На главнуюТексты книг БКАудиокниги БКПолит-инфоСоветские учебникиЗа страницами учебникаФото-ПитерНастрои СытинаРадиоспектаклиКнижная иллюстрация





Библиотечка «За страницами учебника»
Начала учения о фигурах. Фёдоров Е. С. — 1953 г.

Евграф Степанович Фёдоров

Начала учения о фигурах

*** 1953 ***



DjVu


 

PEKЛAMA

Заказать почтой 500 советских радиоспектаклей на 9-ти DVD.
Подробности >>>>


      ОГЛАВЛЕНИЕ
     
      Предисловие 15 — 21
     
      Отдел 1. Фигуры открытые
     
      Глава 1. Понятие о гоноэдрах и их измерении 25 — 45
      § 1. Определения, относящиеся к трехгранным углам 25
      § 2. Условия равенства и симметричности трехгранных углов 26
      § 3. Плоские углы трехгранного угла и их отношение к двухгранным 29
      § 4. Свойства дополнительных трехгранных углов 30
      § 5. Определение гоноэдров вообще и главнейшие свойства последних 34
      § 6. О величине гоноэдров и простейшие случаи определения этой величины 38
      § 7. О гоноэдрах, образующихся двумя параллельными плоскостями, рассеченными третьей 42
     
      Глава 2. Элементарный способ определения величины гоноэдпов и конических углов 45 — 59
      § 8. Связь величины тригоноэдра с величинами составляющих его двугранных углов 45
      § 9. Графическое определение величины тригоноэдра по данным его плоским и двугранным углам 47
      § 10. Определение величины гоноэдров вообще и конических углов 49
      § 11. Отношение гоноэдров к конусам 52
     
      Отдел 2. Фигуры сомкнутые
     
      Глава 3. Сфеноиды и тетраэдр 63 — 19
      § 12. Определения, относящиеся к сфеноидам 63
      § 13. Соотношения между гоноэдрами и двугранными углами сфеноида 65
      § 14. Величина суммы гоноэдров сфеноида 67
      § 15. Отношение сфеноидов к шару 70
      § 16. О равноугольных сфеноидах 73
      § 17. Дисфеноид и его отношение к сфеноиду 74
      § 18. Отношение тетраэдра к ромбическому додекаэдру и особенные свойства последнего 77

      Глава 4. О многогранниках, их плоских и телесных углах и общих условиях их образования 79 — 115
      § 19. Общие понятия о виде многогранников и его типическом представителе 79
      § 20. Соотношение между типическим и подтипическим многогранниками 84
      § 21. Вывод правильных многогранников и основных формул для многогранников вообще 88
      § 22. Соотношения между типическим изоэдром и подтипическим изогоном 98
      § 23. Роды правильных многогранников 101
      § 24. Роды изоэдров и изогонов 104
      § 25. Формулы, относящиеся к изогонам 108
      § 26. Соотношение между гоноэдрами и двугранными углами многогранников 111
      Приложение. О формуле Эйлера
     
      Глава 5. Вывод всех возможных изогонов и типических изоэдров 115 — 142
      § 27. Основания этого вывода 115
      § 28. Вывод тригоноэдрических изогонов и тригональных изоэдров 118
      § 29. Вывод тетрагоноэдрических изогонов и тетрагональных изоэдров 130
      § 30. Вывод пентагоноэдрических изогонов и пентагональных изоэдров 138
     
      Глава 6. Нетипические изоэдры 142 — 148
      § 31. Различные способы образования нетипических изоэдров 142
     
      Глава 7. Классификация многогранников 148 — 176
      § 32. Систематический свод главнейших соотношений численных элементов многогранника и вывод понятия о классе 148
      § 33. Частные классификации по гомологическим рядам, по видимым признакам 155
      Объяснение к таблице изогонов и изоэдров 159
      Таблица изогонов и изоэдров 162
      Дополнительная заметка к выводу изогонов 171
      Приложение. О классификации многогранников 172
     
      Отдел III Учение о симметрии
     
      Глава 8. Общие понятия о симметрии и соединении фигур по этому признаку в системы 179 — 188
      § 34. Понятие об осях симметрии и их системах 179
      § 35. Элементарные фигуры системы симметрии 181
      § 36. Вывод понятия об основных изоэдрах и элементарных гоноэдрах системы симметрии 183
      § 37. Начала вывода симметрических фигур 186
     
