О квадратуре круга

DjVu

      После того как десять лет тому назад Линдеману удалось на основании исследований Эрмита о показательной функции окончательно разрешить знаменитую задачу о квадратуре круга, строго доказав трансцендентность числа тс, после того как в 1885 г. результаты Эрмита и Линдемана были опять выведены Вейерштрассом сравнительно более простым путем, эта замечательная задача, история которой охватывает четыре тысячелетия, снова привлекла внимание широкой публики.
      Теперь, когда уже сказано последнее слово, естественно желание подвести итоги, взглянуть в глубь истории и отдать должное тем исследованиям, которые подвигали вперед решение этой решенной, наконец, задачи. Мне казалось поэтому своевременным выбрать важнейшие из них и сделать их доступными всем интересующимся историческим развитием математики. Такими работами, сыгравшими исключительно крупную роль в истории развития задачи о квадратуре круга, бесспорно являются прежде всего сочинения: Архимеда "КихЛои [летру]015*; Гюйгенса "De circuli magni-tudine inventa"; Ламберта "Vorlaufige Kenntnisse fur die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchenw; Лежандра "Note ой Гоп demontre que le rapport de la агсоёгепсе au diametre et son quarre sont des nombres irrationnel§". Предлагая математической публике тщательный перевод этих классических сочинений, я имел различные основания надеяться на общий интерес. Прежде всего я могу указать на отрадное явление возрастающего в широких кругах интереса к историческим исследованиям в области математики и на все более распространяющееся среди ученых признание важности и даже необходимости исторических исследований. Но трудно найти другую задачу, которая была бы столь же удивительно подходящей для того, чтоб послужить введением в изучение истории математики, как задача квадратуры круга, которая, возникнув с незапамятных времен, в течение веков так тесно переплелась почти со всеми математическими теориями, что, решение ее было, наконец, дано лишь после того, как был пущен в ход весь могущественный арсенал современной науки. Кроме того, изданием этих мало распространенных сочинений я надеюсь оказать особую услугу преподавателям средних школ, ибо я не сомневаюсь, что изучение этих работ, и прежде всего слишком малоизвестного, но чрезвычайно важного, в особенности для преподавателей элементарной математики, сочинения Гюйгенса, должно оказать не малую услугу делу преподавания.
      В частности, мне остается сделать следующие замечания. Перевод архимедова "Измерения круга" выполнен мной с чрезвычайно тщательно изданного Гейбергом1 текста, в достоинствах которого я имел возможность, насколько это было для меня доступно, сам убедиться, сравнивая его с предыдущими изданиями и в частности с Editio princeps (Basileae 1544). Само собой понятно, что я пользовался также имеющимся переводом Гаубера (Hauber, Tubingen 1798) и Ницце (Nizze, Strahlsund 1824); однако мой перевод, который специалист сейчас признает за совершенно новый, в одном существенном пункте отличается от названных переводов, а именно, между тем как Гаубер и Ницце переводят сочинение Архимеда на современный математический язык формул, я был того мнения, что подобное обращение с сочинением не только лишает его индивидуальной окраски, но и вызывает ложные представления о математическом языке его времени. Исходя из взгляда, что история математического языка и математических обозначений также имеет высокий интерес, я старался поэтому насколько возможно ближе придерживаться греческого текста, чтоб дать точное представление и о математическом способе выражения Архимеда. Иначе, конечно, дело обстоит с добавочными замечаниями, которые2, как не принадлежащие Архимеду, изложены на более кратком современном языке формул. Эти замечания составлены на основании комментария Эвто-кия при помощи обработок Гаубера и Ницце, а также замечаний Гейберга. Они достаточны для понимания статьи, написанной очень сжато. В некоторых местах текста вставлено, кроме того, в скобках ограничение приблизительно.
      При переводе сочинения Гюйгенса "De circuli magnitudine inventa" я руководился теми же взглядами: я желал передать возможно точнее не только содержание этого сочинения, но и математический язык, которым пользовался его автор. Здесь также и пиэтет не позволил мне прибегнуть к современному математическому языку формул, хотя таким путем можно было бы получить некоторые сокращения. В основу перевода положено издание 1724 г. Гравезанда (G. J. s’Gravesande) Christiani Hugneii opera varia". Незначительные недосмотры в форме опечаток или ошибок вычисления (как и в двух следующих статьях) исправлены без особых указаний.
      Статья Ламберта представляет дословную перепечатку из "Beytrage zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung durch J. H. Lambert, Berlin 1770" (Zweiter Teil, fiinfte Abhandl.). Я считал нужным сохранить грамматические особенности, орфографию и интерпункцию Ламберта, несмотря на встречающиеся в ней маленькие непоследовательности.
      Наконец, при переводе заметки Лежандра я пользовался 14-м изданием "Etements de g6ometrie, avec des notes; par A. M. Legendre" (Paris 1855).
      Чтоб привести эти работы в органиюскую связь между собой, я предпослал им обзор истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней. Эта историческая статья, составляющая почти половину всей книги, представляет новую переработку с значительными добавлениями моей прежней работы, помещенной в 35 томе "Vierteljahrsschrift der Naturfor-schenden Gesellschaft in Zurich". Оставляя в стороне все не имеющее прямого отношения к предмету, я стремился не пропустить ни одного замечательного факта в истории измерения круга. Хотя о безусловной полноте, разумеется, не может быть и речи, однако я надеюсь, что не пропустил ни одной более важной работы.
      Я старался, как это обусловливается отчасти самим содержанием книги, возможно больше пользоваться оригинальными источниками. Но, когда это не удавалось, я прибегал к прекрасным сочинениям:
      М. Cantor, Vorlesungen liber die Geschichte der Ma-thematik, Band I und II (коротко цитируется "Cantor, I, II").
      Hankel, Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter (цитируется "Hankel".)
      Wolf, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur, in zwei Banden (цитируется "Wolf, I, 11").
      Из работ, специально посвященных квадратуре круга, я пользовался также: Montucla, Histoire des recherchs sur la quadrature du cercle (1-е изд. 1754 rf, 2-е изд. 1831 г.), и Petri Vorsselmann de Heer, responsio ad quaestionem ab academia Groningana
      propositam: "Detur succincta expositio praecipuarum methodorum, quae ad circuli quadraturam ducunt (Groningen 1832). Кроме того, приходилось иногда обращаться за справками к Kastner, Geschichte der Mathematik и Kltigel, Mathematisches Worterbuch.
      Хотелось бы, чтоб этот труд был встречен благосклонно; в особенности, чтоб он содействовал пробуждению и развитию интереса к истории математики. С этой целью я написал его и с этим пожеланием выпускаю его в свет.
      Цюрих, апрель 1892 г.
     
