Ох, эта математика!

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
      Предлагаемая книга югославского математика и педагога 3. Шпорера по содержанию ближе всего к таким публикациям по математике, которые предназначены для формирования у читателей целостного общего представления о важнейших ее разделах. В нее включены главы, посвященные основам теории множеств, теории чисел и математической логике. Такая подборка материала хорошо отвечает новшествам современной школьной программы по математике. Символика и весь аппарат описания математических преобразований и доказательств в школьных учебниках основаны на применении правил теории множеств и математической логики. Широко используются в них свойства отображений множеств, частным случаем которых являются отображения, задаваемые различными алгебраическими функциями. Сам подход к математическим построениям стал носить более строгий абстрактный характер, что требует овладения методами аксиоматического описания исходных понятий.
      Однако в книге Шпорера мы не найдем строгих доказательств и развернутых описаний и выводов. Шпорер достаточно популярно, просто и в то же время научно излагает сложнейший материал. Его задача — пробудить интерес учащихся к данной проблематике, а затем дать определенные сведения, которые могли бы стать основой для дальнейшего более детального изучения. При изложении материала автор следует правилу: «Для популяризации математики нет нужды быть вульгарным, для простоты изложения нет необходимости все объяснять упрощенно, и, наконец, серьезное введение в математику совсем не обязательно должно быть скучным».
      Вместе с тем эти качества изложения еще не могут объяснить, почему читатель, который те любит математику», начав читать эту книгу, не может и не хочет бросить это занятие, Более тоео, он даже не замечает, что раз ва разом возвращается к некоторым ее трудным местам, чтобы как следует понять написанное. Ответ на этот вопрос крайне прост (но не банален). Всему «виной» замечательное педагогическое мастерство Шпорера.
      Эффективное обучение, скажем, математике совершенно невозможно без создания определенной эмоциональной атмосферы вокруг ученика, которая характеризуется (так же, как погода — температурой, давлением и скоростью ветра) потребностью учащегося в усвоении учебного материала, уважением и любовью ко всему, что связано с учебным предметом. Шпорер, говоря о тех или иных теориях математики, рассказывает нам и об их творцах — современных и древних, подчеркивая и откровенно восхищаясь их высокими человеческими качествами: настойчивостью, изобретательностью,
      мудростью и творческой одержимостью. И вместе с тем для читателя это живые, вполне земные люди, которые и ошибаются, и часто не могут найти окончательных решений. Именно поэтому, кстати, читатель чувствует себя даже в какой-то мере приобщенным к творчеству этих великих людей науки.
      Теперь давайте посмотрим, как умело Шпорер осуществляет необходимое для учащихся педагогическое руководство. Читатель своевременно найдет в книге подсказки в трудных местах, и одновременно ничего в ней не разжевывается и не преподносится в готовом виде. Шпорер никогда не забываещ вовремя разрядить читателя остроумной шуткой или поучительной притчей. Материал книги очень удачно разбит на примерно равные куски по отношению к затратам труда на его усвоение. В конце такого куска автор просто предлагает ученикам отдохнуть или, скажем, пойти и поиграть в футбол.
      Но педагогическое мастерство Шпорера характеризуется не только общими методическими приемами. Он прежде всего учитель математики. Математика, пользуясь определением знаменитого немецкого математика Д. Гильберта,— это «игра, в которую играют согласно-простым правилам и пользуются при этом обозначениями, не имеющими самостоятельного значения». «Язык математики» — один из наиболее важных объектов изучения. Более того, можно было бы сказать, что математика в целом самц является хорошо структурированным и формализованным языком описания окружающей нас природы. Следовательно, изучать математику необходимо в том числе и так, как это делают при изучении языка, вводя обозначения {алфавит), правила построения утверждений {предложений} и т. д.
      Шпорер блестяще умеет пояснить вводимые обозначения и целые схемы формализованных описаний. При этом, используя живой разговорный язык, массу примеров,.казалось бы, отвлеченных, он добивается главного. У читателя необходимые понятия прочно закрепляются большим числом Связей, ассоциаций и анальгий.
      Хочется отметить и еще одно важное качество предлагаемой книги. Речь идет о том, как выстроен в ней учебный материал, как удалось Шпбреру наложить на схему логических связей разделов математики, изучаемых в -книге, требования возрастной и детской психологии.
      Многочисленные повторы, возвращения и дополнения к уже разобранным теоремам — не недостаток книги, а скорее ее достоинство. Усвоение определенных высказываний на должном уровне Обобщения возможно лишь при использовании именно такого итеративного подхода к обучению.
      Итак, те, кому книга посвящена, будут читать ее с интересом, с пользой для своего образования. Но одновременно эта книга должна помочь педагогам и воспитателям понять, как строить учебный процесс на материале математики, кйк добиться того, чтобы известные профессиональные приемы методики Преподавания облечь в живую конкретную ткань.
      И еще... Книга Шпорера читается с большим интересом, наверное, потому, что автор к тому же замечательный мастер слова.
     
