Начала учения о фигурах

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Прежде чем приступить к изложению части геометрии, обозначеной в заголовке предлежащего произведения, я считаю полезным познакомить читателей в общих чертах с историей этого предмета.
      Самою большою странностью является то обстоятельство, что этот в высшей степени простой отдел элементарной геометрии, каковы, впрочем, и все ее отделы, но в то же время полный математического изящества в такой мере, какой, может быть, не обладает никакой другой отдел того же предмета, остается до сего времени совершенно неразработанным. Притом, отдел этот имеет интерес не только как гармонично связанная в своих частях система простых математических соотношений, но, наоборот, практическая потребность в нем так настоятельна, что за разработку его частей по необходимости брались представители других конкретных наук и прежде всего минералоги. Этот аномальный факт, конечно, не мог быть благоприятным для его развития. Минералоги, побуждаемые к тому практической необходимостью, конечно, выхватывали из него лишь то, что необходимо было для развития разрабатываемого ими самими отдела знаний, т. е. минералогии. Неизбежным результатом такого чуждого вмешательства была односторонность развития самого отдела, неудовлетворительность номенклатуры и т. п. С другой стороны, чистые математики, разрабатывая вопросы этого отдела с более общей, и следовательно более правильной, точки зрения, были незнакомы иногда с результатами, полученными минералогами, и потому приходили к совершенно иной постановке предмета и его номенклатуры. Но что особенно характерно для истории этого отдела знаний, это разрозненность работ отдельных исследователей. Сплошь и рядом ученые оказывались незнакомыми даже с трудами, помещавшимися по тому же вопросу в том же журнале, в котором они помещали свои труды. Вследствие этого в этой области мы встречаем примеры столь частого повторения открытий, как, может быть, ни в какой другой научной области. Я приведу теперь для примера повторение открытий по одному весьма важному вопросу этого отдела, а именно определения так называемых полуправиль-ных фигур. Что же касается второстепенных вопросов этой области, то повторения открытий представляют собою такую запутанную сеть, для распутывания которой не хватило бы сил единичного лица.
      Ряд этих фигур был известен еще в древности, и в средние века тела эти нызавались архимедовыми; отчасти за ними держится это название и теперь. Но в 1808 г. независимо, и пользуясь несовершенным методом, вывел их Лидонне; в 1819 г. вывод этот в третий раз и опять в несовершенной форме был повторен анонимным автором в „Annales de Ger-gonne“ (по Бадуро — самим Жергоном). В 1865 г. вывод этот, но уже на основании более совершенного метода, был произведен Каталаном (и был увенчан со стороны Французской Академии наук большой премией). Наконец, в 1878 г. той же Академии был представлен труд Бадуро, часть которого повторяет тот же вывод в пятый раз, и опять автор незнаком с работами своих предшественников.
      1) Дерзну смиренно прибавить, что вывод тех же фигур, как он сделан в предлежащем произведении, в гл. 5 II отдела, был шестой независимый вывод.1) Производя его, автор и не подозревал существования своих предшественников. Произошло это, конечно, потому, что автор не мог предполагать, чтобы имеющий такое значение вывод, и притом всецело принадлежащий области элементарной геометрии, мог бы ускользнуть от внимания последовательного сонма составителей элементарных руководств. Не в этом ли, т. е. в запоздалом развитии самого отдела, и кроется причина разрозненности принадлежащих сюда исследований и повторения открытий?
      Некоторые авторы приписывают этому отделу специальные трудности, совершенно подобные тем, какие встречаются в исследованиях по теории чисел. Связь обоих отделов математики действительно несомненна, и я старался оттенить ее как при выводе типических изоэдров, так и при выводе зоноэдров. Но самая простота предмета в его основных началах исключает вообще особые трудности, и я полагаю, что только предвзятыми опасениями можно объяснить, к сожалению, весьма частый в этой области факт вывода каких-нибудь соотношений или фигур ощупью. Таким способом вывел, например, в первый раз свою знаменитую формулу великий математик Эйлер, и лишь во второй статье он отчасти заполнил этот очевидный пробел. Таким же способом знаменитый математик Пуансо вывел правильные многогранники высшей степени, которые получили впоследствии название тел Пуансо; но он сначала и не подозревал, что сделал полный их вывод. Таким же способом те же Эйлер и Пуансо делали перечисление возможных многогранников с определенным числом вершин или граней. Я не говорю уже о менее известных математиках, у которых такого рода прием встречается весьма часто. Даже из наиболее замечательных и новейших работ, как, например, в упомянутой уже работе Бадуро (Badoureau. Memoire sur les figures isosceles) употребляются приемы, граничащие с выводом ощупью. Выводя особые изогоны высшей степени, автор этот пользуется методом построения, который, конечно, не дает никакого ручательства его полноты и, по необходимости, в некоторой неуверенности оставляет самого автора. В главе о многогранниках высшей степени действительно указываются [попутно его промахи, которыми он обязан употребленному методу.
      Достаточно сказанного, чтобы показать, что центральные ученые учреждения не могли не сознавать заброшенности этого отдела знаний и не принять со своей стороны каких-нибудь мер для устранения этой ненормальности. Поэтому становится вполне понятною и естественною выставление со стороны Французской Академии наук в 1863 г. следующей темы для конкурса на получение большой премии: „Perfectionnery еп quelque point important, la theorie geometrique des polyedres“.
