, тебе и придется вспомнить кое-что из того, о чем мы с тобой толковали. Например, о топологической схеме лабиринта, затем о четности перекрестков-узлов в лабиринте и еще кое о чем...
      Илюша посмотрел на Радикса и задумался.
      — Вот уж не думал, — сказал он через минутку, — что задача о лабиринтах такое сложное дело! Читал я про них в разных книжках, и мне казалось, что это очень просто *. Мне только вот еще что приходит на ум. Мы с тобой разбирали лабиринты на плоскости. А могут существовать лабиринты в пространстве?
      — Разумеется! Больше того, ведь только такие лабиринты и существуют в действительности. Коридоры копей, каменоломен, шахт, катакомб, как и сплетение подземных ходов, которые роет крот, можно рассматривать как пространственные лабиринты. И все наши правила отлично годятся и в этом случае, ибо они от числа измерений не зависят. Только твое правило правой руки тут никак не удастся применить.
      — Уф! — воскликнул Илюша. — Все-таки это все довольно хитро. Но на досуге я все обдумаю и разберу как следует...
      — Итак, — заметил Радикс, — мы с тобой не торопясь разобрали подробно две немаловажные задачки, а в продолжение этого разбора коснулись некоторых довольно серьезных вещей. Не так уж плохо! Чем с большей старательностью ты отметаешь все излишнее, тем скорее приближаешься к решению...
      Илюша задумчиво посмотрел на своего всеведущего друга и промолвил:
      — Да... пожалуй... Что ж еще осталось мне спросить у тебя? А, вспомнил! Что это за интересный зверек бегал все время через лабиринт то вперед, то назад, точно заводной, у этой страшной тетушки Розамунды?
      — А-а, — засмеялся Радикс, — тебе понравилась ее мышка! Она, братец, не простая мышка, а даже очень умная. Эта мышка — электронный робот. У нее превосходная электронная память, и для нее решить задачу лабиринта довольпо просто. Она быстро запоминает свои ошибки и во второй раз уже не ошибается, а бежит по лабиринту, как по садовой аллее
      1 Кто хочет узнать про Розамундину мышку подробнее, тот пусть возьмет книгу Н. Корбинского и В. Пекелиса «Быстрее мысли». М., «Молодая гвардия», 1959. А по части лабиринтов см. AJ1-I; III, IV, V, VI.
      — Интересно!.. А кто такая богиня Лилавати, которую тетушка поминает через каждые два слова?
      — Лилавати — прекраснейшая и благороднейшая богиня, — сказал Радикс. — Древние индусские математики называли ее «Прекрасная дева с блистающими очами». А попросту сказать, так называется одна глава из старинного сочинения индуса Бхаскара Ачария «Венец Астрономической Мудрости». Слово это в данном случае значит «благородная наука», а речь идет о решении уравнений. Ну, а у тетушки это просто такая поговорка.
      — Так, — отвечал Илюша. — Ну, это по крайней мере хоть нетрудно. А древние индусы очень любили математику, если они придумывали для нее такие красивые имена?
      — Ну еще бы! — произнес почтительно Радикс. — Ведь это они придумали нуль. А вычислять с нулем гораздо легче. Наши арабские цифры на самом деле индусские цифры. Вот, например, еще пифагоровы числа, — хоть они и называются пифагоровыми, на самом деле их надо называть вавилонские числа, ведь вавилоняне их знали раньше греков.
      — А что такое пифагоровы числа? — спросил Илюша.
      — Неужели ты не знаешь? — удивился Радикс. — это очень... Тссс! — вдруг сказал он, сделав серьезное лицо. — Постой-ка... Ты ничего не слышишь?
      Илюша прислушался и услыхал какие-то довольно медленные, ровные и тихие шаги.
      — Кто-то идет сюда, — сказал он.
      — Тише, тише! — зашептал Радикс. — Давай спрячемся. Ты сейчас увидишь замечательное зрелище. Только смотри — ни одного звука. Тссс!..
      Илюша и Радикс быстро юркнули в темный угол. Тихие шаги медленно приближались. И они звучали так приятно и гармонично, что казалось, будто слушаешь удивительную музыку, которая становилась вся яснее. И вот из мглы показались какие-то стройные, высокие фигуры.
      Одна за другой перед глазами удивленного Илюши выходили из неопределенного тумана и двигались вперед высокие прекрасные женщины в легких одеждах, ниспадавших с их стройных фигур. Они смотрели куда-то вдаль, словно не замечая, что делается кругом, и странно улыбались, будто думая о чем-то, что только им одним известно. Илюша смотрел на них и думал, что эти женщины похожи на тех прекрасных мраморных греческих богинь, которых он в прошлом году видел с папой в Московском музее изобразительных искусств на Волхонке.
      — Какие красавицы! — прошептал Илюша. — А я-то думал, что у вас здесь только и есть страшйлища, вроде Розамунды.
      — Тссс! — зашипел на пего Радикс. — Говори потише. Впрочем, это, брат, такие важные особы, что они, конечно, пас с тобой заметить не могут.
      Илюша снова посмотрел на медленно двигающихся стройных молодых женщин и заметил, что у первой на платье выткана цифра «6», у другой — «28», у третьей — «496», у четвертой — «8128». У следующих были, кажется, вытканы тоже какие-то числа, но этого Илюша не мог разобрать.
      — Да кто же они такие?
      — Тссс!.. — прошипел Радикс. — Говори потише... Это — Совершенства.
     
     
      Схолия Шестая.