      Глава 9. Симметрия частных решений типических изоэдров и подтипических изогонов 188 — 209
      Система кубо-октаэдрическая (правильная, кубическая, тессеральная)
      § 38. А. Отделение полногранное 188
      § 39. В. Отделение тетраэдрическое 192
      § 40. С. Отделение додекаэдрическое 194
      § 41. D. Отделение гироэдрическое 197
      § 42. Е. Отделение тетартоэдрическое 199
      Система додекаэдро-икосаэдрическая
      § 43. А. Отделение полногранное 201
      В. Отделение пентагоноэдрическое 202
      § 44. Мэроэдрические соотношения фигур обеих систем 202
      § 45. Симметрия шара 209
      Глава 10. Симметрия общих решений типических изоэдров и подтипических изогонов 209 — 228
      Система декагональная 209
      § 47. В. Отделение скаленоэдрическое 212
      § 48. С. Отделение трапецоэдрическое 213
      § 49. D. Отделение бипирамидальное 215
      § 50. Е. Отделение гемиморфное 215
      § 51. Отделения симметрии, получающиеся при совокуплении законов, выведенных раньше 216
      F. Отделение дельтоэдрическое 217
      G. Отделение пирамидальное 217
      § 52. Резюмирование сделанных.выводов 218
      § 53. Особенные фигуры простейших отделений 221
      § 54. Симметрии конусов 222
      Первое приложение к отделу III (стр. 177). Исторический очерк 223
      Второе приложение (стр. 221). Сопоставление подразделений простейших систем, выведенных в этом произведении, с подразделениями г. Гадолина 225
      Третье приложение. Формулы, относящиеся к учению о симметрии 226
     
      Отдел IV. Учение о поясах и выполнении плоскости и пространства
     
      Глава 11. Выполнение плоскости 231 — 256
      § 55. Вступление. О прямой и обратной параллельности 231
      Параллелогоны
      § 56. Общие определения и теоремы о выпуклых фигурах 234
      § 57. Вывод простых параллелогонов 236
      § 58. Понятие о сложных и вторичных параллелогонах 238
      § 59. Теоремы, относящиеся к плоским сеткам 239
      § 60. Вывод параллелогонов второго порядка 242
      Растяжения и сдвиги
      § 61. Основные теоремы, относящиеся к растяжению 247
      § 62. Основные теоремы, относящиеся к сдвигу 248
      § 63. Теоремы, относящиеся к площадям 250
      Планигоны
      § 64. Отношение планигонов к параллелогонам 252
      Глава 12. Пояса и зоноэдры 256 — 283
      § 65. Основные определения и теоремы, относящиеся к зоноэдрам 256
      § 66. Полигональные зоноэдры первого рода 259
      § 67. Полигональные зоноэдры второго рода 265
      § 68. Важнейшие зоноэдры с различными гранями 266
      § 69. Формулы, относящиеся к теоретическим зоноэдрам 271
      § 70. Дуальная зависимость между зоноэдрами и парногранниками 275
      Растяжения и сдвиги
      § 71. Основные теоремы, относящиеся к растяжению 278
      § 72. Основные теоремы, относящиеся к сдвигу 280
      § 73. Теоремы, относящиеся к объемам 281
      Глава 13. Выполнение пространства 283 — 318
      § 74. Основные определения и развитие понятия об обратном равенстве 283
      Параллелоэдры
      § 75. Понятие о системе параллелоэдров 286
      § 76, Основные теоремы, относящиеся к параллелоэдрам 289
      § 77. Систематический вывод всех выпуклых параллелоэдров 291
      § 78. Теоремы об их вторичных поясах 297
      § 79. Их соответственные плоскости и вторичные пояса 298
      § 80. Теоремы об их соответственных точках второго порядка 298
      § 81. Их соответственные прямые и плоскости второго порядка 300
      § 82. Плоские сечения параллелоэдров 302
      § 83. Переходные ступени между параллелоэдрами; фигуры вогнутые, вторичные и фигуры высших порядков 306
      § 84. Стереоэдры и правильные системы точек 308
      Приложение к отделу IV. Главнейшие свойства плоских сеток и пространственных решеток и отношение их к системам параллелогонов и параллелоэдров 314
     