      Д. С. Апокбрин, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией НИИ общей и педагогической психологии АПН СССР
     
     
     
      Тем, кто не любит математику, посвящается...
     
      ЧТО ЗА КНИГА?
     
      Что за книга, спросите вы, по-видимому, прочитав ее заглавие. И добавите:
      — Почему оно такое странное? Да и эпиграф необычен.
      — Заглавия книги я не придумывал, уверяю вас. Вы сами мне его подсказали вашими бесконечными жалобами. Вот я и решил написать книгу и именно под таким названием.
      — Мы вам его подсказали?
      — Да. Вы все, кто не любит математику. А вас таких предостаточно. Молодых и старых, детей и взрослых, школьников и студентов... словом, всех не перечесть. Впрочем, количество таких людей несложно установить.
      — Каким образом?
      — Самым простым. Прежде всего, надо пересчитать по пальцам тех, кто любит математику. Затем отнять
      это число от общей численности населения страны и получить искомый результат. Простая операция. Не так ли?
      — Ну что ж. Все правильно. Мы не любим математику — и все тут! Уж не считаете ли вы, что знакомство с вашей книгой заставит нас ее полюбить? Как бы не так! (Мы еще не раз подумаем, взяться ли за ее чтение или нет.)
      — То, что вы после знакомства с моей книгой мгновенно воспылаете любовью к математике, я и думать не смел. Не столь я наивен. А если кто и найдет способ «заставить» ее полюбить, то ему математики при жизни воздвигнут памятник и выдвинут на соискание Нобелевской премии. Такой человек станет и всемирно известным. .Какую премию, я сказал? Нобелевскую. Простите меня, я ого: ворился. Не Нобелевскую, а Филдса. Дело в том, что Нобелевская премия не присуждается за заслуги в области математических, исследований. Видать, Нобель, как и вы, недолюбливал математику, а потому и не позволил выделять из оставленного им наследства деньги на премии математикам.
      — О премии Филдса мы ничего не слышали.
      — Филдс — несколько чудаковатый американский миллионер. Узнав, что Нобель лишил математиков возможности получать премии, он принял решение (в силу своего эксцентризма, по-видимому) создать специальный фонд, чтобы раз в четыре года награждать тех, кто внес особый вклад в развитие математической науки. Помимо денежной премии лауреату вручают медаль, которая носит имя Филдса — основателя фонда. Математики проявляют к медали уважение, считают честью получить ее в качестве награды и расценивают ее как признание своего труда. Вот что мне об этом известно.
      — Хорошо, но почему книга посвящена именно тем, кто не любит математику? А если это шутка, то как не стыдно вам смеяться над такой бедой?!
      — О, нет! Адресуя книгу вам, я был настроен вполне серьезно. Книга действительно писалась для вас и вам посвящена. И главным образом потому, что вас принуждают учить математику, хотя вы ее и не любите.
      Нет ни одной школы, начальной или средней, дневной или вечерней, и, пожалуй, почти ни одного вуза, где бы можно было обойтись без математики. С математикой, если хотите, надо мириться как с неизбежным злом, которого в наше время не миновать, тем более учась в школе. А каждое зло, если оно неизбежно, следует изучить. Это прекрасный принцип» которым нужно всегда руководствоваться. Даже на войне. Мы ненавидим врага, боремся против него и в то же время стараемся его изучить как можно лучше. Или взять, к примеру, спорт. Как начинает тренер подгб-товку своей футбольной команды к решающему матчу? Прежде всего он знакомит своих питомцев с тактикой и особенностями игры соперника. А почему — вам понятно. Вот и мне хочется начать наше знакомство с разговора о математике. И ничего более.
      — А принесет ли нам знакомство с вашей книгой сколько-нибудь пользы? Не пустая ли это трата времени? Мы и так перегружены домашшми заданиями!
      — Откровенно говоря, не знаю. Никаких гарантий дать не могу. Во всяком случае, полистайте ее от нечего делать. Это вас позабавит и, как знать, чему-нибудь научит.
      — Позабавит? С каких пор математика стала развлечением?
      — Ну, знаете, ваш скептицизм беспределен. Я же сказал вам, мы не будем знакомиться с математикой, а только поговорим о ней, поскольку она таит в себе немало занимательного. К тому же я не склонен знакомить вас с математикой таким образом, как это обычно делают ученые мужи:
      научно,
      строго,
      серьезно,
      с множеством доказательств,
      математическим языком.
