И. Б. Абельсон
Максимум и минимум
*** 1935 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
ПАМЯТИ ЛУЧШЕГО ДРУГА ЮНОСТИ САМУИЛА БОТЕК участника мировой войны, добровольца Красной армии, погибшего летом 1919 г. близ г. Феодосии от зверской расправы белых. ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА На конкретном и доступном материале она подводит читателя вплотную к идеям математического анализа. Это соответствует и историческому ходу, так как задачи на максимум-минимум были одними из тех, которые привели к созданию дифференциального исчисления. Книга может быть использована для работы в школьных математических кружках. Выражаем убеждение, что предлагаемая книга принесет пользу молодежи, интересующейся математикой. Проф. Л. А. Люстерник ПРИМЕРЫ МАКСИМУМА И МИНИМУМА Введение Максимум и минимум — слова латинские и в переводе означают: наибольшее и наименьшее (maximum и minimum). В математике эти слова весьма употребительны, но смысл, который им придается, несколько отличается от обычного. Легче всего уяснить этот смысл на примерах. Пример. Представим себе, что путешественник, переходя через гору, прошел путь, который мы условно изобразим на чертеже линией АВ (черт. 1), Будем измерять высоту подъема так, как ее обычно измеряют — от уровня моря. На чертеже уровень моря изображен прямой PQ, и если путешественник находится в точке М, то высота подъема будет представлена отрезком NM. По мере продвижения путешественника его высота над уровнем моря изменяется (т. е. является переменной величиной); пока он поднимается, эта высота увеличивается; когда он достигнет вершины — точки Е — высота сделается наибольшей, а затем, при дальнейшем продвижении путешественника вниз по склону горы, высота путешественника над уровнем моря будет уменьшаться. Из чертежа видно, что вертикальный отрезок КЕ, измеряющий эту высоту в точке Е, будет больше, чем любой вертикальный отрезок N 1'I, лежащий левее КЕ. Когда же путешественник перейдет вершину и будет находиться правее точки Е, то соответствующие вертикальные отрезки (например RS) также будут меньше, чем КЕ. Отсюда видно, что из всех вертикальных отрезков, измеряющих высоту путешественника в различные моменты его пути, отрезок КЕ является наибольшим. Такое наибольшее значение переменной величины (в данном случае высоты над уровнем моря)называется максимальным. Дадим теперь пример, в котором переменная величина принимает наименьшее или, как говорят, минимальное значение. Пример. В течение летней ночи каждые 10 мин. измеряют температуру воздуха и результаты отмечают на графике. Если по горизонтальной оси (черт. 2) откладывать время, а по вертикальной— температуру, то получим ряд вертикальных отрезков (их называют ординатами). Отыскав на графике наименьшую из ординат и соответствующую ей точку t0 на горизонтальной оси Ot9 тем самым определяем момент наиболее низкой температуры. Такое значение величины (температуры) называют минимальным; слева и справа от точки /0 ординаты больше, чем ордината для этой точки. Общее для обоих примеров заключается в том, что переменная величина (высота, температура) в своем изменении доходит до крайнего значения — в сторону возрастания или убывания, — чтобы затем начать изменение в обратном направлении. Поэтому вопросы максимума и минимума изучают параллельно. Оба эти понятия объединяют в одно понятие — Крайнего или экстремального значения (от латинского слова extremum — крайнее). Мы увидим, что задачи на максимум и задачи на минимум решаются совершенно одинаковым образом. KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
