Марк Никитич Швец
О приближённых числах
*** 1968 ***
От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..
Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..
|
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3 Введение 5 § 1. Запись чисел 12 § 2. Абсолютная погрешность 14 § 3. Границы неопределенности 22 § 4. Относительная погрешность 27 § 5. Точные цифры 30 § 6. Значащие цифры 46 1. Обзор определений 46 2. Сущность значащих цифр 58 § 7. Запись приближенных чисел 74 § 8. Округление 81 § 9. Погрешность округления 91 § 10. Округление в произвольных системах счисления 101 § 11. Некоторые общие замечания 108 1. Что такое приближенное число 108 2. Приближенное число как вектор 109 3. Некоторые парадоксы 112 4. О принципе Крылова — Брадиса 118 5. О сокращенных вычислениях 122 Несмотря на то, что приближенные вычисления прочна вошли в жизнь и составляют необходимый элемент среднего и высшего образования, основные понятия теории приближенных вычислений в настоящее время, не могут считаться однозначно установленными, а некоторые выводы ее, — строго обоснованными. Об этом свидетельствует большой разнобой в толковании этих понятий и выводов в научной и методической литературе, а также неоднократные выступления ученых и школьных учителей по вопросам приближенных вычислений, дискуссии в журнале «Математика в школе» и т. д. Объясняется это тем, что в строгом обосновании теории приближенных вычислений имеются значительные трудности принципиального характера, преодоление которых требует широкого обсуждения, теоретических рассмотрений и практических экспериментов. Для того чтобы возможно было разумное построение курса приближенных вычислений и эффективное применение его на практике, необходимо глубоко проанализировать исходные понятия теории погрешностей. Целью настоящей работы и является попытка такого анализа. Автор не претендует на то, чтобы исчерпать эту проблему и выработать окончательные формулировки — наоборот, некоторые его утверждения будут иметь дискуссионный характер, привлекая внимание специалистов к отдельным трудным местам обоснования теории погрешностей. Не перечисляя всех затронутых в работе вопросов, отметим Лишь, что автор подробно рассматривает понятие точных цифр, особенности округления в произвольных позиционных системах счисления, предлагает новый подход к определению понятия значащих цифр (едва ли не самого трудного!), к принципу Крылова — Брадиса и т. д. Работа не является систематическим и полным введением в теорию погрешностей: некоторые вопросы рассмотрены в ней подробно, с углублением в детали, другие — слегка намечены, третьи — вовсе не упомянуты. Некоторые общеизвестные подробности внесены для систематичности изложения соответствующих вопросов. Известно, что в средней школе положение с приближенными вычислениями хуже, чем в вузе, поскольку там прибавляется еще одна трудность — методическая — необходимость учета возрастных особенностей и ограниченности математических знаний учащихся V — VI классов. К сожалению, автор не имел возможности касаться в этой работе методических вопросов. Цель работы — чисто теоретическая, но без решения затронутых в ней теоретических проблем невозможны никакие методические построения. Автор выражает глубокую признательность профессору В. М. Брадису и проф. И. К. Андронову за цен-, ные замечания, способствовавшие улучшению книги. Замечания и пожелания по поводу содержания этой книги просим направлять по адресу: Киев — 53, ул. Юрия Коцюбинского, 5, издательство «Радянська школа», редакция математики. Одесса, май 1967. Автор ВВЕДЕНИЕ 1. Исходными данными всякой конкретной математической задачи служат числа, над ними в процессе решения задачи выполняются различные операции, приводящие к новым числам и заканчивающиеся получением числового результата. Каждое число выражает значение некоторой величины. Будем считать известным понятие точного значения величины1 как объективно существующей количественной характеристики ее. В подавляющем большинстве случаев точное значение величины остается неизвестным или практически непригодным, его приходится заменять другим значением, несколько отличающимся от точного2 и называемым приближенным значением данной величины. 