      благодаря которой читатель узнает очень простое правило, как из септиллиона, то есть из 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 в 24 ст., отобрать восемь бесподобных красавиц, и так как это правило применялось с успехом в течение двух с лишним тысяч лет самыми рассудительными людьми, то на него вполне можно положиться. Однако приятные рассуждения на эту тему неожиданно прерываются появлением довольно солидной особы, которую было бы затруднительно осмотреть обычными средствами, поэтому наши путешественники отправляются за помощью к очень юркому, трудолюбивому и словоохотливому маленькому народцу, и затем Илюша узнает немало неведомых ему до сей поры вещей по вопросу о четных и нечетных числах, их квадратах и о том, чем занимаются, с одной стороны, высшая арифметика, а с другой — разные бездельники.
     
      Илюша поглядел на Радикса недоверчиво и спросил:
      — То есть как — Совершенства?
      — Тише! Тише! — сказал Радикс. — Впрочем, они уже удаляются. Эти удивительные существа суть совершенные числа великого Евклида...
      — Это тот ученый грек, который написал «Начала», про геометрию?
      — Он самый, а случилось это за три века до нашей эры. Псистине это был великий человек, — ответил очень серьезно
      Радикс. — «Совершенство же этих чисел заключается в том, что каждое из них равняется сумме своих делителей, разумеется исключая его самого. Например, число «шесть». Его делители — 1, 2 и 3. Сложи и опять получишь шесть. Или число «двадцать восемь». Его делители — 1, 2, 4, 7 н 14. Сложи их, и снова получается двадцать восемь. Следующее число будет 496, и оно опять-таки равно сумме своих делителей — 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248. Совершенно так же и с числом 8218, что ты и сам можешь легко проверить.
      — И много этих чисел? — спросил Илюша.
      — Если по натуральному ряду чисел добраться до десяти в двадцать четвертой степени...
      — Это будет, значит единица с двадцатью четырьмя пулями! А как называется такое громадное число?
      — Оно называется септиллион. Это будет девятый класс чисел: единицы, тысячи, миллионы, биллионы* триллионы, квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы и, паконец, вот эти септиллионы. Так вот, если до них добраться (а как ты сам понимаешь, это не так просто), то на всем этом протяжении чисел окажется всего-навсего восемь совершенных чисел. Они были найдены триста лет тому назад математиком Мерсенном. Еще Евклид дал общую формулу этих чисел, которая, разумеется, была выведепа из наблюдений над ними. И все же формула выводится на основании общих соображений. Формула очень простая. Но обращаться с ней тоже не очень просто. Вот она какова:
      ...
      При этом и может быть любым числом, однако выражение (...) должно быть обязательно простым числом, то есть пе иметь никаких делителей, кроме единицы и самого себя.
      — Я знаю эти числа: 1, 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19, 23 и так далее.1
      1 Есть очень хорошая книга известного польского математика Вацлава Серпинскою «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах». М., Физматгиз, 1963. Тот, кто заинтересуется распределением простых чисел среди натурального ряда чисел, может узнать довольно интересные вещи по этому поводу в журнале «Знание — сила» (№ 3 за 1965 год, стр. 38 — 39, а также последняя страница обложки), где рассказывается о странной спирали из простых чисел, обнаруженной математиком С. Ула-мом. Эта углообразная спираль (чертится на клетчатой бумаге) обнаруживает ряд совершенно пеожиданных правильностей по части расположения простых чисел в натуральпом ряду. На этой необычной диаграмме не только самые простые числа, но и промежутки между ними располагаются в виде довольно длинных отрезков, образующих самые замысловатые узоры.
      — Ясно, — ответил Радикс. — Но если ты сам попробуешь применить эту формулу, то скоро убедишься, до чего это трудная задача. Я назвал тебе четыре совершенных числа. Для них в Евклидовой формуле и = 2, 3, 5 и 7. Если хочешь ознакомиться и с другими, то имей в виду, что для них число и будет равняться 13, 17, 19 и 31. Восьмое число начинается с квинтиллионов. Позже было найдено девятое совершенное число (для него и = 61), а затем — десятое, для которого и = 89. Для одиннадцатого и = 107. Для двенадцатого и = 127; в этом числе больше семидесяти пяти цифр. Ты заметил, что все указанные совершенные числа четные? Так вот, греческий математик Ямвлих говорит (и в правильности этого легко убедиться), что из всех четных чисел совершенными могут оказаться только те, которые подходят к формуле Евклида. Что формула Евклида дает в итоге четное число, это как будто ясно. Не-правда ли?
      — Мне тоже так кажется, — отвечал Илюша поразмыслив, — потому что первый множитель — это два в какой-то степени, а степени двух все ведь четные?
      — Да. И при этом никто никогда еще не мог найти пи одного нечетного совершенного числа. Однако, с другой стороны, все-таки никому так и не удалось доказать, что совершенное число не может быть нечетным... Сколько их? Тянутся ли они до бесконечности? Или на каком-либо обрываются? Никто сказать не может. В семнадцатом веке Антонио Катальди доказал, что все совершенные числа, кроме «шести», можно представить формулой (...). Это верно, однако ничего особенного из этого не следует. В двадцатом веке пытались доказать о них хотя бы то, что они могут быть только четными. Однако удалось доказать только то, что нечетные совершенные числа, если, конечно, они существуют, должны делиться по крайней мере на пять различных простых чисел и должны быть чрезвычайно велики.
      — Да-а!.. — протянул Илюша. — Действительно, странная задача. А какой, собственпо, толк от этих совершенных чисел? Мне кажется, что какое-нибудь квадратное уравнение гораздо полезнее. При его помощи решаются разные задачи, которые нужны в физике или в технике, ну и в геометрии тоже. Ни химики, ни инженеры, ни астрономы в этих совершенных числах, по-моему, не нуждаются. Они, конечно, очень красивые, эти Совершенства, но только... мне показалось, немножко похожи на кукол. А что с куклами делать? Поиграть да и бросить. И они молчат. Ты вот говоришь со мной, а они нет. Я не понимаю, зачем ими заниматься. Не все ли равно, четные они или нет? Ведь с их помощью плотину не выстроишь, самолет не сделаешь?