      ПЕРВАЯ ГЛАВА
      Общие соображения относительно задачи о квадратуре круга и о причинах ее популярности. Характеристика различных эпох, на которые распадается история этой задачи
      1. О РАЗЛИЧНЫХ ПРИЧИНАХ БОЛЬШОЙ ПОПУЛЯРНОСТИ ЗАДАЧИ
      Из всех математических задач, в течение веков занимавших человечество, ни одна не пользовалась такой известностью, как задача о квадратуре круга.
      Искание квадратуры круга стало синонимом в высшей степени трудного, невыполнимого, а потому и безнадежного предприятия. Это самая древняя из всех математических задач, ибо история ее охватывает четыре тысячелетия, столько же, сколько история человеческой культуры.
      Вполне удовлетворительный ответ на вопрос, чем объясняется исключительная известность именно этой отдельной математической задачи, может быть получен только на основании ее истории.
      В самом деле, нельзя утверждать, что рассматриваемая задача, взятая сама по себе, независимо от других многочисленных математических вопросов, которые присоединились к ней с течением времени, имеет такое большое значение для науки или ее приложений, какое ей часто приписывают мало сведущие люди. Можно указать гораздо более важные и в научном и в практическом отношении задачи, история которых исчисляется также сотнями лет, но которые совершенно неизвестны широкой публике. Достаточно припомнить, например, теорему, открытую в 1829 г. женевским математиком Карлом Штурмом — эту замечательную теорему, которая для всякого алгебраического уравнения с вещественными коэфициентами позволяет точно определить число вещественных корней, содержащихся между данными пределами.
      Задача о квадратуре круга в значительной степени обязана своей известностью весьма простым причинам. Прежде всего это — одна из весьма немногих математических задач, которую достаточно высказать для того, чтобы каждому она стала тотчас понятной. Все знают, что такое круг и что такое квадрат. Все знают или по крайне мере воображают себе, что знают, что такое площадь ограниченой фигуры; всякому кажется поэтому очень простой и понятной задача: начертить квадрат, которого площадь была бы точно равна площади данного круга. То же обстоятельство, что
      простая, повидимому, задача оказывала самое упорное сопротивление усилиям выдающихся умов, издавна привлекало к ней как математиков, так и, еще, быть может более, нематематиков, для которых трудность, скрывающаяся в постановке вопроса оставалась в большинстве случаев неизвестной. Таким образом с веками вокруг этой задачи образовался особый ореол: известность ее росла вместе с увеличением числа неудачных попыток ее разрешения.
      Кроме того, в прежние времена, когда метафизика в большей степени владела человеческими умами, чем в настоящее время, с рассматриваемой задачей часто связывалось достопримечательное суеверие, а именно: было распространено мнение, что тот, кому удастся разрешить эту недоступную задачу, получит благодаря этому возможность вообще глубже проникнуть в сущность взаимоотношений между явлениями. Таким образом, разрешение задачи сулило особые блага, представление о которых, не будучи особенно ясным, было, однако, нередко достаточным для того, чтобы поднять интерес к задаче о квадратуре круга на одну высоту с задачами о философском камне, жизненном элексире и тому подобных вещах.
      Наконец, была еще и третья причина, которая содействовала именно среди нематематиков известности нашей задачи.
      В виду большого значения для математики и ее приложений, приписываемого многими этой задаче, было распространено мнение, сохранившееся и до позднейших времен, что многие академии назначили крупные награды для того, кому посчастливится, наконец, разрешить знаменитую задачу. Но это было горькое заблуждение. Уже в 1775 г. Парижская академия (а за нею и другие), утомленная непрерывным беспокойством, которое причиняли ей "квадраторы", сделала следующее заявление: "Академия постановила не рассматривать отныне представляемых ей разрешений задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение" (Histoire de 1, Academie royale, аппёе 1775, page -61). За заявлением следовало объяснение, в котором Кондорсе (Condorcet), тогдашний непременный секретарь академии, излагал ясно и точно основания, которые привели академию к указанному решению3. Тем не менее подобные постановления академий не уменьшали числа "квадраторов", с той только разницей, что теперь к сознанию совершенного великого открытия у них присоединялось чувство оскорбленного тщеславия и убеждение, что каста математиков не воздает им должного из зависти или других мелких побуждений.
      KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