      Мы поговорим с вами попросту, без математических строгостей, без доказательств. А если мне вспомнится походя какая-нибудь интересная история, то я обязательно ею с вами поделюсь. Смотрите на математику с развлекательной стороны и не воспринимайте ее слишком серьезно. Почти ко всему можно подойти с юмором. Давайте так и поступим. Пусть волнуются те, кто воспринимает все слишком серьезно и даже трагично. И в жизни, и в математике.
      Для начала поделюсь с вами одним определением, которое меня развеселило. Я впервые услышал его достаточно давно в школе.
      Учитель спросил ученика:
      — Скажи мне, пожалуйста, что называется ромбом?
      Тот думал, думал, даже вспотел думаючи. Вдруг его осенило, и он выпалил одним духом:
      — Ромб — это покосившийся квадрат.
      С тех пор прошло много лет. Я забыл многие «правильные» определения и теоремы, но это «определение» я запомнил навсегда. И должен вам признаться, что по сей день я ценю удачную шутку наравне с правильным определением. А вас прошу только об одном — не показывайте эту книгу, ради бога, математикам. Даже не упоминайте ее при них. Так будет лучше и для вас, и для меня. И не спрашивайте меня, почему. Когда вы ее прочитаете, вы сами это поймете.
      — Хорошо. Книгу мы им не покажем. Но интересно узнать, о чем она.
      — Да обо всем понемногу. О древнегреческих математиках и о проблемах, которые их мучили, о натуральных числах, их свойствах и законах.
      об удивительных событиях в мире бесконечного,, о математических аксиомах, о множествах и о путанице вокруг них, о необычных обозначениях, охотно применяемых современными математиками, о различных отраслях математики и о возникающих среди математиков недоразумениях; словом, о самых разных вещах.
      — А есть ли в этой книге задания?
      — Разумеется, но пусть это вас не тревожит. Выполнять их не обязательно. К тому же это не совсем обычные задания. Скорее это вопросы, возникающие в ходе беседы. И приводятся они в книге ш инерции.
      — Хорошо. Допустим, кто-то из нас отважится и выполнит то или иное задание. Как он узнает правильное его решение?
      — Очень просто. Каждое задание помечено цифрой, а в конце книги дано его решение. Но хочется посоветовать вам — хотя бы потому, что подобные советы есть почти в каждом задачнике,— не заглядывайте предварительно в ответы. (Лучше, как видно, умолчать о свое» дурной привычке постоянно подсматривать в решение. Но одно дело давать для очистки совести полезные советы другим, а другое — самому руководствоваться ими.) Чтобы найти в книге то, что вас интересует, нет нужды читать ее всю или одну из ее глав. Большинство известных мне умных людей так и поступают. Важно быть находчивым.
      — Это неплохая идея, и, возможно, мы ею воспользуемся. И все-таки почему ваша книга такая толстая? Не лучше ли сделать ее потоньше? Легче решиться на ее прочтение.
      — Ну и придиры! Не стоит судить о книгах, да и о людях, по внешнему виду. Лучше познакомиться с их содержанием. Разве йы не встречяж.
      в жизни симпатичных толстячков или худощавых зануд? Так и с книгами. Конечно, нет ничего хуже толстой и нудной книги. Разве что какая-нибудь надоедливая личность. Ну, а если моя книга все же показалась вам чересчур толстой, то начните читать ее с середины или с конца, как кому угодно. (Знали бы они, сколько я таким образом книг прочитал.)
      — А поймем ли мы ее, не заглйнув в начало? (Я вижу эта идея им понравилась.)
      — Поймете! Почему бы и нет? Это не роман. И не учебник. Только не приступайте к книге с половины фразы. Если взяться за чтение с середины^книги, то всегда можно при желании возвратиться и к ее началу. Имеются ли еще вопросы, связанные с книгой? Что вас еще интересует?
      — Пока ничего. Вот только прежде, чем приняться за нашу беседу (не так-то просто решиться на чтение эдакой книженцйи!), позвольте задать вам последний небольшой вопрос:
      Что такое, собственно говоря, математика?
      — Ну, братцы, вы меня просто ошарашили! Такого вопроса я никак не ожидал. И все же Попробую на него ответить, хотя не уверен, что мой ответ вас удовлетворит. Обратимся к афоризмам некоторых великих математиков. Их не сосчитать, но я, воспользуюсь теми, которые мне особенно по душе. Возможно, отдельные афоризмы покажутся вам несколько необычными, но не следует воспринимать их слишком буквально. Поверьте на слово, математики знают, что говорят.
      Математику можно определить как предмет, в котором всегда трудно понять, о чем идет речь и является ли истиной то, что мы утверждаем. Б. Расселл.
      Математика — всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего нё значащими обозначениями. Д. Гильберт.
      Математика — наука о бесконечном. X. Уэйл.
      Математика — предмет, по которому чаще всего ставят единицу. Неизвестный ученик.
     