      — Конечно, — сказал Радикс, — ими сейчас вряд ли кто занимается, но, видишь ли, так рассуждать тоже нельзя, хотя с первого взгляда кажется, что ты совершенно прав и твое рассуждение тоже в своем роде совершенство. Однако... (AЛ-I, IX).
      В эту минуту Радикс чуть было не свалился паземь, потому что откуда-то сбоку подул сильный ветер.
      — У-у! — сказал Радикс, причем на его лице изобразилось нечто очень почтительное.
      Снова завыл сильный ветер, и наши собеседники вынуждены были забиться в угол, чтобы их не унесло. Илюша всмотрелся в ту сторону, откуда дул ветер (а надо сказать, кстати, что он дул как раз с топ стороны, откуда появились эти совершенные красавицы), и различил, что на громадном расстоянии от него двигалось что-то очень большое. Это было нечто вроде облака, вернее, это был левый край облака, и довольно правильно закругленный. Двигаясь, это облако колыхалось толчками, и, по-видимому, от этого-то и возникал такой ветер. Когда же Илюша поднял глаза, то увидел, что облако и в вышину тянется так далеко, что не поймешь, где у него конец. А ветер все гудел так громко, что Илюше стало даже страшно. Эта громадина быстро приближалась.
      — Тебе повезло! — крикнул ему Радикс изо всех сил в самое ухо, ибо свист ветра не давал говорить. — Но только отсюда ничего не увидишь. Берн меня за руку. Ты увидишь, какие могучие прыжки могу я совершать. А этот страшный вихрь будет дуть нам в спину и помогать двигаться.
      — Бежать, конечно, надо, — сказал ему Илюша, тоже крича во всю глотку. — А то еще раздавит!
      — Ничего! — отвечал Радикс. — Мы сейчас добежим до Ле-жандровой горы, где у нас выстроена замечательная консиде-раторпя, и оттуда кое-что увидим.
      Радикс схватил Илюшу за руку и прыгнул. Они оба взлетели вверх, порыв ветра подхватил их, и они пронеслись но крайней мере километров пять, и при этом довольно скоро.
      — Вот это прыжок! — самодовольно произнес Радикс, опускаясь на землю. — Так не всякий прыгнет. Ну-ка еще раз!
      И они снова взлетели.
      — А что такое консидератория? — спросил Илюша на лету.
      — Ну, это, — отвечал Радикс, снова опускаясь на землю, — вроде обсерватории, только в обсерватории наблюдают, а в кон-сидераторни рассматривают.
      На этот раз они пролетели не так далеко, так как ветер на этом расстоянии был значительно слабее.
      И они прыгнули еще раз.
      — А там есть телескопы? — спросил Илюша.
      — Нет. Зачем там телескопы? Там куммерскопы.
      — Куммерскопы? — повторил Илюша. — А это еще что за штуки?
      — Ну, как телескопы — аппараты для наблюдения, так куммерскопы — аппараты для рассмотрения. Между прочим, там ты увидешь очень много моих детей.
      — Разве у тебя есть дети?
      — И немало! — отвечал самодовольно Радикс. — Один философ назвал их «чудовищами идеального мира», но это сущий вздор, потому что все мои ребятишки очень трудолюбивые и в высшей степени полезные существа.
      В продолжение этого разговора они постепенно приблизились к красивой горе, на которой возвышалась странной формы башня. Очевидно, это и была консидератория. Перед башней стоял большой обелиск, на основании которого были написаны три цифры — 3, 5 и 7, окруженные лавровым венком. Когда наши путешественники подошли к дверям башни, Илюша увидел, что над этими дверями в два ряда написаны цифры: сперва — 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, а потом — 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97. Цифры эти были высечены на громадной цельной плите из красивого синевато-зелёно-серого камня нефрита н немного светились удивительно приятным, чуть-чуть розовым огнем. При этом цифры 37, 59 и 07 горели более ярко, чем остальные. Вокруг башни было тихо, и только легкие порывы ветра, достигавшие наших путников, давали им понять, что тот колосс, от которого они ускакали, все еще движется в том же направлении.
      На дверях башни был вырезан сложный орнамент, где Илюша увидел массу корпей разных степеней, и все они извлекались почему-то та единицы.
      Тут они вошли в здание, и к ним немедленно подлетел ка кой-то крохотный человечек, личико которого было чрезвычайно странно устроено. Слева это было лицо как лицо, но правая сторона была до того неопределенная, что когда Илюша смотрел на правую половину лица этого человечка, никак не мог понять, есть ли у него эта правая половина или нет.
      — Дорогой папенька! — воскликнул человечек, бросаясь к Радиксу.
      Радикс приветливо улыбнулся и сказал человечку:
      — Позволь тебе представить одного любознательного юношу, с которым мы сюда зашли на минуточку посмотреть в куммерскоп. Он, видишь ли, осматривает наш мир...
      Тут Радикс прошептал что-то человечку на ухо, но что, Илюша разобрать не мог. Человечек быстро закивал головкой.
      — Очень-очень рад, милейший Илюша! — сказал он, пожимая мальчику руку. — Позвольте, кстати, представиться: я — комплексное число. Мое имя Мнимий Радиксович. Мы, конечно, с вамп встречались. Узнаете?
      — Конечно, я вас знаю. Вы получаетесь из квадратного уравнения, когда под корнем оказывается отрицательное число. Слева у вас вещественное число и справа — мнимое.
      — Совершенно справедливо! — воскликнул в восторге Мнений Радиксович. — Именно таким образом, при помощи моего уважаемого папеньки, квадратного корня, я и получаюсь. Поэтому меня и зовут Мнимий. Некоторые думают, что я что-то загадочное и несуществующее, но вы, конечно, этого не думаете, да это и трудно думать, впдя меня перед собой воочию!