      Отдел V О многогранниках с вогнутыми углами, действительными или кажущимися
     
      Глава 14. Койлоэдры 321 — 336
      § 85. Общие понятия о койлоэдрах 321
      § 86. Типические изокойлоэдры гомоэдрического отделения кубо-октаэдрической системы 324
      § 87. Типические изокойлоэдры тетраэдрического отделения 330
      § 88. Типические изокойлоэдры додекаэдрического отделения 331
      § 89. Отсутствие типических изокойлоэдров в других отделениях той же системы 333
      § 90. Способ означения различных фигур первой степени 333
      § 91. Типические изокойлоэдры додекаэдро-икосаэдрической системы 334
      § 92. Заключительные соображения 335
     
      Глава 15. Многоугольники и многогранники высшей степени 336 — 366
      § 93. Общие понятия о многоугольниках высшей степени 336
      § 94. Общие понятия о гоноэдрах высшей степени 340
      § 95. Вывод основной формулы для многогранников высшей степени 341
      § 96. Способ составлять изоэдры высшей степени из изокойлоэдров
      § 97. Определение особых изоэдров и изогонов гомоэдрического отделения кубо-октаэдрической системы
      § 98. Сравнение полученных результатов с результатами Бадуро
      § 99. Составление фигур высшей степени из изокойлоэдров в других отделениях кубо-октаэдрической системы
      § 100. Правильные многогранники высшей степени
      Приложение. О гоноэдрических зеркала

     