     
      МНОЖЕСТВА
     
      Каждый сам знает, что он понимает под множеством
      Е. Борель
     
      Обозначение множеств
      Признак принадлежности элемента множеству
      Равенство множеств — причина недоразумений
      Множество, которое содержится в другом множестве
      Как при помощи одних множеств конструировать другие (пересечение,
      объединение и дополнение множеств)
      «Отображение», «присоединение», «присвоение» и «снятие копий» с множеств
      Прямое произведение множеств
      Множества и числа
      Связь между операциями с множествами и действиями с числами
      Упорядоченные и хорошо упорядоченные множества
     
      — Во что превратилась в наши дни математика? Все изучают какие-то там множества. Куда ни оглянись — сплошные множества. И кто их только придумал? Лишь бы ими ребят мучить. Мы тоже когда-то учились, неплохо школу закончили. Спокойно жили без множеств и хорошо без них обходимся. А теперь что? Недавно ребенок ко мне обратился с просьбой — помочь ему построить из множеств какую-то там ассоциацию или объединение. Скажите, куда это годится?
      «— Стоп. Успокойтесь, ради бога! Что вы все на меня накинулись, будто я изобрел эти множества. Даю вам честное слово, что теория множеств — не мое изобретение и не я ввел ее в школьную практику. Правда, я готов допустить, что без теории множеств нельзя и представить себе математического образования. Хотя и математики, в порядке самокритики, готовы признать, что они малость увлеклись и толкают множества куда надо и не надо...
      — Да, и нам так кажется. Хорошо. Возможно, эти множества и необходимы, но трудно поверить, чтобы без них нельзя было сложить два числа. Что 2+3=5 известно и тем, кто множеств не изучал...
      — Но множества ввели в математику не ради сложения. Они необходимы по другим соображениям. И появились множества в математике еще...
      — Лет пять-шесть тому назад..?
      — Не пять-шесть, а сто.
      — Как сто? Не может быть, чтобы множества насчитывали сто лет.
      — Да, да. Математики утверждают, что теория множеств появилась на свет 7. XII 1873 г., т. е. более ста лет назад.
      — А кто их придумал?
      — Один немецкий математик или философ по фамилии Кантор2.
      — Стало быть, он давно умер?
      — Разумеется. Он родился в 1845 г., а умер в 1918, т. е. в год окончания первой мировой войны.
      — Что заставило Кантора, ввести множества в математику?
      — Это объясняется, по всей вероятности, его склонностью к философии, и особенно в области бесконечного. (Нет чтобы заняться более полезным делом!) Чудак, право. Вы представьте себе, что его заинтриговало: каких чисел больше — натуральных или действительных? (Скажите, как важно.) В одном из писем, адресованных к своему приятелю, если не ошибаюсь, к Дедекинду3, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных» (Вот о чем чудаки переписывались, вместо того чтобы поинтересоваться здоровьем жены и детей.) День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств. (Еще начнут его праздновать!) Таково начало истории множеств.
      — Не напиши Кантор, стало быть, этого письма...
      — Нет, нет. Я понимаю, на что вы намекаете. Но вы не правы. Просто письмо было бы написано кем-нибудь другим несколькими годами позже.
      — Почему же математики придают все-таки множествам такое значение? Без них действительно никак не обойтись в наши дни?
     
      2 Георг Кантор (1845—1918)— профессор математики и философии в Галле. Основоположник современной теории множеств.
      3 Рихард Дедекинд (1831—1916) — немецкий математик.
     