      — Я не буду вам все показывать, — сказал Мнимий Радиксович, — ибо у нас есть здесь аппараты и более сложные, чем куммерскоп, но они требуют не объяснений и даже не лекций, а нескольких годов изучения. Я проведу вас наверх; оттуда в люк вы сможете усидеть общий впд куммерскопа. А потом я отведу вас к экрану. При помощи нашего экрана вы сможете обозреть Великую в доступных нам пределах. Л затем я вас сведу в музей, где есть несколько простеньких старинных моделей, доступных почти всякому.
      Радикс и Илюша, разумеется, не стали спорить. Они остановились перед маленькой дверью, и через минуту лифт унес их на самый верх высокой башни.
      — Пожалуйте! — сказал Мнимий Радиксович.
      Все трое осторожно подошли к небольшому балкончику, откуда открывался вид в глубь банйш. Все внизу было залито ярким светом. Бесчисленное множество комплексных человечков суетилось там, как муравьи на муравейнике. Бесшумно и неопределенно поворачивались какие-то громадные круги, какие-то знаки появлялись и исчезали в воздухе. Непрестанно проплывали в разных направлениях стрелки. Они появлялись, поворачивались, удлинялись, отражались в громадных зеркалах и исчезали. Несколько бледных фигур легкими движениями рук управляли всей зтой сложной и беззвучной суетой. В этом непрерывном, очень быстром, но четком движении была какая-то строгая правильность. Илюша смотрел затаив дыхание.
      — Ну, идемте, — шепнул им Мнимий Радиксович. — Тут ведь идет настолько тонкая работа, что даже наше безмолвное присутствие может ей помешать. Пойдемте к зкрану. Он находится в зале Трех Великих Знаков.
      Они обошли балкончик и подошли к тяжелым, литым бронзовым дверям, на каждой пз которых среди множества узорных украшений были изображены буквы е, я, i. Гости проникли в самую верхнюю часть башни. Это был громадный сумрачный зал со сводчатым потолком. В глубине стояла огромная пустая рама, а неподалеку от двери — несколько кресел.
      — Присаживайтесь! Сейчас я приведу экран в действие. А когда он начнет работать, то вы простым движением руки сможете его поворачивать, куда вам будет удобно.
      Свет в зале потух. Громадная пустая рама заполнилась мягким светом. Это и был экран.
      — Сейчас, — крикнул откуда-то из глубины Мнимий Радиксович, — сейчас увидите! А когда увидите, тогда уже управляйте сами. Правой рукой. Это очень просто.
      Желтоватое сияние на громадном экране начало местами бледнеть, местами разгораться, и тут Илюша стал постепенно разбирать на нем несколько неопределенные формы того колоссального существа, от которого они недавно так поспешно ускакали. Понемногу зти формы становились яснее. Илюша
      двинул рукой влево, и изображение переместилось. Тут он ясно увидел тот левый край этого колосса, который он только что видел своими собственными глазами. Теперь ему показалось, что это край платья. Он начал двигать изображение в другую сторону. Край платья, легко колыхаясь, все двигался и двигался, а конца не видно было. Наконец Илюша заметил какую-то неясную тень громадных размеров, которая мелькнула на экране, напомнив своей формой ногу, обутую в красивую туфлю странного, очень старинного фасона. Затем, все время передвигая экран, чтобы наконец дойти до правого края фигуры, Илюша рассмотрел и другую ногу, которая тоже мелькнула и быстро исчезла. Наконец Илюша добрался и до правого края фигуры.
      — Каково же расстояние от одного края до другого? — робко спросил Илюша.
      — В точности это вам никто сказать не может, — услыхал он в ответ.
      Поднимая экран, Илюша наконец разобрал кое-как, что перед ним, по-видимому, необозримо громадная фигура женщины в старинном платье; он еле-еле мог рассмотреть ее до пояса. Далее шли облака и тучи, сквозь которые ничего не было видно.
      — Это какая-то невероятная великанша! — воскликнул Илюша.
      — Так ведь она так н называется, — отвечал ему Мнимий. — Перед вами Великая Теорема Ферма, одного из величайших математиков мира, жившего в семнадцатом веке. Скоро пройдет три столетия, как он высказал ее, и до сих пор наука еще не нашла ее доказательства, а с другой стороны, и не смогла показать, что эта теорема несправедлива. Проблема зта до такой степени громадна и необъятна, что, как вы сами могли убедиться, нет возможности осмотреть ее целиком. Даже наши исключительно мощные аппараты могут показать вам только часть того, что есть на самом деле. Идемте в музей.
      И все они спустились на лифте и вошли в широкую комнату, где по стенам висели различные чертежи и формулы.
      — Ну вот, — сказал проводник наших героев, — номер первый. Позвольте вам представить. Вот сама теорема. Рассказать ее — минутное дело. Надо доказать, что если взять вот такую сумму:
      ...
      причем показатель и равняется любому целому положительному числу больше двух, то невозможно отыскать три таких целых положительных числа, которые удовлетворяли бы этому равенству. Другими словами, только сумма двух квадратов может быть тоже квадратом. Это так называемые вавилонские, или пифагоровы, числа, без сомнения вам известные.
      — Да-да... — сказал несколько растерянно Илюша.
      — Ну! — произнес Мнимий Радиксович, видя его затруднение. — Ну, например, три в квадрате плюс четыре в квадрате — это будет пять в квадрате. Девять плюс шестнадцать будет двадцать пять.
      — А! — вспомнил Илюша. — Это по пифагоровой теореме! Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы в целых числах. Так ведь это очень просто!
