Неисчерпаемость бесконечности

DjVu

      Вступление
      Когда мне шел восьмой год, мой дядя, бывалый и разносторонне образованный моряк, решил однажды познакомить меня с бесконечностью.
      — Возьми в руки какую-нибудь палку, — сказал он, — и представь себе, что другого конца у палки нет.
      — Как так нет? — удивился я.
      — А вот так — один конец палки в твоей руке, а другого нет, потому что палка имеет бесконечную длину или, точнее, уходит в бесконечность!
      Я попробовал, зажмурив глаза, вообразить себе палку с одним концом, и мне стало... жутко! Удивительная невесомая палка протыкала стены комнаты, воздушную оболочку земного шара и уходила куда-то далеко-далеко, в черную бездну ночного неба. Мои попытки мысленно увидеть всю палку кончались крахом. Да и мог-
      ло ли быть иначе, когда второго конца фантастической палки не было, а значит, представить себе наглядно всю палку просто невозможно! Так впервые мне довелось ощутить тот «ужас бесконечного», о котором, как я позже узнал, писали многие философы и математики.
      — Вот так же бесконечен и Мир, Вселенная, то есть все, что существует, — продолжал дядя. — Куда ни посмотри на небо, в любом направлении никакого края, конца Вселенной нет. Сколько ни лети туда, куда смотришь, конца твоему полету никогда не будет.
      Для детского сознания все это было крайне необычно. Всем существом своим хотелось протестовать против неумолимой логики дядиных рассуждений и доказать ему, что какой-то все-таки «конец» у Вселенной должен же быть!
      — Хорошо! — усмехаясь, как бы соглашался дядя. — Пусть будет по-твоему — где-то Вселенная «оканчивается». Ну, а что там дальше, за этим «концом»?
      И снова трудно, вернее, невозможно было представить себе какой-то «конец» Вселенной, за которым больше ничего, даже пустого пространства, нет.
      — Вот когда мысленно долетишь до «конца» Вселенной, — шутливо посоветовал дядя, — протяни дальше руку или, скажем, обычную палку. Неужели ты не сможешь это сделать?
      — Конечно, смогу. Разве что-нибудь мне помешает? — соглашался я.
      — Так будет и со всяким другим, более далеким «концом» Вселенной, потому что Вселенная бесконечна, — завершил разговор дядя.
      Не знал я тогда, что и пример с палкой, и совет протянуть руку за «край» Вселенной придуманы не дядей, а древними философами. Впрочем, это обстоятельство в ту пору не играло существенной роли — авторитет дяди был для меня непререкаем. Впервые ощутив «ужас бесконечного», я почувствовал и поразительную противоречивость в самом понятии бесконечного.
      Ведь одинаково трудно представить себе, что Вселенная бесконечна или что у Вселенной есть какая-то граница.
      Хотя с той поры прошло несколько десятилетий, но и сейчас проблема бесконечного мне представляется одной из сложнейших проблем науки и философии. Причина не только в том, что мы, люди, не в состоянии наглядно представить себе бесконечность — взамен образа приходит мысль, понимание, и то, что нельзя представить, вполне можно понять. Главные трудности порождены самой бесконечностью, ее многоплановостью, неисчерпаемостью. Бесконечность встречается буквально на каждом шагу, и с ней связаны самые важные, фундаментальные проблемы науки и философии.
      Читателю предстоит познакомиться с ролью бесконечности в математике, астрономии, физике, философии, с неисчерпаемостью окружающего нас материального Мира. Далеко не все, о чем рассказано в этой книге, бесспорно. Скорее, наоборот — большинство обсуждаемых проблем дискуссионны и окончательного общепринятого мнения по ним в науке пока нет. Разные ученые думают по-разному, и не следует их гипотезы, то есть научные предположения, принимать за бесспорные факты.
      Не забывайте — мы выходим на передовые рубежи современного знания. Здесь, на грани неведомого, только еще ищут истину, но пока в полной мере не обладают ею.
     
      1. Когда целое равно своей части
     
      Рассмотрение бесконечного имеет свои трудности, так как много невозможного следует и за отрицанием его существования и за признанием.
      Аристотель
     