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Прежде чем приступить к изложению части геометрии, обозначеной в заголовке предлежащего произведения, я считаю полезным познакомить читателей в общих чертах с историей этого предмета.
      Самою большою странностью является то обстоятельство, что этот в высшей степени простой отдел элементарной геометрии, каковы, впрочем, и все ее отделы, но в то же время полный математического изящества в такой мере, какой, может быть, не обладает никакой другой отдел того же предмета, остается до сего времени совершенно неразработанным. Притом, отдел этот имеет интерес не только как гармонично связанная в своих частях система простых математических соотношений, но, наоборот, практическая потребность в нем так настоятельна, что за разработку его частей по необходимости брались представители других конкретных наук и прежде всего минералоги. Этот аномальный факт, конечно, не мог быть благоприятным для его развития. Минералоги, побуждаемые к тому практической необходимостью, конечно, выхватывали из него лишь то, что необходимо было для развития разрабатываемого ими самими отдела знаний, т. е. минералогии. Неизбежным результатом такого чуждого вмешательства была односторонность развития самого отдела, неудовлетворительность номенклатуры и т. п. С другой стороны, чистые математики, разрабатывая вопросы этого отдела с более общей, и следовательно более правильной, точки зрения, были незнакомы иногда с результатами, полученными минералогами, и потому приходили к совершенно иной постановке предмета и его номенклатуры. Но что особенно характерно для истории этого отдела знаний, это разрозненность работ отдельных исследователей. Сплошь и рядом ученые оказывались незнакомыми даже с трудами, помещавшимися по тому же вопросу в том же журнале, в котором они помещали свои труды. Вследствие этого в этой области мы встречаем примеры столь частого повторения открытий, как, может быть, ни в какой другой научной области. Я приведу теперь для примера повторение открытий по одному весьма важному вопросу этого отдела, а именно определения так называемых полуправиль-ных фигур. Что же касается второстепенных вопросов этой области, то повторения открытий представляют собою такую запутанную сеть, для распутывания которой не хватило бы сил единичного лица.
      Ряд этих фигур был известен еще в древности, и в средние века тела эти нызавались архимедовыми; отчасти за ними держится это название и теперь. Но в 1808 г. независимо, и пользуясь несовершенным методом, вывел их Лидонне; в 1819 г. вывод этот в третий раз и опять в несовершенной форме был повторен анонимным автором в „Annales de Ger-gonne“ (по Бадуро — самим Жергоном). В 1865 г. вывод этот, но уже на основании более совершенного метода, был произведен Каталаном (и был увенчан со стороны Французской Академии наук большой премией). Наконец, в 1878 г. той же Академии был представлен труд Бадуро, часть которого повторяет тот же вывод в пятый раз, и опять автор незнаком с работами своих предшественников.
      1) Дерзну смиренно прибавить, что вывод тех же фигур, как он сделан в предлежащем произведении, в гл. 5 II отдела, был шестой независимый вывод.1) Производя его, автор и не подозревал существования своих предшественников. Произошло это, конечно, потому, что автор не мог предполагать, чтобы имеющий такое значение вывод, и притом всецело принадлежащий области элементарной геометрии, мог бы ускользнуть от внимания последовательного сонма составителей элементарных руководств. Не в этом ли, т. е. в запоздалом развитии самого отдела, и кроется причина разрозненности принадлежащих сюда исследований и повторения открытий?
      Некоторые авторы приписывают этому отделу специальные трудности, совершенно подобные тем, какие встречаются в исследованиях по теории чисел. Связь обоих отделов математики действительно несомненна, и я старался оттенить ее как при выводе типических изоэдров, так и при выводе зоноэдров. Но самая простота предмета в его основных началах исключает вообще особые трудности, и я полагаю, что только предвзятыми опасениями можно объяснить, к сожалению, весьма частый в этой области факт вывода каких-нибудь соотношений или фигур ощупью. Таким способом вывел, например, в первый раз свою знаменитую формулу великий математик Эйлер, и лишь во второй статье он отчасти заполнил этот очевидный пробел. Таким же способом знаменитый математик Пуансо вывел правильные многогранники высшей степени, которые получили впоследствии название тел Пуансо; но он сначала и не подозревал, что сделал полный их вывод. Таким же способом те же Эйлер и Пуансо делали перечисление возможных многогранников с определенным числом вершин или граней. Я не говорю уже о менее известных математиках, у которых такого рода прием встречается весьма часто. Даже из наиболее замечательных и новейших работ, как, например, в упомянутой уже работе Бадуро (Badoureau. Memoire sur les figures isosceles) употребляются приемы, граничащие с выводом ощупью. Выводя особые изогоны высшей степени, автор этот пользуется методом построения, который, конечно, не дает никакого ручательства его полноты и, по необходимости, в некоторой неуверенности оставляет самого автора. В главе о многогранниках высшей степени действительно указываются [попутно его промахи, которыми он обязан употребленному методу.
      Достаточно сказанного, чтобы показать, что центральные ученые учреждения не могли не сознавать заброшенности этого отдела знаний и не принять со своей стороны каких-нибудь мер для устранения этой ненормальности. Поэтому становится вполне понятною и естественною выставление со стороны Французской Академии наук в 1863 г. следующей темы для конкурса на получение большой премии: „Perfectionnery еп quelque point important, la theorie geometrique des polyedres“.
      3 Самая неопределенность этой темы служит лучшим свидетельством того, что авторы этой постановки вопроса отчетливо сознавали всю неразработанность этого отдела геометрии. Со времени этого призыва знаменитого ученого учреждения внимание математиков к этой области действительно значительно возросло, и с того времени непрерывным потоком является на страницах различных математических журналов ряд исследований, принадлежащих этой области.