      — Разумеется, — отвечал Мнимий, — это несложно. Но еслп сумма двух квадратов может быть квадратом, то уж сумма двух кубов не может быть кубом. И вообще ни одна степень, кроме второй, не годится. Это еще никому не удавалось опровергнуть. Наоборот, чем дальше идут наши работы, тем больше мы убеждаемся, что это справедливо. Но дело в том, что надо доказать, что зто так. Доказать не для отдельного случая, а вообще, то есть для любого случая. И вот до сих пор, несмотря на все труды, это не удавалось. Заметьте, в постановке задачи ничего трудного нет, это любому грамотному человеку можно рассказать. -А доказать, что зта задача не решается, все-таки пока еще невозможно.
      Комплексный человечек перешел к другой формуле.
      — Ну вот, позвольте теперь дать вам некоторые указания об пифагоровых числах. То есть о сумме квадратов. Начнем с того, что мы будем рассматривать всегда три таких числа, чтобы никакие два из них не имели общих делителей. Нам ведь нет смысла рассматривать равенства, вроде вот такого:
      62 + 82 = 102,
      потому что такое равенство можно сократить на 22, и тогда мы придем к тому, с чего начали, то есть к равенству
      З2 + 42 = 52.
      А с другой стороны, поскольку это сумма, то если какая-нибудь пара чисел делится на некоторое число, то и третье на него делится. Следовательно, нам нет смысла рассматривать такие случаи. Ясно?
      — Ясно, — ответил Илюша.
      — Прекрасно, — отвечал терпеливый лектор. — Теперь далее. Вы видите, что если взять «три» и «четыре», то одно из этих чисел четное, а другое — нечетное. Может ли быть иначе? Очевидно, нет. Потому что если бы оба эти числа были четные, то у них был бы общий делитель «два», а мы только что выяснили, что это нам не подходит. Теперь: могут ли оба эти числа быть нечетными? Нет, потому что тогда сумма их квадратов должна была бы быть четным числом. Это очень просто проверить. Возьмем два нечетных числа, возведем их порознь в квадрат, а эти квадраты сложим:
      ...
      Ясно, что наша сумма есть четное число. Однако если квадрат какого-нибудь числа есть число четное, то само число и подавно четное. Если же это так, то наша сумма должна делиться без остатка на четыре, ибо всякое четное чпсло можно написать в виде 2п, откуда квадрат его есть 4 п2, и он, очевидно, делится на четыре. Попробуем теперь разделить на четыре нашу сумму квадратов двух нечетных чисел:
      ...
      Ясно, что эта сумма на четыре не делится, и мы получаем в остатке «два». Следовательно, наше предположение ведет к противоречию. И два числа в правой части равенства не могут
      быть оба нечетными. А так как мы видели, что они не могут быть и оба четными, то ясно, что одно из пих четное, а другое нечетное. Вы с этим согласны?
      — Согласен, — отвечал внимательно слушавший Илюша.
      — Теперь очевидно, что третье число должно быть также нечетным, ибо квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного — нечетное. Ясно, что их сумма опять будет числом нечетным. Положим теперь для определенности, что z (сумма) будет нечетным числом, х (первое число) тоже нечетным, а у (второе) — четным. Тогда можно написать, что
      ...
      Это и есть формулы пифагоровых троек. По этим формулам можно получать любое количество пифагоровых чисел. Например, если у нас р равно пяти, a q равняется четырем, то наши пифагоровы числа будут 40, 9 и 41. Проверим. Сорок в квадрате будет 1600, девять в квадрате — 81, а сорок один в квадрате — 1681. Все в порядке. Ясно?
      — Ясно, — скромно ответил Илюша, которому очень правилась эта маленькая лекция.
      — Конечно, если наши р и q будут оба нечетные, то наши индусские числа неизбежно будут иметь общий мпожнтель, равный двум. Проверьте, коли не поленитесь! Впрочем... Этими числами даже в древпем Вавилоне занимались! Сохранились таблетки с росписями.
      Илюша тщательно проверил вычисления и убедился, что лектор прав.
      — Теперь я скажу вам еще несколько слов о судьбе Великой Теоремы. Видите ли, это началось с того, что в семнадцатом веке один из крупнейших математиков всех времен, Пьер Ферма, однажды, читая своего любимого автора — древнего математика Диофанта, записал на полях зтой книги свою теорему, о которой мы только что говорили. А записав ее, он добавил следующие слова: «Я нашел понстипе удивительное доказательство этой теоремы, но на полях книги слишком мало места, и оно здесь не упишется». И вот с тех пор математики всего мира триста лет быотся и не могут найти это доказательство. Один крупнейший математик, Леонард Эйлер, тот самый, кто впервые обозначил отношение окружности к диаметру греческой буквой я, доказал, что для третьей и четвертой степени теорема Ферма правильна. Но надо вам сказать, что уже для третьей степени его доказательство вводит понятия более сложные, чем те, которые были известны математикам во времена Ферма. В частности, он должен был в этом случае прибегнуть к нашей помощи, то есть к помощи комплексных чисел, частным случаем которых являются обыкновенные числа. И мы ему, разумеется, в этом деле, как умели, помогли. Ведь если посмотреть на все это дело, как говорится, попросту, то легко можно сказать: зачем эти бедные комплексные чудачки возятся в этой башне с такими сложнейшими аппаратами? И все только для того, чтобы доказать, что пекоторая задача не может быть решена? И триста лет математики бьются над задачей, от которой никому ни тепло ни холодно! Но это не совсем так. Уже Леонард Эйлер должен был вводить для этой задачи повые числа, то есть расширять понятие числа. А это великое дело. Ибо когда построена новая система чисел, то она работает уже не только для этой задачи, а для всех математиков и для всех проблем. А когда за эту задачу взялся математик К у м м е р, по имени коего и наш главный аппарат, как вы знаете, называется куммерскопом, то он построил целую теорию, где было очепь много нового. И при помощи этой Новой теории он доказал нашу Великую Теорему сразу для всех тех показателей степени, которые вырезаны в а камне над дверямп нашей башни. Причем для трех чисел,