1 Во многих случаях не так просто дать строгое определение етого понятия. См. по этому поводу п. 1 — 2 § 11, Число называется точным или приближенным в зависимости от того, выражает оно точное или приближенное значение величины. Эти названия выражают не абсолютные свойства отдельных чисел, а лишь относительные, зависящие от связи их с рассматриваемой величиной и не имеющие смысла вне такой связи. Действительно, так как одно и то же число может выражать значения различных величин, то оно может быть в одном случае точным, а в другом — приближенным. Например, если число 5 выражает количество пальцев на руке человека, то оно точное, а если оно, выражает положительный-корень уравнения х2 — 5х — 0,00001 = 0, то это число приближенное. Таким образом, понятие точного или приближенного числа существенно связано с конкретным смыслом этого числа, т е. с его происхождением. Этот генетический, относительный характер точности мы всегда будем подразумевать, рассматривая числа, как правило, в абстрактном виде 2. С какими числами имеет дело вычислитель или счетная машина при решении математических задач? Нетрудно видеть, что, за редкими исключениями, эти числа приближенные. Действительно, имеется четыре основных источника чисел: 1) счет предметов, 2) измерение величин, 3) таблицы и счетные машины и 4) действия над числами, Операция счета в некоторых случаях приводит к точным числам, однако в большинстве практически важных случаев она дает только приближенные результаты (население города или страны, учет поголовья скота в стране, подсчет деревьев в лесу, молекул в грамм-молекуле вещества — число Авогадро и т. д.). Если пересчитываемое множество достаточнообширно и непостоянно, то определение точного числа его элементов во многих случаях весьма затруднительно и чаще всего не является необходимым — по сути важно определить только порядок этого числа, т_.е. подходящее приближенное значение (округление) его. В особо важных и ответственных случаях для обеспе-чени я высокой точности подсчета приходится осуществлять весьма громоздкие и дорогостоящие мероприятия. Известно, например,- с какой широтой и тщательностью организуются переписи населения в стране и кЪк скрупулезно они проводятся. Конечно, абсолютная точность при этом не достигается, да она и невозможна, так как численность населения страны быстро изменяется. Целью переписи является установление возможно более точного порядка числа всех жителей или отдельных групп их, т. е. определение нескольких первых надежных цифр этих чисел. „ В 1961 г. в газетах было опубликовано сообщение, что население Токио составляет 9992542 чел. Ясно, что с доверием можно отнестись толька к первым трем цифрам этого числа. Остальные 4 цифры не могут быть верными уже потому, что в таком большом городе колебание численности населения в несколько тысяч человек является естественным даже на протяжении одного дня. Эти цифры не имеют также никакого практического значения, даже если они верные; например, при расчете объема продовольственного снабжения населения Токио следует исходить просто из 10000000 чел. Какой же смысл имеет такое«точное» число? Только тот, что око указывает количество учтенных переписных- бланков и в этом смысле его действительно можно считать точным. К численности населения Токио это число имеет то отношение, что оно выражает ее приближенно с тремя верными первыми цифрами. Зачем же тогда стремиться к такой высокой точности в проведении переписи? Дело в том, что окончательные итоги переписи получаются суммированием многочисленных. частных итогов, а при сложении происходит накопление’ ошибок слагаемых, которое может совершенно исказить сумму. Процесс измерения величин (длин, площадей, объемов, весов, скоростей, электрических зарядов и т. д.) принципиально не может дать точных результатов. Это связано не только с тем, что измерительные приборы и органы наших чувств неспособны различать слишком мелкие доли величин, но также с тем обстоятельством, что само понятие точного значения измеряемой физической величины не имеет строго определенного смысла. В геометрии, пользуясь. математической абстракцией, идеализацией реальных величин, мы просто предполагаем, что одни из них измеряются точными числами, а другие точно вычисляются по известным точным формулам. Когда же речь идет о конкретных физических величинах, то здесь нет места предположению — нужно выполнить фактическое измерение, и задача состоит в том, чтобы погрешность его была возможно меньшей. Осмысленность этой задачи основана на том, что, хотя, точное значение измеряемой величины неизвестно, но при определенных физических условиях процесс измерения дает результаты, лишь незначительно колеблющиеся около некоторого среднего значения, — оно-то и принимается за «точное» значение величины. Кроме счета и измерения, числа доставляют разнообразные таблицы, справочники, вычислительные машины и приборы. В некоторых случаях они дают точные числа, например, таблицы