      Однако, несмотря на обилие работ и продолжительность истекшего времени, дело подвинулось еще мало вперед. Число систематических работ, вышедших в течение этого времени, крайне невелико. Громадное же их большинство имеет весьма узкие цели и нередко ведено с помощью весьма несовершенного метода, так что и до сих пор многие светила математики относятся к самому отделу с большим недоверием.1)
      Переходя к общему взгляду на состояние этого отдела в настоящую минуту, мы замечаем, и это можно было предвидеть из вышесказанного, что обработка разных входящих сюда вопросов крайне неравномерна. Тогда как одни вопросы вызвали целую литературу, например вывод численных соотношений между элементами многогранника, ушедшую далеко из области реальных приложений вглубь отвлеченных математических спекуляций, другие важные вопросы и даже целые отделы остались нетронутыми; сюда относятся именно отделы о зоноэдрах и выполнении пространства, отделы, могущие доставить неисчерпаемую пищу математическим спекуляциям. Особенно замечательна неприкосновенность отдела о выполнении пространства равными фигурами, так как со времени Гаюи в отделе этом минералогия ощущала безусловную потребность. Достаточно вспомнить камень преткновения для теории кристаллической структуры этого замечательного минералога, чтобы убедиться в справедливости сказанного. Камень преткновения для этой теории, как известно, состоял в том факте, что имеется спайность по октаэдру. Если бы Гаюи знал о существовании и свойствах
      *) Этим недоверием только могу я объяснить случай, относящийся к самому предлежащему произведению. Когда в первый раз (в 1881 г.) я представил его в здешнюю Академию наук в лице г. академика Чебышева, то последний отказался принять его, мотивируя свой отказ тем, что этим отделом современная наука не интересуется. Из слов почтенного академика видно, что он не представляет возможности систематических выводов в этой области и думает, что все они производятся ощупью.
      особого притупленного октаэдра, то ему не пришлось бы прибегать к натяжкам для объяснения этого факта, натяжкам, заставившим его последователей отрешиться от его первоначальной гипотезы и прибегать к помощи других. Если бы современные минералоги были знакомы с теорией параллелоэдров, им не пришлось бы за элементы структуры кристаллов правильной системы принимать в некоторых случаях ромбоэдры.
      Я имел честь, начиная с 1881 г., представить имп. Минералогическому обществу ряд докладов по теории кристаллической структуры4 и, так как доклады эти подразумевают знакомство со многими выводами, в первый раз изложенными в предлагаемом произведении, то этим и объясняется появление самой работы на столбцах „Записок" этого общества.
      Обращаясь теперь к предлежащему произведению, я должен сказать, что громадное большинство выводов произведено самостоятельно, все заимствования всегда точно указаны, и лишь те выводы, которые стали обязательным достоянием общепринятых руководств, не снабжены ссылками. Многочисленные же другие ссылки приведены лишь с целью ознакомить читателей с литературой предмета.
      В основе произведения лежит отчетливое сознание аналогии, существующей между плоскими и телесными фигурами, и потому как плоский угол является основным строительным элементом плоских фигур, так и в предлагаемом произведении все главнейшие выводы строятся на изучении телесного угла как строительного элемента телесных фигур. Различные соображения заставили меня придать этому элементу новое и, как я полагаю, более общее и удобное название — юноэ--д.
      5 Вообще же, стараясь, где можно, достичь улучшения номенклатуры по отношению ее рациональности и общности, я избегал уклоняться от общепринятых терминов и решался изменять их лишь в тех случаях, где я полагал в том необходимость. Геометрические термины, заимствованные от реальных предметов, например лейцитоэдр, гранатоэдр и т. д., впрочем и без того не особенно твердо установившиеся, я не допускал совершенно, так как, полагаю, этим нарушается самая общность математических терминов; и действительно, раз является доказанным, что лейцит не принадлежит к минералам правильной системы, какой смысл остается за термином лейцитоэдр? Но такого рода противоречие всегда может явиться, если отвлеченное понятие закреплено конкретным одеянием, и я полагаю, что такие любители нововведений, как, например, Вакернагель, которые даже вместо куба говорят „галоэдр“, а вместо правильного додекаэдра — „пятичленный галоэдр“, наиболее способствуют хаотическому состоянию номенклатуры.
      Цель этого произведения — изучение телесных фигур, но для достижения самой цели потребовалось во многих случаях остановиться и над плоскими фигурами. В этих случаях изложение сделано возможно сжато, и притом соответственные термины телесных фигур нередко прямо переносились на плоские, как, например, типический многоугольник и т. п. Вообще я стремился достичь возможного равновесия в изложении и уделять каждому вопросу место, соответствующее его важности. Поэтому при вообще сжатом изложении столь громадного отдела, те его части, которые не находят пока непосредственных практических приложений, как, например, теория многогранников высшей степени, представлены здесь лишь в своих основных принципах.
      Отдавая это свое произведение на суд ученой публики, я вполне сознаю многие его несовершенства и промахи и надеюсь, что приговор будет снисходителен ввиду того обстоятельства, что труд этот представляет первую попытку систематического изложения всех существенных отделов элементарного учения о телесных фигурах.


      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ

 

 

На главнуюТексты книг БКАудиокниги БКПолит-инфоСоветские учебникиЗа страницами учебникаФото-ПитерНастрои СытинаРадиоспектаклиДетская библиотека

 

Яндекс.Метрика


Творческая студия БК-МТГК 2001-3001 гг. karlov@bk.ru