      которые светятся над дверями особенно ярко, ему пришлось построить дополнительную теорию. Он расширил наши представления в области математики и дал нам совершенно новые аппараты, которые годятся для очень многих вопросов, в частности и для таких, которые задевают интересы инженеров и других практических деятелей. Я уже не говорю о том, что только благодаря Куммеру вы могли разглядеть на нашем экране Великую хотя бы по пояс. До Куммера можно было рассмотреть разве что бахрому ее мантильи, ибо теорема была доказана только для чисел 3, 5 и 7. В настоящее время теорема доказана вплоть до очень больших показателей степеней. Вычисления для этого понадобились не шуточные! Чтобы вы могли себе составить представление о том, с какими громадными числами в таком случае приходится иметь дело, укажу, что если возвести число «два» в степень «семьсот», то в результате мы получим число, в котором будет двести с лишком знаков, а если возвести «три» в ту же степень, получим число, в котором будет более трехсот знаков. Я слышал, как вы недавно говорили, что септиллион кажется вам довольно внушительным числом, а ведь в нем всего-навсего только двадцать, пять знаков! Вопросами такого рода занимается высшая арифметика, которая называется теорие й ч и с е л. Исследования в этой области раскрывают очень много серьезных проблем, с которыми приходится сталкиваться математику. Вы знаете, что существуют иррациональные числа, как, например, корень из 2, которые не могут быть выражены никаким конечным числом десятичных знаков. Но корень из 2 может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, например:
      х2 — 2 = 0.
      Одиако есть числа, еще более сложные по своему строению. Таково, например, число л, которое мы называем трансцендентным числом. Оно уже не только не может быть выражено конечным числом десятичных знаков, но не может быть, кроме того, и корнем никакого алгебраического уравнения с целыми или вообще рациональными коэффициентами. И вот это в высшей степени важное его свойство и доказывается способами теории чисел. Кстати, когда наконец это доказательство было получено (а ведь это случилось не так давно, в конце девятнадцатого века), то тем самым был положен конец всем решительно попыткам найти квадратуру круга, то есть построить равновеликий данному кругу квадрат при помощи циркуля н линейки. Об этом, я думаю, вы слышали?
      — Конечно, — отвечал Илюша.
      — Так что с этой задачей, которая долгое время занимала умы людей просвещенных... (правда, к сожалению, не только просвещенных!), было покончено.
      — Это вроде как с «вечным двигателем», то есть с реrpetuum mobile? — вставил Илюша.
      — Н-да, — согласился Мнимий, — в этом роде.
      — Но ведь теорема Ферма — это все-таки не квадратура круга и не perpetuum mobile?
      — Ну конечно, нет! — воскликнул Мнимий. — Это все же серьезная проблема, хотя и частного характера. Заметьте, что теория чисел славится среди математиков тем, что постановка ее задач на первый взгляд кажется очень несложной, но зато решение их дается ученым с таким трудом, что, пожалуй, в этом отношении с теорией чисел не может поспорить никакая другая отрасль математики. Из наиболее важных проблем этой науки я укажу вам на проблему распределения простых чисел в ряду целых чисел. Ясно, что среди всех этих чисел самое важное значение имеют именно простые, ибо все остальные суть произведения простых, а они в силу этого, очевидно, являются элементами, из которых образовано каждое целое число. Вопросом о том, сколько этих чисел, занимался с успехом еще Евклид, показавший, что простых чисел в ряду целых имеется бесконечное множество. Гораздо позже над вопросом о распределении простых чисел трудился Эйлер, а затем важнейшие результаты были получены крупнейшим русским математиком П. Л. Чебышевы м уя:е в девятнадцатом веке. На решение многих проблем теории чисел нередко требуются не то что годы, а целые столетия. Например, в конце восемнадцатого века английский математик Варинг предложил одну задачу по теорпи чисел. На первый взгляд она совсем не хитра: надо доказать, что всякое целое число можно представить в виде суммы ограниченного числа энных степеней целых чисел. Для п, равного двум, это сделать не очень трудно, и вывод гласит: всякое целое число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратов. Например:
      2519 = 432 + 252 + 62 + З2.
      Но доказать надо не только для квадратов, а для всех степеней. И только уже в начале двадцатого века было дано решение этой труднейшей задачи с помощью самых тонких средств математического анализа. Вот еще пример. В середине восемнадцатого века академик X. Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что всякое целое число больше тр^х может быть разложено на сумму не более чем трех простых
      чисел. Задача эта оказалась до такой степени трудной, что еще в начале нашего века на международном математическом конгрессе один нз видных ученых заявил, что она «превосходит силы современной математики». Оказалось, впрочем, что это не так. Основные результаты в решении этой задачи были достигнуты советским математиком Л. Г. Ш н и р е л ь м а н о м, который доказал, что, составляя суммы достаточно большого (но заранее ограниченного) числа слагаемых, каждое из которых есть простое число, можно получить все натуральные числа. Уже это было достижением, которое вызвало удивление математиков всего мира. Но, конечно, еще труднее было доказать, что для разложения четных чисел достаточно двух, а для разложения нечетных чисел — трех слагаемых, каждое из которых есть простое число. Это последпее утверждение удалось доказать замечательному советскому математику И. М. Виноградову, которому и принадлежит, таким образом, помимо ряда блестящих работ в других областях теории чисел, решение этой никому не покорявшейся проблемы Гольдбаха (для нечетных чисел; для четных метод Виноградова дает четыре слагаемых). Решение Виноградова быстро облетело весь мир и увенчало советскую математику заслужеппой славой... Однако должен добавить ко всему сказанному вот еще что. Допустим, что завтра найдется гениальный математик и докажет теорему Ферма. Конечно, это не будет переворотом всей математики. И возможно, что разговоров будет больше, чем дела. Все это так. Однако нельзя сомневаться в том, что м е т о д ы, которыми действует математика, благодаря этому обогатятся, и даже очень. Ну вот, теперь, мой милый гость, мне кажется, что я, насколько мог, удовлетворил вашу любознательность.