      — Безусловно. И математики могут привести по этому поводу уйму веских аргументов. Они утверждают, например, что благодаря множествам математический язык стал проще, чище и яснее, более конкретными стали формулировки. При помощи множеств можно единым взглядом охватить самые сложные структуры. Ученые доказывают, что множества лежат в самой основе современной математики, что их можно применять буквально везде; они настолько сббирательны и удобны, что позволяют рассматривать и изучать различные бесконечности, что...
      — Неужели множества так у ни версальны?
      — Да! Рассматривая основные математические объекты — числа, точки, современные математики изучают их различные совокупности, или множества. (В основном бесконечные.) Бывают множества векторов, функций и даже множества свойств и структур... Одним словом,- всякие.
      — Что же все-таки представляет собой множество? Можно ли его описать более простыми понятиями?
      — Нет. Множество настолько простое понятие, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что его нельзя свести к чему-нибудь еще более простому. Впрочем, мы и сами часто говорим:
      множество городов, множество государств, множество чисел, множество учащихся, множество автомобилей, множество...
      Да и сам Кантор сказал, что под множеством мы подразумеваем объединение в целое определенных, различающихся между собой объектов нашего представления или мышления.
      Аналогично говорили о множествах и другие Математики (Борель, например).
      — Следовательно, множество может быть собрано любым способом. Можно взять несколько примеров и назвать их множеством?
      — Можно, конечно. Но математики рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов или членов, имеющих некоторые общие свойства, короче — математические множества.
      — Пока нам не очень понятно.
      — Попытаюсь объяснить. На примере. Можно, допустим, сказать, что морковь, автомобиль, жирафа и Марс или яблоко, карандаш, мяч и роза составляют множество из четырех элементов, но у этих элементов почти отсутствуют общие свойства. Для математиков такие множества интереса не представляют, и они их не изучают, хотя такие множества часто приводятся в качестве примеров множеств. Общие и характерные свойства элементов множеств должны быть всегда такими, чтобы можно было с уверенностью утверждать, есть у определенного объекта это свойство или нет, т. е. принадлежит он к данному множеству или нет. Говорят еще, что множество должно быть хорошо (или правильно) задано.
      — Понятно. Множество городов — это хорошо заданное множество.
      — Гм. Гм. Боюсь, что данный пример не из лучших.
      — Почему? Это же предельно ясно, когда мы говорим: «множество городов».
      — Нет. И на это есть много причин. Во-первых, следовало бы условиться, что мы имеем в виду, когда говорим: второ дк Населенный пункт о таким-то числом жителей или что-нибудь иное? (В чем разница между городком и городом?) Думаем ли мы о городах одной страны, континента или всего мира, затем...
      В этом споре о понятии множеств, конечно, прав профессионал. Но что поделать, если мне нравится просто их рисовать...
      — Как в таком случае правильно задать множество?
      — Несколько конкретнее. Например, так:…
      множество столиц республик и автономных краев СФРЮ, множество городов Социалистической республики Хорватии, насчитывающих свыше 200 тыс. жителей, множество городов в мире, превышающих 3 млн. жителей, или же: множество натуральных чисел, множество чисел, делимых на пять, множество учащихся школы им. Матие Губеца в г. Загребе, множество учащихся третьих классов (какой-либо школы), множество дней недели, множество отличников в (вашем) классе.
      — Ха, ха, ха. Да у нас в классе нет ни одного отличника!
      — Не важно. В таком случае мы скажем, что такое множество существует, но оно — пустое.
      — Как это пустое?
      — Очень просто, только мне придется, по-видимому, объяснить это вам более обстоятельно, если вы не возражаете, разумеется. А вы наберитесь терпения, поскольку, прежде всего, нам необходимо определить некоторые основные понятия множеств.
     
      ОБОЗНАЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
      Есть несколько способов обозначения множеств, и мы с ними познакомимся. Каждый способ имеет одновременно свои преимущества и недостатки. Проще всего переписать все элементы и «загнать» их в фигурные скобки (как овец в загон), а после каждого члена — кроме последнего —’ поставить запятую. Вот так:…
      Преимущество такого обозначения заключается в том, что мы не сомневаемся в принадлежности отдельных элементов к определенному множеству, поскольку эта принадлежность явно приведена. Но вы, я уверен, увидели и слабость такой записи. Она очень неудобна при описании множеств с большим числом элементов. Когда речь идет о множестве учащихся вашей школы, например, или о множестве игроков первой футбольной лиги. Представьте себе, что вам надо переписать все эти множества. Подходящее было бы «развлечение». Кроме того, имеются множества, содержащие по миллиону человек, и даже бесконечные множества (взять хотя бы все натуральные числа), и подобные множества мы просто-напросто не могли бы при всем нашем желании записать таким способом. Говоря об этом, следует иметь в виду и то обстоятельство, что теория множеств возникла именно в процессе изучения свойств «больших множеств», т. е. множеств с большим количеством элементов (включая, естественно, и бесконечное число).