      3 Самая неопределенность этой темы служит лучшим свидетельством того, что авторы этой постановки вопроса отчетливо сознавали всю неразработанность этого отдела геометрии. Со времени этого призыва знаменитого ученого учреждения внимание математиков к этой области действительно значительно возросло, и с того времени непрерывным потоком является на страницах различных математических журналов ряд исследований, принадлежащих этой области.
      Однако, несмотря на обилие работ и продолжительность истекшего времени, дело подвинулось еще мало вперед. Число систематических работ, вышедших в течение этого времени, крайне невелико. Громадное же их большинство имеет весьма узкие цели и нередко ведено с помощью весьма несовершенного метода, так что и до сих пор многие светила математики относятся к самому отделу с большим недоверием.1)
      Переходя к общему взгляду на состояние этого отдела в настоящую минуту, мы замечаем, и это можно было предвидеть из вышесказанного, что обработка разных входящих сюда вопросов крайне неравномерна. Тогда как одни вопросы вызвали целую литературу, например вывод численных соотношений между элементами многогранника, ушедшую далеко из области реальных приложений вглубь отвлеченных математических спекуляций, другие важные вопросы и даже целые отделы остались нетронутыми; сюда относятся именно отделы о зоноэдрах и выполнении пространства, отделы, могущие доставить неисчерпаемую пищу математическим спекуляциям. Особенно замечательна неприкосновенность отдела о выполнении пространства равными фигурами, так как со времени Гаюи в отделе этом минералогия ощущала безусловную потребность. Достаточно вспомнить камень преткновения для теории кристаллической структуры этого замечательного минералога, чтобы убедиться в справедливости сказанного. Камень преткновения для этой теории, как известно, состоял в том факте, что имеется спайность по октаэдру. Если бы Гаюи знал о существовании и свойствах
      *) Этим недоверием только могу я объяснить случай, относящийся к самому предлежащему произведению. Когда в первый раз (в 1881 г.) я представил его в здешнюю Академию наук в лице г. академика Чебышева, то последний отказался принять его, мотивируя свой отказ тем, что этим отделом современная наука не интересуется. Из слов почтенного академика видно, что он не представляет возможности систематических выводов в этой области и думает, что все они производятся ощупью.
      особого притупленного октаэдра, то ему не пришлось бы прибегать к натяжкам для объяснения этого факта, натяжкам, заставившим его последователей отрешиться от его первоначальной гипотезы и прибегать к помощи других. Если бы современные минералоги были знакомы с теорией параллелоэдров, им не пришлось бы за элементы структуры кристаллов правильной системы принимать в некоторых случаях ромбоэдры.
      Я имел честь, начиная с 1881 г., представить имп. Минералогическому обществу ряд докладов по теории кристаллической структуры4 и, так как доклады эти подразумевают знакомство со многими выводами, в первый раз изложенными в предлагаемом произведении, то этим и объясняется появление самой работы на столбцах „Записок" этого общества.
      Обращаясь теперь к предлежащему произведению, я должен сказать, что громадное большинство выводов произведено самостоятельно, все заимствования всегда точно указаны, и лишь те выводы, которые стали обязательным достоянием общепринятых руководств, не снабжены ссылками. Многочисленные же другие ссылки приведены лишь с целью ознакомить читателей с литературой предмета.
      В основе произведения лежит отчетливое сознание аналогии, существующей между плоскими и телесными фигурами, и потому как плоский угол является основным строительным элементом плоских фигур, так и в предлагаемом произведении все главнейшие выводы строятся на изучении телесного угла как строительного элемента телесных фигур. Различные соображения заставили меня придать этому элементу новое и, как я полагаю, более общее и удобное название — юноэ--д.
      5 Вообще же, стараясь, где можно, достичь улучшения номенклатуры по отношению ее рациональности и общности, я избегал уклоняться от общепринятых терминов и решался изменять их лишь в тех случаях, где я полагал в том необходимость. Геометрические термины, заимствованные от реальных предметов, например лейцитоэдр, гранатоэдр и т. д., впрочем и без того не особенно твердо установившиеся, я не допускал совершенно, так как, полагаю, этим нарушается самая общность математических терминов; и действительно, раз является доказанным, что лейцит не принадлежит к минералам правильной системы, какой смысл остается за термином лейцитоэдр? Но такого рода противоречие всегда может явиться, если отвлеченное понятие закреплено конкретным одеянием, и я полагаю, что такие любители нововведений, как, например, Вакернагель, которые даже вместо куба говорят „галоэдр“, а вместо правильного додекаэдра — „пятичленный галоэдр“, наиболее способствуют хаотическому состоянию номенклатуры.
      Цель этого произведения — изучение телесных фигур, но для достижения самой цели потребовалось во многих случаях остановиться и над плоскими фигурами. В этих случаях изложение сделано возможно сжато, и притом соответственные термины телесных фигур нередко прямо переносились на плоские, как, например, типический многоугольник и т. п. Вообще я стремился достичь возможного равновесия в изложении и уделять каждому вопросу место, соответствующее его важности. Поэтому при вообще сжатом изложении столь громадного отдела, те его части, которые не находят пока непосредственных практических приложений, как, например, теория многогранников высшей степени, представлены здесь лишь в своих основных принципах.
      Отдавая это свое произведение на суд ученой публики, я вполне сознаю многие его несовершенства и промахи и надеюсь, что приговор будет снисходителен ввиду того обстоятельства, что труд этот представляет первую попытку систематического изложения всех существенных отделов элементарного учения о телесных фигурах.