      — Я даже не могу выразить, до чего я вам благодарен! Мне кажется, я никогда еще не слыхал ничего такого интересного. Я всегда очень любил математику, а теперь... теперь мне кажется, что это самая интересная вещь на свете!
      — Что ж, молодой человек, — ответил ему Мнимий Радиксович, приветливо улыбаясь, — я, конечно, в этом деле не судья, но возможно, что вы не так далеки от истины.
      После этого Илюша и Радикс сердечно распрощались с гостеприимным хозяином и не спеша стали спускаться с Лежаидровой горки. Радикс пояснил Илюше, что горка эта называется так но имени математика Лежандра, который высказал о теореме Ферма некоторое очень тонкое замечание.
      — Как все это интересно! Что за прелесть, эти комплексные человечки! — воскликнул Илюша.
      — Не забудь, однако, — заметил Радикс, — что все зто довольно трудно. Мир этих человечков отличается рядом свое-
      образных и неожиданных особенностей, которые не так-то просто изучить. А без такого изучения ты от них не многого добьешься!
      — Пусть трудно, но, по-моему, лучше заниматься трудным делом, только чтобы оно было интересное. Ты как думаешь?
      — Точно! — сказал Радикс.
      — Вот бы, — сказал мечтательно Илюша, — мне все зто выучить, стать математиком и доказать эту теорему!..
      Услыхав это, Радикс посмотрел на Илюшу так странно и пристально, что Илюше на минутку стало не по себе. Радикс смотрел на него не отрываясь. Илюша хотел было спросить, чего это он на него так уставился, как вдруг что-то громко ухнуло сзади, точно громадная хлопушка, и Радикс со страшной быстротой полетел вверх. Илюша не успел и ахнуть, как все, что было вокруг него, тоже понеслось вслед за Радиксом ввысь. И тут только Илюша сообразил, что это он сам куда-то провалился и падает с ужасной скоростью. В ушах у него свистело, все неслось вверх с треском и грохотом, и он совсем было потерял голову. Вдруг все неожиданно остановплось и разом утихло.
      Илюша осмотрелся и увидел, что стоит почти впотемках на гнилых досках каких-то очень грязных сеней. Перед ним облезлая дверь, в которую кое-как вколочен ржавый гвоздь вместо ручки. Где-то жалобно пищит кошка. Илюша растерянно потянул за гвоздь. Дверь с унылым скрипом распахнулась, и Илюша попал в убогую каморку с подслеповатым окошечком, завешенным густой паутиной. Было холодно. И стало вдруг ужасно скучно. Илюша оглядел каморку в величайшем упынпи. Радикса и след простыл! Перед Илюшей стоял колченогий столик, а за ним на старом ящике сидел какой-то старикашка в порыжевшем от времени пальто, подпоясанном веревкой. Перед ним стояла старая жестянка с водой, на ней лежал кусок заплесневевшего хлеба. Старичок что-то старательно чертил циркулем. Илюша нерешительно кашлянул.
      — Сейчас, — сказал старичок, — сейчас, голубчик! Вот только начерчу еще одну окружность — и готово. Только одну. Одну-единственпую.
      — А что вы делаете? — спросил Илюша.
      — А видишь ли, — отвечал тот, — я заслуженный специалист по Великой Теореме Ферма, а сейчас это так, забава, пустяк — трисекция угла с помощью циркуля и линейки. Пустяки! Очень легко сделать.. Надо только начертить двести двадцать две окружности, провести сто одиннадцать хорд и секущих, и все готово. Очень просто!
      — Как так? — жалобно спросил Илюша.
      — Очень просто. Ily, совершенно так же, как делается с циркулем и линейкой квадратура круга.
      — Квадратура круга?! — повторил в ужасе Илюша.
      — Ну да. Это тоже очень просто. Только надо переставить числа хорд и окружностей. Хорд надо двести двадцать две, а окружностей сто одиннадцать. В общем, то же самое..
      — Как у вас холодно! — сказал Илюша, надеясь переменить разговор.
      — Машина по в порядке, — с огорчением ответил старичок. — Она, понимаешь лп, требует керосина для смазки. То есть теперь требует. Потом, когда я ее еще усовершенствую, этого тоже не будет нужно. Все время работала, а без керосина никак не выходит.
      — Какая машина? — спросил Илюша.
      — Для отопления. Это perpetuum mobile...
      — Perpetuum mobile?.. — еле прошептал Илюша. — У вас н perpetuum mobile есть?
      — А как же! — гордо сказал старичок. — Она у меня вертит крыльями. В жестянке. Воздух от этого нагревается, а потом я открываю жестянку, теплый воздух выходит, и в комнате становится теплее. Да я вот сейчас доделаю, потом закончу еще одно доказательство теоремы Ферма...
      — Как так «еще одно»? Разве у вас уже есть доказательство?
      — Доказательство! — усмехнулся старичок. — У меня их есть ужо пятьсот пять штук. Это будет пятьсот шестое.
      — А зачем же так много? — спросил Илюша.