умножения или сложение на арифмометре, конечно, если исходные данные сами точные (это предполагается во всех таблицах). Однако ввиду крайней: редкости пользования точными данными, точность этих таблиц и иструментальных операций не имеет большого значения для вычислительной практики. Тем более это касается подавляющего большинства других таблиц, приближенных по существу, т. е. дающих приближенные результаты и для точных значений исходных данных (за редкими исключениями, например: fg 100 = 2, sin 30° = = 0,5). Это преимущественно таблицы важнейших трансцендентных функций: логарифмической, показательной, тригонометрических, интегральных и т. д. Значения этих функций, как правило, иррациональны, поэтому таблицы содержат только приближенные (округленные) числа. Все вычислительные приборы и машины непрерывного-действия (счетные линейки, планиметры, интеграторы и др.) также доставляют существенно-приближенные числа и притом невысокой точности. Цифровые вычислительные-машины (арифмометры, счетно-аналитические, электронные автоматические) наряду с точными дают большей частью приближенные результаты довольно высокой точности. Наконец, четвертый источник чисел — действия над. числами — тоже доставляет, как правило, приближенные числа Уже простое деление целых чисел часто приводит в систематической записи к бесконечным последовательностям цифр и требует неизбежных округлений. Что-касается других операций — иррациональных, то он» дают точные результаты лишь в исключительных случаях. Итак, приближенные числа составляют основной » почти единственный материал (сырье и продукцию) вычислителя и счетной машины. Заметим в связи с этим, что вычислительная практика не знает ни периодических дробей, ни иррациональных чисел, так как она всегда оперирует лишь е ограниченным числом цифр систематических чисел. Тем не менее такие постоянные, как у, У2, те, е, занимают особое место при вычислениях, так как их приближенные значения могут быть взяты с. любой точностью1, в отличие от опытных, точность которых существенно ограничена. Нет оснований сожалеть о том, что на практике приходится пользоваться лишь приближенными значениями величин Во-первых, точные значения, если бы они были известны, не могли бы быть использованы на практике из-за очень большого (в большинстве случаев бесконечного) количества цифр. Во-вторых, оказывается, что эти точные значения и не нужны: вполне удовлетворительные решения подавляющего большинства практических задач получаются при сравнительно небольшой точности исходных данных и промежуточных результатов вычислений. Достаточно указать на предсказание солнечных и лунных затмений с точностью до секунды на много лет вперед, — а ведь оно основано на расчетах с приближенными числами. Далее, обычные инженерные расчеты требуют не более 3 — 4 значащих цифр используемых чисел, а шестизначные числа достаточны для определения начальной скорости искусственного спутника Земли при выведении его на орбиту (около 8000 мсек) — это соответствует допустимой ошибке в 5 — 10 смсек. Вычислитель должен примириться с тем, что его труд 1 Для числа я, например, сейчас известно несколько десятков тысяч цифр. Впрочем, можно с уверенностью сказать, что такая точность не понадобится в вычислительной практике ни теперь, ни в будущем. неизбежно приводит к приближенным, а не точным результатам. Главной заботой его должно быть получение этих результатов наиболее рациональным (коротким) путем и определение границ допущенных ошибок. В этой работе мы рассмотрим прежде всего различные .способы характеристики точности приближенных чисел. Это приведет нас к необходимости глубоко проанализировать основные понятия теории приближенных вычи-, слений и поставить вопрос об их более строгом Обосновании. В первых десяти параграфах излагается систематически и весьма подробно (хотя и не совсем полно) теория характеристики точности приближенных чисел. Именно этот материал остро нуждается в совершенствовании. Поэтому здесь имеется и полемика и конструктивные предложения автора. Арифметика приближенных чисел здесь не рассматривается, так как она не. содержит принципиальных трудностей! Некоторые, существенные, места работы, на которые автор хочет обратить взимание читателей, выделены под заголовком «Важные замечания». Особое место в работе занимает последний параграф — 11-й. В нем анализируются отдельные не рассмотренные ранее важные вопросы теории и практики приближенных вычислений. Здесь-отсутствует систематичность изложения: предполагается, что читатель знаком с указанными вопросами и примет участие в их обсуждении.
|