      Самая простая бесконечность
      Для первого знакомства с бесконечным нет нужды мысленно уноситься в космические дали, мы найдем бесконечное здесь, рядом, в обычной земной обстановке. Выберите недалеко от себя какой-нибудь предмет, например, стул, и представьте себе, что вы решили дойти до него несколько необычным способом — всякий раз ступая ровно на половину того расстоянйя, которое осталось до стула. Нетрудно сообразить, что стул окажется для вас недосягаемым. Вы можете двигаться не останавливаясь сколько угодно лет, приблизиться к стулу как угодно близко, но до самого стула так никогда и не доберетесь — ведь вас от него будет отделять вторая половина оставшегося расстояния.
      Конечно, реальную обстановку в этом примере придется идеализировать: каждый ваш шаг совершенно точно равен половине оставшегося расстояния. Можно процесс вашего движения записать в форме такого математического выражения:
      Многоточие справа заменяют слова «и так далее», то есть суммирование постепенно убывающих чисел продолжается «до бесконечности». Что, однако, означает выражение «до бесконечности»? Разве бесконечность — это какое-то число, достигнув которого можно прекратить суммирование? Нет, разумеется, бесконечность — не число и складывать числа придется как угодно долго, то есть вечность. Слово же «вечность» не имеет иного смысла, как «бесконечность во времени». Как видите, уже сразу, на простейшем примере, нехитрые рассуждения столкнули нас с бесконечностью во времени и пространстве. Оказалось, что бесконечность находится ни где-то там, в «прекрасном далеке», а здесь, рядом с нами.
      Те, кто знаком с суммированием членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сразу же заметят, что приведенное выше выражение равно 1. Но этот совершенно правильный вывод отнюдь не опровергает наших рассуждений. При вычислении суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии предполагается, что все ее члены (а их бесконечно много!) уже даны, существуют. В таком случае математики говорят об актуальной, существующей, «завершенной» бесконечности. При попытках же дойти до стула вы суммируете все большее и большее число членов прогрессии, но не сразу все ее члены. При такой ситуации бесконечность мыслится лишь как нечто потенциальное, скрытое, пока еще (и вечно!) недостигнутое. Естественно, что такого рода «недостижимую» бесконечность называют потенциальной.
      Чтобы лучше запомнить пример с недостижимым стулом, назовем этот пример как-нибудь условно, например «Путник». Пусть — в дальнейших наших рассуждениях одно слово «Путник» избавит нас от повторения того, что было сейчас рассказано.
      Можно ли сравнивать бесконечности? Имеет ли смысл утверждение, что одна бесконечность «бесконечнее» другой?
      Для житейского «здравого смысла» сама постановка такого рода вопросов выглядит нелепой. Но ведь так называемый «здравый смысл» есть всего лишь обобщение нашего повседневного опыта. Он включает в себя не только знания, но и заблуждения. Отмечая лишь то, что «бывает», здравый смысл не всегда восходит до понимания того, что может быть. «...Здравый человеческий рассудок, — писал когда-то Фридрих Энгельс, — весьма почтенный спутник в четырех стенах своего домашнего обихода, переживает самые удивительные приключения, лишь только он отважится выйти на широкий простор исследования».
      Так что не всегда следует доверять «здравому смыслу». Не поверим мы ему и на этот раз.
      Самая простая бесконечность — это бесконечность натурального ряда чисел:
      1; 2; 3; 4; 5; ...
      Такая последовательность целых положительных, или, как их иначе называют, натуральных, чисел напоминает знаменитую палку с одним концом. Левый «конец» отмечен единицей, а справа конца нет, потому что не существует наибольшего натурального числа. Если кто-нибудь в этом сомневается, пусть прибавит к «наибольшему» числу единицу и получит число еще большее. Противоречие доказывает, что исходное предположение о наибольшем натуральном числе ошибочно. Его просто нет, и натуральный ряд справа ничем не ограничен.
      Представим себе теперь то, что математики называют числовой осью. Это прямая (бесконечная в обе стороны), на которой выбраны начало отсчета, точка О, положительное направление отсчета (указано стрелкой) и масштаб. Нанесем на числовую прямую все целые числа — и положительные и отрицательные. Тех и других бесчисленное множество, но тем не менее точек на числовой прямой еще больше: ведь далеко не все из йих пронумерованы. Получается, что бесконечное множество точек числовой прямой, так сказать, «бесконечнее» множества всех целых чисел!
      Можно, казалось бы, сказать проще: целых чисел меньше, чем точек числовой прямой. Но понятия «больше» и «меньше» пригодны лишь для конечных множеств, например, для числа школьников в разных классах. Говорить же о том, что одна бесконечность больше другой как-то нескладно — ведь бесконечность не есть число. Требует уточнения и термин «бесконечнее». В каком именно смысле одна бесконечность «бесконечнее» другой? Но тут беда поправима: чуть позже слово «бесконечнее» мы заменим строгим математическим тер-12 мином.
      Бесконечность натурального ряда чисел — самая простая из всех возможных бесконечностей, и для нее оказывается верным утверждение: целое равно своей части. Убедиться в этом неожиданном выводе нетрудно. Напишем снова натуральный ряд чисел, а под ним квадраты тех же чисел:
      Совершенно очевидно, что вторая строчка содержит столько же чисел, сколько и первая, — она состоит из тех же чисел натурального ряда, над которыми написан знак возведения в квадрат. Возведем числа в квадрат и запишем результат в третьей строчке. Количество чисел в этой строчке такое же, как в первой и второй. Однако третья строчка есть лишь часть натурального ряда чисел — в ней отсутствуют 2, 3, 5, 6, 7, 8 и множество других натуральных чисел. Но каждому числу третьей строчки соответствует одно, и только одно, число первой строчки. Следовательно, целое (весь натуральный ряд в первой строчке) «равно» своей части (третья строчка).
      Для обычных, ограниченных или конечных предметов такое утверждение, конечно, нелепо. Скажем, половина яблока никак не равна всему целому яблоку. Но для бесконечности целое может «равняться» своей части. И это не случайное исключение, а типичное свойство любой бесконечности.
      Надеюсь, что читатель теперь без особого труда докажет, что, например, четные числа можно пересчитать, как и натуральные. Похожие доказательства возможны и для кубов чисел и вообще для всякой бесконечной части бесконечного ряда натуральных чисел.
      Не спешите с выводами. Нам предстоит теперь знакомство с куда более «мощной» бесконечностью, чем множество всех натуральных чисел.