      — Зачем так много? — задумался старичок. — Вот уж не знаю. Всё говорят — нехороши! Будто бы неверные. А уж такие хорошие доказательства! Одно другого лучше! Оставайся у меня. Будем вместе доказывать. У меня есть еще одна идейка. Доказательств на двадцать хватит. Вот посмотри мое четырехсот второе доказательство теоремы Ферма.
      Илюша взял в руки замусоленный кусочек бумажки, начал разбираться в выкладках и вдруг с ужасом обнаружил, что почтенный ферматпст был уверен, что если некоторое число делится на каждое из двух чисел а и Ъ порознь, то оно должно разделиться и на их произведение. Илюша опустил бумажку и начал дуть себе на замерзшие пальцы.
      — Но хочу я доказывать вашу теорему! — вдруг вскрикнул Илья в отчаянпи. — Пустите меня отсюда, я замерз!
      — Ах, так ты не хочешь? Вот как! — сказал, ядовито ухмыляясь, ферматпст. — А ты ведь сказал, что хочешь? Поворачивайся! Нечего рассуждать! Раньше надо было думать.
      И снова все засвистало, и Илюша помчался обратно вверх. Все кругом трещало, ухало, грохало, а Илюша мчался наверх
      с такой скоростью, о которой раньше даже и понятия не имел. Вдруг снизу, сквозь страшный грохот, раздался зычный крик:
      — Вот он! Держи его! Стой! Поймать! Остановить! Изловить!
      Илюша чуть не лишился чувств от страха. Он узнал страшный голос, взглянул вниз и увидел, что за ним с криком несется ужасный Упикурсал Уникурсалыч, Кандидат Тупиковых Наук, Д. Ч. и Н. У.
      — Лови его! Держи! Он забыл про тысяча семьсот семьдесят пятый!.. Я ому покажу, как такие вещи забывать!..
      «Что такое? — подумал Илюша. — Что это такое за тысяча семьсот семьдесят пятый?..»
      — Не помнишь! — кричал снизу Доктор Четных и Нечетных. — Я тебе покажу! Я тебе напомпю! А вот я сейчас!..
      И вдруг перед Илюшей, откуда ни возьмись, появился старинный том, на переплете которого было вытиснено золотыми буквами: «Решения и постановления Парижской Академии Наук за 1775 год». Книга открылась, несколько страниц перевернулось, и Илюша прочел:
      «Академия постановила: отныне и впредь но рассматривать представляемых ей разрешений задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение».
      — Вот что, друг любезный, — вымолвил довольно сурово встретивший его Радикс, — имей в виду, что у нас здесь очень не любят, когда людп, плохо знакомые хотя бы с тем, что в теории чисел называется «арифметикой целых алгебраических чисел», и с тем, какие возникают затруднения при рассмотрении делимости на «алгебраические числа», начинают заглядываться на теорему Ферма. И не следует так быстро решать, что ты будешь делать в областях, которые тебе пока еще очень мало известны. А насчет теоремы Ферма надобно быть особо осторожным. Дело в том, что формулировка этой теоремы очень проста, и на первый взгляд неопытному человеку кажется, что и вся проблема проще простого, что надо только не быть «ученым педантом» н обладать в небольшой степени тем, что пмепуотся «здравым смыслом», чтобы разобраться и покончить со всей проблемой одним махом. В дальнейшем ты и сам увидишь, что на свете существует немало задач, которые очень просто формулировать, но которые отнюдь не просто решить, и что никакой связи между простотой формулировки задачи и простотой ее решения пе имеется. Укажу тебе еще вот на какое обстоятельство. Я совершенно уверен, что ты забрался в эту книжку главным образом для того, чтобы в дальнейшем ознакомиться с другими, более трудными книжками...
      — Да-да! — перебил его Илюша. — Конечно! Вот из-за этого-то...
      — Хорошо, — спокойно отвечал ему Радикс. — Я понимаю это. И вполне тебе сочувствую. Но имей в виду, что когда ты доберешься до этих более трудных книжек, то очень скоро убедишься, что в теории чисел, науке вообще очень трудной, существуют уже решенные задачи — кстати сказать, тоже на первый взгляд не очень сложные, — но разобраться в том, как они решаются, и усвоить, какова основная идея решения, может только человек с куда более основательной подготовкой, чем у тебя, и то не сразу, а после долгих и упорных трудов, измеряемых для отдельного случая не часами, а неделями. Осмелюсь тебе еще доложить, что на свете было, есть и будет несметное число всяких бездельников, которые отравляют жизнь настоящим ученым, заваливая их своими творениями по вопросу о квадратуре круга и доказательствами теоремы Ферма и требуя не только внимания и помощи, но и тысячных премий, н поднимают дикие вопли о бесчеловечности, когда их просят по-хорошему не приставать с чепухой к отвязаться. Я, конечно, не думаю, чтобы ты в будущем пристал к этому стаду, потому что сам видел сейчас, что эту задачу голыми руками не возьмешь, но все-таки, дружок, надо быть поосторожнее! Ты должен понять вот что, милый друг: если ты подходишь к теореме Ферма всерьез, как подобает ученому, то надлежит вооружиться всеми средствами современной науки, иначе ничего не сделаешь. А чудаки, которые надеются одолеть ее с помощью элементарных средств, напоминают того дурачка, который, увидав в первый раз телескоп, наведенный на луну, решил, что только заведомые глупцы могут пользоваться таким сложным аппаратом, а он, умник, поступит попроще: просто сколотит большую деревянную лестницу, залезет на небо, достанет оттуда луну, поставит ее к себе на стол, разглядит и всем желающим расскажет. Вот как!
     
      КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ

 

НА ГЛАВНУЮТЕКСТЫ КНИГ БКАУДИОКНИГИ БКПОЛИТ-ИНФОСОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКАФОТО-ПИТЕРНАСТРОИ СЫТИНАРАДИОСПЕКТАКЛИКНИЖНАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru